Niniejsza praca poświęcona jest w większości rozwiązaniom typu Q-ball w zespo
lonym modelu signum -Gordona. Podano konstrukcję tych rozwiązań oraz powiązano ich absolutną stabilność z absolutną stabilnością analogicznych rozwiązań w modelu zregularyzowanym. Wykazano, że Q-balle w zregularyzowanym modelu w trzech wy
m iarach przestrzennych są absolutnie stabilne. W takim razie, również w oryginalnym modelu nie istnieją rozwiązania, które m ają m niejszą energię przy zadanym ładunku.
Rozwiązania te pozostają nadal istotne, gdy globalną sym etrię (w trzech wym iarach przestrzennych) zastąpi się sym etrią lokalną, W tym w ypadku możliwe są również roz
wiązania typu Q-shell, czyli konfiguracje, w których naładow ana elektrycznie m ateria tworzy powłokę - kulę z wydrążonym , pustym wnętrzem.
Jak zasygnalizowano powyżej, trw a praca nad kwantowym modelem signum -Gordona, Obliczenia analityczne ja k i numeryczne w ym agają jeszcze sporo wysiłku, aby m ożna było je zaprezentować szerszemu gronu czytelników. Na poziomie teorii klasycznej b ar
dzo ciekawy wydaje się problem wypracowania jakiegoś schem atu znajdow ania rozwią
zań bliskich znanym analitycznym rozwiązaniom, czegoś, co odpow iadałoby opisowi zaburzeń w liniowym reżimie w konwencjonalnych teoriach. Takie narzędzie byłoby istotne z pun k tu widzenia fizyki, gdyż możliwa stałab y się wówczas analiza stabilności znanych rozwiązań.
D o d atek A
O graniczenie n a zregularyzow any p o ten cjał
Dla kompletności wywodu w rozdziale 4,1 należy wykazać, że istnieją takie dodatnie liczby a, b a ß że dla 0 < 5 < 1 i wszystkich x spełniona jest nierówność
s/x2 + £2 — — ^ x2 > a |x |" — b \ x f . (A -l) Przyjm ując a = 2, ß = 3, a = (1 —£ )/2 i b = 3(2 —-\A)£ _1 możemy zapewnić spełnienie tej nierówności - podane na stronie 27 ograniczenie na a i ß jest skomentowane poniżej.
Aby się o tym przekonać zbadajm y pierw iastki równania
V x2 + ô2 = ô + - x2 + a \ x\2 — b\x\3. (A.2) x
x 2
rów nania
— 1 + 25 — 2óbx + x2 — 26 x3 + b2x Ą = 0. (A,3)
Należy zwrócić uwagę, że pierw iastki wyjściowego problem u (A,2) są również pierw iast
kami powyższego wielomianu, W drugą stronę implikacji nie m a - przy podnoszeniu do kw adratu gubimy informację o względnym znaku obu stron równości. O trzym any wielomian jest rozwiązywalny. Rozwiązania w yrażają się skomplikowanymi i długim i wzorami. Zam iast ich ścisłej analizy przedstaw im y następujące uzasadnienie. Przy pomocy program u Mathematica zostały znalezione wzory na pierw iastki powyższego wielomianu czwartego rzędu. W staw iając do tych rozwiązań zaproponowane wyrażenia na a i b wykonujemy wykresy pierwiastków w zależności od param etru 5, Okazuje się, że dwa pierw iastki są zespolone (wzajemnie sprzężone) dla wszystkich interesujących w artości param etru, Z naszego p u nk tu widzenia są one nieistotne. Pozostałe dwa pierw iastki są rzeczywiste: d o d atn i i ujemny. Ten o statni również jest nieinteresujący.
Rysunek A.l: Nieujemny pierwiastek równania (A.3).
Rysunek A.2: Wartość wyrażenia W (x0) dla różnych wartości ö.
Pierw iastek dod atn i (ściśle: nieujemny) oznaczamy przez x0. Wykres A .l prezentuje w artość x 0(5) dla 0 < 5 < 1. W artość wyrażenia
W ( x ) = V x2 + 62 — ô — ^ x2 — a \ x\2 + b\x\3
w punkcie x 0 w zależności od p ara m etru 5 przedstaw iona jest na wykresie A.2 . Jak wi
dać wyrażenie to przyjm uje dodatnie wartości w x 0. Takiego znaku należy oczekiwać, jeżeli nierówność m a być spełniona.
