Szkice do wykładu z Teorii miary i całki dla III roku matematyki
(wykład monograficzny)
1
dr Jarosław Kotowicz
23 czerwca 2003 roku
1.3 Klasy podzbiorów danego zbioru . . . 8
1.4 Zadania . . . 9
2 2003.10.08 / 2h 11 2.1 Klasy podzbiorów generowane przez rodziny . . . 11
2.2 Funkcje zbiorów . . . 12
2.3 Zadania . . . 12
3 2003.10.15 / 2h 14 3.1 Uzupełnienie poprzedniego wykłady . . . 14
3.2 Funkcje zbiorów – miary dodatnie i znakowe . . . 14
3.3 Przykłady . . . 15
3.4 Zadania . . . 15
4 2003.10.22 / 2h 16 4.1 Przedłużanie miar dodatniej z półpierścienia na pierścień . . . 16
4.2 Miara zewnętrzna . . . 16 4.3 Zadania . . . 16 5 2003.10.29 / 2h 18 5.1 Miara zewnętrzna c.d. . . 18 5.2 Zadania . . . 19 6 2003.11.05 / 2h 20 6.1 Przedłużanie miary na σ - pierścień . . . . 20
6.2 Miara Lebesgue’a . . . 20
6.3 Zadania . . . 21
7 2003.11.12 / 2h 22 7.1 Miara Lebesgue’a c.d. . . 22
7.2 Miara Lebesgue’a - Stieltjesa . . . 22
7.3 Odwzorowania mierzalne . . . 23
7.4 Zadania . . . 24
8 2003.11.19 / 2h 26 8.1 Działania na funkcjach mierzalnych . . . 26
8.2 Pojęcie funkcji prostej . . . 27
9 2003.11.26 / 2h 28
9.1 Funkcje proste – twierdzenie o aproksymacji . . . 28 9.2 Funkcje równoważne. Zbieżność prawie wszędzie (względem miary) . . . 28 9.3 Zadania . . . 29
10 2003.12.03 / 2h 30
10.1 Zbieżność prawie wszędzie (względem miary) . . . 30 10.2 Zbieżność względem miary . . . 30 10.3 Zadania . . . 31
11 2003.12.10 / 2h 32
11.1 Zbieżność względem miary c.d. . . 32 11.2 Zadania . . . 32
12 2003.12.17 / 2h 33
12.1 Zbieżność względem miary c.d. . . 33 12.2 Zadania . . . 33
13 2003.01.14 / 2h 34
13.1 Całka Lebesgue’a – definicja i własności . . . 34 13.2 Zadania . . . 35
14 2003.01.21 / 2h 36
14.1 Całka Lebesgue’a – własności c.d. . . 36 14.2 Zadania . . . 36
15 Egzamin 37
15.1 Zagadnienia na egzamin – część teoretyczna . . . 37 15.2 Zadania z egzaminu . . . 39 15.3 Zadania z egzaminu poprawkowego . . . 39
1 2003.02.18 /2h 40
1.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d. . . 40 1.2 Zadania . . . 40
2 2003.02.25 /2h 41
2.1 Abstrakcyjna całka Lebesgue’a – własności c.d. . . 41 2.2 Całka Lebesgue’a zależna od parametru . . . 41 2.3 Zadania . . . 42
3 2003.03.04 /2h 43
3.1 Formalna zamiana zmiennych w całce Lebesgue’a . . . 43 3.2 Przestrzenie produktowe i miary produktowe . . . 43 3.3 Zadania . . . 44 4 2003.03.11 /2h 45 4.1 Twierdzenie Fubiniego . . . 45 4.2 Zadania . . . 45 5 2003.03.18 /2h 46 5.1 Funkcje wypukłe . . . 46 5.2 Nierówności H¨oldera, Minkowskiego, Markowa, Jensena . . . 47 5.3 Zadania . . . 47
8 2003.04.08 /2h 51
8.1 Przestrzenie Banacha, Hilberta i Fr´echeta . . . 51
8.2 Przestrzenie Lp(X, H, µ) . . . . 52
8.3 Zadania . . . 53
9 2003.04.15 /2h 54 9.1 Przestrzenie Lp(X, H, µ) c.d. . . . 54
9.2 Funkcje zbioru. Rozkład Hahna . . . 55
9.3 Zadania . . . 55
10 2003.05.06 /2h 56 10.1 Rozkład Jordana . . . 56
10.2 Absolutna ciągłość miar. Miary i funkcje zbioru wzajemnie osobliwe . . . 56
10.3 Twierdzenie Radona - Nikodyma . . . 57
10.4 Zadania . . . 57
11 2003.05.12 /2h (za 20.05.2003) 58 11.1 Wnioski z twierdzenia Radona - Nikodyma. Pochodna Radona - Nikodyma . . . 58
11.2 Twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie kanonicznym . . . 58
11.3 Zadania . . . 58
12 2003.05.13 /2h 59 12.1 Topologia raz jeszcze . . . 59
12.2 Twierdzenie Riesza o reprezentacji . . . 60
12.3 Schemat dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . 60
12.4 Zadania . . . 61
13 2003.05.27 /2h 62 13.1 Dowód twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . 62
13.2 Zadania . . . 62
14 2003.06.03 /2h 63 14.1 Dokończenie dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji . . . 63
14.2 Miary borelowskie. Regularność miar borelowskich. . . 63
14.3 Zadania . . . 63
15 2003.06.10 /2h 64 15.1 Regularność miar borelowskich c.d. . . 64
15.2 Twierdzenie Łuzina . . . 64
15.3 Zadania . . . 64
16 Egzamin – semestr letni 65 16.1 Lista zagadnień na egzamin ustny . . . 65
Program wykładu
Plan wykładu monograficznego Teoria miary i całki w roku akademickim 2002/2003 III rok matematyka ogólna - studia dzienne
60 godzin wykładów prowadzący dr J. Kotowicz
Zagadnienia wykładu1
1. Przypomnienie wiadomości z topologii i teorii przestrzeni metrycznych. 1 godz.
2. Klasy pozbiorów danego niepustego zbioru: półpierścienie, pierścienie, σ - pierścienie, ciała i σ - ciała zbiorów oraz rodziny monotoniczne. 1 godz.
3. Klasy generowane przez rodziny zbiorów. 1 godz.
4. Funkcje zbiorów i ich własności 2 godz.
5. Miary dodatnie i znakowe – własności. Przykłady miar. 1 godz.
6. Miara zewnętrzna. 2 godz.
7. Twierdzenie o rozszerzaniu miary z pierścienia. Zbiory mierzalne względem miary. 4 godz.
8. Miara zewnętrzna. Twierdzenie Caratheodory’ego. 3 godz.
9. Funkcje mierzalne i działania na nich. Przestrzenie mierzalne i przestrzenie z miarą. 4 godz.
10. Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi. 2 godz.
11. Zbieżność prawie wszędzie i zbieżności według miary i ich analiza. Twierdzenie Riesza, Jegorowa, Łuzina itp. 3 godz. 12. Konstrukcja całki i jej własności. 6 godz.
13. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue’a zbieżności monotonicznej i zbieżności ograniczonej. 3 godz.
14. Całka Lebesgue’a w Rn. 1 godz.
15. Nierówności typu H¨oldera, Minkowskiego itp. Nierówności spotykane w rachunku prawdopodobieństwa. 3 godz.
16. Miary produktowe. Twierdzenie Fubiniego. 4 godz.
17. Podstawowe wiadomości o przestrzeniach Banacha, Hilberta i Fr´echeta. 2 godz.
18. Przestrzenie Lp, p 1 Lebesgue’a jako przestrzenie Banacha. Przestrzeń Lp, 0 < p < 1 Lebesgue’a jako przestrzenie
Fr´echeta. Przestrzeń L2jako przestrzeń Hilberta. 3 godz.
19. Zbiory gęste w przestrzeniach Lp. 2 godz.
20. Funkcjonały i twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału liniowego ciągłego. 2 godz.
21. Różniczkowanie (prawie wszędzie). Twierdzenia Lebesgue’a o różniczkowaniu całki i Rademachera itp. 4 godz. 1Mogą ulec zmianie
Literatura podstawowa:
1. A. Dorogowcew, Elementy teorii miary i całki, Państwowe Wyd. Wyż. Szk., Kijów 1989 (ros.) 2. S. Hartman, J. Mikusiński, Teoria miary i całki Lebesgue’a, PWN, Warszawa 1957
3. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973 4. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976
5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982 6. K. Yosida, Functional analysis, Springer, Berlin 1965
Literatura uzupełniająca:
1. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987 2. W. Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, PWN, Warszawa 1987 3. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszaw 1986
Wykład 1
2003.10.01 / 2h
1.1
Przestrzeń topologiczna i metryczna
Definicja 1.1 Niepusty zbiór X wraz z niepustą rodziną τ jego podzbiorów nazywamy przestrzenią topologiczną wtedy i tylko
wtedy, gdy ∅, X ∈ τ (1.1) ∀A,B∈τA ∩ B ∈ τ (1.2) ∀{Aα:α∈I}⊂τ [ α∈I Aα∈ τ (1.3)
Definicja 1.2 Parę (X, d), gdzie X 6= ∅ i d : X × X → X nazywamy przestrzenią metryczną wtedy i tylko wtedy, gdy d
spełnia następujące warunki
∀x,y∈Xd(x, y) = 0 ⇔ x = y (1.4)
∀x,y∈Xd(x, y) = d(y, x) (1.5)
∀x,y,z∈Xd(x, z) ¬ d(x, y) + d(y, z) (1.6)
d nazywamy wówczas metryką.
