Mówimy, że niepusty podzbiór ξ kraty L jest scentrowany, gdy x1, x2, . . . , xn∈ ξ ⇒ x1∧ x2∧ . . . ∧ xn> 0.
Każdy taki podzbiór, na mocy twierdzenia Tarskiego, jest zawarty w mak-symalnym (ze względu na inkluzję) podzbiorze scentrowanym; zob. np. [2].
Dla każdej kraty L definiujemy rodzinę
Ult(L) = {ξ ⊆ L : ξ jest maksymalną rodziną scentrowaną}.
Elementy rodziny Ult(L) nazywamy ultrafiltrami w kracie L. Elementarne własności ultrafiltrów są dobrze znane, ale dla wygody Czytelnika przyta-czamy je poniżej.
Lemat 6.1. Jeśli ξ ∈ Ult(L) oraz x, y ∈ L, to (1) 0 /∈ ξ oraz 1 ∈ ξ,
(2) x ∈ ξ oraz x6 y ⇒ y ∈ ξ, (3) x, y ∈ ξ ⇒ x ∧ y ∈ ξ,
(4) x /∈ ξ ⇒ (∃y ∈ ξ)(x ∧ y = 0), (5) x ∨ y ∈ ξ ⇒ x ∈ ξ lub y ∈ ξ.
Dowód. Warunek (1) jest oczywisty. Warunki (2) oraz (3) wynikają bezpo-średnio z maksymalności podzbioru ξ oraz z tego, że ξ powiększone o odpo-wiednio y oraz x ∧ y, jest scentrowane. W celu uzasadnienia warunku (4) załóżmy, że x ∧ y > 0 dla każdego y ∈ ξ. Wtedy ξ ∪ {x} jest scentrowane, zatem x ∈ ξ.
Aby uzasadnić warunek (5) załóżmy, że x /∈ ξ oraz y /∈ ξ. Wtedy z wa-runku (4) wynika, że istnieją takie a, b ∈ ξ, że x ∧ a = y ∧ b = 0. Zatem
(x ∨ y) ∧ (a ∧ b) = (x ∧ a ∧ b) ∨ (y ∧ a ∧ b) = 0, sprzeczność, ponieważ a ∧ b ∈ ξ oraz x ∨ y ∈ ξ.
Z następującego lematu wynika, że własności (1)–(5) charakteryzują ul-trafiltry.
Lemat 6.2. Jeśli ξ ⊆ L spełnia dla każdego x, y ∈ L warunki
(1) 0 /∈ ξ and 1 ∈ ξ, (2) x, y ∈ ξ ⇒ x ∧ y ∈ ξ,
(3) x /∈ ξ ⇒ (∃y ∈ ξ)(x ∧ y = 0), to ξ jest ultrafiltrem.
Dowód. Ustalmy taką rodzinę scentrowaną η ⊆ L, że ξ ⊆ η. Przypuśćmy, że x ∈ η \ ξ. Skoro x /∈ ξ, to istnieje takie y ∈ ξ, że x ∧ y = 0, sprzeczność, ponieważ x ∧ y ∈ η oraz η jest scentrowane.
Jeśli L jest kratą dystrybutywną z elementami 0 oraz 1, to na zbiorze Ult(L) rozważamy topologię generowaną przez rodzinę B(L) = {Ult(L)\u∗ : u ∈ L}, gdzie
u∗= {ξ ∈ Ult(L) : u ∈ ξ}.
Skoro 0∗= ∅, to Ult(L) ∈ B(L).
Topologię przestrzeni Ult(L) nazywamy topologią Wallmana, a zbiór Ult(L) wraz z topologią nazywamy przestrzenią Wallmana kraty L. Prze-strzenie Wallmana wprowadził Henry Wallman w roku 1938; zob. [14].
