Porównywanie topologii S-gęstości

Dowód. 1⇒2 Niech 0 /∈ K i N ⊂ N. Jeśli N jest zbiorem skończonym, to implikacja jest oczywista. Załóżmy więc, że zbiór N jest nieskończony. Skoro I = {I_n}_n∈N ∈ I_<ω, to lim_n→∞diam ({0} ∪ I_n) = 0. Z faktu, że 0 /∈ K wynika istnienie takiego skończonego zbioru N₁ ⊂ N , że

K ∩ ^[

n∈N

I_n = K ∩ ^[

n∈N1

I_n.

Skoro ciąg I spełnia warunek (M ∗), to istnieje skończony zbiór N₁^∗ ⊂ N₁ taki, że K ∩ ^[

n∈N1

I_n= K ∩ ^[

n∈N₁^∗

I_n

oraz M^N

∗

I1 (K) ¬ M .

Implikacje 2⇒3 oraz 3⇒4 są oczywiste.

4⇒1 Załóżmy teraz, że spełniony jest warunek 4. Niech K ⊂ R i 0 /∈ K. Skoro zbiór^S_n∈NI_njest ograniczony, to istnieje α > 0, że^S_n∈NI_n⊂ [−α, α]. Zatem istnieją takie 0 < a < b, że K ∩ [−α, α] ⊂ [−b, −a] ∪ [a, b]. Niech N ⊂ N będzie zbiorem skończonym. Istnieje wówczas taki zbiór N^∗ ⊂ N , że

([−b, −a] ∪ [a, b]) ∩ ^[

n∈N

I_n = ([−b, −a] ∪ [a, b]) ∩ ^[

n∈N^∗

In. oraz M^N_I^∗([−b, −a] ∪ [a, b]) ¬ M . Zatem

K ∩ ^[

n∈N

I_n = K ∩ ^[

n∈N^∗

I_n i na mocy własności 4.1

M^N_I^∗(K) = M^N_I^∗(K ∩ [−α, α]) ¬ M^N_I^∗([−b, −a] ∪ [a, b]) ¬ M.

Przykłady ciągów spełniających i nie spełniających warunku (M ∗) podamy w dalszym ciągu pracy. Teraz przystąpimy do dowodu głównych rezultatów, poprze-dzając je pewnymi lematami.

Niech I = {In}_n∈N∈ I<ω, K = {Kn}_n∈N∈ I<ω. Oznaczmy I(l) = {i ∈ N : Kl∩ I_i 6= ∅} ,

I_m(l) = {i ∈ N : λ (Ii) ¬ m · λ (K_l∩ I_i)}} , gdzie l, m są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Lemat 4.4. Jeśli m₀, l₀ ∈ N i Im0(l) 6= ∅ dla każdego l ∈ N, l ­ l0 oraz z_l = min I_m0(l) dla l ­ l₀, to lim_l→∞z_l = ∞.

Dowód. Ciąg {z_l}_l∈N jest nieograniczony. W przeciwnym przypadku istnieje z_l^∗ ∈ N i ciąg rosnący {l_n}_n∈N taki, że z_l^∗ ∈ I_m0(l_n). Zatem

λ (I_zl∗) ¬ m₀· λ (K_ln∩ I_zl∗)

dla każdego n ∈ N. Ponieważ lim^n→∞λ (Kln) = 0, to otrzymujemy sprzeczność z faktem, że λ (I_zl∗) > 0. Analogicznie pokazujemy, że każdy podciąg ciągu {z_l}_l∈N jest nieograniczony, a więc lim_l→∞z_l = ∞.

Lemat 4.5. Załóżmy, że 0 /∈ I_n dla każdego n ∈ N. Załóżmy ponadto, że istnieje l₀ ∈ N, że I(l) 6= ∅ dla każdego l ­ l0. Jeśli z_l = min I(l) dla l ­ l₀, to lim_l→∞z_l =

∞.

Dowód. Zauważmy, że ciąg {z_l}_l∈Njest nieograniczony. Istotnie, w przeciwnym przy-padku istnieje zl^∗ ∈ N oraz ciąg {lⁿ}_n∈N taki, że zl^∗ = min z(ln) dla każdego n ∈ N.

