Podstawowe twierdzenia o istnieniu rozwi¡za« okresowychwypukªego ukªa-

3. Ukªady Hamiltona

3.3. Podstawowe twierdzenia o istnieniu rozwi¡za« okresowychwypukªego ukªa-

Udowodnimy najpierw twierdzenie o istnieniu rozwi¡za« problemu (3.15) przy stosun-kowo mocnych zaªo»eniach.

Twierdzenie 3.2. Niech Hamiltonian

H : [0, T ] × R^2N → R (t, u) 7→ H(t, u) b¦dzie funkcj¡

- mierzaln¡ ze wzgl¦du na t dla dowolnych u ∈ R^2N,

- ±ci±le wypukª¡ i ró»niczkowaln¡ w sposób ci¡gªy ze wzgl¦du na u dla p.w. t ∈ [0, T ].

Wówczas problem (3.15) ma przynajmniej jedno rozwi¡zanie u takie, »e

v(t) = −J

gdy» funkcjonaª jest liniowy i ci¡gªy. Wystarczy wi¦c pokaza¢, »e

n→∞lim

ograniczono±¢ ci¡gu norm (k ˙vnk_L2) przez pewn¡ staª¡ M > 0 ([Mu] Twierdzenie 21.5, str. 215). Z tych dwu faktów, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem caªki ([K] Twierdzenie 19, str. 320) oraz z nierówno±ci Höldera otrzymujemy, »e

n→∞lim

Czyli χ2 jest funkcjonaªem póªci¡gªym z doªu. Sprz¦»enie H^∗(t, .) jest funkcj¡ wypu-kª¡, st¡d χ2 jest funkcjonaªem wypukªym, wi¦c na mocy twierdzenia 1.2 χ2 jest sªabo póªci¡gªy z doªu. Pokazali±my, »e oba funkcjonaªy χ1 i χ2 s¡ sªabo póªci¡gªe z doªu.

na ˜H_T¹. W ten sposób funkcjonaª χ jest sªabo póªci¡gªy z doªu na ˜H_T¹ Korzystaj¡c z przykªadu 2.2 oraz zaªo»enia (B1) dostajemy, »e

H^∗(t, v)  |u|²

2α − γ(t) dla u ∈ R^2N i p.w. t ∈ [0, T ] .

St¡d, oraz ze stwierdzenia 3.1 dostajemy

χ(v) −T jest ograniczony. Korzystaj¡c z nierówno±ci Wirtingera widzimy, »e (vn) jest ograni-czony w HT¹.

W ten sposób wobec udowodnionej sªabej póªci¡gªo±ci z doªu funkcjonaªu χ oraz ogra-niczono±ci ci¡gu minimalizuj¡cego wnosimy na mocy twierdzenia 1.1, »e χ o-si¡ga mini-mum w pewnym punkcie v ∈ ˜H_T¹.Warunek (B1) gwarantuje, »e speªnione s¡ zaªo»enia twierdzenia 3.1. Poniewa» v jest punktem krytycznym χ, wi¦c na mocy tego twierdzenia mamy, »e funkcja u zdeniowana wzorem

u(t) = ∇H^∗(t, ˙v(t))

jest rozwi¡zaniem problemu (3.15). Ponadto zachodzi równo±¢

J ˙v(t) = ˙u(t), czyli

˙v(t) = −J ˙u(t). (3.17)

Z lematu podstawowego mamy, »e

v(t) =

dla p.w. t ∈ [0, T ] i c1, c₂ ∈ R^2N.

Stad, korzystaj¡c z (3.17) dostajemy, »e

v(t) = W ten sposób pokazali±my, »e problem (3.15) ma rozwi¡zanie takie, »e v okre±lona równo±ci¡ (3.18) minimalizuje χ na ˜H_T¹, a poniewa» χ (v) = χ (v + c) , dla v ∈ H_T¹, c ∈ R^2N, wi¦c v punktem jest minimum funkcjonaªu χ na H_T¹.

Sformuªujmy i udowodnimy teraz twierdzenie o istnieniu rozwi¡za« problemu (3.15) przy osªabionych zaªo»eniach.

Twierdzenie 3.3. Niech Hamiltonian

H : [0, T ] × R^2N → R (t, u) 7→ H(t, u)

(C2) Istniej¡ α ∈0,^2π_T oraz γ ∈ L²(0, T ; R^2N), »e

Wówczas problem (3.15) ma przynajmniej jedno rozwi¡zanie u takie, »e

v(t) = −J

Dowód. Przeprowadzimy dowód w trzech krokach. Krok I. Istnienie rozwi¡za« dla pro-blemu zaburzonego. Niech ε0 > 0 b¦dzie taka liczb¡, »e 0 < α + ε0 < ^2π_T , oraz niech

Hε : [0, T ] × R^2N → R (t, u) 7→ ε |u|²

2 + H(t, u), gdzie 0 < ε < ε0.

