Postępy Astronomii nr 4/1979

POS TĘPY

A S T R O N O M I I

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

W I E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J

PTA

TOM XXVII — ZESZYT 4

PAŹDZIERNIK — GRUDZIEŃ 1979

W A R S Z A W A - Ł Ó D Ź 1980

I / 1 ‘ . ■ ' . i , vjfi,; .. _ ■ ■ ' ______ _________

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

POSTĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

TOM XXVII — ZESZYT 4

PAŹDZIERNIK-GRUDZIEŃ 1979

W A R S Z A W A - Ł Ó D Ź 1980

R edaktor naczelny: Jerzy Stodólkiewicz, Warszawa

i

Członkowie:

Stanisław Grzędzielski, Warszawa Andrzej Woszczyk, Toruń

Sekretarz Redakcji: Tomasz Kwast, Warszawa

Adres Redakcji: 00-716 Warszawa, ul. B artycka 18 C entrum Astronomiczne im. M. Kopernika (PAN)

W YDAW ANE Z ZASIŁKU PO L SK IE] AKADEM II NAUK

P rin te d in P o lan d

Państwowe Wydawnictwo Naukowe Oddział w Łodzi 1980

W p d a n le 1. N ak ła d 732 + 98 egz. Ark. w yd. 5,75. A rk. d ru k . 4 ,5 0 + u>U. P a p ie r d ru k o w y k i. V II, 70 g , 7 0 x 100. O d d an o d o sk ład u m e w rz e ś n iu 1979

P o d p isa n o do d ru k u w s ie r p n iu 1980 r. D ruk u k o ń cz o n o w s ie rp n iu 1980 r. Z am ó w ien ie 636/79. A-3. C e n a zł 10,—

Zakład Graficzny Wydawnictw Naukowych Łódź, ul. Żuiirki 2

A R T Y K U Ł Y

POSTĘPY ASTRONOMII Tom XXVII (1 9 7 9 ). Zeszyt 4

WYKORZYSTANIE OBSERWACJI MAŁYCH PLANET

DO WYZNACZANIA NIEKTÓRYCH STAŁYCH ASTRONOMICZNYCH

E M I L I A K R Y S Z K I E W I C Z

Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu im. A. Mickiewicza (Poznań)

HCn0JIb30BAHME HABJUOflEHMfi MAJIbIX njIAHET flJIfl OnPEflEJlEHMfl HEKOTOPbIX ACTPOHOMHHECKHX IIOCTOflHHblX

3 . K p b i u i K e B H q C o n e p j K a H H e

B CTaTbe aaH o 6 3 o p m c t o a o b n ojiyneH H H Macc iuiaHeT, o n p e a e jie H H H nojio>KeHHH t o m k h B e- ceHHoro paBHoneHCTBHH h HaKJioHa 3KJIHIITHKH k 3KBaT0py, onpefleneHHe napaJiJiaKca Cojih- ua H3 HaSjiiofleHHH Manbix nnaneT h HeKOTopwe pe3yJibTan>i n o n y ^ e H H b ie H3 sthx M era flO B .

DETERMINATION OF THE ASTRONOMICAL CONSTANTS BASED ON THE OBSERVATIONS OF MINOR PLANETS

S u m m a r y

The article gives the review of the methods of determining the planet masses, vernal equinox position, obliquity of the ecliptic to the equator and solar parallax, based on the observations of asteroids and also some results obtained by these methods.

Równania opisujące ruch ciała w przestrzeni zawierają pewne stałe. Wielkości te nazywamy stałymi astronomicznymi. Są to: masy planet i Księżyca, paralaksa Słońca, jednostka astro­ nomiczna, równikowy promień Ziemi, stała precesji, nutacji, aberracji rocznej, nachylenie ekliptyki do równika oraz inne.

Wielkości te określamy słowem „stałe” , pomimo że w rzeczywistości wiele z nich (np. stała precesji, nutacji, aberracji) zmienia się z czasem.

Dokładna znajomość kąta nachylenia ekliptyki do równika, a także położenia punktu równo- nocy wiosennej (punktu zerowego), pozwala na precyzyjne określanie współrzędnych gwiazd,

Problem poprawiania położenia punktu zerowego i nachylenia ekliptyki do równika można zastąpić poprawianiem współrzędnych gwiazd.

1. POPRAWIANIE WSPÓŁRZĘDNYCH GWIAZD Z OBSERWACJI MAŁYCH PLANET

Problem wyznaczania i poprawiania współrzędnych gwiazd jest istotnym zagadnieniem astrometrii, ponieważ gwiazdy służą jako punkty odniesienia przy wyznaczaniu pozycji i ruchu wszystkich ciał niebieskich. Rozwój techniki obserwacyjnej dającej nowe możliwości wykonania dokładniejszych pomiarów, zmiany parametrów układów odniesienia oraz ruchy własne gwiazd powodują, że ciągłe poprawianie katalogów pozycyjnych jest stale aktualnym zadaniem.

Do poprawiania położenia równika i punktu równonocy wiosennej, a zatem i poprawiania współrzędnych gwiazd, wykorzystuje się obserwacje Słońca, Księżyca, planet i m ałych planet. Dokładność wyznaczenia poprawek zależy od dobrej znajomości teorii ruchu obiektu, dokładności obserwacji i rozłożenia ich w przestrzeni, od rozmiarów widzianego ^obiektu i prędkości jego ruchu, od liczby obserwacji itd. Małe planety są do tego celu lepsze aniżeli inne obiekty, ze względu na to, że są widziane jako punkty, a nie w postaci tarcz i spełniają poprzednio wymienione warunki.

Rys. 1. Wyznaczanie poprawki

A położen ia punktu rów nono­ cy wiosennej i równika z ob­ serwacji m ałych planet (wg P o d o b e d i N e s t e r o v a

1975)

p

Oznaczmy przez

7

6

Wykorzystanie obserwacji małych planet

225

a = a h ~ A a o = <*e + A a e

5 = S h - A 5 0 = 5 g + A 6fi.

Stąd:

* ah - a g = A aQ + Aa, = AaQ + (Aag)e + (Aae)p

h ~ 8 e = A 5 o + A 8 e = A 6 o + ( AS,)® + ( A5 e)p>

gdzie AaQ i A5Q są poprawkami w rektascensji i deklinacji położenia punktu równonocy wiosennej. Ostatnie człony w nawiasach to b łęd y efemeryd, powstające wskutek błędów elementów orbity Ziemi i planetki.

Wpływ błędów elementów orbity planetki może być przedstawiony zgodnie z teorią błędów : da da da da da da ( A a ) = — AO + — A/ + — Aa + — A e + — Aw + — AM e P dii di da de 3co dMQ ° dS 35 35 35 35 35 (A5 ) = — A£2 + — A/ + -r~ A a + r - Ae + -r— Aw + — AM , v e p d£l d i da de 3o> 3Mq °

gdzie każdy człon przedstawia wpływ błędu jednego z elementów orbity planetki. Wpływ błędów elementów orbity Ziemi możemy przedstawić:

3a 3a , 3a , 3a 3a . ^ ) ® = a F A^ + S7 Afl +l ? Ae + 3^ Ało + 3m 0, a m °

35 r 35 , 35 , 35 , 3 5

<ASe> . - i i * T e ' A e + i i ' a “ ł M ? 0 4MV

gdzie każdy człon przedstawia wpływ b łęd u jednego z elementów orbity Ziemi (orbita Ziemi jest określona pięcioma elementami c,a ', e , <*/, M'0).

Oznaczając elementy orbity planetki i Ziemi kolejno przez E . i E., możemy napisać równania do określania stałych katalogowych:

“ A " «e = Aa0 + S l i . A E i + S ą A E i V

i

A . ; t t H . « , ♦ t i . A Ef

gdzie A E . oraz A E- poprawki do elementów orbitalnych planetki i Ziemi, lub: 4 \ d o /'= 1 " « * = 1 a , 9 a * w~t , ' c — ^ 9 “ . r-r , 3 q . _

«»-«« =

+

X,

55,

+

Z/

aś

+ aj-

a

£

i: H.aą* i;

gdzie: Ek oznacza elementy orbity Słońca (orbita Słońca jest określona przez cztery elementy: a", e", (a)", Af”), AEk są poprawkami do elementów orbitalnych Słońca oraz A e — popraw­ ką nachylenia ekliptyki do równika.

Mając poprawki A«o i A5q położenia punktu równonocy wiosennej możemy natychmiast wyznaczyć poprawki współrzędnych gwiazd w rektascensji AA i w deklinacji AB, gdyż:

A a Q = - A A

A 5 0 = - A B .

Pierwsze prace związane z poprawianiem współrzędnych gwiazd na bazie obserwacji ma­ łych planet zaczęły powstawać w pierwszej połowie XX w. Teoretyczne podstawy do rozwiązania tego problemu zostały przedstawione przez B. V. N u m e r o v a w latach 1933 i 1936, D. ’B r o u w e r a w latach 1935 i 1941 oraz przez G. C l e m e n c e ’a w 1948 r.

Niżej przytoczone wyniki poprawiania pozycji punktu równonocy wiosennej zebrała w swojej pracy V. I. O r e l s k a y a (1974).

T V ---- ---*

--«<

\ ' ' - o0S016

R 6 » m k _

*0*040 ^ Rys. 2. P ołożen ie punktu rów nonocy wiosennej

*0fÓ50~ przyjęte w katalogach (wg. O r e l s k a y a 1974) Wykorzystując obserwacje Słońca ze 119 lat, N e w c o m b wyznaczył poprawkę pozycji punktu równonocy (przyjętej w Bessela Tabulae Regiomontanae) równą —0*016 (rys. 2), Pozycja punktu równonocyTjy otrzymana przez N e w c o m b a została sprawdzona na podstawie 82 000 obserwacji Słońca i małych planet.

