Podstawy działania i stosowania automatów komórkowych

5. Opis osiągnięć w zakresie wytwarzania i badania właściwości użytkowych

5.2. Modelowanie matematyczne warstw węglowych wytworzonych

5.2.4. Modelowanie wzrostu, organizacji alotropowej i morfologii

5.2.4.1. Podstawy działania i stosowania automatów komórkowych

System dynamiczny może być opisany abstrakcyjnie jako uporządkowana trójka:

(60) { T, M, Φ^},

gdzie znaczenie obiektów jest zdefiniowane następująco:

• T jest monoidem¹⁰ (monoid) z operacją grupy określoną jako suma „+”;

• M jest rozmaitością¹¹ (manifold), złożoną z elementów x odzwierciedlających stany systemu;

• Φ jest funkcją zdefiniowaną jako:

(61) Φ :U ⊂T×M →M gdzie z kolei:

(62)

( ) { ( ) }

( ) ( )

(

^t ^x ^t ^x^x

) (

^t ^t ^x

)

^t ^t ^t ^t ^I

( )

U x t T t x I

∈ + +

= Φ

Φ =

Φ = ∈ ∈

2 1 2 1 2

1 1

2, , , , , ,

, 0

, :

Monoid T jest zwykle traktowany jako czas, rozmaitość M jest nazywana przestrzenią fazową lub przestrzenią stanów oraz funkcja Φ (t, x) jest nazywana funkcją ewolucji systemu dynamicznego.

Opis czasowej i przestrzennej ewolucji systemu opisanego równaniami (60), (61), (62) może być dokonany w sposób tradycyjny, z użyciem równań różniczkowych. Użycie takiego sposobu opisu zak-łada „gładkość” funkcji Φ (t, x) oraz T, M o mocy continuum. W tym przypadku równania różniczkowe nie mogą być zastosowane, bo czas nie jest ciągły (co jeszcze może być do pewnego stopnia dyskusyj-ne) ale dyskretna natura struktury przestrzennej jest oczywista – to jest po prostu struktura siatki krys-talicznej z atomami w węzłach.

5.2.4.1.2. Koncepcja automatu komórkowego

Automaty komórkowe są systemami dynamicznymi dyskretnymi w czasie i przestrzeni. Oznacza to, że czas T jest monoidem nad zbiorem przeliczalnym – „zbiorem chwil przejścia ze stanu w stan”, a rozmaitość M jest przeliczalna i jest z reguły strukturą mniej skomplikowaną niż modele rozważane w mechanice. Funkcja ewolucji Φ (t, x) jest zbudowana z tzw. reguł przejścia automatu komórkowego,

10 Monoid jest parą {zbiór, operacja dwuargumentowa}, gdzie operacja spełnia warunki: zawieranie (co znaczy, że rezultat operacji zawsze należy do zbioru), identyczność (co znaczy, że nic się nie zmienia po wykonaniu operacji z jej elemen-tem zerowym), łączność (wstawienie nawiasów nie zmienia rezultatu operacji). Szeroko znane przykłady: zbiór liczb na-turalnych z zerem z operacją dodawania i zerem, zbiór liczb zespolonych z mnożeniem i jedynką traktowaną jako ele-ment zerowy operacji.

11 Rozmaitość jest przestrzenią abstrakcyjną, w której każdy punkt ma swoje najbliższe sąsiedztwo typu euklidesowego, ale struktura całości nie jest przestrzenią euklidesową. Popularnym przykładem (od którego wszystko się zaczęło) jest sfera, na której nie można zdefiniować euklidesowej miary odległości, ale lokalnie można ją uważać za przestrzeń płaską (pła-szczyznę) z euklidesową miarą odległości z sumą kątów trójkąta równą 180°. W ten sposób sfera może być reprezento-wana jako nieskończony zbiór – atlas (to fachowe pojęcie) płaskich map i może być traktoreprezento-wana jako rozmaitość.

a w ogólnym przypadku, może być realizacją procesu losowego, co prowadzi do probabilistycznego automatu komórkowego.

Na Rys. 43. pokazano równoważność podejścia do modelowania systemu dynamicznego przy po-mocy automatu komórkowego dwuwymiarowego 5 x 5 z podejściem zawartym w równaniach (60), (61), (62). Rozmaitość M jest zbiorem skończonym liczb naturalnych o mocy:

33554432 2

2⁵^⋅⁵ = ²⁵ =

zaś monoid T jest dyskretnym czasem, zmieniającym wartość w zbiorze liczb naturalnych z zerem.

Moc rozmaitości M okazuje się więc tak duża, że wyniki otrzymywane przy pomocy automatów ko-mórkowych dobrze odzwierciedlają realnie zachodzące procesy.