Oczywiście zl^∗ ∈ I (ln) i Kln ∩ Iz_l∗ 6= ∅ dla każdego n ∈ N. Ponieważ 0 /∈ Iz_l∗, więc istnieje  > 0 takie, że (−, ) ∩ I_zl∗ = ∅. Skoro diam ({0} ∪ K_ln) −→

n→∞0, to w otocze-niu (−, ) leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu {K_ln}_n∈N, co jest sprzeczne z faktem, że K_ln ∩ I_zl∗ 6= ∅ dla każdego n ∈ N. Analogicznie wnioskujemy, że każdy podciąg ciągu {z_l}_l∈N jest nieograniczony, więc lim_l→∞z_l = ∞.

Lemat 4.6. Niech 0 /∈ K_n dla każdego n ∈ N oraz {lj}_j∈N będzie dowolnie ustalonym rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Dla dowolnego n ∈^S_j∈NI (l_j) połóżmy Z(n) = {j ∈ N : n ∈ I(lj)} i z_n = min Z(n). Załóżmy, że zbiór ^S_j∈NI (l_j) jest nieskończony i ustawmy jego wyrazy w rosnący ciąg {nk}_k∈N. Wówczas limk→∞zn_k = ∞.

Dowód. Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy założyć, że ^S_j∈NI (l_j) = N.

Zauważmy, że ciąg {z_n}_n∈N jest nieograniczony. W przeciwnym przypadku istnie-je z_n^∗ ∈ N oraz rosnący ciąg liczb naturalnych {nj}_j∈N taki, że z_n^∗ = min Z(n_j) dla każdego j ∈ N. Otrzymujemy wówczas, że Kl_zn∗ ∩ I_nj 6= ∅ dla każdego j ∈ N.

Analogicznie jak w poprzednim lemacie wnioskujemy, że K_lzn∗ ∩ I_nj 6= ∅ tylko dla skończenie wielu j ∈ N. Sprzeczność ta dowodzi, że ciąg {zn}_n∈N jest nieograni-czony. Podobnie pokazujemy, że każdy podciąg ciągu {z_n}_n∈N jest nieograniczony.

Wnioskujemy stąd, że limn→∞zn = ∞.

Lemat 4.7. Niech I = {I_n}_n∈N będzie skończonym ciągiem zbiorów, którego każ-dy element jest skończoną sumą przedziałów domkniętych. Wówczas dla dowolnego zbioru A ∈ L zachodzi nierówność

X

n∈N

λ (A ∩ I_n) ¬ M^N_I (A) · λ A ∩ ^[

n∈N

I_n

!

.

Dowód. Niech x₀, x₁, . . . , x_n0 będą wszystkimi końcami przedziałów tworzących zbio-ry z ciągu I, przy czym x₀ < x₁ < . . . < xn0. Zauważmy, że dla każdego n ∈ N , jeżeli (xk−1, x_k) ∩ In6= ∅, to

(x_k−1, x_k) = (x_k−1, x_k) ∩ I_n= (x_k−1, x_k) ∩ ^[

m∈N

I_m. (13)

Pokażemy, że dla k ∈ N takich , że (xk−1, x_k) ∩^S_m∈NI_m 6= ∅ mamy card {n ∈ N : (xk−1, xk) ∩ In∩ A 6= ∅} ¬ M^N_I(A).

Załóżmy, że {n ∈ N : (x_k−1, x_k) ∩ I_n∩ A 6= ∅} 6= ∅. Istnieje więc

n⁰ ∈ {n ∈ N : (xk−1, x_k) ∩ I_n∩ A 6= ∅}. Zatem istnieje x⁰ ∈ (x_k−1, x_k) ∩ I_n⁰∩ A, więc x⁰ ∈ I_n⁰. Oznacza to, że n⁰ ∈ {n ∈ N : x⁰ ∈ I_n}. Zatem

{n ∈ N : (xk−1, x_k) ∩ I_n∩ A 6= ∅} ⊂ {n ∈ N : x⁰ ∈ I_n} , skąd

card {n ∈ N : (xk−1, x_k) ∩ In∩ A 6= ∅} ¬ M^N_I(x⁰).

