Preludium: funk je hiperboli zne

Rozpatruj¡ orbityhiperboli zne,bdziemymusieli posªugiwa¢ sifunk jami

hiperboli znymi,którenie w hodz¡wzakresszkolny hkursówmatematyki,

wi wymagaj¡osobnegowprowadzenia.

Sinusi osinushiperboli znydeniujemyanalogi zniedozwy zajny h

funk- jitrygonometry zny h. Je±li

cos x = exp (i x) + exp (−i x)

2 , sin x = exp (i x) − exp (−i x)

2 i ,

^(4.31)

to

cosh x = exp (x) + exp (−x)

2 , sinh x = exp (x) − exp (−x)

2 ,

^(4.32)

Zporównaniaty hwzorówwida¢,»e

cos ix = cosh x, sin ix = i sinh x.

O ile funk je sinus i osinus byªy ograni zone, to i h hiperboli zne

odpo-wiednikirosn¡wykªadni zoidla

x ≫ 1

^mamy

sinh x ≈ cosh x ≈ exp x

2 ,

natomiastdla

x ≪ −1

sinh x ≈ − cosh x ≈ − exp x 2 .

Wzórjedynkowydlafunk jihiperboli zny hmaposta¢

cosh ² x − sinh ² x = 1.

^(4.33)

Podobniejakdlafunk ji trygonometry zny hwprowadzasi

tgh x

^def

= sinh x

cosh x , ctgh x

^def

= cosh x

sinh x = (tgh x) ⁻¹ .

^(4.34)

Zdeni ji(4.32)i(4.34) mo»nawydedukowa¢wiele wªasno± ifunk ji

hiperbo-li zny h. Cz±¢zni hpodsumowanajestwponi»szejtabel e.

funk ja

F (x) F ^′ (x)

^parzysto±¢

lim

Wartotak»ewspomnie¢o funk ja h odwrotny h, analogi zny h doar us ale

nazywany hArea idaj¡ y hsiwyrazi¢jawnieprzypomo ylogarytmu

natu-ralnego.

Dla funk ji hiperboli zny h o argumen ie bd¡ ym sum¡ dwó h wielko± i

obowi¡zuj¡wzory

sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.

Drugi z ni h ma znak plus w odró»nieniu od zwykªego osinusa sumy katów.

Wtejsytua jitangenshiperboli znypoªowyargumentumanie oodmienn¡od

(4.8)posta¢

tgh x

2 = cosh x − 1

sinh x = sinh x

cosh x + 1 .

^(4.36)

4.2.2 Poªo»enie jako funk ja anomalii mimo±rodowej

Równaniekanoni zne hiperboli (

h > 0

^,

e > 1

^{) wukªadzie ±rodkowym}

O ^′ XY

ró»nisiodprzypadkuelipty znegoznakiemminus

X ² a ² − Y ²

b ² = 1.

Symbole, które dla elipsy ozna zaªypóªo± wielk¡ i póªo±maª¡, nosz¡ w

przy-padkuhiperbolinazwypóªo± rze zywista

a

^{ipóªo±urojona}

b = a p

e ² − 1,

^(4.37)

Nie zna zy to, »e

b

^{jest li zb¡ urojon¡, le z tylko tyle, »e gdyby utrzyma¢ w}

mo y deni j póªosi maªej elipsy

b

^{z równania(4.1), to przy}

e > 1

^istotnie

otrzymaliby±myurojon¡warto±

b

^{. Zauwa»myprzyokazji, »e je±li}

e > √ 2

^{, to}

b > a

^{o dodatkowouzasadnia}niestosowno±¢terminówpóªo±wielka i póªo±

maªawodniesieniudohiperboli.

Równania parametry zne w ukªadzie ±rodkowym s¡ dwuzna zne, gdy»

hi-perbolaposiadadwiegaªzie. Awi ,wprowadzaj¡ parametr

E

^,

X = ±a cosh E, Y = b sinh E.

^(4.38)

Wielko±¢ ozna zan¡przez

E

^{nazwiemy anomali¡} mimo±rodow¡, ale w od-ró»nieniuod przypadku elipty znego, niejestonak¡tem i przebiegawszystkie

warto± irze zywiste

−∞ < E < ∞

^.

Abyprzej±¢dorównaniaorbityhiperboli znej,musimywybra¢jedn¡gaª¡¹

krzywej,tzeznakiemminus,iprzesun¡¢±rodekukªadudojejogniska.Takjak

dla elipsy, odlegªo±¢ ogniskow¡,która sªu»y do tego przesuni ia, deniujemy

wzorem (4.3), to zna zy

c = ae

^{. Tym razem jednak}

c > a

^{, gdy»}

e > 1

^{. Co}

iekawe,dlaorbithiperboli zny h

a ² + b ² = c ² ,

tak,jakwtwierdzeniuPitagorasazodwie znymiozna zeniamibokówtrójk¡ta.

Wukªadzieogniskowym

Oξη

ξ = X + c, η = Y,

wi równaniaparametry zneprzyjmuj¡posta¢

ξ = a (e − cosh E), η = a √

e ² − 1 sinh E = b sinh E.

