PRZYKŁAD ILUSTRACYJNY 1

Firma aktualizuje portfel swoich projektów w cyklu półrocznym. Na

2

początku roku rozważana jest realizacja trzech projektów: P1, P2 oraz P3. Firma

3

dysponuje zasobami pozwalającymi na realizację co najwyżej dwóch z nich. Na

4

podstawie badań przeprowadzonych przez dział sprzedaży stwierdzono, że istnieje

5

stosunkowo duże prawdopodobieństwo, że w połowie roku pojawią się dwie nowe

6

propozycje przedsięwzięć: P4 i P5. Zakłada się, że firma będzie w stanie przesunąć

7

część zasobów z realizacji dotychczas realizowanych projektów na jeden nowy

8

projekt, przy czym będzie to skutkowało niższym poziomem zysku uzyskanego

9

z realizacji wcześniej uruchomionych projektów.

10

Zbiór stanów dopuszczalnych na początku etapu pierwszego Y1 jest

11

jednoelementowy, zaś zbiór decyzji, jakie mogą być podjęte w jedynym stanie

12

dopuszczalnym w etapie 1 składa się z trzech elementów:

13

Y₁= {𝑦₁⁽¹⁾}, X (𝑦₁⁽¹⁾) = {𝑥₁⁽¹⁾},

14

przy czym poszczególne decyzje oznaczają:

15

𝑥₁⁽¹⁾ – uruchomienie projektów P1 i P2,

16

𝑥₁⁽²⁾ – uruchomienie projektów P1 i P3,

17

𝑥₁⁽³⁾ – uruchomienie projektów P2 i P3.

18

Stan na początku etapu drugiego wynika z decyzji podjętej w etapie

19

pierwszym oraz wystąpienia jednego z czterech stanów natury:

20

1. do realizacji są gotowe oba nowe projekty P4 i P5 (prawdopodobieństwo 0,42),

21

2. do realizacji jest gotowy tylko projekt P4 (prawdopodobieństwo 0,28),

22

3. do realizacji jest gotowy tylko projekt P5 (prawdopodobieństwo 0,18),

23

4. żaden z projektów P4, P5 nie jest gotowy do realizacji (prawdopodobieństwo

24

0,12).

25

W efekcie na początku etapu drugiego proces może się znaleźć w jednym

26

z 12 stanów:

27

Y₂ = {𝑦₂⁽¹⁾, 𝑦₂⁽²⁾, 𝑦₂⁽³⁾, 𝑦₂⁽⁴⁾, 𝑦₂⁽⁵⁾, 𝑦₂⁽⁶⁾, 𝑦₂⁽⁷⁾, 𝑦₂⁽⁸⁾, 𝑦₂⁽⁹⁾, 𝑦₂⁽¹⁰⁾, 𝑦₂⁽¹¹⁾, 𝑦₂⁽¹²⁾}

28

Opis sytuacji, którym odpowiadają te stany przedstawia tabela 1.

29

W zależności od stanu, w jakim proces znajduje się na początku etapu

30

drugiego, możliwe jest podjęcie wszystkich lub niektórych spośród następujących

31

decyzji:

32

𝑥₂⁽¹⁾ – rezygnacja z rozpoczęcia któregokolwiek z projektów P4, P5,

33

𝑥₂⁽²⁾ – rozpoczęcie projektu P4,

34

𝑥₂⁽³⁾ – rozpoczęcie projektu P5.

35

Konstrukcja portfela projektów … 343

Tabela 1. Lista stanów dopuszczalnych na początku etapu 2

1

Stan

Projekty włączone do portfela

Projekty, które mogą być włączone

do portfela

Stan

Projekty włączone do portfela

Projekty, które mogą być włączone

do portfela

𝑦₂⁽¹⁾ P1, P2 żaden 𝑦₂⁽⁷⁾ P1, P3 P5

𝑦₂⁽²⁾ P1, P2 P4 𝑦₂⁽⁸⁾ P1, P3 P4, P5

𝑦₂⁽³⁾ P1, P2 P5 𝑦₂⁽⁹⁾ P2, P3 żaden

𝑦₂⁽⁴⁾ P1, P2 P4, P5 𝑦₂⁽¹⁰⁾ P2, P3 P4

𝑦₂⁽⁵⁾ P1, P3 żaden 𝑦₂⁽¹¹⁾ P2, P3 P5

𝑦₂⁽⁶⁾ P1, P3 P4 𝑦₂⁽¹²⁾ P2, P3 P4, P5

Źródło: opracowanie własne

2

Zbiory decyzji dopuszczalnych dla stanów, w których proces może się

3

znaleźć na początku etapu drugiego są następujące:

4

X (𝑦₂⁽¹⁾) = X (𝑦₂⁽⁵⁾) = X (𝑦₂⁽⁹⁾) = {𝑥₂⁽¹⁾}

5

X (𝑦₂⁽²⁾) = X (𝑦₂⁽⁶⁾) = X (𝑦₂⁽¹⁰⁾) = {𝑥₂⁽¹⁾, 𝑥₂⁽²⁾}

6

X (𝑦₂⁽³⁾) = X (𝑦₂⁽⁷⁾) = X (𝑦₂⁽¹¹⁾) = {𝑥₂⁽¹⁾, 𝑥₂⁽³⁾}

7

X (𝑦₂⁽⁴⁾) = X (𝑦₂⁽⁸⁾) = X (𝑦₂⁽¹²⁾) = {𝑥₂⁽¹⁾, 𝑥₂⁽²⁾, 𝑥₂⁽³⁾}

8

Stan końcowy procesu zależy od stanu, w jakim proces znalazł się na

9

początku etapu drugiego oraz decyzji jaka została w nim podjęta. Proces może się

10

zakończyć w jednym z dziewięciu stanów. Ich listę przedstawia tabela 2.

11

Tabela 2. Lista stanów dopuszczalnych na końcu procesu

12

Stan Skład portfela Stan Skład portfela Stan Skład portfela

𝑦₃⁽¹⁾ P1, P2 𝑦₃⁽⁴⁾ P1, P3 𝑦₃⁽⁷⁾ P2, P3

y₃⁽²⁾ P1, P2, P4 y₃⁽⁵⁾ P1, P3, P4 y₃⁽⁸⁾ P2, P3, P4 y₃⁽³⁾ P1, P2, P5 y₃⁽⁶⁾ P1, P3, P5 y₃⁽⁹⁾ P2, P3, P5 Źródło: opracowanie własne

13

Decydent ocenia poszczególne strategie ze względu trzy kryteria:

14

 𝑓¹ – łączna wartość bieżąca netto NPV portfela (w tys. zł),

15

 𝑓² – łączna wartość sprzedaży nowych produktów (w tys. zł),

16

 𝑓³ – łączna wartość sprzedaży na nowym rynku (w tys. zł).

17

W tabeli 3 przedstawiono wartości etapowych funkcji kryterialnych

18

w zależności od stanu, w jakim znajduje się proces i decyzji, jak w tym stanie

19

została podjęta. Korzyści wynikające z ewentualnego uruchomienia w drugim

20

etapie projektów P4 lub P5 uwzględniają niższy poziom zysku uzyskanego

1

w efekcie realizacji projektów uruchomionych w etapie pierwszym.

2

Tabela 3. Wartości etapowych funkcji celu

3

𝑦_𝑡^(𝑖) 𝑥_𝑡^(𝑗) 𝑓_𝑡¹ 𝑓_𝑡² 𝑓_𝑡³ 𝑦_𝑡^(𝑖) 𝑥_𝑡^(𝑗) 𝑓_𝑡¹ 𝑓_𝑡² 𝑓_𝑡³ 𝑦₁⁽¹⁾ 𝑥₁⁽¹⁾ 105 0 2 𝑦₂⁽⁷⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₁⁽¹⁾ 𝑥₁⁽²⁾ 100 5 3 𝑦₂⁽⁷⁾ 𝑥₂⁽³⁾ -5 5 3 𝑦₁⁽¹⁾ 𝑥₁⁽³⁾ 95 10 5 𝑦₂⁽⁸⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽¹⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽⁸⁾ 𝑥₂⁽²⁾ 30 10 0 𝑦₂⁽²⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽⁸⁾ 𝑥₂⁽³⁾ -5 5 3 𝑦₂⁽²⁾ 𝑥₂⁽²⁾ 15 10 0 𝑦₂⁽⁹⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽³⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽¹⁰⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽³⁾ 𝑥₂⁽³⁾ -5 5 1 𝑦₂⁽¹⁰⁾ 𝑥₂⁽²⁾ 30 10 0 𝑦₂⁽⁴⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽¹¹⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽⁴⁾ 𝑥₂⁽²⁾ 15 10 0 𝑦₂⁽¹¹⁾ 𝑥₂⁽³⁾ -5 5 3 𝑦₂⁽⁴⁾ 𝑥₂⁽³⁾ -5 5 1 𝑦₂⁽¹²⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽⁵⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽¹²⁾ 𝑥₂⁽²⁾ 30 10 0 𝑦₂⁽⁶⁾ 𝑥₂⁽¹⁾ 0 0 0 𝑦₂⁽¹²⁾ 𝑥₂⁽³⁾ -5 5 3 𝑦₂⁽⁶⁾ 𝑥₂⁽²⁾ 30 10 0

