Index of /rozprawy2/11171

Pełen tekst

(1)Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej. Rozprawa doktorska. Anna Skubis. Symulacje działania bramek kwantowych wykonujących operacje na spinie elektronu. Promotor: prof. dr hab. Stanisław Bednarek. Kraków, lipiec 2016.

(2) 2.

(3) Oświadczenie autora rozprawy: Oświadczam, świadoma odpowiedzialności karnej za poświadczenia nieprawdy, że niniejszą pracę doktorską wykonałam osobiście i samodzielnie, i że nie korzystałam ze źródeł innych niż wymienione w pracy.. ……………………………… data,. podpis. autora. Oświadczenie promotora rozprawy: Niniejsza rozprawa jest gotowa do oceny przez recenzentów.. ……………………………… data, podpis promotora. 3.

(4) 4.

(5) . Podziękowania Chciałabym gorąco podziękować mojemu promotorowi Panu Profesorowi Stanisławowi Bednarkowi za opiekę naukową, ogromną cierpliwość i życzliwość oraz wsparcie podczas pisania pracy. . 5.

(6) S PIS TREŚCI 1. Wstęp ..................................................................................................................... 8 1.1. 2. 3. 4. Układ pracy ................................................................................................... 12. Wybór heterostruktury .......................................................................................... 13 2.1. Opis nanourządzenia .................................................................................... 14. 2.2. Potencjał pola elektrostatycznego i jego źródła ............................................ 16. 2.3. Rozkład gęstości ładunku elektronowego w obszarze asymptotycznym ...... 18. 2.4. Rozkład potencjału i gęstości ładunku w pobliżu kropki kwantowej .............. 22. 2.5. Warunki brzegowe dla równania Poissona. .................................................. 23. 2.6. Procedura numeryczna - samouzgodnienie. ................................................. 25. 2.7. Wyniki obliczeń. ............................................................................................ 27. 2.8. Oddziaływanie spin-orbita. ............................................................................ 32. 2.9. Podsumowanie.............................................................................................. 35. Symulacja obrotu spinu ........................................................................................ 36 3.1. Rozwiazywanie zależnego od czasu równania Schrödingera ...................... 38. 3.2. Metoda ewolucji w czasie urojonym .............................................................. 39. 3.3. Hamiltonian układu........................................................................................ 40. 3.4. Ruch elektronu. ............................................................................................. 42. 3.5. Obrót spinu.................................................................................................... 49. 3.6. Operacje logiczne na spinie elektronu .......................................................... 51. 3.7. Czas działania bramki ................................................................................... 54. 3.8. Kształt trajektorii ............................................................................................ 60. 3.9. Podsumowanie.............................................................................................. 62. Optymalizacja nanourządzenia ............................................................................ 63 4.1. Oscylacje Rabiego. ....................................................................................... 64. 4.2. Częstotliwość optymalna. .............................................................................. 67. 4.3. Energia .......................................................................................................... 73. 6.

(7) 4.4. Amplituda napięcia zmiennego ..................................................................... 76. 4.5. Funkcje bramki Not i Hadamarda .................................................................. 79. 4.6. Oddziaływanie Dresselhausa ........................................................................ 82. 4.7. Ruch elektronu w potencjale parabolicznym ................................................. 86. 5. Podsumowanie. .................................................................................................... 89. 6. Bibliografia............................................................................................................ 91. 7.

(8) 1 W STĘP Dotychczasowy szybki rozwój możliwości obliczeniowych komputerów bazował na systematycznej miniaturyzacji jego elementów. W dużej mierze dążenia w tej materii koncentrowały się na zwiększaniu gęstości upakowania tranzystorów na powierzchni układu scalonego oraz miniaturyzacji samego tranzystora. Dzięki temu elementy pamięci i procesory zawierały coraz więcej bitów i stawały się coraz szybsze. Miniaturyzacja tranzystora, który stanowi podstawowy element pamięci czy procesora kończy się po osiągnięciu rozmiarów, w których pojawiają się efekty kwantowe zakłócające jego pracę. Stanowi to naturalną barierę dla dalszego wzrostu możliwości obliczeniowych komputerów. Zanim osiągnięto technologiczne granice miniaturyzacji, prowadzono już ogólne rozważania nad wykorzystaniem mechaniki kwantowej do przetwarzania informacji. Już w połowie lat 90-tych XX-go wieku wykazano, że wykorzystując zasady mechaniki kwantowej można stworzyć algorytmy wydajniejsze od algorytmów realizowanych przez współczesne komputery (1-3). Obliczenia kwantowe zyskały jeszcze większe zainteresowanie gdy pewne własności złożonych układów kwantowych wykorzystano do stworzenia bezpiecznych algorytmów szyfrowania i transmisji danych (4,5). Prace te ukazały nowe oblicze mechaniki kwantowej, a wiele laboratoriów badawczych zdało sobie sprawę, że posiada gotowe narzędzia aby wcielać w życie nowe koncepcje przetwarzania informacji - tak powstała idea komputera kwantowego. W chwili obecnej najbardziej zaawansowane są badania, w których do budowy komputera kwantowego jest wykorzystywane zjawisko NMR (magnetycznego rezonansu jądrowego) oraz pułapek jonowych. Idące w tych kierunkach badania pozwoliły na zbudowanie pierwszych rejestrów kilkukubitowych i wykonanie na nich pierwszych obliczeń (6,7). Badania te pokazały, że komputer kwantowy może być zbudowany i będzie mógł działać zgodnie z przewidywaniami. Jednakże obie wymienione metody realizacji bramek kwantowych napotykają na trudności w zbudowaniu odpowiednio dużych rejestrów wielokubitowych. Inną możliwością, cieszącą się dużym zainteresowaniem, jest wykorzystanie kropek kwantowych. Obecny zaawansowany rozwój technologii wytwarzania nanostruktur i nanourządzeń półprzewodnikowych oraz możliwość bezpośredniego sprzężenia ich z elektroniką klasyczną (8-10) powoduje, że takie rozwiązanie byłoby konkurencyjne w stosunku do wcześniej wymienionych konstrukcji (np. pułapek jonowych). W charakterze bitu kwantowego (kubitu) można wykorzystać dwa stany (dowolnego w zasadzie) układu. 8.