^(4.39)

Odlegªo±¢midzy iaªami

r

^{znajdziemypoprzez}

r ² = ξ ² + η ² = a ² (e − cosh E) ² + a ² (e ² − 1) sinh ² E =

= a ² e ² − 2 e cosh E + cosh ² E + (e ² − 1) sinh ² E
.

Korzystaj¡ zwzorujedynkowegodlafunk jihiperboli zny h,do hodzimydo

r ² = a ² e ² cosh ² E − 2 e cosh E + 1

= a ² (e cosh E − 1) ² .

Zauwa»my,»e w odró»nieniu odfunk ji trygonometry zny h

cosh E > 1

^{, wi}

wyra»enie w nawiasie jest nieujemne i nie musimy zmienia¢ jego znaku, gdy

prze hodzimydo

r = a (e cosh E − 1).

^(4.40)

4.2.3 Anomalia prawdziwa w ru hu hiperboli znym

Poszukajmy teraz zwi¡zku midzy anomali¡ mimo±rodow¡

E

^{i prawdziw¡}

f

analogi znegodo(4.9). Skoro

Podobie«stwotegozwi¡zkudo(4.9)jest powierz howneimyl¡ e.

Przypo-mnijmy,»etangenshiperboli znyjestfunk jaograni zon¡,d¡»¡ ¡

asymptoty z-niedo

1

^lub

−1

^{. Je±liwi}

E → ∞

^,to

rozpatruj¡ anomaliprawdziw¡wzakresie

−π < f 6 π

^.

Widzimywi , »eanomaliaprawdziwawru huhiperboli znymzmieniasi

jedynie w zakresie wyzna zonym przez asymptoty hiperboli, przy zym

f max

jestzawszek¡tem wikszymni»

π

2

^{amniejszymlubrównym}

π

^.

Wyprowadzenie wzoru dla

E ˙

^{dla orbity} hiperboli znej wygl¡da niemal iden-ty znie jak przedstawione w Rozdziale 4.1.3. Dwie drobne ró»ni e, to u»y ie

p = a(e ² − 1)

^,oraz

dr

dE = d [a(e cosh E − 1)]

dE = a e sinh E,

^(4.44)

zamiast(4.14). Wynik wygl¡dajednak identy znie jak dla orbitelipty zny h,

tozna zy

E = ˙ n a

r ,

^(4.45)

gdzieru h ±redni

n

^{deniujemynadaljako}

n =

r µ a ³ .

UogólnioneIII prawoKepleradlaorbithiperboli zny hmawi posta¢

n ² a ³ = µ

^{, ho nie mo»emyjuz wi¡za¢}

n

^{zokresemobiegu,boru h}hiperboli znynie jestokresowy.

Abyotrzyma¢jawn¡zale»no±¢anomaliimimo±rodowejod zasu, aªkujemy

równanieró»ni zkowepowstaj¡ ez(4.45)i(4.40)

E = ˙ n a

r = n

e cosh E − 1 ,

metod¡rozdzieleniazmienny h

(e cosh E − 1) dE = n dt.

Doln¡ grani ¡ aªkowaniajest moment przej± ia przez pery entrum

t p

^{, kiedy}

E = 0

^{,agórn¡dowolnymoment}

t 1

^{, kiedyanomalia}mimo±rodowawynosi

E 1

Z E 1

0

(e cosh E − 1) dE = Z t 1

t p

n dt.

Elementarne aªkiprowadz¡do

[e sinh E − E] ^E 0 ¹ = [n t] ^t _t ¹ _p ,

zyli

e sinh E 1 − E ¹ = n (t 1 − t ^p ).

Przypominaj¡ deni janomalii±redniej(4.17)iopusz zaj¡ indeks1

otrzy-mujemyrównanie Kepleradla orbithiperboli zny h

M = e sinh E − E.

^(4.46)

Zauwa»my,»emimoformalnegopodobie«stwadeni ji

M = n (t − t ^p )

^do

przy-padkuelipty znego, anianomalia±redniaanimimo±rodowanies¡ k¡tami.

wymagau»y iametodprzybli»ony hw eluznalezienia

E

^. Rozwi¡zuj¡ je me-tod¡ itera ji prosty h musimy jednak zmodykowa¢ posta¢ (4.18) i iterowa¢

wzór

gdy» tylko w tej posta iuzyskamy zbie»no±¢ i¡gu

{E j }

^{. Niestety, zbie»no±}

tego pro esu jest bardzo kiepska dla warto± i mimo±rodu niewiele wikszy h

od 1. Z tegowzgldu lepiej posªu»y¢ siemetod¡Newtona, któraprowadzido

s hematu

E j+1 = M + e (E j cosh E j − sinh E j )

e cosh E j − 1 .

^(4.48)

4.2.5 Prdko±¢ i hodograf

Skoropodobniejakdlaelipsy

E = ˙ n a r ,

topo hodnezmienny h

ξ

ⁱ

η

^{wzgldem zasuotrzymamypoprzez}

˙ξ = E ˙ dξ

Ró»ni zkuj¡ (4.40)otrzymamyskªadow¡radialn¡prdko± i

v r = ˙r = ˙ E dr dE = n a

r (a e sinh E),

natomiastskªadow¡transwersaln¡,podobniejakdlaorbitelipty zny h,z

ogól-negowzoru

v t =

√ µ p r ,

którytymrazemprzybieraposta¢

v t =

p (n ² a ³ ) a (e ² − 1)

r = n a ²

r

p e ² − 1.

