Projektowanie krzywej przejściowej

Pomiędzy odcinkiem prostym toru i zaprojektowanym łukiem poziomym o promieniu R powinno się wykonać tzw. krzywą przejściową, na długości której będzie występowała ciągła zmiana krzywizny toru. Takie rozwiązanie zapewnia płynny przyrost niezrównowa-żonego przyśpieszenia od wartości zerowej na prostej do wartości a_m na łuku kołowym.

Wartość przyśpieszenia a_m wynika z zależności:

— R

= w przypadku występowania na łuku przechyłki h0.

Techniczne wykonanie krzywej przejściowej wymaga przesunięcia środka łuku koło-wego wzdłuż dwusiecznej kąta zawartego pomiędzy łączonymi kierunkami trasy (rys. 7.3).

W powstałą przestrzeń wstawia się odpowiednią krzywą – w połowie na prostej i w poło-wie na łuku. W praktyce polega to na wpisaniu krzywej przejściowej o ustalonym kształcie i długości, następnie zaś − przesunięciu łuku kołowego do środka, tak aby uzyskać jego połączenie z końcem krzywej przejściowej. Tak więc o położeniu łuku kołowego decyduje

ściową bez konieczności zmiany położenia łuku.

Rys. 7.3. Ścisły sposób kształtowania krzywej przejściowej

Rys. 7.4. Stosowany sposób kształtowania krzywej przejściowej

występuje poważne uproszczenie – nie uwzględnia się faktu, że przesunięcie łuku kołowe-go powoduje zmianę położenia początku krzywej przejściowej. Łuk kołowy odsuwa się prostopadle o wartość n od punktu styczności z prostą, jednocześnie przyjmując układ współrzędnych jak na rysunku 7.4.

Brak krzywej przejściowej oznacza znacznie gwałtowniejszą zmianę przyśpieszenia i dlatego taka sytuacja w przypadku torów powinna mieć miejsce tylko wyjątkowo. Inaczej wygląda ta kwestia w odniesieniu do rozjazdów kolejowych, gdzie wejście w łuk toru zwrotnego odbywa się bezpośrednio z prostej.

7.1.2.1. Metoda identyfikacji krzywych przejściowych

Stosowanie krzywych przejściowych ma na celu zapewnienie ciągłej zmiany niezrów-noważonego przyśpieszenia w sposób korzystny dla dynamiki oddziaływań w układzie tor−pojazd. Wymaganie takie dotyczy wszystkich rodzajów krzywych przejściowych. W tej sytuacji mogłoby się wydawać, że istnieje jeden, określony algorytm ich tworzenia, wspól-ny dla całej rodziwspól-ny rozpatrywawspól-nych krzywych. Tymczasem wszystkie znane dotąd rozwią-zania występują niezależnie i noszą różnorakie nazwy (niekiedy wywodzące się od nazwi-ska ich autora). Znajomość ogólnej metody wyznaczania równań krzywych przejściowych pozwala na wzajemne porównanie różnych postaci krzywych oraz ocenę ich przydatności do praktycznego zastosowania.

Wielkość przyśpieszenia (działającej siły) stanowi jedno z podstawowych kryteriów oceny stanu geometryczno-konstrukcyjnego nawierzchni kolejowej. Dlatego też, rozpatrując krzywe przejściowe, należy się koncentrować na analizie występujących przyśpieszeń. Na długości krzywej przejściowej lk przyśpieszenia te zależą bezpośrednio od krzywizny k(l).

Podstawowym stwierdzeniem wynikającym z przeprowadzonej w pracach [2, 3] analizy dynamicznej było wykazanie występowania związku pomiędzy odpowiedzią układu i klasą funkcji wymuszającej. Oddziaływania dynamiczne były mniejsze (a więc korzystniejsze), jeśli wyższa była klasa funkcji a(t). Stwierdzenie to odnosi się również do krzywizny k(l).

