Dresselhausa i Rashby
4.7 R UCH ELEKTRONU W POTENCJALE PARABOLICZNYM
Aby lepiej zrozumieć wyniki uzyskane w poprzednim rozdziale przeprowadziliśmy symulacje ruchu elektronu w potencjale parabolicznym. Procedura obliczeniowa jest taka sama jak poprzednio (patrz rozdział 3) z ta różnicą, że jama potencjału, w której jest uwięziony elektron nie jest kształtowana przez napięcia przykładane do elektrod, ale jest sztucznie zadanym potencjałem parabolicznym. Dzięki temu potencjał ten możemy zadawać z określoną częstotliwością drgań własnych i obserwować zachowanie pakietu falowego w zależności od częstotliwości wymuszenia z jaką wprawiamy jamę w ruch oscylacyjny.
Przeprowadzone symulacje potwierdzały wyniki, które uzyskaliśmy w poprzednim rozdziale. Poniżej znajdują się wykresy (Rys. 49) przedstawiające wyniki obliczeń dla potencjału parabolicznego o częstotliwości drgań ωz=100GHz w kierunku osi OZ i ωx=350GHz w kierunku osi OX. Cienką niebieską krzywą zaznaczono ruch dna potencjału parabolicznego. Wykonuje on ruch oscylacyjny z zadaną przez nas częstotliwością wymuszenia ωw i amplitudą równą 62.5nm. Krzywymi czarną, czerwoną zieloną i jasno niebiską zaznaczono wartości oczekiwane położenia pakietu falowego w kierunku ruchu (<z>) dla częstotliwości wymuszenia równych 20, 30, 50 i 70GHz, odpowiednio. Linią niebieską zaznaczono wartości oczekiwane odpowiadającego im położenia w kierunku osi OX (<x>). Ruch elektronu w studni parabolicznej jest bardzo podobny do tego, który uzyskaliśmy w przypadku rzeczywistego potencjału zadanego przez napicia na elektrodach. Dla niskich częstotliwości są widoczne drgania na wykresie wartości oczekiwanej położenia (ωwym=20, 30GHz), które patrząc w sposób klasyczny obrazują zatrzymania elektronu bądź odbicia od barier studni. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej są to przejścia elektronu do wyższych stanów energetycznych. Dla częstotliwości ωw równej połowie częstotliwości własnej studni potencjału (tu 50GHz) ruch elektronu staje się zgodny z częstotliwością oscylacji studni, jest to częstotliwość optymalna. Dla częstotliwości wyższych, podobnie jak poprzednio, ruch elektronu staje się wykresem sinusoidalnym o częstotliwości ωw z dodatkowa modulacją niskoczęstotliwościową, co jest widoczne na ostatnim wykresie Rys. 49.
87
RYS.49.WYKRESY WARTOŚCI OCZEKIWANEJ POŁOŻENIA ELEKTRONU <Z> I <X> W FUNKCJI CZASU DLA PARABOLICZNEJ STUDNI POTENCJAŁU O CZĘSTOTLIWOŚCI ΩZ=100GHZ I ΩX=350GHZ. WYKRESY <X>
OZNACZONE SĄ LINIA NIEBIESKĄ, A <Z> KRZYWYMI CZARNĄ, CZERWONĄ, ZIELONĄ I JASNO NIEBIESKĄ DLA CZĘSTOTLIWOŚCI WYMUSZENIA 20,30, 50 I 70GHZ, ODPOWIEDNIO.DODATKOWO CIENKĄ NIEBIESKĄ KRZYWĄ ZAZNACZONO RUCH STUDNI.