Wzorydlaskªadowy h

v r

ⁱ

v t

^orbityhiperboli znejmaj¡wi posta¢

v r = n a ²

mimo±rodowejpoprzez

v = n a

r e cosh E + 1

e cosh E − 1 .

^(4.51)

Zauwa»my,»egdy

E → ±∞

^{to odlegªo±¢}

r

^{d¡»y do}niesko« zono± i

E→±∞ lim r = lim

E→±∞ a (e cosh E − 1) = ∞.

^(4.52)

Alenawetwniesko« zono± i aªkowitaprdko±¢niespadadozera

E→±∞ lim v = n a lim

Azatemjednym zparametrówru hupoorbi iehiperboli znejjesttzw.

prd-ko±¢ w niesko« zono± i

v _∞ = n a = r µ

a .

^(4.53)

Poniewa»prdko±¢transwersalnawniesko« zono± id¡»ydozera,prdko±¢

v _∞

jestskierowanaradialnie.

Dla niezdegenerowany h orbit hiperboli zny h hodograf ma nadal posta¢

okrgu, ale niepeªnego. Wi¡»e si to zograni zeniem zakresuanomalii

praw-dziwej

f

parametryzuj¡ ej okr¡g. Na wykresie mo»na zauwa»y¢,»e odlegªo±¢

±rodkaokrgu od po z¡tku ukªadu

˙ξ, ˙η

^{, równa}

e n a ² /b

^{, jest wiksza ni»}

pro-mie« okrgu

n a ² /b

ⁱ rze zywiste zmiany prdko± i obejmuj¡ wy inek okrgu ograni zonysty znymi poprowadzonymize±rodkaukªadu.

4.2.6 Zdegenerowane orbity hiperboli zne

Orbity prostoliniowe

e = 1

Je±limomentpdujestrównyzeroastaªaenergii

h

^{jestdodatnia,tomamydo}

zynieniaze zdegenerowanymi orbitamihiperboli znymi omimo±rodzie

e = 1

^.

Trady yjnie mo»emy wtedy korzysta¢ zwzorówzale»ny h od anomalii

mimo-±rodowej. Dlapoªo»e«

ξ = a (1 − cosh E) = −r,

η = 0.

^(4.54)

Azatem orbitama ksztaªtpóªprostej, poªo»onej nalewej póªosi

ξ

^z

wyklu ze-niem

ξ = 0

^jakopunktuodpowiadaj¡ egokolizji. Dlaprdko± i

˙ξ = − n a sinh E

cosh E − 1 = −v ^r ,

˙η = v t = 0.

^(4.55)

Hodografma wi posta¢ dwó h póªprosty h

| ˙ξ| > n a = v ∞

^{, z}wewntrznymi punktami odpowiadaj¡ ymi niesko« zonej odlegªo± i. Równanie Keplera ma

posta¢

M = sinh E − E,

^(4.56)

irozwi¡zujemyjepodobniejakdlaorbitniezdegenerowany h.

Orbity prostoliniowe

e → ∞

Istnieje tak»edrugamo»liwo±¢ degenera ji orbity hiperboli znej: gdy

e → ∞

^,

orbitaprzybiera posta¢ prostejprostopadªejdowektora Lapla e'a. Wymaga

to niesko« zonej prdko± i, wi nie bdziemy po±wi a¢ wi ej uwagi temu

przypadkowi. Wartojednakonimwiedzie¢,gdy» zasemorbityobardzodu»ym

mimo±rodzieprzybli»asiod inkiemprostejnaprzykªadprzyopisieprzej± ia

gwiazdwpobli»uSªo« a.

4.3 Orbity paraboli zne

4.3.1 Poªo»enie i odlegªo±¢

Spe ykaorbitparaboli zny hjest to,»e nietrzebadlani h wprowadza¢

ano-maliimimo±rodowej. Zamiasttego,posªugujemysipomo ni z¡zmienn¡

D = tg f

2 .

^(4.57)

Przyjejpomo ymo»emyprzedstawi¢sz zególnyprzypadekwzoru(3.21)z

mi-mo±rodem

e = 1

^oraz

p = 2q

^{, jako}

r = p

1 + cos f = p

2 cos ² (f /2) = q 1 + D ²

.

^(4.58)

Wspóªrzdnekartezja«skiewyra»oneprzypomo y

D

przybieraj¡posta¢

ξ = r cos f = q 1 − D ²
,

η = r sin f = 2 q D.

^(4.59)

Równania(4.59)deniuj¡parabol

ξ = − 1

4 q η ² + q,

^(4.60)

zosi¡ symetrii

ξ

^{i gaªziami}skierowanymi w lewo. Odwra aj¡ rozumowanie mo»nastwierdzi¢,»eorbit¡zagadnieniadwó h iaªniemo»eby¢ka»daparabola

atylkotaka,którajestsymetry znawzgldemosi

ξ

^{imawyró»nik}

∆ = 1

^{. Tylko}

wtedyogniskowypadniew±rodkuukªaduwspóªrzdny h.