M o r g a n i K a h r s t e d t wyznaczyli poprawki AaQ z obserwacji Słońca, Księżyca i małych planet do pozycji równe +0*040 i + 0*050 (rys. 2). Pierwsza z nich została wykorzystana do katalogu GC, natomiast druga do katalogu FK3.

Wykorzystanie obserwacji małych planet 227

F r i c k e i K o p f f otrzymali poprawki Aa0 do położenia punktu równonocy równe od +0*028 do +0*073. Ze względu na dużą rozbieżność wyników nie poprawiono położenia T ^ 3 i do katalogu FK4 przyjęto tę samą pozycję punktu równonocy co w katalogu FK3 (rys. 2).

N u m e r o v (1935) opracował plan obserwacji m ałych planet do wyznaczania systema­ tycznych błędów gwiazd katalogu, położonych w pasie strefy równikowej. Zgodnie z planem Numerova, Instytut Astronomii Teoretycznej w Leningradzie zaplanował wyznaczenie popraw­ ki do położenia punktu T ^ 4 (rys. 2) z obserwacji planetoid. Do roku 1974 program obej­ mował 10 wybranych planetoid: (1) Ceres, (2) Pallas, (3) Juno, (4) Vesta, (6) Hebe, (7) Iris, (11) Parthenope, (18) Melpomene, (39) Laetitia, (40) Harmonia. Wyznaczenie systematycz­ nych błędów położeń gwiazd w wąskim pasie strefy równikowej z obserwacji wyżej wy­ mienionych planetoid napotkało trudności z powodu nierównomiernego rozłożenia położeń m ałych planet w danej strefie ( O r e l s k a y a 1975). W związku z tym od roku 1974 program został poszerzony o następujące m ałe planety: (25) Phocaea, (148) Gallia, (389) Industria, (480) Hansa, (532) Herculina, (568) Cheruskia, (582) Olympia, (594) Mireille, (704) Interamnia, (1301) Yvonne. W poszerzonym programie ITA poprawiania położenia punktu równonocy wiosennej mają być uwzględnione obserwacje 20 małych planet z okresu 1974-1990.

Natomiast B r o u w e r (1935, 1941) z Uniwersytetu w Yale zainicjował program ame­ rykański poprawiania współrzędnych gwiazd na bazie obserwacji planetoid, spełniają­ cych następujące warunki: w pobliżu opozycji ich wielkości fotograficzne są mniejsze od 1 l m, w czasie opozycji w latach 1935—1948 deklinacje ich leżą w pasie zodiakalnym oraz obserwacje z tego okresu pokrywają równomiernie pas strefy zodiakalnej. Wybrano piętnaście następujących planetoid: (1) Ceres, (2) Pallas, (3) Juno, (4) Vesta, (6) Hebe, (7) Iris, (12) Victoria, (25) Phocaea, (27) Euterpe, (57) Mnemosyne, (185) Eunikę, (216) Kleopatra, (287) Nephthys, (409) Aspasia, (532) Herculina.

P i e r c e • (1971), amerykański astronom, zgodnie z programem Brouwera wyznaczył poprawki współrzędnych gwiazd zlokalizowanych w pasie strefy zodiakalnej dla katalogów Yale i GC, na bazie 6812 obserwacji fotograficznych 15 wybranych planetoid, wykonanych w czterech obserwatoriach w okresie 1935—1948. Równocześnie wyznaczył elementy orbi­ talne małych planet z tych obserwacji.

T a b e l a 1

Popraw ki do p o ło żen ia p u n k tu rów nonocy wiosennej i nachylenia rów nika do ek liptyki uzyskane przez A d a m s a i J a c k s o n a z p o łu d n ik o w y ch obserw acji czterech najjaśniejszych m a ły c h planet

w Waszyngtonie w okresie 1949—1956

Planetoida Poprawka do położenia

punktu równonocy wiosennej równika

Adams Jackson Adams Jackson

(1) Ceres -0 ," 3 3 ± 0','36 +0','31 ± 0'/36 +0','02 ± 0','04 -0','09 ± 0','04

(2) Pallas +0,86 ± 0,49 —0,38 t 0,53 +0,12 ± 0,11 -0 ,1 1 ± 0,11

(3) Juno +0,67 ± 0,93 -0 ,0 3 ± 1,01 +0,07 ± 0,11 -0 ,2 0 ± 0,12

Poprawki do położenia punktu równonocy wiosennej i nachylenia równika do ekliptyki uzyskane przez Y a s u d ę (Y a s u d a 1966)

Poprawki do położenia

punktu równonocy wiosennej równika

Planetoida _{Tokio Waszyngton Kapsztad Tokio Waszyngton Kapsztad}

195 0 -1 9 6 2 195 6 -1 9 6 2 1952-1959 1950-1962 1956-1962 1 9 52-1959

(1) Ceres +0','85 ± 0"21 +0','52 ± 0;'24 - 0 ; ' 14 ± o:'2i +0',’25 ± 0"04 - 0 " 12 ± 0','04 +0','15 ± 0','07

(2) Pallas -0 ,6 7 ± 0,39 - 1 ,4 1 ± 0,57 -2 ,9 5 ± 0,82 -0 ,0 4 ± 0,12 +0,05 ± 0,06 -0 ,1 7 ± 0,16

(3) Juno +0,82 ± 0,46 +0,24 ± 0,41 +0,02 ± 0,58 +0,12 ± 0,11 +0,26 ± 0,19 -0 ,0 8 ± 0,10

Wykorzystanie obserwacji małych planet 2 2 9

Astronomowie amerykańscy A d a m s i J a c k s o n (1967, 1968), wyznaczyli popraw­ ki położenia punktu równonocy wiosennej i równika w układzie FK3, wykorzystując obser­ wacje południkowe czterech najjaśniejszych planetoid wykonanych w Waszyngtonie w okre­ sie 1949—1955. Uzyskane przez nich wyniki zostały zebrane w tab. 1. «. J a c k s o n analizując te obserwacje zauważył, że obiekty te dają znaczące poprawki do położenia punktu równonocy i równika, jeżeli obserwacje są równomiernie rozłożone.

Y a s u d a (1966) wyznaczył poprawki do położenia punktu równonocy i równika dla katalogu FK3 z południkowych obserwacji dużych planet Marsa i Jowisza wykonanych w Tokio i czterech najjaśniejszych małych planet obserwowanych w Tokio, Waszyngtonie i Kapsztadzie w okresie 1949—1962. Średnia poprawka AaQ = +0f013, natomiast A5Q = = + 0 " l2 . Uzyskane przez Y a s u d ę wyniki z południkowych obserwacji m ałych planet zawarte są w tab. 2. Analizując wyniki zauważył on, że poprawki do położenia punktu równonocy różnią się dość mocno oraz mają dosyć duży błąd względny, natomiast wyniki są bardziej zadowalające przy wyznaczaniu poprawki do położenia równika.

D u m a i K i z u n (1976) przedstawili rezultaty wyznaczania punktów zerowych do katalogu FK4 z waszyngtońskich obserwacji południkowych czterech najjaśniejszych małych planet z okresu 1949—1971.

Obserwacje planetoid z okresu 1949—1962 dane b yły w systemie katalogów W350 iW450, a z okresu 1963-1971 w systemie katalogu FK4. Aby materiał obserwacyjny b y ł jednolity, sprowadzono wszystkie różnice Aa i A5, potrzebne do rozwiązania zadania, do tego samego katalogu FK4. Tabela 3 podaje otrzymane wartości do poprawienia punktu zerowego z z waszyngtońskich obserwacji południkowych małych planet: (1) Ceres, (2) Pallas, (3) Ju­ no, (4) Vesta. Z tabeli widać, że zarówno poprawki w rektascensji, jak i w deklinacji w pobli­ żu pasa równikowego dla katalogu FK4 są dodatnie. Średnia wartość AaQ = 0J032, natomiast A5q = +0''08.

T a b e l a 3

Poprawki do p ołożen ia punktu równonocy wiosennej i nachylenia równika do ekliptyki z waszyngtońskich obserwacji południkow ych czterech najjaśniejszych m ałych planet uzyskane przez D u m a i K i z u n a

Hanetoida

Poprawka do p ołożen ia

punktu rów nonocy wiosennej równika

(1) Ceres 0*038 ± o f o io 0','01 ± 0 ’,'01

(2) Pallas 0 ,028 ± 0,017 0,19 ± 0,02

(3) Juno 0 ,060 ± 0,015 0,12 ± 0,02

(4) Vesta 0 ,023 ± 0,007 0,09 ± 0,01

2. WYKORZYSTANIE OBSERWACJI MAŁYCH PLANET DO WYZNACZANIA PARALAKSY SŁOŃCA

Paralaksą horyzontalną Słońca nazywamy kąt, pod którym byłoby widać promień równi­ kowy Ziemi ze środka Słońca. Paralaksę Słońca można wyznaczyć dwiema metodami: trygonometryczną i dynamiczną.