Twierdzenie 1.1 Jeżeli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to istnieje topologia zgodna z metryką.
1.2
R
Definicja 1.3
Rdef= R ∪ {−∞} ∪ {+∞} (1.7)
Uwaga 1.1 Zauważmy,że gdy pominiemy założenie w definicji kresu o niepustości zbioru i będziemy rozważać zbiory w
rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, to inf ∅ = +∞ oraz sup ∅ = −∞.
Uwaga 1.2 Przyjmujemy konwencję
∀a∈R− ∞ < a ∧ a < +∞ (1.8)
oraz dla obu symboli nieskończonych i dowolnej liczby rzeczywistej a określone są następujące działania
a + (+∞)def= +∞ (1.9) a − (−∞)def= +∞ (1.10) 1 ±∞ def = 0 (1.11) a · (+∞)def= +∞ dla a > 0 0 dla a = 0 −∞ dla a < 0 (1.12)
1.3
Klasy podzbiorów danego zbioru
Niech X 6= ∅.
Definicja 1.4
2X def= {Y : Y ⊆ X}. (1.15)
Niech ponadto H ⊂ 2X.
Definicja 1.5 Rodzinę zbiorów H nazywamy półpierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ (1.16) ∀A,B∈HA ∩ B ∈ H (1.17) ∀A,B∈H∃n∃C1,...,Cn⊂H(∀1¬i<j¬nCi∩ Cj = ∅) ⇒ A \ B = n [ i=1 Ci (1.18)
Przykład 1.1 Jeżeli w R określimy rodzinę następująco
Hdef= {[a, b[: a ¬ b ∧ a, b ∈ R}, to jest ona półpierścieniem.
Fakt 1.1 Jeżeli H półpierścieniem, to ∅ ∈ H.
Definicja 1.6 Rodzinę zbiorów H nazywamy pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ (1.19)
∀A,B∈HA ∪ B ∈ H (1.20)
∀A,B∈HA \ B ∈ H (1.21)
Definicja 1.7 Rodzinę zbiorów H nazywamy ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona pierścieniem oraz X ∈ H. Fakt 1.2 Jeżeli H jest pierścieniem, to H jest półpierścieniem.
Fakt 1.3 Niech H będzie pierścieniem. Wtedy
∅ ∈ H (1.22) ∀A,B∈HA ∩ B ∈ H (1.23) ∀{A1,...,An}⊂H ⇒ n [ i=1 Ai∈ H ∧ n \ i=1 Ai∈ H (1.24)
Fakt 1.4 Niech H będzie ciałem, wtedy dla dowolnego A ∈ H zachodzi A0∈ H.
Lemat 1.1 H jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ (1.25)
∀A,B∈HA ∪ B ∈ H (1.26)
Uwaga 1.3 Warunek (1.26) można zastąpić przez
∀A,B∈HA ∩ B ∈ H.
Definicja 1.8 Rodzinę zbiorów H nazywamy σ - pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy
∅ ∈ H (1.28) ∀{An:n∈N}⊂H ∞ [ i=1 Ai ∈ H (1.29) ∀A,B∈HA \ B ∈ H (1.30)
Definicja 1.9 Rodzinę zbiorów H nazywamy σ - ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest σ - pierścieniem i X ∈ H. Fakt 1.5 Każdy σ - pierścieniem jest pierścieniem
Udowodnić następujący lemat:
Lemat 1.2 Jeżeli H jest σ - pierścieniem, to dla dowolnego {An: n ∈ N} ⊂ H zachodzi ∞
T
i=1
Ai∈ H.
Definicja 1.10 Ciąg {An : n 1} nazywamy wstępującym ciągiem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n ∈ N
zachodzi An⊆ An+1. Oznaczamy przy tym lim n→∞An=
∞
S
n=1
An
Ciąg {An : n 1} nazywamy zstępującym ciągiem zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n ∈ N zachodzi
An⊇ An+1. Oznaczamy przy tym lim n→∞An=
∞
T
n=1
An
Ciąg {An : n 1} zbiorów nazywamy monotonicznym ciągiem zbiorów jest on ciągiem zbiorów wstępującym lub
zstępu-jącym.
Definicja 1.11 Rodzinę H nazywa my rodziną monotoniczną wtedy i tylko wtedy, gdy
H 6= ∅ (1.31)
∀{An:n1}⊂H{An: n 1} - monotoniczny ⇒ n→∞lim An ∈ H (1.32)
Twierdzenie 1.3 Monotoniczny pierścień jest σ - pierścieniem. Twierdzenie 1.4 Każdy σ - pierścień jest rodziną monotoniczną.
Wniosek 1.1 Rodzina H jest σ - pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest pierścień monotoniczny.
1.4
Zadania
Zadanie 1.1 Udowodnić własności 1.24.
Zadanie 1.2 Udowodnić, że H jest pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest półpierścieniem i ∀A,B∈HA ∪ B ∈ H
Zadanie 1.3 Niech X zbiór nieskończony, M rodzina zbiorów złożona ze wszystkich skończonych podzbiorów X oraz ich
dopełnień. Pokazać, że jest ona ciałem zbiorów, ale nie jest σ - ciałem.
Zadanie 1.4 Niech X zbiór nieprzeliczalny, M rodzina zbiorów złożona ze wszystkich przeliczalnych podzbiorów X oraz ich
dopełnień. Pokazać, że jest on σ - ciałem podzbiorów.
Zadanie 1.5 Udowodnić, że jeśli X jest skończony i H ⊆ 2X, to
(i) H - ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy H jest σ - ciałem (ii) H - pierścień wtedy i tylko wtedy, gdy H jest σ - pierścień
Zadanie 1.6 Niech S będzie σ - ciałem podzbiorów X, E ⊆ X. Pokazać, że rodzina SE = {A ∩ E : A ∈ S} jest σ - ciałem
Hdef= {A ⊆ X : card(A) ¬ ℵ0∨ ∃B⊆Xcard(B) ¬ ℵ0∧ A = X \ B}. (1.34)
Udowodnić, że H jest σ - ciałem podzbiorów X.
Zadanie 1.10 Niech X będzie zbiorem nieskończonym
Hdef= {A ⊆ X : ∃n∈Ncard(A) = n ∨ ∃n∈N∃B⊆X card(B) = n ∧ A = X \ B}. (1.35)
Sprawdzić czy H jest σ - ciałem podzbiorów X.
Zadanie 1.11 Niech
Hdef= {A ⊆ X : card A < ℵ0∨ card(X \ A) < ℵ0}. (1.36)
Udowodnić, że H jest σ - ciałem podzbiorów X wtedy i tylko wtedy, gdy X skończony.
Zadanie 1.12 Niech H będzie rodziną podzbiorów R określoną następująco
Hdef= {A : A = ∅ ∧ ∃r∈Qr ∈ A}. (1.37)
Czy rodzina H jest σ - ciałem podzbiorów R?
Wykład 2
2003.10.08 / 2h
2.1
Klasy podzbiorów generowane przez rodziny
Niech X 6= ∅ oraz H ⊂ 2X.
Twierdzenie 2.1 Przekrój dowolnej ilości pierścieni (odpowiednio ciał, σ - pierścieni, σ - ciał, rodzin monotonicznych) jest
pierścieniem (odpowiednio ciałem, σ - pierścieniem, σ - ciałem, rodziną monotoniczną)
Definicja 2.1 Pierścieniem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich pierścieni zawierających H i
ozna-czamy p(H) tzn.
p(H)def= \
Pα−pierścień
Pα⊃H
Pα (2.1)
Definicja 2.2 σ - pierścieniem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich σ - pierścieni zawierających
H i oznaczamy σp(H) tzn.
σp(H)def= \
Pα− σ−pierścień
Pα⊃H
Pα (2.2)
Definicja 2.3 Ciałem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich ciał zawierających H i oznaczamy a(H)
tzn.
a(H)def= \
Pα−ciało
Pα⊃H
Pα (2.3)
Definicja 2.4 σ - ciałem generowanym przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich σ - ciał zawierających H i oznaczamy
σa(H) tzn.
σa(H)def= \
Pα−σ−ciało
Pα⊃H
Pα (2.4)
Definicja 2.5 Rodziną monotoniczną generowaną przez rodzinę H nazywamy przekrój wszystkich rodzin monotonicznych
zawierających H i oznaczamy m(H) tzn.
m(H)def= \
Pα−σ−rodzina monotoniczna
Pα⊃H
Pα (2.5)
Uwaga 2.1 Zauważmy, że jeżeli H jest rodziną pustą tzn. H = ∅, to p(H) = σp(H) = m(H) = {∅} oraz a(H) = σa(H) =
Twierdzenie 2.5 Niech H będzie półpierścieniem. Wtedy p(H) = ( n [ i=1 Ai: n ∈ N ∧ {A1, . . . , An} ⊂ H ) . (2.8)
Twierdzenie 2.6 Jeżeli H jest pierścieniem podzbiorów zbioru X, to
σp(H) = m(H). (2.9)
2.2
Funkcje zbiorów
Niech ∅ 6= H ⊂ 2X.