4.3.2 Równanie Barkera

Zale»no±¢zmiennej

D

^{od zasumo»na znale¹¢bez trudu. Za znijmy}

zró»ni z-kowaniaden ji(4.57)

D = ˙ f ˙

2 cos ² (f /2) = r

p f . ˙

^(4.61)

Zdrugiejstorny,po hodna

f

^{speªniaskalarn¡ aªkpól(4.11)}

f = ˙

√ µp

r ² .

Rysunek4.2: Rodzinaorbitparaboli zny hzró»nymiwarto± iami

q

^.

Azatem,ª¡ z¡ obawzory

D = ˙ r µ

p r ⁻¹ = r µ

p ³ p r .

Wprowad¹my terazru h ±redni poprzezIII prawoKepleradla ru hu

para-boli znego

n ² p ³ = µ,

^(4.62)

orazdokonajmyrozdzieleniazmienny h wpowstaªym równaniu

dD

dt = 2 n

1 + D ² .

^(4.63)

Zwi¡zek

1

2 1 + D ²

dD = ndt,

wy aªkujemy w grani a h od momentu przej± ia przez pery entrum

t p

^{, gdy}

D = 0

^{,dobie»¡ ejepoki}

t 1

^{,którejodpowiadawarto±¢}

D 1

1 2

Z D 1

0

1 + D ²
dD =

Z t 1

t p

n dt,

oprowadzidoprostegorównaniaalgebrai znego

D ³ 6 + D

2 = n (t − t ^p ).

^(4.64)

Jest to równanie Barkera bd¡ e paraboli znym odpowiednikiem równania

Keplera. W odró»nieniu od równaniaKeplera, (4.64) jestrównaniem

algebra-i znym trze iegostopniaiposiada± isªe rozwi¡zanie. Abyznale¹¢

D

^{(a wi i}

f

^{)obli zamynajpierwanomali±redni¡}

M

^{(któraniejestk¡tem!) anastpnie}

pomo ni z¡wielko±¢

σ

M = n (t − t ^p ),

^(4.65)

σ = p

1 + 9M ² − 3M  ¹ ₃

,

^(4.66)

D = 1 − σ ²

σ .

^(4.67)

4.3.3 Prdko±¢ w ru hu paraboli znym

Ró»ni zkuj¡ wzory (4.59) wzgldem anomalii mimo±rodowej

D

^{a nastpnie}

uwzgldniaj¡

D = n p/r ˙

^{zrównania(4.63),} otrzymujemyskªadoweprdko± i

˙ξ = − n p ²

r D = −4 n q D 1 + D ² ,

˙η = n p ²

r = 4 n q 1

1 + D ² .

^(4.68)

Ciekaw¡wªasno± i¡ru huparaboli znegojest

v r = − ˙ξ, v t = ˙η,

^(4.69)

o ªatwo mo»na sprawdzi¢ albo poprzez bezpo±rednie ró»ni zkowanie wzoru

(4.58),albopodstawiaj¡

e = 1

^{dorówna«(3.29)i(3.30).}

Prdko±¢ aªkowita

v =

q ˙ξ ² + ˙η ²

^wynosi

v = 2 n p

√ 1 + D ² = r 2 µ

r .

^(4.70)

Druga z±¢tegowzoru znanajestjakodeni ja tzw. drugiej prdko± i

ko-smi znej,znanejtak»ejakoprdko±¢u ie zkilubprdko±¢paraboli zna. Jest

tominimalnaprdko±¢jak¡nale»ynada¢ iaªuwodlegªo± i

r

^{oddrugiej masy,}

abymogªoonooddali¢siwniesko« zono±¢. Inneorbityotwarte(orbity

hiper-boli zne) maj¡ wiksz¡warto±¢ staªej energii

h > 0

^{awi posiadaj¡ wiksz¡}

ni»(4.70)prdko±¢wtejsamejodlegªo± i

r

^ni»paraboli znaorbitaz

h = 0

^.

Hodograforbityparaboli znejmaprzej± iow¡midzyru hemelipty znyma

hiperboli znymposta¢okrgubez punktu

˙ξ = ˙η = 0

wymagaj¡ ego

D = ±∞

^.

Wtensposóbzako« zyli±myanalizwszystki hmo»liwy htypówru huw

pªasz- zy¹nie orbity wzgldnego zagadnienia dwó h iaª, z pomini iem przypadku

zdegenerowany h,prostoliniowy horbitparaboli zny h.

Przestrzenne zagadnienie

wzgldne

W poprzednim rozdziale rozpatrywali±my ru h wzgldny dwó h iaª w

pªasz- zy¹nie

ζ = 0

^ukªadu wspóªrzdny hpery entry zny h

Oξηζ

^{. Mo»liweto byªo}

dzikidziki istnieniu aªek pól prowadz¡ y hdo wniosku, »e orbita jestalbo

krzyw¡pªask¡albole»ynaprostej. Obe niezajmiemysiopisemru huw

karte-zja«skimukªadzie

Oxyz

^{,którego±rodekznajdujesiwpunk ie}materialnym

m 1

tak, jakwukªadzie

Oξηζ

^{aleosie mog¡mie¢dowolniewybran¡}orienta j.

