Łukasz Małek1
Streszczenie: W pracy podj˛eto analiz˛e własno´sci matematycznych modelu ki-nematyki dwukołowego robota mobilnego typu monocykl. Wykorzystuj ˛ac po-chodn ˛a Gâteaux oszacowano stał ˛a Lipschitza Jakobianu tego robota. Uzy-skano wynik w postaci afinicznej, zale˙znej od normy sterowania tego układu.
Słowa kluczowe: Jakobian, stała Lipschitza, monocykl, planowanie ruchu
1. Wst˛ep
Jednym z kluczowych problemów zwi ˛azanych z algorytmami planowa-nia ruchu [3, 4] dla robotów mobilnych jest obszar, w którym istnieje gwa-rancja, ˙ze algorytmy te wygeneruj ˛a wła´sciwe rozwi ˛azanie. Obszar ten nazy-wany jest obszarem zbie˙zno´sci. W przypadku Jakobianowych algorytmów planowania ruchu [8] wyznaczenie tego obszaru mo˙ze odbywa´c si˛e na dwa sposoby. Po pierwsze mo˙zna próbowa´c wykaza´c, ˙ze algorytm jest zbie˙zny globalnie, poprzez wykazanie istnienia lokalnego rozwi ˛azania a nast˛epnie po-przez znalezienie afinicznego oszacowania normy Jakobianu wzgl˛edem normy sterowa´n, sprawdzenia, ˙ze rozwi ˛azanie to mo˙zna przedłu˙zy´c na cał ˛a prze-strze´n [7]. Chc ˛ac wykaza´c istnienie lokalnego rozwi ˛azania mo˙zna posłu˙zy´c si˛e twierdzeniem Picarda-Lindelöfa [1], do którego zastosowania konieczne jest wykazanie spełnienia warunku Lipschitza przez Jakobian. Alternatyw-nym podej´sciem jest próba wyznaczenia obszaru zbie˙zno´sci w oparciu o twier-dzenie Kantorovicha [5]. Jednym z warunków koniecznych do zastosowa-nia tego twierdzezastosowa-nia jest wykazanie spełniezastosowa-nia warunku Lipschitza przez po-chodn ˛a funkcji, dla której to twierdzenia ma by´c stosowane. W przypadku algorytmów Jakobianowych pochodn ˛a funkcji wyst˛epuj ˛ac w twierdzeniu jest wła´snie Jakobian. Spełnienie warunku Lipschitza jest wi˛ec jednym z istot-nych problemów wi ˛a˙z ˛acych si˛e z tematyk ˛a istnienia rozwi ˛azania algorytmów planowania ruchu dla robotów mobilnych.
W niniejszej pracy przedstawiono oszacowanie stałej Lipschitza dla Ja-kobianu robota mobilnego typu monocykl. Praca składa si˛e z nast˛epuj ˛acych cz˛e´sci. Pierwsz ˛a z nich stanowi opis metodyki u˙zytej do wyznaczenia sta-łej. Dalej podej´scie to zostało zastosowane dla przypadku algorytmu typu
1Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki, Politechnika Wrocławska, Wybrze˙ze Wy-spia´nskiego 27, Wrocław, lukasz.malek@pwr.wroc.pl
monocykl i doprowadziło do wyznaczenia szukanej stałej. W ostatniej cz˛e´sci znajduje si˛e podsumowanie niniejszej pracy.
2. Idea
Celem pracy jest wykazanie istnienia oszacowania
k(J(x) − J(y))vk ≤ ωkvkL2kx − ykL2 (1) dla Jakobianu robota typu monocykl. Aby udowodni´c t ˛a nierówno´s´c za-łó˙zmy, ˙ze Jakobian jest funkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a wzgl˛edem sterowania. W ta-kim wypadku skorzystamy z twierdzenia o warto´sci ´sredniej w przestrze-niach Hilberta [2] które mówi, ˙ze istnieje takie sterowanie s ∈ [0, 1], ˙ze dla u = sx + (1 − s)y, zachodzi
k(J(x) − J(y))vk ≤ kDJ(u)vkk(x − y)k (2) gdzie DJ (u) oznacza pochodn ˛a Gâteaux Jakobianu
DJ(u)vw = d dα
α=0
J (u + αv)w, (3)
a norma operatorowa zdefiniowana jest w sposób nast˛epuj ˛acy kDJ(u)vk = sup
kwk6=0
kDJ(u)vwk
kwk . (4)
Naszym celem jest wi˛ec wykazanie, ˙ze dla u okre´slonego powy˙zej istnieje niepusty podzbiór przestrzeni sterowa´n, dla którego zachodzi warunek
kDJ(u)vk ≤ Lkvk (5)
ze stał ˛a L > 0.