ªatwo wida¢, »e Hε(t, .) jest ±ci±le wypukªy, oraz ró»niczkowalny w sposób ci¡gªy dla p.w. t ∈ [0, T ], oraz Hε(., u) jest mierzalny dla wszystkich u ∈ R^2N. Z zaªo»e« (C1) i sk¡d otrzymujemy dziel¡c przez −4ε

−ε |u|²

4 − |l(t)|²

ε ¬ − |u| · |l(t)| . Korzystaj¡c z otrzymanej nierówno±ci dostajemy z (3.19), »e

ε |u|²

4 − |l(t)|²

ε ¬ Hε(t, u) ¬ (α + ε0)|u|²

2 + γ(t). (3.20)

W ten sposób zaªo»enia twierdzenia 3.1 s¡ speªnione. Na mocy tego twierdzenia

jest ró»niczkowalny w sposób ci¡gªy na przestrzeni ˜H_T¹. Poka»emy, »e χ osi¡ga minimum na ˜H_T^1..Korzystaj¡c ze stwierdzenia 3.1 otrzymujemy

χ_ε(v) =

Z (3.20) dostajemy wobec uwagi 2.4 i przykªadu 2.2, »e

χ_ε(v)  1 ograniczony. St¡d, z nierówno±ci Wirtingera (vk) jest ograniczony w HT¹.Rozumuj¡c jak w dowodzie twierdzenia 3.2 dostajemy, »e χε jest funkcjonaªem sªabo póªci¡gªym z doªu. Wobec twierdzenia 1.1 osi¡ga wiec minimum w pewnym punkcie vε ∈ ˜H_T¹. Jak pokazali±my poprzednio zaªo»enia twierdzenia 3.1 s¡ speªnione, wi¦c na mocy tego twierdzenia funkcjonaª χε jest ró»niczkowalny w sposób ci¡gªy na ˜H_T¹. oraz funkcja uε

zdeniowana nast¦puj¡co

Krok II. Oszacowanie uε. Korzystaj¡c z faktu, »e

|x| · |y| ¬ |x|²

2 +|y|² 2 dla dowolnych x, y ∈ R, dostajemy z (C1) i (C2)

− |l(t)| · |u| ¬ |H(t, u)| ¬ α |u|²

2 + γ(t), sk¡d

−|l(t)|²

2 − |u|²

2 ¬ |H(t, u)| ¬ α |u|²

2 + γ(t), czyli

−|l(t)|²

2 ¬ |H(t, u)| ¬ (α + 1) |u|²

2 + γ(t), Mamy dalej ze stwierdzenia 2.2

|∇H(t, u)| ¬ 2 (α + 1)

|u| +|l(t)|²

2 + γ(t)

+ 1 + |u| .

Wobec twierdzenia o ró»niczkowalno±ci caªki wzgl¦dem parametru ([K] Twierdzenie 24, str. 361) oszacowanie powy»sze oznacza, »e funkcja

H : R¯ ^2N → R u 7→

H(t, u)dt

jest ró»niczkowalna w sposób ci¡gªy. Funkcja ta jest koercytywna i okre±lona na prze-strzeni sko«czenie wymiarowej, st¡d osi¡ga minimum w pewnym punkcie ¯u ∈ R^2N, dla którego zachodzi

∇H(t, ¯u)dt = 0.

W ten sposób

˙v(t) = ∇H(t, ¯u) (3.24)

ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie w HT¹ postaci

w(t) =

∇H(s, ¯u)ds,

takie, »e^R^T

0 w(t)dt = 0. Z (3.24) i denicji sprz¦»enia dostajemy H^∗(t, ˙w(t)) = h ˙w(t), ¯ui − H(t, ¯u),

czyli H^∗(., ˙w(.)) ∈ L¹(0, T ; R) . Korzystaj¡c z nierówno±ci Wirtingera dostajemy

k˜uεk_L2 ¬ T

Z powy»szej nierówno±ci, wypukªo±ci H(t, .), oraz (C2) i (3.22) dostajemy H(t,u¯_ε

