Pojęcie funkcji prostej - Szkice do wykładu z Teorii miary i całki (wykład monograficzny), dr J

n=1

f_n(x) jest zbieżny punktowo. Wtedy jest on H - mierzalny i przyjmuje wartości rzeczywiste.

Stwierdzenie 8.2 Niech dany będzie ciąg {fn: X → R : n ∈ N} odwzorowań H - mierzalnych i nieujemnych. Wtedy szereg

∞

n=1

fn(x) jest H - mierzalny (dokładniej H - B(R) - mierzalny) i przyjmuje wartości z R.

8.2 Pojęcie funkcji prostej

Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).

Definicja 8.1 Funkcję f : X → R nazywamy prostą wtedy i tylko wtedy, gdy

card f (X) < ℵ0. (8.3)

Inaczej to można zapisać

∃_n∈N∃_{A₁_,...,A_n_}⊂2X∃_{a₁,...,a_n}⊂R(∀1¬i<j¬nA_i∩ Aj= ∅) ∧ (∀1¬i<j¬na_i6= aj) ∧

n [ k=1 A_k= X ⇒ f (x) = n X k=1 a_kχ_A_k(x) (8.4)

Stwierdzenie 8.3 Jeżeli {An : n 1} ⊂ H, to funkcja f występująca w definicji 8.1 jest H - mierzalna.

8.3 Zadania

Zadanie 8.2 Niech dany będzie ciąg odwzorowań {fn: R → R : n ∈ N} borelowskich oraz funkcja f będąca granicą punktową

tego ciągu. Wtedy f jest borelowska.

9.1 Funkcje proste – twierdzenie o aproksymacji

Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).

Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.) Jeżeli f jest nieujemną funkcją o wartościach

w R określoną na X. Wówczas istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych zbieżnych punktowo do f .

Wniosek 9.1 Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą określoną na X. Wówczas istnieje ciąg funkcji prostych zbieżnych punktowo

do f .

Wniosek 9.2 (Charakteryzacja nieujemnych funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.)

Niech f : X → R nieujemna funkcja. Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do funkcji f .

Stwierdzenie 9.1 Załóżmy, że dla funkcja f z wniosku 9.2 zachodzi sup

x∈X

f (x) < +∞. Wówczas

sup

x∈X

|f (x) − fn(x)| → 0 dla n → ∞, (9.1)

gdzie fn jest ciągiem występującym we wniosku 9.2.

Wniosek 9.3 (Charakteryzacja funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.) Niech f : X → R funkcja.

Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do funkcji f .

9.2 Funkcje równoważne. Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)

Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią. Niech P będzie pewną własnością określoną dla elementów zbioru

Definicja 9.1 Mówimy, że własność P zachodzi prawie wszędzie względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy

{x ∈ X : P(x) nie zachodzi} ∈ H (9.2)

µ({x ∈ X : P(x) nie zachodzi}) = 0. (9.3)

Zapisujemy P(x) p.w. (modµ) na X.

Definicja 9.2 Niech A ∈ H oraz f, g: A → R mówimy, że funkcje f i g są równoważne względem miary µ na zbiorze A

wtedy i tylko wtedy, gdy

{x ∈ A : f (x) 6= g(x)} ∈ H (9.4)

µ({x ∈ A : f (x) 6= g(x)}) = 0. (9.5)

Oznaczamy f = g p.w. względem µ na A lub f = g(modµ) albo f ∼ g.

Uwaga 9.2 Jeżeli przestrzeń z miarą jest określona jednoznacznie, to będziemy zapisywać f = g p.w.

Twierdzenie 9.2 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą zupełną. Niech A ∈ H. Załóżmy, że funkcja f : A → R jest

H - mierzalna oraz niech funkcja g : A → R będzie taka, że f = g p.w. Wówczas funkcja g jest H - mierzalna

Stwierdzenie 9.2 Niech {f, g} ⊂ C(R) oraz f = g p.w. względem miary Lebesgue’a. Wtedy f = g wszędzie na R.

Definicja 9.3 Niechf, fn: X → R : n ∈ N . Mówimy, że ciąg funkcji {fn : n ∈ N} jest zbieżny prawie wszędzie względem

miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy

∃_A∈Hµ(A) = 0 ∧ ∀_x∈X\A lim

n→∞f_n(x) = f (x) (9.6)

Oznaczamy f_n → f p.w. względem µ na X lub f_n→ f (modµ).

Stwierdzenie 9.3 Jeżeli fn→ f (modµ) i fn→ g(modµ), to f = g(modµ).

Twierdzenie 9.3 Niech (X, H, µ) będzie przestrzeń z miarą zupełną. Niech ponadtofn: X → R : n ∈ N dany będzie ciąg

funkcji H - mierzalnych oraz funkcja f : X → R taki, że fn→ f (modµ). Wtedy funkcja f jest H - mierzalna.

9.3 Zadania

Zadanie 9.1 Udowodnić stwierdzenie 9.1.

Zadanie 9.2 Niech (R, SL, m). Udowodnić, że ciąg {f_n: n 1} funkcji mierzalnych określonych wzorem • fn(x)^def= sinⁿ(x3− nx),

• f_n(x)^def= = exp(−n sin²πx)

jest p.w. zbieżny. Policzyć granicę punktową.

Zadanie 9.3 Niech (R, SL, m). Udowodnić, że jeśli ciąg {f_n, f : n 1} funkcji mierzalnych spełnia warunek f_n → f (mod m), to

∀_ε>0∀_a>0 lim

10.1 Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)

Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.