Ukªad

Oxyz

^{nazywa¢bdziemykrótkoukªademdowolnym.}

5.1 Caªki ru hu zagadnienia wzgldnego w

do-wolnym ukªadzie wspóªrzdny h

Równania ru hu zagadnienia wzgldnego maj¡ w ukªadzie dowolnym posta¢

(2.16) zyliporozpisaniunawspóªrzdne

¨

x = − µ x r ³ ,

¨

y = − µ y

r ³ ,

^(5.1)

¨

z = − µ z r ³ ,

gdzie

r = p

x ² + y ² + z ²

^{, natomiast}

µ = k ² (m 1 + m 2 )

^.

Oksztaª ie i orienta jiprzestrzennejorbityde yduj¡warto± isiedmiu

sta-ªy h ru hu

h

^,

G = (G 1 , G 2 , G 3 ) ^T

ⁱ

e = (e 1 , e 2 , e 3 ) ^T

^{, którepoznali±my w}

Roz-dziale3. Warto± itewyli zamyznastpuj¡ y h aªekru hu:

1. Caªkasiªy»ywej(energii)danarównaniem(3.2)

h = 1

2 ˙x ² + ˙y ² + ˙z ²

− µ

r .

^(5.2)

G 1 = y ˙z − z ˙y,

G 2 = z ˙x − x ˙z,

^(5.3)

G 3 = x ˙y − y ˙x.

3. CaªkiLapla e'a(3.14)

e 1 = 1

µ ( ˙y G 3 − ˙z G ² ) − x r , e 2 = 1

µ ( ˙z G 1 − ˙x G ³ ) − y

r ,

^(5.4)

e 3 = 1

µ ( ˙x G 2 − ˙y G ¹ ) − z r ,

Przypomnijmy, »e wektormomentu pdu

G

^{jestnormalny do}pªasz zyzny or-bity,wi jegowspóªrzdne

G 1

^,

G 2

ⁱ

G 3

^{mog¡posªu»y¢dookre±leniapoªo»enia}

pªasz zyzny

Oξη

^{wukªadziedowolnym. Wi¡»esiznimpoj ieliniiwzªów.}

Je±liorbitaniezdegenerowanaprze inapªasz zyzn podstawow¡

Oxy

^w

jed-nymlubwdwó hpunkta h,to punktytenazywamywzªamiorbity. Je±liw

danym w¹leprdko±¢

˙z > 0

^{,towzªnazywamy}wstpuj¡ ym,aje±li

˙z < 0

^,

tomówimyow¹lezstpuj¡ ym. Orbityzamknite maj¡zawszedwawzªy,

natomiastorbityotwartemog¡mie¢jedenlubdwawzªyzale»nieod

orienta- jiwzgldempªasz zyznypodstawowej. Prost¡prze hodz¡ ¡przez onajmniej

jedenzwzªówi±rodek

O

^ukªaduwspóªrzdny hnazywamylini¡ wzªów.

Je-±li istniej¡dwawzªy, to linia wzªówprze hodzi przez oba wzªy i ±rodek

O

^.

Ina zejmo»nazdeniowa¢liniwzªówjakoprost¡wyzna zon¡przezprze i ie

pªasz zyzny normalnej do

G

(pªasz zyzny orbity) i pªasz zyzny podstawowej

Oxy

^{. Z} o zywisty h wzgldówlinia wzªów nie istnieje gdy

G = (0, 0, G 3 ) ^T

^,

zyligdy pªasz zyzna orbity pokrywasi z pªasz zyzn¡ podstawow¡. Wektor

skierowanydowzªawstpuj¡ egomo»emyotrzyma¢poprzezilo zynwektorowy

m = ˆ z × G. ˆ

^(5.5)

Mimo,»e u»yli±my dwó h wersorów, wektor

m

^{nie jest} jednostkowy(z wyj¡t-kiem sytua ji,gdy

z ˆ ⊥ G ˆ

^{). U»y ie}

G ˆ

^{ma nam} przypomina¢, »e wektor tennie istniejegdy

G = 0

^{. Natomiastdla}

z ˆ k G ˆ

^mamy

m = 0

^{, wi niepokazujeon}

»adnegokierunku.

WektorLapla e'a

e

^{wskazujepoªo»enieosi}

Oξ

^wprzestrzeni. Wi¡»esiznim poj ielinii apsyd zyliprostejprze hodz¡ ejprzez ognisko

O

ⁱ pery entrum orbity niezdegenerowanej. Je±li mamy do zynienia zorbit¡ elipty zn¡, to na

linii apsyd le»y tak»eapo entrum. Krótkomówi¡ : linia apsyd to prosta na

której le»y wektor Lapla e'a

e

^{i z aªek Lapla e'a wynika, »e ma ona trwaª¡}

orienta jwprzestrzeni. Liniaapsydnieistnieje gdy

e = 0

^.

