Problemy rozwi ˛ azane Problem P3.1Problem P3.1

Wykorzystuj ˛ac zasad˛e superpozycji, okre´sli´c pr ˛ad I w obwodzie z rys. 3.28a.

1 1

1 4

2 I

1 1

1

1 4

1 1

1

1

1 I'' I'

2

a) b) c)

Rysunek 3.28: Schematy do problemu P3.1

Rozwi ˛azanie

Rozpatrujemy obwód z rys. 3.28b, w którym I⁰= (1 + 1)

(1 + 1) + (1 + 1)· 4 = 2 [A]

a nast˛epnie obwód z rys. 3.28c, w którym I⁰⁰= (1 + 1)

(1 + 1) + (1 + 1)· 2 = 1 [A]

Zatem

I = I⁰+ I⁰⁰= 2 + 1 = 3 [A]

Problem P3.2

Korzystaj ˛ac z zasady superpozycji, obliczy´c napi˛ecie U i nat˛e˙zenie pr ˛adu I w ob-wodzie z rys. 3.29. Ten sam obwód był rozpatrywany w przykładach 3.2 i 3.3. Która metoda pozwala najsprawniej rozwi ˛aza´c to zadanie?

2

Rysunek 3.29: Schematy do problemu P3.2

Rozwi ˛azanie

Aby okre´sli´c oddziaływanie ´zródła napi˛ecia, ´zródło pr ˛adu zast˛epujemy rozwarciem, uzyskuj ˛ac obwód z rys. 3.29b. W tym układzie

I⁰= 10

30 + 60+ 10

40 + 60= 0, 21 [A]

U⁰= − 60

40 + 60· 10 = −6 [V]

Nast˛epnie wracamy do obwodu oryginalnego i w miejscu ´zródła napi˛ecia ro-bimy zwarcie. Uzyskany układ, który pokazano na rys. 3.29c, pozwala okre´sli´c cz ˛astkow ˛a odpowied´z spowodowan ˛a działaniem ´zródła pr ˛adu. Nat˛e˙zenia pr ˛adów płyn ˛acych przez rezystory 30Ω i 60Ω łatwo wyznaczy´c ze wzoru na dzielnik pr ˛adu:

I30= 60

Problem P3.3

Wykorzystuj ˛ac zasad˛e superpozycji, obliczy´c nat˛e˙zenie pr ˛adu I w obwodzie poka-zanym na rys. 3.30a.

1 1

1 4

2 I

1 1

1

1 4

1 1

1

1 2

1 I'' I'

a) b) c)

Rysunek 3.30: Schematy do problemu P3.3

Rozwi ˛azanie

Zgodnie z zasad ˛a superpozycji podan ˛a w podrozdziale 3.1, wzoruj ˛ac si˛e na przykła-dzie 3.1, obliczamy nat˛e˙zenia cz ˛astkowych pr ˛adów I⁰i I⁰⁰, których suma da szukany pr ˛ad I .

Pierwszy pr ˛ad reprezentuje oddziaływanie ´zródła 4 V na oporniki w obwodzie z rys. 3.30b:

I⁰= 1

1 + 1· 4

1·1

1+1+₁₊₁^1·1 = 2 [A]

a drugi — oddziaływanie ´zródła 2 V w obwodzie z rys. 3.30c:

I⁰⁰= 1

1 + 1· 2

1·1

1+1+₁₊₁^1·1 = 1 [A]

Sumuj ˛ac nat˛e˙zenia tych pr ˛adów, które stanowi ˛a odpowiedzi układu na cz ˛astkowe wzbudzenia, uzyskujemy odpowied´z wypadkow ˛a, czyli

I = I⁰+ I⁰⁰= 2 + 1 = 3 [A]

Problem P3.4

Wykorzystuj ˛ac zasad˛e superpozycji, obliczy´c nat˛e˙zenie pr ˛adu I w obwodzie poka-zanym na rys. 3.31a.