Definicja 2.6 Każdą funkcję µ: H → R będziemy nazywać funkcją zbioru określoną na H wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony
jest warunek card (µ(H) ∩ {−∞, +∞}) ¬ 1.
Uwaga 2.2 Dość często rozważa się wyłącznie funkcje postaci µ : H → R ∪ {+∞}. Definicja 2.7 Mówimy, że funkcja µ jest
nieujemna ⇔ ∀A∈Hµ(A) 0 (2.10)
póładdytywna ⇔ ∀n∈N∀{A1,...,An}⊂H n [ k=1 Ak ∈ H ⇒ µ( n [ k=1 Ak) ¬ n X k=1 µ(Ak) (2.11) addytywna ⇔ ∀n∈N∀{A1,...,An}⊂H n [ k=1 Ak ∈ H ∧ (∀1¬i<j¬nAi∩ Aj = ∅) ⇒ µ( n [ k=1 Ak) = n X k=1 µ(Ak) (2.12) σ − póładdytywna ⇔ ∀{An:n1}⊂H ∞ [ n=1 An∈ H ⇒ µ( ∞ [ n=1 An) ¬ ∞ X n=1 µ(An) (2.13) σ − addytywna ⇔ ∀{An:n1}⊂H ∞ [ n=1 An∈ H ∧ (∀i,j∈N∧i6=jAi∩ Aj = ∅) ⇒ µ( ∞ [ n=1 An) = ∞ X n=1 µ(An) (2.14)
monotoniczna ⇔ ∀{A,B}⊂HA ⊂ B ⇒ µ(A) ¬ µ(B) (2.15)
skończona ⇔ ∀A∈H|µ(A)| < +∞ (2.16)
σ − skończona ⇔ ∃{A1,...,An}⊂H
∞
[
n=1
An= X ∧ ∀n∈N|µ(An)| < +∞. (2.17)
Twierdzenie 2.7 Jeżeli ∅ ∈ H oraz µ jest addytywna i ∃A∈H|µ(A)| < +∞, to µ(∅) = 0.
2.3
Zadania
Zadanie 2.1 Rodzinę H nazywamy π - układem wtedy i tylko wtedy, gdy
Rodzinę H nazywamy λ - układem wtedy i tylko wtedy, gdy Ω ∈ H (2.19) ∀A,B∈HA ⊂ B ⇒ B \ A ∈ H (2.20) ∀{An:n1}⊂H{An : n 1}- wstępujący ⇒ ∞ [ n=1 An∈ H (2.21)
Udowodnić, że rodzina H będąca jednocześnie π - układem i λ - układem jest σ - ciałem.
Zadanie 2.2 (Lemat o λ - i π - układach)
Jeżeli rodzina H będąca λ - układem zawiera π - układ F , to zawiera σa(F ) (σ - ciało generowane przez F ).
Zadanie 2.3 Udowodnić twierdzenie 2.1 dla ciał, σ - pierścieni, σ - ciał, rodzin monotonicznych. Zadanie 2.4 Dowieść pozostałe inkluzje z twierdzenia 2.2.
Zadanie 2.5 Dowieść pozostałe równości z twierdzenia 2.3. Zadanie 2.6 Jeżeli H1⊂ H2⊂ a(H1), to a(H1) = a(H2).
Jeżeli H1⊂ H2⊂ σp(H1), to σp(H1) = σp(H2).
Jeżeli H1⊂ H2⊂ σa(H1), to σa(H1) = σa(H2).
Jeżeli H1⊂ H2⊂ m(H1), to m(H1) = m(H2).
Zadanie 2.7 Udowodnić, że jeżeli H jest ciałem podzbiorów zbioru X, to σa(H) = m(H). Zadanie 2.8 Niech H = {A1, . . . , An} ⊂ 2X. Udowodnić, że a(H) = σa(H)
Zadanie 2.9 Niech X = {1, 2}. Znaleźć σ - ciała podzbiorów X generowana przez następujące rodziny zbiorów
(i) {X, {1}}. (ii) {X, ∅, {2}}. (iii) {{1}, {2}}.
3.1
Uzupełnienie poprzedniego wykłady
Definicja 3.1 Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Rodziną zbiorów borelowskich tej przestrzeni nazywamy σ - ciało
generowane przez topologię τ . Oznaczamy ją B(X).
3.2
Funkcje zbiorów – miary dodatnie i znakowe
Twierdzenie 3.1 Jeżeli ∅ ∈ H oraz µ jest σ - addytywna i µ(∅) = 0, to µ jest addytywna.
Uwaga 3.1 Od tego momentu rozważać będziemy i formułować twierdzenia wyłącznie dla funkcji zbioru takich, że µ 6≡ +∞. Twierdzenie 3.2 Niech H będzie pierścieniem, a µ nieujemną i addytywna funkcją zbioru na H. Wówczas
µ jest monotoniczna na H (3.1)
∀{A,B}⊂HA ⊂ B ∧ µ(A) < +∞ ⇒ µ(A \ B) = µ(A) − µ(B) (3.2)
∀{A,B}⊂H(µ(A) < +∞ ∨ µ(B) < +∞) ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B) (3.3)
∀{B,A1,...,An}⊂HB ⊂ n [ k=1 Ak ⇒ µ(B) ¬ n X k=1 µ(Ak). (3.4)
Definicja 3.2 Miarą dodatnią nazywamy nieujemną i σ - addytywną funkcję zbioru określona na półpierścieniu.
Definicja 3.3 Miarą znakową nazywamy σ - addytywną funkcję zbioru o przeciwdziedzinie w R∪{+∞} określoną na σ - ciele
taką, że jej wartość na zbiorze pustym jest zerowa.
Twierdzenie 3.3 Dla dowolnej miary dodatniej µ zachodzi µ(∅) = 0. Twierdzenie 3.4 Miara dodatnia jest funkcją addytywną.
Wniosek 3.1 Miara dodatnia spełnia warunki (3.1) – (3.4) twierdzenia 3.2.
Twierdzenie 3.5 Nieujemna, addytywna i σ - póładdytywna funkcja zbioru na pierścieniu jest miarą dodatnią. Definicja 3.4 Niech µ będzie funkcją zbioru na rodzinie H.
Mówimy, że µ jest ciągła z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wstępującego ciągu {An: n 1} ⊂ H takiego, że ∞ S n=1 An∈ H zachodzi µ( ∞ S n=1 An) = lim n→∞µ(An).
Mówimy, że µ jest ciągła z góry wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zstępującego ciągu {An : n 1} ⊂ H takiego, że
|µ(A1)| < +∞ i ∞ T n=1 An∈ H zachodzi µ( ∞ T n=1 An) = lim n→∞µ(An).
Uwaga 3.2 W definicji ciągłości miary z góry można założyć, że istnieje liczba naturalna n0taka, że µ(An0) jest skończona.
Twierdzenie 3.6 (Ciągłość miary dodatniej.)
Niech µ będzie miarą dodatnią na pierścieniu H. Wówczas µ jest ciągła z dołu. Niech µ będzie miarą dodatnią na pierścieniu H. Wówczas µ jest ciągła z góry.
Twierdzenie 3.7 (Ciągłość miary znakowej.)
Niech µ będzie miarą znakową na σ - ciele H. Wówczas µ jest ciągła z dołu. Niech µ będzie miarą znakową na σ - ciele H. Wówczas µ jest ciągła z góry.
3.3
Przykłady
Przykład 3.1 Niech X = R. Określmy rodzinę
HL def
= {]a, b] : −∞ < a < b < +∞} ∪ {∅} (3.5)
Stwierdzenie 3.1 Rodzina HL określona równaniem (3.5) jest półpierścieniem.
Przykład 3.2 Niech dany będzie półpierścień HL z przykładu (3.1). Określmy funkcję zbiorów na HL następująco
µ(∅)def= 0 i µ(]a, b])def= b − a dla ]a, b] ∈ H (3.6)
Stwierdzenie 3.2 Funkcja zbiorów µ zdefiniowana równaniem (3.6) na półpierścieniu HL jest miara.
Przykład 3.3 Niech dany będzie półpierścień HL z przykładu (3.1). Niech ponadto F : R → R będzie funkcja niemalejącą i
prawostronnie ciągłą. Określmy funkcję zbiorów na HL następująco
µF(∅) def
= 0 i µF(]a, b]) def
= F (b) − F (a) dla ]a, b] ∈ H (3.7)
Stwierdzenie 3.3 Funkcja zbiorów µF zdefiniowana równaniem (3.7) na półpierścieniu HL jest miara.
3.4
Zadania
Zadanie 3.1 Udowodnić warunek (3.4) twierdzenia 3.2.
Zadanie 3.2 Niech µ będzie miara dodatnią na σ - pierścieniu H. Niech ponadto {An : n 1} ⊂ H oraz µ(An) = 0 dla
dowolnego n ∈ N. Udowodnić, że µ(
∞
S
n=1
An) = 0
Zadanie 3.3 Niech µ będzie miara dodatnią na σ - ciele H. Niech ponadto µ(X) = 1 i {An : n 1} ⊂ H oraz µ(An) = 1
dla dowolnego n ∈ N. Udowodnić, że µ(
∞
T
n=1
An) = 1.
