Na przestrzeni wektorowej X nad ciałem F = R, C możemy określić normę, czyli funkcję k · k : X → [0, ∞) taką, że kxk = 0 ⇐⇒ x = 0, kλxk =
|λ| · kxk oraz kx + yk ¬ kxk + kyk, gdzie x, y ∈ X i λ ∈ F. Przestrzeń wektorową wyposażoną w normę nazywamy przestrzenią unormowaną. Jeżeli przestrzeń unormowana jest zupełna, czyli każdy ciąg Cauchy jest zbieżny, to taką przestrzeń nazwiemy przestrzenią Banacha.
Klasycznymi przykładami przestrzeni Banacha są przestrzenie funkcji cał-kowalnych w p-tej potędze. Niech (Ω, Σ, µ) będzie ustaloną przestrzenią z miarą oraz niech p ∈ [1, +∞). Mówimy, że funkcja f : Ω →F jest całkowalna w p-tej potędzę, gdy
Z
Ω
|f |pdµ
1
p =: kf kp
jest wartością skończoną. Zbiór funkcji całkowalnych w p-tej potędze wraz z działanimi określonymi punktowo i funkcją k · kp jest przestrzenią unormowa-ną, a nawet przestrzenią Banacha, o ile utożsamimy ze sobą funkcje równe sobie µ-prawie wszędzie, patrz np. [12], [16]. Rzeczone przestrzenie Banacha oznaczamy Lp(µ). Przypomnijmy, że dwie funkcje f, g : Ω → R ∪ {+∞} są sobie równe µ-prawie wszedzie jeżeli są sobie równe poza zbiorem miary zero, czyli
µ({ω ∈ Ω : f (ω) 6= g(ω)}) = 0.
Jest to relacja równoważności i gdy mówimy o Lp(µ), to tak naprawdę mamy ma myśli przestrzeń ilorazową względem relacji równości µ-prawie wszędzie, a jej elementami są klasy abstrakcji. Jednak dla uproszczenia języka i notacji będziemy mówić o przestrzeni funkcji całkowalnych w p-tej potędze Lp(µ) i elementy będziemy nazywać funkcjami. Nierówność trójkąta w przestrzeniach Lp(µ) nazywana jest nierównością Minkowskiego. Kojelną nierównością dla tych przestrzeni jest Nierówność H¨oldera.
Twierdzenie 1.3 (Nierówność H¨oldera). Jeżeli p i q są wykładnikami sprzę-żonymi (tzn. 1p + 1q = 1, 1 ¬ p < ∞) i f ∈ Lp(µ), g ∈ Lq(µ), to f g ∈ L1(µ) oraz
kf gk1 ¬ kf kp · kgkq. Dowód. Patrz [16, 3.8].
Ważną podklasą przestrzeni Banacha są przestrzenie Hilberta. Mianowicie, przestrzeń Hilberta to przestrzeń Banacha H wyposażona w iloczyn skalarny, czyli funkcję h·, ·i : H × H → F, która jest dodatnio określona, liniowa w pierwszym argumencie i antysymetryczna:
hx, xi 0 i hx, xi > 0 dla x 6= 0,
hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi, hx, yi = hy, xi,
gdzie x, y, z ∈ H i α, β ∈ F. Co więcej, zakładmy tu, że norma w tej przestrzeni jest zadana przez iloczyn skalarny, to znaczy
kxk =qhx, xi
dla dowolnego x ∈ H. Dla dowolnego iloczynu skalarnego powyższy wzór zadaje normę oraz zachodzi kluczowa nierówność Schwartza:
|hx, yi| ¬ kxk · kyk.
Podstawowymi przykładami przestrzeni Hilberta są przestrzeń funkcji całko-walnych w kwadracie L2(µ) z iloczynem skalarnym zadanym poprzez
hx, yi =
Z
Ω
xy dµ
dla x, y ∈ L2(µ). De facto (niezeorwa) przestrzeń Lp(µ) jest przestrzenią Hil-berta wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2. Nierówność Schwartza dla przestrzeni L2(µ) jest szczególnym przypadkiem nierówności H¨oldera.
