Opis matematyczny krzywych sedymentacyjnych

W procesie projektowania osadników stosowanych do zagęszczania zawiesin punktem wyjścia jest wykres krzywej sedymentacyjnej. Test sedymentacyjny wy-korzystywany jest do wyznaczenia jednostkowej powierzchni sedymentacji (po-wierzchni koniecznej do zagęszczenia 1 kg/s frakcji stałej z zawiesiny o stężeniu początkowej) [22, 25, 79, 85].

Na podstawie przeprowadzonego testu sedymentacyjnego wyznaczony jest punkt charakterystyczny, stanowiący podstawę do określenia wymaganej po-wierzchni sedymentacji.

Przykładowy wykres testu sedymentacyjnego (rys. 7.25) składa się z dwóch krzywych: krzywej sedymentacyjnej zawiesiny h(t) oraz krzywej narastania osadu l(t).

Krzywą sedymentacyjną można podzielić na trzy odcinki:  odcinek prostoliniowy o stałym nachyleniu (I),

 krzywa przejściowa (II), łączący się z krzywą narastania osadu w punkcie kry-tycznym (K),

 część krzywoliniowa (III), nazywana strefą kompresji.

W zależności od właściwości i charakteru zawiesiny, dla której przeprowa-dzany jest test sedymentacyjny, krzywe sedymentacyjne mogą mieć inny przebieg, np. w początkowej części wykresu obserwuje się powolną sedymentację lub brak

95

sedymentacji w części krzywej przed częścią prostoliniową wykresu. Fragmenty te można nazwać rozwojem procesu sedymentacji [84].

Rys. 7.25. Krzywa sedymentacyjna i krzywa narastania osadu

Wykres krzywej sedymentacyjnej uzyskuje się w wyniku przeprowadzenia do-świadczenia – testu sedymentacyjnego (nie jest znana inna metoda wyznaczenia krzywej sedymentacyjnej niż w sposób empiryczny). Na podstawie wyników testu sedymentacyjnego można określić wpływ rozwinięcia powierzchni, oszacowania prędkości przesuwu granicy faz, oszacowania kompresji zawiesiny.

Dane (wysokość położenia warstwy rozdziału w zależności od czasu) uzyskane z krzywej sedymentacyjnej nie stanowią wygodnego narzędzia do analizy procesu sedymentacji. Wyniki testów sedymentacyjnych można opisać za pomocą funkcji matematycznych. Pozwala to na łatwy i zwięzły ich opis oraz porównanie z wyni-kami z innych eksperymentów.

W niniejszej pracy zaproponowano kilka ogólnych postaci równań opisujących krzywą sedymentacji w postaci:

ℎ( ) = ∙ ( ∙ )

(7.3) ℎ( ) = ∙ ∙ + ∙ ∙

(7.4) gdzie:

ℎ( ) – wysokość położenia granicy rozdziału faz, m. – czas sedymentacji, min,

96

7.7.1.1. Wyznaczanie współczynników równań krzywej sedymentacji

W celu sformułowania empirycznych równań krzywych sedymentacyjnych na-leży wyznaczyć współczynniki poszczególnych równań opisujących krzywą sedy-mentacji. Współczynniki te wyznacza się w oparciu o dane uzyskane z doświad-czenia wykorzystując np. metodę najmniejszych kwadratów. Uzyskane równanie krzywej sedymentacyjnej ma zastosowanie dla danej zawiesiny, o określonym stę-żeniu i wysokości słupa zawiesiny. Należy również zwrócić uwagę, że uzyskane wyniki mają zastosowanie w ograniczonym zakresie, tj. od początku części prosto-liniowej do ostatniego punktu pomiarowego, znajdującego się w strefie kompresji. W etapie rozwoju procesu sedymentacji uzyskane równania nie mają zastosowania.

Współczynniki poszczególnych równań wyznaczono, w oparciu o dane do-świadczalne, z wykorzystaniem metody aproksymacji (np. algorytm Levenberg-Marquardt). Wynikiem obliczeń są równania krzywych sedymentacji dla zawiesiny węglowej o różnym stężeniu oraz o zróżnicowanym pochyleniu cylindra (90° oraz 60°).

Dla równania (7.3):

ℎ( ) = ∙ ( ∙ )

wyznaczone współczynniki, dla stężenia 46,43 kg/m3 oraz kąta pochylenia 60°, czasu trwania pomiaru ok. 350 minut, wyniosły (z poziomem ufności 1-α wynoszą-cym 95%):

A = 948,5 B = -0,007065

Rys. 7.26. Krzywa sedymentacyjna T1k60 oraz aproksymująca dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia

97

Po wstawieniu współczynników do równania ogólnego (7.3) otrzymano następu-jące równanie empiryczne:

ℎ( ) = 948,5 ∙ ( , ∙ )