Definicja 10.1 Mówimy, że ciąg {fn: X → R : n ∈ N} jest prawie wszędzie względem µ ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko

wtedy, gdy

∃A∈Hµ(A) = 0 ⇒ ∀x∈A0∀ε>0∃n₀∈N∀_N3m,nn₀|fm(x) − fn(x)| < ε (10.1)

Twierdzenie 10.1 Niech fn: X → R : n ∈ N oraz f : X → R. Wówczas fn → f (modµ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg {fn: n ∈ N} jest prawie wszędzie ciągiem Cauchy’ego

Twierdzenie 10.2 (Twierdzenie Jegorowa.) Niech (X, H, µ) będzie przestrzeń z miarą skończoną. Niech będzie dany ciąg

{f, fn : X → R : n ∈ N} funkcji H - mierzalnych taki, że fn→ f (modµ). Wtedy ∀ε>0∃A_ε∈Hµ(Aε) < ε ∧ lim

n→∞ sup

x∈A0 ε

|fn(x) − f (x)| = 0 (10.2)

Stwierdzenie 10.1 Jeżeli f jest H - mierzalna funkcją taką, że ∀a>0µ({x ∈ X : |f (x)| a}) = 0, to f = 0(modµ)

Lemat 10.1 Niech µ(X) < +∞ oraz {f, f_n: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas

fn→ f (modµ) ⇔ ∀ε>0 lim n→∞µ( ∞ [ k=n {x ∈ X : |fk(x) − f (x)| ε}) = 0 (10.3)

Lemat 10.2 Niech µ(X) < +∞ oraz {f, f_n: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas

∀ε>0 ∞

n=1

µ({x ∈ X : |fk(x) − f (x)| ε}) < +∞ ⇒ fn → f (modµ) (10.4)

10.2 Zbieżność względem miary

Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.

Definicja 10.2 Niech {f, fn: X → R : n ∈ N}. Mówimy, że ciąg {fn: n ∈ N} funkcji H - mierzalnych jest zbieżny według

miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy ∀_ε>0 lim n→∞µ({x ∈ X : |f_n(x) − f (x)| ε}) = 0 (10.5) Oznaczamy fn µ → f lub µ− lim n→∞fn= f . Twierdzenie 10.3 Jeżeli fn µ → f i fn µ → g, to f = g(modµ).

Przykład 10.1 Niech X = [0, 1], H - σ - ciało podzbiorów [0, 1] mierzalnych w sensie Lebesgue’a, µ miara Lebesgue’a na

X. Określamy ciąg funkcji: f₁= χ[0,1], f2= χ_[0,2−1], f3= χ_[2−1,1], . . . . f₂k = χ_[0,2−k], f₂k+1= χ_[2−k,2·2−k], . . ., f₂k+1−1= χ_[(2k−1)2−k,1], f (x) = 0 dla x ∈ [0, 1]. Wówczas fn µ

→ f , ale ciąg fn nie ma granicy w żadnym punkcie.

10.3 Zadania

Zadanie 10.1 Udowodnić lemat 10.1. Skorzystać z zależności

∞ S k=1 ∞ T n=1 ∞ S j=n x ∈ X: |fj(x) − f (x)|  ¹_k .

Zadanie 10.2 Udowodnić lemat 10.2.

Zadanie 10.3 Udowodnić, że twierdzenie Jegorowa (twierdzenie 10.2) jest prawdziwe, dla funkcji p.w. skończonych. Zadanie 10.4 Udowodnić, że nie istnieje granica punktowa ciągu funkcji z przykładu 10.1.

11.1 Zbieżność względem miary c.d.

Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.

Wniosek 11.1 Ze zbieżności według miary nie wynika zbieżność prawie wszędzie. Co więcej nie wynika zbieżność choćby w

jednym punkcie.

Przykład 11.1 Niech X = R, H - σ - ciało podzbiorów R mierzalnych w sensie Lebesgue’a, µ miara Lebesgue’a na X.

Określamy ciąg funkcji fn = χ_[n,+∞[ oraz f = 0. Wtedy dla dowolnego x ∈ R mamy lim_n→∞fn(x) = 0 oraz dla dowolnego 1 > ε > 0 i n ∈ N jest µ({x ∈ R : |fn(x) − f (x)| ε}) = +∞.

Wniosek 11.2 Ze zbieżności prawie wszędzie nie wynika zbieżność według miary.

Twierdzenie 11.1 (Lebesgue’a.) Niech {f, fn: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych oraz µ(X) < +∞.

Wtedy

fn→ f (modµ) ⇒ fn µ

→ f. (11.1)

Definicja 11.1 H - mierzalny ciąg funkcji {fn : X → R : n ∈ N} nazywamy ciągiem Cauchy’ego (fundamentalnym)

wzglę-dem miary wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0∀δ>0∃n₀∈N∀m,nn₀µ({x ∈ X|fm(x) − fn(x)| ε}) < δ (11.2)

Twierdzenie 11.2 Jeżeli fn µ

→ f , to ciąg {fn: n ∈ N} jest ciągiem Cauchy’ego względem miary.

Uwaga 11.1 We wszystkich twierdzeniach będziemy rozważać funkcje H - mierzalne.

Twierdzenie 11.3 Niech {fn: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem Cauchy’ego względem miary. Istnieje wówczas H - mierzalna

funkcja f : X → R oraz podciąg {fnk: k ∈ N} takie, że fnk→ f (modµ) oraz fnk

→ f .

11.2 Zadania

Zadanie 11.1 Udowodnić twierdzenie 11.1 dla ciągu funkcji fn : X ⇒ R, które są prawie wszędzie skończone.

Zadanie 11.2 Niech fn µ

→ f oraz gn µ

→ g. Udowodnić, że wtedy

|fn|→ |f |^µ (11.3)

fn± gn µ

→ f ± g (11.4) (fn)^{+ µ}→ f⁺ (11.5)

Wykład 12

2003.12.17 / 2h

12.1 Zbieżność względem miary c.d.

Wniosek 12.1 (Twierzenie Riesza.) Niech fn µ

→ f . Wtedy istnieje podciąg {fn_k: k ∈ N} taki, że fn_k→ f (modµ)

Stwierdzenie 12.1 Jeżeli f_n→ f oraz f^µ n→ g(modµ), to f = g(modµ).

