Sªaw
iBeie bewai
A
i zeUA Wd
e haikiieba

.A.iewzyie« weja23.01.2013

Obserwatorium Astronomi zne UAM

Wstp do me haniki nieba

II r. Astron. (pierwszy stopie«)

wersja 23.01.2013

Zagadnienie dwó h iaª 

wiadomo± i wstpne

Me hanikaniebajest nauk¡oru hu naturalny hi sztu zny h iaª niebieski h.

Najwa»niejsz¡ z siª de yduj¡ y h o ru hu ty h iaª jest zazwy zaj siªa grawi-

ta ji. Gdyby przyj¡¢wuprosz zeniu, »e iaªaniebieskie maj¡ form punktów

materialny h i siªagrawita jijest jedyn¡ siª¡, to najprostszym nietrywialnym

zgadnieniem me haniki nieba staje si problem ru hu dwó h iaª niebieski h

zylizagadnieniedwó h iaª. Zagadnienieto,rozwi¡zaneprzezIsaa aNew-

tonawXVII wieku,stanowiklu zdome hanikinieba.

1.1 Prawo grawita ji

Za znijmyod przypomnieniaprawapowsze hnejgrawita ji:

Siªa

F 21

^{z jak¡ punkt materialny o masie}

m 2

^{przy i¡ga punkt o}

masie

m 1

^jestwprostpropor jonalnadoilo zynui hmasaodwrot- niepropor jonalnadokwadratu i hwzajemnejodlegªo± i. Jestona

skierowanawzdªu»od inkaª¡ z¡ egoobapunkty.

NaRys. 1.1wida¢,»ewektor

F 21

^{skierowanyjestodmasy}

m 1

^do

m 2

^{;informa ja}

tajest obe nawpodanymwy»ejtek± ieprawa,gdy» mówimytam nietylkoo

orienta jiod inka,le zrównie»oprzy i¡ganiu, ojednozna znieokre±lazwrot

siªy. Je±liwi wektor

r

^{mapo z¡tekwpunk ieomasie}

m 1

^{akonie wpunk ieo}

masie

m 2

^,tosiªa

F 21

^{skierowanajestzgodniez}

r

^. Najpro± iejmo»natowyrazi¢

korzystaj¡ zwersorów. Przypomnijmy,»eka»dywektor

A

przedstawi¢mo»na jakoilo zynjegodªugo± i

A = ||A||

^iwersora

A b

^ojednostkowejdªugo± i,który zawierajedynie informa jokierunku wektora

A = A b A.

^(1.1)

Wtakimrazie,dlawersorówsiªy

F 21

^{iodlegªo± iwzgldnej}

r

^mamy

F b 21 = br.

^(1.2)

r

r r

dowolny uk³ad inercjalny F

F

m

m

21

12 2

2

1 1

Rysunek1.1: Dwapunktymaterialneisiªyi hwzajemnegoprzy i¡gania.

Pozostajeju»tylkokwestiastaªejpropor jonalno± idlazale»no± isiªyod

m 1 m 2

r ²

^.

Przyjmijmy,»estaªatajestrówna

k ²

^{imo»emyprzej±¢odposta isªownejprawa}

grawita jidoposta iwzoru

F 21 = k ² m 1 m 2

r ² br.

^(1.3)

U»y iestaªej

k ²

^{niepozostawia»adnej}w¡tpliwo± i odo jejznaku(je±li

k

^jest

dowoln¡li zb¡rze zywist¡,to

k ² > 0

^{)iwzór(1.3)musi opisywa¢prawoprzy-}

i¡ganiaanieodpy hania.

Fakt, »eprzy i¡ganiejestwzajemnei »erównie»masa

m 1

przy i¡ganajest przez

m 2

^{skierowan¡prze iwniesiª¡}

F 12

F 12 = − F ²¹ = −k ² m 1 m 2

r ² br,

^(1.4)

ho¢jestrówniewa»nyjak(1.3),niew hodzibezpo±redniowskªadprawagra-

wita ji,le zjestprost¡konsekwen j¡III zasadydynamikiNewtona.

1.2 Staªa Gaussa

Po±wi¢my nie o wi ej uwagi staªej

k

^{, która pojawiªa si wpoprzednim roz-}

dziale. Nosi ona nazw staªej Gaussa i u»ywamy jej w astronomii zamiast

znanejzkursuzykistaªej grawita ji

G

^{. Takwi ,je±li w}jednostka h SI

G = (6.67428 ± 0.00067) × 10 ⁻¹¹ m ³ kg ⁻¹ s ⁻² ,

^(1.5)

k = √

G = (8.16922 ± 0.00041) × 10 ⁻⁶ m ^{3 2} kg ^{− 1 2} s ⁻¹ .

^(1.6)

Podanawy»ejwarto±¢

k

^{wynikazprostego}przeli zeniarekomendowanejo jal- nieprzezMidzynarodow¡UniAstronomi zn¡(IAU)warto± istaªej

G

^{. Ale}

paradoksalnieniejesttowarto±¢

k

rekomendowanaprzezIAU.UniaAstrono- mi znaprzyjªa,»ewarto±¢staªejGaussawyra»onawdoba hd,masa hsªo« a

M _⊙

ⁱjednostka hastronomi zny hAUwynosi

k = 0.01720209895 AU ^{3 2} M ⁻ _⊙ ^{1 2} d ⁻¹ .

^(1.7)

Jest to warto±¢,która nie ulegnie zmianie w wyniku dalszy h obserwa ji, po-

niewa» (1.7) przyjto jakotzw. staª¡deniuj¡ ¡. W odró»nieniu od warto± i

(1.6),któraposiadajedynie4miejs azna z¡ edokªadne,staªaGaussa(1.7)po-

siadanietylko10,alewzasadzieniesko« zeniewielemiejs zna z¡ y h. Wolno

namdopisa¢dowoln¡ilo±¢zerpoprawejstronie,gdy»jakostaªadeniuj¡ anie

posiadaonaniepewno± ipomiarowej.

Niepewno± ipomiaroweukrytes¡wzastosowany hjednostka h. Oiledoba,

trady yjniezwana±redni¡dob¡sªone zn¡,przeli zanajestnasekundywsposób

± isªy

1 d = 86400 s,

^(1.8)

o tyle pozostaªe jednostki znane s¡ z ograni zon¡ dokªadno± i¡. Co gorsza,

i h warto± i mog¡ zale»e¢ od rodzaju skali zasu, zyli od deni ji sekundy

(dalej podamy warto± i spójne z sekund¡ TDB). Jednostka astronomi zna 

pogl¡dowo,a zniedoko« a± i±le,zwana±redni¡odlegªo± i¡ZiemiodSªo« a

jestprzytymwyzna zonaowiele lepiejni»masaSªo« a,mamybowiem

1 AU = 1.49597870700 × 10 ¹¹

± 3 m,

^(1.9)

zjedenastomapewnymi miejs amizna z¡ ymi,aleju»

1 M _⊙ = (1.9884 ± 0.0002) × 10 ³⁰ kg,

^(1.10)

z zterema zaledwie miejs ami zna z¡ ymi. Przyszªe dokªadniejsze wyzna ze-

niamasySªo« a bd¡ wpªywa¢na deni j jednostki astronomi znejtak, aby

utrzyma¢podan¡wrównaniu(1.7)warto± staªejGaussa.

1.3 Równania ru hu zagadnienia dwó h iaª

Gdy ju» wiemy, jak wygl¡daj¡ dziaªaj¡ e w zagadnienu dwó h iaª siªy, mo-

»emysign¡¢dopierwszy hdwó h zasaddynamikiNewtona,abysformuªowa¢

równaniaru hu obumas. Zasada pierwszapostuluje istnienie ukªaduiner jal-

nego w którym opisywa¢ bdziemy zmiany poªo»e«

r 1

ⁱ

r 2

^bez konie zno± i wprowadzaniasiªpozorny h. Drugazasadadynamikiwi¡»eprzyspieszenia

¨

r i = d ² r i

dt ² , i = 1, 2,

^(1.11)

¨

r 1 = F 21

m 1

= k ² m 2

r ³ r,

¨

r 2 = F 12

m 2 = − k ² m 1

r ³ r,

^(1.12)

gdzie

r = r 2 − r ¹ , r = ||r|| = √ r · r.

Równania(1.12)stanowi¡ukªadsze± iurówna«ró»ni zkowy h(ka»dywektor

r i

posiada trzywspóªrzdne)zktóry h ka»de zawiera drug¡po hodn¡wzgldem

zasu

t

^jakozmiennejniezale»nej. Jest towi ukªaddwunastegorzdu.

Czasami wygodniej jest u»ywa¢ ukªadu równa« ró»ni zkowy h sprowadzo-

negodo posta i12 równa«, zktóry h ka»de zawieratylkopierwsz¡ po hodn¡

wzgldem zasu. Przeksztaª enietakiejestelementarneiwymagawprowadzenia

dodatkowy hzmienny h

v i = ˙r i = dr i

dt , i = 1, 2.