Następny lemat stwierdza, że rodzina C(L) = {u∗ : u ∈ L}
jest zamknięta ze względu na skończone sumy i przekroje. Zatem jest podkratą kraty Cl(Ult(L)) wszystkich podzbiorów domkniętych przestrzeni Ult(L), jest ponadto kratą bazową przestrzeni Ult(L), tzn. każdy domknięty podzbiór przestrzeni Ult(L) jest przekrojem pewnej podrodziny rodziny C(L).
Lemat 6.3. Dla każdego u, w ∈ L prawdziwe są następujące równości (u ∨ w)∗ = u∗∪ w∗,
(u ∧ w)∗ = u∗∩ w∗.
W szczególności rodzina C(L) jest kratą bazową przestrzeni Wallmana Ult(L).
Dowód. Z warunków (2) oraz (5) lematu 6.1 wynika, że u ∨ w ∈ ξ ⇔ u ∈ ξ or w ∈ ξ,
gdzie na mocy warunków (2) i (3) tego samego lematu otrzymujemy u ∧ w ∈ ξ ⇔ u ∈ ξ and w ∈ ξ.
Warunek dyzjunktywności możemy rozważać w odniesieniu do podkrat kraty wszystkich podzbiorów domkniętych ustalonej przestrzeni topologicz-nej. W pozostałych przypadkach możemy rozważać własność separowalno-ści. Mówimy, że krata L separowalna, gdy dla każdego x, y ∈ L, jeśli x y, to istnieje takie z ∈ L \ {0}, że z 6 x oraz y ∧ z = 0.
Dla krat separowalnych otrzymujemy następujące
Twierdzenie 6.4. Jeśli L jest kratą separowalną, to L jest izomorficzne z C(L).
Dowód. Z lematu 6.3 wynika, że funkcja ϕ : L → C(L) dana wzorem ϕ(u) = u∗
jest homomorfizmem surjektywnym. Wystarczy więc pokazać, że ϕ jest różnowartościowe. Załóżmy, że u, w ∈ L oraz u w. Wtedy istnieje takie z ∈ L, że 0 < z 6 u oraz z ∧ w = 0. Zatem ∅ 6= z∗ ⊆ u∗ oraz z∗ ∩ w∗ = (z ∧ w)∗ = 0∗ = ∅. Stąd u∗ 6= w∗.
Następujące twierdzenie pochodzi od Wallmana [14].
Twierdzenie 6.5 (twierdzenie Wallmana). Jeśli L kratą dystrybutywną z elementami 0 i 1, to przestrzeń Wallmana Ult(L) jest zwartą T1 -prze-strzenią. Jeśli ponadto krata L jest normalna, to Ult(L) przestrzenią zwartą Hausdorffa.
Dowód. Ustalmy rodzinę scentrowaną F domkniętych podzbiorów przestrze-ni Ult(L). Skoro każdy element rodziny F jest przekrojem pewnej podro-dziny ropodro-dziny {u∗ : u ∈ L}, to możemy zakładać, że F ⊆ {u∗ : u ∈ L}.
Niech
F = {u ∈ L : u∗ ∈ F }.
Skoro F jest scentrowane, to na mocy lematu 6.3 rodzina F jest scentrowana w L. Niech ξ ∈ Ult(L) będzie takie, że F ⊆ ξ. Wtedy ξ ∈ u∗ dla każdego u ∈ F , zatem ξ ∈T F .
Jeśli ξ, η ∈ Ult(L) oraz ξ 6= η, to η * ξ oraz ξ * η. Wtedy istnieją u ∈ ξ \ η oraz w ∈ η \ ξ. Stąd ξ ∈ u∗\ w∗ oraz η ∈ w∗\ u∗, a zatem podzbiory jednoelementowe przestrzeni Ult(L) są domknięte. Z lematu 6.1(5) wynika, że istnieją takie x ∈ η oraz y ∈ ξ, że u ∧ x = 0 = w ∧ y. Zatem x ∧ w ∈ η, y ∧ u ∈ ξ oraz
(x ∧ w) ∧ (y ∧ u) = 0.
Stąd jeśli krata jest normalna, to istnieją takie a, b ∈ L, że a ∨ b = 1 oraz (x ∧ w) ∧ a = 0 = (y ∧ u) ∧ b.