Stwierdzenie 12.2 Niech miara µ będzie skończona oraz fn µ

→ f . Jeżeli g : X → R jest H - mierzalna, to gfn µ

→ gf

Stwierdzenie 12.3 Niech miara µ będzie skończona oraz f_n→ f i g^µ n µ

→ g. Wtedy f2 n

→ f2 oraz gnf_n→ gf^µ

Twierdzenie 12.1 (Warunek konieczny i dostateczny zbieżności według miary.) Niech {fn : X → R : n ∈ N} będzie

ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas ciąg {f_n: n ∈ N} jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem

Cauchy’ego względem miary.

12.2 Zadania

Zadanie 12.1 Niech dana będzie przestrzeń z miarą skończona (X, H, µ). Udowodnić, analogicznie jak to było robione na

wykładzie z Rachunku prawdopodobieństwa, że ciąg funkcji jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie.

Zadanie 12.2 Powtórzyć lub ewentualnie nauczyć się materiału z topologii, o którym mówiłem na wykładzie. Zadanie 12.3 Udowodnić stwierdzenie 12.1.

Zadanie 12.4 Udowodnić stwierdzenie 12.2. Zadanie 12.5 Udowodnić stwierdzenie 12.3.

13.1 Całka Lebesgue’a – definicja i własności

Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z dodatnią miarą.

Uwaga 13.1 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji prostych będziemy oznaczać SF, natomiast zbiór wszystkich

nieujem-nych i H - mierzalnieujem-nych funkcji prostych symbolem SF+

Definicja 13.1 (Część I) Niech f : X → R będzie nieujemna, H - mierzalną funkcją prostą tj. f spełnia warunek (8.4)

definicji 8.1 tzn.

∃_{A₁_,...,A_n_}⊂2X∃_{a₁_,...,a_n_}⊂R₊_∪{0}(∀1¬i<j¬nAi∩ Aj = ∅ ∧ ai 6= aj) ∧

n [ k=1 Ak = X ⇒ f (x) = n X k=1 akχA_k(x).

Niech A ∈ H. Całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość

Z A f dµ ≡ Z A f (x)dµ(x)^def= n X k=1 a_kµ(A_k∩ A) (13.1)

Definicja 13.2 (Część II) Niech f : X → R będzie nieujemną funkcją H - mierzalną. Niech A ∈ H. Całką Lebesgue’a z

funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość

Z A f dµ ≡ Z A f (x)dµ(x)^def= sup p∈SF₊:p¬f Z A f (x)dµ(x) (13.2)

Uwaga 13.2 Bedziemu oznaczać dla nieujemnej i H - mierzalnej funkcji f K(f )^ozn= {p ∈ SF+: p ¬ f }.

Definicja 13.3 (Część III) Niech f : X → R będzie funkcją H - mierzalną. Niech A ∈ H. Jeżeli przynajmniej jedna z całek

Z A f⁻dµ Z A f⁺dµ (13.3)

jest skończona, to całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość

Z A f dµ ≡ Z A f (x)dµ(x)^def= Z A f⁺dµ − Z A f⁻dµ. (13.4)

Jeżeli obie całki w (13.3) są skończone, to funkcje f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue’a po zbiorze A względem miar µ.

Uwaga 13.3 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a po zbiorze A (A ∈ H)

wzglę-dem miary µ oznaczamy przez L(A, H, µ) bądź L(A, µ). W przypadku, gdy zarówno σ - ciało zbiorów H jest wyznaczone jednoznacznie, jak i miara µ wtedy oznaczamy przez L(A).

Lemat 13.1 R

∅

f dµ = 0.

Lemat 13.2 Jeżeli µ(A) = 0, toR

f dµ = 0

Lemat 13.3 Jeżeli µ(A) < +∞ oraz f (x) = c dla wszystkich x ∈ A i pewnego c ∈ R, toR

f dµ = cµ(A).

Lemat 13.4 Jeżeli 0 ¬ f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ A i g ∈ L(A, µ), to f ∈ L(A, µ) oraz R

f dµ ¬R

gdµ.

Lemat 13.5 Jeżeli A 6= ∅ i µ(A) < +∞ oraz f : A → R jest ograniczona na A, to f ∈ L(A, µ) oraz µ(A) inf_x∈A{f (x)} ¬

R A f dµ ¬ µ(A) sup x∈A {f (x)}.

13.2 Zadania

Zadanie 13.1 Udowodnić następujące własności cłki Lebesgue’a

∀f ∈SF₊ 0 ¬ Z A f dµ ¬ +∞ (13.5) Z A dµ = µ(A) (13.6) Z A χ_Adµ = µ(A) (13.7) Z A χBdµ = µ(A ∩ B) (13.8) ∀f₁,f₂SF₊∀A∈H∀x∈Xf1(x) ¬ f2(x) ⇒ Z A f1dµ ¬ Z A f2dµ (13.9) f 0 ⇒ 0 ¬ Z A f dµ ¬ +∞ (13.10)

14.1 Całka Lebesgue’a – własności c.d.

Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą dodatnią. Niech A ∈ H oraz f, g: A → R będą funkcjami H -mierzalnymi.

Lemat 14.1 Jeżeli f ∈ L(A, µ) i c ∈ R, to c · f ∈ L(A, µ) orazR

(c · f )dµ = cR

f dµ.

Lemat 14.2 Jeżeli H 3 B ⊂ A i f nieujemna na A, to R

f dµ ¬R

f dµ.