Metoda trygonometryczna sprowadza się do triangulacji. Gdybyśmy obserwowali poło­ żenie Słońca z dwóch punktów na powierzchni Ziemi, których odległość jest znana, otrzy­ malibyśmy tzw. przesunięcie paralaktyczne. Znając przesunięcie paralaktyczne możemy otrzy­ mać paralaksę Słońca, jak również odległość Ziemi od Słońca. Przeprowadzenie takiej obser­ wacji jest uciążliwe zasadniczo z dwóch powodów: dużej jasności Słońca oraz małej wielkości jego paralaksy, dlatego praktycznie stosuje się najpierw wyznaczenie paralaksy innego ciała niebieskiego, znajdującego się bliżej Ziemi i obserwowanego w lepszych warunkach. Jeżeli paralaksę wybranego obiektu wyznaczymy z obserwacji wykonanych w momencie, gdy obiekt znajduje się w opozycji, wówczas paralaksę Słońca możemy wyznaczyć z następującej zależności (rys. 3):

R = a sin 7r0 = (a1 - a) sin n,

gdzie: 7rQ jest paralaksą Słońca, 7r paralaksą obserwowanego obiektu, R promieniem Ziemi, a odległością środka Słońca od środka Ziemi, aj odległością obserwowanego obiektu od środka Słońca.

Ponieważ kąty n0 i 7r są m ałe, możemy napisać: 1 a n o = (fll - ,7T>

skąd:

al

Stosunek wartości - — wyliczamy z trzeciego prawa Keplera.

Paralaksę Słońca możemy również wyznaczyć, obserwując obiekt z dwóch punktów na powierzchni Ziemi, położonych na tej samej długości i na różnych półkulach (północnej i południowej) ze wzoru:

Wykorzystanie obserwacji małych planet 231

<

ks

2- s0

ff® sin (ipj - S ^ - s i n O ^ - 62) ’

gdzie: i S2 są zmierzonymi deklinacjami obiektu w momencie kulminacji górnej, którą dla ułatwienia przyjmuje się jednoczesną dla obydwu obserwatoriów mających szerokości odpo- ♦ wiednio ^ i ^2> natomiast d jest odległością obiektu od środka Ziemi.

Przeprowadzając obserwacje z jednego punktu na powierzchni Ziemi w różnych momen­ tach czasu (np. blisko momentu wschodu i zachodu obiektu), możemy wyznaczyć paralaksę Słońca ze wzoru:

d cos 5 (a2 - ) 0 c o s^ (sin ? 2 ~ s i nf j ) ’

gdzie: a j i a 2 ^ zmierzonymi rektascensjami obiektu, i ?2 kątami godzinnymi, y? szerokością miejsca obserwacji, 6 deklinacją obiektu ( I z v e k o v 1973).

W metodzie dynamicznej do wyznaczenia paralaksy Słońca wykorzystuje się związek:

t ■ 1 / m ~ l + 1 = C = 607”0392,

gdzie m jest masą układu Ziemia-Księżyc. Ponieważ potrzebną wartość masy znajduje się z zaburzeń ruchu obserwowanego obiektu, wywołanych przez układ Ziemia-Księżyc, metodę nazywamy dynamiczną ( I z v e k o v 1973).

Znając paralaksę Słońca możemy obliczyć stałą aberracji k ze wzoru:

k • 7t0 = C = 180,2413,

natomiast znając stałą aberracji rocznej możemy wyznaczyć jednostkę astronomiczną (średnią odległość Ziemi od Słońca).

Pierwszy raz paralaksę Słońca z obserwacji planetoidy (8) Flora wyznaczył niemiecki astro­ nom Galie, otrzymując wynik 8''873 ± 0','0586. Dużą rolę odegrało odkrycie planetoidy (433) Eros w 1898 r., która może zbliżyć się do Ziemi na mniejszą odległość aniżeli inne plane­ toidy (na odległość 0,15 j.a., przy czym średnia odległość Erosa od Słońca wynosi 1,46 j.a.). Ze względu na tak duże zbliżanie się tej planetoidy do Ziemi była najczęściej wykorzystywana do wyznaczania paralaksy Słońca.

T a b e l a 4

Zebrane wyniki wyznaczeń paralaksy Słońca z obserwacji m ałych planet (wg I z v e k o v 1973)

Paralaksa Słońca i średni błąd Autor Rok

publikacji

Planetoida i okres obserwacji

8','873 ± 0','0586 Galie 1875 (8) Flora 1873

8,77 + 0,061 Lindsay, Gili 1877 (3) Juno 1874

8,802 ± 0,007 Gili 1897 (7) Iris, (12) Victoria, (80)

Sappho 188 8 -1 8 8 9 8,794 ± 0,009 Witt 1905 (433) Eros 1 8 93-1903 8,796 ± 0,001 ” 1908 1893-1907 8,807 ± 0,0027 Hinks 1909 1900-1901 8,806 ± 0,004 ” 1910 1900-1901 8,7989 ± 0,0009 N oteboom 1921 189 3 -1 9 1 4 8,7987 ± 0,0009 ’ Witt 1933 1893-1931 8,790 ± 0,0015 Jones Sp. 1941 1930-1931 8,79421± 0,00029 Schubart, Zech 1967 1926-1945 8,7966 ± 0,0012 Rabe 1967 1926-1945 8,79417 ± 0,00018 Rabe, Francis 1967 1926-1965 8,79402 ± 0,00012 Lieske 1968 1 8 93-1966 8,79393 - Schubart 1969 (1221) Amur 1 9 3 2 -1 9 6 4

8,794174 - Ash, Shapiro, Smith 1967 Merkury, Wenus, Słońce,

1950 -1 9 6 6

3. WYZNACZANIE MASY JOWISZA I SATURNA Z OBSERWACJI MAŁYCH PLANET

Masę planet wyznacza się zasadniczo trzema sposobami: z analizy ruchu jej satelity w y­ korzystując uogólnione trzecie prawo Keplera, z perturbacji ruchu ciał (planetoid, komet) mocno zbliżających się do planety (pojedyncze zbliżenia) oraz z analizy okresowych perturba­ cji w ruchu ciał, takich jak: planety, planetoidy, komety, wywołanych przez tę planetę.

Amerykański astronom H i 11 w roku 1873 zwrócił uwagę, że planetoidy leżące w zew­ nętrznym pasie grupy Hecuba, których średni ruch jest prawie równy podwójnemu średnie­ mu ruchowi Jowisza, mogą służyć do dokładnego wyznaczania masy Jowisza. Są to nas­ tępujące planetoidy: (10) Hygiea, (24) Themis, (31) Euphrosyne, (48) Doris, (49) Pales, (52) Europa, (57) Mnemosyne, (62) Erato, (65) Cybele , (76) Freia, (86) Semele, (87) Sylvia, (90) Antiope. H i l l przedstawił perturbacje, zgodnie z ogólną teorią ruchu zaburzeniowego, w postaci:

A l = m ' y ~ 2 K sin (Z, - 2 L' + 0),

gdzie: L, L' są średnimi geocentrycznymi długościami małej planety i Jowisza, m - masą, Jowisza, y — wielkością zależną od średnich ruchów dobowych małej planety (n) i Jowisza ( n ) , którą można przedstawić wzorem: 7 = n ~ 1(2n' - rt).

Wykorzystanie obserwacji małych planet 233

związku średnich ruchów dobowych małej planety i Jowisza, zdefiniowane są równaniami:

Ksin P = H e sin n - I e sin 7r',

Kcos |3 = H ecos n — I e' cos n'.

Wielkości H oraz / zależą od stosunku półosi wielkich orbit małej planety (a) i Jowisza (a), ) który można odczytać w sporządzonej przez H i 11 a tabeli.

Metoda ta nie jest dokładna ze względu na to, że w rezonansie zachodzi duże zwiększenie amplitudy. Jednak wyliczoną w ten sposób wartość wykorzystuje się do oceny przydatności danych planetoid do wyznaczenia masy planety ( I z v e k o v 1973).

Często do wyznaczenia masy stosuje się metodę 0 ’Handleya. Najpierw trzeba przepro­ wadzić całkowanie numeryczne, aby poprawić elementy badanego obiektu. Następnie wy­ konuje się kilka całkowań z poprawionymi elementami obiektu i zmiennymi wielkościami masy planety. Dla każdej wielkości masy sporządza się sumę kwadratów odchyłek O—C. Otrzymane wartości sum kwadratów przedstawiają się jako parabola, której wierzchołek, czyli

m

najmniejsza suma kwadratów odchyłek (O—C)j = min (w - ilość obserwacji), stanowi /= 1

szukaną wartość masy planety.

N e w t o n zauważył, że w układzie inercyjnym ruch badanego ciała z masą m j w uk ła­ dzie n ciał z masami nij (j = 1, ..., n) jest dany przez następujące wyrażenie zwane równaniem

** ruchu Newtona:

-* n

m i ri = - k 1mi £

gdzie: r - jest wektorem współrzędnych, f wektorem przyśpieszenia, k 2 stałą grawitacji. Z równania ruchu Newtona wynika, że ruch badanego ciała zależy od mas pozostałych n - l c i a ł . Jeżeli analizujemy ruch planetoidy, n jest równe liczbie planet plus Słońce. Wartości wektorów Ir^t) (j = 1... ń) są znane, ponadto zakładamy, że masy wszystkich planet, z wyjątkiem szukanej, są znane. Szukaną masę planety mp oraz wektory r(ro), Ą t Q) wyznacza­ my numerycznie, całkując równanie ruchu Newtona przy założeniu początkowych wartości ~ °('o )> '°('o )> mp- Wyliczona w ten sposób orbita jest orbitą odniesienia. Otrzymane

dla różnych momentów czasu tk pozycje małej planety w odniesieniu do Słońca zamienia się na współrzędne geocentryczne a i 5. Wyliczone pozycje C\tk ) należy porównać z obser­ wowanymi O(tk), aby otrzymać lepsze wartości początkowe

71(ro),

gdzie: X;. (/' = 1 , ...7) są nieznanymi poprawkami do elementów orbitalnych oraz szukaną poprawką do masy planety, (F f); różnicami pomiędzy orbitą małej planety, otrzymaną przez całkowanie równania ruchu Newtona, w którym i-ta wartość początkowa e(. została zastąpiona przez e. + A e ( - a orbitą odniesienia w czasie tk , £ { błędem obserwacji Of ( S c h o l l

1971, 1973,.1974). * k ,

Powyższy układ równań dla m obserwacji jest liniowy i przy założeniu rozkładu normal­ nego £ { układ równań może być rozwiązany metodą najmniejszych kwadratów. Proces li­ czenia powtarza się tak długo, aż odchyłka O—C będzie najmniejsza. Szukaną poprawką do masy jest wartość

Do wyznaczenia masy planet z obserwacji planetoid, poprzez poprawianie orbity metodą najmniejszych kwadratów, mogą być wykorzystane planetoidy, które spełniają następujące cztery warunki: wystarczająca ilość dokładnych obserwacji, dostatecznie duża rozpiętość obser­ wacji, silne perturbacje w średniej długości oraz m ałe współczynniki korelacji ( S c h o l l 1974).

