Symetrie w mechanice kwantowej

(1)

Symetrie w mechanice kwantowej

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

(2)

Dokonajmytranslacji przestrzennej pewnego układu ﬁzycznego o ustalony wektor ~ρ.Przed transformacją układ opisywany jest przez funkcję falowąψ_α(~r),gdzie indeks α oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu.

~r

~ ρ

~r0 ~r0+ ~ρ

ψα(~r) ψα^′(~r+ ~ρ)

Po transformacji układ jest opisywany przez funkcję falową ψ_α′(~r + ~ρ), gdzie teraz zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu oznaczyliśmy przez α^′.

(3)

Translacja przestrzenna

Dokonajmytranslacji przestrzennej pewnego układu ﬁzycznego o ustalony wektor ~ρ.Przed transformacją układ opisywany jest przez funkcję falowąψ_α(~r),gdzie indeks α oznacza zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu.

~r

~ ρ

~r0 ~r0+ ~ρ

ψα(~r) ψα^′(~r+ ~ρ)

Po transformacji układ jest opisywany przez funkcję falową ψ_α′(~r + ~ρ), gdzie teraz zbiór wszystkich liczb kwantowych niezbędnych do jego opisu oznaczyliśmy przez α^′.

(4)

Jest oczywiste, że przy translacji zachodzi związek ψ_α′(~r + ~ρ) = ψα(~r).

W przestrzeni Hilberta stanów ﬁzycznych H translacja przestrzenna jest reprezentowana przezunitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~_r(~ρ)

U_~_r(~ρ)ψα(~r) = ψ_α′(~r) = ψα(~r − ~ρ).

(5)

Translacja przestrzenna

Jest oczywiste, że przy translacji zachodzi związek ψ_α′(~r + ~ρ) = ψα(~r).

W przestrzeni Hilberta stanów ﬁzycznych H translacja przestrzenna jest reprezentowana przezunitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~_r(~ρ)

U_~_r(~ρ)ψα(~r) = ψ_α′(~r) = ψα(~r − ~ρ).

(6)

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg Taylora ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) =

(7)

Translacja przestrzenna

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg Taylora ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) =ψα(x, y , z) + 1

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

(8)

Przyjmijmy dla prostoty ~ρ = [ρ, 0, 0] i rozwińmy w szereg Taylora ψα(~r − ~ρ) = ψα(x − ρ, y , z) = ψα(x, y , z) + 1

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ) +

(9)

Translacja przestrzenna

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

(10)

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

(11)

Translacja przestrzenna

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψ_α(x, y , z)

(12)

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψ_α(x, y , z)

=

(13)

Translacja przestrzenna

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψ_α(x, y , z)

= e^−ρ^∂x^∂ ψα(x, y , z),

gdzie funkcję operatora rozumiemy jako jego rozwinięcie w szereg potęgowy, tzn.

e^A =

+∞X

0

Aⁿ n!, gdzie Aⁿ= A ◦ A ◦ ... ◦ A

| {z }

n razy

rozumiemy jak n-krotne złożenie operatora.

(14)

1!

∂

∂xψα(x, y , z)(−ρ)

+ 1

2!

∂²

∂x²ψα(x, y , z)(−ρ)²+ ...

=

"

1 +(−ρ) 1!

∂

∂x +(−ρ)² 2!

∂²

∂x² + . . .

#

ψ_α(x, y , z)

= e^−ρ^∂x^∂ ψα(x, y , z),

gdzie funkcję operatora rozumiemy jako jego rozwinięcie w szereg potęgowy, tzn.

e^A =

+∞X

0

Aⁿ n!, gdzie Aⁿ= A ◦ A ◦ ... ◦ A

| {z }

n razy

rozumiemy jak n-krotne złożenie operatora.

(15)

Translacja przestrzenna

Oczywiście dla ~ρ = [0, ρ, 0] otrzymamy

ψα(~r − ~ρ) = e^−ρ^∂y^∂ψα(x, y , z), a dla ~ρ = [0, 0, ρ] otrzymamy

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ^∂z^∂ψ_α(x, y , z).