Powróćmy jeszcze na chwile do drgań na wykresie położenia elektronu. Jak już wcześniej wspomnieliśmy z punktu widzenia mechaniki kwantowej są to przejścia elektronu do wyższych stanów energetycznych. Dla parabolicznej studni potencjału im wyższa krzywizna potencjału tym większe są odległości miedzy kolejnymi poziomami energetycznymi, tak więc zwiększając częstotliwość własną odsuwamy kolejne poziomy
< z> ( n m ) <x> ( nm ) < z> ( nm ) < z> ( nm ) < x> (nm ) < x> (nm ) t (ps) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 300 400 500 400 300 400 500 300 300 400 500 500 200 175 200 175 200 175 200 175 <x> (nm ) < z> ( nm )
88
energetyczne od siebie i uniemożliwiamy funkcji falowej przejścia miedzy nimi. Na Rys. 50 przedstawiliśmy wykresy wartości oczekiwanej położenia pakietu falowego dla paraboloidy o częstotliwości własnej ωz=160GHz i ωx=160GHz . Zauważmy, że zwiększenie częstotliwości studni ωz w kierunku ruchu elektronu spowodowało wygładzenie się drgań na wykresie wartości oczekiwanej położenia pakietu falowego składowa <z>. Efekt odwrotny uzyskaliśmy natomiast dla kierunku OX, tutaj pojawiły się dodatkowe drgania elektronu. Stało się tak ponieważ, zmniejszyliśmy częstotliwość własną studni w tym kierunku (teraz mamy 160GHz a było 350GHz) a tym samym umożliwiliśmy przejścia elektronu do wyższych stanów energetycznych, co obrazują te drgania.
RYS. 50. WYKRES WARTOŚCI OCZEKIWANEJ POŁOŻENIA ELEKTRONU <X> (KRZYWA NIEBIESKA) I <Z> (KRZYWA JASNO NIEBIESKA) W FUNKCJI CZASU DLA PARABOLICZNEJ STUDNI POTENCJAŁU O CZĘSTOTLIWOŚCI ΩZ=160GHZ I ΩX=160GHZ.DODATKOWO LINIĄ PRZERYWANĄ ZAZNACZONO OSCYLACYJNY RUCH STUDNI.
89
5 PODSUMOWANIE.
Celem niniejszej pracy było zasymulowanie i zoptymalizowanie działania nanourządzenia wykonującego operacje na spinie elektronu, wykorzystując go jako nośnik informacji. W pierwszej części pracy przebadaliśmy heterostrukturę użytą w nanourządzeniu badanym w doświadczeniu (50). Zasymulowaliśmy rozkłady pola elektrostatycznego wytwarzanego przez napięcia przykładane do elektrod na powierzchni heterostruktury i obliczyliśmy siłę oddziaływań spin orbita (oddziaływanie Dresselhausa i Rashby) w takim nanourządzeniu. Ponieważ odziaływanie te powodują obrót spinu podczas ruchu elektronu, są one bardzo ważnym parametrem w projektowaniu nanourządzeń wykonujących operacje na spinie elektronu. W omawianej heterostrukturze, w warunkach jakie są potrzebne do wyseparowania pojedynczego elektronu i wykonania na nim operacji obrotu spinu, oddziaływania te są bardzo słabe. Nie możemy zatem uzyskać efektywnych bramek logicznych niezbędnych do przeprowadzenia obliczeń kwantowych. Dlatego też w dalszej pracy zrezygnowaliśmy z heterostruktury użytej w eksperymencie i zaproponowaliśmy heterostrukturę zbudowaną na bazie tych samych materiałów półprzewodnikowych, ale zawierającą symetryczną studnie kwantową (patrz rozdział 3). Na bazie tej heterostruktury przepadaliśmy dwa nanourządzenia: pierwsze z układem elektrod proponowanym w eksperymencie (50), drugie z układem zaprojektowanym przez nas. W pierwszym nanourządzeniu ruch elektronu odbywał się po krzywej przypominającej fragment okręgu (Rys. 25c), udało się odtworzyć oscylacje Rabiego uzyskane w eksperymencie i uzyskać funkcje bramki Not i Hadamarda. Ich czas wykonania nie był jednak dla nas satysfakcjonujący. Napotkane ograniczenia adiabatyczności ruchu elektronu dla częstotliwości oscylacji studni wyższych od 20GHz, jego duża niestabilność przy zmianie napięcia na elektrodach, a także brak możliwości wydłużenia jego trajektorii skłoniły nas do zaprojektowania nowej architektury elektrod (Rys. 29). Zmiana ta pozwoliła zredukować ruch elektronu do jednego wymiaru i tym samym uzyskać większą jego stabilność. Ustabilizowanie utworzonej przez napięcia parabolicznej studni potencjału w kierunku ruchu (oś OZ) a także zwiększenie jej częstotliwości własnej w kierunku osi OX pozwoliło ustabilizować drgania własne elektronu w studni potencjału i pokonać barierę 20gHz częstotliwości jej oscylacji. Zwiększenie tego parametru jak i wydłużenie trajektorii miało ogromny wpływ na szybkość działania uzyskanych bramek logicznych, czas ich wykonania udało się poprawić aż o rząd wielkości w stosunku do pierwszego nanourządzenia, dla
90
bramki Not wynosi on ok 150ps (Rys. 42) dla heterostruktury o szerokości studni kwantowej równej 15nm i 105ps dla szerokości studni kwantowej równej 12nm (Rys. 48).