^(1.13)

Zzy znegopunktuwidzeniatedodatkowezmiennetoni innegojakprdko± i

obumas. Mo»emywi wmiejs e(1.12)wprowadzi¢ukªad

˙r 1 = v 1 ,

˙r 2 = v 2 ,

^(1.14)

˙v 1 = k ² m 2

r ³ r,

˙v 2 = − k ² m 1

r ³ r,

któryrównie»jestukªademdwunastegorzdu,gy»zawieradwana± ierówna«z

pierwszymipo hodnymi.

Je±liznamypoªo»eniaiprdko± iobu iaªwpewnymmomen ie zasu(epo e)

t 0

^{, zwane warunkami} po z¡tkowymi, i h emyznale¹¢poªo»enia i prdko-

± i w dowolnym momen ie zasu

t

^{, to problem taki nazywamy} zagadnieniem Cau hy'egolub zagadnieniem po z¡tkowym. Czasami zamiast warunków po-

z¡tkowy hzadajesiwarto± ipoªo»e«wdwó hró»ny hepoka h zyliwarunki

brzegowe. Prowadzito dotzw. zagadnieniabrzegowego,któreodgrywaistotn¡

rolwpro esiewyzna zaniaorbitzobserwa ji.Wdalszej z± iwykªaduzajmo-

wa¢sibdziemyjedyniezagadnieniemCau hy'egozwarunkamipo z¡tkowymi

wposta i

r 1 (t 0 ) = r 1,0 , r 2 (t 0 ) = r 2,0 , v 1 (t 0 ) = v 1,0 , v 2 (t 0 ) = v 2,0 .

^(1.15)

Co mo»emypowiedzie¢orównania h(1.12)lub(1.14), zanimza zniemyje

rozwi¡zywa¢ ? Po pierwsze, s¡ to równania autonomi zne, to zna zy, »e nie

pojawiasiwni hjawnazale»no±¢od zasu. Prawestronyrówna«zale»¡tylko

odstaªy h parametrów

k

^,

m 1

ⁱ

m 2

^{, orazod zmienny h zale»ny h:}

r 1

ⁱ

r 2

^(za

po±redni twem

r

^{)w równania h (1.12)oraz dodatkowo}

v 1

ⁱ

v 2

^{wrównania h}

(1.14). S¡ to tak»e ukªady równa« nieliniowy h, a to ozna za, »e nie mo»na

zastosowa¢doni hbezpo±rednioprosty hszablonówrozwi¡zaniaznany hzele-

mentarnejteoriirówna«ró»ni zkowy h.

1.4 Dodatek: prdko±¢ radialna i transwersalna

Przypomnijmy kilkawa»ny h wzorówzwi¡zany h z rozkªademprdko± i

v

^na

skªadow¡radialn¡

v r

ⁱtranswersaln¡(poprze zn¡)

v t

v = v r + v t .

Skªadowaradialnapowstajeprzez rzutwektora prdko± ina kierunekpro-

mieniawodz¡ ego, zyli

v r = (v · ˆ r) ˆ r.

Opisujeonazmianydªugo± iwektorapoªo»enia

r

^,awi

v r = v · ˆ r = ˙r.

Skªadowatranswersalna le»y wpªasz zy¹nie wyzna zonejprzez

r

ⁱ

v

^ijest

prostopadªadowektorapoªo»enia. Wersortranswersalny

ˆ t

^speªniawi

ˆ t · r = ˆ t · (r × v) = 0.

Skoro prdko±¢ radialna opisywaªa zmiany dªugo± i wektora poªo»enia

r

^{, to}

prdko±¢ transwersalna opisuje zmiany kierunku tego wektora, zyli zmiany

wersora

r ˆ

^. Wprowadzaj¡ k¡t pozy yjny

ϑ

^{mierzony od dowolnie wybranego}

kierunkunapªasz zy¹niezwieraj¡ ej

r

ⁱ

v

^dowektora

r

^,mo»emystwierdzi¢,»e zgodniezwzoramiopisuj¡ ymiru hpookrgu(wyklu zamyzmianydªugo± i

r

jakoopisaneprdko± i¡radialn¡!) za hodzi

v t = r ˙ ϑ

^{. Mamyzatem}

v = v r + v t = ˙r ˆ r + r ˙ ϑ ˆ t.

^(1.16)

Zrównania(1.16) wynikabardzowa»nawªasno±¢

r · v = r ˙r.

^(1.17)

Dowódtejwªasno± ijestelementarny:

r · v = r · (v ^r + v t ) = r · v ^r + r · v ^t .

Aponiewa»

r · v ^t = 0

^{,gdy»tedwawektorys¡} prostopadªe,to

r · v = r · v ^r = ˙rr · ˆ r = ˙r r.

Je±liza± hodzioilo zynwektorowy,to

r × v = r ² ϑ(ˆ ˙ r × ˆ t).

^(1.18)

Dowódjestrównieprosty. Tymrazem

r × v ^r = 0

^,azatem

r × v = r × (v ^r + v t ) = r × v ^t = rv t (ˆ r × ˆ t).

Caªki bary entrum i reduk ja

do zagadnienia wzgldnego

2.1 Caªki pierwsze równa« ru hu

Jednymzesposobówrozwi¡zywaniaukªadówrówna«ró»ni zkowy hjestposzu-

kiwaniei h aªekpierwszy h. Zaªó»my,»emamy ukªadrówna«ró»ni zkowy h

zwy zajny hrzdu

N

^{wposta i}

˙y = f (y, t),

^(2.1)

gdzie

y , f ∈ R ^N

^{. Zaªó»mydalej, »e}

y = y ^∗ (t)

^jestrozwi¡zaniem ukªadu(2.1).

Caªk¡ pierwsz¡ukªadu(2.1)nazywamyka»d¡funk j

K(y, t)

^{,zadan¡równa-}

niem

K(y, t) = C,

którajest staªa, gdyw miejs e

y

^{podstawimydowolne}rozwi¡zanie

y ^∗ (t)

^tego

ukªadu i która zale»y tylko od jednej staªej dowolnej

C

^{. Staªa dowolna}

C

zale»yod warunkówpo z¡tkowy h

y ₀

^{. Wme hani e,gdy(2.1)s¡równaniami}

ru hu, i h aªk pierwsz¡ nazywamy zasem aªk¡ ru hu a staª¡

C

^{ staª¡}

ru hu.

Wbrew pozorom, nie musimy zna¢ rozwi¡za«

y ^∗ (t)

^{aby zbada¢, zy jaka±}

funk jajest aªk¡ru hu zynie. Warunek

K(y, t) =

^{onst, zyli}

K = 0 ˙

^,spraw-

dzamykorzystaj¡ zwzorunapo hodn¡funk jizªo»onej

dK(y, t) dt = ∂K

∂t + X N j=1

∂K

∂y j

dy j

dt = ∂K

∂t + X N j=1

∂K

∂y j

f j .

^(2.2)

Skorzystali±myprzytymzposta irówna«ru hu(2.1)zastpuj¡

˙y i

^przez

f i

^.

Je±lipojawisi

M

^{aªekru hu}

K 1

^,

K 2 , . . . , K M

^{,to zasemmo»najepotrak-}

towa¢ jakoelementywektora

K ∈ R ^M

^{. Wektorowa aªkaru hu}

K(y, t) = C

^,

zwi¡zanazwektoremstaªy hru hu

C ∈ R ^M

^{,musispeªnia¢warunki}

∂K

∂t + J f = 0,

^(2.3)

gdzie

J

ozna zama ierzpo hodny h z¡stkowy h(ma ierzJa obiego)

J =

 ∂K i

∂y j



=



 

∂K 1

∂y 1 · · · ^∂K _{∂y N} ¹

.

.

. .

.

. .

.

.

∂K _M

∂y 1 · · · ^∂K _{∂y N} ^M



  .

^(2.4)

Znajomo±¢ aªekru hujestbardzowa»na,poniewa»ka»danowainiezale»na

od pozostaªy h aªka ru hu pozwala obni»y¢ rz¡d ukªadu o 1. A poniewa»

ka»depojedyn zerównanieró»ni zkowepierwszegorzdupotramyrozwi¡za¢,

toznalezienie

N − 1

niezale»ny hodsiebie aªekpierwszy hjestrównozna zne zrozwi¡zaniemukªadurówna«(2.1).

2.2 Caªki bary entrum

Dwiegªównemetodyposzukiwania aªekru hu,to:

a) postulowanie(zgadywanie) posta i aªki

K(y, t) = C

^{i u»y ie warunku}

(2.2)doweryka ji,

b) doprowadzenierówna«ru hudojawnejposta i

K(y, t) = 0 ˙

^.

Za znijmyodsposobudrugiegoirozpatrzmyrównaniaru huzagadnieniadwó h

iaª(1.12)pomno»onestronamiprzezodpowiedniemasy

m 1 ¨ r 1 = F 21 = k ² m 1 m 2

r ³ r, m 2 ¨ r 2 = F 12 = − k ² m 1 m 2

r ³ r.

^(2.5)

Je±lidodamyjestronami,tootrzymamy

m 1 ¨ r 1 + m 2 ¨ r 2 = 0.