Zadanie 3.4 Niech µ będzie addytywna i skończoną funkcją zbioru na pierścieniu H. Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów
A1, A2, A3∈ H zachodzi
µ(A1∪ A2∪ A3) = µ(A1) + µ(A2) + µ(A3) − µ(A1∩ A2) − µ(A1∩ A3) − µ(A1∩ A3) + µ(A1∩ A2∩ A3). (3.8)
Zadanie 3.5 Udowodnić ciągłość maiary dodatniej z góry.
Wsk. Wykorzystać ciągłość z dołu i prawa de Morgana.
Zadanie 3.6 Udowodnić twierdzenie 3.7.
Zadanie 3.7 Udowodnić, że każda nieujemna, addytywna i ciągła z dołu funkcja zbioru na pierścieniu H jest miarą. Zadanie 3.8 Udowodnić, że każda nieujemna, addytywna, skończona i ciągła z góry funkcja zbioru na pierścieniu H jest
miarą.
4.1
Przedłużanie miar dodatniej z półpierścienia na pierścień
Niech X 6= ∅ oraz H1, H2⊂ 2X i µ1, µ2 będą funkcjami zbiorów określonymi odpowiednio na rodzinach H1, H2.
Definicja 4.1 Mówimy, że funkcja zbioru µ2 jest przedłużeniem funkcji zbioru µ1 (µ1 jest zawężeniem µ2)wtedy i tylko
wtedy, gdy
H1⊂ H2 (4.1)
∀A∈H1µ1(A) = µ2(A) (4.2) Twierdzenie 4.1 Niech µ będzie miarą dodatnią na półpierścieniu H. Wówczas µ jednoznacznie przedłuża się do miary
dodatniej na p(H). Ponadto otrzymana miara dodtania jest skończona (σ - skończona), jeśli µ była skończona (σ - skończona).
4.2
Miara zewnętrzna
Definicja 4.2 Funkcję λ?: 2X → R ∪ {+∞} nazywamy miarą zewnętrzną wtedy i tylko wtedy, gdy
λ?− nieujemna ∧ λ?(∅) = 0 (4.3) ∀{An:n1}⊂2X∀A⊂2XA ⊂ ∞ [ n=1 An⇒ λ?(A) ¬ ∞ X n=1 λ?(An) (4.4)
Wniosek 4.1 Miara zewnetrzna jest σ - subaddytytwna.
Twierdzenie 4.2 Miara zewnętrzna jest monotoniczna i póładdytywna na 2X.
Definicja 4.3 Niech µ będzie miarą na pierścieniu H podzbiorów X. Określamy funkcję µ?: 2X→ R ∪ {+∞}
µ?(A)def= 0 dla A = ∅ inf ∞ P n=1 µ(an) : ∀{An:n1}⊂H, ∞ S n=1 An ⊃ A jeżeli {An: n 1} istnieje
+∞ jeżeli ciąg zbiorów nie istnieje
(4.5)
Funkcję µ? nazywamy miarą zewnętrzną1 generowaną przez miarę µ.
Twierdzenie 4.3 Funkcja określono wzorem (4.5) jest miarą zewnętrzną.
4.3
Zadania
Zadanie 4.1 Podać przykład miary zewnętrznej na 2X dla której klasa wszystkich zbiorów µ? mierzalnych składa się z całej
przestrzeni i zbioru pustego.
Zadanie 4.2 Znaleźć miarę zewnętrzną i określić σ - ciało zbiorów mierzalnych względem tej miary jeśli X = {a, b, c}, H =
{∅, {a}}, µ(∅) = 0, µ({a}) = 1.
Zadanie 4.3 Niech X = R, H = {(k, k + 1] : k ∈ Z} ∪ {∅}, µ(∅) = 0, µ((k, k + 1]) = 1, k ∈ Z, gdzie H półpierścień.
Skonstru-ować przedłużenie miary na pierścień, a następnie miarę zewnętrzną indukowaną przez przedłużenie miary z półpierścienia. Policzyć (i) µ?({1 2}) (ii) µ?((12,3 2)) (iii) µ? (N)
Zadanie 4.4 Dany jest ciąg miar µn, n 1 określony na σ - ciele H podzbiorów X. Określmy funkcję µ następująco µ(A) = ∞
P
i=1
5.1
Miara zewnętrzna c.d.
Definicja 5.1 Niech λ? będzie miarą zewnętrzną i niech A ⊂ X. Mówimy, że A jest zbiorem λ? - mierzalnym wtedy i tylko
wtedy, gdy
∀B⊂Xλ?(B) = λ?(B ∩ A) + λ?(B \ A) (5.1)
Uwaga 5.1 Ponieważ miara jest póładdytywna, więc warunek definicji zbioru mierzalnego może być zapisany następująco
∀B⊂Xλ?(B) λ?(B ∩ A) + λ?(B \ A) (5.2)
Uwaga 5.2 Jeżeli miara zewnętrzna bedzie ustalaona to zbiór µ? - mierzalny będziemy nazywali zbiórem miarzalny.
Lemat 5.1 Jeżeli A jest mierzalny, to A0 jest również mierzalny.
Lemat 5.2 Dla dowolnej miary zewnetrznej mierzalne są zbiory ∅ oraz X
Twierdzenie 5.1 (Caratheodory’ego.) Niech λ? będzie miarą zewnętrzną na 2X i nich S będzie rodziną zbirów λ?
-mierzalnych. Wówczas rodzina S jest σ - ciałem oraz λ? obcięta do S jest miarą.
Definicja 5.2 Mówimy, że miara µ na σ - ciele F jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy
∀A∈F∀B⊂Aµ(A) = 0 ⇒ B ∈ F (5.3)
Twierdzenie 5.2 Miara z twierdzenia (5.1) jest zupełna.
Uwaga 5.3 Oznaczmy miarę na σ - ciele S przez µ.
Definicja 5.3 Mówimy, że miara µ na σ - ciele S jest przedłużeniem miar z pierścienia H wtedy i tylko wtedy, gdy
H ⊂ S (5.4)
Twierdzenie 5.3 Jeżeli S jest σ - ciałem podzbiorów mierzalnych generowanym przez miarę z pierścienia H, to H ⊂ S
Lemat 5.3 Niech µ będzie miarą σ - skończoną na pierścieniu H. Wtedy miara zewnętrzna µ? generowana przez miarę µ
jest na 2X jest σ - skończona oraz miara µ na S jest również σ - skończona.
5.2
Zadania
Zadanie 5.1 Udowodnić, że zbiór A jest λ? mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy
∀U ⊂A∀V ⊂A0λ?(U ∪ V ) = λ?(U ) + λ?(V ) (5.5)
Zadanie 5.2 Udowodnić, że jeżeli S jest σ - ciałem podzbiorów mierzalnych generowanym przez miarę z pierścienia H, to
σp(H) ⊂ σa(H) ⊂ S (5.6)
Zadanie 5.3 Dla A ∈ 2X określamy
µ?? def= inf ( ∞ X n=1 µ(An) : {An : n 1} ⊂ S ∧ ∞ [ n=1 An⊃ A ) . (5.7) Udowodnić, że µ??= µ?.
Zadanie 5.4 Wyznaczyć σ - ciało zbiorów mierzalnych względem miar zewnętrznych:
(i) µ?(A) = 0 A = ∅ 1 A = {a} +∞ A 6= ∅ ∧ A 6= {a} (ii) µ?(A) = 0 A = ∅ n card A = n +∞ card A ℵ0 (iii)] µ?(A) = 0 A = ∅ 1 A 6= ∅
Zadanie 5.5 Dana jest przestrzeń z miarą σ - skończoną (X, H, µ). Udowodnić, że istnieje przeliczalna rodzina podzbiorów
6.1
Przedłużanie miary na σ - pierścień
Twierdzenie 6.1 Przedłużenie σ - skończonej miary µ z pierścienia H na σp(H) jest jednoznaczne i σ - skończone. Twierdzenie 6.2 Niech µ będzie σ - skończoną miara na pierścieniu H, µ jej przedłużenie na σp(H). Wtedy
∀A∈σp(H)∀ε>0∃C∈Hµ(A) < +∞ ⇒ µ((A \ C) ∪ (C \ A)) < ε (6.1)
6.2
Miara Lebesgue’a
Rozważmy półpierścień H z przykładu (3.1) określony wzorem (3.5). Niech µ ≡ µL będzie miara z przykładu (3.2). Wówczas
mamy
Lemat 6.1 µL jest σ - skończoną miara.
Na podstawie twierdzenia o przedłużaniu miary z półpierścienia na pierścień (twierdzenie 4.1) miara indukowana µ na pierścieniu p(H) jest wyznaczona jednoznacznie i jest σ - skończona.
Niech µ?Lbędzie miarą zewnętrzną generowana przez miarę µLz pierścienia p(H) oraz niech SLbędzie rodziną podzbiorów
mierzalnych. Wówczas zgodnie z twierdzeniem Caratheodorego (twierdzenie 5.1) SL jest σ - ciałem oraz µ?L jest miarą na
SL.
Definicja 6.1 Zbiory z σ - ciała SL nazywamy zbiorami mierzalnymi Lebesgue’a, natomiast miarę µ?L na SL nazywamy
jednowymiarową miara Lebesgue’a i oznaczamy m1≡ m.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
H ⊂ p(H) ⊂ B(R) ⊂ SL (6.2)
Uwaga 6.1 Wykorzystaliśmy następujące twierdzenie
σa({] − ∞, a] : a ∈ R}) = B(R) (6.3)
Uwaga 6.2 Oznaczamy jednowymiarową miarę Lebesgue’a przez m ≡ m1≡ µL
Miara Lebesgue’a w Rd
(d ∈ N).
