PEWNE PROBLEMY NIE ROZWIĄZANE

We wszystkich typach całki zderzeń w dynamice gwiazdowej spotkaliśmy się z jej roz­ bieżnością dla słabych oddziaływań, co wskazuje na konieczność uwzględniania wielokrotnoś­ ci spotkań ciał w układach grawitacyjnych. Wprowadzenie współczynnika wielokrotności ( A g e k i a n 1961) jest pewnym krokiem w kierunku usunięcia tej rozbieżności, ale nie wystarcza dla rozwiązania całego problemu.

We wszystkich formach całki zderzeń stosowanych dotychczas w dynamice gwiazdowej, przy całkowaniu po parametrach spotkania, tkwi założenie, że każda gwiazda układu w każ­ dej chwili jest w stanie spotkania z gwiazdą rozpatrywaną. Stąd wynika, że prawdopodo­ bieństwo spotkania o parametrach dowolnych jest wielkością nieokreśloną, tzn. nie istnieje

oo

całka J* X<$(y, z)dz. Konieczne jest więc uściślenie samego pojęcia spotkania gwiazd,

o

Trzeba tu wziąć pod uwagę, że w wystarczająco wielkich odległościach od rozpatrywanej gwiazdy siły grawitacyjne pochodzące od innych gwiazd składają się na siłę regularną. Fi­ guruje ona w lewej stronie równania Boltzmanna (16) i powinna już być pominięta przy obliczaniu całki zderzeń. W jakiej odległości i w jaki sposób obciąć działanie sił nieregular­ nych w sensie ich przejścia w siły regularne - jest problemem dotychczas nie rozwiązanym.

L I T E R A T U R A A g e k i a n , T. A., 1959, Astron. Żurn., 36, 41.

A g e k i a n , T. A., 1961, Astron, Żurn., 38, 1055.

A g e k i a n , T. A., 1961, Kurs astrofizyki i zw iozdnoj astronomii, tom II, rozd. XX, Fizmatgiz. G n e d e n k o , B.W., 1961, Kurs tieorii wierojatnostiej, Ftómatgiz.

H e n o n, M., 1960, Ann. Astrophys., 23, 668.

P i e t r o w sic a j a, I. W., 1969a, Astron. Żurn., 4 6 ,8 2 4 . P i e t r o w s k a j a , I. W., 1969b; Astron. Żurn., 4 6 ,1 2 2 0 . P i e t r o w s k a j a, I. W., 1977, Post. Astr., 2 5 ,5 9 . S p i t z e r, L., H a r m, R., 1958, Astrophys. J., 1 2 7 ,5 4 4 .

POSTĘPY ASTRONOMII Tom XXVII (1979). Zeszyt 4

STABILNOŚĆ UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Część I

OBRAZ PERTURBACYJNY

A N T O N I K U S Z E L L

Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu Warszawskiego

YCTOffaHBOCTb flMHAMMtJECKMX CMCTEM

4 a c T L I

nEPTYPEAUHOHHAfl KAPTHHA

A. K y i u e j u i

C o n e p M c a H H e

06cy>KflaeTca 3HaneHHe npoSneM bi ycTOHHHBOcra KBa3Hiiepn0HHHecKHX ch ctcm h 3aTpya-

HeHHH CBH33HMX C 3TOH Iip06jieM0H. IIpeflCTaBJieHO SJieMeHTbJ TeopHH B 0 3 M y m e H H H H CJiefl- CTBHe BeKOBbix qjieHOB. flaH M e ro a ycTpaHeHHH s t h x 3aipyflHeHHH ( M e io a M HoroM acuiTaS- HbIX B 0 3 M y m e H H H ) .

STABILITY OF DYNAMICAL SYSTEMS

Part I

PERTURBATION AL PICTURE

S u m m a r y

The importance of the stability problem of the quasi periodic systems is considered and the difficulties concerning this problem are briefly described. The elements of perturbation theory and the consequence of secular terms are presented. The method to remove the diffi­ culties (multiple time-scale perturbation method) is given.