Z uwagi na to, że x⁰ ∈ A otrzymujemy, że

card {n ∈ N : (x_k−1, x_k) ∩ I_n∩ A 6= ∅} ¬ M^N_I(A).

W konsekwencji, na mocy (13), dla dowolnego zbioru mierzalnego A ⊂ R mamy

X

n∈N

λ (A ∩ I_n∩ (x_k−1, x_k)) ¬ M^N_I(A)λ (A ∩ (x_k−1, x_k)) . (14) Z (13) i (14) oraz faktu, że miara zbioru skończonego wynosi zero, otrzymujemy

M^N_I(A)λ A ∩ ^[

n∈N

I_n

!

­ M^N_I(A)λ A ∩

n0

[

k=1

(x_k−1, x_k) ∩ ^[

n∈N

I_n

!

= M^N_I (A)

n0

X

k=1

λ A ∩ (x_k−1, x_k) ∩ ^[

n∈N

I_n

!

= M^N_I(A)

n0

X

k=1

λ (A ∩ (x_k−1, x_k) ∩ In)

­

n0

X

k=1

X

n∈N

λ (A ∩ In∩ (xk−1, xk)) = ^X

n∈N n0

X

k=1

λ (A ∩ In∩ (xk−1, xk))

= ^X

n∈N

λ A ∩ I_n∩

n0

[

k=1

(x_k−1, x_k)

!

= ^X

n∈N

λ (A ∩ I_n) .

Możemy teraz sformułować i udowodnić główne wyniki tego rozdziału.

Twierdzenie 4.8. Niech I = {In}_n∈N ∈ I<ω i K = {Kn}_n∈N ∈ I<ω oraz ciąg I spełnia warunek (M ∗) dla pewnego M ∈ N. Załóżmy też, że 0 /∈ Kn dla każdego n ∈ N. Jeśli

m→∞lim b_m = 0, gdzie b_m = lim sup

l→∞

λ^K_l\^S_n∈Im(l)I_n^ λ (K_l) , to ΦI(A) ⊂ ΦK(A) dla każdego zbioru A ∈ L.

Dowód. Niech limm→∞bm = 0. Pokażemy, ΦI(A) ⊂ ΦK(A) że dla każdego zbioru A ∈ L.

Załóżmy, że 0 ∈ ΦI(A). Pokażemy, że 0 ∈ ΦK(A).

Niech ¹₂ >  > 0. Z założenia istnieje m₀ ∈ N, że dla każdego m ­ m0 zachodzi nierówność b_m < ₂^. Z określenia b_m mamy, że dla m ­ m₀

lim sup

l→∞

λ^Kl\^S_n∈Im(l)In



λ (K_l) <  2. Zatem dla każdego m ­ m₀ istnieje takie l_m ∈ N, że dla l ­ lm

λ^K_l\^S_n∈Im(l)I_n^ λ (K_l) < 

2. W szczególności, dla m₀ istnieje takie l_m0, że dla l ­ l_m0

λ^K_l\^S_n∈Im0(l)I_n^ λ (K_l) < 

2. (15)

Oznaczmy l₀ = l_m0. Weźmy dowolne 0 < β < _{2M m}^

0, gdzie M występuje w warunku (M ∗). Skoro 0 ∈ ΦI(A), to istnieje n₀ ∈ N, że dla każdego n ­ n0

λ (I_n\ A) < βλ (I_n) .

Zauważmy, że zbiór I_m0(l) jest niepusty dla l ­ l₀. Z lematu 4.4 wynika, że lim_l→∞z_l = ∞, gdzie z_l = min I_m0(l) dla l ­ l₀. Zatem istnieje l₁ ∈ N, że Im0(l) ⊂ (n₀, +∞) dla każdego l ­ l₁. Niech l ­ max {l₀, l₁}. Połóżmy N_l = I_m0(l). Jako, że ciąg I spełnia warunek (M ∗), to istnieje skończony podzbiór N_l^∗ ⊂ N_l taki, że dla dowolnego l ­ max {l₀, l₁} mamy

Kl∩ ^[

n∈Nl

In= Kl∩ ^[

n∈N_l^∗

In

oraz

M^N_I^l∗(K_l) ¬ M.