Pierwsze rezultaty wyznaczenia masy Jowisza na bazie obserwacji m ałych planet b yły bar­ dzo niedokładne. Średni błąd kwadratowy wynosił w najlepszym wypadku = ±0,284 (w jednostkach masy Słońca). Dopiero N e w c o m b w 1895 r. z obserwacji (33) Poly-hymnii w okresie 1854—1888 wyznaczył masę Jowisza w -1 = 1074,34 z bardzo małym błędem £(m •) = ±0,06. Wartość ta stała się ogólnie przyjętą, a obliczenia ostatnich lat potwierdzają ją.

L e v e a u wyznaczył masę Jowisza z obserwacji Vesty dwa razy, uzyskując duże roz­ bieżności w wynikach i potwierdził tym samym fakt, że Vesta nie nadaje się do wyznaczania

masy Jowisza.

W latach 60. i 70. często wykorzystywanymi do wyznaczania masy Jowisza b y ły planetoidy z grupy Hecuba, które są w rezonansie 2:1 z Jowiszem.

S c h o l l (1971) wyliczył masę Jowisza na bazie obserwacji trzech małych planet z grupy Hilda, będących w rezonansie 3:2 z Jowiszem.

W 1974 r. K l e p c z y ń s k i zebrał najnowsze wyniki masy Jowisza, wyznaczone z anali­ zy ruchu m ałych planet, które są w rezonansie z Jowiszem 2:1 (grupa Hecuba), 3:2 (grupa Hilda) i 5:2. Po przeprowadzeniu wagowania tych wyników otrzymał wartość masy Jowisza

= 1047,364 ± 0,005.

W tab. 5 zebrane zostały wartości masy Jowisza uzyskane z analizy obserwacji jego satelitów, planetoid i komet. Analizując tę tabelę można zauważyć, że wyniki uzyskane z obserwa­ cji planetoid, jak również satelitów Jowisza, dają bardzo zbliżone wyniki z małymi błędam i. Natomiast wartości mas Jowisza uzyskane z obserwacji ruchu komet są bardziej zróżnicowane. Najczęściej jest to związane z niedostateczną znajomością ruchu komet, niewystarczającą ilością i dokładnością obserwacji, spowodowanymi wieloma problemami obserwacyjnymi przy wyznaczaniu pozycji komet.

W tab. 6 zebrano wyniki wyznaczeń masy Saturna uzyskane z analizy ruchu jego satelitów, planetoid, planet i komet. Dotychczas ogólnie przyjętą wartością masy Saturna była wielkość wyznaczona przez B e s s e 1 a z obserwacji satelity Saturna, Titana. Jednak ostatnie wyniki wskazują, że jest ona zawyżona w stosunku do wartości rzeczywistej.

Z dużą dokładnością uzyskano wartości masy Saturna z analizy ruchu Jowisza oraz innych planet. Zaskakująca jest duża dokładność uzyskana z obserwacji komety

P/Schwassmanna-Wykorzystanie obserwacji małych planet 235

T a b e l a 5

Zebrane wyniki wyznaczeń masy Jowisza Odwrotność wartości masy

i średni błąd (w jedn. masy Słońca)

Autor Rok

publikacji Obiekt i okres obserwacji

1051,12 ± 0,81 Hansen 1867 (13) Egieria 1 8 5 0 -1 8 6 5

1047,37 ± 1,31 Becker 1870 (29) Amphitrite 1 8 2 5 -1 8 6 8

1047,788 ± 0,408 Mo'ller 1872 kometa Fayego 1 8 4 3 -1 8 6 6

1047,538 ± 0,284 Krueger 1873 (24) Themis 1 8 5 3 -1 8 7 0

1045,25 ± 0,46 Dubiago 1880 (78) Diana 1 8 6 3 -1 8 7 8

1050, 478 . Haerdtl 1889 kometa Enckego 1 8 1 9 -1 8 6 8

1047,175 ± 0,021 1889 kom eta Ponsa-Winneckego

1 8 5 8 -1 8 8 6 1047,34 ± 0,06 Newcomb 1895 (33) Polyhymnia 1 8 5 4 -1 8 8 8 1045,63 Leveau 1896 (4) Vesta 1 8 0 7 -1 8 8 8 1047,378 ± 0,121 Hill 1898 Saturn 1 7 5 1 -1 8 8 8 1046,04 Leveau 1910 (4) Vesta 1 8 0 7 -1 9 0 4 1047,558 ± 0 ,400 Samter 1910 (13) Egieria 1 8 5 0 - 1 9 0 6 1047,57 ± 0,06 Osten 1928 (447) Valentina 1 8 9 9 -1 9 2 7 1047,417 ± 0,871 Michalski 1933 (6 5 9 ) Nestor 1 9 0 8 -1 9 3 1

1047,41 ± 0,40 Kulikov 1950 VIII sat. Jowisza 1930—1946

1050,99 ± 0,98 Rasmusen 1967 kom eta Halleya 1 7 5 9 -1 9 1 1

1050,93 ± 0,33 ” 1967 kometa Olbersa 1 8 1 5 -1 9 5 6

1047,381 ± 0,020 Klepczyński 1967 (5 2 ) Europa 1 9 5 0 -1 9 6 5 " 1047,387 ± 0,004 O’Handley 1968 (65) Cybele 1 8 6 1 -1 9 6 5

1047,375 ± 0,050 Herget 1968 VIII sat. Jowisza 1 9 0 8 -1 9 6 5

1047,367 ± 0,004 Fiala 1968 (57) M nemosyne 1 8 5 9 -1 9 6 8

10 47,386 ± 0,041 Bee 1969 IX sat. Jowftza 1913—1964

1047,351 ± 0 ,006 Klepczyński 1969 (10) Hygiea 1 8 4 9 -1 9 6 6 5 10 47,359 ± 0 ,010 łł ” (24) Themis 1 8 5 3 -1 9 6 4 ' 1 0 47,372 ± 0 ,006 ** łł (31) Euphrosyne 1 8 5 4 -1 9 6 4 . 1047,337 ± 0,027 łł łł (52) Europa 1 8 5 8 —1964 10 4 7 ,3 4 0 ± 0,016 Zielenbach 1969 (48) Doris 1 8 5 7 -1 9 6 7 10 4 7 ,3 5 6 ± 0,004 Fiala 1969 (57) Mnemosyne 1 8 5 9 -1 9 6 5 1047,341 ± 0,011 Janiczek 1971 (33) Polyhymnia 1 8 5 4 -1 9 6 9 1047,366 ± 0,007 Klepczyński, Janiczek, Fiala 1971 (76) Freia 1 8 6 4 -1 9 7 1 1047,327 ± 0 ,023 ' Chernykh 1971 (1 0 ) Hygiea 1 9 3 2 -1 9 6 9 10 4 7 ,3 4 0 ± 0,013 Doggett 1971 (49) Pales 1 8 5 7 -1 9 6 9 1047,378 ± 0,019 Scholl 1971 (1 5 3 ) Hilda 1 8 7 5 -1 9 6 8 1047,347 ± 0,023 łł łł ' (2 7 9 ) Thule 1 8 8 8 -1 9 6 8 1047,325 ± 0,010 łł łł (334) Chicago 1 8 9 2 -1 9 6 8 1047,345 ± 0,040 Chernykh 1972 (10) Hygiea 1 9 3 2 -1 9 6 7 1 047,326 ± 0,033 łł łł (10) ” 1 9 3 2 -1 9 6 7 1 047,324 ± 0,023 łł łł (10) ” 1 9 3 2 -1 9 6 9 1047,352 ± 0,002 Garcia de Polarieja, Edelman 1972 IX sat. Jowisza 1 9 1 4 -1 9 6 3 1 047,364 ± 0,005 Klepczyński 1974 grupa Hecuba, Hilda i 5:2.