91
6 BIBLIOGRAFIA
1. D. Deutsch and R.Jozsa. Rapied solution of problems by quantum computation. Proc.
Roy. Soc. Lond. A. 439:553, 1992, p. 439:553.
2. P. Shor. Proceedings 35th annual symposium on the foundations of computer science.
IEEE Computer Society Press, Los Alamitos. 1994, str. 124.
3. L. K. Grover. Quantum mechaanics helps in searching for a needle in a haystack. Phys.
Rev. Lett. 1996, str. 79:325.
4. A. K. Ekert. Quantum cryptography based on Bell's theorem. Phys. Rev. Lett. 67:661, 1991, p. 67:661.
5. C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, W. K. Wootters. Teleporting an unknown quantum state vi dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett. 70:1895, 1993, str. 70:1895.
6. L.M.K. Vandersypen, M. Steffen, G. Breyta, C.S. Yannoni, R. Cleve, and I. L. Chuang. Experimental realization of an order-finding algorithm with an NMR quantum computer. Phys.
Rev. Lett. 25, 2000, Tom 85, str. 5452:5455.
7. D. J. Wineland. Quantum information processing and quantum control with trapped atomic ions. Phys. Scr. 2009, Tom 137, str. 014007.
8. R. Hanson, L. P. Kouwenhoven, J. R. Petta, S. Tarucha, L. M. K. Vandersypen. Spins in few-electron quantum dots. Rev. Mod. Phys. 2007, Tom 79, strony 1217-1265.
9. R. Hanson, D. Awschalom. Coherent manipulation of single spins in semiconductors.
Nature. 2008, Tom 453, str. 1043.
10. R. Hanson, D. Awschalom. Nature. Tom 453, str. 07129.
11. J.M. Elzerman, R. Hanson, L.H. Willems van Beveren, L.M.K. Vandersypen, and L.P.
Kouwenhoven. Excited-state spectroscopy on a nearly closed quantum. Applied Physics
Letters. 2004, Tom 84, str. 4617.
12. J. M. Elzerman, R. Hanson, L. H. Willems van Beveren, B. Witkamp,L. M. K.
Vandersypen & L. P. Kouwenhoven. Single-shot read-out of an individual electron spin in a
92
13. D. Loss and D. P. Divincenzo. Phys. Rev. A. 1998, Tom 57, str. 120.
14. D. Awshalom, D. Loss, N. Samarth. Semiconductor Spintronics and Quantum Computation. Springer Verlag. 2002.
15. J. R. Petta, A. C. Johnson, J. M. Taylor, E. A. Laird, A. Yacoby, M. D. Lukin, C. M.
Marcus,. Coherent Manipulation of Coupled Electron Spins in Semiconductor Quantum
Dots. Science. 2005, Tom 309, strony 2180-2184.
