Łańcuchy w przestrzeniach topologicznych i kratach

Uniwersytet Śląski w Katowicach

Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

ŁAŃCUCHY W PRZESTRZENIACH TOPOLOGICZNYCH I KRATACH

Wojciech Bielas

Praca doktorska napisana pod kierunkiem

prof. dr. hab. Aleksandra Błaszczyka

Katowice 2014

Spis treści

I Przestrzenie metryczne 6

1 Amalgamacja przestrzeni metrycznych 12

2 Rozszerzenie izometryczne 19

3 Charakter dyskretny punktu 22

4 Operacja dołączania podprzestrzeni dziedzicznie bez punk-

tów środkowych 25

5 Łańcuchowe własności operacji F , S i A 26

II Kraty 37

6 Przestrzenie Wallmana 41

7 Reprezentacje homomorfizmów 47

8 Zastosowania 53

Literatura 59

Wstęp

Celem niniejszej rozprawy jest przedstawienie konstrukcji sztywnej i κ-super- uniwersalnej przestrzeni metrycznej oraz zbadanie podstawowych własności funktora Wallmana wraz z ich zastosowaniami.

Pierwsze konstrukcje przestrzeni metrycznych uniwersalnych spotykamy już u Fr´ echeta, zobacz Hechler [8]. Przez uniwersalność przestrzeni metrycz- nej dla danej klasy C rozumiemy to, że przestrzeń ta zawiera izometryczne kopie wszystkich elementów klasy C. Następne przykłady takich przestrzeni podali m.in. P. Urysohn [13], W. Sierpiński [12], S. Banach i S. Mazur [3].

Przykład Urysohna ma dodatkową własność ω-jednorodności, w odróżnie- niu od przykładu Banacha i Mazura. ω-jednorodność danej przestrzeni X w połączeniu z uniwersalnością dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych pozwala uzyskać ω-superuniwersalność, tzn. każde zanurze- nie izometryczne podzbioru skończonego przestrzeni metrycznej przeliczal- nej Y w przestrzeń X można przedłużyć do zanurzenia całej przestrzeni Y . Wspomniane wyżej pojęcia można uogólnić na nieskończone liczby kardy- nalne. Charakteryzacja i istnienie odpowiednich dla tych pojęć przestrzeni metrycznych zostały zbadane w pracach Stephena H. Hechlera [8] oraz Mi- roslava Katˇ etova [9]. Każda κ-superuniwersalna przestrzeń mocy κ jest także κ-jednorodna. Motywacją dla pierwszej części pracy było przypuszcze- nie Wiesława Kubisia dotyczące istnienia przestrzeni κ-superuniwersalnych, które nie są κ-jednorodne. Przypuszczenie to udało się potwierdzić w znacz- nie mocniejszej wersji: podaję konstrukcję przestrzeni κ-superuniwersalnej, która ma dokładnie jedną izometrię.

W drugiej części pracy omówiona jest konstrukcja przestrzeni Wallmana kraty. Konstrukcja ta prowadzi do funktora W z kategorii wszystkich krat normalnych w kategorię przestrzeni zwartych Hausdorffa. Jakkolwiek nie- które wyniki tej części są znane, to uzupełniam je przykładami obrazującymi różnice pomiędzy funktorem Wallmana, a jego zacieśnieniem do kategorii krat Boole’a.

W rozdziale pierwszym wprowadzone jest pojęcie grafu rodziny prze-

strzeni metrycznych. Pokazuję, że jeśli wszystkie cykle indukowane takiego

grafu spełniają odpowiedni warunek, to dana rodzina przestrzeni metrycz-

nych ma amalgamację (twierdzenie 1.5). Metoda amalgamacji przedsta-

wiona w tym rozdziale zostanie wykorzystana do konstrukcji trzech różnych

rozszerzeń przestrzeni metrycznej.

Rozdział drugi składa się z opisu własności rozszerzenia izometrycznego, które jest głównym narzędziem w uzyskiwaniu κ-superuniwersalności.

W rozdziale trzecim definiuję charakter dyskretny — geometryczną wła- sność punktów przestrzeni metrycznej będącą jednocześnie niezmiennikiem izometrii. Własność ta posłuży później do udowodnienia sztywności konstru- owanego przykładu. Wprowadzam również punkty środkowe, słabe punkty środkowe oraz dowodzę pewnej własności redukcji tych ostatnich w rozsze- rzeniu izometrycznym (lemat 3.3).

W rozdziale czwartym opisana jest metoda kontrolowania charakteru dyskretnego punktów poprzez dołączanie podprzestrzeni dyskretnych oraz punktów środkowych. Odpowiadają temu dwie konstrukcje rozszerzeń prze- strzeni metrycznej otrzymane przy pomocy amalgamacji opisanej w roz- dziale pierwszym.

W rozdziale piątym podaję konstrukcję przykładu sztywnej przestrzeni κ-uniwersalnej, przedtem dowodzę wielu twierdzeń i lematów opisujących łańcuchowe własności rozszerzeń zdefiniowanych w poprzednich rozdziałach.

W rozdziale szóstym przypominam konstrukcję przestrzeni Wallmana kraty. Sygnalizuję też różnice pomiędzy opisem przestrzeni zwartej Haus- dorffa przy pomocy kraty zbiorów domkniętych, a algebrą zbiorów domknięto- otwartych.

Rozdział siódmy poświęcony jest reprezentacjom homomorfizmów krat.

Dowodzę, że każdemu homomorfizmowi odpowiada funkcja ciągła w spo- sób funktorialny i podobny do przypadku algebr Boole’a i ich przestrzeni Stone’a. Dla pełności przytaczamy dowód funktorialności przestrzeni Wal- lmana, zobacz W. Kubiś [11]. Analogia nie jest jednak pełna, co pokazuję przy pomocy odpowiednich przykładów.

Rozdział ósmy zawiera zastosowania funktora Wallmana. Rozdział ten

rozpoczyna się konstrukcją uzwarcenia ˇ Cecha–Stona’a βX przestrzeni cał-

kowicie regularnej X przy pomocy kraty zero-zbiorów, zobacz również Gill-

man [7], a dokładniej pokazane jest w jaki sposób przedłużenie funkcji ciągłej

f : X → Z na βX można otrzymać wykorzystując funktorialną reprezenta-

cję homomorfizmu wyznaczonego przez funkcję f (twierdzenie 8.1). Następ-

nie przytaczam dowód twierdzenia Frinka, charakteryzującego przestrzenie

całkowicie regularne, w wersji dla rodziny dyzjunktywnej i normalnej, będą-

cej ponadto kratą. Przechodząc do twierdzenia Gelfanda–Kołmogorowa po-

kazuję, że poszukiwany homeomorfizm przestrzeni zwartych Hausdorffa, któ-

rych pierścienie funkcji ciągłych są izomorficzne, można otrzymać jako funk-

torialną reprezentację izomorfizmu krat zero-zbiorów indukowanego przez

izomorfizm pierścieni (twierdzenie 8.6). Rozdział ten kończy wprowadzenie

funktora (·)

z kategorii przestrzeni zwartych Hausdorffa w kategorię prze-

strzeni zwartych zerowymiarowych. Wiadomo, że każda przestrzeń zwarta Hausdorffa jest ciągłym obrazem przestrzeni zwartej zerowymiarowej. Po- kazuję (wniosek 8.10), że dla każdej przestrzeni zwartej Hausdorffa surjekcję p

: X

→ X można wybrać w taki sposób, że (p

)

: (·)

→ 1

jest transformacją naturalną funktora (·)

oraz funktora identycznościowego kategorii CHaus wszystkich przestrzeni zwartych Hausdorffa.