Rys. 43. Istota modelowania zjawisk dynamiki dyskretnej automatem komórkowym

Twórcą koncepcji automatów komórkowych był Stanisław Marcin Ulam (1909-1984), matematyk polski ze szkoły lwowskiej. Jego też autorstwa jest koncepcja metod numerycznych Monte Carlo.

Swoje prace rozwijał w Los Alamos w USA, budując narzędzia matematyczne do analizy bardzo zło-żonych systemów dynamicznych.

5.2.4.1.3. Jednowymiarowy automat komórkowy

Jednym z obiektów zainteresowania w zakresie modelowania struktury powierzchni uczyniono tzw. jednowymiarowe automaty komórkowe, niezwykle proste, ale i niezwykle przydatne, jeśli chodzi o uzyskiwane wyniki. Jest to po prostu jeden rząd komórek, których stan zmienia się z chwili na chwi-lę czasową, w zależności od stanu ich sąsiadów. Jedna z reguł przejścia została przedstawiona na Rys.

44. Całkowita liczba możliwych reguł przejścia, nawet dla tak niewielkiego sąsiedztwa jak trzy są-siednie komórki, jest zaskakująco wysoka:

(63)

(

^liczba ^stanow

)

⁽^liczba^stanow⁾⁽^liczba^poprzednic^h^sasiadow⁾ ⁼²²³ ⁼²⁵⁶

co pozwala swobodnie wybierać pomiędzy różnymi interesującymi możliwościami.

Zwyczajowo stany automatu są ponumerowane kolejnymi liczbami z naturalnego kodu dwójkowe-go, stąd nazwy „reguła 30”, czy „reguła 110”, odpowiadają dziesiątkowej notacji odpowiednich liczb dwójkowych, składających się z 8 bitów. Ten bardzo prosty automat jest w pełni deterministyczny –

jego reguły przejścia są w pełni zdefiniowane i stałe. Pomimo to posiada on właściwość generowania struktur typu chaotycznego lub fraktalnego, a więc takich, jakie są obrazami morfologii powierzchni podczas badania chropowatości. Tym nie mniej nie jest w pełni jasne, jak należy wybierać jego regułę przejścia i stan początkowy, aby otrzymać obraz o z góry zadanych parametrach, odzwierciedlających fizyczną rzeczywistość. Oczywiście, zawsze można skorzystać z metody „zgadnij i spróbuj”, chcąc generować np. wzór o zadanych parametrach fraktalnych. Przykład takiego wzorca powierzchni został przedstawiony na Rys. 45.

Wydaje się też, że jednowymiarowy automat fraktalny może być użyty również do generowania po-wierzchni poprzez modelowanie procesu fizycznego rozgrywającego się na niej. Wówczas kolumny au-tomatu nie reprezentują już jego stanu w kolejnych chwilach czasu, a są drugim wymiarem przestrzen-nym. Czas reprezentowany jest poprzez kolejne momenty zmian stanu automatu.

poprzednia chwila czasu tN-1 bieżąca chwila tN

1 1

Ta komórka zmieniła swój stan zgodnie z wybraną regułą i stanem trzech najbliższych sąsiadów w poprzedniej chwili

Komórka automatu o numerze K Komórka automatu o numerze K+1

Ta komórka zmieniła swój stan zgodnie z wybraną regułą i stanem trzech najbliższych sąsiadów w poprzedniej chwili

Rys. 44. Zasady konstruowania jednowymiarowego automatu komórkowego;

wartości stanów zostały zaznaczone jak dla reguły przejścia „30”

111

Rys. 45. Wzór chropowatości wygenerowany jednowymiarowym automatem komórkowym, poczynając od losowego stanu początkowego, przy zastosowaniu reguły przejścia „30”

5.2.4.1.4. Dwuwymiarowy automat komórkowy

Przedstawiony tu dwuwymiarowy automat komórkowy jest oparty na automacie „Gra w Życie”

(„Game of Life”), zaproponowany przez amerykańskiego matematyka Conway’a¹², któremu dodano możliwość zmiany parametrów reguły decyzyjnej w zależności od bieżących potrzeb użytkownika. Ory-ginalne reguły gry są następujące: poziom „narodzin” (komórka zmienia stan na „1”) – 2 sąsiadów, po-ziom „śmierci” z przeludnienia (komórka zmienia stan na „0”) – 3 sąsiadów lub więcej, popo-ziom śmierci z „samotności” – 2 sąsiadów lub mniej. Siatka zaprogramowanego automatu ma rozmiar 15 x 15 komó-rek. Szczegóły przedstawiono na Rys. 46, natomiast ewolucję (rozwój) automatu na Rys. 47.