(9) kwantowego. Można na przykład wykorzystać dwa stany spinowe elektronu uwięzionego w kropce kwantowej. Spin jest bardzo dobrym kandydatem na nośnik kubitu ze względu na jego odporność na oddziaływanie z otoczeniem. Dzięki temu tzw. czas koherencji czyli zachowania spójności funkcji stanu (11-14) jest wystarczająco długi, żeby można było na nim wykonać odpowiednią sekwencję operacji logicznych realizujących algorytm kwantowy. Pojawia się zatem zapotrzebowanie na nanourządzenia półprzewodnikowe, w których można wyizolować pojedyncze elektrony, ustawić je w założonym stanie spinowym, wykonywać na nich operacje odpowiadające bramkom komputera kwantowego a następnie odczytać stan końcowy spinu (13-17). Takimi układami mogą być tzw. sterowne elektrostatycznie poziome kropki kwantowe (18-41). Kropki te generowane są w nanourządzeniach zbudowanych na bazie planarnej heterostruktury półprzewodnikowej (42,43), która posiada postać nałożonych na siebie warstw różnych materiałów półprzewodnikowych. Istotnym elementem heterostruktury jest styk dwóch materiałów tzw. heterozłącze, w którym tworzy się schodek energii potencjalnej. Powstaje on dzięki różnej wartości szerokości przerwy energetycznej miedzy dnem pasma przewodnictwa a wierzchołkiem pasma walencyjnego dla różnych materiałów. Poziomy energetyczne po obu stronach hetrozłącza układają się w taki sposób aby wyrównały się poziomy Fermiego w obu półprzewodnikach. Nakładając na siebie kolejno warstwy półprzewodników o szerokiej, węższej i znów szerokiej przerwie energetycznej w środkowej warstwie uzyskuje się studnie potencjału. Ogranicza ona ruch elektronów w kierunku pionowym (prostopadłym do heterozłącza). W pracy będą rozważane heterostruktury zbudowane z warstw GaAs oraz stopu AlGaAs, charakteryzującą się doskonałą jakością heterozłącza wynikającą z bardzo dobrej zgodności stałych sieci obu materiałów (44,45). Pozwala to na otrzymywanie wysokiej jakości kryształów - pozbawionych defektów i naprężeń. Źródło poziomego uwięzienia elektronu w kropce kwantowej stanowią metalowe elektrody nałożone na górna warstwę heterostruktury. Potencjał uwięzienia sterowany jest za pomocą przykładanych do nich napięć. Dzięki temu można w nich uwięzić pożądaną liczbę elektronów i wpływać na ich stany spinowe (8,46). Do chwili obecnej zbudowano i przebadano eksperymentalnie szereg różnych nanourządzeń służących do wykonywania operacji na spinie elektronu. W szczególności uzyskano odczyt spinu elektronu (12,16,47) oraz obrót spinu w pojedynczych i podwójnych kropkach kwantowych (15,48-50). Najprostszym sposobem manipulacji spinem elektronu jest rozszczepienie poziomów energetycznych obu stanów spinowych w silnym zewnętrznym polu magnetycznym i naświetlaniu układu mikrofalą o częstości odpowiadającej odległości energetycznej. pomiędzy oboma poziomami i czasem trwania odpowiadającym tzw. pi-. pulsowi. Tego typu operacje na stanach jednokubitowych opisane są w pracy (13). Jednakże 9.

(10) długość fali. zastosowanych mikrofal musi być nawet w bardzo silnych polach. magnetycznych rzędu kilku mm. To powoduje ograniczenie gęstości upakowania kubitów, na których należy wykonać niezależne operacje. W rezultacie również tutaj pojawiają się trudności ze zbudowaniem odpowiednio dużych rejestrów kwantowych. W nowszych pracach (50,51) pojawiły się konstrukcje pozbawione tej wady. Elektron uwięziony jest w sterowanej. bramkami. elektrostatycznej. kropce. kwantowej.. Przejścia. pomiędzy. rozszczepionymi w polu magnetycznym stanami spinowymi elektronu wymuszane są oddziaływaniem spin-orbita podczas drgań elektronu wywołanych przyłożonym do elektrod napięciem zmiennym. Częstotliwość napięcia tak jest dobrana by energia oscylacji odpowiadała rozszczepieniu Zeemanowskiemu energetycznych poziomów elektronowych o przeciwnych spinach. Oscylacyjny ruch elektronu w obecności oddziaływania spin-orbita zastępuje zewnętrzną mikrofalę. Tego typu układy są już skalowalne i mogą w przyszłości stać się elementami komputera kwantowego. Powstaje więc potrzeba przebadania takich układów, nie tylko eksperymentalnie ale i teoretycznie. Pozwoli to zdobyć niezbędną wiedzę do lepszego zrozumienia zachodzących tam zjawisk fizycznych i skonstruowania nanourządzeń zdolnych wykonywać operacje na spinie elektronu. W pracy (52) została opracowana metoda teoretycznego modelowania komputerowego nanourządzeń zbudowanych na bazie nanostruktur półprzewodnikowych z uwzględnieniem całej złożoności ich budowy. Metoda ta zastosowana do opisu nanourządzenia wykorzystanego w pracy (11) pozwoliła uzyskać wyniki teoretyczne zgodne z bogatym materiałem eksperymentalnym. W pracy (53) pokazany został mechanizm tworzenia indukowanych elektrostatycznie kropek i drutów kwantowych, które pozwalają transportować elektron z prawdopodobieństwem 100% po trajektoriach prostych i zakrzywionych łączących różne miejsca w nanostrukturze półprzewodnikowej. Możliwość przeniesienia elektronu pomiędzy dwoma funkcjonalnymi obszarami nanourządzenia z 100% prawdopodobieństwem jest w zastosowaniu do podzespołów komputera kwantowego niezwykle ważną własnością. Efekt ten został wykorzystany w późniejszych pracach w których zostały zaproponowane konstrukcje nanourządzeń pozwalających wykonać operacje logiczne na spinie elektronu (54-56) oraz dziury (57). Celem niniejszej pracy jest zasymulowanie i zoptymalizowanie (pod względem doboru heterostruktury i układu elektrod) działania nanourządzenia użytego w eksperymencie (50). Elektron został tam uwięziony w elektrostatycznie uformowanej kropce kwantowej zbudowanej na bazie heterostruktury nAlGaAs/GaAs, w której generuje się dwuwymiarowy gaz elektronowy (2DEG). Na powierzchni heterostruktury nałożone zostały palczaste, metalowe elektrody sterujące. Przyłożenie do tych elektrod ujemnych napięć pracy spowoduje wypchnięcie dwuwymiarowego gazu elektronowego spod elektrod i wydzielenie z 10.

(11) niego kropki kwantowej zawierającej jeden lub kilka elektronów. Elektrony te znajdują się w trójwymiarowej jamie potencjału, którą tworzą skok energii potencjalnej na granicy warstw półprzewodników (nAlGaAs/GaAs) oraz energia potencjalna elektronu w zewnętrznym polu elektrostatycznym, wymuszanym przez napięcia na elektrodach. Zmieniając napięcia można regulować głębokość jamy oraz wysokość barier oddzielających kropkę kwantową od dwuwymiarowego gazu elektronowego, dzięki czemu istnieje możliwość regulacji liczby elektronów w kropce. Przyłożenie do elektrod napięć zmiennych pozwoli na wygenerowanie poruszającej się w przestrzeni jamy potencjału, wraz z którymi porusza się w przestrzeni uwięziony w niej elektron.. 11.

(12) 1.1 U KŁAD PRACY Praca podzielona jest na pięć rozdziałów. Pierwszy z nich stanowi wprowadzenie do zawartej w pracy tematyki oraz przedstawia cele jej powstania. W drugim rozdziale rozprawy przebadamy rozkład. potencjału elektrostatycznego. generowanego w nanourządzeniu użytym w eksperymencie (50) w zależności od napięć przykładanych do elektrod znajdujących się na powierzchni heterostruktury. Omówimy procedurę numeryczna wykorzystaną do obliczeń, przedstawimy uzyskane rozkłady potencjałów oraz obliczymy współczynniki oddziaływania Dreselhausa i Rushby omawianej heterostruktury, które to wartości maja duże znaczenie w projektowaniu nanourządzeń wykonujących operacje na spinie elektronu. W. trzecim. rozdziale. zajmiemy. się. symulacjami. działania. nanourządzenia. wykonującego operacje na spinie. Tutaj również omówimy wykorzystaną do tego procedurą numeryczną a następnie przedstawimy uzyskane funkcje bramek logicznych opartych na obrocie spinu elektronu jako nośnika informacji kwantowej. Uzyskane wyniki porównamy z rezultatami doświadczenia przeprowadzonego na uniwersytecie w Delft i omówionego w pracy (50). W tym rozdziale zajmiemy się również ograniczeniami proponowanego tu nanourządzenia i możliwościami poprawy uzyskanych wyników. W kolejnym rozdziale, czwartym opierając się na wynikach z poprzedniego rozdziału podejmiemy próbę optymalizacji nanourządzenia. Skonstruujemy nowy układ elektrod i omówimy istotne parametry mające wpływ na szybkość uzyskanych bramek logicznych (funkcje musza być na tyle „szybkie” aby można było wykonać obliczenia kwantowe zanim nastąpi dekoherencja układu) i stabilność ruchu elektronu uwiezionego w jamie potencjału. Ostatni, piąty rozdział, stanowi podsumowanie niniejszej rozprawy.. 12.