Dziękuję swojemu promotorowi Profesorowi Aleksandrowi Błaszczykowi

oraz uczestnikom Seminarium z topologii i teorii mnogości Instytutu Mate-

matyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach za możliwość przedstawienia

wyników tej rozprawy, a także za wszystkie komentarze i uwagi, które oka-

zały się dla mnie dużą pomocą. Dziękuję również dr. hab. Wiesławowi

Kubisiowi za cenne rozmowy i sugestie.

Cz eść I

Przestrzenie metryczne

W tej części pracy interesować nas będą związki uniwersalności przestrzeni metrycznych z ich jednorodnością. Posłużymy się następującą definicją uniwersalności: powiemy, że przestrzeń metryczna X jest uniwersalna dla klasy C przestrzeni metrycznych, gdy każda przestrzeń Y ∈ C ma zanu- rzenie izometryczne w X. Stosunkowo łatwo można otrzymać przestrzeń metryczną uniwersalną dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrod- kowych. Aby uzasadnić ten fakt, udowodnimy lemat o przedłużaniu za- nurzeń izometrycznych. Uzupełnienie przestrzeni metrycznej X będziemy oznaczać symbolem X.

Lemat. Załóżmy, że X oraz Y są przestrzeniami metrycznymi. Niech D będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X. Jeśli f : D → Y jest zanurzeniem izometrycznym, to istnieje dokładnie jedno takie zanurzenie izometryczne f : X → Y , że f  D = f .

Dowód. Ustalmy przestrzenie metryczne (X, d) oraz (Y, σ). Niech σ ozna- cza metrykę uzupełnienia Y . Ustalmy punkt x ∈ X oraz ciąg (x

)

∈

D zbieżny do punktu x. Ciąg (x

)

spełnia warunek Cauchy’ego, a ponie- waż funkcja f jest zanurzeniem izometrycznym, więc (f (x

))

jest ciągiem w przestrzeni zupełnej Y spełniającym warunek Cauchy’ego, a więc jest to ciąg zbieżny. Jeśli (y

)

∈

D również jest ciągiem zbieżnym do punktu x ∈ X, to lim

d(x

, y

) = 0, zatem

n→∞

lim σ(f (x

), f (y

)) = 0.

To pokazuje, że niezależnie od wyboru ciągu (x

)

∈

X zbieżnego do punktu x ∈ X ciąg (f (x

))

jest zbieżny zawsze do tego samego punktu, który oznaczę symbolem f (x). W ten sposób określona jest funkcja f : X → Y . Funkcja f jest zanurzeniem izometrycznym, ponieważ jeśli x, y ∈ X, (x

)

, (y

)

∈

D, x = lim

x

oraz y = lim

y

, to

σ(f (x), f (y)) = σ( lim

n→∞

f (x

), lim

n→∞

f (y

)) = lim

n→∞

σ(f (x

), f (y

)) =

n→∞

lim d(x

, y

) = d( lim

n→∞

x

, lim

n→∞

y

) = d(x, y).

Jeśli x ∈ D, to ciąg stały o wyrazie x jest ciągiem elementów podzbioru

D zbieżnym do punktu x, zatem f (x) = f (x). 

Korzystając z powyższego lematu możemy udowodnić zapowiedziany fakt o istnieniu przestrzeni metrycznej uniwersalnej dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych.

Twierdzenie (Fr´ echet, 1910). Istnieje przestrzeń metryczna mocy c uni- wersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych.

Dowód. Zauważmy, że zbiór ω można wyposażyć w metrykę na co najwyżej c sposobów. Istotnie, każda taka metryka jest funkcją z ω × ω w R, a takich funkcji jest |

R| = c

= c. Zatem istnieje taka rodzina metryk {d

: α <

c}, że dla każdego α < c metryka d

jest określona na zbiorze ω × {α} oraz jeśli Y jest przestrzenią metryczną przeliczalną i nieskończoną, to istnieje takie α < c, że przestrzeń Y jest izometryczna z ω × {α}. Utożsamiając ze sobą wszystkie punkty podzbioru {0} × c ⊆ ω × c otrzymujemy metrykę d określoną na zbiorze X = ((ω\{0})×c)∪{0}, gdzie dla m, n > 0 przyjmujemy

d((n, α), (m, β)) =

 d

((n, α), (m, α)), gdy α = β, d

((n, α), (0, α)) + d

((m, β), (0, β)), gdy α 6= β oraz d(0, (n, α)) = d

((0, α), (n, α)) dla n > 0. Zauważmy, że funkcja d jest określona podobnie do metryki jeża z c kolcami ; zobacz Engelking [4], str.

292. Dla każdego α < c funkcja f

: ω × {α} → X, dana wzorem f

(n, α) =

 (n, α), gdy n > 0, 0, gdy n = 0, jest zanurzeniem izometrycznym.

Ustalmy nieskończoną przestrzeń metryczną ośrodkową Y . Niech D bę-

dzie podzbiorem gęstym i przeliczalnym przestrzeni Y . Istnieje α < c oraz

izometria f : D → ω × {α}. Zatem złożenie f

◦ f jest zanurzeniem izo-

metrycznym podzbioru D w X. Z poprzedniego lematu wynika, że funkcja

f : Y → X również jest zanurzeniem izometrycznym. 