Z w arunku a < ß < 2 n /( n — 2), który łączy p aram etry a i ß z n (wymiarem prze
strzennym ) wynika, że powyższe dopasowanie jest dobre dla modelu w trzech, czterech i pięciu wym iarach. W ydaje się jednak, że odpowiedni dobór param etrów a, b a i ß w większej liczbie wymiarów przestrzennych jest możliwy. Aby zapewnić spełnienie nierówności (A .l) dla x bliskiego zera, m ożna przyjąć a = 2 i a odpowiednio małe.
Aby zapewnić spełnienie nierówności dla dużych wartości x p aram etr ß musi spełniać w arunek ß < 2 < 2 n /(n — 2). Jego spełnienie jest zawsze możliwe. D obór konkretnej wartości a b \ ß tak, aby nierówność (A .l) była prawdziwa dla wszystkich x wydaje się więc możliwy.
D o d atek B
R elacja m iędzy Q -ballam i w m odelu z i bez regularyzacji
B .l Definicje i ogólne obserw acje
Jesteśm y zainteresowani oszacowaniem różnicy pom iędzy funkcjami f + i fs, k tórą oznaczamy przez
n (y ) = f + (y) — f s (y ) . ( b .i) Funkcja f+ jest rozwiązaniem rów nania (3.2) i d an a jest wzorem (3.5). Funkcja f s jest rozwiązaniem rów nania różniczkowego (4.2). Funkcje te sp ełn iają następujące warunki początkowe f+ (0) = f s (0) > 1 i f+ (0) = f S (0) = 0. Jeżeli w arunki te nie są spełnione, rozwiązania fs i f+ nie są funkcjam i profilu Q-balla: w przypadku pierwszego w arunku wynika to choćby z analogii mechanicznej, drugi warunek został skomentowany w roz
dziale 2.1. Jest to jedyne ograniczenie na funkcje f + i f s ; nie żądam y aby to były funkcje profilu. B adając rozw iązania z dowolnymi warunkam i początkowym i chcemy się czegoś dowiedzieć na tem at warunków początkowych funkcji profilu f s (0). Skoro f+ > 1, to na podstaw ie równań (3.2) i (4.2) otrzym ujem y równanie różniczkowe
v" H r], + ri = -,— --- r— , (B-2)
v ( v ^ + T f + J»)
przy czym n(0) = v'(0) = 0. Dla wygody oznaczamy praw ą stronę w ystępującą w tym równaniu przez <p(fs (y)) (w zależności od kontekstu będziemy się również posługiwać notacją <p(fs^ Funkcja ^(-) dla dodatnich argum entów jest d o d atn ią i m onotonicz
nie m alejącą funkcją. W dalszej części wielokrotnie będziemy wykonywać szacowania korzystając ze związku
62/3
v U t , ) < e T « (B.3)
gdzie g > 0 jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przy założeniu, że 6 jest d o d atn ią m ałą liczbą, szacowanie to m a postać
v U s ) < ÿr » / « > ä2/V ! + 0 ( 0 1 ) . (B.4) Równanie (B.2) jest niejednorodnym równaniem liniowym. Część jednorodna jest taka sam a ja k dla rów nania (3.2). Rozwiązanie jest dane poprzez całkę
A priori dowolna kom binacja rozwiązań rówania jednorodnego może zostać dodana do rozwiązania (B .5). W arunki na n(0) i V(0) elim inują wszakże takie wyrazy. Całkowanie
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne dotychczasowych rozważań zapisujemy warunek na f s (0):
f m > a -
u i (yo)0 3 ( \ l
VV 2f +Ł) ■
)(B'10)
wykażemy teraz, ze cna dostatecznie maiycn wartości o iunkcja f s zm ienia znak, w tym
k tó rą w ram ach analogii mechanicznej m ożna interpretow ać jak energię cząstki z uwzględ nieniem s tra t na tarcie na odcinku (ys, y). Stąd możemy dostać oszacowanie na fS (y) dla y > yz : ______________________________
\fś(y)\ < \ j 2 E mech(yz, yz ) + - ß .