T a h e 1 a 6

Zebrane wyniki wyznaczeń masy Saturna Odwrotność wartości masy

i średni b łąd (w jedn. masy Słońca)

Autor Rok

publikacji Obiekt i okres obserwacji

3501,6 ± 1,2 Bessel 1833 sat. Saturna, Titan

3 502,2 ± 0,8 Hill 1895 Jowisz 1 7 5 0 -1 8 8 8 3499,9 ± 1,2 Gaillot 1913 1 7 5 0 -1 9 0 7 3 5 34,133 ± 20,3 Michalski 1933 (6 5 9 ) Nestor 1 9 0 8 -1 9 3 1 3497,64 ± 0,27 Hertz 1953 Jowisz 1 8 8 4 -1 9 4 8 3497,6 ± 0,4 łł 1953 ” 1 8 8 4 -1 9 4 8

3494,8 ± 1,1 Jeffreys . 1954 satelity Saturna

3499,7 ± 0,4 Clemence 1960 Jowisz 1 7 8 0 -1 9 4 0

3498,7 ± 0,2 Klepczyriski, Seidel- mann, Duncombe

1970 1 9 1 3 -1 9 6 8

3497,6 + 0,2 Carr i Herget 1970 kometa P/Schwassmanna

-Wachmanna 1 1 9 2 7 -1 9 6 5

3497,6 ± 0,3 Herget 1970 >»

3497,64 ± 0,16 Carr 1971 łł

3498,5 ± 0,2 Shapiro 1970 wszystkie planety

1 7 5 0 -1 9 7 0

3499,7 ± 0,2 Lieske 1971 wszystkie planety

3501,47 ± 1,75 Garcia 1972 cztery sat. Saturna

1 9 2 6 -1 9 4 7 3498,5 ± 0,5 Marsden 1972 (944) Hidalgo 1 9 2 0 -1 9 6 4 3500,5 ± 1,7 Scholl 1973 (5 8 8 ) Achilles 3498,6 ± 3,0 ł» ” (6 2 4 ) Hektor 3499,2 ± 2,9 (6 5 9 ) Nestor

-Wachinanna 1. Natom iast wyniki obserwacji planetoid nie są zadowalające. Jedynie dość do­ bry wynik d a ły obserwacje planetoidy (944) Hidalgo wykonane w okresie 19 2 0 -1 9 6 4 . Pla- netoida ta zbliża się do Saturna na odległość 3,9 j.a. Takie zbliżenie nastąpiło w 1924 r.

Poza planetoidą Hidalgo największe półosie wielkie mają planetoidy z grupy Trojańczyków. Planetoidy te znajdują się w dwóch punktach Langrange’a L4 i L5. Są w rezonansie 1:1 z Jo ­ wiszem i mając średnio tę samą co on p ó ło ś wielką zbliżają się do Saturna na tę samą od­ ległość.

W 1933 r. M i c h a l s k i w ykorzystał planetoidę z grupy Trojańczyków, (659) Nestora, uzyskując w artość z ogromnym b łę d e m , który w ynikł ze względu na zbyt krótki okres obserwacji (1908—1931). Trojańczyki wybrane do wyznaczania masy Saturna muszą być obserwowane przez okres co najmniej 60 lat, aby w ykorzystać rezonans pom iędzy nimi i Sa­ turnem . Przyczyną okresowości w perturbacjach Trojańczyków jest to samo heliocentryczne położenie Saturn—Trojańczyki, powtarzające się co 60 lat.

S c h o l l (1973, 1974) w ykorzystał do swoich badań obserwacje czterech planetoid z gru­ py Trojańczyków: (588) Achillesa, (617) Patroclusa, (624) H ektora i (659) Nestora, w yko­ nane w okresie dłuższym niż 60 lat. Po znalezieniu w spółczynników Korelacji dla wymienio­ nych czterech Trojańczyków okazało się, że w przypadku Patroclusa wszystkie w spółczynni­ ki korelacji są bardzo duże i dlatego został on wyeliminowany z dalszych badań.

W ykorzystanie obserwacji m ałych planet 237

Jednak pomimo przeanalizowania przez S c h o l i a ruchu Trojańczyków z wymaganym okresem obserwacji i wystarczająco małymi współczynnikami korelacji, wyniki uzyskane przez niego mają znacznie większe średnie b łę d y , aniżeli wyniki uzyskane z obserwacji innych obiektów. Może składać się na to wiele powodów, z których najprawdopodobniej największe znaczenie m iały następujące: mała dokładność obserwacji Trojańczyków ze względu na ich słabą jasność, zbyt małe perturbacje w ich orbicie wywołane przez Saturna, nakładające się perturbacje wywołane przez Jowisza, a w przypadku Hektora dodatkowe obniżenie do­ kładności obserwacji fotograficznych ze względu na duże i szybkie zmiany jasności.

Z obserwacji planetoid wyznaczono także wartości mas innych planet: Merkurego, Wenus, Marsa oraz masę układu Ziemia—Księżyc.

L I T E R A T U R A

B e c, A., 1969, Astron. Astrophys., 2, 381. B r o u w e r , D., 1935, Astron. J., 44,1 0 2 2 .

B r o u w e r , D., 1941, Ann. New York, Acad. Sci., 42, 133. C a r r, H. J., 1971, Astron. J., 7 6 ,507.

C h e r n y k h , N. S., 1972, IAU, Symposium No 45, The Motion, Evolution o f Orbits, and Origin o f Comets, 233. C 1 e m-e n e e , G. M., 1960, Astron. J., 65, 21. D u m a, D. P., K i z u n , L. N., 1976, Astron. Astrophys., 2 9 ,1 5 . F i a 1 a, A. D., 1972, Astron. Pap., 21, 57. , H e r g e t, P., 1968, Astron. J., 73, 737. H e r t z . H. G., 1953, Astron. Pap., 15,171.

I z v e k o v , V. A., 1973, MalyjePlanjety, Nauka, Moskwa, 230. J a c k s o n , E., 1967, Astron. J., 72, 360.

J a c k s o n , E., 1968, Astron. Pap., 2 0 ,1 1 . J a n i c z e k , P. M., 1971, Astron. Pap., 2 1 ,9 . K 1 e p c z y ń s k i, W. J., 1967, Astron. J., 72, 808. K 1 e p c z y ń s k i, W. J., 1969, Astron. J., 74, 774.

K 1 e p c z y ń s k i, W. J., S e i d e l m a n n , P. K., D u n c o m b e, R. L., 1970, Astron. J., 75, 739. K 1 e p c z y ń s k i, W. J., 1972, IAU, Symposium No 45, The Motion, Evolution o f Orbits, and Origin o f Co­

mets, 209. ,

K 1 e p c z y ń s k i, W. J., 1974, IAU, 22 Coll., Asteroids, Comets, Meteoric Matter, 97.

M a i s d e n , B. G., 1972, IAU, Symposium No 45, The M otion, Evolution o f Orbits, and Origin o f Comets, 239.

N u m e r o v, B. V., 1935, Bull, o f the Astron. Inst. — Leningrad, N. 42.

O’H a n d 1 e y, D. A., 1968 .S tu d ies on Two Asteroids fo r Use in the Mass Determination o f Jupiter, George Obs., Washington, D. C.

O’H a n d 1 e y, D. A., 1969, Astron. Pap., 20, 319.

O r e 1 s k a y a, V. I., 1974, IAU, 22th Coll., Asteroids, Comets, Meteoric Matter, 39. O r e 1 s k a y a, V. I., 1975, Biul. ITA, 14,95.

P i e r c e , D. A., 1971, Astron. J., 7 6 ,1 7 7 .

P o d o b e d, V. V., N e s t e r o v , V. V., 1975, Obsdaja Astromietrija, Nauka, Moskwa.

P u t y 1 i n. 1.1., 1952, Malyje Planjety, Gosudarstviennoje Izdatielstvo Techniko- Tcoreticeskoj Literatury, Moskwa.

S c h o l l , H., 1971, Veroff. astr. Rechen Inst. Heidelberg, 25. S c h o l 1, H., 1973, Astron. Astrophys., 25, 203.

S c h o l l , H., 1974, IAU, 221*1 Coll., Asteroids, Comets, Meteoric Matter, 93. S c h u b a r t, J., S t u m p f f, P., 1966, Veroff. astr. Rechen Inst. Heidelberg, 18. Y a s u d a, H., 1966, Ann. Tokio Astr. Obs., 10,121.

'

POSTĘPY ASTRONOMII Tom X X V II (1979). Zeszyt 4

EWOLUCJA M AŁYCH C IA Ł U K ŁAD U SŁONECZNEGO

H O N O R A T A K O R P I K I E W I C Z

Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu im. A. Mickiewicza (Poznań)

3BOJIK)Ltflfl MAJlblX TEJI COJIHEqHOM CHCTEMbl

X. K o p n H K e B H M C o f t e p i K a H H e

C ia T b H o n n c b iB a e T cTaracTHHecKHe CBH3H M e a c a y s jie M e m a M H o p 6 n r k o m c t , M a Jib ix nna- HeT h M e ie o p o B . C ym ecT B O B aH H e 3 t h x 3aBHCHM0CTeH cBHfleieJibCTByeT o K O C M O ro ro m ec K H x CBH3HX Manbix Ten CoJIHeHHOH CwCTeMbl.

THE EVOLUTION OF SM ALL BODIES IN SO LA R SYSTEM S u m m a r y

In the article the statistical dependences between orbital elements o f the comets, meteoroids and minor planets are described. The existence o f these dependences speaks in favour of the hypothesis o f the evolutionary connections between small bodies in Solar System.

Pod pojęciem m ałych ciał U kładu Słonecznego rozumiemy komety, planetoidy, ciała meteorowe, lub inaczej meteorytowe, oraz tzw. obiekty pośrednie nazywane w zależności od podobieństwa do jednej z grup m ałych ciał asteroidami z obłoczkiem lub kometami bez war­ kocza. Z obserwacji i opracowań teoretycznych wynika istnienie pewnych związków pomiędzy poszczególnymi ich grupami, co implikuje przypuszczenie, że w przestrzeni międzyplanetarnej nadal mogą powstawać niektóre z nich.