Wektory

e

ⁱ

G

^{mog¡ posªu»y¢ do}zdeniowaniatransforma jizukªadu dowol-negodopery entry znego.Poniewa»znamyju»wzorynawspóªrzdnewektorów

poªo»eniaiprdko± iwukªadziepery entry znym,musimyterazzmierzy¢siz

problememtransforma jiwspóªrzdny hwektoraprzyzmianiebazy.

Za znijmyodokre±leniawersorówukªadu pery entry znego. O±

Oξ

skiero-wanajestdopery entrum zyliwzdªu»wektoraLapla e'a;mo»emywi przyj¡¢

ξ ˆ = ˆ e

^{. O±}

Oζ

^{skierowanajestwzdªu»wektora momentupdu}

G

^{, zyli}

ζ ˆ = ˆ G

^.

Ukªad jest ortogonalny i prawoskrtny, wi wersor osi

Oη

^{mo»emy otrzyma¢}

poprzezilo zynwektrowydwó hpozostaªy h:

η ˆ = ˆ ζ × ξ ˆ

^{. Dlaekonomiizapisu,}

wprowadzimypomo ni zywektor,zwany zasemwektoremHamiltona,

B = G × e.

^(5.6)

On te» jest aªk¡ ru hu, ale w peªni zale»n¡ od pozostaªy h. Wykorzystamy

gojedynie douzupeªnieniazwi¡zkumidzy aªkamiru huawersoramiukªadu

pery entry znego:

ξ ˆ = e ⁻¹ e = ˆ e, η ˆ = B ⁻¹ B = ˆ B ζ ˆ = G ⁻¹ G = ˆ G.

^(5.7)

Wersoryukªadu dowolnegoozna zymyodpowiednioprzez

x ˆ

^,

y ˆ

^oraz

z ˆ

^.

Tensamwektorpoªo»enia

r

^mo»naprzedstawi¢wdwó hbaza hjako

r = ξ ˆ ξ + η ˆ η + ζ ˆ ζ,

^(5.8)

r = x ˆ x + y ˆ y + z ˆ z.

^(5.9)

Wspóªrzdne (zwane tak»e skªadowymi) wektora w danej bazie otrzymujemy

poprzezrzutynaodpowiedniewersory. Wnaszymprzypadku

ξ = r · ξ, ˆ η = r · ˆ η, ζ = r · ζ, ˆ

^(5.10)

oraz

x = r · ˆ x, y = r · ˆ y, z = r · ˆ z.

^(5.11)

Je±li h emyznale¹¢zwi¡zekmidzywspóªrzdnymiwobubaza h,to

powinni-±myzastosowa¢wzór(5.11)u»ywaj¡ wektora

r

^{wposta i(5.8)albonaodwrót}

poª¡ zy¢wzory(5.10)i(5.9). Rozpatrzymywariantpierwszy, oprowadzido

x = r · ˆ x = 

ξ ˆ ξ + η ˆ η + ζ ˆ ζ 

· ˆ x = ( ˆ ξ · ˆ x) ξ + (ˆ η · ˆ x) η + (ˆ ζ · ˆ x) ζ, y = r · ˆ y = 

ξ ˆ ξ + η ˆ η + ζ ˆ ζ 

· ˆ y = ( ˆ ξ · ˆ y) ξ + (ˆ η · ˆ y) η + (ˆ ζ · ˆ y) ζ, z = r · ˆ z = 

ξ ˆ ξ + η ˆ η + ζ ˆ ζ 

· ˆ z = ( ˆ ξ · ˆ z) ξ + (ˆ η · ˆ z) η + (ˆ ζ · ˆ z) ζ.



Odtegomomentubdziemyu»ywa¢ra hunkuwektorowegowewspóªrzdny h.

Ra hunekwektorowywformie zystejpoleganastosowaniurówna«wa»ny hw

dowolnejbazie. W ra hunku wspóªrzdny h operujemyw konkretnejbazie. Z

tegopowodumusimystosowa¢dwaró»nesymboledlategosamegowektora

r

^:

r _xyz =

dlawektorówzlewejiprawejstronyrównania(5.12). Wtym zapisie,równanie

(5.12)przyjmuje zwart¡posta¢

r _xyz = N r ξηζ .

^(5.14)

Ma ierz kwadratowa

N

nosi nazw ma ierzy przeksztaª enia pasywnego (pa-sywnego,bowektorjesttamgdziebyª,tylkozmieniªasibaza). Nazywanajest

tak»ema ierz¡orienta jiukªadu

Oξηζ

^{. Je±liprzyjrzymysidokªadniejej}

po-sta iwrównaniu (5.12), tozauwa»ymy,»e pierwszakolumna

N

jestto wersor

ξ ˆ = ˆ e

^{wyra»ony wbazie}

(ˆ x, ˆ y, ˆ z)

^{zyli, przez analogi z (5.13),}

ˆ e _xyz

. Podob-nie jestz drug¡i trze i¡ kolumn¡, któreodpowiadaj¡ wersorom

B ˆ _xyz

i

G ˆ _xyz

. Pozwalatozapisa¢ma ierzprzeksztaª eniawposta iblokowejPrzyjmuj¡

N = 

ˆ e | B ˆ | G ˆ 

xyz .