Przykład 6.1 Niech X = Rd. Określmy rodzinę
Hd def = ( d Y n=1 ]an, bn] : −∞ < an < bn< +∞ ∧ 1 ¬ n ¬ d ) ∪ {∅} (6.4)
Przykład 6.2 Niech dany będzie półpierścień Hd z przykładu (6.1). Określmy funkcję zbiorów na Hd następująco µL,d(∅) def = 0 i µL,d( d Y n=1 ]an, bn]) def = d Y n=1 (bn− an) dla ]a, b] ∈ Hd (6.5)
Stwierdzenie 6.2 Funkcja zbiorów µL,d zdefiniowana równaniem (6.5) na półpierścieniu Hd jest miara.
Lemat 6.2 µL,d jest σ - skończoną miarą.
Powtarzają cały ciąg rozumowania, jak dla jednowymiarowej miary Lebesgue’a otrzymujemy następującą definicję:
Definicja 6.2 Zbiory z σ - ciała SL,dnazywamy zbiorami mierzalnymi Lebesgue’a, natomiast miarę µ?L,dna SL,dnazywamy
d - wymiarową miara Lebesgue’a i oznaczamy md.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
Hd⊂ p(Hd) ⊂ B(Rd) ⊂ SL,d (6.6)
Twierdzenie 6.3
∀x∈Rµ({x}) = 0 (6.7)
µ(Q) = 0 (6.8)
∀A⊂Rcard(A) ¬ ℵ0⇒ µ(A) = 0 (6.9)
∀a,b∈a < b ⇒ µ([a, b]) = b − a (6.10)
Przykład 6.3 (Konstrukcja zbioru Cantora.)
Niech I0= [0, 1]. Określamy indukcyjnie dla n ∈ N zbiory In następująco
In= 1 3In−1+ 2 3 + 1 3In−1 . (6.11) Niech Cdef= ∞ \ n=0 In (6.12)
Zbiór C nazywamy zbiorem Cantora. Jest on nieprzeliczalny1. Ponadto m(C) = 0.
6.3
Zadania
Zadanie 6.1 Niech µ miara σ - skończona na σ - ciele podzbiorów borelowskich Rn spełnia warunki:
µ({x : 0 < xi¬ 1, i = 1, . . . , n}) = 1, (6.13)
∀E∈B(Rn)∀a∈Rnµ(E) = µ(E + a), (6.14)
Udowodnić, że µ pokrywa się z miarą Lebesgue’a na Rn.
Zadanie 6.2 Policzyć miarę Lebesgue’a w R2 następujących zbiorów:
• prosta; • odcinek.
7.1
Miara Lebesgue’a c.d.
Przykład 7.1 (Konstrukcja zbioru niemierzalnego Lebesgue’a.)
Niech I = [0, 1[.Rozważmy relację R ⊂ I × I określoną nastepująco
∀x,y∈IxRy ⇔ x − y ∈ Q. (7.1)
Wtedy R jest relacją równoważności. Niech Adef= I/R będzie przestrzenia ilorazową. Niech B będzie zbiorem reprezentantów
klas abstrakcji tej relacji (istnieje na mocy pewnika wyboru). B jest ustalone. definiujemy zbiory Ardla r ∈ Q∩I nastepująco:
Ar def = {x + r(mod1) : x ∈ B} ≡ {x + r : x ∈ B ∧ x + r ∈ I} ∪ {x + r − 1 : x ∈ B ∧ x + r > 1} . (7.2) Wówczas I = [ r∈∈Q∩I Ar (7.3) ∀r,q∈Q∩Ir 6= q ⇒ Ar∩ Aq = ∅ (7.4) m(Ar) = m(I) = 1 (7.5)
7.2
Miara Lebesgue’a - Stieltjesa
Rozumowanie dla jednowymiarowej miary Lebesgue’a można powtórzyć dla miary z przykłady (3.3). Otrzymamy wtedy
Definicja 7.1 Zbiory z σ - ciała SF nazywamy zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a - Stieltjesa, natomiast miarę µ?F
na SF nazywamy jednowymiarową miarą Lebesgue’a - Stieltjesa i oznaczamy µF.
Ponadto zachodzą następujące zawierania
HL⊂ p(HL) ⊂ B(R) ⊂ SF (7.6) Definicja 7.2 F (x−0)def= lim x→x−0 F (x) (7.7) Twierdzenie 7.1 ∀x∈RµF({x}) = F (x) − F (x−) (7.8)
Twierdzenie 7.2 Jeżeli F ≡ Id, to miara Lebesgue’a - Stieltjesa pokrywa się z miarą Lebesgue’a. Lemat 7.1 Funkcja rzeczywista niemalejąca na co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości. Twierdzenie 7.3 Istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór F ⊂ R taki, że
7.3
Odwzorowania mierzalne
Definicja 7.3 Niech X 6= ∅, a H i σ - ciało jego podzbiorów. Parę (X, H) nazywamy przestrzenią mierzalną, zaś zbiory z H
nazywamy mierzalnymi.
Jeżeli dodatkowo określona jest miara µ na H to trójkę (X, H, µ) nazywamy przestrzenią z miarą. Jeżeli w przestrzeni z miarą mamy µ(X) = 1, to taką przestrzeń nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Definicja 7.4 Niech dane będą dwie przestrzenie mierzalne (X1, H1) i (X2, H2) oraz odwzorowanie T : X1→ X2. Mówimy,
że jest ono H1 - H2 mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy
∀B∈H2T
−1(B) ∈ H
1. (7.10)
Jeżeli X2= R, zaś H2= B(R) i T jest H1 - H2, to mówimy, że T jest H1 - mierzalne.
Rozważamy dwie przestrzenie mierzalne (X, H1) i (Y, H2) oraz odwzorowanie T : X1→ X2.
Stwierdzenie 7.1 Jeżeli H1= 2X, to dowolne odwzorowanie jest H1 - H2 mierzalne.
Twierdzenie 7.4 Niech H2= σa(F ), gdzie F ⊆ 2Y. Wówczas odwzorowanie T jest H1 - H2 mierzalne wtedy i tylko wtedy,
gdy
∀B∈FT−1(B) ∈ H1. (7.11)
Twierdzenie 7.5 Niech (X, H) będzie przestrzenią mierzalną oraz f : X → R następujące warunki są równoważne
f jest H - mierzalna (7.12)
∀a∈Rf−1(] − ∞, a[) = {x ∈ X : f (x) < a} ∈ H (7.13)
∀a∈Rf−1(] − ∞, a]) = {x ∈ X : f (x) ¬ a} ∈ H (7.14)
∀a∈Rf−1(]a, −∞, [) = {x ∈ X : f (x) > a} ∈ H (7.15)
∀a∈Rf−1([a, −∞, [) = {x ∈ X : f (x) a} ∈ H (7.16)
Stwierdzenie 7.2 Niech f będzie H - mierzalna. Wówczas
∀a∈Rf−1({a}) ∈ H (7.17)
Uwaga 7.1 Jeżeli rozważamy funkcje ze zbioru mierzalnego X w rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych tzn. f : X → R.
Wówczas rodzina
Hdef=]a1, b1[, ]a2, b2], [a3, b3[, [a4, b4] : ai, bi∈ R ∧ ai¬ bi∧ i = 1, 2, 3, 4
(7.18)
jest półalgebrą (półciałem), zaś rodzina zbiorów borelowskich określona jest następująco
B(R)def= {A, A ∪ {+∞} , A ∪ {−∞} , A ∪ {+∞, −∞} : A ∈ B(R)} (7.19)
Wtedy funkcja f jest H−B(R) jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków (7.13–7.16) twierdzenia 7.5 dla dowolnej liczby a ∈ R
Uwaga 7.2 Często będziemy mówili zamiast funkcja H − B(R) - mierzalna, funkcja H - mierzalna.
Definicja 7.5 Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś H = B(X). B(X) - mierzalną funkcję f : Y → R nazywamy
borelowską.
Definicja 7.6 Niech d ∈ N. Niech SL,d będzie σ - ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a w Rd. Niech ponadto
X ∈ SL,d. SL,d - mierzalną funkcję f : X → R nazywamy funkcją mierzalną w sensie Lebesgue’a.
Twierdzenie 7.6 Niech d ∈ N. Wówczas C(Rd) jest podzbiorem funkcji borelowskich.
Twierdzenie 7.7 Niech d ∈ N. Niech X ∈ B(Rd
) oraz f : X → R będzie funkcją borelowską. Wówczas mierzalna w sensie
7.4
Zadania
Zadanie 7.1 Udowodnić, że miara Lebesgue’a jest niezmiennicza na przesunięcia tzn. jeżeli A ∈ SL, to dla dowolnego r ∈ R
zachodzi r + A ∈ SL oraz m(r + A) = m(A).
Zadanie 7.2 Niech HY będzie σ - ciałem podzbiorów Y. Udowodnić, że
T−1(HY) def
=T−1(B) : B ∈ HY
(7.21)
jest σ - ciałem podzbiorów X.
Przyjmijmy następujące definicje
Definicja 7.7 Niech X, Y będą zbiorami, zaś T : X → Y . Niech A ⊆ X. Wówczas
T (A)def= {T (x) : x ∈ A} dla A 6= ∅
∅ dla A = ∅, (7.22) nazywamy obrazem zbioru A przy odwzorowaniu T .