Przestrzeń opisana w dowodzie powyższego twierdzenia nie jest ośrod-

kowa. Istotnie, {1} × c jest podzbiorem dyskretnym przestrzeni X. Ośrod-

kowym przykładem przestrzeni uniwersalnej dla rozważanej klasy jest prze-

strzeń C([0, 1]) wszystkich funkcji ciągłych o wartościach w R i określonych

na przedziale [0, 1]; dowód tego faktu podali Banach i Mazur [3]. Inny przy-

kład ośrodkowej przestrzeni metrycznej uniwersalnej dla klasy wszystkich

przestrzeni metrycznych ośrodkowych podał Urysohn [13]. Przykład Ury-

sohna jest przestrzenią polską U, mającą ponadto własność ω-jednorodności,

tzn. każda izometria pomiędzy skończonymi podzbiorami U ma przedłuże- nie do izometrii całej przestrzeni. Sierpiński [12] zauważył, że własność ω-jednorodności odróżnia przykład Urysohna od przestrzeni C([0, 1]): jeśli f ∈ C([0, 1]) jest funkcją stale równą 1, a g ∈ C([0, 1]) jest funkcją stale równą 0, to zbiór

Z

= {h ∈ C([0, 1]) : d(f, h) = d(g, h) =

},

gdzie d(f, h) = sup{|f (x) − h(x)| : x ∈ [0, 1]}, ma dokładnie jeden element, funkcję stale równą

. Z drugiej strony, zbiór

Z

= {h ∈ C([0, 1]) : d(f, h) = d(id

, h) =

},

gdzie id

: [0, 1] → R jest identycznością, ma nieskończenie wiele elemen- tów. Podzbiory {f, g} oraz {f, id

} są izometryczne, gdyby więc istniała taka izometria ϕ przestrzeni C([0, 1]), że ϕ(f ) = f oraz ϕ(g) = id

, to wówczas ϕ[Z

] = Z

, co nie jest możliwe. Zatem przestrzeń C([0, 1]) nie jest ω-jednorodna.

Definicja. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest skończenie injektywna, gdy dla każdej przestrzeni metrycznej skończonej Y oraz zanurzenia izome- trycznego f

: Y

→ X, gdzie Y

⊆ Y , istnieje takie zanurzenie f : Y → X, że f  Y

= f

.

Urysohn pokazał, że, w przypadku przestrzeni polskich, uniwersalność oraz ω-jednorodność są równoważne skończonej injektywności.

Twierdzenie (Urysohn, [13]). Jeśli X jest przestrzenią polską, to następu- jące warunki są równoważne:

(i) przestrzeń X jest ω-jednorodna oraz uniwersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych,

(ii) przestrzeń X jest skończenie injektywna.

Dowód. Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią polską spełniającą warunek (i). Ustalmy przestrzeń metryczną skończoną Y , podzbiór Y

⊆ Y oraz zanurzenie izometryczne f

: Y

→ X.

Rozpatrzmy przypadek, gdy Y = Y

∪ {y} dla pewnego y ∈ Y . Skoro przestrzeń X jest uniwersalna dla klasy wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych, to istnieje podzbiór Z ⊆ X oraz izometria g : Y → Z. Funkcja g  Y

jest izometrią przestrzeni Y

na zbiór g[Y

], a więc funkcja

f

◦ (g  Y

)

: g[Y

] → f

[Y

]

jest izometrią skończonych podzbiorów przestrzeni X. Z ω-jednorodności przestrzeni X wynika, że istnieje taka izometria f : X → X, że

f  g[Y

] = f

◦ (g  Y

)

.

Zatem funkcja f ◦ g : Y → X jest zanurzeniem izometrycznym. Ustalmy t ∈ Y

. Wtedy g(t) ∈ g[Y

], a stąd

f (g(t)) = (f

◦ (g  Y

)

)(g(t)) = f

(t).

Tym samym zanurzenie izometryczne f ◦ g jest przedłużeniem zanurzenia f

.

Rozpatrzmy przypadek, gdy Y = Y

∪ {y

, . . . , y

} dla pewnego n < ω oraz y

, . . . , y

∈ Y . Załóżmy, że dane jest zanurzenie f

: Y

∪{y

: j < i} → X będące przedłużeniem zanurzenia f

dla pewnego i < n. Z rozumowania w poprzednim przypadku wynika, że istnieje zanurzenie

f

: Y

∪ {y

: j < i + 1} → X

będące przedłużeniem zanurzenia f

. Z założenia indukcyjnego wynika, że funkcja f

jest przedłużeniem zanurzenia f

. Kontynuując indukcyjną konstrukcję otrzymujemy zanurzenie f

: Y → X będące przedłużeniem zanurzenia f

.

Dla dowodu przeciwnej implikacji załóżmy, że przestrzeń X jest skoń- czenie injektywna. Ustalmy podzbiory skończone A, B ⊆ X oraz izometrię f

: A → B. Ze skończonej injektywności przestrzeni X wynika, że prze- strzeń X nie zawiera punktów izolowanych. Zatem istnieje podzbiór gęsty {x

: n < ω} ⊆ X rozłączny z A oraz B. Załóżmy, że indukcyjnie skonstru- owaliśmy zbiór {y

: k < n} ⊆ X oraz takie zanurzenie izometryczne

f

: A ∪ {x

: k < n} ∪ {y

: k < n} → X,

że f

 (A ∪ {x

: i < k} ∪ {y

: i < k}) = f

oraz f

(y

) = x

dla każdego k < n. Korzystając ze skończonej injektywności dla zanurzenia f

oraz punktu x

otrzymujemy zanurzenie

g : A ∪ {x

: k < n + 1} ∪ {y

: k < n} → X

będące przedłużeniem zanurzenia f

. Jeśli istnieje takie x ∈ dom g, że

g(x) = x

, to przyjmujemy f

= g oraz y

= x. W przeciwnym razie

x

∈ rng g i korzystając ze skończonej injektywności dla zanurzenia g /

:

rng g → X oraz punktu x

otrzymujemy zanurzenie h : rng g ∪ {x

} → X będące przedłużeniem zanurzenia g. Przyjmujemy y

= h(x

) oraz

f

= h

: A ∪ {x

: k < n + 1} ∪ {y

: k < n + 1} → X.

Jeśli y ∈ A ∪ {x

: k < n} ∪ {y

: k < n}, to

f

(y) = h

(y) = g(y) = f

(y),

zatem f

jest przedłużeniem zanurzenia f

. W ten sposób indukcyjnie skonstruowane zostały podzbiory {x

: n < ω}, {y

: n < ω} oraz ciąg zanurzeń {f

: n < ω} spełniający dla każdego n < ω warunki:

(a) dom f

= A ∪ {x

: k < n} ∪ {y

: k < n}, (b) B ∪ {x

: k < n} ⊆ rng f

,

(c) f

jest przedłużeniem f

dla każdego k < n.

Niech f : A ∪ {x

: n < ω} ∪ {y

: n < ω} → X będzie dane wzorem f (x) =

 f

(x), gdy x ∈ {x

, y

} dla pewnego n < ω, f

(x), gdy x ∈ A.

Z warunku (c) wynika, że funkcja f jest poprawnie określona. Ustalmy x, y ∈ dom f . Wtedy istnieje takie n < ω, że x, y ∈ dom f

. Zatem

d(f (x), f (y)) = d(f

(x), f

(y)) = d(x, y),

ponieważ funkcja f

jest zanurzeniem. Skoro zbiór dom f jest gęsty w X, to z lematu o przedłużaniu zanurzenia wynika, że istnieje takie zanurzenie f : X → X, że f  dom f = f . Przestrzeń X jest zupełna, możemy więc przyjąć, że X = X. Dla każdego n < ω mamy inkluzję {x

: k < n} ⊆ rng f

⊆ rng f ⊆ rng f , zatem rng f jest podzbiorem gęstym w X, a jako izometryczny obraz przestrzeni zupełnej jest także podprzestrzenią zupełną.