Wówczas, dla l ­ max {l0, l1}, korzystając z lematu 4.7 otrzymujemy, że

λ







K_l∩ ^[

n∈Nl

I_n



\ A



= λ







K_l∩ ^[

n∈N_l^∗

I_n



\ A





¬ ^X

n∈N_l^∗

λ (I_n\ A) ¬ ^X

n∈N_l^∗

βλ (I_n) ¬ ^X

n∈N_l^∗

βm₀λ (K_l∩ I_n)

¬ βm0· M^N

∗

Il(Kl)λ



Kl∩ ^[

n∈N_l^∗

In



¬ βm0M λ (Kl) .

Wynika stąd, że dla dowolnego l ­ max {l₀, l₁} mamy, że

λ (K_l\ A) = λ











K_l∩ ^[

n∈Nl

I_n



∪



K_l\ ^[

n∈Nl

I_n







\ A





¬ λ







K_l∩ ^[

n∈Nl

I_n



\ A



+ λ



K_l\ ^[

n∈Nl

I_n



¬ M m0βλ (Kl) + λ



Kl\ ^[

n∈I_m0(l)

In



. Ostatecznie, dla l ­ max {l₀, l₁}, na mocy nierówności (15) i powyższego oszacowa-nia, wnioskujemy, że

λ (Kl\ A)

λ (K_l) ¬ M m₀β +  2 < .

Z dowolności  > 0 otrzymujemy, że 0 ∈ ΦK(A).

Z powyższego twierdzenia możemy wywnioskować następujące twierdzenie.

Wniosek 4.9. Niech I = {I_n}_n∈N∈ I_<ω i K = {K_n}_n∈N∈ I_<ω oraz ciąg I spełnia warunek (M ∗) dla pewnego M ∈ N. Niech K⁰ = {K_n⁰}_n∈N∈ I_<ωbędzie takim ciągiem zbiorów, że 0 /∈ K_n⁰ dla każdego n ∈ N oraz Φ^K0 = ΦK. Jeśli

m→∞lim b⁰_m = 0, gdzie b⁰_m = lim sup

l→∞

λ^K_l⁰\^S_n∈Im(l)I_n^ λ (K_l⁰) , to TI ⊂ TK.

Dowód. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że ΦI(A) ⊂ ΦK⁰(A) dla każdego zbioru A ∈ L. Ponieważ ΦK⁰(A) = ΦK(A) dla każdego zbioru A ∈ L, to TI ⊂ TK.

Twierdzenie 4.10. Niech I = {I_n}_n∈N ∈ I_<ω i K = {K_n}_n∈N ∈ I_<ω. Jeśli TI ⊂ TK, to

m→∞lim b_m = 0, gdzie b_m = lim sup

l→∞

λ^Kl\^S_n∈Im(l)In



λ (K_l) .

Dowód. Na mocy twierdzenia 2.11 istnieje taki ciąg zbiorów K = {K_n⁰}_n∈N ∈ I_<ω, że K_n⁰ ⊂ K_n, 0 /∈ K_n⁰ dla każdego n ∈ N, limn→∞

λ(Kn\K⁰_n)

λ(Kn) = 0 oraz ΦK⁰(A) = ΦK(A) dla każdego zbioru A ∈ L. Pokażemy, że

m→∞lim b⁰_m = 0, gdzie b⁰_m = lim sup

l→∞

λ^K_l⁰\^S_n∈Im(l)I_n^ λ (K_l⁰) .

Zauważmy, że istnieje takie l₀ ∈ N, że I⁰(l) = {i ∈ N : Kl⁰ ∩ Ii 6= ∅} 6= ∅ dla każdego l ­ l0. Istotnie, w przeciwnym przypadku istnieje ciąg {ln}_n∈N taki, że

I⁰(l_n) =ⁿi ∈ N : Kl⁰n ∩ I_i 6= ∅^o= ∅.

Kładąc A = {0} ∪^S_n∈NIntI_n otrzymujemy, że dla każdego n ∈ N zachodzi równość λ (A ∩ Iln)

λ (I_ln) = 1, więc 0 ∈ ΦI(A). Wynika stąd, że A ∈ TI.