^(2.6)

Ten zwi¡zek,bd¡ y o zywist¡ konsekwen j¡III zasadydynamiki, zawierapo

lewejstroniepo hodn¡zupeªn¡wzgldem zasu,gdy»

¨ r i = dv i

dt , i = 1, 2,

zyli

d

dt [m 1 v 1 + m 2 v 2 ] = 0.

^(2.7)

Wyra»eniewnawiasiekwadratowymjestwi staªe: prdko± iobumaswzagad-

nienupodlegaj¡ i¡gªymzmianom,alei hkombina jaliniowazmasami

m 1

ⁱ

m 2

maniezmienn¡warto±¢,któraozna zymy

A ∈ R ³

^{. Toozna za, »e}znale¹li±my wektorow¡ aªkru hu

m 1 v 1 + m 2 v 2 = A.

^(2.8)

Zauwa»my,»e wjzykuzy znym mo»emywyrazi¢(2.8)nastpuj¡ o:

aªkowity pd w zagadnieniudwó h iaª jeststaªy.

Jesttowªasno±¢wszystki hukªadów,gdziemamydo zynienia tylkozoddzia-

ªywaniamiwzajemnymi wukªadzieiner jalnym.

Równanie(2.8)pozwalanamwykona¢jesz zejedenkrok. Zauwa»my,»e

v i = dr i

dt , i = 1, 2,

awi lewastrona(2.8)jestnadalpo hodn¡zupeªn¡wzgldem zasu

d

dt [m 1 r 1 + m 2 r 2 ] = A.

^(2.9)

Coprawda,poprawejstronieniemamyzera,ale prze ie»

A = d(A t) dt ,

wi mo»emyzapisa¢(2.9)jako

d

dt [m 1 r 1 + m 2 r 2 − A t] = 0.

^(2.10)

Awi znówmamystyua j,wktórejwyra»eniewnawiasiekwadratowymjest

staªe: znale¹li±mykolejn¡wektorow¡ aªkru hu

m 1 r 1 + m 2 r 2 − A t = B,

^(2.11)

znowymwektoremstaªy hru hu

B ∈ R ³

^.

Caªki ru hu (2.8) i (2.11) nosz¡ nazw aªek bary entrum zyli aªek

±rodkamasy. Nazwata stajesijasna, gdyprzyst¡pimydozy znejinterpre-

ta jity h równa«. Przypomnijmydeni j ±rodkamasy(bary entrum)dwó h

punktówmaterialny h;jestto punktbd¡ yko« emgeometry znegowektora

R = m 1 r 1 + m 2 r 2

m 1 + m 2

.

^(2.12)

Wprzyjtym przeznasukªadziewspóªrzdny hpunkttenmaprdko±¢

R ˙ = m 1 ˙r 1 + m 2 ˙r 2

m 1 + m 2

.

^(2.13)

A zatem pierwsze dwa wyrazy lewej strony równo± i (2.11) to ni innego jak

(m 1 + m 2 )R

^{, a}

m 1 v 1 + m 2 v 2

^{w równaniu (2.8) to ilo zyn sumy mas przez}

prdko±¢ bary entrum

R ˙

^{. Mo»emy wi przepisa¢ aªki} bary entrum (2.8) i (2.11)wrównowa»nejposta i

R = (A t + B)/(m 1 + m 2 ),

R ˙ = A/(m 1 + m 2 ).

^(2.14)

Prowadzitodonastpuj¡ egowa»negotwierdzenia

‘rodekmasydwó h iaªwdowolnymukªadzieiner jalnym

porusza siru hem jednostajnym prostoliniowym.

Istotn¡konsekwen j¡tegotwierdzeniajestwniosek,»e

je±li±rodek ukªadu odniesienia umie± imywbary entrum

dwó h iaªaosieza howywa¢bd¡staª¡orienta jwprze-

strzeni, to taki ukªad, zwany ukªadem bary entry znym,

bdzie ukªadem iner jalnym.

Caªki bary entrum uwalniaj¡ nas od operowania tajemni zym dowolnym

ukªademiner jalnym. Dzikinimwiemy,gdziejedenztaki hukªadówmaswój

±rodek. Wukªadziebary entry znym

R = ˙ R = 0

^{,ato ozna za}

A = B = 0

^{i z}

aªek(2.8,2.11)dowiadujemysi,»ewukªadziebary entry znym

m 1 r 1 + m 2 r 2 = 0 ,

m 1 v 1 + m 2 v 2 = 0 .

^(2.15)

Ru hjednego iaªawzgldembary entrumbdziewi wiern¡kopi¡ru hudru-

giego iaªa, przeskalowan¡ o zynnik równy stosunkowi mas. Dysponujemy

w tym momen ie podpowiedzi¡, »e obni»enie rzdu zagadnieniadwó h iaª z

12 do 6, mo»liwedziki wykorzystaniusze± iu aªekbary entrum, pozwala w

isto ie rozpatrywa¢ru hjednego iaªawzgldem bary entrum,albote» ru h

wzgldny jednego iaªa odniesionydo drugiego. Todrugie podej± ie jest bar-

dziejatrak yjne,gdy» prawestronyrówna«(1.12) lub(1.14)zawieraj¡wprost

wzgldnepoªo»enie

r

^.

2.3 Wzgldne zagadnienie dwó h iaª

Dziki aªkombary entrummo»emysobiepozwoli¢ na hwilowepomini iein-

forma ji opoªo»eniujednego z iaª bez obawy utraty tej informa ji. Wró¢my

wi dorówna«(1.12)

¨

r 1 = k ² m 2

r ³ r,

¨

r 2 = −k ² m 1

r ³ r.

Mo»emyjeodj¡¢stronamiotrzymuj¡

¨

r 2 − ¨r ¹ = −k ² m 1 + m 2

r ³ r.

Azgodniezdeni j¡

¨ r = ¨ r 2 − ¨r ¹

^,otrzymujemyrównaniaru huwzgldnego

¨ r = − µ

r ³ r,

^(2.16)

gdzie

µ = k ² (m 1 + m 2 ),

^(2.17)

nazywamyparametremgrawita yjnym.

O zywi± ie i tutaj mo»emyzastosowa¢ alternatywn¡posta¢ ukªadu (2.16),

wprowadzaj¡ wektorprdko± i

v = ˙r

ⁱprze hodz¡ doukªadu

˙r = v,

˙v = − µ

r ³ r,

^(2.18)

zawieraj¡ ego6równa«pierwszegorzdu.

Równania (2.16) lub (2.18) tworz¡ ukªad szóstego rzdu i opisuj¡ ru hu

iaªa o masie

m 2

^{w ukªadzie} wspóªrzdny h zwi¡zanym z mas¡

m 1

^{. Wbrew}

nazwiejestto wi zagadnieniejednego iaªawzadanympolusiª. Nale»ypod-

kre±li¢,»e ukªad wspóªrzdny ho ±rodku w

m 1

^{nie jestukªadem} iner jalnym;

masa

m 1

^{nieporuszasiprze ie»wzgldem}bary entrumru hemjednostajnym prostoliniowym. Mimo to, posta¢ równa« ru hu wygl¡da bardzo podobnie do

(1.12). Prawastronarówna«(2.16)zawierasumprzyspieszeniagrawita yjnego

(−k ² m 1 r ⁻³ r)

^oraz przyspieszenia pozornego wywoªanego nieiner jalno± i¡

ukªadu odniesienia

(−¨r ¹ )

^{, którema niemal identy zn¡posta¢}

(−k ² m 2 r ⁻³ r)

^.

W efek ie,zagadnienie wzgldnemo»na potraktowa¢ tak, jakbyru hodbywaª

siwukªadzieiner jalnymalezezmodykowanymprawemgrawita ji(siªapro-

por jonalnadoilo zynu

(m 1 + m 2 ) m 2

^zamiastdo

m 1 m 2

^).

Caªki ru hu zagadnienia

wzgldnego

Abywpeªnirozwi¡za¢wzgldnezagadnieniedwó h iaªmusimyznale¹¢5nie-

zale»ny h aªekpierwszy h.

3.1 Caªka siªy »ywej (energii)

Je±lipunktmaterialnyporuszasiwpolusiª,któreniezale»¡jawnieod zasuani

odprdko± i, to aªkowitaenergia(kinety zna ipoten jalna)tegopunktujest

staªa. Energia aªkowitajestsum¡energiipoten jalnejikinety znej. Poniewa»

energiakinety znajestpropor jonalnado

v ² = v · v

^,za±

d(v · v)

dt = ˙v · v + v · ˙v = 2 ˙v · v,

tospróbujmyposzuka¢nowej aªkiru hubior¡ drugiezrówna«(2.18)imno»¡

obiestronyskalarnieprzez

v

^{,gdy»wtedy polewejstronierównania}

˙v · v = − µ

r ³ r · v,

^(3.1)

mamyju» wyrazbd¡ ypo hodn¡zupeªn¡znanejfunk ji

1

2 v ²

^{. Skoroopera j¡}

odwrotn¡doró»ni zkowaniajest aªkowanie,tomo»emyprzepisa¢(3.1)jakow

posta i

d dt

 v ² 2 +

Z µ

r ³ r · v dt



= 0.

Pozostajetylkopytanie, zypotramyobli zy¢ aªknieozna zon¡wystepuj¡ ¡

wtymwzorze.