3 10

3 6 3

4 1 9

I

3 3 6 3

1 4

I'

2 1 4

I'

3 10

3 6 3

1 I''

10

1,5 2

1 I''

3 3 6 3

9 1

I'''

2 1

I''' b)

a)

c)

d)

Rysunek 3.31: Schematy do problemu P3.4

Rozwi ˛azanie

Rozpatruj ˛ac kolejne obwody z rys. 3.31, obliczamy pr ˛ady cz ˛astkowe:

I⁰= 4

1 +₆₊₃^6·3 = 1, 33 [A] I⁰⁰= − 10

1 +₆₊₃^6·3 = −3, 33 [A] I⁰⁰⁰= 0 A Sumuj ˛ac je, otrzymujemy szukane nat˛e˙zenie:

I = I⁰+ I⁰⁰+ I⁰⁰⁰= 1, 33 − 3, 33 + 0 = −2 [A]

Problem P3.5

Wykorzystuj ˛ac twierdzenie Thevenina, wykaza´c, ˙ze pr ˛ad nie płynie przez rezystor RLw obwodzie z rys. 3.32a. Zadanie i uzyskane rezultaty odnie´s´c do problemu P2.15 i pytania Q3.1.

Rysunek 3.32: Schematy do problemu P3.5

Wskazówka

Po usuni˛eciu RL, na podstawie rys. 3.32b U_Th= 3

3 + 2E − 9

9 + 6E = 0[V]

Zatem w układzie zast˛epczym Thevenina, który widnieje na rys. 3.32c, nie ma

´zródła, które powodowałoby przepływ pr ˛adu. Nie zale˙zy to od rezystancji RTh, wi˛ec jej obliczanie nie ma sensu.

Problem P3.6

Udowodni´c zasad˛e superpozycji, wykorzystuj ˛ac metod˛e potencjałów w˛ezłowych.

Wskazówka

Nale˙zy wzorowa´c si˛e na dowodzie, który został przedstawiony w podrozdziale 3.2 i wykorzystuje metod˛e pr ˛adów oczkowych. Jednak trzeba rozpatrze´c napi˛ecia za-miast pr ˛adów, opieraj ˛ac si˛e na układzie równa ´n (2.36) i wyra˙zeniu (2.37), które przedstawia jego rozwi ˛azanie.

Problem P3.7

Obliczy´c napi˛ecie U na zaciskach ´zródła pr ˛adu w obwodzie z rys. 3.33.

10m 6

480 6k U

Rysunek 3.33: Schemat do problemu P3.7

10m

480 6k U'

6

480 6k

a) b)

U''

Rysunek 3.34: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.7

Rozwi ˛azanie

Stosujemy zasad˛e superpozycji. Rozpatruj ˛ac obwody, których schematy pokazano na rys. 3.34, wyznaczamy

U⁰= −0, 01 · 480 · 6000

480 + 6000= −4, 44 [V]

i

U⁰⁰= 6000

480 + 6000· 6 = 5, 56 [V]

Sumuj ˛ac wyniki cz ˛astkowe, otrzymujemy

U = U⁰+U⁰⁰= −4, 44 + 5, 56 = 1, 12 [V]

Problem P3.8

Obliczy´c nat˛e˙zenie pr ˛adu I w obwodzie z rys. 2.39a, korzystaj ˛ac z zasady superpo-zycji oraz twierdze ´n Thevenina i Nortona. Rezultaty porówna´c z wynikami przy-kładu 2.16 i problemu P2.7, które dotyczyły tego samego obwodu, ale był on anali-zowany metod ˛a pr ˛adów oczkowych i metod ˛a potencjałów w˛ezłowych.

Rozwi ˛azanie: Zasada superpozycji

Aby okre´sli´c składow ˛a szukanego pr ˛adu, która jest zwi ˛azana z działaniem ´zródła 3 A, rozpatrujemy obwód z rys. 3.35a. Na podstawie praw Kirchhoffa

1 · I⁰= 2 · I1− 2 · I2 oraz I1= 3 − I2 ⇒ I2=6 − I⁰ 4 1 · I⁰= 4 · I4− 3 · I3 oraz I₃= 3 − I4 ⇒ I₄=I⁰+ 9

7 oraz

I₄= I2− I⁰ ⇒ I⁰+ 9

7 =6 − I⁰ 4 − I⁰

⇒ 4 · I⁰+ 36 = 42 − 7 · I⁰− 28 · I⁰ ⇒ 39 · I⁰= 6 czyli

I⁰= 6 39[A]