Z charakteru przyśpieszeń na krzywej przejściowej wynika, że k(l) będzie funkcją klasy Cⁿ(0, lk), jeśli zostaną spełnione następujące warunki dla jej pochodnych (jednostron-nych):

Rozwiązanie problemu umożliwia teoria równań różniczkowych [5]. Funkcji odpo-wiedniej klasy, które opisują krzywiznę krzywej przejściowej, należy poszukiwać wśród rozwiązań równania różniczkowego

[

]

)

(^m(l)= f l,k,k′,...,k^m−

k (7.10)

z warunkami (7.9), gdzie m = 2n + 2, bądź ogólniej − wśród rozwiązań równania różnicz-kowego (7.10) z warunkami:

⎪⎪

W przypadku wykorzystywania warunków (7.11) funkcja k(l) jest funkcją klasy Cⁿ w przedziale (0, lk), gdzie n = min(n1, n2). Równanie różniczkowe (7.10) może być on, równaniem różniczkowym liniowym o stałych lub zmiennych współczynnikach, jednorod-nym bądź niejednorodjednorod-nym.

Przedstawiony zapis matematyczny pozwala na uzyskanie nieskończonej liczby roz-wiązań, spełniających wymagania stawiane krzywym przejściowym. Tak więc nieograni-czone są również możliwości wyznaczania odpowiednich postaci krzywych. Zapis ten stanowi identyfikację kształtu krzywych przejściowych równaniami różniczkowymi i okre-śla sposób na znalezienie rozwiązań spełniających dowolną liczbę założonych warunków, przy czym dla danych warunków mogą to być rozwiązania zupełnie różnej postaci.

7.1.2.2. Identyfikacja znanych rozwiązań

Stosując przedstawioną metodę, zidentyfikujmy najbardziej popularne postacie krzy-wych przejściokrzy-wych, omówione szczegółowo w pracy [1].

— Zacznijmy od równania różniczkowego:

0

Całka ogólna równania różniczkowego (7.12) ma postać:

l c c l

k()= ₁+ ₂

Po wyznaczeniu stałych rozwiązanie problemu różniczkowego (7.12), (7.13) jest następu-jące:

lk

l l R

k( =) 1 (7.14)

Mamy więc w tym wypadku do czynienia z przypadkiem liniowej zmiany krzywizny (rys. 7.5).

Na drogach kolejowych, gdzie występują duże promienie łuków kołowych oraz rela-tywnie długie krzywe przejściowe, stosuje się powszechnie uproszczony sposób wyznacza-nia równawyznacza-nia krzywej przejściowej w układzie współrzędnych prostokątnych, prowadzący do uzyskania tegoż równania w postaci funkcji jawnej y(x). Uproszczenie procedury polega na założeniu, że zamodelowana krzywizna k(l) odnosi się do swego rzutu na oś x, czyli że odcięta x = l, a odcięta punktu końcowego xk = lk. W wyniku takich założeń otrzymujemy wyjściowe równanie krzywizny k0(x).

Rys. 7.5. Wykres krzywizny liniowej (opisanej równaniem (7.14)) W przypadku rozpatrywanej krzywej przejściowej:

lk

x x R

k₀( )= 1 (7.15)

Wyznaczenie w sposób ścisły funkcji y(x) jest na drodze analitycznej niemożliwe, gdyż wymagałoby rozwiązania równania różniczkowego:

{

}

W stosowanych w kolejnictwie krzywych przejściowych – gdy przyjmujemy układ współrzędnych, w którym początek krzywej jest styczny do osi odciętych (rys. 7.4) – war-tość stycznej y′(x) na długości jest niewielka, dlatego też w praktycznych rozwiązaniach traktujemy k0(x) jako krzywiznę wyjściową, będącą przybliżeniem krzywizny docelowej k(x). Przejście od k0(x) do k(x) odbywa się w ten sposób, że uznajemy k0(x) za równanie drugiej pochodnej szukanej funkcji y(x); mamy zatem:

) ( ) (x k₀ x y′′ =

Równanie to następnie dwukrotnie całkujemy, uzyskując y'(x) i y(x); uwzględniamy przy tym warunki: y(0) = 0 i y'(0) = 0. Uzyskana w ten sposób funkcja y(x) posiada krzywiznę różniącą się nieco od krzywizny wyjściowej.