(7.5) Dla tak zdefiniowanego równania współczynnik determinacji R2 wyniósł 0,9641. Na podstawie wizualnej oceny dopasowania uzyskanej krzywej aproksy-macyjnej (równanie 7.5, rys. 7.26) można stwierdzić, że wyznaczony współczynnik determinacji ma zbyt dużą wartość. Może to być spowodowane, np. bardzo dużym zagęszczeniem punktów pomiarowych dla pierwszych 50 minut pomiaru, dla któ-rych uzyskana krzywa pokrywa się z punktami pomiarowymi. Z tego powodu ko-nieczne było wyznaczenie współczynnika RMSE (pierwiastek błędu średniokwa-dratowego), czyli miary, o ile średnio odchylają się wartości w zaproponowanym modelu. Dla krzywej o równaniu (7.5) wartości współczynnika RMSE wyniosła 48,67. Wysoka wartość uzyskanego współczynnika RMSE potwierdza wnioski z oceny wizualnej przebiegu krzywej aproksymacyjnej – zaproponowane równanie nie jest zadowalające i nie może być stosowane do opisu krzywej sedymentacyjnej.

Następnie dla wartości, stężenia wynoszącego 46,53 kg/m3 oraz kąta pochyle-nia 90°, czasu trwapochyle-nia pomiaru ok. 350 minut, wyznaczono współczynniki dla rów-nania (7.3) wynoszące (z poziomem ufności 1-α wynoszącym 95%):

A = 943,3 B = -0,001628

Rys. 7.27. Krzywa sedymentacyjna T1k90 oraz aproksymująca dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia

cylindra 90°, czas sedymentacji ok. 350 minut

Po wstawieniu współczynników do równania ogólnego (7.3) otrzymano nastę-pujące równanie empiryczne:

98

Dla tak zdefiniowanego równania współczynnik determinacji R2 wyniósł 0,9921. Natomiast wyznaczony współczynnik RMSE wyniósł 10,56. Niska wartość uzyskanego współczynnika RMSE świadczy o bardzo dobrym dopasowaniu krzy-wej aproksymacyjnej do wyników uzyskanych z doświadczenia. Krzywą aproksy-macyjną wykreśloną na podstawie równania (7.6) zestawiono z wynikami z pomia-rów na wykresie (rys. 7.27).

Podobne postępowanie zostało przeprowadzone, aby określić współczynniki równania (7.4):

ℎ( ) = ∙ ∙ + ∙ ∙

Wyznaczone współczynniki równania (7.4), dla stężenia 46,43 kg/m3 oraz kąta po-chylenia 60°, czasu trwania pomiaru ok. 250 minut, wyniosły odpowiednio (z prze-działem ufności 1-α wynoszącym 95%):

A = 950,3 B = -0,009505 C = 37,42 D = 0,005465

Po wstawieniu współczynników do równania ogólnego (7.4) otrzymano następu-jące równanie empiryczne:

ℎ( ) = 950,3 ∙ ^{, ∙} + 37,42 ∙ ^{, ∙} (7.7)

Rys. 7.28. Krzywa sedymentacyjna T1k60 oraz aproksymująca dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia

cylindra 60°, czas trwania pomiaru ok. 250 minut

Dla tak zdefiniowanego równania współczynnik determinacji R2 wyniósł 0,9922. Współczynnik RMSE wyniósł 22.97, zatem był ponad dwukrotnie mniej-szy niż w przypadku krzywej aproksymacyjnej uzyskanej na podstawie równania (7.5). Na tej podstawie można stwierdzić, że zaproponowane równanie w dobry

99

stopniu aproksymuje wyniki badań uzyskane z doświadczenia (w zakresie 250 mi-nut pomiaru). Krzywą aproksymacyjną wykreśloną na podstawie równania (7.7) zestawiono z wynikami z pomiarów na wykresie (rys. 7.28).

Współczynniki równania (7.4), dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia 90°, czasu trwania pomiaru ok. 350 minut, wyniosły (z przedziałem ufności 1-α wynoszącym 95%):

A = -4908 B = 0,0002735 C = 5841 D = 2,655·10-5

Po wstawieniu współczynników do równania ogólnego (7.4) otrzymano nastę-pujące równanie empiryczne:

ℎ( ) = −4908 ∙ , ∙ + 5841 ∙ , ∙

(7.8) Dla tak zdefiniowanego równania współczynnik determinacji R2 wyniósł 0,9992. Wyznaczony współczynnik RMSE wyniósł 4,467. Świadczy to o bardzo dobrym dopasowaniu krzywej aproksymacyjnej do wyników uzyskanych z do-świadczenia. Krzywą aproksymacyjną wykreśloną na podstawie równania (7.8) ze-stawiono z wynikami z pomiarów na wykresie (rys. 7.29).

Rys. 7.29. Krzywa sedymentacyjna T1k90 oraz aproksymująca dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia

cylindra 90°, czas sedymentacji ok. 350 minut

Po analizie wyznaczonych współczynników poszczególnych równań (7.3, 7.4) dla kolejnych krzywych sedymentacyjnych zdecydowano o wyznaczeniu współ-czynników tylko dla równania (7.4).