Jednocześnie, dla każdego n ∈ N mamy λ^A ∩ K_l⁰_n^

λ^K_l⁰_n^ = 0,

więc 0 /∈ Φ_K⁰(A) = ΦK(A). Oznacza to, że A /∈ T_K. Z otrzymanej sprzeczności wynika, że I⁰(l) 6= ∅ dla każdego l ­ l₀.

Możemy zatem bez zmniejszania ogólności rozważań założyć, że I⁰(l) 6= ∅ dla każdego l ∈ N.

Załóżmy, że warunek limm→∞b⁰_m = 0 nie jest spełniony. Stąd wynika, że lim sup_m→∞b⁰_m = b > 0. Niech ^b₄ >  > 0. Wówczas istnieje ciąg ⁿb⁰_m

j

o

j∈N taki, że b⁰_m

j > ^b₂ oraz m_j > 2^j+1 dla j ∈ N. Skoro b⁰mj > ^b₂, to lim sup

j→∞

λ^K_l⁰_j\^S_n∈Imj(lj)I_n^ λ^K_l⁰_j^ > b

2, więc dla każdego j ∈ N można wskazać takie l^j ∈ N, że

λ^K_l⁰_j\^S_n∈Imj(lj)I_n^ λ^K_l⁰_j^ ­ b

4 oraz jednocześnie

λ^K_lj \ K_l⁰

j



λ^Klj

 < .

Wybierając ewentualnie podciąg, możemy założyć, że ciąg {l_j}_j∈N jest rosnący oraz zbiory ciągu ⁿK_l⁰

j

o

j∈N są parami rozłączne. Jest to możliwe, ponieważ 0 /∈ K_n⁰ i lim_n→∞diam({0} ∪ K_n⁰) = 0.

Jeśli n ∈ I⁰(l_j) \ I_mj(l_j), to z określenia zbioru I_mj(l_j) otrzymujemy, że λ^K_lj ∩ I_n^¬ 1

m_jλ (I_i) ¬ 1

2^j+1λ (I_i) . Niech B = {0} ∪^S_j∈NB_j, gdzie B_j = K_l⁰_j \^S_n∈Imj(lj)IntI_n.

Zauważmy, że zbiór B jest domknięty w topologii naturalnej. Istotnie, niech ciąg {x_n}_n∈N będzie taki, że lim_n→∞x_n = x₀. Jeśli nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N należy do zbioru B_j0, to z faktu, że zbiór B_j0 jest domknięty otrzymujemy, że x₀ ∈ B_j0 ⊂ B. Podobnie, jeśli nieskończenie wiele wyrazów ciągu {x_n}_n∈N jest równych 0, to lim_n→∞x_n = 0 ∈ B.

Załóżmy teraz, że każdy ze zbiorów B_j zawiera co najwyżej skończoną liczbę wyrazów ciągu {x_n}_n∈N. Skoro lim_j→∞diam({0}∪B_j) = 0, to w dowolnym otoczeniu zera znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu {x_n}_n∈N, skąd wnioskujemy, że lim_n→∞x_n= x₀ ∈ B.

Zauważmy ponadto, że 0 /∈ ΦK(R \ B). Istotnie, λ^B ∩ K_lj^

λ^K_lj^ > λ^B ∩ K_l⁰_j^ λ^K_lj^ = λ^B ∩^K_lj\^K_lj \ K_l⁰_j^

λ^K_lj^ ­ λ^B ∩ K_lj^

λ^K_lj^ − λ^K_lj \ K_l⁰_j^ λ^K_lj^ = λ^K_lj\^S_n∈Imj(lj)I_n^

λ^K_lj^ − λ^K_lj \ K_l⁰_j^ λ^K_lj^ ­ b

4−  > 0.

Pokażemy teraz, że {0} ∪ (R\B) ∈ T^I. Ponieważ zbiór R\B jest otwarty w topologii naturalnej, to wystarczy pokazać, że 0 ∈ ΦI(R \ B).

Niech ⁿI_nj^o

j∈N będzie dowolnym podciągiem ciągu I = {In}_n∈N. Pokażemy, że istnieje taki podciągⁿI_njs^o

s∈N ciągu ⁿI_nj^o

j∈N, że

s→∞lim

λ^B ∩ I_njs^ λ^I_njs^ = 0.