W interesującym nas przedziale wartości f s G (—5-1/3, 52/3g 1/3) wiodący wkład (rzędu 50 pochodzi od fS(yz). Wstawiając to do rów nania na funkcję f s i uwzględniając, że w badanym obszarze pochodna funkcji f s jest ujem na, uzyskujemy oszacowanie drugiej pochodnej poprzez f s
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne przez f0 — f s (0), Dalsze szacowanie możemy wykonać podobnie jak powyżej: wybieramy pu n k t y z < y0, tak i że f s (yz) = 52/3g\/3. Wówczas wyraz pochodzący z całkowania w
cinku [0, y0] funkcja u[ jest ograniezona (niezależnie od 5) oraz pokazać monotoniezność funkcji f S dla wszystkich argum entów y większych od pewnego yi < y0. M onotoniez
ność pochodnej m ożna uzasadnić następująco. Funkcja f S zmienia się z malejącej w rosnącą (lub odw rotnie), gdy f S = 0, Wówczas równanie (4,2) m a postać
^ f l = , ! M S M
-y v / s 2(y) \ J f s ( v ) + <j2+ 52
Z faktu, że f < 0 wynika, że druga poehodna funkcji f s może mieć wartość zero tylko, gdy fs > V l — à2. Można więc wziąść y\ takie, że f ( y i) = 0.5, Dla dostatecznie małej wartości 5 praw dą jest wówczas, że dla y > y1 pochodna funkcji fs monotonicznie rośnie do zera,
B.4 W nioski
Wyniki numeryczne zaprezentowane powyżej pokazują, że regularyzacja modelu signum -G ordona nie wpływa znacznie na relację E (Q ) dla dużych ładunków i energii.
Bazując na powyższych wynikach możemy pokazać, że nie jest to przypadek. Wyka
żemy najpierw , że całka f dnx fs2 dąży do wartości znanej z m odelu signum -Gordona, W dowolnej skończonej objętości wynika to natychm iast z jednostajnej zbieżności funk
cji f s. Wniosek tak i w całej przestrzeni R n nie jest uprawniony, o czym świadczy na
Na podstaw ie monotoniczności funkcji f s szacujemy fs{y) y fs{y)
\ j f&{y) + ^2 \ j f&{yo) + à2
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne
wynik tego całkowania w formie cq+ q(5), gdzie pierwszy wyraz jest w artością graniczną 5
do zera dla m ałych wartości k. W staw iając tę w artość do oryginalnej form uły (4,5) otrzym ujem y relację
« = 4 ( c <3+9(! t L) ) ’ (b,19)
k tó ra w wiodącym rzędzie jest taka sam a jak w oryginalnym modelu.
Podobne rozumowanie m ożna przeprowadzić dla energii. Odpowiedni funkcjonał ma postać
M ając na uwadze, że y0 > l w tym przypadku (por, rozdział 3,1,2), prawdziwa jest
nierówność n r c n r c
0 < I/s I dy < l/s|y dy,
Jyo Jyo
skąd wnioskujemy, że
iim / |f S |y dy = 0.
s^ 0 J yo
Można przyjąć, że 0 < fS2(y) < | f ' s (y)| dla y > y0, więc
/
Of s 2 y dy = 0>czyli również dla n = 2 całka z kw adratu pochodnej f s dąży do całki z kw adratu po
chodnej funkcji f .
Całkę z energii potencjalnej wykonamy w dwóch krokach: wyodrębniam y część nieza-5
/ OO / /-------------------- \
f'OG f'OG r
d y y n~ l ( \ / f i + s 2 - s ) = d y ' / „ -
2 5
d y v n ~ l Ł* .v J j0 j0 y / s 2 + 52 + 5 + fs
Całkowanie części zależnej od p aram etru dzielimy na dwa obszary. W kład do całki
y0 5
r yo i r yo 1
25 d y y n~ l Ls---< 2 6 d y y n~ l - - , 0 .
j0 \ / / s 2 + 52 + 5 + fs j0 2
Całkowanie w pozostałym obszarze przestrzeni jest również zaniedbywalne, gdyż
/
CO d y y n~ l ,--- ---i < 2 5 nO d ! n ," i - o .~0 f + 52 + 5 + fs Jyo 25
Zapisując wynik całkowania w analogicznej formie jak dla ładunku, ce + e(5) otrzym u
jem y wyrażenie
s = ^ s ( C £ + t ( ^ r ) ) ' ( R 2 1 ) które odpow iada dla m ałych wartości k wyrażeniu znanem u z oryginalnego modelu.