Dzikipodstawowejwªasno± i

r · ˙r = r ˙r

^{,znanejzrównania(1.17),mo»emy}

wykona¢nastpuj¡ e aªkowanie

Z µ

r ³ r · v dt = µ Z r ˙r

r ³ dt = µ Z 1

r ² dr dt dt = µ

Z 1

r ² dr = − µ

r .

Itakdoszli±mydo

d dt

 v ² 2 − µ

r



= 0,

wi wyra»eniew nawiasie kwadratowym jest aªk¡ru hu. Ozna zaj¡ odpo-

wiedni¡staª¡ru huprzez

h

^,mamy

1 2 v ² − µ

r = h.

^(3.2)

Wzór (3.2) nazywamy aªk¡ siªy »ywej (ªa . vis viva), o jest nie o ar ha-

i znym (trzywiekitrady ji)ale niepozbawionym swoistegouroku synonimem

aªki energii. Staª¡ dowoln¡

h

^nazywamyodpowiedniostaª¡ siªy »ywej lub staª¡energii.

3.2 Caªki pól

3.2.1 Wektorowe aªki pól (momentu pdu)

Siªa dziaªaj¡ a we wzgldnym zagadnieniu dwó h iaª ma harakterradialny,

gdy»jestskierowanazawszedo±rodkaukªaduwspóªrzdny h. Jakwiemy,ka»da

siªaradialna

F

^{mazerowymoment}

r × F

^{, awi nie mo»e zmieni¢momentu}

pdu

r ×m ² v

^{. Toozna za,»ewnaszym}zagadnieniupowinnaistnie¢wektorowa aªkamomentupdu

G = r × v = const,

^(3.3)

zwanatak»etrady yjnie aªk¡lubpoprawniej aªkamipól. Staªe póltworz¡

wektor

G ∈ R ³

^{,któregodªugo±¢i kieruneks¡ staªe.}

Jak zwerykowa¢ aªki pól (3.3) ? Najpro± iej jestz ró»ni zkowa¢ilo zyn

wektorowywzgldem zasu:

G ˙ = d

dt (r × v) = ˙r × v + r × ˙v.

Sigaj¡ dorówna«ru hu(2.18)otrzymamy

G ˙ = v × v + r × 

− µ r ³ r 

.

Poniewa»dladowolnegowektora

y × y = 0

^{,wi istotnie}

G ˙ = 0

^.

Zwektorowy h aªekpólwypªywabardzowa»nywniosek:

Orbita masy

m 2

^{wzgldem masy}

m 1

^{jest krzyw¡ pªask¡}

gdy

G 6= 0

^{lub le»y naprostej gdy}

G = 0

^.

Uzasadnieniejest o zywiste,gdy» je±li wektorypoªo»enia i prdko± ideniuj¡

pewn¡ pªasz zyzn w momen ie zasu

t 0

^{, awektor momentu pdu}

G

^{jest do}

tejpªasz zyzny prostopadªy, to wobe staªo± ikierunku

G

pªasz zyzna wktó- rej le»¡

r

ⁱ

v

^{w dowolnym momen ie zasu musi mie¢ tak¡sam¡ orienta jw}

przestrzeni. Zewzgldunadeni j

r

^(od

m 1

^do

m 2

^{)obiemasymusz¡nale»e¢}

dotejpªasz zyzny. Zerowymomentpdu pojawia si,gdy

r k v

(wyklu zamy zarówno

r = 0

^{jak i}

v = 0

^{) i wtedy obie masy musz¡ aªy zas pozostawa¢}

naprostej. W takimprzypadkumówimyoorbita hzdegenerowany h. Za-

uwa»my,»etylkonaorbi ieprostoliniowejmo»liwajestkolizja

r = 0

^itylkona

orbi ieprostoliniowejmo»liwajestsytua ja,gdywpewnymmomen ie

v = 0

^w

sko« zonejodlegªo± imidzy iaªami

r

^.

3.2.2 Caªka pól w posta i skalarnej i II prawo Keplera

Poka»emyteraz,»ebezpo±redni¡konsekwen j¡istnienia aªekpóljestIIprawo

Keplera.

Skalarna aªka pól

Zastosujmy wªasno±¢ (1.18) do wzgldnego zagadnienia dwó h iaª. Moment

pdu (najednostkmasy)zdeniowali±myjako

G = r × v

^{. Wtakimrazie}

G = r ² ϑ(ˆ ˙ r × t), ˆ

aponiewa»

G = G ˆ G

^{,przy zym}

G ˆ = ˆ r × ˆ t,

todªugo±¢wektoramomentupdujestpowi¡zanaz hwilow¡prdko± i¡k¡tow¡

iaªanaorbi iewzorem

G = r ² ϑ, ˙

zyli

ϑ = ˙ G

r ² .

^(3.4)

Jakdot¡d,obawzorymaj¡ harakterogólnyiobowi¡zuj¡tak»edlazmiennego

momentupdu. Je±lijednak wprowadzimydoni h wynikaj¡ a zwektorowy h

aªekpólinforma j, »w

G = const

^{, otrzymamywzórzwany skalarn¡ posta i¡}

aªki pól lub krótko aªk¡ pól (li zba pojedyn za w odró»nieniu od li zby

mnogiej aªkipól wprzypadkuwektorowym)

G = r ² ϑ = const, ˙

^(3.5)

Jesz zeinnyzapis aªki pólto

G = r v t =

^onst

,

^(3.6)

awi :

ilo zynodlegªo± iiprdko± itranswersalnejjestwzagadnieniuwzgld-

nymdwó h iaª staªy,

Wyka»emyteraz,»eskalarna aªkapóljestwisto ieto»samazdrugimprawem

Keplera.

Dladowolny hdwó h wektorów

a

ⁱ

b

^{owspólnympo z¡tkupole trójk¡tawy-}

zna zonegoprzezniewynosi

S = 1

2 ||a × b||.

^(3.7)

Zewzgldunau»y iedªugo± iwektora

a × b

^{,wzór(3.7)pozostajewa»nytak»e}

przyzamianie

a

^{naprze iwnieskierowanywektor}

−a

^{awi iwtedy,gdykonie}

jednegowektora jestpo z¡tkiemdrugiego.

Rozpatrzmy terazru h w zagadnienuwzgldnym dwó h iaª. Po z¡tkowy

wektropoªo»enia badanego iaªa

r

^{ulegapod zasru huzmianieipo zasie}

∆t

prze hodziw

r + ∆r

^{. Trójk¡twyzna zonyprzezwektory}

r

ⁱ

∆r

^mapole

∆S = 1

2 ||r × ∆r||.

Podzielmyobiestronyprzez przyrost zasuaotrzymamy

∆S

∆t = 1 2        r ×

∆r

∆t         .

Wgrani y

∆t → 0

prze hodzimyodilorazówró»ni dopo hodny h

∆ lim t→0

∆S

∆t = dS dt = ˙ S,

oraz

∆ lim t→0

∆r

∆t = dr

dt = ˙r = v.

Azatemdla hwilowejprdko± ipolowej

S ˙

^{zylipo hodnejpola}zakre±lanego przezwektor

r

^{wru hupoorbi iemamy}

S = ˙ ||r × v||

2 .

Przywoªuj¡ aªkipól(3.3)widzimy,»e

S = ˙ G

2 = const,

^(3.8)

zyli

wzagadnieniuwzgldnymdwó h iaªprdko±¢polowajest

staªa,

o stanowi tre±¢ II prawa Keplera. Zauwa»my jednak, »e II prawo Keplera

doty zy nie tylko zagadnienia dwó h iaª. Ka»de zagadnienie ru hu punktu

materialnegowpoludowolnejsiªyradialnejbdzie e howaªstaªymomentpdu

awi wka»dymtakimzagadnieniuobowi¡zujeII prawoKeplera.

Do II prawa Keplera mo»na tak»e doj±¢ wy hodz¡ od innitezymalnego

pola ograni zonego wy inkiem krzywej

r(ϑ)

^{, zyli}

dS = ¹ ₂ r ² dϑ

^{, a nastpnie}

korzystaj¡ zeskalarnej aªkipól(3.4).

3.3.1 Wyprowadzenie

Znamy ju» ztery aªki ru hu zagadnieniawzgldnego. Pozostaªanam jedna,

aby rozwi¡za¢w peªni to zagadnienie. Dot¡d korzystali±my z ogólny h wªa-

sno± i, które byªy typowe dla szerszej klasy ukªadów: brak jawnej zale»no± i

siªod zasu daª nam aªk energii (siªy»ywej), asymetria radialna ozna zaªa

staªymomentpdu. Sz ±liwiejednakokazaªosi,»ewzagadnieniudwó h iaª

pojawia sidodatkowa,spe y znadlategoproblemu aªkaru hu.

Odgadni ieposta inowej aªkiru huniejestproste. Klu zemdojejznale-

zieniajestpomno»eniedrugiegozrówna«(2.18)wektorowoprzezmomentpdu

G

G × ˙v = − µ

r ³ G × r.