Niech B ⊆ Y . Wówczas
T−1(B)def= {x : T (x) ∈ B} dla B 6= ∅
∅ dla B = ∅, (7.23) nazywamy przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu T .
Zadanie 7.3 Niech T : X → Y . Udowodnić, że dla dowolnych {A1, A2, Aı: ı ∈ I} ⊆ 2X oraz {B1, B2, Bı: ı ∈ I} ⊆ 2Y
zachodzi T (A1) \ T (A2) ⊆ T (A1\ A2) (7.24) T ([ ı∈I Aı) = [ ı∈I T (Aı) (7.25) T (\ ı∈I Aı) ⊆ \ ı∈I T (Aı) (7.26) T−1(B1\ B2) = T−1(B1) \ T−1(B2) (7.27) T−1([ ı∈I Bı) = [ ı∈I T−1(Bı) (7.28) T−1(\ ı∈I Bı) = \ ı∈I T−1(Bı) (7.29)
Zadanie 7.4 Niech H1= {∅, X}. Wyznaczyć wszystkie odwzorowania H1 - H2 mierzalne.
Zadanie 7.5 X 6= ∅, H = {∅, X}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.6 X = {a, b, c, d}, H = {∅, {a}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne. Zadanie 7.7 X 6= ∅, H = {∅, A, A0, X}. Opisać wszystkie funkcje H - mierzalne.
Zadanie 7.9 Niech a, b ∈ R oraz a < b. Pokazać, że H - mierzalną jest funkcja fa,b(x) = b gdy f (x) > b f (x) gdy a ¬ f (x) ¬ b a gdy f (x) < a , (7.30)
o ile H - mierzalną była funkcja f.
Zadanie 7.10 Pokazać, że istnieje nieprzeliczalna rodzina funkcji mierzalnych taka, że g(x) = sup
α∈I
fα(x) jest funkcją
nie-mierzalną.
Zadanie 7.11 Niech X = {1, 2, 3} oraz niech H = {X, ∅, {1}, {2, 3}} będzie σ - ciałem. Zdefiniujmy funkcję f następująco
f (1) = 1, f (2) = 12, f (3) = 32. Czy jest ona H - mierzalna?
Zadanie 7.12 Niech X 6= ∅ oraz H = 2X. Opisać klasę wszystkich funkcji H - mierzalnych.
8.1
Działania na funkcjach mierzalnych
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Twierdzenie 8.1 Niech dane będą H - mierzalne odwzorowania fi: X → R dla i = 1, 2 oraz liczba rzeczywista c. Wówczas
H - mierzalne są następujące odwzorowania: (i) c · f1 (ii) f1+ f2; (iii) f1− f2; (iv) f1· f2; (v) min(f1, f2); (vi) max(f1, f2); (vii) |f1|; (viii) 1 f1 o ile 0 /∈ f1(X).
Wniosek 8.1 Niech dane będzie H - mierzalne odwzorowanie f : X → R. Wówczas H - mierzalne są następujące
odwzoro-wania:
(i) f+ def= max(f, 0);
(ii) f− def= max(−f, 0).
Uwaga 8.1 f+ i f− nazywamy częścią nieujemną i niedodatnią funkcji f. Zachodzą pondato wzór
f−= − min(f, 0) ∧ |f | = f++ f− (8.1)
Wniosek 8.2 Każda H - mierzalna funkcja może być przedstawiona jednoznacznie w postaci różnicy dwóch nieujemnych i
H - mierzalnych funkcji.
Twierdzenie 8.2 Niech dany będzie ciąg fi: X → R : i ∈ N odwzorowań H - mierzalnych. Wówczas H - mierzalne są
następujące funkcje: (i) sup n∈N fn(x) (ii) inf n∈Nfn(x)
(iii) lim sup
n→∞
fn(x)
(iv) lim inf
n→∞ fn(x).
W szczególności funkcja f (x) = lim
n→∞fn(x) jest H - mierzalna o ile istnieje granica. A ponadto zbiór
{x ∈ X: ciąg {fn: n 1} jest zbieżny w R} (8.2)
jest elementem H.
Zadanie 8.1 Istnieje rodzina funckji {fα: X → R : α ∈ I} H - mierzalnych, taka że sup α∈I
fα(x) nie jest H - mierzalna.
Stwierdzenie 8.1 Niech dany będzie ciąg {fn : X → R : n ∈ N} odwzorowań H - mierzalnych i przyjmujących wartości
rzeczywiste takich, że szereg
∞
P
n=1
fn(x) jest zbieżny punktowo. Wtedy jest on H - mierzalny i przyjmuje wartości rzeczywiste.
Stwierdzenie 8.2 Niech dany będzie ciąg {fn: X → R : n ∈ N} odwzorowań H - mierzalnych i nieujemnych. Wtedy szereg ∞
P
n=1
fn(x) jest H - mierzalny (dokładniej H - B(R) - mierzalny) i przyjmuje wartości z R.
8.2
Pojęcie funkcji prostej
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Definicja 8.1 Funkcję f : X → R nazywamy prostą wtedy i tylko wtedy, gdy
card f (X) < ℵ0. (8.3)
Inaczej to można zapisać
∃n∈N∃{A1,...,An}⊂2X∃{a1,...,an}⊂R(∀1¬i<j¬nAi∩ Aj= ∅) ∧ (∀1¬i<j¬nai6= aj) ∧
n [ k=1 Ak= X ⇒ f (x) = n X k=1 akχAk(x) (8.4)
Stwierdzenie 8.3 Jeżeli {An : n 1} ⊂ H, to funkcja f występująca w definicji 8.1 jest H - mierzalna.
8.3
Zadania
Zadanie 8.2 Niech dany będzie ciąg odwzorowań {fn: R → R : n ∈ N} borelowskich oraz funkcja f będąca granicą punktową
tego ciągu. Wtedy f jest borelowska.
9.1
Funkcje proste – twierdzenie o aproksymacji
Niech dana będzie przestrzeń mierzalna (X, H).
Twierdzenie 9.1 (Twierdzenie o aproksymacji funkcjami prostymi.) Jeżeli f jest nieujemną funkcją o wartościach
w R określoną na X. Wówczas istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych zbieżnych punktowo do f .
Wniosek 9.1 Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą określoną na X. Wówczas istnieje ciąg funkcji prostych zbieżnych punktowo
do f .
Wniosek 9.2 (Charakteryzacja nieujemnych funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.)
Niech f : X → R nieujemna funkcja. Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do funkcji f .
Stwierdzenie 9.1 Załóżmy, że dla funkcja f z wniosku 9.2 zachodzi sup
x∈X
f (x) < +∞. Wówczas
sup
x∈X
|f (x) − fn(x)| → 0 dla n → ∞, (9.1)
gdzie fn jest ciągiem występującym we wniosku 9.2.
Wniosek 9.3 (Charakteryzacja funkcji H - mierzalnych za pomoc funkcji prostych.) Niech f : X → R funkcja.
Wówczas f jest H - mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg funkcji prostych H - mierzalnych zbieżnych punktowo do funkcji f .
9.2
Funkcje równoważne. Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią. Niech P będzie pewną własnością określoną dla elementów zbioru
X.
Definicja 9.1 Mówimy, że własność P zachodzi prawie wszędzie względem miary µ wtedy i tylko wtedy, gdy
{x ∈ X : P(x) nie zachodzi} ∈ H (9.2)
µ({x ∈ X : P(x) nie zachodzi}) = 0. (9.3)
Zapisujemy P(x) p.w. (modµ) na X.
Definicja 9.2 Niech A ∈ H oraz f, g: A → R mówimy, że funkcje f i g są równoważne względem miary µ na zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, gdy
{x ∈ A : f (x) 6= g(x)} ∈ H (9.4)
µ({x ∈ A : f (x) 6= g(x)}) = 0. (9.5)
Oznaczamy f = g p.w. względem µ na A lub f = g(modµ) albo f ∼ g.
Uwaga 9.2 Jeżeli przestrzeń z miarą jest określona jednoznacznie, to będziemy zapisywać f = g p.w.
Twierdzenie 9.2 Niech (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą zupełną. Niech A ∈ H. Załóżmy, że funkcja f : A → R jest
H - mierzalna oraz niech funkcja g : A → R będzie taka, że f = g p.w. Wówczas funkcja g jest H - mierzalna
Stwierdzenie 9.2 Niech {f, g} ⊂ C(R) oraz f = g p.w. względem miary Lebesgue’a. Wtedy f = g wszędzie na R.
Definicja 9.3 Niechf, fn: X → R : n ∈ N . Mówimy, że ciąg funkcji {fn : n ∈ N} jest zbieżny prawie wszędzie względem
miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
∃A∈Hµ(A) = 0 ∧ ∀x∈X\A lim
n→∞fn(x) = f (x) (9.6)
Oznaczamy fn → f p.w. względem µ na X lub fn→ f (modµ).
Stwierdzenie 9.3 Jeżeli fn→ f (modµ) i fn→ g(modµ), to f = g(modµ).
Twierdzenie 9.3 Niech (X, H, µ) będzie przestrzeń z miarą zupełną. Niech ponadtofn: X → R : n ∈ N dany będzie ciąg
funkcji H - mierzalnych oraz funkcja f : X → R taki, że fn→ f (modµ). Wtedy funkcja f jest H - mierzalna.