Korzystaj¡c teraz ze stwierdzenia 3.1 dostajemy

Krok III. Istnienie rozwi¡zania problemu wyj±ciowego. Otrzymali±my poprzednio, »e ku_εk_H¹

T ¬ c₆. dla dowolnych ε ∈ (0, ε0)

Poniewa» kula w przestrzeni HT¹, czyli reeksywnej jest zbiorem sªabo zwartym ([Mu]

Twierdzenie 23.9, str. 217), wi¦c mo»emy wybra¢ ci¡g (εn) ⊂ (0, ε₀] zbie»ny do 0, »e (u_ε_n)zbiega sªabo do pewnego u ∈ H_T¹.Co wi¦cej, wobec (3.23) dostajemy, rozumuj¡c identycznie jak w dowodzie twierdzenia 3.2, »e

v_ε_n(t) = −J(u_ε_n(t) − ¯u_ε_n).

Ze stwierdzenia 1.2 (uεn)i (vεn)zbiegaj¡ jednostajnie do u i v odpowiednio. Korzystaj¡c z (3.20) oraz ze stwierdzenia 2.2 ∇H(., uεn(.))mo»na ograniczy¢ wspólnie przez funkcj¦

caªkowaln¡, zatem przechodz¡c do granicy mamy

Ju(t) − Ju(0) +

∇H(s, u(s))ds = 0,

to znaczy u ∈ HT¹ jest rozwi¡zaniem (3.15). Pozostaje wi¦c pokaza¢, »e v jest minimum funkcjonaªu χ na przestrzeni HT¹.Z wªasno±ci sprz¦»enia wynika, »e Hε^∗(t, v) ¬ H^∗(t, v), wi¦c

χ_ε_n(v_ε_n) ¬ χ_ε_n(h) ¬ χ(h) dla dowolnych h ∈ H_T¹.

Mamy te», »e

u_ε_n(t) = ∇H_ε^∗_n(t, ˙v_ε_n(t)).

Z denicji sprz¦»enia dostajemy wi¦c

χ_ε_n(v_ε_n) = Z (3.15) oraz (3.25) wynika, »e

˙v(t) = ∇H(t, u(t)) dla p.w. t ∈ [0, T ]. (3.27)

i dowód jest zako«czony.

Rozdziaª 4

Interpretacja zyczna ukªadów Hamiltona

4.1. Wprowadzenie

Ukªady Hamiltona spotykamy w zyce bardzo cz¦sto i to zarówno w zyce klasycznej np. mechanice, jak i w zyce relatywistycznej. Poni»ej przedstawiamy tylko najprostsze modele zyczne (dokªadniej mechaniczne), które mo»na opisa¢ przy u»yciu ukªadów Hamiltona.

W przestrzeni sko«czenie wymiarowej R^N rozwa»my pewien punkt materialny o masie m. Poªo»enie tego punktu wyznaczone jest wtedy przez jego wspóªrz¦dne, które oznaczamy

q = (q₁, . . . , q_N) ∈ R^N.

Je»eli punkt materialny porusza si¦ w tej przestrzeni w przedziale czasowym [0, T ] , to jego wspóªrz¦dne s¡ ci¡gª¡ funkcj¡ parametru (czasu) t ∈ [0, T ]

q(t) = (q₁(t), . . . , q_N(t)) t ∈ [0, T ] .

Krzywa b¦d¡ca obrazem gracznym tej funkcji jest torem, po jakim porusza si¦ punkt materialny i nazywa si¦ trajektori¡.

Wielko±ci¡ zyczn¡, która mierzy jak szybko w czasie zmienia sie poªo»enie punktu jest pr¦dko±¢ punktu materialnego b¦d¡ca naturalnie pochodn¡ funkcji poªo»enia po czasie

˙q(t) = ( ˙q₁(t), . . . , ˙q_N(t)) t ∈ [0, T ] .

Natomiast wielko±ci¡ mierz¡c¡ szybko±¢ zmian pr¦dko±ci jest przyspieszenie punktu materialnego oznaczane

q(t) = (¨q₁(t), . . . , ¨q_N(t)) t ∈ [0, T ] .

Z ruchem punktu materialnego zwi¡zane s¡ jeszcze dwie wielko±ci charakteryzuj¡ce ten ruch ale powi¡zane równie» z mas¡ punktu materialnego. S¡ nimi energia kinetyczna

T (t) = m | ˙q(t|)² 2 oraz p¦d

p(t) = m ˙q(t).

