Problem komiwojażera

Struktura sieci jest wzorowana na strukturze sieci rozwiązującej problem komiwojażera i z tego względu samo zagadnienie (problem) komiwojażera (skrótowo oznaczany przez TSP) zostanie przybliżone. Optymalizacja transportu jest związana z wyborem najkrótszej drogi, jaką należy pokonać, aby odebrać towar od dostawców i właśnie tak sformułowany problem kojarzy się z zagadnieniem komiwojażera.

Jest to problem kombinatoryczny, tzn. posiada skończoną liczbę rozwiązań dopuszczalnych. Istotnie, zakładając, że problem dotyczy miast to może on być rozwiązany poprzez wygenerowanie wszystkich tras i porównanie ich długości (poprzez pełne przeszukiwanie całek przestrzeni rozwiązań). W praktyce jednak sprawa nie przedstawia się tak prosto. Wprawdzie w przypadku np. pięciu miast istnieje tylko 12 różnych tras, niemniej jednak już dla 10 miast mamy do czynienia z liczbą 181 440 możliwości, a dla 30 miast należałoby sprawdzić ponad sytuacji, co trwałoby już latami. Zwiększenie liczby miast z do prowadzi do -krotnego zwiększenia liczby tras. Oznacza to, że przy zastosowaniu pełnego przeszukiwania rozwiązanie optymalne nie może być znalezione w czasie wielomianowym (tzn. w czasie będącym wielomianem zmiennej ) [zob. Yoo-Shin 1997 s. 693; Rong 1997, s. 157]. Zatem metoda pełnego przeszukiwania nie ma w tym przypadku praktycznego znaczenia, z wyjątkiem problemów o bardzo małym wymiarze. Co więcej, pomimo intensywnych badań prowadzonych w tym zakresie nie znaleziono jeszcze żadnego wielomianowego algorytmu dokładnie rozwiązującego rozważany problem. Stąd też problem komiwojażera zalicza się do klasy tzw. problemów NP-trudnych [zob. Xue-song 2007, s. 1]. Nie wiadomo, czy tego typu problemy mogą być w ogóle rozwiązane w czasie będącym wielomianem zmiennej . Stąd dużego znaczenia nabierają algorytmy przybliżone, które wprawdzie nie we wszystkich przypadkach generują rozwiązania optymalne, ale za to działają w czasie wielomianowym, a otrzymane przybliżone rozwiązania są satysfakcjonujące z praktycznego punktu widzenia [Korbicz 1994, s. 137-139].

Nic więc dziwnego, że w tym kontekście duże nadzieje i zainteresowanie wzbudził artykuł Hopfielda i Tanka [Hopfield 1985, s. 141-152], w którym w celu rozwiązania problemu komiwojażera zaproponowano użycie analogowej sieci rekurencyjnej (sieci Hopfielda) [Hong 2005, s. 739], charakteryzującej się elegancką formulacją [Kahng 1989, s. I-513]. Pokazano w tym artykule, że metoda Hopfielda może rozwiązać TSP z 30 miastami w krótkim czasie obliczeniowym z porównywalnie dobrą dokładnością [Yoshiyuki 1994, s. 4529] i w dodatku z powodzeniem. Zalety tego podejścia wydawały się bezsporne - ponieważ przetwarzanie w sieci neuronowej z natury jest równoległe (oczywiście w implementacji sprzętowej, a nie przy użyciu programu – symulatora), więc czas potrzebny na uzyskanie rozwiązania powinien być minimalny. Co więcej, nie powinien on znacząco zależeć od liczby miast [Korbicz 1994, s. 137-139]. Hopfield wprowadził koncepcję funkcji w sieciach neuronowych i pokazał, że poszukiwanie punktu który minimalizuje energię może być wyprowadzony poza elektroniczny okrąg. Używając tej własności można znaleźć rozwiązanie w niedeterministycznym czasie dla NP-trudnego zagadnienia TSP [Goto 2008,

s. 734]. Ponadto sieć Hopfielda idealnie się nadaje do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych [Kashmiri 1991, s. 940].