A b y poznać drogę ewolucyjną m ałych ciał należy badać te zależności. Jest to tym bardziej ważne, że ewolucja m ałych ciał jest niewątpliwie związana z ewolucją całego Układu

necznego. Związki, o których mówimy, są dwojakiego rodzaju: pierwszy z nich to znane po­ dobieństwa budowy fizycznej m ałych ciał, drugi — to zależności występujące pomiędzy poszczególnymi elementami ich orbit.

Przeprowadzając rozkład wielkich półosi orbit komet, asteroidów i meteorów, K a t a s j e w zauważył, że z wyjątkiem komety Encke (a = 2,2 j.a.) nie zaobserwowano komet o wielkiej półosi orbity mniejszej od 2,7 j.a. ( K a t a s j e w 1955). Natomiast wiele meteorów, zarówno strumieniowych jak i sporadycznych, jasnych i słabych meteorów fotograficznych oraz pla­ netoid ma orbitę o wielkiej półosi mniejszej od 2,7 j.a. (rys. 1). Na ogół jaśniejsze meteory mają orbity o wielkiej półosi większej niż meteory słabsze, a więc mniej masywne.

W jaki sposób można wytłumaczyć powyższy rozkład?

F i e s i e n k o w (1968) sądzi, że komety długookresowe, przybywające w pobliże Słońca z peryferii Układu Słonecznego, ulegają perturbacyjnym oddziaływaniom planet, co powoduje zmiany wielkiej półosi ich orbity i malenie okresu obiegu, tak że komety z początku długo- periodyczne będą zacieśniać swą orbitę dookoła Słońca. Gdyby na komety działały tylko siły grawitacyjne planet równie prawdopodobne byłoby przerzucenie komety z orbity długo­ okresowej na krótkookresową, jak i proces odwrotny. Ponieważ na kometę działa jeszcze opór ośrodka międzyplanetranego — wzrasta znacznie prawdopodobieństwo przejścia na orbitę krótkookresową. Prawdopodobieństwo przejścia komety z orbity krótkookresowej na długo­ okresową jest ogromnie m ałe; należy też zauważyć, że takiego przejścia nie jesteśmy w stanie stwierdzić obserwacyjnie.

Zmniejszając a kometa traci kontakt z zaburzającą jej ruch planetą, porusza się po orbicie nie przecinającej strefy działania tej planety i wtedy przerzut na orbitę długookresową nie jest już możliwy. Z teorii Fiesienkowa wynika więc, że zjawisko jest jednokierunkowe i prowadzi do zmiany wszystkich orbit kometarnych na orbity krótkookresowe. Ponieważ jednak obser­ wuje się znaczną liczbę komet długoperiodycznych (na 540 obserwowanych komet 416 po­ siada okresy obiegu większe od 1000 lat ( W s e c h s w i a t s k i j 1957)), wywnioskować stąd można, że albo komety powstały stosunkowo niedawno i jeszcze nie wszystkie przeszły na orbity krótkookresowe, albo że w przestrzeni nadal trwa proces powstawania komet.

Zwróć-1. WIELKIE PÓ ŁOSIE ORBITY

Rys. 1. Rozkład wielkich półosi orbit komet, meteorów i asteroid wg. P u t i l i n y ( K a ­ t a s j e w 1955). Liczba komet i meteorów

zwiększona 10 razy

Ewolucja małych ciał 241

my uwagę na to, że powyższy wniosek jest niezwykle interesujący dla kosmogonii U kładu Słonecznego. Kom eta przechodząc w pobliżu Słońca traci ok. 109 g swojej masy, która roz­ praszając się*w przestrzeni m iędzyplanetarnej daje początek niezbyt masywnym m eteorom ( W s e c h s w i a t s k i j 1957). Żyw otność kom ety o masie 1016 g jest więc rzędu 107 obie­

gów dookoła Słońca. Razem ze zmniejszaniem się wartości wielkości półosi orbity kom eta ule­ ga powolnemu rozpadowi w rój m eteorów. W taki sposób powstają planetarne, lub inaczej ekliptykalne, roje m eteorów. Wartość a = 2,7 j.a. wydaje się być właśnie tą graniczną wartością „życia” kom ety.

W grudniu 1845 r. kilkakrotnie obserwowana kom eta Bieli rozpadła się na dwie części. W następnych latach zaobserwowano deszcze meteorowe, co w ykazało istnienie związku po­ m iędzy kom etam i a m eteoram i, ściślej rojami meteorów.

W róćmy do kom ety Encke, wyłam ującej się ze statystycznego rozkładu. Co m ogło spo­ wodow ać, że przeszła ona graniczną w artość a = 2,7 j.a. nie ulegając rozpadowi? B a k ł u n d zajmujący się badaniem tej kom ety uważa, że szybkie przejście stosunkowo, m łodej kom ety na orbitę o wielkiej p ó ło si mniejszej od 2,7 j.a. spowodowane zo stało siłami oporu ośrodka m iędzyplanetarnego, co potw ierdzałoby hipotezę istnienia wielkiej ilości niemożliwych dziś do zaobserwowania drobnych ciał asteroidalno-meteorowych. Z efektu malenia wiekowego przyspieszenia kom ety Encke B a k ł u n d wyciągnął wniosek, że materia wpływająca na opór rozprasza się w przestrzeni, podobnie jak rozpraszają się roje meteorowe.

Rozważając rozkład wielkich półosi orbit asteroid zauważmy, że — z m ałym i wyjątkam i — a jest zawsze mniejsze od 5,7 j.a. S a m o j ł o w a - J a c h o n t o w a i W s e c h s w i a t s k i j twierdzą, że wskazuje to na związek kosmogoniczny pom iędzy planetoidami a kometami: pla- netoidy mają być kom etam i na końcowym etapie rozwoju, sprowadzonymi na orbity k rótko­ okresowe przez zaburzający w pływ Jowisza (W s e c h s w i a t s k i j 1957). Na korzyść zwią­ zku pomiędzy kom etam i i asteroidami świadczy istnienie tzw. obiektów pośrednich; są. nimi aste- roidy z obłoczkiem : Ceres, Pallas, Juno, Olza, Oceania, Herta oraz kom ety bez warkocza, jak np.: Neujmin 1 = 1966VI, Holmes = 1971b czy Oterma III = 1958IV.

Jeśli przyjąć, że przynajmniej część planetoid pochodzi od kom et, na podstawie danych dotyczących wielkich osi orbit planetek można wyciągnąć wniosek, że największą wartością

a, dla której może nastąpić całkow ity rozpad kom ety jest a = 5,7.j.a. Z powyższego wynika­ ło b y , że rozpad kom et powoduje powstawanie rojów m eteorow ych i planetoid. Wniosek taki jest zgodny z koncepcją F i e s i e n k o w a (1968), k tó ry sądzi, że ciała te są takiego same­ go pochodzenia, a różnią się jedynie masą.

Można w prosty sposób obliczyć, jaką najmniejszą średnicę musi mieć obiekt, aby m ógł być obserwowany jako asteroida, przykładow o na orbicie o wielkiej półosi równej 2 j.a. Zakładając granicę dostrzegalności przyrządów 24m , albedo planetki 0 ,1 - 0 ,6 obliczamy jej jasność i porównujem y z jasnością S łońca przy założeniu, że planetka jest w opozycji, czyli w odległości od Ziemi równej 1 j.a. Znając wielkość gwiazdową Słońca możemy obliczyć wielkość gwiazdową planetki oraz jej średnicę, przy założeniu, że obiekt jest kulisty. Dla albedo 0,1, 0,3 oraz 0,6 otrzym ujem y odpowiednio średnice 200, 120 i 80 m. A w ięc obiekty o rozmiarach mniejszych od wyżej podanych nie mogą być zaobserwowane. Z drugiej strony wiemy, że rozmiary najmniejszych odkrytych planetoid zbliżają się do wartości granicznych. Wynika stąd, że granica pom iędzy ciałam i m eteorowym i i planetoidam i jest p ły n n a i zależna od zasięgu przyrządów.

Zauważmy na marginesie, że największe m eteoryty, jakie zderzyły się z Ziemią, n iem o g ły być nigdy obserwowane jako planetoidy — średnica Sichote-Alińskiego w ynosiła ok. 7 m , Ari- zońskiego — 15 m, a Tunguskiego (o ile b y ł to m eteoryt) -- ok. 30 m.

2. MIMOŚRODY ORBITY

Ciekawe wyniki daje porównanie mimośrodów orbit poszczególnych grup małych ciał (rys. 2). Asteroidy, z wyjątkiem siedmiu (czyli 0,8%), mają mimośrody mniejsze od 0,5,

Rys. 2. R ozk ład mimośrodów orbit kom et, meteorów i asteroid wg P u t i 1 i n y (K a -

t a s j e w 1955)

meteory natomiast mają e na ogół większe od 0,5 i w tym są bardzo podobne od komet, dla których też przeważnie e jest większe od 0,5.

Podkreślić tutaj należy, że meteory — w odróżnieniu od pozostałych ciał możemy obser­ wować tylko wówczas, gdy wejdą, w naszą atmosferę, co stanowi swoistą selekcję. Według 0 p i k a najdogodniejsze warunki obserwacji istnieją dla meteorów poruszających się po or­ bitach o małym mimośrodzie. Ponieważ mimo to odnotowujemy niewiele takich orbit na­ leży wywnioskować stąd, że są one wśród meteorów rzadkością. Analizy mimośrodów orbit meteorowych prowadzą do wniosku, że im jaśniejsze meteory, tym liczba orbit z e mniejszym od 0,5 wzrasta. Podobnie zresztą wzrasta a orbity. Można stąd wywnioskować, że jasne me­ teory są pochodzenia kometarnego i niedawno opuściły macierzystą kometę ( F i e s i e n k o w

1968).