16. F.H.L. Koppens, C. Buizert, K.J. Tielrooij, I.T. Vink, K.C. Nowack, T. Meunier, L.P.
Kouwenhoven, L.M.K. Vandersypen. Driven coherent oscillations of a single electron spin
in a quantum dot. Nature. 2006, Tom 442, strony 766-771.
17. C. B. Simmons, J. R. Prance, B. J. Van Bael, Teck Seng Koh, Zhan Shi, D. E.
Savage, M. G. Lagally,R. Joynt, Mark Friesen, S. N. Coppersmith, and M. A. Eriksson.
Tunable Spin Loading and T1 of a Silicon Spin Qubit Measured by Single-Shot Readout.
Phys. Rev. Lett. 2011, Tom 106, str. 15684.
18. T. Fujisawa, T. Hayashi and Y. Hirayama. Appl. Phys. Lett. 2004, Tom 84, str. 13. 19. T. Hayashi, T. Fujisawa, H. D. Cheong, Y. H. Jeong and Y. Hirayama. Phys. Rev. Lett. 2003, Tom 91, str. 226804.
20. T. Fujisawa, D. G. Austing, Y. Tokura, Y. Hirayama and S. Tarucha. Physics of
Semoconductors. 2003, Tom 171, str. 245.
21. R. Schuster et al. Nature. 1997, Tom 384, str. 417.
22. W. van der Wiel, T. Fujisawa, S. Tarucha and L. P Kouwenhoven. Japan Appl. Phys. 2001, Tom 40, str. 2100.
23. R. Ashoori et al. Phys. rev. Lett. 1992, Tom 68, str. 3088.
24. N. B Zhitenev, R. C. Ashoori, L. N. Pfeiffer and K. W. West. Phys. Rev. Lett. Tom 79, str. 2308.
25. N. B Zhitenev, M. Brodsky, R. C. Ashoori, L. N. Pfeiffer and K. W. West. Science. 1999, Tom 285, str. 715.
26. M. Brodsky, N. Zhitenev and R. C Ashoori. Phys. Rev. Lett. 2000, Tom 81, str. 2356. 27. S. Tarucha et al. . Physica E. 2001, Tom 10, str. 45.
28. M. Upward, J. Janssen, L. Gurevich, A. Morpurgo, and L. Kouwenhoven. Appl. Phys.
93
29. W. van der Wiel et al. Rev. Mod. Phys. 2003, Tom 75, str. 1.
30. J. M. Elzerman et al. Physical Review B. 2003, Tom 67, str. 161308.
31. R. Deblock, E. Oac, L. Gurevich, and L. Kouwenhoven. Science. 2003, Tom 301, str. 203.
32. R. Hanson et al. Phys. Rev. Lett. 2003, Tom 91, str. 196802.
33. J. M. Elzerman, R. Hanson, L. H. W. van Beveren, L. M. K. Vandersypen, and L. P.
Kouwenhoven. Applied Physics Letter. 2004, Tom 82, str. 4618.
34. J. M. Elzerman et al. Nature. 2004, Tom 430, str. 431. 35. J. Elzerman et al. Physica E. 2004, Tom 25, str. 135.
36. L. Vandersypen et al. Appl. Phys. Lett. 2004, Tom 85, str. 4394. 37. R. Hanson et al. Phys. Rev. B. 2004, Tom 70, str. 241304. 38. R. Hanson et al. Phys. Rev. Lett. 2005, Tom 94, str. 196802. 39. F. H. Koppens et al. Science. 2005, Tom 309, str. 1346.
40. D. K. Ferry, R. Akis, and J. P. Bird. Phys. Rev. Lett. 2004, Tom 93, str. 026803.
41. I. H. Chan, P. Fallahi, R. M. Westerwelt, M. Hanson, and A. C. Gossard.
Nanotechnology. 2004, Tom 15, str. 609.
42. H. L. Stormer. Review of Modern Physics. 1999, Tom 71, str. 4.
43. T. Chakraborty and P. Pietilainen. The Quantum Hall Effects. Springer Series in Solid
State Sciences. 1995.
