Podstawy teoretyczne metod parametrycznych

Wyróżnia się dwa rodzaje metod parametrycznych – deterministyczne i stochastyczne.

Parametryczne podejście do oszacowania poziomu efektywności wymaga przyjęcia funkcji opisującej zależność pomiędzy nakładami a efektami. Najczę-ściej stosowane są postacie funkcji stosowane w ekonometrii do analizy procesu produkcyjnego, takie jak funkcje typu Cobb-Douglasa i funkcja translogaryt-miczna. Przykładem deterministycznego podejścia do estymacji efektywności jest podejście zaproponowane przez Aignera i Chu, którzy oszacowali stocha-styczny model graniczny o postaci:

i i i

i x' u

q

ln = β −

gdzie:

q_i – efekt,

x’i – wektor logarytmów nakładów, βi – wektor parametrów,

ui – dodatnia zmienna losowa powiązana z efektywnością techniczną (TE).

Do oszacowania modelu deterministycznego używane jest programowa-nie liniowe lub metody estymacji, główprogramowa-nie metoda największej wiarygodności i skorygowana metoda najmniejszych kwadratów. W modelu deterministycznym podobnie jak w metodzie DEA, każde odchylenie od krzywej granicznej przypi-sywane jest nieefektywności technicznej. Jednakże odchylenia od krzywej gra-nicznej mogą wynikać również z innych przyczyn (błędne obserwacje, wpływ zmiennych nieujętych w modelu, takich jak np. szczęścia, pogody itp.), które noszą nazwę tzw. szumu. Stochastyczne podejście do estymacji modeli granicz-nych uwzględnia natomiast istnienie szumu statystycznego, który reprezentowa-ny jest przez dodatkową zmienną losową vi. Stochastyczny model graniczny zo-stał jednocześnie i niezależnie zaproponowany przez Aignera, Lovella i

Schmid-ta (1997) oraz Meeusena i van den Broecka (1977). Jest to model o następującej

vi – zmienna losowa reprezentująca błąd losowy, który uwzględnia istnienie szumu statystycznego.

Graficzna prezentacja stochastycznego modelu granicznego typu Cobb- -Douglasa została zaczerpnięta z pracy T.J. Coelliego⁷⁵. Założono, że dwa przedsiębiorstwa produkują jeden produkt przy tylko jednym nakładzie:

i

Na wykresie 19 zaprezentowano nakłady i efekty dla dwóch przedsiębiorstw A i B. Na osi odciętych umieszczono wielkość nakładów, natomiast na osi rzęd-nych wielkość efektów. Przedsiębiorstwo A wykorzystuje nakład w wielkości x_A do wytworzenia efektu qA, przedsiębiorstwo B odpowiednio nakład xB do wytwo-rzenia efektu qB (punkty zostały zaznaczone na wykresie znakiem ×). Jeśli nie wy-stępowałaby nieefektywność (czyli uA = 0 i uB = 0), wówczas tak zwany graniczny efekt (oznaczony na wykresie znakiem ⊗) byłby dany wzorami, odpowiednio dla przedsiębiorstw A i B:

)

Graniczny produkt przedsiębiorstwa A leży ponad krzywą determini-stycznej części produkcyjnego modelu granicznego, ponieważ wpływ szumu jest dodatni (v_A>0), natomiast graniczny efekt dla przedsiębiorstwa B leży na tej krzywej, gdyż wpływ szumu był ujemny (uB<0). W przypadku, w którym wpływ szumu jest dodatni i większy od nieefektywności, wówczas empiryczny (obserwowany) efekt będzie znajdował się ponad krzywą deterministycznej czę-ści produkcyjnego modelu granicznego.

75 T. J. Coelli et al., An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis, Springer, New York 2005.

składnik determi-nistyczny

szum nieefektywność

Wykres 19 Graficzna prezentacja stochastycznego modelu granicznego

)

Miernikiem efektywności technicznej, który można ustalić wykorzystując oszacowany stochastyczny model graniczny, jest stosunek empirycznego efektu do efektu granicznego:

Współczynnik TE przyjmuje wartości od zera do jedności i jest miarą efektywności względnej.

W celu oszacowania parametrów stochastycznego modelu granicznego używane są następujące metody: klasyczna metoda najmniejszych kwadratów, skorygowana metoda najmniejszych kwadratów oraz metoda największej wia-rygodności.