Stąd rng f = X, co kończy dowód ω-jednorodności przestrzeni X.

Ustalmy przestrzeń metryczną ośrodkową (Y, σ). Niech {z

: n < ω}

będzie podzbiorem przeliczalnym i gęstym przestrzeni Y . Punkt t

∈ X wybieramy dowolnie i zakładamy, że skonstruowaliśmy podzbiór {t

: k <

n} oraz rosnący ciąg zanurzeń f

, . . . , f

spełniający dla każdego k < n warunki:

(d) dom f

= {z

: i < k},

(e) f

(z

) = t

dla każdego i < k.

Ze skończonej injektywności przestrzeni X wynika, że istnieje takie zanurze- nie f

: {z

: k < n} → X oraz punkt t

∈ X, że f

 {z

: k < n − 1} = f

oraz f

(z

) = t

. Definiujemy analogicznie zanurzenie f : {z

: n < ω} → X i na mocy lematu o przedłużaniu zanurzenia otrzymujemy zanurzenie f : Y → X, co kończy dowód uniwersalności przestrzeni X dla klasy wszyst-

kich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. 

Przedstawione powyżej pojęcia mają naturalne uogólnienia dla liczb kar- dynalnych nieskończonych.

Definicja (Hechler [8]). Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest κ-super- uniwersalna, gdy dla każdej przestrzeni metrycznej Y mocy mniejszej niż κ, każde zanurzenie izometryczne f

: Y

→ X, gdzie Y

⊆ Y , ma przedłużenie do zanurzenia izometrycznego f : Y → X.

Zatem własność ω-superuniwersalności jest własnością skończonej injek- tywności. Jeden z pierwszych przykładów przestrzeni κ-superuniwersalnych dla κ > ω został podany przez Hechlera.

Twierdzenie (Hechler, 1973, [8]). Dla każdej liczby kardynalnej regularnej κ > ω istnieje przestrzeń κ-superuniwersalna mocy P

λ<κ

2

.

Twierdzenie (Hechler, 1973, [8]). Załóżmy, że κ > ω jest liczbą kardynalną regularną lub P

µ<κ

2

= 2

dla pewnego λ < κ. Wtedy:

(i) każda przestrzeń κ-superuniwersalna jest mocy co najmniej P

µ<κ

2

, (ii) istnieje przestrzeń κ-superuniwersalna mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba kardynalna µ, że κ = µ

= 2

lub κ jest słabo nieosiągalne oraz 2

6 κ dla każdego µ < κ,

(iii) wszystkie przestrzenie κ-superuniwersalne mocy κ są izometryczne.

Używając argumentu „back-and-forth” można pokazać, że każda prze- strzeń κ-superuniwersalna mocy κ jest także κ-jednorodna w sensie nastę- pującej definicji.

Definicja. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest κ-jednorodna, gdy

każda izometria zbioru A na B, gdzie A, B ⊆ X są mocy mniejszej niż

κ, ma przedłużenie do izometrii całej przestrzeni X.

Katˇ etov [9] udowodnił, że jeśli κ

= κ > ω, to z dokładnością do izome- trii istnieje dokładnie jedna przestrzeń metryczna κ-jednorodna, wagi κ, uni- wersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych wagi κ. Każda taka przestrzeń jest κ-superuniwersalna, gdyż wystarczy zastosować konstrukcję analogiczną do konstrukcji użytej w dowodzie twierdzenia Urysohna.

Wiesław Kubiś, w rozmowie z autorem pracy, zasugerował istnienie prze- strzeni κ-superuniwersalnych, które nie są κ-jednorodne. Pokażę, że istnieją przestrzenie κ-superuniwersalne sztywne, tzn. takie, że ich jedynymi izome- triami są przekształcenia tożsamościowe.

1 Amalgamacja przestrzeni metrycznych

Tę część pracy rozpoczniemy od przypomnienia pojęcia pseudometryki. Mó- wimy, że funkcja ρ : X × X → R jest pseudometryką na zbiorze X, gdy dla każdego x, y, z ∈ X zachodzą warunki:

(i) ρ(x, x) = 0, (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x),

(iii) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z).

Poniższy lemat jest jak się zdaje dobrze znany więc pozostawię go bez dowodu.

Lemat 1.1. Jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X, to (i) relacja ∼ dana wzorem

x ∼ y ⇔ ρ(x, y) = 0 jest równoważnością w zbiorze X,

(ii) funkcja d : (X/ρ) × (X/ρ) → R dana wzorem

d([x], [y]) = ρ(x, y) dla x, y ∈ X

jest metryką w zbiorze X/ρ = {[x] : x ∈ X}, gdzie [x] jest klasą abstrakcji elementu x względem relacji ∼.

Definicja 1.2. Amalgamacją pary f : X → Y oraz g : X → Z zanurzeń

przestrzeni metrycznych nazywamy każdą przestrzeń metryczną T wraz z za-

nurzeniami f

: Z → T oraz g

: Y → T spełniającymi warunek f

◦f = g

◦g,

tzn. przemienny jest diagram

X Y

Z T

g⁰ f⁰

g f

Ustalmy liczbę kardynalną κ > ω. Załóżmy, że dla każdego α < κ funkcja f

: {0} → [0, 1] × {α} jest dana wzorem f

(0) = (0, α). Niech J (κ) = [0, 1] × κ/ ∼ będzie jeżem z κ kolcami, gdzie

(x, α) ∼ (y, β) ⇔ (x = y oraz α = β) lub x = y = 0.

Wtedy przestrzeń J (κ) możemy uważać za pewnego rodzaju amalgamację rodziny odcinków {[0, 1] × {α} : α < κ}: dla każdego α < β < κ przemienny jest diagram

{0}

[0, 1] × {α}

[0, 1] × {β}

J (κ)

fα gβ

gα

f_β

gdzie g

: [0, 1] × {α} → J (κ) jest dane wzorem g

(x, α) = [(x, α)]

oraz [(x, α)]

oznacza klasę abstrakcji punktu (x, α) względem relacji ∼.