=JEŻELI(SUMA(G18:I18;G19;I19;G20:I20)=$$$KKK$$$555;1;

JEŻELI(LUB(SUMA(G18:I18;G19;I19;G20:I20)>$$$KKK$$$666;SUMA(G18:I18;G19;I19;G20:I20)<$$$KKK$$$777);"";

JEŻELI(H19=1;1;"")))

Rys. 46. Przykład deterministycznej reguły przejścia jak dla automatu komórkowego Conway’a, zaprogramowanej w arkuszu kalkulacyjnym Excel

Rys. 47. Rozwój dwuwymiarowego, deterministycznego automatu komórkowego, typu Conway’a

12 John Horton Conway (ur. 1937) – matematyk angielski pracujący w Princeton, w katedrze Johna von Neu-manna. Działa na polu kombinacyjnej teorii gier.

Ten automat jest w pełni deterministyczny, natomiast jego dynamika ma skomplikowaną naturę.

Na przykład – jest nieergodyczna¹³. Oznacza to, że pewne wzory „żyjących komórek” zaznaczone na Rys. 47 „1”, nie są osiągalne w toku ewolucji automatu – muszą być wykreowane spoza automatu. Na-zywane są „Rajskimi Ogrodami¹⁴”, ponieważ są „stworzone”, a nie „zrodzone” przez automat. Należy dodatkowo podkreślić, że brak ergodyczności nie oznacza, że dana komórka nigdy nie przyjmie stanu

„1” – oznacza to, że pewien wzór nie jest osiągalny, innymi słowy np. pewne struktury krystaliczne modelowane tym sposobem nie są osiągalne.

„Rajskie ogrody” są ekstremalnie trudne do znalezienia, ponieważ znane, wiarygodne metody obli-czeniowe są nieefektywne nawet dla siatek o umiarkowanej wielkości – tak dramatycznie rośnie zło-żoność obliczeniowa. Znanych jest za to kilka heurystycznych algorytmów.

Dla wygenerowania wzorów przedstawionych na Rys. 47 problem brzegowy dla automatu został zmieniony tak, że prostokątna siatka automatu została zmieniona w strukturę torusa w następujący sposób: górny i dolny brzeg zostały połączone razem oraz lewy i prawy brzeg zostały połączone ra-zem. Można dyskutować, czy takie podejście jest prawidłowe. Do modelowania realnie istniejących powierzchni materiałów nie nadaje się, ponieważ pomija fizycznie ważny problem zjawisk brzego-wych. W dalszych rozważaniach nad modelowaniem wzrostu warstw węglowych nie stosowano tego rozwiązania.

Stan 1

P_i,j P_i+1,j

P_i+1,j-1 P_i+1,j+1

P_i-1,j P_i-1,j-1 P_i-1,j+1

P_i,j-1 P_i,j+1

Rys. 48. Dwuwymiarowy automat komórkowy na torusie – bez problemów brzegowych

Bardzo istotny jest problem wyboru typu siatki i rodzaju sąsiedztwa dla każdej komórki automatu.

Wydaje się, że siatka sześciokątna – patrz Rys. 50, byłaby najbardziej naturalnym rozwiązaniem przy modelowaniu depozycji węgla, ale trudności numeryczne, przede wszystkim w sposobie pamiętania da-nych o automacie podczas pracy, są tak duże, że stosuje się, z pewnymi zastrzeżeniami, siatki prostokąt-ne. Na Rys. 49. przedstawiono taką siatkę, wraz z dwoma podejściami do problemu sąsiedztwa komórki.

13 Termin „ergodyczny” oznacza w odniesieniu do automatów komórkowych, że automat, po nieskończonym czasie działania, osiągnie z dowolnego stanu początkowego dowolny stan końcowy z prawdopodobieńst-wem = 1. Nie mówi to jednak nic, po jakim konkretnym czasie musi to nastąpić.

14 Autorem tego terminu jest John Tukey (1915-2000) – znany matematyk i informatyk amerykański, twórca bardzo efektywnego algorytmu FFT (Fast Fourier Transform) – Szybkiej Transformaty Fouriera.