Źródło: opracowanie własne

4

Proces wyznaczenia rozwiązania problemu przebiega w sposób następujący:

5

Faza wstępna:

6

1. Decydent określa hierarchię kryteriów: f ¹, f ², f ³.

7

2. Rozwiązujemy trzy jednokryterialne zadania programowania dynamicznego,

8

w których kolejno optymalizujemy wartości poszczególnych kryteriów. Wektor

9

wartości idealnych ma postać: f^∗= [121,0; 17,9; 6,8].

10

3. Jedyna strategia zapewniająca uzyskanie optymalnej wartości kryterium f ¹

11

polega na wybraniu w pierwszym etapie projektów P1 i P2, a w etapie drugim,

12

jeżeli to możliwe projektu P4. Projektu P5 nie należy uruchamiać, nawet jeżeli

13

jest to możliwe. Strategię tą oznaczymy jako x1. Wartości oczekiwane

14

poszczególnych kryteriów uzyskiwane dzięki jej zastosowaniu są następujące:

15

f ¹: 121,0; f ²: 12,0; f ³: 3,0. Ponieważ tylko jedna strategia zapewnia uzyskanie

16

wartości optymalnej dla najważniejszego kryterium (f¹), jest ona oczywiście

17

niezdominowana i zostaje jako jedyna włączona do zbioru X⁽¹⁾.

18

Konstrukcja portfela projektów … 345

4. Jako wartości początkowe współrzędnych wektora f̂ przyjmujemy najgorsze

1

wartości kryteriów uzyskiwane dla strategii włączonych do zbioru X⁽¹⁾: f̂ =

2

[121,0; 12,0; 3,0].

3

5. Przyjmujemy l = 1.

4

Iteracja 1:

5

1. Wyznaczamy wektory wartości optymistycznych i pesymistycznych:

6

f = [121,0; 12,0; 3,0], f = [121,0; 12,0; 3,0].

7

2. Jako pierwszą propozycję dla decydenta x⁽¹⁾ przyjmujemy strategię x1. Jest to

8

jedyna strategia należąca do zbioru X⁽¹⁾, a wartości kryteriów, jakie są dla niej

9

uzyskiwane nie są gorsze niż wartości satysfakcjonujące zdefiniowane w fazie

10

wstępnej procedury.

11

3. Przedstawiamy decydentowi strategię x⁽¹⁾ oraz wartości idealne (wektor f^∗),

12

optymistyczne (wektor f̅ ), pesymistyczne (wektor f ) oraz satysfakcjonujące

13

(wektor f ̂). Ponieważ decydent uznaje, że proponowane rozwiązanie nie jest

14

satysfakcjonujące, przechodzimy do następnego kroku.

15

4. Decydent poproszony o ponowne zdefiniowanie wektora f̂ podaje następujące

16

wartości satysfakcjonujące:

17

f̂ = [114,0; 16,0; 5,0]

18

5. Ponieważ wartość satysfakcjonująca, którą decydent podał dla kryterium f ¹ jest

19

gorsza od dotychczasowo przyjmowanej, przechodzimy do kroku (6).

20

6. Korzystając z algorytmu wyznaczania strategii prawie optymalnych,

21

identyfikujemy kolejne strategie zapewniające uzyskanie wartości

22

satysfakcjonującej dla kryterium f ¹: x2, x3, x4 i x5. Wartości kryteriów

23

uzyskiwane dla tych strategii przedstawia tabela 4.