Wtedy a∗∪ b∗ = Ult(L), a więc
U = Ult(L) \ a∗ and V = Ult(L) \ b∗
są podzbiorami otwartymi i rozłącznymi przestrzeni Ult(L). Skoro x∧w ∈ η oraz (x ∧ w) ∧ a = 0, to a /∈ η. Stąd η /∈ a∗, a zatem η ∈ U . Podobnie pokazujemy, że ξ ∈ V .
Przykład 6.6. Niech L będzie kratą o pięciu elementach 0, a, b, c, 1, gdzie 0 < a, b < c < 1 są jej jedynymi nierównościami:
a c
b 1
0
Ult(L), jako skończona T1-przestrzeń, jest przestrzenią Hausdorffa. Mimo to krata L nie jest normalna, nie jest też separowalna.
Zauważmy, że jeśli K jest kratą separowalną, której przestrzeń Wall-mana jest przestrzenią Hausdorffa, to K jest kratą normalną, ponieważ jest izomorficzna z bazą C(K) przestrzeni zwartej Hausdorffa.
Jeśli L jest algebrą Boole’a, to topologia Wallmana pokrywa się z to-pologią Stone’a na zbiorze Ult(L). Istotnie, w przypadku algebr Boole’a otrzymujemy
Ult(L) \ u∗ = (−u)∗
dla każdego u ∈ L, ponieważ, na mocy lematu 6.1, mamy u∗∪ (−u)∗= (u ∨ −u)∗ = 1∗ = Ult(L) oraz
u∗∩ (−u)∗= (u ∧ −u)∗ = 0∗ = ∅.
Twierdzenie 6.4 mówi, że każda krata separowalna jest izomorficzna z kratą bazową pewnej przestrzeni Wallmana. Ten fakt razem z poprzednim twierdzeniem oznacza, że każda krata normalna i separowalna jest izomor-ficzna z kratą bazową przestrzeni zwartej Hausdorffa.
Z lematu 5.22, twierdzenia 6.4 oraz twierdzenia 6.5 wynika, że każda krata separowalna jest izomorficzna z dyzjunktywną bazą pewnej zwartej T1-przestrzeni. Mimo to istnieją separowalne kraty bazowe, które nie są dyzjunktywne.
Przykład 6.7. Niech L będzie podkratą kraty P(ω) generowaną przez ro-dzinę
{{n} : 1 6 n < ω} ∪ {{0} ∪ {k : k > n} : n < ω} ∪ {{2n + 1 : n < ω}}.
Zauważmy, że jeśli F ∈ L, to 0 ∈ F wtedy i tylko wtedy, gdy X \ F jest skończone. Ustalmy takie F, G ∈ L, że F * G i przypuśćmy, że
(F \ G) ∩ (X \ {0}) = ∅.
Wtedy F \ G = {0}, 0 ∈ F , zatem X \ F oraz X \ G są skończone, a stąd 0 ∈ G, sprzeczność. Zatem istnieje n ∈ (F \ G) \ {0}. Wtedy {n} ∈ L, co pokazuje, że krata L jest separowalna. Krata L nie jest dyzjunktywna jako krata bazowa topologii generowanej przez rodzinę {ω \ F : F ∈ L}. Istotnie, nie istnieje takie F ∈ L, że 0 ∈ F oraz F ∩ {2n + 1 : n < ω} = ∅.
Przypomnijmy, że funkcję ciągłą f : X → Y nazywamy zanurzeniem, gdy jest homeomorfizmem przestrzeni X na obraz f [X]. Ponadto otrzymu-jemy następujące twierdzenie; zob. [1].
Twierdzenie 6.8. Niech L ⊆ Cl(X) będzie kratą bazową dyzjunktywną i normalną T1-przestrzeni X. Wtedy funkcja ι : X → P(L) dana wzorem
ι(x) = {F ∈ L : x ∈ F }
jest zanurzeniem przestrzeni X w Ult(L) oraz ι[X] jest podzbiorem gęstym przestrzeni Ult(L).