(16)

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ^∂z^∂ψ_α(x, y , z).

Dla dowolnego wektora ~ρ = [ρx, ρ_y, ρ_z] otrzymamy ψ_α(~r − ~ρ) =

(17)

Translacja przestrzenna

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ^∂z^∂ψ_α(x, y , z).

Dla dowolnego wektora ~ρ = [ρx, ρ_y, ρ_z] otrzymamy ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ^x^∂x^∂ e^−ρ^y

∂

∂ye^−ρ^z^∂z^∂ψ_α(x, y , z).

(18)

ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ^∂z^∂ψ_α(x, y , z).

Dla dowolnego wektora ~ρ = [ρx, ρ_y, ρ_z] otrzymamy ψ_α(~r − ~ρ) = e^−ρ^x^∂x^∂ e^−ρ^y

∂

∂ye^−ρ^z^∂z^∂ψ_α(x, y , z).

(19)

Translacja przestrzenna

Dla operatorów, które można reprezentować przez macierze kwadratowe, skończenie lub nieskończenie wymiarowe, zachodzi

e^Ae^B = e^A+Be¹²^[A,B], pod warunkiem, że[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0.

Zadanie. Udowodnić powyższy wzór.

Pochodne cząstkowe wzajemnie komutują, więc ψα(~r − ~ρ) = e⁻ ^ρ^x

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

(20)

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

=

(21)

Translacja przestrzenna

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^−~^{ρ· ~}^∇ψ_α(x, y , z) =

(22)

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^−~^{ρ· ~}^∇ψ_α(x, y , z) =e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pψ_α(~r),

(23)

Translacja przestrzenna

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

= e^−~^{ρ· ~}^∇ψ_α(x, y , z) =e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pψ_α(~r), gdzie wykorzystaliśmy deﬁnicję operatora pędu w reprezentacji położeniowej

~

p= −i~~∇ ⇒

(24)

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

~

p= −i~~∇ ⇒ ∇ =~ i

~p.~

(25)

Translacja przestrzenna

∂

∂x+ρy ∂

∂y+ρz ∂

∂z

ψα(x, y , z)

~

p= −i~~∇ ⇒ ∇ =~ i

~p.~

(26)

Otrzymaliśmy wzór

ψ_α(~r − ~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pψ_α(~r).

Porównajmy ten wynik z wzorem

U_~_r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).

(27)

Translacja przestrzenna

Otrzymaliśmy wzór

ψ_α(~r − ~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pψ_α(~r).

U_~_r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).

Widzimy, że unitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~_r(~ρ) ma postać

U_~_r(~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p.

Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.Pojęcie generatora wyjaśnimy bliżej za chwilę.

(28)

Otrzymaliśmy wzór

ψ_α(~r − ~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pψ_α(~r).

U_~_r(~ρ)ψα(~r) = ψα(~r − ~ρ).

Widzimy, że unitarny operator przesunięcia przestrzennego U_~_r(~ρ) ma postać

U_~_r(~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p.

Mówimy, żeoperator pędu jest generatorem translacji przestrzennej.Pojęcie generatora wyjaśnimy bliżej za chwilę.

(29)

Translacja przestrzenna

Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U_~_r(~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p nie zależy od wyboru reprezentacjii możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α^′(t)i w dowolnej reprezentacji możemy zapisać następująco

(30)

Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U_~_r(~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p nie zależy od wyboru reprezentacji i możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α^′(t)i w dowolnej reprezentacji możemy zapisać następująco

|α^′(t)= U_~_r(~ρ) |α(t)i .

(31)

Translacja przestrzenna

Mimo, że korzystaliśmy z reprezentacji położeniowej, to operator U_~_r(~ρ) = e⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p nie zależy od wyboru reprezentacji i możemy zapisać związek pomiędzy stanem wyjściowym |α(t)i a stanem przesuniętym |α^′(t)i w dowolnej reprezentacji możemy zapisać następująco

|α^′(t)= U_~_r(~ρ) |α(t)i .

