Rozważmy teraz transformację przesunięcia w czasie,t → t + τ , przy której wektor stanu przekształca się następująco
|α′(t + τ ) = |α(t)i . Definiujemy unitarny operator translacji w czasie
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α′(t) .
Łącząc to równanie z pierwszym dla t − τ otrzymamy Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i .
Rozważmy teraz transformację przesunięcia w czasie,t → t + τ , przy której wektor stanu przekształca się następująco
|α′(t + τ ) = |α(t)i . Definiujemy unitarny operator translacji w czasie
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α′(t) .
Łącząc to równanie z pierwszym dla t − τ otrzymamy Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i .
Przesunięcie w czasie
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i
|α(t − τ )i = |α(t)i + 1 1!
d
dt |α(t)i (−τ )
+ 1
2!
d2
dt2 |α(t)i (−τ )2+ ... =e−τddt |α(t)i .
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i
|α(t − τ )i = |α(t)i + 1 1!
d
dt |α(t)i (−τ )
+ 1
2!
d2
dt2 |α(t)i (−τ )2+ ... =e−τddt |α(t)i . Porównując ten wynik z wzorem
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i
Przesunięcie w czasie
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i
|α(t − τ )i = |α(t)i + 1 1!
d
dt |α(t)i (−τ )
+ 1
2!
d2
dt2 |α(t)i (−τ )2+ ... =e−τddt |α(t)i . Porównując ten wynik z wzorem
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i
otrzymujemy następującą postać operatora ewolucji czasowej Ut(τ ) = e−τddt.
Rozwińmy w szereg wektor stanu |α(t − τ)i
|α(t − τ )i = |α(t)i + 1 1!
d
dt |α(t)i (−τ )
+ 1
2!
d2
dt2 |α(t)i (−τ )2+ ... =e−τddt |α(t)i . Porównując ten wynik z wzorem
Ut(τ ) |α(t)i ≡ |α(t − τ )i
otrzymujemy następującą postać operatora ewolucji czasowej Ut(τ ) = e−τddt.
Przesunięcie w czasie
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i .
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
Przesunięcie w czasie
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
i skorzystajmy z równania ewolucji operatora H i ~dH
dt = i~∂H
∂t + [H, H] = 0
Przesunięcie w czasie
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
i skorzystajmy z równania ewolucji operatora H i ~dH
dt = i~∂H
∂t + [H, H] = 0 ⇒ dH dt = 0.
Skorzystajmy z równania Schr¨odingera i ~ d
dt |α(t)i = H |α(t)i ⇒ d
dt |α(t)i = 1
i ~H|α(t)i . Załóżmy, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, tzn.
∂H
∂t = 0
i skorzystajmy z równania ewolucji operatora H i ~dH
dt = i~∂H
∂t + [H, H] = 0 ⇒ dH dt = 0.
Przesunięcie w czasie
Obliczmy d2
dt2 |α(t)i= d dt
1
i ~H |α(t)i
=
Obliczmy d2
dt2 |α(t)i= d dt
1
i ~H |α(t)i
= 1 i ~H d
dt |α(t)i =
Przesunięcie w czasie
Obliczmy d2
dt2 |α(t)i= d dt
1
i ~H |α(t)i
= 1 i ~H d
dt |α(t)i = 1
(i~)2 H2 |α(t)i .
Obliczmy d2
dt2 |α(t)i= d dt
1
i ~H |α(t)i
= 1 i ~H d
dt |α(t)i = 1
(i~)2 H2 |α(t)i . Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
Przesunięcie w czasie
Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.W takim razie Ut(τ ) |α(t)i=
Obliczmy Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i=e−τddt |α(t)i =
Przesunięcie w czasie
Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i =e−τi ~1H |α(t)i =
Obliczmy Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i = e−τi ~1H |α(t)i =eτ~iH |α(t)i
Przesunięcie w czasie
Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i = e−τi ~1H |α(t)i =eτ~iH |α(t)i i unitarny operator przesunięcia w czasie ma postać
Ut(τ ) = e~iτ H.