Problem stabilności układów dynamicznych jest jednym z podstawowych pręblemów w spół­ czesnej mechaniki. Wyłania się on np. przy badaniu układów prawie periodycznych, chara­ kteryzujących się tym, że ruch w przestrzeni fazowej odbywa się w pewnym ograniczonym obszarze - np. dla ruchów ściśle periodycznych obszarem tym jest zamknięta krzywa. Po­ dobnie rozeta Merkurego też jest ograniczona w przestrzeni fazowej. Pytanie o stabilność jest pytaniem, czy istnieje taki ograniczony obszar w przestrzeni fazowej. Drugim krańcowym przy­ padkiem jest ruch ergodyczny, który z definicji nie może być ograniczony, a więc stabilny. Mimo że problem stabilności został przedstawiony bardzo dawno, nie jest on dotychczas rozwiązany. Całkowicie zadowalającą odpowiedź znamy dla układów w pełni całkowalnych. Niestety, większość interesujących nas układów fizycznych nie należy do tej kategorii. Roz­ wiązania tych problemów znamy jedynie w postaci przybliżonej, w postaci szeregu perturba­ cyjnego. Problem stabilności jest więc ściśle związany z problemem istnienia rozwiązania, tzn. ze zbieżnością szeregu perturbacyjnego. Jednak zbieżność szeregu można najlepszym razie wykazać dla skończonych czasów, co nie wystarcza dla odpowiedzi na pytanie o sta­ bilność układu w dowolnie długim czasie.

Podstawową trudność przy dowodach zbieżności powoduje występowanie w szeregu per­ turbacyjnym wyrazów wiekowych oraz tzw. małych dzielników. Trudności związane z wy­ razami wiekowymi pokonać można za pomocą zaproponowanej przez P o i n c a r ć g o me­ tody uśrednień, lub opartej na podobnych ideach tzw. metody perturbacji wieloskalowych. K łopoty związane z występowaniem małych dzielników są dużo trudniejsze do pokonania i dopiero ostatnio dokonano istotnego postępu w badaniach stabilności układów dynamicz­ nych. Wyniki, o których mówimy, związane są z twierdzeniem Kołmogorowa-Arnolda-Mosera (zwanym twierdzeniem KAM) i uzyskane zostały na drodze topologicznej analizy ruchu w prze­ strzeni fazowej.

Równolegle z wynikami analitycznymi rozwój metod numerycznych pozwolił na analizę dynamiki pewnych układów modelowych przez rozwiązanie numeryczne równań ruchu. Obraz otrzymany przez taką analizę jest bardzo ciekawy i pokazuje, że odpowiedź na pytanie o sta­ bilność nie może być prosta. W przestrzeni fazowej, obok obszarów regularnych (obszarów, których rozwiązania zachowują się „przyzwoicie” , tzn. są ograniczone (stabilne)), istnieją ob­ szary nieregularne, takie że trajektorie przez nie przechodzące zdają się być ergodyczne, tzn. pokrywające dostępne obszary przestrzeni fazowej (oczywiście z wykluczeniem obszarów regu­ larnych).

Twierdzenie KAM pozwala ograniczyć miarę obszarów nieregularnych, tzn. ograniczyć ob­ szary niestabilne, tworzące się w pobliżu orbit rezonansowych. Orbitami rezonansowymi na­ zywamy trajektorie w ruchu periodycznym (niezaburzonym), których stosunek okresów jest liczbą wymierną (okresy są współmierne). Twierdzenie KAM pozwala nam zrozumieć, dla­ czego Układ Słoneczny jest stabilny, pomimo że np. stosunek okresów obiegu Jowisza i Sa­ turna jest bliski 2/5.

Niestety, dla pełnego zrozumienia omawianych powyżej wyników konieczny jest zaawan­ sowany aparat matematyczny. Musimy więc zrezygnować z próby w miarę ścisłego przedsta­ wienia problemu, a za to postaramy się zgłębić go intuicyjnie. W tym celu przedyskutujemy pewne proste modele mechaniczne, zawierające jednak podstawowe z omawianych trudności. Modele te postaramy się przedyskutować możliwie wszechstronnie, tak aby móc spojrzeć na problem z różnych punktów widzenia.

Rozpoczniemy od zademonstrowania podstawowych trudności, tzn. członów wiekowych i m ałych dzielników w rachunku zaburzeń. W tym celu przypomnimy pewne aspekty rachunku

Stabilność 271

zaburzeń oraz naszkicujemy jego modyfikację, zwaną metodą perturbacji wieloskalowych. Dla ilustracji tych problemów rozwiążemy perturbacyjnie proste, modelowe równania. Będą one jednak miały pewien związek z prawie periodycznymi układami dynamicznymi, a zawierać będą podstawowe trudności typowe dla tych układów;

Rozważmy równanie różniczkowe postaci:

gdzie: R, w i e są wielkościami rzeczywistymi. Parametr e jest znacznie mniejszy od.jedności, e < 1. Zgodnie z metodą perturbacyjną szukamy rozwiązania w postaci szeregu:

Podstawiając szereg (3) do równania (1) i przyrównując do siebie wyrażenia przy kolejnych potęgach e, dostajemy układ równań:

Rozwiązanie równania (4) z warunkiem (5) możemy zapisać w postaci X Q(t) = RexpQut). Podstawiając to wyrażenie do równania (6) otrzymujemy:

- i u X = e \ X p X at

(o

z warunkiem początkowym: X ( t = 0) = R, (2) (3) n = 0 (4)

czyli równanie rzędu zerowego z warunkiem początkowym:

X 0(t = 0) = R, (5)

(6)

czyli równanie rzędu pierwszego z warunkiem początkowym:

Xy(t = 0) = 0 (V)

itd.