Lemat 14.3 Jeżeli f ∈ L(A, µ) i H 3 B ⊂ A, to f ∈ L(B, µ).

Twierdzenie 14.1 Niech f : X → R będzie funkcją nieujemną i mierzalną. Wówczas funkcja ˆµf(A)^def=R

f dµ jest miarą.

Wniosek 14.1 Niech f ∈ L(X, µ) wtedy funkcja ˆµ_f(A)^def=R

f dµ jest σ - addytywną funkcją zbioru.

Wniosek 14.2 Niech f ∈ L(X, µ) oraz {A, B} ⊂ H będą takie, że A ∩ B = ∅. Wtedy ^R

A∪B f dµ =^R A f dµ +^R B f dµ.

Lemat 14.4 Niech f ∈ L(X, µ) oraz {An: n ∈ N} ⊂ H będzie rodziną monotoniczną, zaś A jego granicą. Wtedy^R

A f dµ = lim n→∞ R A_n f dµ.

Lemat 14.5 Całka Lebesgue’a nie zależy od wartości całkowanej funkcji na zbiorze miary zero tzn.

∀_{f :A→R}∀B∈Hf ∈ L(A, µ) ∧ µ(B) = 0 ⇒ Z A f dµ = Z A\B f dµ.

14.2 Zadania

Wykład 15

Egzamin

15.1 Zagadnienia na egzamin – część teoretyczna

1. Klasy zbiorów.

(a) Półpierścień, pierścień zbiorów i ich własności. (b) Półciało, ciało zbiorów i ich własności.

(c) σ - pierścień, σ - ciało, rodzina monotoniczna i ich własności. (d) Klasy zbiorów generowane przez rodziny zbiorów i ich własności. 2. Funkcje zbiorów. Miary.

(a) Typy funkcji zbiorów i ich własności.

(b) Miara i jej własności na pewnych klasach zbiorów. (c) Ciągłość miary.

(d) Przedłużanie miar z półpierścienia na pierścień. (e) Miara zewnętrzna. Konstrukcja.

(f) Zbiory mierzalne względem miary zewnętrznej. Twierdzenie Caratheodory’ego.

(g) Zupełność miary generowanej przez miarę zewnętrzną na σ - ciele zbiorów mierzalnych. (h) Miara Lebesgue’a na prostej i jej własności.

(i) Miara Lebesgue’a - Stieltjesa na prostej i jej własności. (j) Zbiór Cantora i jego własności dla miary Lebesgue’a. (k) Konstrukcja zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue’a.

(l) Niezmiennniczość miary Lebesgue’a na przesunięcia. 3. Odwzorowania mierzalne.

(a) Własności obrazu i przeciwobrazu.

(b) Pojęcie odwzorowania H1-H2- mierzalnego. Warunki równoważne H - mierzalności odwzorowania. (c) Funkcje borelowskie. Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a. Własności.

(d) Działania na funkcjach H - mierzalnych. 4. Funkcje proste.

(a) Pojęcie funkcji prostej.

(b) Funkcje proste i ich H - mierzalność.

(g) Ciąg Cauchy’ego względem miary, a zbieżność względem miary. (h) Działania na ciągach zbieżnych względem miary.

(i) Twierdzenie Riesza. 6. Abstrakcyjna całka Lebesgue’a.

(a) Definicja całki Lebesgue’a.

(b) Własności całki Lebesgue’a I (Lematy 1 – 3). (c) Własności całki Lebesgue’a II (Lematy 4 – 6). (d) Własności całki Lebesgue’a II (Lematy 7 – 9). (e) Twierdzenie of ˆµ^f i wnioski z niego.

15.2 Zadania z egzaminu

1. Zbiór A ⊆ R² nazywamy symetrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy z (x, y) ∈ A, wynika (−x, −y) ∈ A. Udowodnić, że klasa wszystkich podzbiorów symetrycznych w R2 jest σ - ciałem. Wyznaczyć rodzinę funkcji mierzalnych względem tego σ - ciała. 5pkt/25pkt

2. Udowodnić, że funkcja µ?: 2X → [0, +∞] zadana wzorem

X ⊇ A 7→ µ^?(A) =    0 dla A = ∅ n dla n = card A +∞ dla card A ℵ0

definiuje miarę zewnętrzną na X. Wyznaczyć σ - ciało H zbiorów µ^? - mierzalnych. Jakie są funkcje H - mierzalne ?

5pkt/25pkt

3. Niech H = 2R. Udowodnić, że funkcja R ⊇ A 7→ µ(A) = P

n∈A 1

2n (sumowanie po liczbach naturalnych ze zbioru A). Wyznaczyć µ(R). Jakie zbiory są zbiorami miary zero ? Czy istnieją dwa różne podzbiory R o równej niezerowej mierze ?

5pkt/25pkt

4. Udowodnić, że ciąg funkcji (fn) zadany wzorem fn(x) = exp(cosn(πx)) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni (R, SL, m). Wyznaczyć jego granicę punktową. 5pkt/25pkt

5. Udowodnić, że jeżeli fn µ

→ f , to |fn|→ |f |.^µ 5pkt/25pkt

15.3 Zadania z egzaminu poprawkowego

1. Udowodnić, że jeżeli fn µ → f oraz gn µ → g, to fn− gn µ → f − g. 5pkt/25pkt

2. Udowodnić, że ciąg funkcji (fn) zadany wzorem fn(x) = sinⁿ(x³− nx) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni

(R, SL, m). Wyznaczyć jego granicę punktową. 5pkt/25pkt

3. Czy istnieje σ - ciało złożone dokładnie z 5 elementów ? Odpowidź uzasadnij. 5pkt/25pkt

4. Niech X będzie zbiorem nieskończonym oraz

H = {A ⊆ X : card A < ℵ0∧ card(X \ A) < ℵ0} .