(13) 2 W YBÓR HETEROSTRUKTURY W niniejszym rozdziale opiszemy procedurę numeryczną i przedstawimy wyniki komputerowych. symulacji. rozkładu. potencjału. elektrostatycznego. generowanego. w. nanourządzeniu o konstrukcji bardzo zbliżonej do nanourządzenia użytego w eksperymencie (50). Obliczenia przeprowadzimy dla różnych wartości napięć przykładanych do elektrod znajdujących się na powierzchni heterostruktury. Uzyskane rozkłady potencjału posłużą do wyznaczenia siły oddziaływań spin-orbita Rashby i Dresselhausa, które są dla nas kluczowe, ponieważ to właśnie one powodują obrót spinu poruszającego się elektronu i decydują o jego efektywności. Do obliczeń wykorzystamy metodę użytą w pracy (58), gdzie była modelowana taka sama hetrostruktura inny natomiast był układ elektrod.. R YS . 1: P RZEKRÓJ. POPRZECZNY HETEROSTRUKTURY .. 13.

(14) 2.1 O PIS NANOURZĄDZENIA Na Rys. 1 znajduje się przekrój poprzeczny heterostruktury użytej w nanourządzeniu. Heterostruktura zbudowana jest z kolejno na siebie nałożonych warstw niedomieszkowanych i domieszkowanych półprzewodników. Pierwszą od strony podłoża stanowi warstwa niedomieszkowanego arsenku galu (GaAs) o szerokości 1500nm. Na niej położone są dwie warstwy bariery blokującej nAlGaAs niedomieszkowanej o grubości 20nm (stanowi warstwę buforową, separująca) i silnie domieszkowanej donorami o grubości 65nm. Na powierzchni bariery ułożona jest cienka 5nm grubości warstwa domieszkowanego donorami GaAs. Elektrony w stanach donorowych w nAlGaAs znajdują się ok. 200meV powyżej wolnych poziomów elektronowych na dnie pasma przewodnictwa GaAs. Opuszczają zatem stany donorowe lokalizując się tuż poniżej bariery. Źródło ich uwięzienia w kierunku pionowym stanowi schodek potencjału na granicy warstw nAlGaAs/GaAs i potencjał elektrostatyczny wytworzony przez dodatnie ładunki pozostawionych przez nie jonów donorowych. Na górnej powierzchni struktury położone są odpowiednio ukształtowane metalowe elektrody. Przyjęte w naszej pracy rozmiary i kształt elektrod przedstawione są na Rys. 2.. R YS . 2. U KŁAD. ELEKTROD .. Jeżeli do elektrod przyłożone zostanie napięcie ujemne względem podłoża, elektrony, które były uwięzione poniżej nich zostaną wypchnięte do podłoża. Pojawią się niejednorodności rozkładu gazu. elektronowego i niejednorodności rozkładu pola. elektrycznego. Przy odpowiednio dobranych napięciach można z obszaru położonego 14.

(15) poniżej elektrod usunąć gaz elektronowy i pozostawić pojedyncze elektrony uwięzione w centralnej części urządzenia w warstwie GaAs, tuż poniżej bariery utworzonej przez warstwę nAlGaAs. Powstaje kilkuelektronowy sztuczny atom. Potencjał uwięzienia dla elektronów stanowi potencjał bariery Ub, ograniczającej ruch elektronu w kierunku powierzchni struktury. . planarnej i niejednorodności potencjału elektrostatycznego  tot (r ) , które są źródłem zarówno potencjału uwięzienia bocznego w kierunku równoległym do struktury planarnej jak i uwięzienia w kierunku pionowym ograniczając ruch cząstek w kierunku podłoża.. 15.

(16) 2.2 P OTENCJAŁ POLA ELEKTROSTATYCZNEGO I JEGO ŹRÓDŁA Rozkład. całkowitego. potencjału. pola. . elektrostatycznego  tot (r ). generowanego. w. nanourządzeniu kształtowany jest przez napięcia przyłożone pomiędzy podłoże i metalowe. . elektrody znajdujące się na powierzchni struktury oraz rozkład gęstości ładunku  (r ) pojawiającego się wewnątrz nanourządzenia. Rozkład ten wyznaczamy rozwiązując równanie Poissona.   (r )   tot (r )  . 2. (2.1).  0. z odpowiednio dobranymi warunkami brzegowymi na powierzchni otaczającej obszar obliczeń.. . Gęstość ładunku  (r ) opisująca rozkład źródeł potencjału stanowi sumę dwóch gęstości ładunku mających różną naturę i różny rozkład przestrzenny:. . . .  (r )   d (r )   el (r ) . . (2.2). . Pierwszy składnik sumy  d  r  to rozkład gęstości ładunku pochodzącego od zjonizowanych donorów w domieszkowanej warstwie nAlGaAs, który zależy od rozkładu całkowitego pola. . elektrostatycznego  tot (r ) . Jonizacji ulegają donory położone w miejscach, w których energia potencjalna elektronu liczona względem podłoża jest większa od energii wiązania donora. Ponieważ w rachunku za potencjał odniesienia przyjmujemy potencjał podłoża, na rozkład gęstości zjonizowanych donorów uzyskujemy warunek:.  D   0 gdy  e tot (r )  E  d (r )     D   e n ( r ) gdy e  ( r ) E tot  d. . gdzie n d ( r ) stanowi rozkład gęstości wprowadzonych. (2.3). domieszek donorowych, a ED to. energia wiązania donora, która leży 5meV poniżej dna pasma przewodnictwa AlGaAs. Założenie jednorodnego (ciągłego) rozkładu ładunku donorów jest możliwe dzięki obecności nie domieszkowanej warstwy buforowej, która sprawia, że potencjał pochodzący od wielu punktowych źródeł uśrednia się.. 16.

(17) . Drugi składnik wyrażenia (2.2) to  el  r  , jest to gęstość ładunku elektronów uwięzionych poniżej warstwy barierowej AlGaAs. Składa się na nią gęstość ładunku elektronów nadmiarowych uwięzionych w kropce kwantowej. oraz gęstość dwuwymiarowego gazu. elektronowego uwięzionego poza kropką. Jego rozkład stanowi istotny problem rachunkowy. W sposób dokładny możemy go wyliczyć tylko w obszarze asymptotycznym, to znaczy w dużej odległości od metalowych elektrod. W bezpośrednim sąsiedztwie kropki kwantowej musimy posłużyć się metodę przybliżoną.. 17.

(18) 2.3 R OZKŁAD GĘSTOŚCI ŁADUNKU ELEKTRONOWEGO W OBSZARZE ASYMPTOTYCZNYM W obszarze, w którym niejednorodności pola elektrostatycznego wywołane napięciami przyłożonymi do metalowych elektrod mogą być zaniedbane, możemy założyć, że pole elektrostatyczne jest prostopadłe do płaszczyzny studni kwantowej (oś OY) co oznacza, że potencjał elektrostatyczny zależy wyłącznie od zmiennej „y”. W obszarze tym rozkład potencjału pola elektrostatycznego jest wynikiem równowagi pomiędzy zjonizowanymi donorami w warstwie barierowej i uwięzionym poniżej niej gazem elektronowym. Hamiltonian dla elektronu w obecności pola elektrostatycznego i skoku dna pasma przewodnictwa wynikającego z różnicy składu warstw półprzewodnika ma postać:. H  x, y , z   . 2  2 2  2  2  2  2   U b  z   e tot  z  2m  x z  y. (2.4). Gdzie bariera Ub(y) jest równa wysokości skoku potencjału VB =200mV w warstwie AlGaAs i równa 0 w warstwie arsenku galu GaAs. Ponieważ hamiltonian komutuje z operatorami pędu w kierunku x i z, funkcję własną operatora (2.4) możemy przedstawić w postaci iloczynu:.  as ( x, y, z )  Ceik x e ik z as ( y ) . 1. 2. (2.5). Funkcja ta spełnia więc równanie własne operatora (2.4). Po podstawieniu otrzymujemy warunek , który musi spełniać funkcja  as  y  :. H  y  nas  y    n nas  y . (2.6). Jest to równanie własne jednowymiarowego operatora energii. H y  . 2 2  U b  y   e totas  y  2 2m y. (2.7). Odpowiadające kolejnym stanom wzbudzonym wartości własne  nq oraz funkcje własne  as nq operatora H(y) nie zależą od wektora falowego ruchu w kierunku równoległym do studni. 18.