(32)

Pokażemy, że operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym.Obliczmy

U_~_r^†(~ρ) = ^he⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pⁱ^†=

"_+∞

X

0

1 n!

−i

~~ρ· ~p

n#†

=

+∞X

0

1 n!

−i

~~ρ· ~p

n†

=

+∞X

0

1 n!

"

−i

~~ρ· ~p

†#n

=

+∞X

0

1 n!

i

~~ρ· ~p^†

n

=

+∞X

0

1 n!

i

~~ρ· ~p

n

= e⁺^~ⁱ^~^ρ·~^p, gdzie skorzystaliśmy z hermitowskości operatora pędu ~p^†= ~p.

(33)

Translacja przestrzenna

Pokażemy, że operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym. Obliczmy

U_~_r^†(~ρ) = ^he⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pⁱ^†=

"_+∞

X

0

1 n!

−i

~~ρ· ~p

n#†

=

+∞X

0

1 n!

−i

~~ρ· ~p

n†

=

+∞X

0

1 n!

"

−i

~~ρ· ~p

†#n

=

+∞X

0

1 n!

i

~~ρ· ~p^†

n

=

+∞X

0

1 n!

i

~~ρ· ~p

n

= e⁺^~ⁱ^~^ρ·~^p, gdzie skorzystaliśmy z hermitowskości operatora pędu ~p^†= ~p.W takim razie

U_~_r^†(~ρ)U_~_r(~ρ) = e^~ⁱ^~^ρ·~^pe⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p= 1,

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że składowe operatora pędu komutują, [pi, pj] = 0.

(34)

Pokażemy, że operator translacji przestrzennej jest operatorem unitarnym. Obliczmy

U_~_r^†(~ρ) = ^he⁻^~ⁱ^~^ρ·~^pⁱ^†=

"_+∞

X

0

1 n!

−i

~~ρ· ~p

n#†

=

+∞X

0

1 n!

−i

~~ρ· ~p

n†

=

+∞X

0

1 n!

"

−i

~~ρ· ~p

†#n

=

+∞X

0

1 n!

i

~~ρ· ~p^†

n

=

+∞X

0

1 n!

i

~~ρ· ~p

n

= e⁺^~ⁱ^~^ρ·~^p, gdzie skorzystaliśmy z hermitowskości operatora pędu ~p^†= ~p. W takim razie

U_~_r^†(~ρ)U_~_r(~ρ) = e^~ⁱ^~^ρ·~^pe⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p= 1,

gdzie skorzystaliśmy z faktu, że składowe operatora pędu komutują, [pi, pj] = 0.

(35)

Translacja przestrzenna

Stan przesunięty |α^′(t)i nie musi spełniać równania Schr¨odingera, nawet jeśli stan wyjściowy |α(t)i je spełniał.

Obliczmy i ~ d

dt |α^′(t) = i~d

dt(U_~_r(~ρ) |α(t)i) = U_~_r(~ρ)i ~ d

dt |α(t)i

= U~r(~ρ)H |α(t)i= U~r(~ρ)HU_~_r^†(~ρ) |α^′(t), gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i

i ~ d

dt |α(t)i = H |α(t)i i ze związku

U_~_r(~ρ) |α(t)i = |α^′(t)i ⇒ U_~_r^†(~ρ)U_~_r(~ρ) |α(t)i = U_~_r^†(~ρ) |α^′(t)i

⇒ |α(t)i = U_~_r^†(~ρ) |α^′(t)i .

(36)

Stan przesunięty |α^′(t)i nie musi spełniać równania Schr¨odingera, nawet jeśli stan wyjściowy |α(t)i je spełniał.