3. Monocykl
Na pocz ˛atek rozpatrzmy robot mobilny o dwóch kołach nap˛edowych (Rys. 1). Taka konstrukcja nazywana jest monocyklem, a jej kinematyk˛e opi-suje poni˙zsze równanie ˙q = G(q(t))u(t), które w tym przypadku ma posta´c
˙
q1 = u1cos q3
˙
q2 = u1sin q3
˙
q3 = u2.
(6)
Linearyzuj ˛ac kinematyk˛e wzdłu˙z trajektorii otrzymujemy równanie ξ = A(t)ξ + B(t)u(t)˙
Rys. 1. Schemat platformy mobilnej typu monocykl
gdzie macierze A(t) oraz B(t) dane s ˛a zale˙zno´sciami
A(t) = ∂(G(q(t))u(t))
Znaj ˛ac kinematyk˛e robota mo˙zemy przej´s´c do jej pochodnej czyli do jako-bianu. W przypadku robotów mobilnych okre´slony jest on zale˙zno´sci ˛a
J (u)w = Z T
0
Φu(T, t)Bu(t)w(t)dt (8) gdzie w rozwa˙zanym przypadku macierz Cauchy’ego ma posta´c
Φ(T, t) =
Maj ˛ac posta´c jakobianu analitycznego monocykla mo˙zemy przej´s´c do post˛e-powania opisanego wcze´sniej. Zaczynamy od wyliczenia pochodnej Gâteaux Jakobaianu.
Uwzgl˛edniaj ˛ac fakt, ˙ze
q3(t) = Z t
0
u2(s)ds + q3(0) obliczamy pochodn ˛a Gâteaux funkcji q3(t)
Dq3(t)v = d
Zatem pochodna jakobianu monocykla ma posta´c DJ(u)vw =
Nast˛epnie wykorzystuj ˛ac znane z analizy funkcjionalnej fakty otrzymujemy kDJ(u)vwk ≤
Z T 0
kP (u(·), v(·), t)kkw(t)kdt.
Zauwa˙zamy dalej, ˙ze dla normy macierzowej zachodzi nast˛epuj ˛aca nierów-no´s´c
Wobec tego oszacowanie sumy modułów poszczególnych pól macierzy P (t)
|P1,1(u(·), v(·), t)| ≤
Otrzymujemy st ˛ad, ˙ze
kP (u(·), v(·), t)k ≤ 4kvkL1 + 2ku1kL1kvkL1 = kvkL1(4 + 2ku1kL1).
Dalej z nierówno´sci Hölder [6] dla funkcji okre´slonych na docinku [0, T ] za-chodzi nast˛epuj ˛aca zale˙zno´s´c pomi˛edzy normami
kvkL1 ≤√
T kvkL2, co prowadzi do
kDJ(u)vwk ≤ T kwkL2kvkL2(4 + 2√
T ku1kL2).
St ˛ad otrzymujemy, ˙ze kDJ(u)vk = sup
kwk6=0
kDJ(u)vwk
kwk ≤ T kvkL2(4 + 2√
T ku1kL2).
Ostatecznie, je´sli zało˙zmy, ˙ze ku1kL2 ≤ Cu to otrzymujemy ˙z ˛adane oszaco-wanie
k(J(x) − J(y))vk ≤ LkvkL2kx − ykL2, ze stała L = T (4 + 2√
T Cu).
4. Podsumowanie
W niniejszej pracy wykazali´smy, istnienie oszacowania stałej Lipschitza dla Jakobianu robota mobilnego typu monocykl. Uzyskane oszacowanie jest zale˙zne od normy sterowania u1(·), które jest uzyskiwane z parametryzacji odcinkowej dla sterowa´n x oraz y. Wynik ten mo˙ze by´c wykorzystany przy wykazywaniu lokalnego istnienia rozwi ˛azania Jakobianowego algorytmu pla-nowania ruchu b ˛ad´z te˙z do wykazania obszaru zbie˙zno´sci Jakobianowego al-gorytmu planowania ruchu w oparciu o twierdzenie Kantorovicha.
Literatura
[1] R. Abraham, J. E. Marsden, R. Ratiu, Manifolds, tensor analysis, and applications: 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1988
[2] D. Behmardi, E. D. Nayeri, Introduction of Frechet and Gateaux deriva-tive, Appl. Math. Sci., 2(20), 975–980
[3] J. Latombe, Robot Motion Planning, Kluwer, Boston, 1993
[4] S. LaValle, Planing Algorithms, Cambridge University Press, Cambridge, 2006
[5] L. Rall, A note on the convergence of Newton’s method, SIAM J. Numer.
Anal., 11(1), 34–36, 1974
[6] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991
[7] H. Sussmann, A continuation method for nonholomic path-finding pro-blems, 32nd CDC, 91–125, IEEE, San Antonio, 1993
[8] K. Tcho´n, J. Jakubiak, Endogenous configuration space approach to mo-bile manipulators: a derivation and performance assessment of Jacobian inverse kinematics algorithms, Int. J. Control, 76(14), 1387–1419, 2003