Innym przykładem pary zanurzeń przestrzeni metrycznych, która ma amalgamację, jest taka para przestrzeni metrycznych (X, d) oraz (Y, σ), że d  X ∩Y = σ  X ∩Y oraz X ∩Y 6= ∅, gdzie symbol d  A oznacza zacieśnienie metryki d do podzbioru A ⊆ X. Wtedy przedłużenie ρ : (X ∪Y )×(X ∪Y ) → R metryk d i σ, dane wzorem

(1) ρ(x, y) = inf{d(x, z) + σ(z, y) : z ∈ X ∩ Y }

dla każdego (x, y) ∈ X × Y , jest pseudometryką na zbiorze X ∪ Y . Z le- matu 1.1 otrzymujemy przestrzeń metryczną (X ∪ Y )/ρ. W tej sytuacji przemienny jest diagram

X ∩ Y X

Y (X ∪ Y )/ρ

gX

gY

gdzie funkcje g

: X → (X ∪Y )/ρ oraz g

: Y → (X ∪Y )/ρ dane są wzorami g

(x) = [x] oraz g

(x) = [x]. Zauważmy, że warunek d  X ∩ Y = σ  X ∩ Y jest konieczny dla istnienia pseudometryki na zbiorze X ∪ Y przedłużającej metryki d oraz σ. Istotnie, jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X ∪ Y przedłużającą metryki d oraz σ, to

d(x, y) = ρ(x, y) = σ(x, y)

dla każdego x, y ∈ X ∩ Y . Funkcja ρ na ogół nie jest metryką, gdyż podzbiór X ∩ Y może zawierać ciąg zbieżny zarówno w przestrzeni X jak i Y . Przykład 1.3. Niech

X = {

: n > 1} ∪ {0} oraz Y = {

: n > 1} ∪ {−1}.

Definiujemy funkcję d : X × X → R wzorem d(x, y) = |x − y| oraz funkcję σ : Y × Y → R wzorem

σ(x, y) =







|x − y|, gdy x, y > 0,

x, gdy y = −1 oraz x > 0, 0, gdy x = y = −1.

Funkcje d oraz σ są metrykami oraz d  X ∩ Y = σ  X ∩ Y . Niech ρ będzie pseudometryką zdefiniowaną wzorem (1). Wtedy

ρ(0, −1) 6 d(0,

) + σ(

, −1) =

+

=

dla każdego n > 1. Zatem ρ(0, −1) = 0. Punkty 0 oraz −1 są różne, a więc ρ nie jest metryką.

Określmy metryki d

, d

, d

odpowiednio na zbiorach {0, 1}, {0, 2}

oraz {1, 2} wzorami d

(0, 1) = d

(0, 2) = 1 oraz d

(1, 2) = 3. Nie istnieje taka pseudometryka d na zbiorze {0, 1, 2}, że ({i, j}, d

) jest podprzestrzenią przestrzeni ({0, 1, 2}, d) dla każdego 0 6 i < j 6 2: w przeciwnym razie otrzymalibyśmy nierówność

3 = d

(1, 2) = d(1, 2) 6 d(0, 1) + d(0, 2) = d

(0, 1) + d

(0, 2) = 2;

sprzeczność. Możemy uważać, że punkty 0, 1, 2 są wierzchołkami pewnego

grafu, będącego jednocześnie cyklem indukowanym i nie zawierającego się

w żadnej z przestrzeni {i, j}. Opisana powyżej sytuacja uzasadnia wprowa-

dzenie pojęcia grafu G rodziny przestrzeni metrycznych R oraz znalezienie

warunków wystarczających dla grafu G tak aby istniała amalgamacja ro-

dziny R.

Załóżmy, że {(X

, d

) : s ∈ S} jest rodziną przestrzeni metrycznych.

Niech G będzie grafem o zbiorze wierzchołków S

s∈S

X

w którym para xy jest krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie s ∈ S, że x, y ∈ X

. Ciąg z

z

, z

z

, . . . , z

z

nazywamy ścieżką z x do y, gdy z

= x, z

= y oraz z

z

jest krawędzią w G dla każdego i < n. Graf nazywamy spójnym, gdy dla dowolnych wierzchołków x oraz y tego grafu istnieje ścieżka z x do y. Ścieżkę z

z

, z

z

, . . . , z

z

będziemy oznaczać krótko przez z

. . . z

. Jeśli z

z

również jest krawędzią w grafie G, to mówimy, że z

. . . z

z

jest cyklem w G. Jeśli cykl jest podgrafem grafu G, to mówimy, że jest cyklem indukowanym w G. Jeśli z

. . . z

jest ścieżką, a s

, . . . , s

∈ S są takie, że z

z

∈ X

dla i < n, to liczbę

w(z

. . . z

) =

n−1

X

i=0

d

(z

, z

)

będziemy nazywać wagą ścieżki z

. . . z

. Zauważmy, że jeśli d

 (X

∩ X

) = d

(X

∩ X

) dla każdego s, t ∈ S, to definicja wagi ścieżki nie zależy od wyboru indeksów s

, . . . , s

.

Definicja 1.4. Jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X, to definiujemy pomocniczo liczbę

ρ(x, Z

, . . . , Z

, y) = inf{w(xz

. . . z

y) : (z

, . . . , z

) ∈ Z

× . . . × Z

} dla x, y ∈ X oraz Z

, . . . , Z

⊆ X.

Lemat 1.5. Załóżmy, że {(X

, d

) : s ∈ S} jest rodziną przestrzeni me- trycznych o grafie spójnym G spełniającą warunki:

(i) d

 (X

∩ X

) = d

 (X

∩ X

) dla każdego s, t ∈ S,

(ii) jeśli x

. . . x

x

jest cyklem indukowanym w G, to istnieje takie s ∈ S, że x

, . . . , x

∈ X

.

Wtedy istnieje taka pseudometryka ρ na zbiorze S

s∈S

X

, że ρ  X

= d

dla każdego s ∈ S.

Jeśli ponadto istnieje takie s

∈ S, że X

∩ X

6= ∅ oraz X

∩ X

⊆ X

dla każdego s 6= t, to dla każdego s 6= t, x ∈ X

, y ∈ X

oraz z ∈ X

prawdziwe są następujące równości:

ρ(x, y) = ρ(x, X

∩ X

, X

∩ X

, y),

ρ(x, z) = ρ(x, X

∩ X

, z).

Dowód. Ustalmy x, y ∈ S

s∈S

X

. Skoro G jest grafem spójnym, to istnieje ścieżka z

. . . z

z x do y, tj. z

= x, z

= y oraz dla każdego i < n istnieje takie s

∈ S, że z

, z

∈ X

. Skoro dowolne dwa punkty zbioru X = S{X

: s ∈ S} są połączone ścieżką, to funkcja ρ : X × X → R, dana wzorem

ρ(x, y) = inf{w(z

. . . z

) : z

. . . z

jest ścieżką z x do y}, jest poprawnie zdefiniowana. Zauważmy, że funkcja ρ jest symetryczna.

Ustalmy x, y, z ∈ X. Niech z

. . . z

będzie ścieżką z x do y, a a

. . . a

niech będzie ścieżką z y do z. Wtedy z

. . . z

a

. . . a

jest ścieżką z x do z.

Zatem ρ(x, z) 6 w(z

. . . z

a

. . . a

). Skoro ścieżki z

. . . z

oraz a

. . . a

zostały wybrane dowolnie, to otrzymujemy nierówność ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z).