(19) kwantowej (k) ale zależą od wektora falowego q określającego falę płaską w kierunku osi OY. Zależność ta wprowadzana jest poprzez przesunięcie położenia minimum oscylatora y0. Energię całego układu uzyskujemy dodając do wartości własnych operatora (2.6) energię kinetyczną ruchu w kierunku równoległym do pola:. E n ,k   n . 2k 2 . 2m. (2.8). Na skraju bariery uwięzieniu ulegają elektrony, których energie są niższe od energii elektronów w podłożu, czyli ujemne: E n ,k  0 . Mając funkcje własne operatora H(y), można wyliczyć gęstość ładunku uwięzionego poniżej bariery:. . as. Enk VB.  y   2 e   x, y, z  as  nk. 2. .  n VB.  n. nk. e 2. d 2 k  nas  y  , 2. gdzie całkowanie po k wykonujemy wewnątrz „koła Fermiego” z k F . 2. (2.9). 2m ( VB   nq ) 2. .. W ten sposób uzyskujemy gęstość ładunku elektronów:.  elas  y   . e. .  n VB.   y as n. 2. n. m(VB   n ) , 2. (2.10). które stanowią źródło pola elektrostatycznego. Drugi rodzaj źródeł pola stanowi ładunek zjonizowanych donorów  d (z ) , liczymy go zgodnie z warunkiem (2.3). Rozkład potencjału pola elektrostatycznego liczymy rozwiązując jednowymiarowe równanie Poissona:.  elas ( y )   d  y   2 as  ( y )   tot  0 y 2. (2.11). Ponieważ równanie Poissona (2.11) zawiera źródła pola, do wyliczenia których musimy rozwiązać równanie Schrödingera (2.6) a ono z kolei zawiera potencjał elektrostatyczny będący rozwiązaniem równania Poissona, oba równania rozwiązujemy iteracyjnie, aż do uzyskania samouzgodnienia. Równanie Schrödingera rozwiązujemy w obszarze poniżej bariery AlGaAs na odcinku wystarczająco długim, by wyliczona gęstość ładunku elektronów (2.10) zdążyła się wyzerować. Jednowymiarowe równanie Poissona rozwiązujemy w tym samym obszarze uzupełnionym o odcinek wnikający w barierę na głębokość większą od 19.

(20) spodziewanego zasięgu jonizacji donorów. Warunki brzegowe dla równania Poissona wynikają z żądania neutralności ładunkowej układu. W warunkach równowagi liczba zjonizowanych donorów musi się równać liczbie uwięzionych elektronów. Stąd wynika zerowanie się pochodnej potencjału elektrostatycznego po obu stronach przedziału całkowania.. R YS . 3: N A KRZYWA. RYSUNKU KRZYWĄ CZARNĄ ZAZNACZONO ROZKŁAD ENERGII POTENCJALNEJ ELEKTRONU ,. NIEBIESKĄ. ROZKŁAD. GĘSTOŚCI. ELEKTRONÓW. A. KRZYWA. CZERWONĄ. ROZKŁAD. GĘSTOŚCI. ZJONIZOWANYCH DONORÓW .. Uzyskany w wyniku przedstawionego powyżej rachunku asymptotyczny rozkład pola elektrostatycznego, oraz rozkład gęstości elektronów uwięzionych pod barierą oraz rozkład gęstości zjonizowanych domieszek przedstawiony jest na Rys. 3. Aby otrzymać powierzchniową gęstość ładunku zgromadzonego pod barierą  as należy asymptotyczną gęstość ładunku (uzyskaną w wyniku samouzgodnienia równania Poissona i Schrödingera) scałkować w kierunku ”y”.. .  as. .    y dy , as. (2.12). . Ze względu na neutralność ładunkową jest ona równa, co do modułu, powierzchniowej gęstości ładunku zjonizowanych donorów: 20.

(21) .  Das   as .. (2.13). W warunkach równowagi, jonizacji ulega taka liczba donorów aby skok potencjału na podwójnej warstwie dodatnio naładowanych donorów i ujemnie naładowanego gazu elektronowego poniżej bariery wyrównał skok położenia dna pasma przewodnictwa na granicy GaAs i GaAlAs. Przy założeniu wysokość bariery VB =200mV wyliczona asymptotyczna gęstość powierzchniowa wyniosła 3.5  1011 e cm 2 . Liczba ta jest bliska wartości eksperymentalnej, która wynosi 3.0  1011 e cm2 . Odstępstwo wyniku obliczeń od wartości. eksperymentalnej. może. wynikać. z. zaniedbania. oddziaływania. pomiędzy. elektronami gromadzącymi się poniżej bariery potencjału. W celu skompensowania efektu w dalszym ciągu pracy założona została nieco niższa wysokość bariery VB =180mV taka, by obliczona gęstość gazu elektronowego pokryła się z eksperymentalną.. 21.

(22) 2.4 R OZKŁAD POTENCJAŁU I GĘSTOŚCI ŁADUNKU W POBLIŻU KROPKI KWANTOWEJ W obszarze położonym bezpośrednio pod elektrodami energia potencjalna elektronów jest dodatnia również poniżej warstwy barierowej AlGaAs dlatego dwuwymiarowy gaz elektronowy jest z niego usuwany. W miarę oddalania się od elektrod, energia potencjalna elektronu maleje, staje się ujemna, pojawia się tam gaz elektronowy. Poprawne uwzględnienie tego procesu jest niezwykle istotne, ponieważ decyduje o kształcie i rozmiarach barier potencjału, które oddzielają wnętrze kropki kwantowej od bocznych. . rezerwuarów ładunku. Gęstość elektronowa  el r  zależy od całkowitego rozkładu potencjału tot  x, y, z  . Zależności tej niestety nie da się wyznaczyć w sposób dokładny. Musimy uwzględnić ją w sposób przybliżony. Zakładamy, że w obszarze, w którym energia potencjalna elektronu jest większa od energii Fermiego (EF =0) gęstość ładunku elektronowego jest równa 0. W obszarze gdzie energia potencjalna elektronu jest mniejsza od energii Fermiego przyjmujemy proporcjonalny do energii potencjalnej elektronu udział gęstości uzyskany dla rozwiązania asymptotycznego:. gdy   0  0  ( x, y, z )   as ,    y  gdy   0. (2.14). gdzie:. .  e tot ( x, y0 , z )  U b ( y0 ) .  e totas ( y0 )  U b ( y0 ). (2.15). Występujące w powyższym warunku y0, odpowiada położeniu środka ciężkości ładunku elektronów w obszarze asymptotycznym:. y0    as ( y ) ydy. (2.16). Przyjęty rozkład gęstości elektronowej zapewnia prawidłowe odtworzenie rozkładu dwuwymiarowego gazu elektronowego w obszarze asymptotycznym (w tej granicy   1 ) i symuluje jego wypychanie z obszarów w których energia potencjalna elektronu jest dodatnia. Przyjęcie warunku (2.15) w punkcie y0 usuwa ładunek z obszaru, w którym obszar ujemnej energii potencjalnej tworzy jamę zbyt małą do uwięzienia elektronów.. 22.