D o d atek C
R achunek zaburzeń
Omówione w rozdziale 5 wyniki m ożna również uzyskać analizując wyjściowe rów
nania (5,6) i (5,7), Chcąc sprawdzić, czy te rów nania m ają coś wspólnego z równaniem Q -balla w m odelu signum -G ordona przeskalowujemy: y = wr, f = (A /2w2)F , Do
datkowo wprowadzamy funkcję a = 2w5/A2qA i oznaczenie 7 = A2q2/2w6, Wyjściowy układ równań m a teraz postać
/ " + \ f = - ( 1 + 7«)2/ + s i g n ( f ) , a" + V = (1 + 7 a ) / 2.
P aram etr 7 trak tu jem y jako p a ram etr rozwinięcia perturbacyjnego, czyli zakładam y, że f = f0 + 7/ + Y2f2 + . . . i a = a0 + 7a i + 7 2a2 + . . . , Biorąc w dostatecznie duże, możemy oczekiwać, że p a ram etr 7 będzie istotnie mniejszy od wszystkich charakterystycznych wielkości występujących w modelu, W rzędzie 7 0 rów nania m ają następującą postać
/0 + f /ó = “ /o + sign(fo), ag + \a!0 = / 02.
W tej formie rów nania m ają stru k tu rę znaną z liniowej elektrostatyki: pierwsze równa
nie wyznacza rozkład ładunku (m aterii), drugie potencjał elektrostatyczny pochodzący f0
globalną sym etrią (3,2), posiada więc znane rozwiązanie (por, rozdział 3,1), Możemy a0
t y du r u
M v ) = ™ dv v2f . ( c .i )
J n u2 Jo
Jak wynika ze wzoru (5,14), w oryginalnym układzie równań spełniony jest warunek A (r) ^ 0 dla r ^ to , W arunek ten tłum aczy się teraz na żądanie a(y) ^ 0 dla y ^ to , co uzasadnia granice całkowania. S tąd m ożna wy znaczyć wartość a0(0)
r n du r u
ao(0) = - ^ dv v2f 2. (C.2)
0 u2 0
Niestety wynik całkowania w powyższym wzorze nie jest dany przez funkcje elemen
przy czym a i £ są pewnymi stałym i liczbowymi. Funkcja ta jest rozwiązaniem równania (C.5) o ile jest dodatnia. W arunki ciągłości na granicy pom iędzy obom a obszaram i
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne Można uznać, że jest to granica stosowalności zaproponowanego rozwinięcia, Z danych numerycznych wynika, że wszystkie znalezione rozw iązania mieszczą się w tym zakre
sie, M ając dane y i m ożna wyznaczyć p aram etry a i
x-Jak widać, rachunek zaburzeń dla modelu signum -G ordona zawiera również część nie- p ertu rb acy jn ą - pojaw ia się ona w wyniku procedury sklejania nietryw ialnych rozwią
zań z rozwiązaniem próżniowym, W wyższych rzędach tego rachunku, przy obliczaniu kolejnych poprawek, możliwe jest również skrócenie wyjściowego rozwiązania,
W ram ach przedstaw ianego rachunku zaburzeń można zrozumieć, dlaczego prosty model opisujący duże Q-shelle (zob, rozdział 5,4) działa. Łatwo dostrzec, że przedsta-7 0 opuszezonym wyrazem zaw ierającym pierwszą pochodną. Dane numeryczne wskazują, że (wr0)- i jest rzędu 7 dla dużych wartości r 0. Tak więc w tym rzędzie opuszczenie członu z pierwszą pochodną jest dozwolone. Ceną, jaką za to trzeb a zapłacić, jest brak
r 0
było uciec się do procedury nieperturbacyjnej (m inim alizacja energii). A lternatyw nym sposobem byłoby wykonanie rachunków w kolejnym rzędzie rachunku zaburzeń.