24

Tabela 4. Wartości kryteriów dla strategii wyznaczonych w iteracji 1

25

Strategia f ¹ f ² f ³

x2 120,1 12,9 3,5

x3 116,0 17,0 5,0

x4 115,5 7,0 2,0

x5 114,6 7,9 2,2

Źródło: opracowanie własne

26

Strategie x4 oraz x5 są zdominowane. Do zbioru X⁽¹⁾ zostają zatem dodane

27

jedynie strategie x2 oraz x3.

28

7. Analizując wyniki uzyskiwane dla realizacji ze zbioru X⁽¹⁾ stwierdzamy, że

29

strategia x3 zapewnia uzyskanie wartości satysfakcjonujących dla wszystkich

30

kryteriów. Wobec powyższego przyjmujemy X⁽²⁾ = X⁽¹⁾, l = 2 i przechodzimy

31

do kolejnej iteracji.

32

33

Iteracja 2:

1

1. Do zbioru X⁽²⁾ należą strategie x1, x2 oraz x3. Wektory wartości

2

optymistycznych i pesymistycznych mają postać następującą:

3

f = [121,0; 17,0; 5,0], f = [116,0; 12,0; 3,0].

4

2. Jako kolejną propozycję dla decydenta x⁽²⁾ przyjmujemy strategię x3. Jest to

5

jedyna strategia ze zbioru X⁽²⁾, która pozwala na uzyskanie wartości

6

satysfakcjonujących.

7

3. Przedstawiamy decydentowi strategię x⁽²⁾ oraz wartości idealne (wektor f^∗),

8

optymistyczne (wektor f̅ ), pesymistyczne (wektor f ) oraz satysfakcjonujące

9

(wektor f̂). Ponieważ decydent uznaje, że proponowane rozwiązanie nie jest

10

satysfakcjonujące, przechodzimy do następnego kroku.

11

4. Decydent poproszony o ponowne zdefiniowanie wektora f̂ podaje następujące

12

wartości satysfakcjonujące:

13

f̂ = [110,0; 15,0; 5,5].

14

5. Ponieważ wartość satysfakcjonująca, którą decydent podał dla kryterium f ¹ jest

15

gorsza od dotychczasowo przyjmowanej, przechodzimy do kroku (6).

16

6. Korzystając z algorytmu wyznaczania strategii prawie optymalnych,

17

identyfikujemy kolejne strategie zapewniające uzyskanie wartości

satys-18

fakcjonującej dla kryterium f ¹: x6, x7, x8, x9 i x10. Wartości kryteriów

19

uzyskiwane dla tych strategii przedstawia tabela 5.

20

Tabela 5. Wartości kryteriów dla strategii wyznaczonych w iteracji 2

21

Strategia f ¹ f ² f ³

x6 113,3 17,9 5,5

x7 112,6 9,2 3,0

x8 111,7 10,1 3,5

x9 111,3 4,2 2,0

x10 110,4 5,1 2,2

Źródło: opracowanie własne

22

Jedynie strategia x6 jest niezdominowana i ona zostaje dodana do zbioru X⁽²⁾.

23

7. Analizując wyniki uzyskiwane dla realizacji ze zbioru X⁽²⁾ stwierdzamy, że

24

strategia x6 zapewnia uzyskanie wartości satysfakcjonujących dla wszystkich

25

kryteriów. Wobec powyższego przyjmujemy X⁽³⁾ = X⁽²⁾, l = 3 i przechodzimy

26

do kolejnej iteracji.

27

Decydent może w tym momencie zaakceptować strategię x6 jako

rozwią-28

zanie końcowe lub kontynuować poszukiwanie rozwiązania jeszcze lepiej

29

dopasowanego do jego oczekiwań w sposób analogiczny do opisanego powyżej.

30

Przyjęcie jako rozwiązania końcowego problemu strategii x6 oznaczałoby, że

31

w pierwszym kolejności decydent powinien włączyć do portfela projekty P2 i P3,

32

a w połowie roku, o ile to możliwe, włączyć do portfela projekt P4. Jeżeli jednak

33

okaże się, że ostatnie przedsięwzięcie nie może być uruchomione, to należy

34

Konstrukcja portfela projektów … 347 sprawdzić, czy gotowy do realizacji jest projekt P5 i ewentualnie rozpocząć jego

1

realizację.

2

ZAKOŃCZENIE

W dokumencie METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH (Stron 183-188)