9.3
Zadania
Zadanie 9.1 Udowodnić stwierdzenie 9.1.
Zadanie 9.2 Niech (R, SL, m). Udowodnić, że ciąg {fn: n 1} funkcji mierzalnych określonych wzorem
• fn(x) def = sinn(x3− nx), • fn(x) def = = exp(−n sin2πx)
jest p.w. zbieżny. Policzyć granicę punktową.
Zadanie 9.3 Niech (R, SL, m). Udowodnić, że jeśli ciąg {fn, f : n 1} funkcji mierzalnych spełnia warunek fn → f (mod
m), to
∀ε>0∀a>0 lim
10.1
Zbieżność prawie wszędzie (względem miary)
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.
Definicja 10.1 Mówimy, że ciąg {fn: X → R : n ∈ N} jest prawie wszędzie względem µ ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko
wtedy, gdy
∃A∈Hµ(A) = 0 ⇒ ∀x∈A0∀ε>0∃n
0∈N∀N3m,nn0|fm(x) − fn(x)| < ε (10.1) Twierdzenie 10.1 Niech fn: X → R : n ∈ N oraz f : X → R. Wówczas fn → f (modµ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
{fn: n ∈ N} jest prawie wszędzie ciągiem Cauchy’ego
Twierdzenie 10.2 (Twierdzenie Jegorowa.) Niech (X, H, µ) będzie przestrzeń z miarą skończoną. Niech będzie dany ciąg
{f, fn : X → R : n ∈ N} funkcji H - mierzalnych taki, że fn→ f (modµ). Wtedy
∀ε>0∃Aε∈Hµ(Aε) < ε ∧ limn→∞ sup
x∈A0 ε
|fn(x) − f (x)| = 0 (10.2)
Stwierdzenie 10.1 Jeżeli f jest H - mierzalna funkcją taką, że ∀a>0µ({x ∈ X : |f (x)| a}) = 0, to f = 0(modµ)
Lemat 10.1 Niech µ(X) < +∞ oraz {f, fn: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas
fn→ f (modµ) ⇔ ∀ε>0 lim n→∞µ( ∞ [ k=n {x ∈ X : |fk(x) − f (x)| ε}) = 0 (10.3)
Lemat 10.2 Niech µ(X) < +∞ oraz {f, fn: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas
∀ε>0 ∞
X
n=1
µ({x ∈ X : |fk(x) − f (x)| ε}) < +∞ ⇒ fn → f (modµ) (10.4)
10.2
Zbieżność względem miary
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.
Definicja 10.2 Niech {f, fn: X → R : n ∈ N}. Mówimy, że ciąg {fn: n ∈ N} funkcji H - mierzalnych jest zbieżny według
miary µ na X do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ε>0 lim n→∞µ({x ∈ X : |fn(x) − f (x)| ε}) = 0 (10.5) Oznaczamy fn µ → f lub µ− lim n→∞fn= f . Twierdzenie 10.3 Jeżeli fn µ → f i fn µ → g, to f = g(modµ).
Przykład 10.1 Niech X = [0, 1], H - σ - ciało podzbiorów [0, 1] mierzalnych w sensie Lebesgue’a, µ miara Lebesgue’a na
X. Określamy ciąg funkcji: f1= χ[0,1], f2= χ[0,2−1], f3= χ[2−1,1], . . . . f2k = χ[0,2−k], f2k+1= χ[2−k,2·2−k], . . ., f2k+1−1= χ[(2k−1)2−k,1], f (x) = 0 dla x ∈ [0, 1]. Wówczas fn µ
→ f , ale ciąg fn nie ma granicy w żadnym punkcie.
10.3
Zadania
Zadanie 10.1 Udowodnić lemat 10.1. Skorzystać z zależności
∞ S k=1 ∞ T n=1 ∞ S j=n x ∈ X: |fj(x) − f (x)| 1k .
Zadanie 10.2 Udowodnić lemat 10.2.
Zadanie 10.3 Udowodnić, że twierdzenie Jegorowa (twierdzenie 10.2) jest prawdziwe, dla funkcji p.w. skończonych. Zadanie 10.4 Udowodnić, że nie istnieje granica punktowa ciągu funkcji z przykładu 10.1.
11.1
Zbieżność względem miary c.d.
Niech dana będzie przestrzeń (X, H, µ) z miarą dodatnią.
Wniosek 11.1 Ze zbieżności według miary nie wynika zbieżność prawie wszędzie. Co więcej nie wynika zbieżność choćby w
jednym punkcie.
Przykład 11.1 Niech X = R, H - σ - ciało podzbiorów R mierzalnych w sensie Lebesgue’a, µ miara Lebesgue’a na X.
Określamy ciąg funkcji fn = χ[n,+∞[ oraz f = 0. Wtedy dla dowolnego x ∈ R mamy lim
n→∞fn(x) = 0 oraz dla dowolnego
1 > ε > 0 i n ∈ N jest µ({x ∈ R : |fn(x) − f (x)| ε}) = +∞.
Wniosek 11.2 Ze zbieżności prawie wszędzie nie wynika zbieżność według miary.
Twierdzenie 11.1 (Lebesgue’a.) Niech {f, fn: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem funkcji H - mierzalnych oraz µ(X) < +∞.
Wtedy
fn→ f (modµ) ⇒ fn µ
→ f. (11.1)
Definicja 11.1 H - mierzalny ciąg funkcji {fn : X → R : n ∈ N} nazywamy ciągiem Cauchy’ego (fundamentalnym)
wzglę-dem miary wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε>0∀δ>0∃n0∈N∀m,nn0µ({x ∈ X|fm(x) − fn(x)| ε}) < δ (11.2) Twierdzenie 11.2 Jeżeli fn
µ
→ f , to ciąg {fn: n ∈ N} jest ciągiem Cauchy’ego względem miary.
Uwaga 11.1 We wszystkich twierdzeniach będziemy rozważać funkcje H - mierzalne.
Twierdzenie 11.3 Niech {fn: X → R : n ∈ N} będzie ciągiem Cauchy’ego względem miary. Istnieje wówczas H - mierzalna
funkcja f : X → R oraz podciąg {fnk: k ∈ N} takie, że fnk→ f (modµ) oraz fnk
µ
→ f .
11.2
Zadania
Zadanie 11.1 Udowodnić twierdzenie 11.1 dla ciągu funkcji fn : X ⇒ R, które są prawie wszędzie skończone.
Zadanie 11.2 Niech fn µ
→ f oraz gn µ
→ g. Udowodnić, że wtedy |fn| µ → |f | (11.3) fn± gn µ → f ± g (11.4) (fn)+ µ→ f+ (11.5)
Wykład 12
2003.12.17 / 2h
12.1
Zbieżność względem miary c.d.
Wniosek 12.1 (Twierzenie Riesza.) Niech fn µ
→ f . Wtedy istnieje podciąg {fnk: k ∈ N} taki, że fnk→ f (modµ)
Stwierdzenie 12.1 Jeżeli fn µ
→ f oraz fn→ g(modµ), to f = g(modµ).
Stwierdzenie 12.2 Niech miara µ będzie skończona oraz fn µ
→ f . Jeżeli g : X → R jest H - mierzalna, to gfn µ
→ gf
Stwierdzenie 12.3 Niech miara µ będzie skończona oraz fn µ → f i gn µ → g. Wtedy f2 n µ → f2 oraz g nfn µ → gf
Twierdzenie 12.1 (Warunek konieczny i dostateczny zbieżności według miary.) Niech {fn : X → R : n ∈ N} będzie
ciągiem funkcji H - mierzalnych. Wówczas ciąg {fn: n ∈ N} jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem
Cauchy’ego względem miary.
12.2
Zadania
Zadanie 12.1 Niech dana będzie przestrzeń z miarą skończona (X, H, µ). Udowodnić, analogicznie jak to było robione na
wykładzie z Rachunku prawdopodobieństwa, że ciąg funkcji jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg zawiera podciąg zbieżny prawie wszędzie.
Zadanie 12.2 Powtórzyć lub ewentualnie nauczyć się materiału z topologii, o którym mówiłem na wykładzie. Zadanie 12.3 Udowodnić stwierdzenie 12.1.
Zadanie 12.4 Udowodnić stwierdzenie 12.2. Zadanie 12.5 Udowodnić stwierdzenie 12.3.
13.1
Całka Lebesgue’a – definicja i własności
Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z dodatnią miarą.
Uwaga 13.1 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji prostych będziemy oznaczać SF, natomiast zbiór wszystkich
nieujem-nych i H - mierzalnieujem-nych funkcji prostych symbolem SF+
Definicja 13.1 (Część I) Niech f : X → R będzie nieujemna, H - mierzalną funkcją prostą tj. f spełnia warunek (8.4)
definicji 8.1 tzn.
∃{A1,...,An}⊂2X∃{a1,...,an}⊂R+∪{0}(∀1¬i<j¬nAi∩ Aj = ∅ ∧ ai 6= aj) ∧ n [ k=1 Ak = X ⇒ f (x) = n X k=1 akχAk(x).