1 4 2

2

3

3 I'

1 6 4 2

2

3 I3

I₂

I4

I1

I6

I'' I₅

a) b)

Rysunek 3.35: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.8 za pomoc ˛a zasady superpozycji Drug ˛a składow ˛a szukanego pr ˛adu, wynikaj ˛ac ˛a z działania ´zródła napi˛ecia, wy-znaczamy na podstawie obwodu z rys. 3.35b w podobny sposób:

1 · I⁰⁰+ (2 + 2) · I5= 6 ⇒ I5=6 − I⁰⁰ 4 1 · I⁰⁰+ (4 + 3) · I6= 6 ⇒ I6=6 − I⁰⁰

7 oraz

I6= I⁰⁰− I5 ⇒ 6 − I⁰⁰

7 = I⁰⁰−6 − I⁰⁰ 4

⇒ 24 − 4 · I⁰⁰= 28 · I⁰⁰− 42 + 7 · I⁰⁰ ⇒ 39 · I⁰⁰= 66

czyli

Rozwi ˛azanie: Twierdzenie Thevenina Na podstawie rys. 3.36a wyznaczamy

R_Th= Rab= (2 + 2) · (4 + 3) (2 + 2) + (4 + 3)=28

11[Ω]

a nast˛epnie rozpatrujemy rys. 3.36b, by okre´sli´c napi˛ecie Thevenina. Ze wzoru na dzielnik:

I1= (2 + 4)

(2 + 3) + (2 + 4)· 3 = 6

5 + 6· 3 =18 11[A]

a z bilansu napi˛e´c:

Uab= 2 · I1− 2 · I2= 2 · (I1− I2) oraz I2= 3 − I1

Rysunek 3.36: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.8 z wykorzystaniem twierdzenia Thevenina

Znaj ˛ac R_Thi U_Th, mo˙zna skonstruowa´c zast˛epczy obwód Thevenina, którego schemat pokazano na rys. 3.36c. W tym obwodzie

I =6 +₁₁⁶ 1 +²⁸₁₁ =72

39[A]

Rozwi ˛azanie: Twierdzenie Nortona

Poniewa˙z RN= RTh, mo˙zemy wykorzysta´c wynik, który uzyskali´smy na potrzeby twierdzenia Thevenina.

Nat˛e˙zenie pr ˛adu Nortona INwyznaczamy na podstawie schematu z rys. 3.37a, stosuj ˛ac pr ˛adowe prawo Kirchhoffa i wzór na dzielnik pr ˛adu:

IN= I2− I1= 3

3 + 4· 3 − 2

2 + 2· 3 = − 3 14[A]

Zast˛epczy obwód Nortona ma zatem posta´c pokazan ˛a na rys. 3.37b. Na podsta-wie praw Kirchhoffa:

R_Th· (I + IN) = 6 − 1 · I czyli

28 11· I −28

11· 3 14= 6 − I Zatem

I =72 39A

4 2

2

3

3 I1

I2

a b

IN

b a

1 6

RTh

IN

I

a) b)

Rysunek 3.37: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.8 z wykorzystaniem twierdzenia Nortona

Problem P3.9

Obliczy´c nat˛e˙zenie pr ˛adu I5w obwodzie pokazanym na rys. 3.38. Nale˙zy wykorzy-sta´c zasad˛e superpozycji i twierdzenie Nortona.

3 6

2 1

5

12 1 I₅

Rysunek 3.38: Schemat do problemu P3.9

3 6

2 1

5

12 I5'

Is'

3 6

2 1

I5'' 5

6

Is''

a) b)

Rysunek 3.39: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.9 metod ˛a superpozycji

Rozwi ˛azanie: Zasada superpozycji

Zakładaj ˛ac, ˙ze działa tylko ´zródło 12 V, tak jak na rys. 3.39a, obliczamy Is0

= 12

1·5

1+5+_3+(6+2)^3·(6+2) = 3, 98 [A]

a nast˛epnie

I50= 1

1 + 5· I =1

6· 3, 98 = 0, 66 [A]