Pokazaliśmy w ten sposób, że ρ jest pseudometryką na zbiorze X.

Zauważmy, że ρ(x, y) 6 d

(x, y) dla każdego x, y ∈ X

. Przez indukcję ze względu na długość ścieżki pokażemy, że d

(x, y) jest nie większe od wagi każdej ścieżki z x do y. Ustalmy x, y ∈ X

oraz ścieżkę z

z

z

z x do y.

Skoro z

z

z

z

jest cyklem indukowanym w G, to istnieje takie t ∈ S, że z

, z

, z

∈ X

. Wtedy

d

(x, y) = d

(x, y) 6 d

(z

, z

) + d

(z

, z

) = w(z

z

z

).

Ustalmy 2 6 n < ω oraz załóżmy, że dla każdego 2 6 k < n, s ∈ S, x, y ∈ X

oraz dla każdej ścieżki z

. . . z

z x do y prawdziwa jest nierówność d

(x, y) 6 w(z

. . . z

). Ustalmy x, y ∈ X

oraz ścieżkę z

. . . z

z x do y.

Jeśli z

. . . z

z

jest cyklem indukowanym, to rozumowanie jest podobne jak w przypadku ścieżki o długości 2. Załóżmy więc, że z

. . . z

z

nie jest cyklem indukowanym. Wtedy w grafie G istnieje krawędź z

z

, która nie jest krawę- dzią cyklu z

. . . z

z

. Możemy założyć, że i < j, a zatem i+1 < j oraz 0 < i lub j < n. Istnieje takie t ∈ S, że z

, z

∈ X

, a stąd z

. . . z

z

z

z

. . . z

jest ścieżką z x do y długości i + 1 + (n − j) < j + (n − j) = n oraz z

z

. . . z

z

jest ścieżką z z

do z

długości j − i < n, ponieważ i > 0 lub j < n. Na mocy założenia indukcyjnego otrzymujemy nierówności d

(x, y) 6 w(z

. . . z

z

. . . z

) oraz d

(z

, z

) 6 w(z

z

. . . z

z

). Stąd

d

(x, y) 6 w(z

. . . z

z

. . . z

) = w(z

. . . z

) + d

(z

, z

) + w(z

. . . z

) 6

w(z

. . . z

) + w(z

z

. . . z

z

) + w(z

. . . z

) = w(z

. . . z

).

Ostatecznie d

(x, y) 6 ρ(x, y), a więc d

(x, y) = ρ(x, y) dla każdego x, y ∈ X

.

Niech s

∈ S będzie takie jak w założeniach lematu. Ustalmy s, t ∈ S, s 6= t, x ∈ X

oraz y ∈ X

. Łatwo zauważyć, że ρ(x, y) 6 ρ(x, X

∩ X

, X

∩ X

, y). Dla dowodu przeciwnej nierówności ustalmy ścieżkę z

. . . z

z x do y. Przypuśćmy, że nie istnieją takie i oraz j, że z

∈ X

∩ X

oraz z

∈ X

∩ X

. W szczególności z

, z

∈ X /

. Niech

i = max{r : z

, . . . , z

∈ X

\ X

} oraz j = min{r : z

, . . . , z

∈ X

\ X

}.

Skoro X

∩ X

⊆ X

, to i < j. Zatem z

∈ X /

oraz istnieje takie p ∈ S \ {s}, że z

, z

∈ X

. Wtedy z

∈ X

∩ X

⊆ X

; sprzeczność. Istnieją więc takie i oraz j, że z

∈ X

∩ X

oraz z

∈ X

∩ X

. Niech s

, . . . , s

∈ S będą takie, że z

, z

∈ X

dla każdego k < n. Otrzymujemy nierówność

ρ(x, z

) + ρ(z

, z

) + ρ(z

, y) 6

i−1

X

k=0

ρ(z

, z

) +

j−1

X

k=i

ρ(z

, z

) +

n−1

X

k=j

ρ(z

, z

) =

n−1

X

k=0

ρ(z

, z

) =

n−1

X

k=0

d

(z

, z

) = w(z

. . . z

).

Podobnie dowodzimy równość ρ(x, z) = ρ(x, X

∩X

, z) dla x ∈ X

oraz z ∈ X

.

Twierdzenie 1.6. Załóżmy, że s

∈ S oraz {(X

, d

) : s ∈ S} jest ro- dziną przestrzeni metrycznych spełniającą dla każdego s, t ∈ S następujące warunki:

(i) X

∩ X

6= ∅,

(ii) X

∩ X

⊆ X

, o ile s 6= t, (iii) d

 (X

∩ X

) = d

 (X

∩ X

).

Wtedy istnieje taka przestrzeń metryczna (Y, d), że (iv) X

jest podprzestrzenią przestrzeni Y ,

(v) dla każdego s ∈ S istnieje takie zanurzenie izometryczne i

: X

→ Y , że i

 (X

∩ X

) = id

,

(vi) Y ⊆ S

s∈S

X

,

(vii) dla każdego s 6= t, x ∈ i

[X

], y ∈ i

[X

] oraz z ∈ X

prawdziwe są następujące równości:

d(x, y) = d(x, X

∩ X

, X

∩ X

, y), d(x, z) = d(x, X

∩ X

, z).

Dowód. Przypuśćmy, że graf rodziny {(X

, d

) : s ∈ S} nie spełnia wa- runku (ii) lematu 1.5. Wtedy istnieje taki cykl indukowany z

. . . z

z

, że {z

, . . . , z

} * X

dla każdego s ∈ S. Przypuśćmy, że istnieje takie s ∈ S, że |X

∩ {z

, . . . , z

}| > 3. Niech 0 6 i < j < k 6 n będą takie, że z

, z

, z

∈ X

. Wtedy z

z

, z

z

oraz z

z

są krawędziami grafu G. Cykl z

. . . z

z

jest indukowany, a więc {z

z

, z

z

, . . . , z

z

, z

z

} jest zbiorem wszystkich krawędzi grafu G pomiędzy wierzchołkami ze zbioru {z

, . . . , z

}.

Skoro z

z

jest krawędzią oraz j < n, to i+1 = j. Analogicznie j +1 = k. Po- nieważ i+1 < k, więc i = 0 oraz k = n. Stąd {z

, . . . , z

} = {z

, z

, z

} ⊆ X

wbrew założeniu o cyklu z

. . . z

z

. Zatem dla każdego s ∈ S zachodzi nie- równość:

|X

∩ {z

, . . . , z

}| 6 2.

Z założenia o cyklu z

. . . z

z

wynika, że {z

, . . . , z

} * X

, a więc istnieje takie i, że z

∈ X /

. Niech s ∈ S będzie takie, że z

∈ X

. Niech

j = min{r 6 i : z

, . . . , z

∈ X

}, k = max{r > i : z

, . . . , z

∈ X

}.