Z przyczyn historycznych noszą one nazwy sąsiedztwa von Neumanna¹⁵ i sąsiedztwa Moore’a¹⁶. Dla ba-dań wybrano sąsiedztwo Moore’a stanowiące pewien kompromis z siatką sześciokątną. Określenie kon-kretnych liczb dla zestawu prawdopodobieństw P_i,j przedyskutowano w rozdziale 5.2.4.1.6.

von Neumann neighbourhood

Moore neighbourhood

Pi-1,j+1 Pi,j+1 Pi+1,j+1

Pi-1,j-1 Pi,j-1 Pi+1,j-1

Pi-1,j Pi,j Pi+1,j

Cell number (i, j)

Rys. 49. Definicja sąsiedztwa komórek i prawdopodobieństw przejścia dla probabilistycznego, dwuwymiarowego automatu komórkowego

Rys. 50. Proponowana siatka sześciokątna, lepiej przystosowana do modelowania zjawisk fizycznych z udziałem węgla. Tylko sąsiedztwo Moore’a jest zdefiniowane

5.2.4.1.5. Dwuwymiarowy automat wielowarstwowy

Prosty, deterministyczny, logiczny, dwuwymiarowy automat oparty na idei Conway’a, nie daje do-brych możliwości modelowania procesu depozycji węgla, jak i jego losowej natury. W badaniach zas-tosowano pewne rozszerzenie w postaci automatu dwuwarstwowego. Oznacza to, że stan dowolnej komórki nie zależy jedynie od stanu komórek sąsiednich w bieżącej chwili czasowej, ale również od stanu komórek warstwy bezpośrednio poprzedzającej, czyli od przestrzennego, a nie czysto powierz-chniowego rozkładu atomów węgla w już zdeponowanej warstwie. Jest to zgodne z fizyką wzrostu warstwy, która nie jest powierzchnią płaską – patrz Rys. 66, a zatem oddziaływania między atomami muszą być ujmowane przestrzennie. Pozwala to modelować również wysoce asymetryczny wzrost warstwy, a nawet intencjonalnie badać takie asymetrie.

Schemat oddziaływań między komórkami automatu został przedstawiony na Rys. 51. Bardzo waż-nym założeniem na tym etapie jest przyporządkowanie jednej komórki do jednego atomu, co niemal

15 John von Neumann (1903-1957) – genialny matematyk amerykański pochodzący z Węgier. Podobnie jak Henri Poincare pozostawił po sobie prace w bardzo wielu działach matematyki. Zajmował się również mate-matyką stosowaną.

16 Edward F. Moore (1925-2003), amerykański matematyk i elektronik, prawie całe życie związany z Universi-ty of Wisconsin-Madison. Jeden z twórców teorii automatów. Zajmował się również podstawami przetwarza-nia algorytmicznego, rozwijając idee geprzetwarza-nialnego matematyka angielskiego Alana M. Turinga (1912-1954).

zupełnie determinuje przestrzenny rozmiar siatki. Dla atomu węgla w strukturze będzie to oznaczało rozmiary od 0.06 nm do 0.16 nm dla komórki.

Założenie oddziaływania dwóch ostatnich warstw na deponowany atom nie jest obarczone nad-miernym wzrostem złożoności obliczeniowej, a pozwala na bardziej realistyczne, zgodne z fizyką zja-wiska, modelowanie powstawania warstwy węglowej z uwzględnieniem przebiegu czasowego, a nie tylko ostatecznego efektu po ukończeniu procesu. Daje również dobre podstawy do badania fraktalnej geometrii warstwy, łącznie z przestrzennym rozkładem grafit-diament. Mówienie o fraktalnej geome-trii warstwy wymaga jednak pewnego zastrzeżenia. Pojęcie „wymiar fraktalny” zostało stworzone do opisu obiektów wykazujących nieskończoną skalowalność przestrzenną. W przypadku warstw węglo-wych w skali „nano” ziarnistość jest oczywista i stanowi granicę stosowalności standardowęglo-wych sposo-bów wyznaczania wymiaru fraktalnego.

Z matematycznego punktu widzenia, odpowiedź automatu komórkowego, czyli przebieg czasowy deponowania atomów węgla w warstwie, jest powierzchniowym (dwuwymiarowym), dyskretnym w przestrzeni i czasie procesem Markowa¹⁷.

Warstwa bieżąca

Warstwa poprzednia Możliwy do osiągnięcia stan

w warstwie wyznaczanej

Sąsiedztwo Moore’a w warstwie poprzedniej

Sąsiedztwo Moore’a w warstwie bieżącej

Prawdopodobieństwo wiązania wyznaczone z potencjału Lennarda-Jonesa i założonego rozmiaru komórki Wyznaczana komórka

Szerokość komórki:

0.1 nm

Głębokość komórki:

0.1 nm

Rys. 51. Diagram oddziaływań między komórkami – atomami, w dwuwarstwowym, dwuwymiarowym automacie komórkowym modelującym wzrost warstwy węglowej

5.2.4.1.6. Skala czasu automatu komórkowego

Skalę czasu automatu komórkowego determinuje układ prawdopodobieństw P_i,j – patrz Rys. 49.