Po dwukrotnym scałkowaniu wyrażenia (7.15) i wykorzystaniu wymienionych warun-ków otrzymujemy równanie krzywej przejściowej

lk

Liniową krzywiznę, opisaną − w przybliżeniu − równaniem (7.15), posiada zatem krzywa przejściowa w postaci paraboli trzeciego stopnia. Jest to tradycyjnie podstawowy rodzaj krzywej przejściowej stosowany na drogach kolejowych. Nie oznacza to wcale, że jest to rozwiązanie najkorzystniejsze, jednak zakorzenione przyzwyczajenia wciąż są trud-ne do przełamania.

Należy jeszcze wspomnieć o pewnej nieprawidłowości, która będzie również dotyczyć innych rozpatrywanych krzywych przejściowych. Równanie (7.16) nie spełnia warunku styczności krzywej przejściowej z łukiem kołowym, tj. warunku:

Dlatego też spotyka się propozycje korygowania rzędnych y(x) przez stosowanie odpo-wiedniego współczynnika. Bałuch [1] zaproponował wprowadzenie współczynnika κ, ko-rygującego rzędne krzywej przejściowej, w postaci:

κ ξ

— Zwiększmy teraz liczbę warunków, jednocześnie różnicując je dla pierwszej i drugiej połowy krzywej przejściowej:

Przyjmujemy odpowiednie równanie różniczkowe:

0 )

′′′ l( =

k (7.19)

którego całka ogólna ma postać:

3 2 2

) 1

(l c c l cl

k = + +

Wyznaczenie i podstawienie stałych do całki ogólnej prowadzi do rozwiązania koń-cowego w postaci:

Otrzymaliśmy zatem krzywiznę o nieliniowym rozkładzie na długości (rys. 7.6). Jak się dalej okaże, krzywiznę o takim charakterze (ale oczywiście o różnej postaci) mają wszystkie krzywe przejściowe z wyjątkiem paraboli trzeciego stopnia (i klotoidy, ale w wy-padku dróg kolejowych obie te krzywe przyjmują w zasadzie ten sam kształt).

Rys. 7.6. Przykładowa krzywizna o nieliniowym rozkładzie na długości (opisana równaniem (7.20)) Jak się okazuje, równanie (7.20) opisuje krzywiznę krzywej przejściowej w postaci paraboli czwartego stopnia. Po dwukrotnym scałkowaniu funkcji k0(x) otrzymujemy bo-wiem następujące wyrażenie:

— Powiększamy dalej liczbę warunków:

⎪⎪

i przyjmujemy równanie różniczkowe:

0

prowadzące do rozwiązania w postaci wielomianu:

4 3

Po wyznaczeniu stałych otrzymujemy równanie krzywizny

⎟⎟

Krzywizna opisana równaniem (7.24) jest krzywizną krzywej Blossa o równaniu:

⎟⎟

0

Otrzymujemy następującą całkę ogólną:

l l

Rozwiązanie problemu różniczkowego (7.26), (7.22) ma postać:

⎟⎟

Równanie (7.27) opisuje krzywiznę krzywej przejściowej w postaci cosinusoidy:

⎥⎥

— Zakładamy jeszcze większą liczbę warunków:

⎪⎪

Warunki (7.29) określają rząd równania różniczkowego; przyjmujemy je w postaci:

0

Całka ogólna równania (7.30) ma postać:

l l

Po wyznaczeniu stałych otrzymujemy:

⎟⎟

Krzywiznę opisaną równaniem (7.31) posiada krzywą przejściową w postaci sinusoidy.

⎟⎟