Jeśli j = 0 oraz k = n, to {z

, . . . , z

} ⊆ X

wbrew założeniu o cyklu z

. . . z

z

. Zatem j > 0 lub k < n. Rozpatrzmy przypadek, gdy j > 0.

Wtedy z

∈ X /

. Skoro z

z

jest krawędzią grafu G, to istnieje takie t ∈ S \ {s}, że z

, z

∈ X

. Zatem z

∈ X

∩ X

⊆ X

. Skoro z

∈ X /

, to j < i. Ponieważ każdy wierzchołek cyklu należy do dwóch krawędzi tego cyklu, więc istnieje takie ` 6= i−1, że z

z

jest krawędzią grafu G. Zauważmy, że z

∈ X /

, ponieważ w przeciwnym razie otrzymujemy nierówność

|X

∩ {z

, . . . , z

}| > |{z

, z

, z

}| = 3

która, jak pokazaliśmy w pierwszej części dowodu, nie może zachodzić. Ist-

nieje więc takie p ∈ S \ {s}, że z

, z

∈ X

. Z założenia (ii) wynika, że

X

∩ X

⊆ X

, zatem z

∈ X

∩ X

⊆ X

; sprzeczność, ponieważ z

∈ X /

.

Przypadek, gdy k < n, jest analogiczny.

Pokazaliśmy, że graf rodziny {(X

, d

) : s ∈ S} spełnia warunek (ii) lematu 1.5, a więc istnieje pseudometryka ρ na zbiorze S

s∈S

X

spełniająca tezę tego lematu. Z lematu 1.1 wynika, że relacja

x ∼ y ⇔ ρ(x, y) = 0 jest równoważnością w zbiorze S

s∈S

X

. Niech Y będzie selektorem rodziny {[x] : x ∈ S

s∈S

X

}, gdzie [x] jest klasą równoważności punktu x względem relacji ∼, zawierającym przestrzeń X

. Wtedy (Y, ρ  Y ) jest przestrzenią metryczną.

Dla każdego s ∈ S definiujemy i

: X

→ Y tak aby i

(x) ∈ [x] ∩ Y , gdzie x ∈ X

.

Definicja 1.7. W dalszych częściach pracy przestrzeń Y z twierdzenia 1.6 będziemy nazywać amalgamacją rodziny {X

: s ∈ S}.

2 Rozszerzenie izometryczne

W tej części pracy zdefiniujemy dla każdej przestrzeni metrycznej X oraz liczby kardynalnej κ rozszerzenie F (X) o następującej własności: dla każdej przestrzeni Y mocy mniejszej niż κ, punktu y ∈ Y oraz zanurzenia f

: Y \ {y} → X, istnieje takie zanurzenie f : Y → F (X), że f  (Y \ {y}) = f

. Ustalmy przestrzeń (X, d) oraz liczbę kardynalną κ. Ustalmy również rozłączny z X zbiór A mocy λ = (|X| + c)

oraz podział {A

: α < λ} ⊆ [A]

zbioru A. Ustalmy numerację

[X]

\ {∅} = {X

: α < λ} oraz A

= {a

: β < λ}.

Dla każdego zbioru Z mocy mniejszej niż κ prawdziwa jest następująca nierówność:

|{ρ ∈

R : ρ jest metryką}| 6 c

6 λ.

Zatem istnieje rodzina {d

: β < λ} metryk spełniająca dla każdego α < λ następujące warunki:

(1) dla każdego β < λ funkcja d

jest metryką na zbiorze X

∪ {a

}, (2) dla każdego β < λ zachodzi równość d  X

= d

 X

,

(3) jeśli Y jest przestrzenią metryczną, a f

: Y \ {y} → X

jest izometrią,

to istnieją takie β < λ oraz izometria f : Y → X

∪ {a

}, że f 

(Y \ {y}) = f

.

Niech R = {X} ∪ {X

∪ {a

} : α, β < λ}. Zauważmy, że dla X

= X rodzina R spełnia założenia twierdzenia 1.6, a więc istnieje amalgamacja (Y, d) tej rodziny o następujących własnościach:

(4) X jest podprzestrzenią przestrzeni Y , (5) Y ⊆ S{X

∪ {a

} : α, β < λ},

(6) dla każdego α, β < λ istnieje takie zanurzenie i

: X

∪ {a

} → Y , że i

 X

= id

,

(7) dla każdego y ∈ Y istnieje takie α < λ, że dla każdego x ∈ X praw- dziwa jest następująca równość:

d(y, x) = d(y, X

, x).

Amalgamację tę będziemy oznaczać symbolem F (X) i traktować jako roz- szerzenie metryczne przestrzeni X.

Twierdzenie 2.1. Dla każdej przestrzeni metrycznej X rozszerzenie izo- metryczne F (X) ma następujące własności:

(i) każde zanurzenie izometryczne f

: Y \ {y

} → X, gdzie |Y | <

κ i y

∈ Y , ma przedłużenie do zanurzenia izometrycznego f : Y → F (X),

(ii) dla każdego y ∈ F (X) istnieje takie Z ∈ [X]

, że d(x, y) = d(x, Z, y) dla każdego x ∈ X, gdzie d jest metryką rozszerzenia F (X).

Dowód. Ustalmy przestrzeń X. Niech {d

: β < λ} będzie rodziną wszyst- kich metryk na zbiorach {X

∪ {a

} : β < λ} o własnościach (1)–(3), zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na początku tej części pracy.

(i) Ustalmy przestrzeń (Y, σ) mocy mniejszej niż κ, punkt y

∈ Y oraz zanurzenie f

: Y \ {y

} → X. Skoro |f

[Y \ {y

}]| < κ, to istnieje takie α < λ, że f

[Y \ {y

}] = X

. Zatem f

: Y \ {y

} → X

jest izometrią. Na mocy własności (3) istnieje takie β < λ oraz izometria g : Y → X

∪ {a

}, że g  (Y \ {y

}) = f

. Z własności (6) otrzymujemy takie zanurzenie i

: X

∪ {a

} → F (X), że i

 X

= id

. Funkcja f = i

◦ g : Y → F (X) jest zanurzeniem izometrycznym. Dla każdego y ∈ Y \ {y

} otrzymujemy

f (y) = i

(g(y)) = i

(f

(y)) = f

(y),

ponieważ f

(y) ∈ X

. Zatem f  (Y \ {y

}) = f

.

(ii) Ustalmy y ∈ F (X). Z własności (7) wynika, że istnieje takie α < λ, że dla każdego x ∈ X prawdziwa jest następującą równość:

d(y, x) = d(y, X

, x).

W pracy [9] Katˇ etov podał konstrukcję rozszerzenia E(X, κ) również spełniającego warunki (i), (ii) powyższego lematu. Metryka σ rozszerzenia E(X, κ) spełnia dla każdego x, z ∈ E(X, κ) \ X równość

σ(x, z) = sup{|σ(x, y) − σ(z, y)| : y ∈ X}.