Przez operator liniowy między dwiemami ustalonymi przestrzeniami unor-mowananymi X, Y nad ciałemF rozumiemy odwzorowanie liniowe T : X → Y , tzn. funkcję taką, że
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y)
dla każdego x, y ∈ X i α, β ∈ F. Mówimy, że operator liniowy T jest ogra-niczony jeżeli istnieje stała C 0, dla której kT xk ¬ Ckxk dla dowolnego x ∈ X. Najmniejszą z takich stałych nazywamy normą operatora, tzn.
kT k := inf{C 0 : kT xk ¬ Ckxk dla każdego x ∈ X}.
Równoważnie, norma operatora T wyraża się wzorem kT k = supkxk=1kT xk.
Operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwzorowa-niem ciągłym. Operatory liniowe przyjmujące wartości w ciele skalarów, tzn.
gdy Y = F, nazywamy funkcjonałami.
Twierdzenie Radona-Nikodyma dla miar sigma skończonych
W tym rozdziale omówimy podstawową wersję Twierdzenia Radona-Nikodyma dla miar skończonych. Przedstawimy trzy niezależne i całkowicie różne w swo-jej istocie dowody tego twierdzenia - dowód klasyczny wykorzystujący Twier-dzenie Hahna o rozkładzie miary znakowej, dowód Von Neumanna opierający się na Twierdzeniu Riesza o reprezentacji funkcjonałów w przestrzeniach Hil-berta, oraz dowód Samuelsa bazujący na pojęciu warunkowej wartości oczeki-wanej.
Na koniec pokażemy jak Twierdzenia Radona-Nikodyma dla miar skończo-nych uogólnia się na przypadek, gdy miara dominowana jest dowolna, a miara dominująca jest σ-skończona.
2.1 Wprowadzenie
Na przestrzeni mierzalnej (Ω, Σ) można rozpatrywać wiele różnych miar. Twier-dzenie Radona-Nikodyma charakteryzuje pary miar ν, µ, które są ze sobą związane relacją, którą symbolicznie można zapisać dν = f0dµ, gdzie f0 jest pewną funkcją mierzalną, a formalnie zdefiniujemy ją następująco.
Definicja 2.1. Niech ν i µ będą dowolnymi miarami na przestrzeni mierzalnej (Ω, Σ). Powiemy, że miara ν ma gęstość, czy też pochodną Radona-Nikodyma względem miary µ jeśli istnieje funkcja mierzalna f0 : Ω → [0, +∞] taka, że
ν(A) =
Z
A
f0dµ, dla każdego A ∈ Σ. (2.1) Piszemy wtedy dνdµ := f0 i funkcję tę nazywamy pochodną Radona-Nikodyma miary ν względem µ.
Stwierdzenie 2.2. Dla dowolnych dwóch miar ν, µ na przestrzeni mierzalnej (Ω, Σ) i dowolnej funkcji mierzalnej f0 : Ω → [0, +∞] następujące warunki są równoważne
8
1) f0 = dµdν, tzn. ν(A) = RAf0dµ dla każdego A ∈ Σ,
2) każda funkcja mierzalna f : Ω →R jest ν-całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy f · f0 jest µ-całkowalna i jeśli to zachodzi, to
Z
W szczególności, jeśli powyższe równoważne warunki zachodzą, to odwzorowa-nie L1(ν) 3 f 7→ f · f0 ∈ L1(µ) jest izometrią liniową.
Dowód. Dowód implikacji 2) =⇒ 1) jest łatwy; stosując 2) do funkcji f = 1A
mamy
Implikację 1) =⇒ 2) przeciwną dowiedziemy metodą stopniowej komplikacji.
Załóżmy 1) i niech f : Ω →R będzie funkcją mierzalną. twierdzenie o zbieżności monotonicznej (Twierdzenie 1.1) oraz (i) mamy
Z
Teraz pokażemy, że jeśli te warunki zachodzą, to odwzorowanie L1(ν) 3 f 7→
f · f0 ∈ L1(µ) jest liniową izometrią. Z warunku 2) widzimy, że to odwzoro-wanie jest poprawnie określone. Liniowość tego odwzorowania jest oczywista.
Przypomnijmy sobie, że f0 jest funkcją nieujemną. Zatem kf · f0k1 =
Z
Ω
|f · f0|dµ =
Z
Ω
|f | · f0dµ =
Z
Ω
|f |dν = kf k1, czyli to odwzorowanie zachowuje normę.