44. S. Adachi. Japan Appl. Phys. 1985, Tom 58, str. 3.
45. H. Ibach, H. Luth. Fizyka ciała stałego. Warszawa : Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. str. 419.
46. R. Hanson, D. Awschalom. Nature. 2008, Tom 453, str. 07129.
47. R. Hanson et al. Single-shot readout of electron spin states in a quantum dot using spinde-pendent tunnel rates. Phys. Rev. Lett. 2005, Tom 94, str. 196802.
48. J.M.Taylor et al. Fault-tolerant architecture for quantum computation using electrically controlled semiconductor spins. Nature Phys. 2005, Tom 1, strony 177-183.
94
49. R. Hanson,G. Burkard. Universal set of quantum gates for double-dot spin qubits with fixed interdot coupling. Phys. Rev. Lett. 2007, Tom 98, str. 050502.
50. K. C. Nowack, F. H. L. Koppens, Y. V. Nazarov, L.M.K. Vandersypen. Coherent control of a single electron spin with electric fields. Science. 2007, Tom 318, strony 1430-1433.
51. K. C. Nowack, M. Shafiei, M. Laforest, G. E. D. K. Prawiroatmodjo, L. R. Schreiber,C.
Reich, W. Wegscheider, L. M. K. Vandersypen. Single-Shot Correlations and Two-Qubit
Gate of Solid-State Spins. Science. 2011, Tom 333, str. 1269.
52. S. Bednarek K. Lis, B. Szafran. Quantum dotdefinedin a two-demensional electron gas at n-AlGaAs/GaAs heterojunction:Simulation of electrostatic potential and chargingproperties. Phys. Rev. B77. 2008, 115320.
53. S. Bednarek, B. Szafran, R. J. Dudek, K. Lis. Induced quantum dots and wires: Electron storage and delivery. Phys. Rev. Lett. 2008, Tom 100, str. 126805.
54. S. Bednarek B. Szafran. Spin rotations induced by an electronrunning in closed trajectories in gated semiconductor nanodevices. Physics Rvievw Letters. 2008, Tom 101, 216805.
55. S. Bednarek B. Szafran. Gated combo nanodevices for sequential operations on single electron spin. Nanotechnology. 2009, Tom 20, 065402.
56. S.Bednarek, P.Szumniak, B.Szafran. Spin accumulation and spin read out without magnetic field. Phys. Rev. B. 2010, Tom 82, str. 235319.
57. P. Szumniak S. Bednarek, B. Partoens, F.M. Peeters. Spin-Orbit-Mediated Manipulation of Heavy-Hole Spin Qubits in Gated Semiconductor Nanodevices. Phsics
Review Letters. 2012, Tom 109, 107201.
58. S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis. Phys. Rev. B. 2005, Tom 72, str. 075319. 59. G. Dresselhaus. Phys. Rev. 1955, Tom 100, str. 580.
60. S.Bednarek, J. Pawlowski, A. Skubis. Manipulation of a single electron spin in a quantum dot without magnetic field. Applied Physics Letters. 212, 2013, Tom 100, str. 203103.
61. J.M. Elzerman R.Hanson L.H. Willems van Beveren, L.M.K. Vandersypen. Excited-state spectroscopy on a nearly closed quantum dot via charge detection. Applied Physics
95
62. W. Knap, C. Skierbiszewski, A. Zduniak, E. Litwin-Staszewska, D. Bertho, F. Kobbi,
J. L. Robert, G. E. Pikus, F. G. Pikus, S. V. Iordanskii, V. Mosser, K. Zekentes, and Y. B. Lyanda-Geller. Weak antilocalization and spin precession in quantum wells. Phys. Rev. B.
1996, Tom 53, str. 3912.
63. E. A. de Andrada e Silva, G. C. La Rocca i F. Bassani. Spin-orbit splitting of electronic states in semiconductor asymmetric quantum wells. Phys. Rev. B. 1997, Tom 55, str. 16293-16299.