^(3.9)

Poniewa» wektor

G

^{jest staªy, to lew¡ stron} rozpoznajemy bez trudu jako po hodn¡z

G × v

^{. Mo»emywi zapisa¢(3.9)jako}

d dt



G × v + µ

Z G × r r ³ dt



= 0.

^(3.10)

Nie wygl¡da to zbyt za h aj¡ o, ale wypiszmy jawnie deni j

G = r × v

ⁱ

skorzystajmyzto»samo± iwektorowejLapla e'a

(a × b) × c = (a · c) b − (b · c) a,

^(3.11)

przyjmuj¡

a = c = r

^,

b = v

^{. Zauwa»ymywtedy,»e}

G × r = (r × v) × r = r ² v − r ˙r r,

gdzieskorzystali±myzto»samo± i(1.17). Takwi aªkawrównaniu(3.10)ma

posta¢

Z G × r r ³ dt =

Z  1 r



˙rdt + Z 

− 1 r ² ˙r



r dt.

^(3.12)

W równaniu (3.12) rozpoznajemy harakterysty zn¡ posta¢ przywodz¡ ¡ na

my±l aªkowanieprzez z± i:

d(F G)

dt = ˙ F G + F ˙ G ⇒ Z

F ˙ Gdt +

Z F Gdt = F G, ˙

gdzie

F = 1/r

^{, a}

G = r

^{. Azatem}

Z G × r

r ³ dt =

 1 r



r.

^(3.13)

Podstawiaj¡ (3.13)do(3.10)otrzymujemy

d dt

h

G × v + µ r r i

= 0,

l¡ stronamiprzezstaªyparametr

(−µ)

^{, do hodzimydorównania}

v × G

µ − r

r = e,

^(3.14)

deniuj¡ ego aªki Lapla e'a. Wektor staªy h ru hu

e ∈ R ³

^{zwany jest od-}

powiedniowektorem Lapla e'alub wektorem mimo±rodu. W zy e, gdzie

aªkiLapla e'aodkrywanebyªyniezale»niekilkarazy, aªkitenosz¡nazw aªek

Rungego-Lenza,Lenza,lubLapla e'a-Rungego-Lenza.Czasamite»odró»niasi

wektormimo±rodu

e

^{od wektoraLapla e'a}

L = µe

^.

Poszukiwali±my jednej aªki ru hu, a otrzymali±my a» trzy. Ukªad rów-

na« szóstegorzdumo»e mie¢ o najwy»ej 6 niezale»ny h aªek pierwszy h, z

zegojednamusizawiera¢staª¡dowoln¡addytywn¡do zasu. ›adnazsiedmiu

znaleziony h przeznas aªekru hu wzgldnegozagadnieniadwó h iaªnie za-

wiera zasuwsposóbjawny,wi tylkopi¢zni hmo»eby¢niezale»ny h. Aby

wszystkosizgadzaªo,pownni±myterazznale¹¢dwazwi¡zkimidzysiedmioma

aªkamiru hu, o zredukujeli zbniezale»ny h aªekdopi iu.

3.3.2 Zwi¡zki aªek Lapla e'a z pozostaªymi aªkami ru-

hu

Ka»daz aªek ru hu wi¡zaªa si z jedn¡ staª¡ ru hu. Ka»dy zwi¡zek midzy

aªkamiru humusi by¢zarazem zwi¡zkiemmidzystaªymiru hu ivi eversa.

Poszukajmywi dwó hzwi¡zkówmidzy wektoremmimo±rodu

e

^awektorem

momentupdu

G

^{istaª¡siªy»ywej}

h

^.

Pierwszy taki zwi¡zekjest poniek¡do zywisty. Wektor

e

^{jestsum¡ dwó h}

wektorów

r ˆ

ⁱ

µ ⁻¹ (G × v)

^{,zktóry hka»dyle»yw}pªasz zy¹nieorbity. Azatem wektormimo±rodumusitak»ele»e¢wpªasz zy¹nieorbity,wi jestprostopadªy

do

G

^{. Wtejsytua ji}

G · e = 0,

^(3.15)

jestpierwszymzwi¡zkiemmidzystaªymiru hu.

Abyznale¹¢drugizwi¡zeksprawd¹my,jakwygl¡dadªugo±¢wektora

e

^{. Pod-}

nosz¡ do kwadratu ( zyli wykonuj¡ ilo zyn skalarny wektora przez samego

siebie)obiestrony aªejLapla e'a(3.14) dostajemy

e ² =

 v × G µ − r

r



·

 v × G µ − r

r



=

= (v × G) · (v × G)

µ ² − 2 r · (v × G) r µ + r · r

r ² .

^(3.16)

Okazujesi,»e wzórtenmo»naupro± i¢ tak,abywjegoprawejstroniewyst-

powaªyjedynie staªeru hu.

Za znijmyod

(v × G) · (v × G)

^{. Jest to kwadratdªugo± i wektora}

v × G

^.

Askoroprdko±¢i momentpdus¡ prostopadªe,toi hilo zynwektorowyma

dªugo±¢

v G

^,wi

(v × G) · (v × G) = v ² G ² .

Je±li hodzioilo zyn

r · (v × G)

^,todzikiwªasno± iomilo zynumieszanego

a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b),

ideni ji(3.3)widzimy,»e

r · (v × G) = G · (r × v) = G · G = G ² .

Tak wi ,równanie(3.16) mo»nazapisa¢jako

e ² = G ² v ² µ ² − 2G ²

µ r + 1 = 1 + 2 G ² µ ²

 v ² 2 − µ

r

 .

Wyra»enie w nawiasie kwadratowym to ni innego jak lewa strona aªki siªy

»ywej(3.2),awi mo»emyjezast¡pi¢staª¡siªy»ywej

h

ⁱostate znieotrzymu- jemy

e = s

1 + 2 h G ²

µ ² .

^(3.17)

Jest to zwi¡zek midzystaªymi ru hu, którywskazujena wspóªzale»no±¢ dªu-

go± iwektora Lapla e'aod staªej energii

h

^{i dªugo± i wektora momentu pdu}

G

^.

Równania(3.15)i(3.17)pokazuj¡,»espo±ródsiedmiu aªekru hutylkopi¢

jestniezale»ny h. Niemniejjednak,dysponujemydostate zn¡li zb¡ aªekru hu

abyrozwi¡za¢wpeªnizagadnieniewzgldne. Szósta aªkaru hu bdzie zawie-

ra¢jawn¡zale»no±¢ od zasu, askorotak, to pi¢znany h ju» aªekpowinno

wystar zy¢doznalezieniasamegoksztaªtuorbitywtrójwymiarowejprzestrzeni

poªo»e« jaki ksztaªtu hodografukrzywej wtrójwymiarowej przestrzeniroz-

pitejnaskªadowy hwektoraprdko± i.

3.3.3 Caªki Lapla e'a a I prawo Keplera

Wiemyju»,»ewektorLapla e'ale»ywpªasz zy¹nieorbity. Abydowiedzie¢si

jakjestskierowanynatejpªasz zy¹nie,pomno»ymyskalarnieobiestrony aªek

Lapla e'a(3.14)przez wektorpoªo»enia

r r · e = r · (v × G)

µ − r · r r .

Przestawiaj¡ zynnikiwmieszanymilo zyniewektorowym

r · (v × G) = G · (r × v),

do hodzimydoposta i

r · e = G ² µ − r.

Zauwa»my,»e mo»naztegozwi¡zkuwyzna zy¢odlegªo±¢midzy iaªami

r = G ²

µ (1 + ˆ r · e) ,

^(3.18)

gdzie prawa strona zale»y tylko od aªek ru hu i k¡ta midzy wersorem

ˆ r

^a

wektoremLapla e'e

e

^.

Odlegªo±¢midzy iaªamiosi¡gnieminimumgdymianownikwewzorze(3.18)

przyjmienajwiksz¡warto±¢. Je±liwi wektorpoªo»eniaskierowanyjestzgod-

niezwektoremLapla e'a,tonajmniejszaodlegªo±¢midzy iaªamiwyniesie

r min = q = G ²

µ (1 + e) .

^(3.19)

Jakwida¢,wektorLapla e'askierowanyjestze±rodkaukªaduwspóªrzdny hdo

punktuminimalnejodlegªo± imidzy iaªami. Punktorbitywktórymodlegªo±¢

midzy iaªamiosi¡ga minimum nazywamy wogólno± i pery entrum aje±li

masa znajduj¡ a si w ±rodku ukªadu wspóªrzdny h jest konkretnym iaªem

niebieskim, to mówimy odpowiednio o perygeum dla Ziemi, peryhelium dla

Sªo« a, peryselenium dla Ksi»y a itd. Odlegªo±¢

q

^nazywamy odlegªo± i¡

pery entrum.

Równanie (3.18) stanowi w isto ie równanie orbity wewspóªrzdny h bie-

gunowy h na pªasz zy¹nie prostopadªej do

G

^{. Wprowad¹myk¡t pozy yjny}

f

mierzony od wektora Lapla e'a

e

^{do promienia wodz¡ ego}

r

^{. K¡t ten nosi}

trady yjn¡nazwanomalia prawdziwa. Wtedy

e · ˆ r = e cos f,

ije±liprzyjmiemyozna zenie

p = G ²

µ ,

^(3.20)

torównanieorbity(3.18)przyjmujeposta¢

r = p

1 + e cos f .