Prawdopodobieństwa przejścia zostały dobrane metodą identyfikacji parametrów systemu dynami-cznego, którym jest narastająca warstwa węglowa (patrz uwagi o automacie, jako systemie dynamicz-nym 5.2.4.1.2). Metodyka postępowania była następująca:

• określenie sił działających między atomami węgla ulokowanymi w komórkach automatu i komórką rozpatrywaną do przyłączenia – determinisrtyczne, wynikające z rozmiarów komórek i potencjału Lennarda-Jonesa dla atomów węgla, według schematu z Rys. 51;

17 Andrey Andreevich Markov (Andriej Andriejewicz Markow) (1856-1922) – znakomity matematyk rosyjski.

Prace z dziedziny rachunku prawdopodobieństwa i procesów stochastycznych (losowych).

• odwzorowanie siły na prawdopodobieństwo przyłączenia, dobierane z zadanej funkcji, której para-metry stanowiły zasadniczy przedmiot identyfikacji. Wypróbowano dwie zależności funkcyjne: li-niową i wykładniczą.

Binding energy and force against interatomic distance for carbon atoms: Lennard-Jones potential

0.050 0.055 0.060 0.065 0.070 0.075 0.080 0.085 0.090 0.095 0.100 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150Distance [nm]

Energy [eV]

Rys. 52. Potencjał Lennarda-Jonesa dla atomów węgla z zaznaczonymi charakterystycznymi punktami wiązania użytymi w prezentowanym automacie komórkowym

Różne metody budowania funkcji siła → prawdopodobieństwo wiązania, prowadzą do generacji warstw o różnej porowatości, co przedstawiliśmy na Rys. 63 i Rys. 64.

Naturalną granicą szybkości budowania warstwy przez automat komórkowy jest przyrównanie do 1 prawdopodobieństwa przyłączania węgla w kolejnych krokach. Daje to położenie jednej pełnej warstwy na jeden krok czasowy. Z kolei w kategoriach szybkości powierzchniowej odpowiada to in-nej, naturalnej granicy dla dwuwymiarowego automatu powierzchniowego – jest to tzw. „dynamika kwadratowa”, czyli nie jest możliwe szybszy niż liniowy wzrost pola powierzchni wybranego obszaru z kroku na krok czasowy. Wymienione ograniczenia, jakkolwiek ważne teoretycznie, nie mają prakty-cznego znaczenia, gdyż warunki normalnej pracy automatu, odzwierciedlające fizyczne warunki pro-cesu depozycji węgla, są położone daleko poniżej.

5.2.4.1.7. Przejście grafit →→→→ diament

Przejście fazowe grafit → diament na powierzchni warstwy węglowej odbywa się w kilku etapach, z decydującą rolą hydrogenacji wierzchniej warstwy atomów węgla co zostało opisane w literaturze.

Etap pierwszy polega na przemianie typu martenzytycznego (przemianie przesunięcia) ze struktury regularnie uporządkowanej do struktury heksagonalnej – największego upakowania, jak to zaznaczono schematycznie na Rys. 53. Następnym etapem jest odkształcenie tzw. heksagonalnego diamentu do struktury klasycznego diamentu tetragonalnego, co pokazano schematycznie na Rys. 54. Przemiany te są możliwe przy niskim nakładzie energii ze względu na hydrogenację powierzchniową, kształtującą układ orbitali atomów węgla.

grafit

diament „heksagonalny”

Przesunięcie atomów w warstwie do najbliższego miejsca międzywęzłowego, czyli przejście martenzytyczne o niskim progu energetycznym

atom węgla atom wodoru

specyficzne wiązanie wodór - węgiel

Rys. 53. Przejście typu przemiany martenzytycznej (przemiany przesunięcia) wierzchniej warstwy atomów węgla ze stabilizującą hydrogenacją

diament

„heksagonalny”

diament

„tetragonalny”

Przesunięcie atomów między warstwami,

aż do zbudowania wiązań kowalencyjnych

Schemat kowalencyjnych wiązań w sieci krystalicznej diamentu Podstawowy

tetragon (czworościan)

Rys. 54. Dalsze etapy odkształcania struktury warstwy węglowej i przejścia do sieci diamentu

5.2.4.2. Wyniki generowania warstw węglowych automatami komórkowymi

W dokumencie „Wytwarzanie i badania właściwości użytkowych warstw węglowych i TiN na stopach magnezu oraz warstw niskotarciowych na stali X38CrMoV5-1” (Stron 48-57)