Obliczmy Podobnie można zrobić z wyższymi pochodnymi w rozwinięciu funkcji e−τddt.
W takim razie
Ut(τ ) |α(t)i= e−τddt |α(t)i = e−τi ~1H |α(t)i =eτ~iH |α(t)i i unitarny operator przesunięcia w czasie ma postać
Ut(τ ) = e~iτ H.
Przesunięcie w czasie
Wzór ten zachodzi tylko jeśli operator H nie zależy jawnie od czasu.
Ponieważ[Ut(τ ), H] = 0,to stan przesunięty |α′(t)ispełnia takie samo równanie Schr¨odingera co stan |α(t)i i układma symetrię względem translacji czasowej.
Wzór ten zachodzi tylko jeśli operator H nie zależy jawnie od czasu.
Ponieważ[Ut(τ ), H] = 0,to stan przesunięty |α′(t)ispełnia takie samo równanie Schr¨odingera co stan |α(t)i i układma symetrię względem translacji czasowej.
Jeśli operator H zależy jawnie od czasu, to dla translacji infinitezymalnej możemy zapisać
e~iτ H(t)≈ 1 + i
~τ H(t).
Przesunięcie w czasie
Wzór ten zachodzi tylko jeśli operator H nie zależy jawnie od czasu.
Ponieważ[Ut(τ ), H] = 0,to stan przesunięty |α′(t)ispełnia takie samo równanie Schr¨odingera co stan |α(t)i i układma symetrię względem translacji czasowej.
Jeśli operator H zależy jawnie od czasu, to dla translacji infinitezymalnej możemy zapisać
e~iτ H(t)≈ 1 + i
~τ H(t).
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
dt |α′(t) ≈ i ~ d dt
1 + i
~τ H(t)
|α(t)i
=
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi gdzie po prawej stronie uwzględniliśmy część kolejnego wyrazu
rozwinięcia eksponenty.
Przesunięcie w czasie
Dla stanu przesuniętego |α′(t)i zachodzi i ~d gdzie po prawej stronie uwzględniliśmy część kolejnego wyrazu
rozwinięcia eksponenty.
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈
Przesunięcie w czasie
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t)
dt Ut(τ ) |α(t)i
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t)
dt Ut(τ ) |α(t)i
=
Przesunięcie w czasie
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t)
dt Ut(τ ) |α(t)i
= H(t) |α′(t) − τ dH(t)
dt |α′(t) .
i ~d
dt |α′(t) ≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t) dt
1 +i τ
~H(t)
|α(t)i
≈ H(t)Ut(τ ) |α(t)i − τ dH(t)
dt Ut(τ ) |α(t)i
= H(t) |α′(t) − τ dH(t)
dt |α′(t) .
Widzimy, żedla H = H(t), stan przesunięty w czasie nie spełnia równania Schr¨odingera.
Przesunięcie w czasie
Widzimy, żedla H = H(t), stan przesunięty w czasie nie spełnia równania Schr¨odingera.
Wynik ten jest oczywisty, gdyż na skutek ewolucji czasowej hamiltonianu, stan przesunięty w czasie znajduje się w innych warunkach niż stan wyjściowy.
i ~d
Widzimy, żedla H = H(t), stan przesunięty w czasie nie spełnia równania Schr¨odingera.
Wynik ten jest oczywisty, gdyż na skutek ewolucji czasowej hamiltonianu, stan przesunięty w czasie znajduje się w innych warunkach niż stan wyjściowy.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Wygodnie jest rozpatrywać obroty infinitezymalne.
Wprowadźmy wektor~ω= [ωx, ωy, ωz] skierowany wzdłuż osi obrotu, którego składowymi są kąty, a zwrot określa-my zgodnie z regułą śruby prawoskręt-nej.
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Wygodnie jest rozpatrywać obroty infinitezymalne.
Wprowadźmy wektor~ω= [ωx, ωy, ωz] skierowany wzdłuż osi obrotu, którego składowymi są kąty, a zwrot określa-my zgodnie z regułą śruby prawoskręt-nej.