Dla każdego x, z ∈ E(X, κ)\X oraz y ∈ X wprost z definicji metryki wynika nierówność

σ(x, z) > |σ(x, y) − σ(z, y)|,

zatem σ(x, z) jest najmniejszą dopuszczalną odległością w rozszerzeniu me- trycznym przestrzeni X. Z konstrukcji rozszerzenia F (X) oraz twierdzenia 1.6 wynika, że metryka d w rozszerzeniu F (X) spełnia równość

d(x, z) = inf{d(x, y) + d(y, z) : y ∈ X},

a więc d(x, z) jest największą dopuszczalną odległością w rozszerzeniu prze- strzeni X.

Tę część pracy zakończymy lematem opisującym sumę łańcucha prze- strzeni metrycznych.

Lemat 2.2. Niech {Z

: β < α} będzie rosnącym ciągiem przestrzeni me- trycznych, tzn. Z

jest podprzestrzenią przestrzeni Z

dla każdego β < γ <

α. Wtedy na zbiorze S

γ<α

Z

istnieje taka metryka d, że Z

jest podprze- strzenią przestrzeni S

γ<α

Z

, dla każdego β < α.

Dowód. Ustalmy x, y ∈ Z = S

γ<α

Z

. Istnieje takie γ < α, że x, y ∈ Z

.

Przyjmujemy d(x, y) = d

(x, y). Skoro Z

jest podprzestrzenią przestrzeni

Z

dla każdego γ < β < α, to funkcja d : Z × Z → R jest poprawnie

zdefiniowana. Łatwo widać, że funkcja d jest metryką. 

3 Charakter dyskretny punktu

Przez przestrzeń dyskretną będziemy rozumieli przestrzeń metryczną w któ- rej metryka przyjmuje dwie wartości: 0 i 1.

Ustalmy liczbę kardynalną κ > ω. Załóżmy, że X jest przestrzenią dyskretną mocy κ oraz y ∈ F (X) \ X. Z własności (7) wynika, że istnieje takie Z ∈ [X]

, że d(y, x) = d(y, Z, x) dla każdego x ∈ X, gdzie d jest metryką przestrzeni F (X). Zatem jeśli x ∈ X \ Z, to

d(y, x) = d(y, Z, x) = inf{d(y, z) + d(z, x) : z ∈ Z} = d(y, Z) + 1 > 1, a więc w rozszerzeniu F (X) nie ma takiego punktu y oraz podzbioru T ∈ [X]

, że d(y, z) =

dla każdego z ∈ T . Powyższa obserwacja sugeruje, aby dla przestrzeni metrycznej (X, d) oraz podprzestrzeni dyskretnej Y ⊆ X wprowadzić następujące pojęcia:

(a) punkt x ∈ X będziemy nazywać punktem środkowym podprze- strzeni Y , gdy d(x, y) =

dla każdego y ∈ Y ,

(b) jeśli Y jest podprzestrzenią, która nie ma punktu środkowego x ∈ X, to powiemy, że podprzestrzeń Y jest bez punktów środkowych, (c) jeśli każdy podzbiór Z ∈ [Y ]

jest bez punktów środkowych w przestrzeni X, to powiemy, że podprzestrzeń Y jest dziedzicznie bez punktów środkowych,

(d) liczbę

τ (x, X) = sup{|Y | : Y ⊆ X jest podprzestrzenią dziedzicznie bez punktów środkowych, x ∈ Y } będziemy nazywać charakterem dyskretnym punktu x.

Zauważmy, że powyższa definicja zależy od liczby κ, która na ogół będzie wcześniej ustalona.

Przykład 3.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią dyskretną mocy κ. Ustalmy Z ∈ [X]

, Z 6= X oraz y / ∈ X. Niech σ będzie funkcją określoną na zbiorze Z ∪ {y} wzorem

σ(x, z) =







d(x, z), gdy x, z ∈ Z,

1

2

, gdy x = y oraz z ∈ Z,

0, gdy x = z = y.

Nietrudno sprawdzić, że funkcja σ jest metryką. Ponadto σ  Z = d  Z, a więc na mocy twierdzenia 1.6 istnieje amalgamacja (Y, ρ) przestrzeni (X, d) oraz (Z ∪ {y}, σ) spełniająca dla każdego x ∈ X warunek

ρ(y, x) = ρ(y, Z, x) = inf{σ(y, z)+d(z, x) : z ∈ Z} =

+inf{d(z, x) : z ∈ Z}.

Skoro X 6= Z, to istnieje punkt x ∈ X \ Z, zatem ρ(y, x) >

, a stąd y nie jest punktem środkowym podprzestrzeni X w przestrzeni Y . Z drugiej strony punkt y jest punktem środkowym podprzestrzeni Z ∈ [X]

, a więc X nie jest podprzestrzenią dziedzicznie bez punktów środkowych w przestrzeni Y .

Lemat 3.2. Jeśli f : X → X jest izometrią, to τ (x, X) = τ (f (x), X) dla każdego x ∈ X.

Dowód. Ustalmy x ∈ X, izometrię f : X → X oraz taką podprzestrzeń Y ⊆ X dziedzicznie bez punktów środkowych, że x ∈ Y . Niech d będzie me- tryką przestrzeni X. Przypuśćmy, że f [Y ] nie jest dziedzicznie bez punktów środkowych. Zatem istnieje podprzestrzeń Z ∈ [f [Y ]]

oraz jej punkt środ- kowy z ∈ X. Wtedy f

[Z] ∈ [Y ]

. Oczywiście d(f

(z), f

(x)) = d(z, x) dla każdego z ∈ Z. Zatem f

(x) jest punktem środkowym podprzestrzeni f

[Z]; sprzeczność.

Załóżmy, że podprzestrzeń Y ⊆ X jest dziedzicznie bez punktów środko- wych. Załóżmy ponadto, że istnieje taki ciąg Cauchy’ego {x

: n < ω} ⊆ X, że

d(x

, y) = 1 2 + 1

n

dla każdego n > 1 oraz y ∈ Y . Skoro d(x

, y) >

dla każdego n < ω oraz y ∈ Y , to żaden z punktów x

nie jest punktem środkowym jakiegokolwiek podzbioru Z ∈ [Y ]

. Możemy założyć, że symbol d oznacza również metrykę rozszerzenia F (X). Niech T = {x

: n < ω} będzie uzupełnieniem podprze- strzeni {x

: n < ω}. Niech x ∈ T będzie granicą ciągu {x

: n < ω}. Niech zanurzenie f

: {x

: n < ω} → X będzie dane wzorem f

(x

) = x

dla każdego n < ω. Na mocy twierdzenia 2.1 (i) istnieje takie zanurzenie

f : {x} ∪ {x

: n < ω} → F (X), że f (x

) = x

dla każdego n < ω. Wtedy

d(f (x), y) 6 d(f (x), x

) + d(x

, y) = d(f (x), f (x

)) + d(x

, y)