Należy jednak zaznaczyć, że na podstawie innego materiału obserwacyjnego. W h i p p l e 1 H u g h e s doszli do całkiem odmiennego wniosku, a mianowicie, że ze wzrostem masy orbity stają się coraz bardziej kołowe i maleje ich wielka półoś. Wysunęli oni przypuszczenie, że masywne meteory są pochodzenia asteroidalnego.

3. tf-KRYTERIUM

F i e s i e n k o w a za nim K a t a s j e w w celu podziału wszystkich obserwowanych meteorów na dwie grupy (pochodzenia kometarnego oraz asteroidalnego) wprowadzili tzw. K- -kryterium:

K = lg a (1 + e)_ " T l - e ) 1,

Ewolucja małych ciał 243

gdzie: a jest wielką półosią orbity, e — mimośrodem ( F i e s i e n k o w 1968). Wartościom K > 0 odpowiadać mają komety oraz meteory pochodzenia kometarnego, natomiast K < 0 asteroidy i meteory pochodzenia asteroidalnego. Poza planetkami Hidalgo, Adonis i Ikarus as- teroidy mają rzeczywiście K < 0.

Według K a t a s j e w a ok. 75% obserwowanych meteorów wykazuje związek z kometami, a tylko 25% z asteroidami. N i l s s o n (1968) natomiast stwierdza, że spośród jasnych me­ teorów i bolidów tylko dla 6% K < 0, co potwierdza podane wyżej przypuszczenie F i e- s i e n k o w a, jakoby masywne meteory b y ły przede wszystkim pochodzenia kometarnego.

Na podstawie tego, co powiedzieliśmy wyżej — meteory pochodzące od asteroidów, to na ogół meteory słabsze, mniej masywne. Mają one powstawać na skutek kruszenia się małych planetek, jest to więc jak gdyby proces wtórny, jeżeli założyć, że asteroidy są pochodzenia kometarnego.

Rozkład asteroidów wg jasności charakteryzuje się pewną luką w obszarze 9m—l l m. F i e s i e n k o w uważa, że jest to wynik rozdrabniania się m ałych ciał w czasie ciągłych zderzeń i tworzenia się meteorów. Należy zauważyć, że zderzenia dużych planetek są m ało prawdopodobne (wg A n d e r s a raz na 12 miliardów lat), dla mniejszych jednak bry ł pra­ wdopodobieństwo zderzeń rośnie i jest największe dla rozmiarów ciał odpowiadających przy albedo 0,3 i średniej odległości ok. 3—5 j.a. jasności 9m—1 l m (F i e s i e n k o w 1968).

4. NACHYLENIA ORBIT DO PŁASZCZYZNY EKLIPTYKI

Nie mniej interesujące zależności występują pomiędzy wartościami nachylenia orbit ma­ łych ciał do płaszczyzny ekliptyki (rys. 3). Masywne meteory, zarówno sporadyczne,jak

N 30

Rys. 3. R ozkład nachylenia orbit kom et, m e­ teorów i asteroid wg K r e s a k a ( K r e s a k

196 9 )

i strumieniowe, mają i zawarte w granicach 0 ° - 4 0 ° , wykazując koncentrację w pobliżu p ła ­ szczyzny ekliptyki. Podobną koncentrację wykazują asteroidy (0 ° < i < 30°) oraz komety z odległością peryhelium mniejszą od 13 j.a.

Mało masywne meteory przyjmują na i wartości 0 ° - 1 8 0 ° z dwoma maksimami ok. 40° i 140° oraz jednym minimum dla 90° (K a s z c z e j e w 1 9 6 7 ; N i l s s o n 1968).

Ogólnie można stwierdzić, że ciała masywniejsze na ogół koncentrują się bliżej płaszczy­ zny ekliptyki.

Meteory

5. PODSUMOWANIE

Przedstawione powyżej zależności pomiędzy elementami orbit komet, asteroid i meteorów wiodą do wniosku, że istnieje ścisły związek ewolucyjny pomiędzy wymienionymi grupami ciał. Ciała meteorowe powstają na skutek rozpadu komet (meteory strumieniowe) lub zderzeń i rozkruszania się planetoid (meteory sporadyczne). Istnienie obiektów pośrednich świadczy na rzecz hipotezy o kometarnym pochodzeniu asteroid. Na podstawie powyższych rozważań możemy nakreślić następującą, przypuszczalną drogę ewolucyjną małych ciał Układu Słonecz­ nego:

--- -►KOMETY---►ASTEROIDY--- ►-METEORY

\ --- ►METEORY

--- -►ASTEROIDY--- ►METEORY

--- ►METEORY

Powyższy schemat ewolucyjny przedstawia sytuację, jaka obecnie ma miejsce w Układzie Słonecznym: wokół Słońca krążą, prócz planet, trzy grupy m ałych ciał, które mogą prze­ chodzić na skutek ewolucji jedne w drugie. Nie zamyka to problemu kosmogonii małych ciał, a raczej przeciwnie — dopiero go otwiera. Rodzi się bowiem pytanie, co znajduje się po lewej stronie przedstawionego wyżej ciągu ewolucyjnego? Jak powstały komety, asteroidy i ciała meteorowe? Czy komety są jedynym źródłem powstawania asteroid, czy te ostatnie mogą powstawać też na skutek konglomeracji ciał meteorowych?

Kosmogonia małych ciał jest niewątpliwie związana z kosmogonią całego Układu S ło ­ necznego i nie można rozpatrywać jej w oderwaniu od problemu pochodzenia Układu. Ce­ lem artykułu b y ło przedstawienie znanych od kilkunastu lat związków pomiędzy małymi ciałami, a nie rozważania na tem at ich pochodzenia. Wspomnijmy tylko, że do dziś nie ma­ my zadowalającej teorii powstawania komet, a na temat pochodzenia asteroid istnieje cały szereg różnorodnych hipotez, które w ogromnym uproszczeniu można by przedstawić w dwóch grupach: do jednej zaliczylibyśmy teorie rozpadu ciała (lub ciał) pierwotnych, do drugiej teorie akumulacji asteroid z drobnych ciał meteorowych.

Nieco więcej światła rzuciły badania ostatnich lat na problem pochodzenia ciał meteoro­ wych. Prace teoretyczne, jak i laboratoryjne wykazały, że obok meteorów pochodzenia ko- metarnego i asteroidalnego powinny istnieć w Układzie Słonecznym meteory tzw. pierwotne, które powstały około kilka do kilkunastu miliardów lat temu w pierwotnej mgławicy wokół- słonecznej. Odległość, w której tworzyły się ciała meteorowe szacuje sij? na ok. 2 ,5 -3 j.a., temperatura tworzenia się ok. 1300 K (A n d e r s 1972a,b). Na rzecz powyższego przemawia od dawna znany fakt, że wiek kosmiczny wielu meteorów jest dłuższy od wieku Ziemi, a także laboratoryjne badania meteorów, szczególnie jednej z klas meteorytów kamiennych - chondry- tów ( W a l t e r 1969; I > o d d 1972, L a r i m e r 1973; G u s k o w a 1976; J a b n e l , D i a k o n o w a , C h a r i t o n o w a 1976). Ponadto G r e e n b e r g (1972) twierdzi, że skład chemiczny pyłu międzygwiazdowego jest zgodny ze średnim składem chemicznym chondrytów węglowych.

Ewolucja m ałych ciał 2 4 5 L I T E R A T U R A

A n d e r s , E., 1971, Ann. Rev. Astron. Astrophy?., 9, 1.

A n d e r s , E., 1 9 7 2 ,21-st Nobel Symposium From Plasma to Planet, Stockholm. D o d d, R. I., 1972, Sym posium Sur L 'Origine Du System e Solaire, Nice, Paris 1972. F i e s i e n k o w, F. G., 1968, Meteoritika XXVIII.

G r e e n b e r g , J. M., 1972, Sym posium Sur L'Origine du System e Sofajre/'Nice^Paris 1972. G u s k o w a, E. G., 1976, Meteoritika XXXV.

J a b n e 1, A. A., D i a k o n o w a, M, L,; C h a r i t o n o w a, W. J., 1976, Meteoritika XXXV. K a s z c z e j e w, B. L., 1967, Astr. Wiestnik, t. 1, nr 2.

K a t a s j e w, L. A., 1955, Biul. Stal. Astr. Obs., nr 14.

K r e s a k,L., 1969, Bull, o f the Astr. Inst, o f Czechoslowakia, Vol. 20, nr 5. L a r i m e r, J. W., 1967, Geochim. Cosmochim. Acta, 31, 1215.

N i l s s o n , C. S., 1968, Smithsonian Astr. Obs., Special Report 239. W a 1 1 e r, L. S., 1969., Meteorite Research, Reidel.

POSTĘPY ASTRONOMII Tom XXVII (1979). Zeszyt 4

ODSTĘPSTWA OD LOKALNEJ RÓWNOWAGI TERMODYNAMICZNEJ W ATMOSFERACH GORĄCYCH GWIAZD CIĄGU GŁÓWNEGO

Część I

J E R Z Y M A D E J

Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu Warszawskiego

OTKJIOHEHHH OT JIOKAJlbHOrO TEPMOflMHAMH^ECKOrO PABHOBECHfl B ATMOCOEPAX TOPHTOX 3BE 3JI TJIABHOM nOCJIEflOBATEJIbHOCTM

HacTb I E. M a a 3 ii

C o a e p a c a H H e

B d a T b e npeA C T aB JieH b i ocHOBHbie ypaBHeHHH MOflejień aTMOC<J)ep 3BĆ'3A b jiyMHCTOM p aB H O -

BecHH. KpaTKO 06cy>K0eH0 BjiHHHHe jioKajibH oro TepMOAHHaMWiecKoro paBHOBecHH Ha hhx.