^(5.15)

Wystar zy wi , »e wyli zymy w dowolnym ukªadzie wspóªrzdny h wektory

Lapla e'aimomentupdu(azni hwektorHamiltona),bymó poda¢wszystkie

elementy ma ierzyorienta ji

N

. Dla pewno± i wypiszmy jawnie elementy tej ma ierzy

Poniewa» wszystkie wektory tworz¡ e kolumny s¡ staªymi ru hu, to tak»e

ma ierzorienta jijeststaªairó»ni zkuj¡ (5.14)wzgldem zasuotrzymujemy

wzorydlaprzeksztaª eniawektoraprdko± i

v _xyz = N v ξηζ .

^(5.17)

Musimyjesz zezaj¡¢sitransforma j¡odwrotn¡

r _ξηζ = M r xyz ,

^(5.18)

v _ξηζ = M v xyz .

^(5.19)

Jakwiemyzalgebryliniowej,transforma jiodwrotnejdo(5.14)powinna

odpo-wiada¢ma ierzodwrotnado

N

, zyli

M = N ⁻¹

^{. Odwra aniema ierzyniejest}

w ogólno± i zabiegem bªyskawi znym, ale w tym sz zególnym wypadku daje

si przeprowadzi¢ bez trudu. Zauwa»my, »e ilo zyny skalarne dwó h ró»ny h

kolumnma ierzy

N

daj¡zero

e ˆ · B = ˆ e · G ˆ = ˆ B · G ˆ = 0,

natomiastkwadratykolumnmaj¡warto±¢1

e ˆ · e = B ˆ · B ˆ = ˆ G · G ˆ = 1,

Tozna zy,»ema ierzorienta ji

N

jestma ierz¡ortogonaln¡,awi jej odwrot-no±¢równajesttranspozy ji

Przedstawionaposta¢wektorowama ierzyorienta jijestwygodnaobli zeniowo

iuniwersalna. Jedynedwaograni zeniadlajejstosowalno± ito

e = 0

^lub

G = 0

^,

gdy»wtedyniemo»na wyzna zy¢wersorów

e ˆ

^lub

G ˆ

^.

5.3 Opis ma ierzy orienta ji przy pomo y k¡tów

Eulera

Ukªady

Oxyz

ⁱ

Oξηζ

^{maj¡ wspólny ±rodek, jednakow¡skrtno±¢, obydwa s¡}

ortogonalneiu»ywamywni hjednakowejjednostki odlegªo± i. Ozna zato, »e

przeksztaª eniedowolnegowektorazbazy

( ˆ ξ, ˆ η, ˆ ζ)

^do

(ˆ x, ˆ y, ˆ z)

^{sprowadzasido}

obrotuwokóª±rodka

O

^{. Ma ierzorienta ji}

N

jestwi ma ierz¡obrotu.

Mimo prostoty i elegan ji, wyra»enie ma ierzyobrotu przy pomo y

zada-ny hwersorówposiadatak»epewne wady. Zauwa»mynaprzykªadpewn¡

roz-rzutno±¢. Ma ierz kwadratow¡trze iegostopniaokre±la jej 9elementów. W

naszym wypadku ma ierz jest ortogonalna, wi jedn¡ kolumn (na przykªad

wersor

B

^{) mo»emy otrzyma¢ poprzez ilo zyn wektorowy} pozostaªy h dwó h, oredukujeli zbniezale»ny helementówdosze± iu. Tedwiekolumnymusz¡

by¢ ortogonalne i ka»da z ni h musi mie¢ norm (dªugo±¢) równ¡ 1, o daje

trzyzwi¡zkiwposta iilo zynówskalarny h. Jakwida¢,dookre±leniama ierzy

ortogonalnejpowinnywystar zy¢trzyelementyzdziewi iu. Zamiastzadawa¢

trzywybrane elementy ma ierzyobrotu iz ni h wyli za¢reszt, owiele lepiej

jestwyrazi¢wszystkieelementy przypomo ytrze hparametrówzwany h

k¡-tamiEulera. Dowolnyobrótmo»naprzedstawi¢jakozªo»enietrze hkolejny h

kolejny hosi. Nale»yjednakza howa¢ostro»no±¢iniemyli¢obrotuaktywnego

(obrótwektora)zobrotempasywnym(obrótukªadu wspóªrzdny h).

5.3.1 Obrót aktywny i pasywny

Obrótaktywnywokóªosiukªaduwspóªrzdny hrealizujemyprzypomo y

ma- ierzyobrotu aktywnego

gdziek¡tobrotu

ϕ

^mierzonyjestprawoskrtnie. Dokªadniejmówi¡ ,wzakresie

0 < ϕ < π

^{, ilo zynwektorowy(wektor przed obrotem)}

×

^{(wektor obró ony)}

musiby¢skierowanyzgodniezwersoremosiobrotu.Zauwa»my,»edlaka»dejz

ty hma ierzy

R ¯ _i (−ϕ) = ¯ R ^T

i (ϕ) = ¯ R ⁻¹

i (ϕ).