Je»eli w przestrzeni R^N pojawi¡ si¦ pewne oddziaªywanie siª na nasz punkt ma-terialny, to jego ruch pod wpªywem tych oddziaªywa« opisany jest zwykle pewnym równaniem ró»niczkowym. Wtedy rozwi¡zanie tego równania jest trajektori¡ ruchu punktu materialnego. W tym przypadku mówimy o ukªadzie dynamicznym.

Ograniczymy si¦ dalej do przypadku, gdy N ¬ 3. Je»eli ruch odbywa si¦ w prze-strzeni trójwymiarowej (N = 3), to mówimy o takim ukªadzie dynamicznym, »e jest ukªadem dynamicznym z trzema stopniami swobody. Je»eli natomiast ruch odbywa si¦

w przestrzeni dwu- lub jednowymiarowej, to wtedy zwykle mówimy, »e ukªad dyna-miczny jest ukªadem odpowiednio z dwoma lub jednym stopniem swobody. Równanie ró»niczkowe opisuj¡ce ukªad staje si¦ wtedy ukªadem trzech lub dwu równa« albo po-jedynczym równaniem skalarnym odpowiednio.

4.2. Ogólny ukªad dynamiczny Newtona

Jest to ukªad dynamiczny opisany przez znan¡ z kursu szkoªy ±redniej drug¡ zasad¦

dynamiki Newtona.

Wprowad¹my w pewnym otwartym podzbiorze A przestrzeni R^N gªadk¡ funkcj¦

wektorow¡

F : A → R^N.

W ten sposób z dowolnym punktem q ∈ A zwi¡zany jest pewien wektor, który naturalnie jest interpretowa¢ jako siª¦ dziaªaj¡c¡ na punkt materialny znajduj¡cy si¦

w punkcie o wspóªrz¦dnych q. Druga zasada dynamiki Newtona opisuj¡ca ruch punktu w tym polu wektorowym prowadzi do równania Newtona

m¨q(t) = F (q(t)) (4.1)

Je»eli istnieje odpowiednio gªadka (przynajmniej klasy C¹) funkcja U : A → R

taka, »e

∇U(q) = −F (q) dla q ∈ A,

to pole wektorowe F nazwiemy polem potencjalnym, sam¡ za± funkcj¦ U - potencjaªem pola lub energi¡ potencjaln¡. W tym przypadku równanie (4.1) nabierze postaci

m¨q(t) + ∇U(q(t)) = 0. (4.2)

Równanie (4.2) równowa»ne jest ukªadowi

˙q(t) = p(t)

m (4.3)

˙p(t) = −∇U(q(t)).

Wprowad¹my funkcj¦ H dan¡ wzorem

H(t, q, p) = |p|²

2m + U(q).

Poniewa»

T (q) = m | ˙q|²

2 = |p|² 2m, wi¦c funkcja H jest sum¡ energii kinetycznej i potencjalnej.

Wtedy, wobec wzoru funkcji H ukªad (4.3) jest ukªadem Hamiltona

˙q(t) = D_pH(t, q(t), p(t))

˙p(t) = −D_qH(t, q(t), p(t)).

4.3. Problem dwóch ciaª

Jest to ukªad zªo»ony z dwóch ciaª, które oddziaªywaj¡ na siebie wzajemnie wytwa-rzanym przez siebie centralnym polem grawitacyjnym. Rozwa»ymy tylko najprostszy przypadek zwany problemem Keplera, w którym jedno z ciaª ma mas¦ du»o wi¦ksz¡

od drugiego tak, »e mo»emy przyj¡¢ »e pozostaje ono nieruchome.

Niech dane b¦d¡ dwa ciaªa o masach M i m, przy czym M m. Pole wektorowe wytwarzane przez ciaªo o masie M okre±lone jest wzorem

F (q) = −kq

|q|³ dla q 6= 0, gdzie k > 0 jest pewn¡ staª¡.

F jest centralnym polem grawitacyjnym o potencjale U(q) = k

|q| dla q 6= 0.

Ruch punktu o masie m jest opisany za pomoc¡ równania Newtona postaci m¨q(t) = − kq

|q(t)|³. (4.4)

Wprowadzaj¡c tak jak w poprzednim paragrae funkcje Hamiltona jako sum¦ energii kinetycznej i potencjalnej punktu materialnego, dostajemy

H(t, q, p) = |p|² 2m + k

|q|,

czyli równanie Newtona (4.4) jest równowa»ne jak poprzednio ukªadowi Hamiltona

˙q(t) = p(t) m

˙p(t) = −kq(t)

|q(t)|³

Je»eli dla przykªadu, rozwa»ymy ruch planet w polu grawitacyjnym Sªo«ca, to w pierwszym przybli»eniu problem ten mo»e zosta¢ potraktowany jako problem dwóch ciaª, który zostaª dawno rozwi¡zany. Problem dwóch ciaª sprowadza si¦ bowiem przez zamian¦ ukªadu wspóªrz¦dnych i przy u»yciu wielko±ci zwanej momentem p¦du do problemu jednowymiarowego, który stosunkowo ªatwo jest rozwi¡za¢.