^(3.21)

Zgeometriianality znejwiemy,»e jesttorównanieopisuj¡ ekrzyw¡sto»kow¡

elips, parabol lub hiperbol, której ogniskoznajduje si w ±rodku ukªadu

odniesienia, zyliwpunk iematerialnym

m 1

^{. Wtensposób z aªekLapla e'a}

otrzymali±myuogólnioneIprawoKeplera. Uogólnienieozna za,»eorbitamo»e

by¢nietylkoelips¡, oprzyjmowaªKepler,le zdowoln¡krzyw¡sto»kow¡. Or-

bitamo»eby¢zarównokrzyw¡zamknit¡(okr¡gdla

e = 0

^ielipsadla

0 < e < 1

⁾

jakikrzyw¡otwart¡(paraboladla

e = 1

^{i hiperboladla}

e > 1

^).

Wielko±¢ ozna zona symbolem

p

^{to parametr krzywej sto»kowej znany}

tak»ejakosemilatus re tum. Geometry znainterpreta ja

p

^{jesto zywista: jest}

towarto±¢jak¡przyjmujeodlegªo±¢

r

^gdy

cos f = 0

^{,awi dla}

f ± ^π 2

^{. Natomiast}

dªugo±¢ wektora Lapla e'a

e

^{to ni innego jak mimo±ródkrzywej sto»kowej.}

Bezwzgldunatyporbitymo»emykorzystaj¡ zrównania(3.21)wyprowadzi¢

zwi¡zek midzy odlegªo± i¡ pery entrum

q

^{a parametrem}

p

^{i mimo±rodem}

e

^.

Podstawiaj¡

f = 0

^{jakowarto±¢ anomalii prawdziwej w}pery entrum, otrzy- mujemy

q = p/(1 + e)

^{, zyli}

p = q (1 + e).

^(3.22)

Zpunktuwidzeniageometriioksztaª ieregularnejkrzywejsto»kowejde yduje

jej mimo±ród

e

^{. Je±li}

e < 1

^{i krzywajest elips¡, to parametr}

p = a (1 − e ² )

^,

gdzie

a

^{jest póªosi¡ wielk¡ elipsy. W przypadku}

e > 1

^{, a wi dla hiper-}

boli, przyjmuje si albo

p = a (1 − e ² )

^albo

p = a (e ² − 1)

^{. Jest to kwestia}

konwen ji: poniewa»

p

^{jakoodlegªo±¢musi by¢wielko± i¡nieujemn¡,to wida¢,}

»ewpierwszymprzypadku przyjmujemy ujemnewarto± i

a

^{,natomiast wdru-}

gim

a > 0

^{. Dla hiperboli symbol}

a

^{ozna za tak zwan¡ póªo±} rze zywist¡.

W geometrii z± iej spotykamy

a > 0

^{, natomiast wme hani e nieba stosuje}

si zasem ujemne warto± i póªosi rze zywistej. Poniewa» musimy si na o±

zde ydowa¢,przyjmijmy

a > 0

^{dlahiperboliiwtedy}

p =

 a (1 − e ² )

^dlaelipsy

,

a (e ² − 1)

^dlahiperboli

.

^(3.23)

O zywi± ie,mo»emyte»pisa¢wymijaj¡ o

p = |a (1 − e ² )|

^{. Wprzypadkupara-}

boli»adenzwzorów(3.23)niejestprawdziwy,gdy»dlaparaboliniewprowadza

si poj ia póªosi. Pozostaje jednak wtedy prawdziwy wzór (3.22), który po

podstawieniu

e = 1

^{przyjmuje posta¢}

p = 2q

^{. Mamy wi dla paraboliodle-}

gªo±¢pery entum równ¡poªowieparametru

p

^. Uwzgldniaj¡ deni je (3.23), mo»emywi przeksztaª i¢(3.22)doposta i

q =

 



a (1 − e)

^dlaelipsy

,

1

2 p

^dlaparaboli

, a (e − 1)

^dlahiperboli

.

(3.24)

Wbrew pozorom, mimo±ród niejest jedyn¡ wielko± i¡, któr¡nale»y rozpa-

trzy¢ aby wy i¡ga¢ wnioski o ksztaª ie orbity. Przypomnijmy zwi¡zek, jaki

za hodzimidzy aªkamipól,siªy»ywej iLapla e'a, zylirówanie(3.17). Pod-

stawmydoniegodeni j

p = G ² /µ

^aotrzymamy

e =

s

1 + 2 h p µ .

Wyzna zmyterazstaª¡energii (siªy»ywej)

h

^{ztegozwi¡zku}

h = − µ 1 − e ²

2 p .

^(3.25)

Dlaparaboli,gdy

e = 1

^,otrzymamy

h = 0

^{. Natomiastdlaelipsylubhiperboli}

wzór (3.23) podstawiony do (3.25) daje odpowiednio

h = −µ/(2 a) < 0

^lub

h = µ/(2 a) > 0

^. Otrzymali±my wi drugie kryterium dla ksztaªtu orbity, jakimjestwarto±¢ staªej

h

h =

 



− _2a ^µ < 0

^dlaelipsy

, 0

^dlaparaboli

,

µ

2a > 0

^dlahiperboli

.

(3.26)

Ju» za hwil przekonamy si, »e to drugie kryterium jest równie wa»ne jak

pierwsze.

Równanie orbity (3.21) ma sens tylko wtedy, gdy parametr

p 6= 0

^{. Innymi}

sªowy, regularne krzywe sto»koweotrzymujemy tylkodla ru hu z niezerowym

momentem pdu

G 6= 0

^{, poniewa»}

p = G ² /µ

^{. Pªyn¡ y z równania (3.21)}

wniosek,»e

r = 0

^{byªbyfaªszywy,bomo»emysobiewyobrazi¢spadekswobodny}

jednego iaªa nadrugie, który ma posta¢ ru hu prostoliniowegoz

r 6= 0

^{. Jak}

wi opisa¢orbitprostoliniow¡?

Wró¢mydo aªekLapla e'a(3.14). Podstawiaj¡

G = 0

^,uprasz zamyjedo posta i

e = − r

r .

^(3.27)

Jakwida¢,wektorLapla e'awru huprostoliniowymjestskierowanyprze iwnie

dopromienia wodz¡ ego

r

^{, o ozna zaprzy okazji, »e wersor}

r ˆ

^{jest staªy. Co}

wi ej,dªugo±¢wektora

e

^{, zylimimo±ródjestrówna1,awi}

orbity prostoliniowemaj¡mimo±ród

e = 1

^.

Skorozarównoorbity paraboli zne jaki prostoliniowemaj¡

e = 1

^{, to jak od-}

ró»ni¢jedneoddrugi h? Rozstrzygaj¡ ymkryteriums¡równania(3.26). Je±li

orbita ma

h = 0

^{, to jest}niew¡tpliwie paraboli zna. W prze iwnym wypadku

e = 1

^{ozna za} zdegenerowan¡elips, gdy

h < 0

^{, lub} zdegenerowan¡ hiperbol

gdy

h > 0

^.

Anomaliaprawdziwa

f

^{jakok¡tmidzywektorami}

e

ⁱ

r

^{jestdlaorbitprosto-}

liniowy hpoprawnieokre±lona.Tyletylko,»emaonawarto±¢staª¡,wynosz¡ ¡

f = π

^{i nie mo»na jej u»y¢ do} parametryza ji ru hu poprzez

r = r(f )

^{. Jak}

wida¢, do poprawnegoopisu wszystki h typów orbit potrzebny jest inny k¡t,

którywprowadzimywdalszej z± iwykªadu.

3.3.6 Poªo»enie iprdko±¢ jako funk ja anomaliiprawdzi-

wej

Wyklu zaj¡ zrozwa»a«orbityprostoliniowe,mo»emyju»terazpoda¢kilkaza-

sadni zy hwzorówopisuj¡ y hpoªo»enieiprdko±¢wzagadnieniuwzgldnym

jako funk je anomaliiprawdziwej. W prowadzimy w tym elu tzw. pery en-

try znyukªadwspóªrzdny h

Oξηζ

^{,którego±rodek}

O

^{znajdujesiwmasie}

m 1

^,

o±

Oξ

^{skierowanajestdo}pery entrum,o±

Oζ

^{pokrywasiwektoremmomentu}

pdu

G

^{, natomiasto±}

Oη

^{uzupeªniatrójkositak, aby powstaª}prawoskrtny ukªadkartezja«ski,tozna zyle»ywpªasz zy¹nieorbity,prostopadledoosi

Oξ

i skierowana jest tak, »e iaªo za zynaj¡ e ru h w pery entrum ma prdko±¢

˙η > 0

^.