[1] H, Arodź, Acta Phys.Polon. B 3 3 , 1241 (2002),
[2] H, Arodź, P, Klimas, T.Tyranow ski, Acta Phys.Polon. B 3 6 , 3861 (2006), [3] H, Arodź, P, Klimas, T.Tyranow ski, Acta Phys.Polon. B 3 8 , 3099 (2007), [4] H. Arodź, P. Klimas, T.Tyranow ski, Acta Phys.Polon. B 3 8 , 2537 (2007).
[5] H. Arodź, P. Klimas, T.Tyranow ski, Phys.Rev. D 7 7 , 047701 (2008).
[6] H. Arodź, J. Karkowski, Z. Świerezyński, Phys.Rev. D 8 0 , 067702 (2009).
[7] H. Arodź, J. Lis, Phys.Rev. D 7 7 , 107702 (2008).
[8] H. Arodź, J. Lis, Phys.Rev. D 7 9 , 045002 (2009).
[9] J. Lis, Acta Phys.Polon. B 4 1 , 629 (2010).
[10] P. Klimas, J.Phys.A:Math. Theor. 41, 095403 (2008).
[11] V. Koutvitsky, E. Maslov, J.Math. Phys. 47, 022302 (2006).
[12] S. Colem an, Nuci.Phys. B 2 6 2 , 263 (1985) [Erratum -ibid. B 2 6 9 , 744 (1986)].
[13] S. Colem an, V .Glaser, A. M artin, Commun. Math. Phys 58, 211 (1978).
[14] E. E ajaram an , E. J. W einberg, Phys.Rev. D i l , 2950 (1975).
[15] E. E ajaram an , Solitons and Instantons. N orth-H olland, A m sterdam , 1982.
[16] M. Tsum agari, The Physics of Q-balls [arxiv:0910,3845], [17] T, D, Lee, Y, Pang, Phys.Rept. 221, 251 (1992),
[18] K. Enqvist, A. M azum dar, Phys.Rept. 380, 99 (2003).
[19] A. M. Safian, S. Coleman, M.Axenides, Nuci. Phys. B 2 9 7 , 498 (1988);
A. M. Safian, Nuci. Phys. B 3 0 4 , 392 (1988).
Zespolony model signum -G ordona i modele pokrewne [20] C. Adam et al, Phys.Rev D 8 0 , 105013 (2009).
[21] K, Lee, J, A, Stein-Shabes, E, W atkins, 1..M. W idrow, Phys. Rev. D 3 9 , 1665 (1989).
[22] M, Axenides, E, Floratos, A, Kehagias, Phys. Lett. B 4 4 4 , 190 (1998),
[23] K, N, Anagnopoulos, M, Axenides, E, G, Floratos, N, Tetradis, Phys. Rev. D 6 4 , 125006 (2001).
[24] V. Benei, D. Fortunato, Commun. Math, Phys. 295, 639 (2010).
[25] V. Benei, D. F ortunato, Adv. Nonlinear Stud. 8, 327 (2008); D. M ugnai, Ann.
Inst, H. Poincaré Anal. Non Linéaire: Solitary waves in Abelian Gauge Theories with strongly nonlinear potentials, w druku.
[26] T .D .’Aprile, D. M ugnai, Adv. Nonlienar Stud. 4(3), 307 (2004).
[27] V. Benei, D. Fortunato, Rev. Math, Phys. 14, 409 (2002).
[28] E. Long, Rev. Math, Phys. 18, 747 (2006).
[29] B. Kleihaus, J. Kunz, C. Läm m erzahl, M. List, Phys.Lett B 6 7 5 , 102 (2009).
[30] F. Stroeehi, Selected Topics on the General Properties o f Quantum Field Theory.
World Scientific Publishing 1993.
[31] A. Schm idt, Euclidean Reconstruction in Quantum Field Theory: Between tempe
red distributions and Fourier Hyperfunctions [arxiv:m ath-ph 9811002],
[32] C. M orningstar, The Monte Carlo method in quantum field theory [arxiv:hep-lat 0702020],
[33] R.K ubo, Thermodynamics - an advanced course with problems and solutions.
N orth-H olland Publ. Comp., A m sterdam , 1968, str.246.
[34] C. M. Bender et a l, Phys. Rev. D 1 9 , 1865 (1979).
[35] M. E. J. Newman, G. T. Barakem a, Monte Carlo Methods in Statistical Physics.
Clarendon Press, Oxford, 1999.