Jeżeli dołączymy początek wektora ~ω × ~r do końca wektora ~r, to otrzymamy wektor obrócony ~rR:
~r → ~rR = ~r + ~ω× ~r.
Obroty
Rozważmy obrót przestrzenny układu fizycznego.
~r → ~rR = R~r,
gdzie R jest macierzą ortogonalną o wymiarze 3 × 3 ,RTR= 1.
Zauważmy, żeobrót układu fizycznego o kąt α względem dowolnie wybranej osi,odpowiadaobrotowi układu współrzędnych o kąt −α względem tej samej osi.
Wygodnie jest rozpatrywać obroty infinitezymalne.
Wprowadźmy wektor~ω= [ωx, ωy, ωz] skierowany wzdłuż osi obrotu, którego składowymi są kąty, a zwrot określa-my zgodnie z regułą śruby prawoskręt-nej.
Jeżeli dołączymy początek wektora ~ω × ~r do końca wektora ~r, to otrzymamy wektor obrócony ~rR:
~r → ~rR = ~r + ~ω× ~r.
W dalszym ciągu, aby uniknąć skojarzeń z prędkością kątową zmienimy oznaczenie~ω= ~ϕ.
Zadanie. Pokazać, że macierz obrotu infinitezymalnego ma postać
R =
1 −ϕz ϕy ϕz 1 −ϕx
−ϕy ϕx 1
Przy obrociefunkcja skalarna ψα(~r) transformuje się następująco ψα′(R ~r) = ψα(~r).
Obroty
W dalszym ciągu, aby uniknąć skojarzeń z prędkością kątową zmienimy oznaczenie~ω= ~ϕ.
Zadanie. Pokazać, że macierz obrotu infinitezymalnego ma postać
R =
Przy obrociefunkcja skalarna ψα(~r) transformuje się następująco ψα′(R ~r) = ψα(~r).
Definiujemy unitarny operator obrotu infinitezymalnego UR(~ϕ):
UR(~ϕ)ψα(~r) = ψα′(~r).
W dalszym ciągu, aby uniknąć skojarzeń z prędkością kątową zmienimy oznaczenie~ω= ~ϕ.
Zadanie. Pokazać, że macierz obrotu infinitezymalnego ma postać
R =
Przy obrociefunkcja skalarna ψα(~r) transformuje się następująco ψα′(R ~r) = ψα(~r).
Definiujemy unitarny operator obrotu infinitezymalnego UR(~ϕ):
UR(~ϕ)ψα(~r) = ψα′(~r).
Obroty
Obliczmy
UR(~ϕ)ψα(~r)= ψα(R−1~r), gdzie skorzystaliśmy ze związku
ψα′(R~r) = ψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ψα(R−1~r).
Zauważmy również, że dla obrotów infinitezymalnych zachodzi R~r = ~r + ~ϕ× ~r ⇒ R−1~r = ~r − ~ϕ× ~r.
Obliczmy
UR(~ϕ)ψα(~r)= ψα(R−1~r), gdzie skorzystaliśmy ze związku
ψα′(R~r) = ψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ψα(R−1~r).
Zauważmy również, że dla obrotów infinitezymalnych zachodzi R~r = ~r + ~ϕ× ~r ⇒ R−1~r = ~r − ~ϕ× ~r.
W takim razie
UR(~ϕ)ψα(~r)= ψα(~r − ~ϕ× ~r) .
Obroty
Obliczmy
UR(~ϕ)ψα(~r)= ψα(R−1~r), gdzie skorzystaliśmy ze związku
ψα′(R~r) = ψα(~r) ⇒ ψα′(~r) = ψα(R−1~r).
Zauważmy również, że dla obrotów infinitezymalnych zachodzi R~r = ~r + ~ϕ× ~r ⇒ R−1~r = ~r − ~ϕ× ~r.
W takim razie
UR(~ϕ)ψα(~r)= ψα(~r − ~ϕ× ~r) .