W ukªadziepery entry znym wspóªrzdna

ζ

^{i prdko±¢}

˙ζ

^{s¡ równe0, wi}

zajmiemysitylkozmiennymi

ξ

ⁱ

η

^{. Rzutuj¡ promie«wodz¡ y}

r

^{naosieukªadu}

otrzymujemy

ξ = r cos f,

η = r sin f,

^(3.28)

gdzieodlegªo±¢

r

^{danajestwzorem(3.21).}

mujemydzikiskalarnej aª epóliwnioskowiz aªekLapla e'a: skorokierunek

dopery entrumjeststaªy,tomo»emyodniegomierzy¢k¡tpozy yjny

ϑ

^iuto»-

sami¢gozanomali¡prawdziw¡

f

^{. Mamywi , w±wietle (1.16),}

v r = ˙r = dr

df df

dt = − p

(1 + e cos f ) ² (−e sin f)

 √ µ p r ²

 ,

gdziewyrazwnawiasiekwadratowymto

f ˙

^{zeskalarnej aªkipól(3.4)poª¡ zonej}

zdeni j¡

G

^{dan¡wzorem(3.20). A zatem,powra aj¡ dodeni ji(3.21)aby}

pozby¢siwyrazów

(1 + e cos f )

^,

v r = r ² e sin f

p

 √ µ p r ²



= r µ

p e sin f.

Prdko±¢ transwersaln¡ otrzymujemy bez trudu z aªki pól w posta i (3.6) i

deni ji(3.20)

v t =

√ µ p r .

Tak wi

v r = q

µ p e sin f, v t = ^{√ µ p} _r = q _µ

p (1 + e cos f ) .

(3.29)

Istnieje wiele sposobów otrzymania skªadowy h

˙ξ

ⁱ

˙η

^{prdko± i. Podej± ie}

bezpo±rednie wymagajedynie zró»ni zkowaniawzgldem zasuwzorów(3.28).

˙ξ = ˙r cos f − r sin f ˙f = v ^r cos f − v ^t sin f.

Podstawiaj¡ wzory(3.29)otrzymamy

˙ξ = r µ

p e sin f cos f − r µ

p (1 + e cos f ) sin f = − r µ

p sin f.

Wpodobnysposóbró»ni zkujemy

η

˙η = ˙r sin f +r cos f ˙ f = v r sin f +v t cos f = r µ

p e sin ² f + r µ

p (1 + e cos f ) cos f,

idalej

˙η = r µ

p

 cos f + e sin ² f + cos ² f


= r µ

p (cos f + e) .

Azatem

˙ξ = − q

µ p sin f,

˙η = q _µ

p (cos f + e) .

(3.30)

Mo»emy jesz ze poda¢ wzór dla aªkowitej prdko± i

v =

q ˙ξ ² + ˙η ²

^{. Po}

elementarny hprzeksztaª enia hotrzymujemy

v = r µ

p

p 1 + e ² + 2 e cos f .

^(3.31)

Wyprowadzone w tym rozdziale wzory wa»ne s¡ dla wszystki h orbit nie-

zdegenerowany h. Brakuje w ni h istotnej wiadomo± i o zale»no± i anomalii

prawdziwej

f

^{od zasu}

t

^{. Problem tenmo»na byrozwi¡za¢drog¡ aªkowania}

skalarnej aªkipól(3.4)zpodstawieniemrównaniaorbity(3.21)

df dt = G

r ² = r µ

p ³ (1 + e cos f ) ² ,

aletaka aªkanie jestªatwadoobli zenia, apozatym wynikbyªbynadalnie-

peªny,pozostawiaj¡ w¡tpliwo± inatematru hupoorbita hzdegenerowany h.

Zty hpowodówzastosujemywnastpnym rodzialedalekobardziej elegan kie

iskute zniejszepodej± ie.

Ru h wzgldny w

pªasz zy¹nie orbity

4.1 Orbity elipty zne

4.1.1 Poªo»enie jako funk ja anomalii mimo±rodowej

Zajmijmysinajpierw przypadkiem

h < 0

^{, wktórymorbita maposta¢elipsy.}

Jak wiemy z geometrii anality znej, równanie kanoni zne elipsy w ukªadzie

O ^′ XY

^{, gdzie}

O ^′

^{jest ±rodkiem symetrii elipsy a osie}

X

ⁱ

Y

^{pokrywaj¡ si z}

osiamisymetrii,maposta¢

X ² a ² + Y ²

b ² = 1.

Symbole

a

ⁱ

b

^{ozna zaj¡} odpowiednio póªo± wielk¡ i póªo± maª¡ elipsy, przy zympóªo±maªazale»yod mimo±rodu

e

^poprzez

b = a p

1 − e ² .

^(4.1)

Šatwo mo»na sprawdzi¢, »e równanie kanoni zne jest równowa»nerównaniom

parametry znym

X = a cos E, Y = b sin E,

^(4.2)

gdzie parametr

E

^{ma harakter zmiennejk¡towej i zmienia si w zakresie od}

0do

2π

^{. Zauwa»my ju» teraz, »e równania(4.2) nie tra ¡ sensu gdy}

e = 1

ⁱ

Y = 0

^{. Nadalopisuj¡wtedy zmianyzmiennej}

X

^od

X = a

^do

X = −a

^idalej

do

X = a

^.

Poniewa»rozpatrujemyzagadnieniewukªadzie,którego±rodkiemjestjedno

zognisk elipsy,musimyprzej±¢ z

O ^′ XY

^{donowego ukªadu}

Oξη

^. Przesuni ie

±rodkaukªadudoogniska

O

^,wymagawprowadzeniapoj iaodlegªo± iogni- skowej

c = a e,

^(4.3)

parametry znewzmienny h

ξ

ⁱ

η

^{przyjmuj¡posta¢}

ξ = X − c, η = Y.

Podstawiaj¡ (4.3)otrzymujemywzorynapoªo»eniewzmienny h

ξ

ⁱ

η ξ = a (cos E − e),

η = a √

1 − e ² sin E = b sin E,

^(4.4)

K¡t

E

^,któryparametryzujeterównanianosinazwanomaliimimo±rodowej.

A jak wygl¡dapromie« wodz¡ y, zyliodlegªo±¢midzy iaªamiwyra»ona

przypomo ytejanomalii? ZtwierdzeniaPitagorasa

r ² = ξ ² + η ² = a ² (cos E − e) ² + a ² (1 − e ² ) sin ² E =

= a ² (cos ² E − 2 e cos E + e ² + sin ² E − e ² sin ² E) =

= a ² (1 − 2 e cos E + e ² cos ² E) = a ² (1 − e cos E) ² ,

azatem

r = a (1 − e cos E).

^(4.5)

Zauwa»my,»eodlegªo±¢jestograni zon¡funk j¡

E

^{os yluj¡ ¡midzyminimum}

r = a (1 − e) = q

^zyli odlegªo± i¡ pery entrum dla

E = 0

^{, a maksymaln¡}

warto± i¡

Q = a (1 + e),

^(4.6)

osi¡gan¡dla

E = π

^{i zwan¡}odlegªo± i¡apo entrum. Termin apo entrum ozna zapunktnaorbi ie wktórymodlegªo±¢midzy iaªamijestmaksymalna

imawarto±¢sko« zon¡.

4.1.2 Zwi¡zek midzy

f

ⁱ

E

Jakdot¡dotrzymali±myzestawwzorówporównywalnyzzawarto± i¡Rozdz.3.3.6

wtymsensie,»e poªo»enieiprdko±¢naorbi iemamyuzale»nioneodpewnego

k¡taanomaliiprawdziwejlubmimo±rodowej. Wzorytes¡równowa»neimo»na

i hu»y¢dosformuªowaniabezpo±redniegozwi¡zkumidzyobiemaanomaliami.

Zwi¡zek taki mo»na wyprowadzi¢ na przykªad poprzez przyrównanie wzorów

(3.28)i(4.4)

r cos f = a (cos E − e), r sin f = a √

1 − e ² sin E.

^(4.7)

Dziel¡ obawzorystronami(drugiprzezpierwszy)mo»nabyªatwoznale¹¢

tg f

jakofunk j

E

^{,alenapotkamywtedytrady yjnyproblemwyboru}odpowiedniej

¢wiartkik¡tazale»nieodznakufunk jisinus i osinus,gdy»

− π

2 6 arc tg(tgf ) 6 π 2 .

‘wietnym lekarstwem nategotypu ograni zeniajest u»ywaniefunk ji tangens

poªowyargumentu.

tg φ

2 = 1 − cos φ

sin φ = sin φ

1 + cos φ .

^(4.8)

Wybórposta iwzoru(4.8)jestdowolnyzazwy zajstaramysiniedopu± i¢do

odejmowaniabliski hli zb, owyklu zau»y ie

(1 − cos φ)

^wpobli»u

φ = 0

^oraz

(1 + cos φ)

^wpobli»u

φ = π

^.

Skorzystajmyzwzoru(4.8)dlaanomaliiprawdziwej

f tg f

2 = 1 − cos f

sin f = r − r cos f

r sin f = r − ξ η .

Dzikiwykonanemuwy»ej pomno»eniu li znikai mianownikaprzez

r

^mo»emy

wprowadzi¢ doprawej strony wzoru funk je anomaliimimo±rodowej z równa«

(4.4)i (4.5).

tg f

2 = r − ξ

η = a (1 − e cos E) − a (cos E − e) a √

1 − e ² sin E = 1 + e

√ 1 − e √ 1 + e

1 − cos E sin E .