100

Dla równania (7.4) wyznaczone współczynniki, dla stężenia zawiesiny wyno-szącej 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia 60°, czasu trwania pomiaru ok. 50 godzin, wyniosły (z przedziałem ufności 1-α wynoszącym 95%):

A = 800,2 B = -0,01202 C = 195,6 D = 4,47·10-6

Po wstawieniu współczynników do równania ogólnego otrzymano następujące równanie empiryczne:

ℎ( ) = 800,2 ∙ , ∙ + 195,6 ∙ , ∙

(7.9)

Rys. 7.30. Krzywa sedymentacyjna oraz aproksymująca dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia

cylin-dra 60°, czas trwania pomiaru ok. 50 h

Dla tak zdefiniowanego równania współczynnik determinacji R2 wyniósł 0,9905. Wyznaczony współczynnik RMSE wyniósł 8,45, zatem uzyskano dobre dopasowanie krzywej aproksymacyjnej do wyników badań laboratoryjnych. Krzywą aproksymacyjną wykreśloną na podstawie równania (7.9) zestawiono z wynikami z pomiarów na wykresie (rys. 7.30).

Współczynniki równania (7.4), dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia 90°, czasu trwania pomiaru ok. 50 godzin wyniosły (z przedziałem ufności 1-α wy-noszącym 95%):

A = 822,8 B = -0,001956 C = 121,9 D = 1,067·105

101

Po wstawieniu współczynników do równania ogólnego otrzymano następujące równanie empiryczne:

ℎ( ) = 822,8 ∙ ^{, ∙} + 121,9 ∙ ^{, ∙} (7.10)

Dla tak zdefiniowanego równania współczynnik determinacji R2 wyniósł 0,9967. Współczynnik RMSE wyniósł 5,78. Uzyskano dobre dopasowanie krzy-wej aproksymacyjne do wyników laboratoryjnych badań statycznych. Krzywą aproksymacyjną wykreśloną na podstawie równania (7.10) zestawiono z wyni-kami z pomiarów na wykresie (rys. 7.31).

Rys. 7.31. Krzywa sedymentacyjna T1k90 oraz aproksymująca dla stężenia 46,53 kg/m3 oraz kąta pochylenia

102

Podsumowanie

Przeprowadzone badania laboratoryjne procesu sedymentacji w warunkach statycznych stanowią punkt wyjściowy do dalszych badań: badań statycznych z użyciem flokulacji (z różnymi dawkami flokulanta) czy też badań w warunkach przepływowych.

Na podstawie wyników badań w warunkach statycznych uzyskana została in-formacja, że ze względu na stosunkowo niską wartość prędkości procesu sedymen-tacji (do 0,097 mm/s dla cylindra pochylonego) oraz uzyskany maksymalny stopień zagęszczenia na poziomie 260 kg/m3 konieczne jest zastosowanie dodatkowej tech-niki intensyfikacji procesu sedymentacji.

Przeprowadzanie podstawowego testu, jakim jest test sedymentacyjny wiąże się z długotrwałym i mozolnym procesem rejestracji położenia granicy rozdziału faz (trwającym nawet kilka godzin). Odczyt położenia tej granicy okiem nieuzbro-jonym, szczególnie w początkowej fazie pomiaru, może być obarczony błędem identyfikacji granicy. Z tego powodu zostały zaproponowane dwie metody zauto-matyzowanej identyfikacji i rejestracji położenia granicy rozdziały w czasie (me-tody AST oraz MAST). Wyniki przeprowadzonych badań weryfikacyjnych po-twierdziły poprawność działania zaproponowanych metod, szczególnie metody MAST, która stanowi innowacyjną metodę wyznaczania krzywych sedymentacyj-nych.

W przypadku wyznaczania krzywych sedymentacyjnych przydatne jest aprok-symowanie wyników badań za pomocą opisu matematycznego (równania krzywej aproksymacyjnej). Wyznaczenie współczynników zaproponowanych równań sta-nowi wartościowe narzędzie pozwalające na opis zbioru punktów pomiarowych za pomocą kilku współczynników równania. Znając wartości wyznaczonych współ-czynników możliwe jest określenie prędkości sedymentacji w konkretnym, dowol-nym, czasie pomiaru.

Na podstawie analizy wyników z badań procesu sedymentacji badań statycz-nych stwierdzono, że proces sedymentacji zawiesiny węglowej przeprowadzanej w sposób klasyczny przebiega powoli, czego wynikiem była konieczność stosowania dodatkowej technik intensyfikacji procesu sedymentacji – użycia wkładów wielo-strumieniowych.

W przypadku prowadzenia procesu w przewodzie pochylonym (symulacja wa-runków sedymentacji wielostrumieniowej) uzyskano 5,8-krotny wzrost prędkości względem procesu prowadzonego w przewodzie pionowym.

103

8. Badania laboratoryjne procesu sedymentacji