Teraz interesuje nas oddziaływanie ´zródła pr ˛adowego, które dla wygody prze-kształcamy w równowa˙zne ´zródło napi˛ecia. W wynikowym obwodzie, który poka-zano na rys. 3.39b, obliczamy nat˛e˙zenie

I_s⁰⁰= 6

2 + 6 +₁ ¹_{1 1} = 0, 69 [A]

które nast˛epnie wykorzystujemy do wyznaczenia

Na podstawie zasady superpozycji

I5= I5⁰+ I5⁰⁰= 0, 66 − 0, 09 = 0, 57 [A]

Rozwi ˛azanie: Twierdzenie Nortona

Nat˛e˙zenie pr ˛adu Nortona INwyznaczamy w obwodzie z rys. 3.40a, w którym jest zwarcie w miejscu interesuj ˛acego nas opornika, za´s ´zródło pr ˛adu zostało zast ˛apione równowa˙znym ´zródłem napi˛ecia. Poniewa˙z zaciski a i b s ˛a zwarte, na rezystorze 1Ω nie ma napi˛ecia, czyli nie płynie przeze´n pr ˛ad na mocy prawa Ohma. Zatem

I_N= I1+ I2=12

3 +12 − 6

6 + 2 = 4, 75 [A]

Na podstawie rys. 3.40b obliczamy R_N= RTh= 1

1

1+¹₃+₂₊₆¹ = 24

24 + 8 + 3=24 35[Ω]

Zast˛epczy obwód Nortona ma posta´c z rys. 3.40c. Ze wzoru na dzielnik pr ˛adu

I5= RTh

Rysunek 3.40: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.9 z wykorzystaniem twierdzenia Nortona

Problem P3.10

Okre´sli´c rezystancj˛e RLw obwodzie z rys. 3.41, dla której do opornika jest dostar-czana maksymalna moc. Jak ˛a maksymaln ˛a moc mo˙zna osi ˛agn ˛a´c, dobieraj ˛ac RL?

R

R E R

RL

Rysunek 3.41: Schemat do problemu P3.10

Uab =UTh

R

R E R

b RL a

ETh

RTh Rab =RTh

a) b)

R

R R

b a c)

Rysunek 3.42: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.10

Rozwi ˛azanie

Na podstawie schematów z rys. 3.42 R_Th= R + R · R

R + R = 1, 5R U_ab= R

R + R · E =E 2 Zatem

P = Pmax ⇔ RL= RTh= 1, 5R P_max=E_Th²

4RTh =

¡_E

2

¢2

4 · 1,5R = E²

4 · 6R= E² 24R

Problem P3.11

Okre´sli´c nat˛e˙zenie pr ˛adu I w obwodzie z rys. 3.43. Nale˙zy zastosowa´c zasad˛e super-pozycji oraz twierdzenia Thevenina i Nortona.

5

50m

10 2

15

I 100m

Rysunek 3.43: Schemat do problemu P3.11

a) b)

5

50m 2

I' 100m

5

10 2

15

I'' I''

Rysunek 3.44: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.11 za pomoc ˛a zasady superpozycji

Rozwi ˛azanie: Zasada superpozycji

Najpierw rozpatrujemy układ z rys. 3.44, w którym ´zródła napi˛ecia zostały zast ˛ a-pione zwarciami, w zwi ˛azku z czym działaj ˛a tylko ´zródła pr ˛adu. Poniewa˙z zaciski rezystora s ˛a zwarte, nie płynie przeze ´n pr ˛ad. Zatem ´zródło 50 mA okre´sla nat˛e˙zenie

I⁰= 50 mA

Nast˛epnie rozwa˙zamy oddziaływanie samych ´zródeł napi˛ecia w obwodzie po-kazanym na rys. 3.44b. Na mocy napi˛eciowego praca Kirchhoffa oraz prawa Ohma

I⁰⁰=5 − 10 + 15 2 = 5 [A]

Zgodnie z zasad ˛a superpozycji

I = I⁰+ I⁰⁰= 0, 05 + 5 = 5, 05 [A]

Rozwi ˛azanie: Twierdzenie Thevenina

Aby zastosowa´c twierdzenie Thevenina, musimy okre´sli´c parametry ´zródła zast˛ep-czego. W układzie z rys. 3.45a okre´slamy napi˛ecie:

U_Th= Uab= 2 · 0, 05 + 15 − 10 = 5, 1 [V]

a w układzie z rys. 3.45b — rezystancj˛e:

RTh= Rab= 2 Ω

Rysunek 3.45c przedstawia odpowiedni zast˛epczy obwód Thevenina, w którym 5 +UTh− RTh· I = 0

czyli

I =5 +UTh

RTh =5 + 5,1

2 = 5, 05 [A]

Uab

a b a b

2

a

b 5 I RTh

UTh

a)

50m

10 2

15

100m

b) c)

Rysunek 3.45: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.11 z wykorzystaniem twierdzenia Thevenina

Rozwi ˛azanie: Twierdzenie Nortona

Z rozwa˙za ´n przeprowadzonych uprzednio odno´snie do twierdzenia Thevenina wiemy, ˙ze RTh= 2 Ω. Nat˛e˙zenie pr ˛adu Nortona jest okre´slone nat˛e˙zeniem

I_N= Ip+ 0, 05 =15 − 10

2 + 0, 05 = 2, 55 [A]

w obwodzie ze zwartymi w˛ezłami a i b, którego schemat pokazano na rys. 3.46a.

Zatem obwód zast˛epczy Nortona ma posta´c pokazan ˛a na rys. 3.46b, czyli I = IN+ 5

R_Th= 2, 55 +5

2= 5, 05 [A]

IN

Rysunek 3.46: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.11 z wykorzystaniem twierdzenia Nortona

Problem P3.12

Okre´sli´c maksymaln ˛a moc, która mo˙ze by´c dostarczana do RLw obwodzie z rys. 3.47.

Jaka jest odpowiednia rezystancja opornika?

5

Rysunek 3.47: Schemat do problemu P3.12

10

Rysunek 3.48: Schematy do rozwi ˛azania problemu P3.12

Rozwi ˛azanie

Aby maksymalna moc była dostarczana do RL, ta rezystancja powinna by´c równa rezystancji zast˛epczej mi˛edzy w˛ezłami a i b w układzie z rys. 3.48a, z wył ˛ aczo-nym ´zródłem i bez doł ˛aczonego obci ˛a˙zenia. Układ mo˙zna przerysowa´c w bardziej przejrzystej postaci pokazanej na rys. 3.48b, która unaocznia, ˙ze

RL= Rab= 40 · 20 40 + 20+10

2 =40

3 + 5 =55 3 [Ω]

Do obliczenia mocy jest te˙z potrzebne napi˛ecie mi˛edzy w˛ezłami a i b w układzie z rys. 3.48c, z działaj ˛acym ´zródłem, ale bez doł ˛aczonego obci ˛a˙zenia:

Uab= 10 · Ib− 40 · Ia= 10 · 5

10 + 10− 40 · 5

40 + 20= −5 6[V]

Znaj ˛ac parametry zast˛epczego układu Thevenina, mo˙zna okre´sli´c P_max=U_Th²

Czy obwody z rys. 3.49 s ˛a dualne? Odpowied´z nale˙zy uzasadni´c. Jak najpro´sciej zmodyfikowa´c układy, by pr ˛ad nie płyn ˛ał przez rezystor 90Ω?

60

Rysunek 3.49: Schematy do problemu P3.13

Wskazówka

Schematy wygl ˛adaj ˛a podobnie, ale na rys. 3.49a rzeczywiste ´zródło pr ˛adu jest tam, gdzie na rys. 3.49b jest rzeczywiste ´zródło napi˛ecia. Obwody byłyby dualne, gdyby

´zródła były równowa˙zne. Niestety, rzeczywiste ´zródło pr ˛adu o nat˛e˙zeniu 2 A i rezy-stancji wewn˛etrznej 15Ω odpowiada szeregowemu poł ˛aczeniu tej samej rezystancji

oraz ´zródła napi˛ecia 30 V, podczas gdy na schemacie jest ´zródło 2 V. Zatem obwody nie s ˛a dualne, gdy˙z ´zródła nie s ˛a równowa˙zne.