Najprościej problem ten można sformułować następująco - komiwojażer mieszka w pewnym mieście i planuje podróż do pewnych innych miejscowości. Chce odwiedzić każde miasto dokładnie jeden raz, po czym powrócić do domu [zob. Zhu 2009, s. 1; Kopańska-Bródka 2010, s. 68]. Znane mu są przy tym odległości między każdą parą miejscowości.

Pojawia się następujący problem: w jakiej kolejności powinien odwiedzać miasta, aby odwiedzić je tylko raz, po czym wrócić do domu i aby całkowita długość trasy była minimalna?

Zgodnie z powyższym komiwojażer (nawigator) ma odbyć podróż przez zbiór miast (portów, wierzchołków), odwiedzając każdy z nich raz, tak aby zminimalizować sumaryczną przebytą odległość [Bank 2002, s. 207], zatem dane jest N miast o nazwach i należy znaleźć najkrótszą drogę dla komiwojażera, tak aby odwiedził wszystkie miasta tylko raz [Choy 1995, s. 2632], a w końcu wraca do miasta początkowego. Jego droga jest zamkniętą drogą, a jej długość jest sumą wszystkich krawędzi, z których się składa [Guo 2012, s. 978]. Ponieważ wyjścia neuronów sieci są binarne (każde z nich może przyjmować albo wartość 1 lub 0) do reprezentacji problemu będą wykorzystywane neuronów podzielonych na kolejnych neuronów. Każda grupa odpowiada jednemu miastu. Wartość 1 na wyjściu -tego neuronu w grupie oznacza, że dane miasto ma również występować jako -te na trasie komiwojażera. Ponieważ każde miasto może pojawiać się na trasie dokładnie raz, w danej grupie powinien być aktywny tylko jeden neuron, wyjścia pozostałych natomiast powinny być równe zero. Przykładowo dla czterech miast i dopuszczalnym rozwiązaniem generowanym przez sieć mogłaby być następująca sekwencja wyjść neuronów

co oznacza, że poszczególnym miastom odpowiadają następujące czwórki

1 2 3 4 pozycją tego miasta na trasie komiwojażera, tzn.

{ ę .

W sformułowaniu problemu konieczne jest uwzględnienie kilku ograniczeń wiążących stany . Przyjęte zostanie założenie, że mogą przyjmować jedynie wartości: zero albo jeden.

.

Po pierwsze, każde miasto powinno pojawić się na trasie dokładnie raz, co odpowiada warunkowi

∑ ∑ ∑ .

Po drugie, dwa różne miasta nie mogą wystąpić na tej samej pozycji na trasie, czyli mamy do czynienia z ograniczeniem

∑ ∑ ∑ .

Po trzecie, komiwojażer musi odwiedzić wszystkie miasta, a co oznacza spełnienie warunku (∑ ∑ ) .

Przy spełnionych ograniczeniach w/w warunki są sformułowane poprawnie, a wprowadzone funkcje , i nie mogą przyjmować wartości ujemnych [Korbicz 1994, s. 137-139].

Problem ten dla miast zawiera symetryczną macierz z nieujemnymi rzeczywistymi składnikami dij, gdzie dij oznacza odległość między -tym a -tym, miastem.

Oryginalne sformułowanie Hopfielda i Tanka (zob. [Hopfield 1984]) używa wyjściowych węzłów w formie macierzy kwadratowej, gdzie wiersze odpowiadają poszczególnym miastom a kolumny do pozycji na trasie. Zatem obowiązujące rozwiązanie będzie w formie macierzy permutacji, tj. dokładnie jedno miasto będzie dane w jednej pozycji i każde miasto będzie odwiedzione raz.

W pracy tej zostanie zaproponowany inteligentny system hybrydowy zarządzania logistyką zaopatrzeniową, który uwzględni czas transportu i będzie traktował dostawców w sposób zintegrowany z przedsiębiorstwem, bazując właśnie na sieci Hopfielda rozwiązującej w/w problem komiwojażera.