4.4. Problem N ciaª

Zajmiemy si¦ teraz problemem N ciaª czyli sytuacj¡, kiedy w przestrzeni rozmieszczone jest N ciaª o pewnych masach, wytwarzaj¡cych pole grawitacyjne. Problem jest bardzo zªo»ony i nie zostaª jak dot¡d do ko«ca zbadany. Newton zajmowaª si¦ problemem N ciaª (dokªadniej trzech ciaª) przy okazji rozwa»ania wzajemnego ruchu Sªo«ca, Ziemi i Ksi¦»yca i niemo»no±¢ jego rozwi¡zania przyprawiªa go, jak sam napisaª, o ból gªowy.

Rozwa»my w przestrzeni R³N punktów materialnych o masach midla (i = 1, 2, . . . , N, ) wytwarzaj¡cych pole grawitacyjne. Korzystaj¡c z drugiej zasady dynamiki i prawa po-wszechnego ci¡»enia ruch punktów opisany jest przez równania

miq¨i(t) = −

j=1

Gmimj(qj(t) − qi(t))

|qj(t) − qi(t)|³ = −DqiU (q1(t), . . . , qN(t))dla i = 1, 2, . . . , N.

gdzie

U (q₁, . . . , q_N) =

1¬i<j¬N

Gm_im_j

|qj − qi|. (4.5)

Wprowadzaj¡c funkcj¦ Hamiltona

H (t, q1, . . . , qN, p1, . . . , pN) =

i=1

|pi|²

2m_i + U (q1, . . . , qN)

równanie (4.5) ma posta¢

4.5. Interpretacja zyczna funkcjonaªów dziaªania

Niech dane b¦dzie w przestrzeni R³ centralne pole grawitacyjne F (q) = −kq

|q|³ dla q 6= 0,

Umie±¢my w tym polu punkt materialny o masie m i ustalmy pewn¡ liczb¦ T >

0. Stawiamy nast¦puj¡ce zagadnienie. Czy punkt materialny b¦dzie poruszaª si¦ w polu grawitacyjnym w ten sposób, »e po upªywie czasu T powróci do swego poªo»enia pocz¡tkowego? Zagadnienie to prowadzi do nast¦puj¡cego problemu

m¨q(t) = −kq(t)

|q(t)|³ q(0) = q(T ) = a

Równanie powy»sze jest równaniem EuleraLagrange'a dla funkcjonaªu

ϕ(q) =

W ten sposób trajektoria ruchu omawianego punktu materialnego ma t¦ wªasno±¢, »e jest jednocze±nie punktem krytycznym funkcjonaªu ϕ. Funkcj¦ L nazywa si¦ w litera-turze Lagran»janem lub funkcj¡ Lagrange'a.

Znajd¹my teraz sprz¦»enie Legendre'a lub, co na jedno wychodzi, Fenchela funkcji Lpo zmiennej ˙q.

Mamy

Maksimum tej wypukªej i ró»niczkowalnej (ze wzgl¦du na ˙q) funkcji jest osi¡gni¦te w punkcie speªniaj¡cym zale»no±¢

p − m ˙q = 0,

czyli

L^∗(t, q, p) =

p, p m

−|p|² 2m + k

|q| = |p|² 2m + k

|q|.

Je»eli spojrzymy teraz na Hamiltonian wprowadzony np. w paragrae 3.2, to bez trudu zauwa»ymy, »e

L^∗(t, q, p) = H(t, q, p)

W ten sposób otrzymali±my wa»ny wynik, który w skrócie mo»na wyrazi¢: sprz¦»e-nie Lagran»janu jest równe Hamiltonianowi.

Bibliograa

[1] W. Koªodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1983.

[2] J. Musielak, Wst¦p do analizy funkcjonalnej, PWN Warszawa 1989.

[3] J. Mawhin, M. Willem, Critical point theory and Hamiltonian systems, Springer 1989.New York.

W dokumencie 2@IJ=MMA M“=I?E K“=@M 0=EJ= E E?D EJAHFHAJ=?= O?= (Stron 32-49)