Równanie to ma pewną bardzo charakterystyczną cechę, mianowicie jego prawa strona oscyluje z częstością własną strony lewej. Powoduje to wystąpienie zjawiska rezonansu. Z tego względu rozwiązanie równania (8) z warunkiem początkowym (7) ma postać X , (t ) = = R fexp(/ co t). Tak więc, z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu w parametrze e , naszym rozwiązaniem jest:

X ( t ) = Rexp(i w t) + R 3 e fexp(za>r) = R ( 1 + R 2 e t) exp {i w t). (9)

Ma ono następujące własności charakterystyczne: po pierwsze spełnia podstawowy wa­ runek, aby człon rzędu pierwszego był małą poprawką w stosunku do członu rzędu zerowego jedynie w ograniczonym przedziale czasowym, po drugie, poprawka narasta w skali e t wol­

nej w porównaniu ze skalą oscylacji członu zerowego.

Okazuje się, że cechy te są własnością rozwinięcia perturbacyjnego, a nie modelowego równania różniczkowego. Człony wyższych rzędów, narastające w czasie, noszą nazwę czło­ nów wiekowych (mówiąc precyzyjnie, człony narastające i jednocześnie oscylujące noszą na­ zwę członów mieszanych, jednak dla uproszczenia wszystkie człony narastające będziemy nazywać wiekowymi). Człony wiekowe narastają w skali e t. Jednak w wyższych przybliże­ niach mogą się pojawić człony narastające w innych skalach czasu, mianowicie e2t, e3f itd.

Z powyższych obserwacji powstała koncepcja rozdzielenia skal zmienności odpowiednich funkcji szukanych. Jedną z metod opartych na tym pomyśle jest teoria perturbacji wieloska- lowych. Polega ona na tym, że zamiast jednej zmiennej czasowej t wprowadzamy zespół zmiennych rn , będących funkcjami czasu t i posiadających własności:

j f Tn =

0 0 )

Wtedy pochodna czasowa może być przedstawiona w postaci szeregu:

<>»

n = 0 n

Istotnym elementem metody perturbacji wieloskalowych jest to, że podczas rachunku trak­ tujemy wszystkie czasy in jako niezależne, a dopiero na samym końcu utożsamiamy je z cza­ sem t poprzez zależnościL

Tn = «"*• ( 12)

Dla zilustrowania metody wróćmy do naszego równania (1). Rozwiązania będziemy teraz poszukiwać w postaci szeregu:

JT(») ^ h... v •->•

n-0

Stabilność 273

Podstawiając to rozwinięcie do (1), korzystając z (11) i przyrównując do siebie wyrażenia przy równych potęgach parametru e, otrzymujemy następujący układ równań:

itd. Układ tych równań różni się w sposób istotny od układu (4) i (6). Po pierwsze, zauważ­ my, że w przeciwieństwie do równania (4) równanie (14) nie całkowicie wyznacza funkcję

X Q.

Wyznacza ono jedynie jej zmienność w skali najszybszej tq , pozostawiając zmienności

w innych skalach nieokreślone. Ta dowolność pozwoli nam na nałożenie dodatkowych wa­ runków, powodujących znikanie członów wiekowych.

Rozwiązanie równania (14) możemy zapisać w postaci:

Widzimy znów, że cała prawa strona równania (18) jest w rezonansie ze stroną lewą. Jed­ nak w odróżnieniu od równania (8) możemy teraz skorzystać z faktu, że jak dotąd zależność

A

od czasu Tj jest nie wyznaczona i zażądać, aby współczynnik przy exp(/ o j t q ) znikał:

gdzie

S

i

y

są funkcjami rzeczywistymi, możemy przepisać równanie (19) w postaci:

a

₍₁₄₎

(15)

* 0< V Tl ' = A ( -Tl ' t2 ' - ) e x p ( / W T 0 ) . (16)

Warunek początkowy (5) implikuje warunek początkowy na

A

jako:

4(j-j = 0, r2 = 0, ...) =

R.