Stochastyczny model graniczny zawiera dwa czynniki losowe: vi o syme-trycznym rozkładzie oraz dodatni składnik losowy u_i. Zakłada się, że rozkład v_i jest niezależny od ui, oraz że oba składniki losowe są nieskorelowane ze zmien-nymi objaśniającymi. Ponadto zakłada się, że składnik losowy ma wartość ocze-kiwaną równą zero, oraz że v_i i u_i są homoskedastyczne. W praktyce przyjmuje się z góry rozkład składnika losowego u_i. Najczęściej zakłada się, że ma on roz-kład pół-normalny, ścięty normalny, wyroz-kładniczy lub gamma.

Procedury estymacji stochastycznych modeli granicznych są zawansowane numerycznie, lecz ich zastosowanie ułatwiają specjalistyczne programy komputero-we, m.in. pakiety statystyczne, np. STATA, GAUSS oraz specjalistyczne: LIMDEP

⊗

i FRONTIER⁷⁶. Pierwszy z nich jest bardziej zaawansowany, lecz płatny. FRON-TIER natomiast jest programem darmowym, i pomimo że jego możliwości w po-równaniu z LIMDEP są ograniczone, wystarcza do przeprowadzenia zaawansowa-nych analiz z zakresu stochastycznej analizy granicznej.

Procedura estymacji modelu granicznego w programie FRONTIER składa się z trzech kroków:

1. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów.

2. Dwufazowe szukanie na siatce (grid search) parametru gamma.

3. Wartości wybrane w kroku 2. są używane jako wartości startowe dla itera-cyjnej procedury ustalenia estymatorów metodą największej wiarygodności.

Szczegółowy opis procedury można odnaleźć w przewodniku do programu⁷⁷. Procedury testowania hipotez dotyczą wielu aspektów estymacji stocha-stycznych modeli granicznych, od istotności oszacowań parametrów regresji po-czynając, przez właściwość przyjętej postaci funkcji czy zakładanego rozkładu składnika losowego, a kończąc na testowaniu występowania nieefektywności.

Istotność parametrów zarówno modelu szacowanego metodą najmniej-szych kwadratów, jak i metodą największej wiarygodności weryfikowana jest testem t-Studenta, przy czym testy te w przypadku równania oszacowanego me-todą największej wiarygodności są testami o własnościach asymptotycznycz-nych, a zatem wymagają dużej próby.

Niezbędne jest również rozstrzygnięcie, czy w analizowanej próbie wy-stępuje zjawisko nieefektywności, to znaczy, czy różnica pomiędzy efektem empirycznym a granicznym wynika z nieefektywnego zastosowania nakładów, czy też odchylenia w efektach wynikają jedynie z szumu. Przez γ określany jest iloraz wariancji składnika losowego u_i i całkowitej zmienności zmiennej skład-nika losowego, czyli: rzucenia hipotezy zerowej, oznacza to, że wariancja składnika losowego równa się zero, a zatem składnik ten (u_i) można wyeliminować z modelu, a co za tym idzie nie występuje nieefektywność. Wszelkie odchylenia od linii granicznego

76 http://www.uq.edu.au/economics/cepa/frontier.htm

77 T. Coelli, A guide to FRONTIER version 4.1: a computer program for frontier production function estimation, CEPA Working Paper, nr 7, 1996, Department of Econometrics, Univer-sity of New England, Armidale, Australia.

efektu (deterministycznej) wynikają wówczas z szumu statystycznego. Jeśli stwierdzono, że w analizowanej próbie występuje zjawisko nieefektywności, wówczas parametr gamma informuje, w jakim stopniu zróżnicowanie (wa-riancja) składnika losowego wywołane jest wariancją składnika utożsamiane-go z nieefektywnością.

Zarówno testy istotności parametrów szacowanych modeli granicznych, jak również dotyczące parametru gamma mogą służyć do stwierdzenia, czy zakładana postać funkcji została dobrana poprawnie. W przypadku gdy rozważane są np. dwie postacie funkcji – typu Cobb-Douglasa i translogarytmiczna – w pierwszej kolejno-ści należy stwierdzić, czy oszacowane regresory (współczynniki zmiennych obja-śniających w równaniu regresji) są istotne statystycznie, a następnie ocenić, w któ-rym przypadku zróżnicowanie składnika losowego (reprezentującego różnicę po-między efektem empirycznym a granicznym) wynika w większym stopniu ze zróż-nicowania części oznaczającej nieefektywność.