Całka dowolnej funkcji po zbiorze o mierze zero zawsze wynosi zero. Za-tem warunkiem koniecznym istnienia pochodnej Radona-Nikodyma miary ν względem miary ν jest absolutna ciągłość:
Definicja 2.3. Powiemy, że miara ν jest absolutnie ciągła względem miary µ, co zapisujemy ν µ, jeżeli dla każdego A ∈ Σ
µ(A) = 0 =⇒ ν(A) = 0,
tzn. miara ν ma niemniej zbiorów miary zero, niż miara µ.
Wniosek 2.4. Jeżeli pochodną Radona-Nikodyma dνdµ istnieje, to ν µ.
Przykład 2.5. Niech µ będzie miarę Lebesgue’a, a ν miarą liczącą na prze-strzeni mierzalnej (R, B(R)). Jasne jest, że ν 6 µ, bo jedyny zbiór ν-miary zero, to zbiór pusty; natomiast µ ma wiele zbiorów miary zero (np. każdy zbiór przeliczalny albo zbiór Cantora). Zatem nie istnieje pochodna Radona-Nikodyma ν względem µ.
Przez Twierdzenie Radona-Nikodyma zazwyczaj rozumie się każde twier-dzenie, które pokazuje, że absolutna ciągłość jest nie tylko warunkiem ko-niecznym, ale też dostatecznym na istnienie pochodnej Radona-Nikodyma.
Podstawowa wersja takiego twierdzenia, znana każdemu absolwentowi studiów matematycznych, sformułowana jest dla miar skończonych:
Twierdzenie 2.6 (Radona-Nikodyma dla miary skończonej). Niech µ, ν bę-dą miarami skończonymi na przestrzeni mierzalnej (Ω, Σ). Jeżeli ν µ to istnieje mierzalna funkcja f0 : Ω → [0, +∞) taka, że
ν(A) =
Z
A
f0dµ, dla A ∈ Σ.
Ponadto, funkcja f0 jest całkowalna i jest wyznacznona jednoznacznie µ-prawie wszędzie.
Twierdzenie 2.6 mówi tyle, że w przypadku absolutnie ciągłych miar czonych pochodna Radona-Nikodyma zawsze istnieje, przyjmuje wartości skoń-czone, jest całkowalna, i jest wyznaczona jednoznacznie jako element L1(µ),
czyli µ-prawie wszędzie. Zanim przejdziemy do dowodu Twierdzenia 2.6 za-uważmy, że na ogół dla „patologicznych” miar nieskończonych absolutna cią-głość nie jest równoważna istnieniu pochodnej Radona-Nikodyma. Pochodna Radona-Nikodyma może nie istnieć, a nawet gdy istnieje, to może nie być wyznaczona jednoznacznie.
Przykład 2.7 (Przykład Saksa). Zamieńmy rolami miary z Przykładu 2.5.
To znaczy niech µ będzie miarą liczącą, a ν miarą Lebesgue’a na (R, B(R)).
Miara licząca jest absolutnie ciągła względem każdej miary. Zatem ν µ.
Jednak pochodna Radona-Nikodyma ν względem µ nie istnieje. Rzeczywiście, jeżeli założymy istnienie pochodnej Radona-Nikodyma dµdν to dla dowolnego {x}, gdzie x ∈ R, otrzymamy 0 = ν({x}) = R{x} dν
dµdµ. Zatem dνdµ = 0, ponie-waż µ({x}) = 1. Ale w konsekwencji otrzymujemy, że dla dowolnego A ∈ Σ zachodzi ν(A) = RA0dµ = 0, co jest sprzecznością, ponieważ ν jest miarą Lebesgue’a.
Przykład 2.8. Niech µ będzie trywialną miarą nieskończoną na dowolnej przestrzeni mierzalnej (Ω, Σ); trywialną w tym sensie, że µ(A) = ∞ dla każ-dego niepustego A ∈ Σ. Wtedy dowolna niezerowa funkcja jest pochodną Radona-Nikodyma µ względem ν := µ. Rzeczywiście, całka z dowolnej mie-rzalnej, niezerowej funkcji po zbiorze o mierze nieskończonej jest równa ∞.
Zatem otrzymujemy ∞ = ∞, czyli równość zachodzi w trywialny sposób.