Podstawiając powyższe rozwiązanie do równania (15) otrzymujemy:

(17)

(a7 + I w)*i = (~ a7 + Ui2exPO'WT0)-

_{o 1} (18)

(19)

Podstawiając:

A

= 5exp(/ (/>), (20)

które z kolei separuje się na dwa niezależne równania:

(21)

oraz:

(22)

Ich rozwiązaniami, z wykorzystaniem warunku (17), są = 0 orazS = ( R~2 - 2 Tj)- 1 ^2. Identyfikując teraz czas t ł zgodnie z regułą (12) otrzymujemy rozwiązanie w rzędzie zerowym: •

Tak się składa, że funkcja X Q(t) jest ścisłym rozwiązaniem równania (1). Jest to oczywiście przypadek, własność równania, nie zaś metody. Powyższy przykład pokazuje jednak, że te­ oria perturbacji wieloskalowych jest nietrywialnym uogólnieniem rachunku zaburzeń. W isto­ cie rzeczy jest ona równoważna częściowemu sumowaniu szeregu nieskończonego, sumowaniu wyrazów wiekowych.

Dla lepszego zrozumienia omawianej metody, a także dla przedyskutowania rezonansowe­ go oddziaływania układu oscylatorów, przedyskutujemy tutaj jeszcze jedno równanie mode­ lowe. Równanie to (a raczej układ równań) opisywać będzie układ dwóch oscylatorów od­ działujących ze sobą. Dla prostoty założymy jednak, że oscylatory nie są opisywane przez rów­ nania ruchu. W ten sposób tracimy tak ważną cechę układu, jaką jest zasada zachowania energii. Dlatego człony opisujące sprzężenia nie mają już prostej interpretacji sił i nie muszą być gradientami potencjału. Wydaje się jednak, że pomimo powyższych braków omawiany układ może symulować realne rezonansowe oddziaływanie oscylatorów. Problem ten ma olbrzymie znaczenie przy badaniu stabilności orbit układów planetarnych oraz w wielu innych problemach nieba oraz astrofizyki.

W naszym modelu ograniczymy się do uwzględnienia w oddziaływaniu jedynie składni­ ków prowadzących do pojawienia się członów wiekowych w rzędzie najniższym. Uwzględ­ nienie pozostałych członów kwadratowych nie prowadziłoby do modyfikacji rachunku w tym rzędzie, a jedynie skomplikowałoby zapis. Od oddziaływania zażądamy, aby było rzeczywiste. Równania opisujące nasz model zapiszemy jako:

1

Stabilność 275

gdzie: w, a i b są rzeczywitej zaś kreska oznacza sprzężenie zespolone. Przez proste przek­ ształcenie zmiennych zależnych i niezależnych: t -*■ cj t, Y -*■ o; a ~ ^ Y oraz X -*■ co AT/VTflii'i, uk ład równań (24) można przekształcić do postaci;

( £ - i ) X = e ( X Y + X Y )

(25)

(J-- 20 y = * e (X1 + J 2),

gdzie s = sign (aft) = ab/ la&l.

Oczywiście równania (25) należy uzupełnić warunkam i początkowym i, na które przyjmuje­ my:

X ( 0 ) = /?. Y (0 ) = P, (26)

gdzie R i P są rzeczywiste.

Stosując do równań (25) rozwinięcie (13), dostajemy po uporządkowaniu układ równań:

(k - ')*•=

0 ( t f . - 2 iK ■ 0

jako rząd zerowy, a w rzędzie pierwszym:

" S T ' + + V .

(27)

(28)

Rozwiązaniem rzędu zerowego są funkcje:

* 0( ro ’ TV r2’ - ) = A ( t V t2 ’ •••) exP ( ' tq),

Yo(t o’ Tl- t 2- - ) = B ( r l ' r2’ •••) exp (i rQ).

( a

7

o - ' ) * ! = ( - + A B ) exp O' r0) + A B e x p ( - i tq ), ( r r = 2 /) r j = s ( - + ^ 2 ) e x p ( 2 / r o) + A 2 exp ( - 2 / rQ).

\ o ' 1 '

W powyższych równaniach jedynie człony w nawiasach po prawych stronach są w rezo­ nansie z odpowiednimi stronami lewymi. Tak więc warunek znikania członów wiekowych ma postać równań: = * B’ 1 (29) ^ = * 4 2- T1

Z rzeczywistości warunku początkowego możemy wykazać rzeczywistość ^4 i fi w dowol­ nej chwili czasu. Możemy więc w równaniach (29) opuścić znak sprzężenia zespolonego.