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
=
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r)
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p =
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi =
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi =εijkϕjxkpi =
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi = εijkϕjxkpi =ϕjεjkixkpi
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi = εijkϕjxkpi = ϕjεjkixkpi
=
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi = εijkϕjxkpi = ϕjεjkixkpi
= ϕj(~r × ~p)j =
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi = εijkϕjxkpi = ϕjεjkixkpi
= ϕj(~r × ~p)j =ϕjLj =
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi = εijkϕjxkpi = ϕjεjkixkpi
= ϕj(~r × ~p)j = ϕjLj =ϕ~· ~L,
Obroty
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
gdzie~L= ~r × ~p jest operatorem orbitalnego momentu pędu.
Rozwińmy prawą stronę w szereg potęgowy
ψα(~r − ~ϕ× ~r) ≈ ψα(~r) − (~ϕ× ~r) · ~∇ψα(~r)
= ψα(~r) − i
~(~ϕ× ~r) · ~p ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r) Obliczmy
(~ϕ× ~r) · ~p = (~ϕ× ~r)ipi = εijkϕjxkpi = ϕjεjkixkpi
= ϕj(~r × ~p)j = ϕjLj =ϕ~· ~L,
gdzie~L= ~r × ~p jest operatorem orbitalnego momentu pędu.
Obroty
Zatem
UR(~ϕ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ϕ× ~r) =
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r)
=
Zatem
UR(~ϕ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ϕ× ~r) =
1 − i
~(~ϕ× ~r) · ~p
ψα(~r)
=
1 − i
~(~ϕ· ~L)
ψα(~r),
Obroty
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~ϕ) = 1 − i
~(~ϕ· ~L)
Zatem
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~ϕ) = 1 − i
~(~ϕ· ~L)
Dlacząstki wektorowej,opisywanej przez wektorową funkcję falową ψ~α(~r),
Obroty
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~ϕ) = 1 − i
~(~ϕ· ~L)
Dlacząstki wektorowej,opisywanej przez wektorową funkcję falową ψ~α(~r),prawo transformacyjne przy obrotach jest inne
ψ~α′(R ~r) = R ~ψα(~r).
Zatem
a więc unitarny operator obrotu infinitezymalnego ma postać UR(~ϕ) = 1 − i
~(~ϕ· ~L)
Dlacząstki wektorowej,opisywanej przez wektorową funkcję falową ψ~α(~r),prawo transformacyjne przy obrotach jest inne
ψ~α′(R ~r) = R ~ψα(~r).
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Korzystając ze wzoru~rR = ~r + ~ω× ~r zarówno dla transformacji wektora~r jak iψ~α otrzymamy
UR(~ϕ) ~ψα(~r)
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Korzystając ze wzoru~rR = ~r + ~ω× ~r zarówno dla transformacji wektora~r jak iψ~α otrzymamy
UR(~ϕ) ~ψα(~r) =
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Korzystając ze wzoru~rR = ~r + ~ω× ~r zarówno dla transformacji wektora~r jak iψ~α otrzymamy
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Korzystając ze wzoru~rR = ~r + ~ω× ~r zarówno dla transformacji wektora~r jak iψ~α otrzymamy
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈ψ~α
R−1~r+ ~ϕ× ~ψα
R−1~r
Obroty
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Korzystając ze wzoru~rR = ~r + ~ω× ~r zarówno dla transformacji wektora~r jak iψ~α otrzymamy
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈ ~ψα
R−1~r+ ~ϕ× ~ψα
R−1~r
≈
Unitarny operator obrotu definiujemy analogicznie do przypadku cząstki skalarnej
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = ~ψα′(~r).
Korzystając ze wzoru~rR = ~r + ~ω× ~r zarówno dla transformacji wektora~r jak iψ~α otrzymamy
UR(~ϕ) ~ψα(~r) = R ~ψα
R−1~r≈ ~ψα
R−1~r+ ~ϕ× ~ψα
R−1~r
≈ ψ~α(~r − ~ϕ× ~r) + ~ϕ× ~ψα(~r − ~ϕ× ~r)