Nie zmniejszając ogólności rozważań pokażemy, że istnieje taki podciąg {I_nk}_k∈N ciągu I = {I_n}_n∈N, że

k→∞lim

λ (B ∩ I_nk) λ (I_nk) = 0.

Rozważmy zbiór

T =







n ∈ N : n ∈ ^[

j∈N

I⁰(l_j) \ I_mj(l_j)^







.

Załóżmy, że zbiór T jest skończony. Załóżmy, że n ∈/ T , a więc n /∈ ^S_j∈N^I⁰(l_j) \ I_mj(l_j)^. Wówczas IntI_n ∩ B = ∅. Istotnie, załóżmy, że istnieje j₀ ∈ N takie, że IntIn ∩ B_j0 6= ∅. Skoro n /∈ I⁰(l_j0) \ I_mj0(l_j0), to n /∈ I⁰(l_j0) lub n ∈ I_mj0(l_j0). W pierwszym przypadku mamy, że I_n∩ K_l⁰

j0 = ∅, więc IntI_n∩ B_j0 = ∅, zaś w drugim otrzymujemy, że IntIn∩ Bj0 = ∅, co prowadzi do sprzeczności.

Zatem istnieje podciąg {n_k}_k∈N taki, że n_k ∈ T dla każdego k ∈ N. W konse-/ kwencji istnieje podciąg {I_nk}_k∈N ciągu I = {I_n}_n∈N taki, że

k→∞lim

λ (B ∩ In_k) λ (I_nk) = 0.

Załóżmy teraz, że zbiór T jest nieskończony. Niech T = {nk : k ∈ N}. Połóżmy Z(k) =ⁿj ∈ N : nk ∈ I⁰(l_j) \ I_mj(l_j)^o

oraz z_k = min Z(k). Ponieważ

Z(k) ⊂ {j ∈ N : nk∈ I⁰(l_j)} , to

z_k ­ min {j ∈ N : nk ∈ I⁰(l_j)} . Z lematu 4.6 wynika, że lim_k→∞z_k= +∞.

Ponadto

λ (B ∩ I_nk) = λ



 [

j∈N

(B_j∩ I_nk)



¬ λ



 [

j /∈Z(k)

(B_j ∩ I_nk)



+ λ



 [

j∈Z(k)

(B_j ∩ I_nk)





Ponieważ dla j /∈ Z(k) mamy, że λ (Bj∩ In_k) = 0, więc λ^S_{j /∈Z(k)}(Bj∩ In_k)^ = 0.

Ponadto

λ



 [

j∈Z(k)

(B_j∩ I_nk)



¬ ^X

j∈Z(k)

K_l⁰_j ∩ I_nk^¬ ^X

j­zk

1

m_j (I_nk) ¬

X

j­zk

1

2^mjλ (I_nk) ¬ λ (I_nk) ^X

j­zk

1

2^j+1 = λ (I_nk) · 1 2^zk. Jako, że lim_k→∞z_k = +∞, to lim_k→∞ ^λ(^B∩Ink)

λ(^Ink) = 0.

Zatem ostatecznie wnioskujemy, że

n→∞lim

λ (B ∩ I_n) λ (I_n) = 0.

Oznacza to, że 0 ∈ ΦI(R \ B), a więc R \ B ∈ T^I \ TK. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że lim_m→∞b⁰_m = 0. Zauważmy, że

λ^K_l\^S_n∈Im(l)I_n^

λ (K_l) ¬ λ (K_l\ K_l⁰)

λ (K_l) +λ^K_l⁰\^S_n∈Im(l)I_n^ λ (K_l) ¬

λ (K_l\ K_l⁰)

λ (Kl) +λ^K_l⁰ \^S_n∈Im(l)I_n^ λ (K_l⁰) . Otrzymujemy stąd, że bm ¬ b⁰_m dla każdego m ∈ N. Zatem lim^m→∞bm = 0.

W dokumencie O topologiach generowanych przez regularne ciągi zbiorów mierzalnych (Stron 42-52)