Czy H jest σ - ciałem ? 5pkt/25pkt

5. Niech X = {1, 2, 3} oraz H = {X, ∅, {1}, {2, 3}} będzie σ - ciałem oraz

f (x) =    1 dla x = 1 1 2 dla x = 2 3 2 dla x = 3 .

1.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d.

Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą dodatnią. Niech A ∈ H oraz f, g: A → R będą funkcjami H -mierzalnymi.

Wniosek 1.1 Niech f ∈ L(A, µ) oraz f = g(modµ) na A. Wtedy g ∈ L(A, µ) orazR

A f dµ =R A gdµ. Lemat 1.1 f ∈ L(A, µ) ⇔ |f | ∈ L(A, µ) (1.1)

Lemat 1.2 Niech f ∈ L(A, µ) oraz dla dowolnego x ∈ A zachodzi |g(x)| ¬ f (x). Wtedy g ∈ L(A, µ). Lemat 1.3 Jeżeli f ∈ L(A, µ), to f jest prawie wszędzie skończona na A.

Lemat 1.4 Niech f ∈ L(A, µ) oraz f jest nieujemna na A i R

f dµ = 0. Wtedy f = 0 prawie wszędzie na A.

Twierdzenie 1.1 (Lebesgue’a - Beppo Leviego/Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej) Niech A ∈ H oraz niech

fn: X → R : n 1 będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych taki, że

∀n1∀x∈X0 ¬ fn(x) ¬ fn+1(x). Wówczas lim n→∞ Z A fndµ = Z A ( lim n→∞fn)dµ (1.2)

Twierdzenie 1.2 Jeżeli {f, g} ⊂ L(A, µ), to f + g ∈ L(A, µ) oraz

Z A (f + g)dµ = Z A f dµ + Z A gdµ (1.3)

1.2 Zadania

Zadanie 1.1 Niech f ∈ L(X, µ) i niechR

f dµ = 0 dla dowolnego A ⊆ X. Udowodnić, że wtedy f = 0 prawie wszędzie na A.

Wykład 2

2003.02.25 /2h

2.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d.

Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą dodatnią. Niech A ∈ H oraz f, g: A → R będą funkcjami H -mierzalnymi.

Twierdzenie 2.1 Niech ciągfn: A → R : n ∈ N^{funkcji H - mierzalnych spełnia warunki}

(i) f_n ∈ L(A, µ) dla dowolnego n 1

(ii) fn(x) ¬ fn+1(x) dla dowolnych n ∈ N i x ∈ A

(iii) sup n1 R A f_ndµ < +∞ Wtedy lim n→∞fn∈ L(A, µ) oraz lim n→∞ Z A fndµ = Z A ( lim n→∞fn)dµ (2.1)

Twierdzenie 2.2 (Lemat Fatou) Niech ciągfn: A → R : n ∈ N będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych i nieujemnych

na zbiorze A ∈ H. Wówczas Z A lim inf n→∞ fndµ ¬ lim inf n→∞ Z A fndµ (2.2)

Wniosek 2.1 Niech ciąg fn: A → R : n ∈ N spełnia warunki

(i) f_n jest H - mierzalna i nieujemna na A dla dowolnego n 1 (ii) fn→ f (modµ) na A (iii) sup n1 R A f_ndµ < +∞ Wtedy f ∈ L(A, µ).

Twierdzenie 2.3 (Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej) Niech A ∈ H oraz niech fn: X → R : n 1

będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych taki, że

(i) fn → f (modµ) na A

(ii) istnieje g ∈ L(A, µ) taka, że |fn(x)| ¬ g(x) dla dowolnych n ∈ N oraz x ∈ A.

Wówczas f jest funkcją H - mierzalną i {f, fn: n ∈ N} ⊂ L(A, µ) oraz lim n→∞ Z A f_ndµ = Z A f dµ (2.3)

2.2 Całka Lebesgue’a zależna od parametru

Niech X 6= ∅ i (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą i A ∈ H. Niech (Y, d) będzie przestrzenią metryczną, zaś G zbiorem otwartym w tej przestrzeni. Niech f : A × G → R.

(i) ∀_t∈Gf (·, t) ∈ L(A, µ)

(ii) ∃Φ∈Hµ(Φ) = 0 ∧ ∀_x∈A\Φ istnieje na G ^{∂f (x,·)}_∂t ∧ ∃_g∈L(A,µ)g jest H - mierzalna ∀_{(x,t)∈(A\Φ)×G} ∂f (x,t) ∂t ¬ g(x). Wtedy funkcja G 3 t 7→ F (t)^def=R

f (x, t)dµ(x) jest różniczkowalna na G oraz

F⁰(t) = Z A ∂f (x, t) ∂t ^dµ(x). ^(2.4)

2.3 Zadania

Wykład 3

2003.03.04 /2h

3.1 Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue’a

Niech (X1, H1, µ1) i (X2, H2) będą odpowiednia przestrzenią z miarą i przestrzenią mierzalna, zaś T : X1 → X2 będzie odwzorowaniem H1− H2- mierzalnym.

Definicja 3.1 Miarą na H2 generowaną przez miarę µ1 i odwzorowanie T nazywamy miarę µµ₁,T określoną wzorem ∀A∈H₂µµ₁,T(A) = µ1(T⁻¹(A)). (3.1)

Twierdzenie 3.1 Jeżeli funkcja f : X₂→ R jest H2 - mierzalna, to o ile chociaż jedna z poniższych całek jest skończona, to zachodzi równość Z X₂ f (x2)dµµ₁,T(x2) = Z X₁ f (T (x))dµ1(x) (3.2)

3.2 Przestrzenie produktowe i miary produktowe

Niech (X₁, H₁) i (X₂, H₂) będą przestrzeniami mierzalnymi. Przyjmijmy następujące oznaczenia

X ^ozn= X1× X2

H ^ozn= H1× H2≡ {A1× A2: Ai∈ Hi∧ i = 1, 2} H ^ozn= σa(H)

Uwaga 3.1 Para (X, H) jest przestrzenią mierzalną. Definicja 3.2 Niech A ⊂ X.