(23) 2.5 W ARUNKI BRZEGOWE DLA RÓWNANIA P OISSONA . Równanie. Poissona. rozwiązujemy. w. trójwymiarowym. obszarze. przestrzeni. obejmującym kropkę kwantową i odpowiednio duże fragmenty elektrod, do których podłączone są napięcia sterujące. Jako obszar całkowania wybieramy prostopadłościenne pudło obliczeniowe o długościach krawędzi Lx, Ly, Lz . Musi ono być na tyle rozległe, by jego zwiększanie nie zmieniało wyników obliczeń potencjału w kropce kwantowej. Standardowym testem jest obliczenie wartości funkcjonału. .. (2.17). dla rosnących rozmiarów pudła. Rozmiar obszaru obliczeniowego przyjmujemy tak aby wysyciła się wartość funkcjonału . Ostatecznie przyjęte w rachunkach pudło obliczeniowe miało następujące rozmiary: Lx =500nm Lz = 560nm, Ly = 400nm. Usytuowanie pudła obliczeniowego względem elektrod nanourządzenia (w kierunku xz) widać na Rys.2.. W. kierunku osi y, obszar pudła przyjęto po 200nm symetrycznie od płaszczyzny skoku potencjału na złączu GaAlAs/GaAs, czyli miejsca, w którym powstaje kropka kwantowa. Dla uzyskania jednoznacznego rozwiązania równania Poissona wymagane jest określenie warunków brzegowych na powierzchni zamkniętej otaczającej obszar całkowania oraz na powierzchniach przewodników znajdujących się wewnątrz obszaru obliczeniowego. Narzucamy je na sześciu ściankach pudła obliczeniowego oraz na powierzchniach metalowych elektrod objętych pudłem obliczeniowym. Na elektrodach całkowity potencjał elektrostatyczny jest stały i określony przez przyłożone do nich napięcia. Na ich powierzchni narzucamy więc warunki Dirichleta zadając wartości potencjału:.  tot  U X  U Sh ,. (2.18). gdzie UX to napięcie przyłożone do elektrody x =1,2 …6, a USh stanowi napięcie Schottky’ego pojawiające się na styku metal półprzewodnik i dla GaAs wynoszące -0.65V. Na ściankach pudła obliczeniowego określamy warunki von Neumanna żądając zerowania się pochodnej normalnej do powierzchni ścianki:. 23.

(24) .  n   tot  0 ,. (2.19).  gdzie n jest wersorem normalnym do odpowiedniej ścianki. Warunki von Neumanna narzucone na całą powierzchnię pudła obliczeniowego są zgodnie z prawem Gaussa równoznaczne z żądaniem neutralności ładunkowej zawartego w nim układu. Na ściankach pionowych (prostopadłych do planarnej struktury) warunek von Neumanna sprowadza się do żądania równoległości pola elektrycznego do osi „y”. Jest on równoznaczny z warunkiem wykorzystanym w rachunku asymptotycznym.. 24.

(25) 2.6 P ROCEDURA NUMERYCZNA - SAMOUZGODNIENIE . Równanie Poissona rozwiązywane jest na trójwymiarowej siatce przestrzennej metodą różnic skończonych. Krok siatki został dobrany podczas obliczeń w ten sposób, aby mogły być poprawnie uwzględnione kształty elektrod i rozkłady ładunków. Wystarczający okazał się krok siatki Δx=Δy=Δz=12.5 nm. Po przyjęciu jednostek atomowych energii i długości równanie Poissona (2.1) przyjmuje postać:.  2 2 2  r  tot ( x, y, z )  2 tot ( x, y, z )  2 tot ( x, y, z )   0 x 2 y y  0. (2.20). Po przybliżeniu pochodnych cząstkowych ilorazami różnicowymi i przegrupowaniu wyrazów uzyskujemy związek pomiędzy wartościami potencjału elektrostatycznego w sąsiednich punktach siatki przestrzennej:. tot ( x  x, y, z )  tot ( x  x, y, z ) 1  2 2  x 2 1 / x   1 / y   1 / z    tot ( x, y  y, z )  tot ( x, y  y, z ) tot ( x, y, z  z )  tot ( x, y, z  z )  r        0  y 2 z 2. tot ( x, y, z ) . . . 2. (2.21). Wyrażenie to zostanie wykorzystane do iteracyjnego wyliczenia potencjału:. totn1 ( x, y, z )  1  wtotn ( x, y, z )  w. totn ( x  x, y, z )  totn ( x  x, y, z ) 1  2 2 2  x 2 1 / x   1 / y   1 / z  . . . (2.22).  totn ( x, y  y, z )  totn ( x, y  y, z ) totn ( x, y, z  z )  totn ( x, y, z  z )  n r       0  y 2 z 2 gdzie w oznacza wagę, którą dobieramy tak by zoptymalizować zbieżność procedury iteracyjnej a kolejne kroki iteracyjne numerowane są wskaźnikiem n. Rozkład potencjału liczymy przebiegając siatkę punktów w przestrzeni kolejno w kierunkach x, y, z. Jako krok iteracji przyjmujemy wyliczenie potencjału w każdym nowym punkcie siatki. Tak więc w każdym kolejnym punkcie przestrzeni stanowiącym argument lewej strony równania (2.22) do prawej strony równania (2.22) wstawiamy najnowszy wynik. Uwaga ta dotyczy również. . występującej po prawej stronie gęstości ładunku  n r  , która została również opatrzona wskaźnikiem iteracji, ponieważ gęstość ta zależy od rozkładu pola. totn . Zgodnie z. wyrażeniem (2.2) gęstość ładunku wchodząca do równania Poissona (2.1) jest sumą dwóch składników. Gęstości ładunku zjonizowanych donorów, której zależność od rozkładu potencjału dana jest wyrażeniem (2.3) oraz gęstości zgromadzonego poniżej bariery GaAlAs 25.

(26) gazu elektronowego z zależnością od potencjału daną wyrażeniem (2.10). Obie gęstości liczymy w każdej iteracji. Procedura iteracyjna jest zazwyczaj bardzo wolno zbieżna. Wynika to stąd, że zmiany potencjału w danym punkcie powodują zmiany rozkładu elektronów i zjonizowanych donorów, które wchodzą do następnej iteracji. Powoduje to oscylacje, które zanikają tylko przy bardzo małych wagach w , co spowalnia rachunki. W rezultacie uzyskanie samouzgodnienia wymaga kilkuset tysięcy przebiegów całej siatki punktów. Znaczną poprawę zbieżności uzyskuje się wprowadzając symulowane „schładzanie” układu. Pomiary, których wyniki staramy się odtworzyć wykonywane były w skrajnie niskich temperaturach (kilkadziesiąt mK). Rozkład obsadzeń stanów elektronowych jest praktycznie zero-jedynkowy. Jeżeli jednak wprowadzimy rozkład Fermiego-Diraca dla temperatur skończonych. Wtedy ulegną zmianie rozkłady ładunków zjonizowanych donorów i gazu elektronowego. Rozkład gęstości zjonizowanych donorów możemy zapisać w postaci:.   d (r ) . W granicy T  0.  e nd (r )   e tot (r )  E D   1  exp  kT  . (2.23). rozkład ten przechodzi w wyrażenie (2.3). Dla rozkładu ładunku gazu. elektronowego uwięzionego poniżej bariery GaAlAs przyjmujemy:.   (r ) .   as z    e tot ( x, y, z0 )  U b ( z0 ) . 1  exp  gdzie. kT. (2.24).   .  jest dane wzorem (2.15). W granicy temperatur bliskich zeru T  0 rozkład ten. przechodzi w wyrażenie (2.14). Iterację zaczynamy zakładając temperaturę ok. T=15K, czyli znacznie większą od nominalnej ale przy takiej temperaturze nie pojawiają się oscylacje rozkładów i zbieżność uzyskuje się bardzo szybko. Następnie w kolejnych krokach iteracyjnych obniżamy temperaturę do nominalnej.. Dzięki. symulowanemu. „schładzaniu”. zbieżność. uzyskuje. się. przy. dziesięciokrotnie mniejszej liczbie iteracji. Metoda ta radykalnie zmniejsza czas wykonywania obliczeń i można je wykonać na komputerze PC.. 26.