Dowód. Na mocy lematu 6.2 ι(x) jest ultrafiltrem dla każdego x ∈ X. Istot-nie, jeśli G ∈ L oraz G /∈ ι(x), to, wobec dyzjunktywności kraty L, istnieje takie F ∈ ι(x), że F ∩ G = ∅.
Załóżmy, że x, y ∈ X oraz x 6= y. Skoro X jest T1-przestrzenią, to istnieje takie G ∈ L, że x ∈ G oraz y /∈ G. Z dyzjunktywności kraty L wynika, że istnieje takie F ∈ L, że y ∈ F oraz F ∩ G = ∅. Stąd ι(x) 6= ι(y), a zatem ι jest różnowartościowe.
Aby udowodnić, że ι[X] jest podzbiorem gęstym, przypuśćmy, że ι[X] ∩ (Ult(L) \ F∗) = ∅
dla pewnego F ∈ L. Wtedy ι[X] ⊆ F∗, co oznacza, że ι(x) ∈ F∗ dla każdego x ∈ X. Stąd F ∈ ι(x) dla każdego x ∈ X, a więc F = X. Tym samym Ult(L) \ F∗= ∅.
W celu uzasadnienia, że ι jest homeomorfizmem przestrzeni X na ι[X]
wystarczy pokazać, że
ι[F ] = F∗∩ ι[X]
dla każdego F ∈ L. To jednak wynika z następujących równoważności:
x ∈ F ⇔ F ∈ ι(x) ⇔ ι(x) ∈ F∗.
Jeśli X jest przestrzenią zwartą Hausdorffa, to na mocy lematu 5.22 oraz lematu 5.18 każda krata bazowa L ⊆ Cl(X) jest kratą dyzjunktywną i normalną. Zatem z twierdzenia 6.8 otrzymujemy natychmiast
Twierdzenie 6.9. Jeśli X przestrzenią zwartą Hausdorffa, a L ⊆ Cl(X) jest kratą bazową, to Ult(L) jest homeomorficzne X.
Uwaga 6.10. Homeomorfizm przestrzeni X oraz Ult(L) można otrzymać inaczej: dla każdego ultrafiltru ξ ∈ Ult(L) istnieje dokładnie jeden taki punkt x(ξ) ∈ X, że
ξ = {F ∈ L : x(ξ) ∈ F }.
Funkcja f : Ult(L) → X dana wzorem f (ξ) = x(ξ)
jest homeomorfizmem, a jej odwrotnością jest ι zdefiniowane w twierdze-niu 6.8.
Ostatnie twierdzenie mówi, że każdą przestrzeń zwartą Hausdorffa można opisać kratami podzbiorów domkniętych na wiele różnych sposobów w tym sensie, że ta sama przestrzeń topologiczna może być przestrzenią Wallmana krat nieizomorficznych. Wystarczy dla przestrzeni zwartej Hausdorffa roz-ważyć dwie bazy B1, B2 różniące się mocą, a więc nieizomorficzne. Mo-żemy zakładać, że bazy B1 oraz B2 są zamknięte na skończone sumy oraz przekroje. Wtedy L1 = {X \ U : U ∈ B1} oraz L2 = {X \ U : U ∈ B2} są nieizomorficznymi kratami bazowymi o homeomorficznych przestrzeniach Wallmana. W teorii algebr Boole’a sytuacja jest zupełnie inna: każda prze-strzeń zwarta zerowymiarowa jest przestrzenią Stone’a algebry wszystkich podzbiorów domknięto-otwartych tej przestrzeni. Reprezentacja ta jest je-dyna. Istotnie, jeśli B1 oraz B2 są podkratami kraty wszystkich podzbiorów domknięto-otwartych oraz są bazami tej samej przestrzeni zwartej zerowy-miarowej, to B1 = B2. Łatwo zauważyć, że kraty bazowych podzbiorów domkniętych nie mają tej własności.