Dla dowolnego x1∈ X1 x1 - przekrojem zbioru E nazywamy podzbiór X2 zdefiniowany następująco

E_x₁^def= {x₂∈ X2: (x₁, x₂) ∈ E} . (3.3)

Dla dowolnego x2∈ X2 x2 - przekrojem zbioru E nazywamy podzbiór X1 zdefiniowany następująco E^x2def

= {x1∈ X1: (x1, x2) ∈ E} . (3.4)

Lemat 3.1 Dla dowolnych x₁∈ X1 oraz x2∈ X2 mamy ∅x1 = ∅ oraz ∅^x2 = ∅.

Twierdzenie 3.2 Niech A ∈ H. Wtedy

(i) ∀x₁∈X1Ax₁ ∈ H2

(ii) ∀_x₂_∈X₂Ax₂ ∈ H1.

Niech (X_i, H_i, µ_i) dla i = 1, 2 będą przestrzeniami z miarami.

Lemat 3.2 Niech (Xi, Hi, µi) dla i = 1, 2 będą przestrzeniami z miarami σ - skończonymi. Istnieje wtedy dokładnie jedna

σ - skończona miara µ na H taka, że ∀A∈Hµ(A) = Z X1 µ2(Ex₁)dµ1(x1) = µ(A) = Z X2 µ1(E^x2)dµ2(x2). (3.7)

W szczególności dla A = A1× A2, gdzie Ai∈ Hi, µi(Ai) < +∞ dla i = 1, 2 mamy

µ(A1× A2) = µ1(A1)µ2(A2). (3.8)

Miarę µ nazywamy miarą produktową miar µ1 i µ2 i oznaczamy µ^ozn= µ1× µ2≡ µ1⊗ µ2.

Wykład 4

2003.03.11 /2h

4.1 Twierdzenie Fubiniego

Niech (Xi, Hi, µi) dla i = 1, 2 będą przestrzeniami z miarami σ - skończonymi, a (X, H, µ) będzie przestrzenią produktową z miarą produktową. Niech f : X → R będzie funkcją H - mierzalną.

Całki postaci Z X1   Z X2 f_x₁dµ₂  dµ₁ (4.1) Z X₂   Z X₁ f^x2dµ₁  dµ₂ (4.2)

nazywamy całkami iterowanymi funkcji f , a całkę

f dµ (4.3)

całka podwójną.

Twierdzenie 4.1 (Fubiniego I) Niech f będzie funkcją nieujemną. Wówczas

(i) X13 x17→ R

fx1dµ2 jest H1 - mierzalne, (ii) X₂3 x₂7→ R

fx₂dµ₁ jest H₂ - mierzalne oraz

Z X₁   Z X₂ fx₁dµ2  dµ1= Z X f dµ = Z X₂   Z X₁ f^x2dµ1  dµ2 (4.4)

Twierdzenie 4.2 (Fubiniego II) Niech f ∈ L(X, µ). Wówczas

(i) dla prawie wszystkich x1 względem miary µ1 na X1 f_x₁ jest H2 - mierzalna oraz fx1 ∈ L(X2, µ₂) odwzorowanie X1 3 x17→ R

X₂

fx₁dµ2 jest klasy L(X1, µ1),

(ii) dla prawie wszystkich x2 względem miary µ2 na X2 fx2 jest H1 - mierzalna oraz fx2 ∈ L(X1, µ1) odwzorowanie X2 3 x₂7→ R X1 fx₂dµ₁ jest klasy L(X₂, µ₂) oraz Z X₁   Z X₂ fx₁dµ2  dµ1= Z X f dµ = Z X₂   Z X₁ f^x2dµ1  dµ2 (4.5)

Wniosek 4.1 Jeżeli jedna z całek iterowanych dla funkcji |f | jest skończona, to funkcja f ∈ L(X, µ), a więc można zmieniać

kolejność całkowania w całkach iterowanych i są one równe całce podwójnej.

5.1 Funkcje wypukłe

Materiał w paragrafie obejmuje wiadomości, które powinny być znane z Analizy Matematycznej I i II – materiał I roku. Dla przypomnienia zebrano w paragrafie definicje i twierdzenia.¹

Niech P będzie niezdegenerowanym przedziałem, f : P → R.

Definicja 5.1 Funkcję f nazywamy wypukłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy

∀_x,y∈P∀_α,β∈R₊_∪{0}α + β = 1 ⇒ f (αx + βy) ¬ αf (x) + βf (y) (5.1)

Funkcję f nazywamy wklęsłą na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy −f jest wypukła.

Twierdzenie 5.1 Następujące warunki są równoważne

f jest wypukła na P (5.2) ∀_n∈N∀x₁,...,x_n∈P∀_α₁_,...,α_n_∈R₊_∪{0} n X k=1 αk= 1 ⇒ f ( n X k=1 αkxk) ¬ n X k=1 αkf (xk) (5.3) ∀_x₁_,x₂_,x∈Px₁< x < x₂⇒ f (x) ¬ ^x²^{− x} x2− x1 f (x₁) + ^{x − x}¹ x2− x1 f (x₂) (5.4) ∀x₁,x₂,x∈Px1< x < x2⇒ ^{f (x) − f (x}¹⁾ x₂− x ^¬ f (x2) − f (x) x − x₁ ^(5.5)

Twierdzenie 5.2 Jeżeli f jest wypukła na przedziale P, to jest ciągła na przedziale P.

Twierdzenie 5.3 Niech f ∈ D1(P ).2 Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f⁰ jest niemalejąca na przedziale P.