(27) 2.7 W YNIKI OBLICZEŃ . Przy pomocy opisanego powyżej modelu można wyliczyć rozkłady potencjału oraz ładunku w nanourządzeniu dla różnych napięć przyłożonych do elektrod. W dużej odległości od elektrod, a więc w obszarze asymptotycznym, pole elektryczne jest jednorodne i powstaje pomiędzy zaznaczonymi na Rys.3. planarnymi gęstościami ładunku o przeciwnych znakach. Elektrony. zajmują. płaszczyznę. położoną. bezpośrednio. przy. złączu. AlGaAs/GaAs. naładowaną ładunkiem powierzchniowym  =-3*1011ecm-2. Zjonizowane donory tworzą warstwę dodatniego ładunku rozmytą w kierunku „z” na odcinku ok.30nm, ale sumaryczny ładunek jest taki sam, co zapewnia neutralność ładunkową układu.. (a). (b). R YS . 4:R YS POTENCJAŁU V 3=-400 M V;. -. PRZEDSTAWIA ROZKŁAD DWUWYMIAROWEGO GAZ ELEKTRONOWEGO. -. CZĘŚĆ A , I ROZKŁAD. CZĘŚĆ B , DLA NASTĘPUJĄCYCH WARTOŚCI NAPIĘĆ NA ELEKTRODACH V 1=-400 M V; V 2=-50 M V; V 4=-150 M V;. V 5=-400 M V;. V 6=-400 M V.. D ODATKOWO. ZAZNACZONO POZIOM POTENCJAŁU RÓWNEGO ZERO .. 27. W. CZĘŚCI. B. KOLOREM. NIEBIESKIM.

(28) Przykładane do elektrod napięcia ujemne powodują wypychanie dwuwymiarowego gazu elektronowego z obszaru w ich pobliżu. Jeżeli jego wartość będzie dostatecznie niska możemy doprowadzić do sytuacji, w której cały gaz elektronowy zostanie usunięty z nanourządzenia bądź pozostawić ich niewielka ilość (jeden, dwa, kilkanaście) w obszarze miedzy elektrodami tworząc w ten sposób kropkę kwantową. Na rysunkach od Rys. 4 do Rys. 8 przedstawione są rozkłady dwuwymiarowego gazu elektronowego (cześć a) i rozkłady potencjału (część b) dla kilku wartości napięć przykładanych do elektrod. W części b dodatkowo kolorem niebieskim został zaznaczony poziom dla potencjału równego zero, który stanowi poziom Fermiego i ogranicza przestrzennie rozkład gazu elektronowego.. R YS . 5: R YS POTENCJAŁU V 3=-600 M V;. -. PRZEDSTAWIA ROZKŁAD DWUWYMIAROWEGO GAZ ELEKTRONOWEGO. -. CZĘŚĆ A , I ROZKŁAD. CZĘŚĆ B , DLA NASTĘPUJĄCYCH WARTOŚCI NAPIĘĆ NA ELEKTRODACH V 1=-600 M V; V 2=-250 M V; V 4=-350 M V;. V 5=-600 M V;. V 6=-600 M V.. D ODATKOWO. W. CZĘŚCI. B. KOLOREM. NIEBIESKIM. ZAZNACZONO POZIOM POTENCJAŁU RÓWNEGO ZERO .. Możemy prześledzić jak stopniowe zmniejszanie napięć na elektrodach wpływa na rozkład gazu elektronowego w ich pobliżu. Elektrody ponumerowane są tak jak na Rys. 2. Aby po wypchnięciu prawie całego gazu elektronowego z nanourządzenia móc uzyskać kropkę kwantową umiejscowioną pod elektrodą V2 (tak jak w eksperymencie) najniższe napięcia przykładamy do elektrod V1=V3=V5=V6 a nieco wyższe do elektrod sterujących: 28.

(29) V2=V1+350mV i V4=V1+250mV. Na pierwszym wykresie (Rys. 4) widzimy ze dla stosunkowo niewielkich napięć V1=V3=V5=V6=-400mV gaz zostaje usunięty tylko z obszaru leżącego bezpośrednio pod elektrodami, do których zostało przyłożone najniższe napięcie. Poza. tym obszarem gęstość elektronowa jest dokładnie taka sama jak w rozwiązaniu. asymptotycznym. Obniżenie napięć na wszystkich elektrodach o 200mV powoduje usuniecie gazu również spod elektrod e2 i e4 (teraz napięcie na nich wynosi odp. -250mV i -350mV). Gęstość ładunku elektronów w centralnej części nanourządzenia nadal utrzymuje wartość maksymalną (asymptotyczną). Odpowiednie wykresy rozkładu gęstości elektronów i potencjału przedstawione są na Rys. 5.. (a). (b). R YS . 6: R YS POTENCJAŁU. -. V 3=-1000 M V;. PRZEDSTAWIA ROZKŁAD DWUWYMIAROWEGO GAZ ELEKTRONOWEGO. CZĘŚĆ B ,. -. CZĘŚĆ A , I ROZKŁAD. DLA NASTĘPUJĄCYCH WARTOŚCI NAPIĘĆ NA ELEKTRODACH V 1=-1000 M V; V 2=-650 M V;. V 4=-750 M V;. V 5=-1000 M V;. V 6=-1000 M V.. ZAZNACZONO POZIOM POTENCJAŁU RÓWNEGO ZERO .. 29. D ODATKOWO. W. CZĘŚCI. B. KOLOREM. NIEBIESKIM.

(30) Stopniowe obniżane napiec na elektrodach powoduje dalsze usuwanie gazu elektronowego spod elektrod (Rys. 6 i Rys. 7) i tworzenie się niewielkiej kałuży elektronów w pobliżu. y (nm). elektrody e2.. R YS . 7: R YS POTENCJAŁU. 800 M V;. -. PRZEDSTAWIA ROZKŁAD DWUWYMIAROWEGO GAZ ELEKTRONOWEGO. -. CZĘŚĆ A , I ROZKŁAD. CZĘŚĆ B , DLA NASTĘPUJĄCYCH WARTOŚCI NAPIĘĆ NA ELEKTRODACH V 1=-1150 M V; V 2=-. V 3=-1150 M V;. V 4=-900 M V;. V 5=-1150 M V;. V 6=-1150 M V.. NIEBIESKIM ZAZNACZONO POZIOM POTENCJAŁU RÓWNEGO ZERO .. 30. D ODATKOWO. W. CZĘŚCI. B. KOLOREM.

(31) y (nm). y (nm). R YS . 8: R YS POTENCJAŁU. 850 M V;. -. PRZEDSTAWIA ROZKŁAD DWUWYMIAROWEGO GAZ ELEKTRONOWEGO. -. CZĘŚĆ A , I ROZKŁAD. CZĘŚĆ B , DLA NASTĘPUJĄCYCH WARTOŚCI NAPIĘĆ NA ELEKTRODACH V 1=-1200 M V; V 2=-. V 3=-1200 M V;. V 4=-950 M V;. V 5=-1200 M V;. V 6=-1200 M V.. D ODATKOWO. W. CZĘŚCI. B. KOLOREM. NIEBIESKIM ZAZNACZONO POZIOM POTENCJAŁU RÓWNEGO ZERO .. Pożądaną przez nas sytuacje uzyskujemy dopiero po obniżeniu napięć do 1200mV (v1=-1200mV; v2=-850mV; v3=-1200mV; v4=-950mV; v5=-1200mV; v6=-1200mV), wówczas w obszarze miedzy elektrodami pozostaje pojedynczy elektron tworząc pojedynczą kropkę kwantową. Jeśli zmusimy go do ruchu wzdłuż przyłożonego pola magnetycznego będziemy mogli wykonać operacje obrotu jego spinu. Odpowiednie rozkłady gęstości elektronowej i potencjału znajdują się na Rys. 8.. 31.