Przykªademobrotuaktywnegonie hbdzieru horbitalnywukªadzie

pery- entry znym. Wepo e

t p

^{wersorpoªo»enia iaªa}

ˆ r

^{skierowanyjestdo}

pery en-trum(anomaliaprawdziwawynosi

0

^{). Wepo e}

t ^′

^{jegopoªo»enie}

r ˆ ^′

^zadanejest

anomali¡prawdziw¡

f

^{imamydo zynieniazru hemjakoobrotem aktywnym}

wokóªosi

Oζ

^{. Azatem, wbazie orbitalnej}pery entry znej

ˆ r ^′

ξηζ = ¯ R ₃ (f )ˆ r _ξηζ ,

^(5.24)

gdzie

ˆ r _ξηζ = ˆ ξ _ξηζ = (1, 0, 0) ^T

^{zgodnie z przyjtym zaªo»eniem (epoka}

t p

^{). W}

porównaniuzprzeksztaª eniempasywnym(5.14),mamyobawektorypolewej

i poprawej  wyra»one tej samej bazie (dolna etykieta jest jednakowa:

ξηζ

^).

Natomiasts¡todwaró»newektory,st¡ddodanyprim. Mo»emysprawdzi¢,»e

rze zywi± ie

Obrót pasywny wektora przedstawia sie ina zej. Wybieramy jedn¡ z osi

ukªadu wspóªrzdny h (naprzykªad

Oζ

^{z wersorem}

ζ ˆ

^{i obra amyaktywnie o}

k¡t

ϕ

^{wokóªniejpozostaªedwieosie(}

Oξ

ⁱ

Oη

^zwersorami

ξ ˆ

ⁱ

η ˆ

^{). Wtensposób}

powstajenowyukªad

Oξ ^′ η ^′ ζ ^′

^{zwersoramibazowymi}

ξ ˆ ^′ _ξηζ = ¯ R ₃ (ϕ) ˆ ξ _ξηζ , η ˆ ^′ _ξηζ = ¯ R ₃ (ϕ)ˆ η _ξηζ , ζ ˆ ^′ _ξηζ = ¯ R ₃ (ϕ)ˆ ζ _ξηζ = ˆ ζ _ξηζ .

Alezpunktuwidzeniaobserwatorazwi¡zanegozukªademprimowanym,to

wer-sory

ξ, ˆ ˆ η

^{,które w ze±niej pokrywaªysi z}primowanymi,obró iªy siewstrone prze iwn¡:

takie,jakbywykonanonanimobrótok¡t

−ϕ

^{,to zna zy}

r _ξ ′ η ^′ ζ ^′ = ¯ R 3 (−ϕ)r ξηζ .

Mówimy,»ewwynikuaktywnegoobrotuukªaduok¡t

ϕ

^wektor

r

^{doznaªobrotu}

pasywnegook¡t

ϕ

^{( zyli pozornegoobrotu aktywnegook¡t}

−ϕ

^{). Przytakiej}

terminologii,wprowadzamyma ierzeobrotu pasywnego

R _i (ϕ) = ¯ R _i (−ϕ).

Obrotompasywnymwokóªosiukªaduwspóªrzdny hodpowiadaj¡podstawowe

ma ierze

gdzie

ϕ

^{jest k¡tem aktywnegoobrotu ukªadu} wspóªrzdny h, który powoduje obrótpasywnywektora. Tegowªa±nieobrotuaktywnegodoty zyreguªa

dodat-niegokierunkuzmiank¡ta

ϕ

^{wma ierza hpasywny h}

R _i (ϕ)

^.

Podobniejakdlama ierzyobrotuaktywnego,mamy

R ⁻¹

i (ϕ) = R i (−ϕ) = R ^T i (ϕ).

Wartotak»ezauwa»y¢, »e ma ierzobrotu o k¡t zerowyjest ma ierz¡

jednost-kow¡trze iegostopnia

R _i (0) = ¯ R _i (0) = I 3 ,

^(5.28)

R _i (ϕ 1 ) R i (ϕ 2 ) = R i (ϕ 1 + ϕ 2 ).

^(5.29)

Pamietajmytak»e,»eje±li

i 6= j

^,to

R _i (ϕ 1 ) R j (ϕ 2 ) 6= R ^j (ϕ 2 ) R i (ϕ 1 ).

Obydwapowy»szewzoryobowi¡zuj¡ tak»edlama ierzyobrotuaktywnego.

Podsumujmy: Mamy dwa ukªady wspóªrzdny h

Oxyz

ⁱ

Ox ^′ y ^′ z ^′

^{takie, »e}

obrót aktywny wersorów

x, ˆ ˆ y, ˆ z

^ok¡t

ϕ

przeprowadza je w wersory

x ˆ ^′ , ˆ y ^′ , ˆ z ^′

^,

obrót aktywny wersorów

x, ˆ ˆ y, ˆ z

^ok¡t

ϕ

przeprowadza je w wersory

x ˆ ^′ , ˆ y ^′ , ˆ z ^′

^,

W dokumencie Sªaw
iBeie bewai
A
i zeUA Wd
e haikiieba

.A.iewzyie« weja23.01.2013 (Stron 32-77)