Jakwida¢,pojawiªsiuªamekprowadz¡ ydotangensapoªowyanomaliimimo-

±rodowejiotrzymujemyposzukiwan¡zale»no±¢

tg f 2 =

r 1 + e 1 − e tg E

2 .

^(4.9)

Zwró¢myuwagnakilkawnioskówztegowzoru:

•

^{Obieanomalies¡ sobierównewdwó h}przypadka h: gdy

f = E = 0

^lub

gdy

f = E = π

•

^{Peªenobieg iaªapoorbi ieodpowiada} przyrostowi

f

^lub

E

^ok¡t

2π

^.

•

^Wzakresie

−π 6 f 6 π

^mamyzawsze

|f| > |E|

^.

4.1.3 Równanie Keplera i III prawo Keplera

Prdko±¢ zmian anomaliimimo±rodowej

Poszukamy teraz odpowiedzi na pytanie jak zale»y prdko±¢ zmian anomalii

mimo±rodowej od odlegªo± i midzy iaªami

r

^{. Poniewa» znamy ju» zwi¡zki}

midzyanomaliami

E

ⁱ

f

^{,mo»emyu zyni¢punktemwyj± ia}

dE

dt = dE df

df

dt .

^(4.10)

Skalarna aªkapól(3.4)dostar zanaminforma jioprdko± ik¡towej

f ˙ df

dt = G r ² = µ p

r ² =

p µ a (1 − e ² )

r ² .

^(4.11)

W kolejny h etapa h przeksztaª e«tego wzoru skorzystali±myz deni ji

G =

√ µp

^(3.20)oraz

p = a(1 − e ² )

^(3.23).

mieniawodz¡ ego(3.21)i(4.5),gdy»

dE df = dE

dr dr df =

dr df dr dE

.

^(4.12)

Ró»ni zkowanieodpowiedni hwzorówdla

r

^prowadzido

dr

df = d df

 p

1 + e cos f



= −p

(1 + e cos f ) ² (−e sin f) = r ²

p e sin f,

^(4.13)

dr

dE = d [a(1 − e cos E)]

dE = a e sin E.

^(4.14)

Azatem,ª¡ z¡ (4.10),(4.11),(4.13) i(4.14),otrzymujemy

dE dt =

p µ a (1 − e ² ) r ²

r ² p

e sin f a e sin E =

r µ

a (1 − e ² ) sin f a sin E .

Zrówna«(4.7)wiemy, »e

sin f = a √

1 − e ² sin E

r ,

wi

dE dt =

r µ a

1 r ,

zyli,ostate znie,

E = ˙ n a

r ,

^(4.15)

gdziesymbol

n

^{,zwanyru hem ±rednim,ozna za}

n =

r µ

a ³ .

^(4.16)

Wzór(4.16)wygl¡danaskromnyproduktubo znyrównania(4.15),alewkrót e

przekonamysi,»ejestjednymzfundamentalny htwierdze«zagadnieniadwó h

iaª.

RównanieKeplera ianomalia ±rednia

Prawastronawzoru(4.15)zale»yododlegªo± i

r

^{,którajestznan¡funk j¡ano-}

maliimimo±rodowej

E

^{. Mo»emywi pokusi¢sio}znalezieniejawnejzale»no± i

E

^{od zasu. Abyj¡znale¹¢,posªu»ymysiwzorami(4.15)i (4.5)}

E = ˙ n a

r = n

1 − e cos E .

Jestto równanieró»ni zkowedopusz zaj¡ erozdzieleniezmienny h, zylispro-

wadzeniedoposta i,gdzieka»dastronabdziefunk j¡jednejtylkozmiennej

(1 − e cos E) dE = n dt.

przykªadod momentuprzej± ia przezpery entrum

t p

^,kiedy

E = 0

^{, dodowol-}

negomomentu

t 1

^{,kiedyanomalia}mimo±rodowawynosi

E 1

Z E 1

0 (1 − e cos E) dE = Z t 1

t p

n dt.

Obydwie aªkinale»¡doelementarny hisprowadzaj¡sido

[E − e sin E] ^E 0 ¹ = [n t] ^t _t ¹ _p ,

zyli

E 1 − e sin E ¹ = n (t 1 − t ^p ).

Wpowy»szymrównaniumo»emyopu± i¢indeks1,którywprowadzonyzostaª

tylkopoto,abyniemiesza¢zmiennejpod aªk¡zgrani ¡ aªkowania.Pozatym,

widzimy, »eprawastrona jestjakim±k¡tem,któryro±niejednostajniewmiar

upªywu zasu. Tenpomo ni zyk¡tozna zymyprzez

M

^{inazwiemyanomali¡}

±redni¡

M

^def

= n (t − t ^p ).

^(4.17)

Wprowadzaj¡ poj ieanomalii±redniejotrzymujemyostate zn¡posta¢zwi¡zku

M = E − e sin E,

^(4.18)

zwanegorównaniem Keplera. Uwaga! RównanieKeplera wposta i(4.18)

jestprawdziwetylkowtedy,gdywszystkiek¡tymierzones¡ wradiana h.

Równanie Keplera z anomali¡ mimo±rodow¡

E

^{jako niewiadom¡ jest rów-}

naniem przestpnym i nie mo»na poda¢ ± isªego wzoru na jego pierwiastek z

wyj¡tkiemkilku sytua jisz zególny h,taki hjakpodanewponi»szejtabeli

M E

0 0

π π

1

2 π − e ¹ 2 π

3

2 π + e ³ ₂ π

Ostanie dwa wiersze tabeli s¡ o tyle wa»ne, »e doty z¡ sytua ji, w który h

ró»ni a

E − M

^{jest odowarto± i}bezwzgldnejmaksymalna

max |E − M| = e.

^(4.19)

Spo±ródmetodprzybli»ony hktórymirozwi¡zujemyrównanieKeplera,naj-

prostszajest metoda itera ji prosty h. Wybieramy jako pierwsze przybli»enie

E 0 = M

^{anastpniepowtarzamypro es}

E j+1 = M + e sin E j , j = 0, 1, . . .

^(4.20)

tak dªugo,a» kolejne dwiewarto± i

E j+1

ⁱ

E j

^{bdziemy mogli uzna¢ za iden-}

ty znewrama hprzyjtegoprogudokªadno± i. Pro estenjestzawszezbie»ny

dla

e < 1

^{ijesttozbie»no±¢dowªa± iwejgrani y,bowiemwprzedziale}

0 6 M < 2 π

ka»dejwarto± ianomalii ±redniej odpowiada jedna i tylkojedna warto±¢ ano-

maliimimo±rodowejwzakresie

0 6 E < 2 π

^.

III prawo Keplera

Z równania Keplera (4.18) wynika, »e przyrost anomalii mimo±rodowej o k¡t

peªnyodpowiadawzrostowianomalii±redniejo

2π

^{. Poniewa»anomalia±rednia}

M

^{jest liniow¡ funk j¡ zasu, mo»emy uzna¢, »e ru h ±redni}

n

^{jest ±redni¡}

prdko± i¡ k¡tow¡ dla ru hu elipty znego, rozumian¡ jako

n = 2π/T

^{, gdzie}

T

^{jestokresemru hu}elipty znego(przedziaª zasu midzydwomaprzej± iami przeztensampunktorbity).

We¹mykwadratru hu±redniegoipodstawmydoniegodeni j(4.16)

n ² = 4 π ² T ² = µ

a ³ .

Poniewa»

µ = k ² (m 1 + m 2 )

^,mamy

a ³

T ² = k ² (m 1 + m 2 )

4 π ² .

^(4.21)

Jesttowisto ieklasy znesformuªowanieIIIprawaKeplera. Je±lizaniedbamy

masy planet w porównaniu z mas¡ sªo« a

m 1

^{, to stosunek sze± ianów póªosi}

wielki h i h orbit

a

^{do kwadratów okresów obiegu}

T ²

^{bdzie dla wszystki h}

planetrównytejsamejstaªej

k ² m 1 /(4π ² )

^{. Nietylko}wyprowadzili±mywi III prawoKeplera,ale dodali±mymugªbiujawniaj¡ zaªo»enianiezbdnedojego

poprawno± iiwi¡»¡ stosunek

a ³ : T ²

^{zestaª¡Gaussaimas¡Sªo« a.Poniewa»}

poj ie ru hu ±redniego pojawi si tak»e dla orbit, które nie s¡ okresowe, i

bdziemiaªoinn¡interpreta jzy zn¡,uogólnionymIIIprawemKeplera

nazywamyzwi¡zek

n ² a ³ = µ,

^(4.22)

bez odwoªywaniasidopoj iaokresuobiegu.

4.1.4 Prdko±¢ jako funk ja

E

Aby znale¹¢ skªadowe prdko± i jako funk je

E

^{, musimy u»y¢ po hodnej}

E ˙

^,

zdenowanejwzorem(4.15)

E = ˙ n a r .

Mo»emywtedywyzna zy¢

˙ξ = E ˙ dξ dE = n a

r (−a sin E),

˙η = E ˙ dη dE = n a

r a p

1 − e ² cos E.