Obliczmy i ~ d

dt |α^′(t) = i~d

dt(U_~_r(~ρ) |α(t)i) = U_~_r(~ρ)i ~ d

dt |α(t)i

= U~r(~ρ)H |α(t)i= U~r(~ρ)HU_~_r^†(~ρ) |α^′(t), gdzie skorzystaliśmy z równania Schr¨odingera dla stanu |α(t)i

i ~ d

dt |α(t)i = H |α(t)i i ze związku

U_~_r(~ρ) |α(t)i = |α^′(t)i ⇒ U_~_r^†(~ρ)U_~_r(~ρ) |α(t)i = U_~_r^†(~ρ) |α^′(t)i

⇒ |α(t)i = U_~_r^†(~ρ) |α^′(t)i .

(37)

Translacja przestrzenna

Widzimy, że stan przesunięty |α^′(t)i spełnia równanie i ~d

dt |α^′(t)= U~r(~ρ)HU_~_r^†(~ρ) |α^′(t). Równanie to jest równoważne równaniu Schr¨odingera

i ~ d

dt |α^′(t)= H |α^′(t) tylko jeśli

(38)

i ~ d

U_~_r(~ρ)HU_~_r^†(~ρ) = H.

(39)

Translacja przestrzenna

i ~ d

U_~_r(~ρ)HU_~_r^†(~ρ) = H.

(40)

Pomnóżmy obie strony tego równania z prawej strony przez U_~_r(~ρ) U_~_r(~ρ)HU_~_r^†(~ρ) = H ⇒ U_~_r(~ρ)H = HU_~_r(~ρ).

(41)

Translacja przestrzenna

Stan |α^′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U~r(~ρ), H] = 0 ⇒

(42)

Stan |α^′(t)i spełnia równanie Schr¨odingera tylko jeśli [U~r(~ρ), H] = 0 ⇒ ^he⁻^~ⁱ^~^ρ·~^p, Hⁱ= 0.

(43)

Translacja przestrzenna

Ostatnia równość zachodzi tylko jeśli [~p, H] = 0.

(44)

Aby zrozumieć sens tej relacji komutacji wprowadzimy nieco inne sformułowanie mechaniki kwantowej niż to, które rozważaliśmy dotychczas. Sformułowanie to nosi nazwęobrazu Heisenberga.

(45)

Translacja przestrzenna

Aby zrozumieć sens tej relacji komutacji wprowadzimy nieco inne sformułowanie mechaniki kwantowej niż to, które rozważaliśmy dotychczas. Sformułowanie to nosi nazwęobrazu Heisenberga.

(46)

Dotychczas pracowaliśmy w tzw.obrazie Schr¨odingera, gdzie ewolucja stanów kwantowych jest opisywana równaniem Schr¨odingera, które w notacji Diraca ma postać

i ~ d

dt |α_S(t)i = H |α_S(t)i,

gdzie dodaliśmy indeks S dla podkreślenia, że |αS(t)i jest stanem kwantowym w obrazie Schr¨odingera.

(47)

Obraz Schr¨ odingera

i ~ d

gdzie dodaliśmy indeks S dla podkreślenia, że |αS(t)i jest stanem kwantowym w obrazie Schr¨odingera.Równanie sprzężone

hermitowsko do równania Schr¨odingera ma postać

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†

(48)

i ~ d

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†=hαS(t)| H,

(49)

Obraz Schr¨ odingera

i ~ d

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†=hαS(t)| H, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że operator Hamiltona jest hermitowski.

(50)

i ~ d

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†=hαS(t)| H, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że operator Hamiltona jest hermitowski.

(51)

Obraz Schr¨ odingera

Załóżmy, żeoperator H nie zależy jawnie od czasu,wtedy rozwiązania równania Schródingera i równania do niego sprzężonego mają postać

|α_S(t)i = e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾|α_S(t0)i , hαS(t)| = hαS(t0)| e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾.