(32) 2.8 O DDZIAŁYWANIE SPIN - ORBITA . W dyskutowanej nanostrukturze występują dwa rodzaje oddziaływań spin-orbita:. Dresselhausa i Rashby. Sprzężenie Dresselhausa. związane jest z łamaniem symetrii względem inwersji. przestrzennej, która ma swoje źródło w strukturze krystalograficznej (BIA-ang. bulk inversion asymmetry).. W. przypadku. studni. kwantowych. wzrastających. wzdłuż. kierunku. krystalograficznego [001] (y|| (001)) hamiltonian Dresselhausa przyjmuje postać. Η. ,. gdzie. β. p σ. p σ. (2.25). są macierzami Pauliego a β zależy od szerokości studni kwantowej d, stałej. materiałowej. i promienia Bhora aB w następujący sposób:. 2.      d  aB. (2.26). Użyta we wzorze stała  dla GaAs wynosi =27.5eVA3 (62). Oddziaływanie spin- orbita typu. Rashby (strukturalne, SIA - ang. structural inversion. assymetry) wynika ze złamania symetrii potencjału ograniczającego studnie kwantową w kierunku jej wzrostu (względem inwersji z → − z) w heterozłączach lub w studniach kwantowych. domieszkowanych. w sposób. asymetryczny.. Hamiltonian. opisujący. to. oddziaływanie możemy zapisać jako:. . HR   px y  p yx. . (2.27). gdzie stała α zależy od potencjału ograniczającego, a jej wartość może być modyfikowana zewnętrznym polem elektrycznym. Zależność tą opisuje wyrażenie (63). =esoE. (2.28). gdzie so=5.2A2 Hamiltonian oddziaływań spin-orbita możemy więc zapisać jako sumę:. H so  H D  H R. 32. (2.29).

(33) Stałą sprzężenia oddziaływania Dresselhausa możemy oszacować korzystając z obliczeń, których wyniki pokazane są na Rys. 9. Środek ciężkości ładunku elektronu jest odległy od bariery potencjału o 11nm, co odpowiada studni potencjału o podwojonej szerokości czyli efektywne d=22nm. Tak oszacowaną wartość szerokości studni d wstawiamy do wzoru (2.26) na stałą sprzężenia i uzyskujemy jej wartość =3.8*10-4 aB Ha. Do wyznaczenia stałej sprzężenia Rashby musimy wyliczyć natężenie pola elektrycznego w położeniu elektronu. W obszarze asymptotycznym przedstawionym. na. Rys. 3 widzimy dwa ładunki o przeciwnych znakach, tworzące jak gdyby kondensator płaski. Pole elektryczne pomiędzy nimi D=   3  1011 e cm 2 . Po przeliczeniu. E. 3  1011 e cm 2 m D   4.5 *10 6 V / m  0 12.5 * 8.85 *10 12 F. Korzystamy ze wzoru (2.28) i obliczamy współczynnik oddziaływania spin-orbita Rashby, który przy tak dużym polu elektrycznym. wynosi około. 1.8*10-4 aB Ha, i w. 4. 800. 3. 600. 2. 400. 1. 200. 0 0. 400. 800. Q (e). E (V/m). dyskutowanej nanostrukturze jest 2 razy słabsze niż oddziaływanie Dresselhausa.. 0 1200 1600 2000. V1 (mV) R YS .. 9.. K RZYWA. CZARNA. PRZEDSTAWIA. ZALEŻNOŚĆ. POLA. ELEKTRYCZNEGO. OD. NAPIĘCIA. PRZYŁOŻONEGO DO ELEKTRODY E 1 . KRZYWA NIEBIESKA PRZEDSTAWIA WARTOŚĆ ŁADUNKU POZOSTAŁEGO W OBSZARZE NANOURZĄDZENIA W ZALEŻNOŚCI OD PRZYKŁADANEGO NAPIĘCIA DO ELEKTRODY E 1.. 33.

(34) Niestety ta już dość niska wartość oddziaływania Rashby spadnie jeszcze po przyłożeniu do elektrod napięć usuwających spod nanourządzenia gaz elektronowy. Na Rys. 9 czarną krzywą. przedstawiona jest zależność pola elektrycznego od. napięcia przyłożonego do elektrody e1. Napięcia na pozostałych elektrodach zmieniają się wraz ze zmianą napięcia na elektrodzie e1 według schematu V3=V4=V5=V1, V2 =V1+350mV, V3=V1+300mV. Napięcia te są tak wzajemnie dobrane, aby podczas ich obniżania pojawiał się taki rozkład energii potencjalnej elektronu, który usuwa spod elektrod 2D gaz elektronowy i tak by pojawiła się możliwość uwięzienia pojedynczego elektronu w lewej części struktury podwójnej kropki kwantowej. Z Rys. 9 wynika, że taką sytuację uzyskujemy dla napięcia V1=1200mV. Natężenie pola elektrycznego jest wtedy 2-krotnie niższe niż w obszarze asymptotycznym i wynosi 2mV/m. Stała sprzężenia Rashby spada wtedy do około 0.9*10-4 aB Ha. Sprzężenie Rashby jest zatem czterokrotnie mniejsze niż sprzężenie Dresselhausa.. 34.

(35) 2.9 P ODSUMOWANIE . W nanostrukturze użytej w eksperymencie (50) występują dwa rodzaje oddziaływań: Dresselhausa i Rashby. Dominującym oddziaływaniem jest odziaływanie Dresselhausa około 4 razy większe od oddziaływania Rashby i wynosi 3.8*10-4 aB Ha. Jest to wartość dość niska, a ponieważ wyznacza ją szerokość studni kwantowej nie jesteśmy jej w stanie zwiększyć w obrębie tej heterostruktury. Drugim oddziaływaniem spin-orbita jest oddziaływanie Rashby, które silnie zależy od wartości potencjałów przykładanych do elektrod na powierzchni nanourządzenia. Obliczenia wykonane w tym rozdziale pokazały, że aby uzyskać możliwość uwięzienia pojedynczego elektronu w kropce kwantowej napięcia te powinny być na poziome -1200mV, co pozwala uzyskać stała sprzężenia Rashby równa zaledwie. 0.9*10-4 aB.. Wartości oddziaływań spin-orbita w tej heterostrukturze są więc bardzo słabe. Aby uzyskać bramki kwantowe szybsze od tych dyskutowanych w pracy Nowack (50) (uzyskany czas obrotu spinu o 90º wyniósł 55ns) potrzebujemy układu, w którym siła tych oddziaływań jest większa. W następnym rozdziale zaproponujemy heterostrukturę, która spełni ten warunek. Aby uprościć i przyspieszyć symulacje badanego nanourządzenia w czasie rzeczywistym wybierzemy heterostrukturę zawierającą symetryczną studnie kwantowa ograniczoną barierami GaAlAs. Pozwoli to zredukować liczbę stopni swobody uwiezionego w studni pakietu falowego do dwóch. W tak wybranej nanostrukturze przy odpowiednio wąskiej studni kwantowej można znacznie zwiększyć oddziaływanie Dresselhausa.. 35.