Wniosek 5.1 Niech f ∈ D²(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy f⁽²⁾(x) 0 dla dowolnego

punktu x z przedziału P.

Twierdzenie 5.4 Niech f ∈ D1(P ). Wtedy f jest wypukła na przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x0,x∈Pf (x) f⁰(x0)(x − x0) + f (x0). (5.6)

Twierdzenie 5.5 Niech f będzie wypukła na przedziale P, to

∀x₀∈P∃_λ(x₀_)∈R∀x∈Pf (x) λ(x0)(x − x0) + f (x0). (5.7)

1Dla zainteresowanych przypomnieniem tych wiadomości polecam podręczniki: 1. W. Rudnin Analiza rzeczywista i zespolona, PWN Warszawa

2. A. Birkholc Analiza matematyczna dla nauczycieli PWN Warszawa

5.2 Nierówności H¨oldera, Minkowskiego, Markowa, Jensena

Niech p, q ∈ R+.

Lemat 5.1 (Nierówność Younga) Niech p, q będą takie, że p > 1 oraz p⁻¹+ q⁻¹= 1. Wtedy dla dowolnych nieujemnych

liczb a i b zachodzi nierówność

ab ¬ ^a

p ⁺ bq

q ^(5.8)

Uwaga 5.1 Liczby p i q nazywamy wykładnikami sprzężonymi. Uwaga 5.2 Dla p = 1 przyjmujemy, że wykładnik q = +∞. Lemat 5.2 Niech p ∈ R+∪ {0} i {a, b} ⊂ R. Wtedy

|a + b|p¬ 2p(|a|^p+ |b|^p) (5.9)

Jeżeli ponadto p 1, to

|a + b|p¬ 2p−1(|a|^p+ |b|^p) (5.10) Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą, f, g: X → R będą funkcjami H - mierzalnymi.

Twierdzenie 5.6 (Nierówność H¨oldera)3 Niech p i q będą takie, że p > 1 oraz p⁻¹+ q⁻¹= 1, a funkcje f i g takie, że

|f |p, |g|^q∈ L(X, µ). Wtedy f g ∈ L(X, µ) oraz Z X |f g|dµ ¬   Z X |f |pdµ   1 p  Z X |g|qdµ   1 q (5.11)

Uwaga 5.3 Jeżeli p = 2 = q, to nierówność H¨oldera nazywamy nierównością Cauchy’ego - Schwarza - Bunikowskiego.4

Twierdzenie 5.7 (Nierówność Minkowskiego) Niech p będzie takie, że p 1, a funkcje f i g takie, że |f |p, |g|p ∈ L(X, µ). Wtedy |f + g|p ∈ L(X, µ) oraz   Z X |f + g|pdµ   1 p ¬   Z X |f |pdµ   1 p +   Z X |g|pdµ   1 p (5.12)

Twierdzenie 5.8 (Nierówność Markowa)⁵ Niech p będzie takie, że p ∈ R+∪ {0}, a funkcja f taka, że |f |p ∈ L(X, µ). Wtedy ∀_R3a>0µ({x ∈ X : |f (x)| a}) ¬ ¹ ap Z X |f |pdµ. (5.13)

Twierdzenie 5.9 (Nierówność Jensena) Niech µ będzie miarą unormowaną – probabilistyczną. Niech f ∈ L(X, µ) oraz

dla dowolnego x ∈ X zachodzi f (x) ∈]a, b[, (a, b ∈ R). Jeżeli funkcja ϕ jest funkcją wypukła na przedziale ]a, b[, to

ϕ   Z X f dµ  ¬ Z X ϕ ◦ f dµ (5.14)

Wniosek 5.2 Niech µ będzie miarą skończoną. Niech f ∈ L(X, µ) oraz dla dowolnego x ∈ X zachodzi f (x) ∈]a, b[, (a, b ∈ R).

Jeżeli funkcja ϕ jest funkcją wypukła na przedziale ] min{a,_µ(X)^a }, max{b, b µ(X)}[, to ϕ   1 µ(X) Z X f dµ  ¬ ¹ µ(X) Z X ϕ ◦ f dµ (5.15)

5.3 Zadania

3Pokażemy później, że nierówność H¨oldera jest słuszna również dla p = 1 i q = +∞ modyfikując założenia i samą nierówność.

4W literaturze angielskiej nazywana jest nierównością Schwarza.

6.1 Przestrzenie L

(X, H, µ) dla p ∈ (0, +∞]

Niech p ∈ R+∪ {+∞}. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą, f, g: X → R będą funkcjami H - mierzalnymi.

Uwaga 6.1 Mamy¹

inf ∅ = +∞ ∧ sup ∅ = −∞ (6.1)

Definicja 6.1 Niech f : X → [0, +∞]. Kresem istotnym H - mierzalnej funkcji f oznaczanym esssup f nazywamy liczbę

zdefiniowaną wzorem

esssup f^def= infa ∈ R+: µ(f⁻¹(]a, +∞]) = 0

(6.2)

Definicja 6.2

L^∞(X, H, µ) ^def= f : X → R : f jest H - mierzalna ∧ esssup |f| < +∞

(6.3)

L^p(X, H, µ) ^def= f : X → R : f jest H - mierzalna ∧ |f|p∈ L(X, µ) (p > 0) (6.4)

Definicja 6.3 kf k_p^def=    R X |f |pdµ _p¹ dla p ∈]0, +∞[ esssup |f | dla p = +∞ (6.5)

Twierdzenie 6.1 (Nierówność H¨oldera II) Niech p, q ∈ [1, +∞] będą takie, że p⁻¹+ q⁻¹ = 1, a funkcje f i g takie, że

f ∈ Lp(X, H, µ) i g ∈ Lq(X, H, µ). Wtedy f g ∈ L1(X, H, µ) oraz

kf gk1¬ kf kpkgkq (6.6)

Uwaga 6.2 Jeżeli nie będzie to wyraźnie zaznaczone, to pisząc Lp(X, H, µ) będziemy od tej pory mieli na myśli, iż p ∈ [0, +∞].