DEPARTURES FROM LOCAL THERMODYNAMIC EQUILIBRIUM IN HOT MAIN SEQUENCE STAR ATMOSPHERES

Part I

S u m m a r y

The paper gives short description of the equations defining a static model stellar astmosphe- re in radiative equilibrium. The influence of LTE assumption on them is discussed.

1. WSTĘP

. Teoretyczne badania atmosfer gwiazd najrozmaitszych typów znajdują się obecnie w fazie bardzo szybkiego rozwoju. Wykorzystanie szybkich maszyn cyfrowych w ciągu ostatnich kil­ kunastu lat umożliwiło (i umożliwia nadal) przeprowadzenie ważnych eksperymentów nume­ rycznych, dzięki którym posiadamy realistyczne wyobrażenie o budowie atmosfer gwiazd i procesach fizycznych w nich zachodzących. Istniejące już siatki modeli atmosfer ( C a r b o n i G i n g e r i c h 1969; K u r u c z 1979; K u r u c z, P e y t r e m a n n i A v r e t t 1974; M i h a 1 a s 1972 oraz szereg innych) stały się podstawowymi źródłam i dla właściwej inter­ pretacji obserwowanych widm gwiazd, zarówno spektrogramów, jak też pomiarów w różnych systemach fotometrycznych.

Numeryczne modelowanie atmosfer gwiazd i widma ich promieniowania ma podstawowe znaczenie dla astrofizyki, ponieważ porównanie dobrego syntetycznego widma gwiazdy z ob­ serwowanym jest (jak dotychczas) jedynym dostępnym nam źródłem wiarygodnych informa­ cji o atmosferach gwiazd innych niż Słońce, mających także krytyczne znaczenie dla teorii wnętrz gwiazd. Na przykład, obserwacje silnych linii wodoru serii Balmera pozwalają na oce­ ny przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni gorących gwiazd, z kolei pomiary nachyle­ nia continuum Paschena (barw fotometrii UBV lub innych) służą do wyznaczeń temperatur efektywnych Tg^ w szerokim zakresie typów widmowych gwiazd. Ponadto pomiary szerokoś­ ci równoważnych linii widmowych różnych pierwiastków są podstawowym źródłem naszej- wiedzy o składzie chemicznym gwiazd, a więc i całego Wszechświata. Są to oczywiście je­ dynie podstawowe problemy interpretacji widm gwiazd, które można uważać za rozwiązane, o ile uda się dobrać takie parametry modelu atmosfery oraz taki układ równań jej budowy, przy których obserwowane elementy widma gwiazdy zostaną teoretycznie odtworzone ze znośną przynajmniej dokładnością.

W obliczeniach modeli atmosfer gwiazd pojawiają się ogromne fizyczne i numeryczne, trud­ ności zasygnalizowane w następnym rozdziale obecnego artykułu. Przybliżenia, które muszą być w nich wprowadzane, oczywiście fałszują wszystkie wnioski wynikające z porównań: modele — obserwacje. Jednym z najważniejszych, obecnie prawie zawsze wprowadzanych, przybliżeń jest założenie lokalnej równowagi termodynamicznej (Local Thermodynamic Equ­ ilibrium — LTE). Jest to raczej mocne założenie. Z jednej strony umożliwiło ono jakikolwiek postęp w teorii atmosfer gwiazd, ale z drugiej strony liczne obserwacje wykazują, że w nie­ których sytuacjach jest ono jawnie nieprawdziwe.

W niniejszym artykule zamierzam przedstawić oceny wpływu faktycznych odstępstw od LTE na szczegóły widm, fotometryczne barwy i wynikające stąd parametry gwiazd wczesnych typów widmowych na ciągu głównym, gdzie są one najlepiej obecnie rozpoznane. Ponieważ nie wydaje się prawdopodobne, aby w najbliższej przyszłości policzono siatki modeli atmo­ sfer zadowalająco uwzględniając odchylenia od LTE dla wielu źródeł nieprzezroczystości jed­ nocześnie, „cząstkowe” oceny efektów n -LTE są chyba jedynym sposobem ulepszania naszych możliwości zrozumienia widm gwiazd.

2. OPIS MODELU ATMOSFERY GWIAZDY

Atmosfery gorących gwiazd ciągu głównego (typ widmowy O—B—A, klasa jasności V), będące przedmiotem naszego zainteresowania, możemy traktować jako statyczne obiekty w

Odstępstwa od LRT 249

równowadze promienistej, w których wszystkie powierzchnie o stałej wartości zmiennych fi­ zycznych (T, P p i innych) są płaszczyznami prostopadłymi do lokalnego wektora przyś­ pieszenia grawitacyjnego. Geometrycznie oznacza to, że zajmujemy się małym wycinkiem za­ krzywionej powierzchni gwiazdy, którego grubość jest na tyle m ała w porównaniu z całko­ witym promieniem gwiazdy, iż wszelkie zakrzywienia można w nim zaniedbać. Równowaga promienista oznacza natomiast, że w takiej atmosferze energia jest przenoszona wyłącznie w postaci promieniowania, bez pośrednictwa konwekcji czy jakichkolwiek fal mechanicznych

itp-Powyższe trzy założenia, całkiem sobrze spełniane w interesujących nas atmosferach, znacznie upraszczają konstrukcję modelu. Przede wszystkim jest on jednowymiarowy, tzn. wszystkie zmienne fizyczne w nim występujące są funkcją wysokości geometrycznej liczonej od jakiegoś arbitralnie wybranego poziomu h = 0. Ponieważ przed policzeniem modelu trudno jest zdefiniować taki poziom odniesienia, zmienną niezależną modelu bywa zazwyczaj mo­ nochromatyczna głębokość optyczna 7St(J, ( odpowiada np. X = 5000 A ) :

+ oo

TS td = S ^KS td + aS td ^ p d h '

W

h

„zaczepiona” w +°°, tzn. tak wysoko, gdzie już nie może być jakichkolwiek śladów atmosfe­ ry gwiazdy. Oczywiście, głębokość optyczna rośnie w miarę wchodzenia w głąb gwiazdy (zgodnie z przyspieszeniem grawitacyjnym), a wartość t = 0, w jakiejkolwiek barwie, należy uznać za zewnętrzny kraniec atmosfery. Z kolei założenie statyczności uwalnia nas od bardzo trudnych i nieliniowych problemów hydrodynamicznych, a ponadto pozwala zapomnieć o cząstkowych pochodnych zmiennych fizycznych po czasie.

Przedstawiony tak „prosty” model atmosfery gwiazdy jest zdefiniowany przez układ rów­ nań różniczkowo-całkowych (2)—(6): 3/ i

Mstd- & _

„

^

(

)

+

(

)

j v, kv, av = zadane funkcje (Pg, Pg, T, pole promieniowania),

(

)

gdzie:

S = / /(k _{V K V} + a ),_V

(?)

z odpowiednimi warunkami brzegowymi nałożonymi na równania przepływu promieniowania (2) oraz na równacie równowagi hydrostatycznej (4). .j oznacza zadany skład chemiczny modelu, przy czym:

co jest obfitością (w liczbach atomów) pierwiastka o liczbie atomowej Z = i względem wo­ doru. J' jest średnim natężeniem promieniowania:

a / , Kv oraz av są współczynnikami emisji, absorpcji i rozpraszania liczonymi na 1 g materii. Rozwiązania równań transferu (2) otrzymane dla jak największej ilości częstotliwości v pokazują, jak w rozważanym modelu redystrybuowana jest energia promieniowania, która mu­ si w jednostce czasu przepłynąć z wnętrza gwiazdy w pustą przestrzeń. Całkowity strumień

Równanie równowagi promienistej (3) jest bardzo ważnym warunkiem wiążącym, nało ­ żonym na rozwiązania równań transferu (2) i zapewniającym zachowanie strumienia tej energii w atmosferze. W praktycznych obliczeniach właśnie z równania (3) wynika rozkład tempe­ ratury T(jStd ), będący najważniejszą chyba cechą poszukiwanego modelu.

Trzecim i ostatnim parametrem modelu atmosfery (2)—(6) jest przespieszenie grawitacyjne g. W oczywisty sposób decyduje ono o pionowych rozmiarach modelu poprzez równanie rów­ nowagi hydrostatycznej (4).

Równanie stanu (5) oraz zespół równań (6), definiujących nieprzezroczystości i w różnych częstotliwościach v, zamykają układ (2 )-(6 ), określający stan fizyczny materii atmo­ sfery gwiazdy i przenikające ją pole promieniowania na jakimś ustalonym poziomie h (głębo­ kości optycznej TStcJ). Podanie rozwiązań powyższego układu równań dla możliwie wielu punktów TStd w zakresie 0—100 (lub więcej) jednocześnie, jest równoznaczne z obliczeniem modelu atmosfery gwiazdy w równowadze promienistej.

Przedstawiony powyżej podział „ról” poszczególnych równań w obliczeniach modeli atmo­ sfer jest oczywiście dużym uproszczeniem. Rzeczywiste sprzężenia pomiędzy nimi są bardzo silne, co bardzo utrudnia rozwiązywanie układu równań modelu atmosfery metodami

itera-(8)

(9)

tej energii jest drugim, obok składu chemicznego [A ^ , parametrem modelu i zazwyczaj wy­ raża się przez temperaturę efektywną atmosfery:

o - l