Niech A ∈ H. Całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość
Z A f dµ ≡ Z A f (x)dµ(x)def= n X k=1 akµ(Ak∩ A) (13.1)
Definicja 13.2 (Część II) Niech f : X → R będzie nieujemną funkcją H - mierzalną. Niech A ∈ H. Całką Lebesgue’a z
funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość
Z A f dµ ≡ Z A f (x)dµ(x)def= sup p∈SF+:p¬f Z A f (x)dµ(x) (13.2)
Uwaga 13.2 Bedziemu oznaczać dla nieujemnej i H - mierzalnej funkcji f K(f )ozn= {p ∈ SF+: p ¬ f }.
Definicja 13.3 (Część III) Niech f : X → R będzie funkcją H - mierzalną. Niech A ∈ H. Jeżeli przynajmniej jedna z całek
Z A f−dµ Z A f+dµ (13.3)
jest skończona, to całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze A względem miary µ nazywamy wielkość
Z A f dµ ≡ Z A f (x)dµ(x)def= Z A f+dµ − Z A f−dµ. (13.4)
Jeżeli obie całki w (13.3) są skończone, to funkcje f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue’a po zbiorze A względem miar µ.
Uwaga 13.3 Zbiór wszystkich H - mierzalnych funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a po zbiorze A (A ∈ H)
wzglę-dem miary µ oznaczamy przez L(A, H, µ) bądź L(A, µ). W przypadku, gdy zarówno σ - ciało zbiorów H jest wyznaczone jednoznacznie, jak i miara µ wtedy oznaczamy przez L(A).
Lemat 13.1 R
∅
f dµ = 0.
Lemat 13.2 Jeżeli µ(A) = 0, toR
A
f dµ = 0
Lemat 13.3 Jeżeli µ(A) < +∞ oraz f (x) = c dla wszystkich x ∈ A i pewnego c ∈ R, toR
A
f dµ = cµ(A).
Lemat 13.4 Jeżeli 0 ¬ f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ A i g ∈ L(A, µ), to f ∈ L(A, µ) oraz R
A
f dµ ¬R
A
gdµ.
Lemat 13.5 Jeżeli A 6= ∅ i µ(A) < +∞ oraz f : A → R jest ograniczona na A, to f ∈ L(A, µ) oraz µ(A) infx∈A{f (x)} ¬
R A f dµ ¬ µ(A) sup x∈A {f (x)}.
13.2
Zadania
Zadanie 13.1 Udowodnić następujące własności cłki Lebesgue’a
∀f ∈SF+ 0 ¬ Z A f dµ ¬ +∞ (13.5) Z A dµ = µ(A) (13.6) Z A χAdµ = µ(A) (13.7) Z A χBdµ = µ(A ∩ B) (13.8) ∀f1,f2SF+∀A∈H∀x∈Xf1(x) ¬ f2(x) ⇒ Z A f1dµ ¬ Z A f2dµ (13.9) f 0 ⇒ 0 ¬ Z A f dµ ¬ +∞ (13.10)
14.1
Całka Lebesgue’a – własności c.d.
Niech (X 6= ∅) oraz (X, H, µ) będzie przestrzenią z miarą dodatnią. Niech A ∈ H oraz f, g: A → R będą funkcjami H -mierzalnymi.
Lemat 14.1 Jeżeli f ∈ L(A, µ) i c ∈ R, to c · f ∈ L(A, µ) orazR
A
(c · f )dµ = cR
A
f dµ.
Lemat 14.2 Jeżeli H 3 B ⊂ A i f nieujemna na A, to R
B
f dµ ¬R
A
f dµ.
Lemat 14.3 Jeżeli f ∈ L(A, µ) i H 3 B ⊂ A, to f ∈ L(B, µ).
Twierdzenie 14.1 Niech f : X → R będzie funkcją nieujemną i mierzalną. Wówczas funkcja ˆµf(A) def
=R
A
f dµ jest miarą.
Wniosek 14.1 Niech f ∈ L(X, µ) wtedy funkcja ˆµf(A) def
=R
A
f dµ jest σ - addytywną funkcją zbioru.
Wniosek 14.2 Niech f ∈ L(X, µ) oraz {A, B} ⊂ H będą takie, że A ∩ B = ∅. Wtedy R
A∪B f dµ =R A f dµ +R B f dµ.
Lemat 14.4 Niech f ∈ L(X, µ) oraz {An: n ∈ N} ⊂ H będzie rodziną monotoniczną, zaś A jego granicą. Wtedy
R A f dµ = lim n→∞ R An f dµ.
Lemat 14.5 Całka Lebesgue’a nie zależy od wartości całkowanej funkcji na zbiorze miary zero tzn.
∀f :A→R∀B∈Hf ∈ L(A, µ) ∧ µ(B) = 0 ⇒ Z A f dµ = Z A\B f dµ.
14.2
Zadania
Wykład 15
Egzamin
15.1
Zagadnienia na egzamin – część teoretyczna
1. Klasy zbiorów.
(a) Półpierścień, pierścień zbiorów i ich własności. (b) Półciało, ciało zbiorów i ich własności.
(c) σ - pierścień, σ - ciało, rodzina monotoniczna i ich własności. (d) Klasy zbiorów generowane przez rodziny zbiorów i ich własności. 2. Funkcje zbiorów. Miary.
(a) Typy funkcji zbiorów i ich własności.
(b) Miara i jej własności na pewnych klasach zbiorów. (c) Ciągłość miary.
(d) Przedłużanie miar z półpierścienia na pierścień. (e) Miara zewnętrzna. Konstrukcja.
(f) Zbiory mierzalne względem miary zewnętrznej. Twierdzenie Caratheodory’ego.
(g) Zupełność miary generowanej przez miarę zewnętrzną na σ - ciele zbiorów mierzalnych. (h) Miara Lebesgue’a na prostej i jej własności.
(i) Miara Lebesgue’a - Stieltjesa na prostej i jej własności. (j) Zbiór Cantora i jego własności dla miary Lebesgue’a. (k) Konstrukcja zbioru niemierzalnego w sensie Lebesgue’a.
(l) Niezmiennniczość miary Lebesgue’a na przesunięcia. 3. Odwzorowania mierzalne.
(a) Własności obrazu i przeciwobrazu.
(b) Pojęcie odwzorowania H1-H2- mierzalnego. Warunki równoważne H - mierzalności odwzorowania.
(c) Funkcje borelowskie. Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a. Własności. (d) Działania na funkcjach H - mierzalnych.
4. Funkcje proste.
(a) Pojęcie funkcji prostej.
(b) Funkcje proste i ich H - mierzalność.
(g) Ciąg Cauchy’ego względem miary, a zbieżność względem miary. (h) Działania na ciągach zbieżnych względem miary.
(i) Twierdzenie Riesza. 6. Abstrakcyjna całka Lebesgue’a.
(a) Definicja całki Lebesgue’a.
(b) Własności całki Lebesgue’a I (Lematy 1 – 3). (c) Własności całki Lebesgue’a II (Lematy 4 – 6). (d) Własności całki Lebesgue’a II (Lematy 7 – 9). (e) Twierdzenie of ˆµf i wnioski z niego.
15.2
Zadania z egzaminu
1. Zbiór A ⊆ R2 nazywamy symetrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy z (x, y) ∈ A, wynika (−x, −y) ∈ A. Udowodnić, że klasa wszystkich podzbiorów symetrycznych w R2 jest σ - ciałem. Wyznaczyć rodzinę funkcji mierzalnych względem
tego σ - ciała. 5pkt/25pkt
2. Udowodnić, że funkcja µ?: 2X → [0, +∞] zadana wzorem
X ⊇ A 7→ µ?(A) = 0 dla A = ∅ n dla n = card A +∞ dla card A ℵ0
definiuje miarę zewnętrzną na X. Wyznaczyć σ - ciało H zbiorów µ? - mierzalnych. Jakie są funkcje H - mierzalne ?
5pkt/25pkt
3. Niech H = 2R. Udowodnić, że funkcja R ⊇ A 7→ µ(A) = P
n∈A 1
2n (sumowanie po liczbach naturalnych ze zbioru A).
Wyznaczyć µ(R). Jakie zbiory są zbiorami miary zero ? Czy istnieją dwa różne podzbiory R o równej niezerowej mierze ?
5pkt/25pkt
4. Udowodnić, że ciąg funkcji (fn) zadany wzorem fn(x) = exp(cosn(πx)) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni
(R, SL, m). Wyznaczyć jego granicę punktową. 5pkt/25pkt
5. Udowodnić, że jeżeli fn µ
→ f , to |fn| µ
→ |f |. 5pkt/25pkt
15.3
Zadania z egzaminu poprawkowego
1. Udowodnić, że jeżeli fn µ → f oraz gn µ → g, to fn− gn µ → f − g. 5pkt/25pkt
2. Udowodnić, że ciąg funkcji (fn) zadany wzorem fn(x) = sinn(x3− nx) jest prawie wszędzie zbieżny w przestrzeni
(R, SL, m). Wyznaczyć jego granicę punktową. 5pkt/25pkt
3. Czy istnieje σ - ciało złożone dokładnie z 5 elementów ? Odpowidź uzasadnij. 5pkt/25pkt
4. Niech X będzie zbiorem nieskończonym oraz
H = {A ⊆ X : card A < ℵ0∧ card(X \ A) < ℵ0} .
Czy H jest σ - ciałem ? 5pkt/25pkt
5. Niech X = {1, 2, 3} oraz H = {X, ∅, {1}, {2, 3}} będzie σ - ciałem oraz
f (x) = 1 dla x = 1 1 2 dla x = 2 3 2 dla x = 3 .