Uwaga 6.3 Zauważmy, że L(X, µ) ≡ L1(X, H, µ).

Twierdzenie 6.2 Zachodzą następujące własności

∀f ∈Lp(X,H,µ)∀_a∈Ra · f ∈ L^p(X, H, µ) (6.7) ∀_{f,g}⊂Lp(X,H,µ)f + g ∈ L^p(X, H, µ) (6.8) f ≡ 0 ⇒ kf kp= 0 (6.9) ∀f ∈Lp(X,H,µ)kf kp 0 (6.10) ∀p∈[1,+∞]∀_{f,g}⊂Lp(X,H,µ)kf + gkp¬ kf kp+ kgkp (6.11) ∀p∈]0,1[∀_{f,g}⊂Lp(X,H,µ)kf + gkp p¬ kf kp p+ kgk^p_p (6.12) ∀f ∈Lp(X,H,µ)∀_a∈Rka · f kp= |a|kf kp (6.13)

Uwaga 6.4 Jeżeli dla p ∈]0, 1[ funkcję k · k_p określimy wzorem kf kp def = Z X |f |^pdµ, (6.14)

wówczas będą spełnione następujące nierówności (odpowiedniki nierówności 6.12, 6.13)

∀_{f,g}⊂Lp(X,H,µ)kf + gkp ¬ kf kp+ kgkp (6.15)

∀f ∈Lp(X,H,µ)∀_a∈R|a| = 1 ⇒ ka · f kp= kf kp (6.16)

Twierdzenie 6.3 Niech µ będzie miarą skończoną. Niech 1 ¬ p < r < +∞. Wtedy

L^r(X, H, µ) ⊂ L^p(X, H, µ) (6.17)

6.2 Zadania

Zadanie 6.1 Udowodnić nierówność (6.12).

Zadanie 6.2 Sprawdzić, czy prawdziwe jest następujące twierdzenie będące modyfikacją nierówności H¨oldera

Niech p, q, r ∈ [1, +∞] będą takie, że p⁻¹+ q⁻¹ = r⁻¹, a funkcje f i g takie, że f ∈ L^p(X, H, µ) i g ∈ L^q(X, H, µ). Wtedy

f g ∈ Lr(X, H, µ) oraz

kf gkr¬ kf kpkgkq (6.18)

Zadanie 6.3 Niech 1 ¬ p < r < +∞ oraz s ∈ [p, r]. Udowodnić, że kf ks¬ max{kf kp, kf kr}.

Zadanie 6.4 Niech 1 ¬ p < r < +∞ oraz s ∈ [p, r]. Udowodnić, że

7.1 Zbieżność w przestrzeniach L

(X, H, µ)

Niech p ∈ R+∪ {+∞}. Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą, f, g: X → R będą funkcjami H - mierzalnymi.

Definicja 7.1 Ciąg {fn: X → R : n 1} ⊂ Lp(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych jest zbieżny w Lp(X, H, µ) (według p - tej

potęgi) do funkcji f ∈ L^p(X, H, µ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞kfn− f kp= 0 (7.1)

Definicja 7.2 Ciąg {f_n: X → R : n 1} ⊂ L^p(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko

wtedy, gdy

∀ε>0∃n0∈N∀_N3n,mn₀kfn− fmkp< ε. (7.2)

Twierdzenie 7.1 Niech p ∈ [1, +∞]. Każdy ciąg Cauchy’ego {fn: X → R : n 1} ⊂ L^p(X, H, µ) funkcji H - mierzalnych

jest zbieżny w Lp(X, H, µ) do pewnej funkcji f ∈ Lp(X, H, µ). W dowodzie twierdzenia 7.1 otrzymaliśmy następujący wynik

Twierdzenie 7.2 Niech p ∈ [1, +∞] oraz dany będzie ciąg Cauchy’ego {f_n: X → R : n 1} ⊂ Lp(X, H, µ) funkcji H

-mierzalnych zbieżny do funkcji f H - mierzalnej z L^p(X, H, µ). Wtedy zawiera on podciąg zbieżny prawie wszędzie do funkcji

f .

7.2 Zbiory gęste w przestrzeniach L

(X, H, µ)

Uwaga 7.1 Przez SP (SP₊) będziemy oznaczać funkcje proste (nieujemne) H - mierzalne.

Twierdzenie 7.3 Niech p ∈ [1, +∞[. Wówczas

∀f ∈Lp(X,H,µ)∀ε>0∃h∈SPh ∈ L^p(X, H, µ) ∧ kf − hk_p< ε (7.3)

Uwaga 7.2 Funkcja prosta występując w twierdzeniu 7.3 może być tak wybrana, aby

µ({x ∈ X : h(x) 6= 0}) < +∞. (7.4)

Twierdzenie 7.4 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą σ - skończoną, H półpierścieniem generującym σ - ciało H.

(tzn. σa(H) = H). Wtedy

∀f ∈Lp(X,H,µ)∀ε>0∃h∈SP(H)h ∈ L^p(X, H, µ) ∧ kf − hkp< ε, (7.5)

gdzie SP(H) jest przestrzenią liniową funkcji prostych na rodzinie H (tzn. każda funkcja z tego zbioru jest skończoną kom-binacją liniową funkcji charakterystycznych zbiorów z H).

7.3 Zadania

Wykład 8

2003.04.08 /2h

W dokumencie Szkice do wykładu z Teorii miary i całki (wykład monograficzny), dr Jarosław Kotowicz (Stron 27-51)