Mnożąc pierwsze równanie przez sA, drugie przez B, a następnie odejmując je od siebie, otrzymujemy zasadę zachowania B 2 - sA2 = C = const. W zależności od znaku s jej charakter jest eliptyczny lub hiperboliczny. W pierwszym przypadku zasada zachowania ogranicza od góry wartości amplitud, zaś w drugim takie ograniczenie nie istnieje. Dlatego w dalszym ciągu zatrzymamy się przy ciekawszym przypadku drugim, gdy s = 1. Dla dalszej wygody stałą C zapiszemy w postaci C - p 2a, gdzie a = ± 1. Podstawiając A = p<p oraz B = p\p, otrzymujemy:

9 <P _ i 3—

3 ii/ o

<30>

ip2 = \jj2 - a

Korzystając z ostatniego z tych równań możemy drugie z nich przepisać w postaci:

d ip

^ - o = p d TI ' ( 3 1 )

Przy powyższym zapisie skorzystaliśmy z faktu, że wyższe czasy (tzn. r2, t3, ...) wchodzą do równań (30) jedynie jako parametry, a więc pochodną cząstkową 0 /9 ^ można traktować jak pochodną zwyczajną d/d Tj.

Stabilność 277 Równanie (31) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych i jego rozwiązania można otrzym ać przez proste całkowanie:

T1

/ = P j

d T V ⁽³²⁾

gdzie \pQ oznacza warunek początkow y. Oczywiście otrzymuje się inny wynik całkowania dla o dodatniego, a inny dla ujemnego.

Rozważmy na początek przypadek a = 1. Z trzeciego równania (30) mamy w tedy \j/2 = = 1 + ^) > 1, a co za tym idzie całka po lewej stronie równania (32) wynosi:

* • 1

J

,2 _ j d\p = Arctgh(t//) - Arctgh(v!/o ).

^ o

Tak w ięc rozwiązanie równania (31) ma postać:

1p = Ctgh p ( f j - Tj),

gdzie Tj = p ~ l Arctgh(i//o).

Podobnie w przypadku, gdy a = — 1, rozwiązanie można przedstawić w postaci:

i// = ctg p(°j - Tj), (34)

gdzie fj = p _1 arcctg(i//Q).

W przypadku granicznym, gdy p = 0, rozwiązanie będzie m iało inną postać. Mamy w tedy równość A = B i równania (29) można zastąpić jednym równaniem: dA/ 0 t} = /12 . Posiada ono rozwiązanie w postaci;

A = y - t — , (35)

T1 T1

gdzie Tj = R 1.

Wszystkie te rozwiązania mają jedną wspólną cechę, a mianowicie tracą sens dla czasu Tj = e t = Tj. Taki typ zachowania nosi nazwę niestabilności eksplozyjnej. Oczywiście, zacho­ wanie to nie posiada sensu fizycznego, ponieważ m etoda nasza zakłada, że człony kwadra­ towe są znacznie mniejsze od członów liniowych. W obszarze bliskim eksplozji założenie to w oczywisty sposób jest fałszywe. Niemniej jednak istnienie eksplozji jest sygnałem, że rozwiązanie oscylacyjne ograniczone jest niestabilne. Niestabilność ta została potwierdzona w numerycznych rozwiązaniach pewnych m odelowych równań. Rachunki te pokazują, że orbity rezonansowe rozpadają się i w określonych warunkach ruch może przybierać charakter,

który w pewnym sensie można nazwać ruchem stochastycznym. Pewną ocenę jakościową dla ogólnego uk ład u dynamicznego podaje twierdzenie Kołmogorowa-Arnolda-Mosera.O spra­ wach tych postaram y się powiedzieć trochę szerzej w następnych artykułach. Wydaje się jednak, że dla astronomii znaczenie omawianych problemów jest olbrzymie. Zastosowanie

omawianych wyników do problem u stabilności układ u planetarnego, ruchu asteroidów czy płaskich dysków wydaje się oczywiste. W szczególności w ym agałby bliższej analizy problem powstawania przerw w pierścieniach planetarnych i ich ewentualny związek z ruchami sateli­ tów. Podobnie omawiana niestabilność może być odpowiedzialna za ucieczkę gwiazd z gromad kulistych.

Wydaje się więc, że mechanizm niestabilności orbit rezonansowych może być wyjaśnieniem wielu zjawisk astronomicznych.

L I T E R A T U R A

G i a c a g 1 i a, G. E. O. , 1972, Perturbation M ethods in Non-linear S ystem s, L o ndon, Allen and U nw in. W h i t e m a n , K. J., 1977, R ep. Prog. Phys., 4 0 ,1 0 3 3 .

W dokumencie Postępy Astronomii nr 4/1979 (Stron 50-61)