Rzeczywiście, wstawmy stan |αS(t)i do równania Schródingera i obliczmy pochodną

i ~ d

dt |α_S(t)i = i~ d dt

e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾|α_S(t0)i

= i~

−i

~

He⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ |αS(t⁰)i= H |αS(t)i . Zauważmy, że ponieważ operator e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ rozumiemy jako rozwinięcie w szereg potęgowy, to wszystko jedno, czy operator H napiszemy z lewej, czy z prawej strony eksponenty.

(52)

Załóżmy, żeoperator H nie zależy jawnie od czasu,wtedy rozwiązania równania Schródingera i równania do niego sprzężonego mają postać

|α_S(t)i = e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾|α_S(t0)i , hαS(t)| = hαS(t0)| e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾.

Rzeczywiście, wstawmy stan |αS(t)i do równania Schródingera i obliczmy pochodną

i ~ d

dt |α_S(t)i = i~ d dt

e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾|α_S(t0)i

= i~

−i

~

He⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ |αS(t⁰)i= H |αS(t)i . Zauważmy, że ponieważ operator e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ rozumiemy jako rozwinięcie w szereg potęgowy, to wszystko jedno, czy operator H napiszemy z lewej, czy z prawej strony eksponenty.

(53)

Obraz Schr¨ odingera

Rzeczywiście

He⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ = H X∞

n=0

1 n!

−i

~(t − t⁰)

n

Hⁿ

= X∞

n=0

1 n!

−i

~(t − t0)

n

Hⁿ⁺¹

=

"_∞ X

n=0

1 n!

−i

~(t − t0)

n

Hⁿ

#

H= e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾H.

Zadanie. Pokazać, że podany wyżej stan hαS(t)| jest rozwiązaniem równania sprzężonego równania Schr¨odingera.

(54)

Rzeczywiście

He⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ = H X∞

n=0

1 n!

−i

~(t − t⁰)

n

Hⁿ

= X∞

n=0

1 n!

−i

~(t − t0)

n

Hⁿ⁺¹

=

"_∞ X

n=0

1 n!

−i

~(t − t0)

n

Hⁿ

#

H= e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾H.

Zadanie. Pokazać, że podany wyżej stan hαS(t)| jest rozwiązaniem równania sprzężonego równania Schr¨odingera.

(55)

Obraz Heisenberga

Zdeﬁniujmy wektor stanu i operator w obrazie Heisenberga

|α_Hi ≡ |α_S(t0)i = e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾|α_S(t)i , Ω_H ≡ e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾Ω_Se⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾. Zauważmy, że

hαS(t)|ΩS|βS(t)i

= hαS(t)| e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾

| {z }

I

ΩSe⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾

| {z }

I

|βS(t)i

(56)

| {z }

I

| {z }

I

|βS(t)i

=

(57)

Obraz Heisenberga

| {z }

I

| {z }

I

|βS(t)i

= hαH|ΩH|βHi ,

(58)

| {z }

I

| {z }

I

|βS(t)i

= hαH|ΩH|βHi ,

a więc element macierzowy operatora jest taki sam w obu orazach.

(59)

Obraz Heisenberga

| {z }

I

| {z }

I

|βS(t)i

= hαH|ΩH|βHi ,

a więc element macierzowy operatora jest taki sam w obu orazach.

(60)

Obliczmy szybkość zmiany elementu macierzowego operatora w obrazie Heisenberga.

d

dt hαH|ΩH|βHi =

(61)

Obraz Heisenberga

d

dt hαH|ΩH|βHi = hαH|dΩH

dt |βHi

(62)

d

dt |βHi

=

(63)

Obraz Heisenberga

d

dt |βHi

= hαH| d dt

e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ΩSe⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾|βHi

(64)

d

dt |βHi

= hαH| d dt

=

(65)

Obraz Heisenberga

d

dt |βHi

= hαH| d dt

= hα_H| e^~ⁱ^H(t−t⁰⁾∂ΩS

∂t e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾

| {z }

∂ΩH

∂t

|β_Hi