Chocia˙z obwody nie s ˛a mostkami, bardzo je przypominaj ˛a. W szczególno´sci rezystancje okalaj ˛ace opornik 90Ω spełniaj ˛awarunek zrównowa˙zenia, czyli pr ˛ad nie płyn ˛ałby przez ten element, gdyby nie działały ´zródła poł ˛aczone z rezystan-cjami 15Ω. Zatem pr ˛ad b˛edzie zerowy, gdy przekształcimy układy w zrównowa˙zone mostki, usuwaj ˛ac ´zródła.

3.11.3 Quiz Quiz 3.1

Jaki warunek musz ˛a spełnia´c napi˛ecia ´zródłowe w obwodzie z rys. 3.50a, by mo˙zna było wyznaczy´c nat˛e˙zenie pr ˛adu I ? Nale˙zy rozwa˙zy´c u˙zycie zasady superpozycji oraz twierdze ´n Thevenina i Nortona.

I

E1 E2 R RTh =0W

E1 E2 UTh

a) b) c)

Rysunek 3.50: Schematy do quizu 3.1

Wskazówka

• Układ mo˙zna analizowa´c tylko wtedy, gdy napi˛ecia ´zródłowe s ˛a jednakowe, tj. E1= E2= E. Inaczej wyst˛epowałaby sprzeczno´s´c z napi˛eciowym prawem Kirchhoffa, która wykluczałaby uzyskanie sensownego wyniku jak ˛akolwiek metod ˛a. Je˙zeli ró˙zne ´zródła wymuszaj ˛a inne napi˛ecia mi˛edzy tymi samymi w˛ezłami, to nie ma podstaw, by okre´sli´c ró˙znic˛e potencjałów tych w˛ezłów.

• Równoległe poł ˛aczenie rzeczywistych ´zródeł o ró˙znych napi˛eciach jest fizycz-nie mo˙zliwe, ale zwykle prowadzi od ich uszkodzenia. ´Zródło o mniejszym napi˛eciu zamiast oddawa´c energi˛e do obwodu, działa jako obci ˛a˙zenie, do któ-rego wpływa z drugiego ´zródła pr ˛ad o nat˛e˙zeniu równym ilorazowi ró˙znicy napi˛e´c ´zródłowych i sumy oporów wewn˛etrznych oraz rezystancji przewodów.

Rezystancje te s ˛a na ogół bardzo małe, tak ˙ze pr ˛ad ma wielkie nat˛e˙zenie i po-woduje uszkodzenie którego´s elementu obwodu, np. przepalenie przewodu.

Obwód zostaje przerwany, a pr ˛ad przestaje płyn ˛a´c, czyli mo˙zna powiedzie´c,

˙ze układ sam wraca do stanu równowagi.

• Nawet wtedy, gdy napi˛ecia ´zródłowe s ˛a równe, nie mo˙zna stosowa´c zasady superpozycji do analizowania obwodu. Wspólne zaciski sprawiaj ˛a, ˙ze ´zródła nale˙zy traktowa´c jako zale˙zne i rozpatrywa´c je ł ˛acznie.

• Z twierdzeniem Thevenina nie ma problemu. Łatwo jest obliczy´c parametry obwodu zast˛epczego

R_Th= 0 Ω na podstawie rys. 3.50b oraz

UTh= E(= E1= E2)

na podstawie rys. 3.50c, a nast˛epnie szukane nat˛e˙zenie pr ˛adu I =UTh

R

• U˙zycie twierdzenia Nortona jest wykluczone. Zast˛epcze ´zródło Thevenina ma zerow ˛a rezystancj˛e wewn˛etrzn ˛a, czyli nie mo˙zna przekształci´c go w ´zródło pr ˛adu, które stanowiłoby postaw˛e obwodu zast˛epczego Nortona. Nat˛e˙zenia pr ˛adu ´zródłowego tak˙ze nie mo˙zna ustali´c, zast˛epuj ˛ac rezystor R zwarciem i okre´slaj ˛ac nat˛e˙zenie płyn ˛acego przeze ´n pr ˛adu. W ten sposób uzyskujemy bł˛edny wynik, dowiaduj ˛ac si˛e, ˙ze nat˛e˙zenie jest niesko ´nczenie du˙ze.

Przebiegi sinusoidalne i obwody

W dokumencie Białystok 2020 (Stron 155-174)