(36) 3 S YMULACJA OBROTU SPINU W. niniejszym. rozdziale. opiszemy. metodę. numeryczną. i. uzyskane. wyniki. komputerowych symulacji działania nanourządzenia o konstrukcji zbliżonej do użytego w eksperymencie (50). W obliczeniach przyjęliśmy rozkład elektrod i ich rozmiary dokładnie takie. jak. w. pracy. (50). (patrz. Rys.. 11). ). inna. natomiast. jest. heterostruktura. półprzewodnikowa. W oryginalnej pracy studnia kwantowa była ograniczona barierą GaAlAs jedynie od górnej powierzchni nanourządzenia, a potencjał uwięzienia od strony podłoża miał charakter elektrostatyczny. Struktura ta opisana jest w rozdziale 2. Ponieważ w strukturze tej oddziaływania spin-orbita są bardzo słabe, a obliczenia w czasie rzeczywistym z tak przyjętą. y. R YS . 10. P RZEKRÓJ. substrate. blocking barrier. x. quantum well. z. blocking barrier. gate. heterostruktura bardzo czasochłonne zdecydowaliśmy się na jej zmianę.. HETEROSTRUKTURY .. Przebadane przez nas nanourządzenie zbudowane jest na bazie planarnej heterostruktury półprzewodnikowej zawierającej studnie kwantową o szerokości 15nm utworzoną z warstwy GaAs. Studnia od dołu i od góry ograniczona jest barierami AlGaAs o szerokości 90nm a poniżej dolnej warstwy blokującej znajduje się pozbawiona domieszek warstwa buforowa oddzielająca ja od silnie domieszkowanego podłoża. Szerokość tej warstwy wynosi 230nm. Taki układ warstw uniemożliwia ruch elektronu w kierunku pionowym (oś OY) i liczba jego stopni swobody redukuje się do dwóch. Na górną warstwę bariery blokującej nałożone są metalowe elektrody, które stanowią źródło poziomego uwięzienia elektronu i dają możliwość sterowania jego ruchem za pomocą napięć zmiennych. Przekrój heterostruktury pokazany jest na Rys. 10. Heterostruktura o takim układzie warstw półprzewodnikowych była wykorzystana w pracach (53) (56). Dla zaproponowanej struktury przyjęliśmy następujące stałe materiałowe: masa efektywna. 36.

(37) elektronu m=0.067m0, stała dielektryczna ε=12.5, czynnik Landego g=0.54 oraz stała sprzężenia spin-orbita in bulk γ=27.5eV Å^3 [20].. 37.

(38) 3.1 R OZWIAZYWANIE ZALEŻNEGO RÓWNANIA S CHRÖDINGERA. OD. CZASU. Rozważamy pojedynczy elektron o dwóch stopniach swobody uwięziony w elektrostatycznej kropce kwantowej. Jego funkcje falową uwzgledniającą spin przyjmujemy w postaci dwuwierszowej macierzy kolumnowej zależnej od dwóch zmiennych przestrzennych i czasu. , , , ,. , ,. (3.1). W celu obserwacji ewolucji czasowej układu rozwiązujemy zależne od czasu równanie Schrödingera , ,. , ,. (3.2). ,. które po przejściu do jednostek atomowych możemy zapisać w postaci. , ,. , ,. .. (3.3). Dla zmiennej czasowej jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Do jego rozwiązania używamy metody analogicznej do metody Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Pochodną czasową aproksymujemy ilorazem różnicowym centralnym , ,. , ,. , ,. ,. (3.4). co pozwala uzyskać przepis iteracyjny umożliwiający komputerowe rozwiązanie naszego równania i obserwację ewolucji pakietu falowego w czasie rzeczywistym.. , ,. , ,. 2. , ,. .. (3.5). Dokładność tej metody jest rzędu Δt ze względu na krok czasowy i (Δx)2 ze względu na krok przestrzenny.. 38.

(39) 3.2 M ETODA EWOLUCJI W CZASIE UROJONYM Jako funkcji falowej w chwili początkowej zależnego od czasu równania Schrödingera (3.3) używamy funkcji falowej stanu podstawowego układu. Do jej wygenerowania używamy metody czasu urojonego używając praktycznie tej samej procedury numerycznej. Idea metody polega na iteracyjnym normowaniu funkcji falowej w celu pozbycia się domieszek stanów o wyższych energiach. Przy czym do iteracji możemy przyjąć dowolną początkową postać funkcji falowej. W celu znalezienia analitycznego rozwiązania zależnego od czasu równania Schrödingera, należy funkcję falową w chwili początkowej rozwinąć w bazie stanów własnych hamiltonianu a następnie każdy składnik rozwinięcia pomnożyć przez czynnik fazowy. Wówczas uzyskujemy rozwiązanie w postaci:. ,. ћ. Dokonujmy formalnej zamiany czasu na parametr urojony:. ,. (3.6) →. i otrzymujemy. ћ. (3.7). Zauważmy, że czynnik eksponencjalny będzie silniej wytłumiał składniki o wyższych energiach. Jeżeli zatem będziemy prowadzić iterację, normując uzyskaną funkcję falową w każdym kroku iteracyjnym, funkcja będzie się oczyszczać z domieszek wyższych stanów. W rezultacie w granicy dużych wartości parametru rozwiązanie (3.7) dąży do funkcji falowej stanu podstawowego:. ,. →. (3.8). W czasie urojonym równanie Schrödingera rozwiązujemy podobnie jak poprzednio z ta różnicą, że pochodną czasową aproksymujemy ilorazem różnicowym „w przód” . , ,. , ,. , ,. ,. (3.9). Otrzymujemy wyrażenie. , ,. , ,. , ,. ,. w którym dokonujemy formalnej zamiany czasu t na parametr urojony. (3.10) i następnie przez. iteracyjne rozwiązanie tego równania uzyskujemy funkcję falową w stanie podstawowym układu. Zostanie ona wykorzystana do rozwiązania zależnego od czasu równania Schrödingera w czasie rzeczywistym jako funkcja falowa elektronu w chwili początkowej t=0.. 39.

(40) 3.3 H AMILTONIAN UKŁADU Dla przyjętej reprezentacji hamiltonian układu, uwzględniając oddziaływania: spin-orbita oraz odziaływanie z polem magnetycznym, zapisujemy w postaci. , ,. ,. 2. ,. ,. (3.11). Pierwszy składnik w powyższym wzorze to energia kinetyczna elektronu. jest potencjałem elektrostatycznym „odczuwanym” przez funkcję falowa elektronu znajdującego się w studni kwantowej położonej w punkcie. . Potencjał ten pochodzi od. napięć przyłożonych do elektrod i indukowanych na nich ładunków na skutek obecności elektronu w ich pobliżu. Trzeci składnik hamiltonianu to oddziaływanie spin-orbita . , które jest sumą oddziaływań. Dresselhausa i Rashby. Zakładając, że studnia jest symetryczna a napięcia przyłożone pomiędzy podłoże a elektrody są niewielkie możemy pominąć sprzężenie Rashby, wówczas w układzie pozostaje jedynie sprzężenie Dresselhausa (59). Hamiltonian tego odziaływania opisany jest wzorem (2.25). Ostatni składnik Hamiltonianu. (3.11) stanowi oddziaływanie Zeemana. dla elektronu. znajdującego się w polu magnetycznym. Oddziaływanie to wyraża się wzorem:. 1 μ σ 2 gdzie. ,. (3.12). i μ oznaczają odpowiednio czynnik Landego i magneton Bhora.. Potencjał elektrostatyczny występujący w drugim składniku Hamiltonianu liczymy z równania Poissona, metodą, która została zastosowana do modelowania elektrostatycznych kropek kwantowych (53) i pozwoliła odtworzyć wyniki eksperymentalne z dużą dokładnością. Rozwiązując. równanie. elektrostatyczny. Poissona w nanourządzeniu wyliczamy. całkowity. potencjał. , który pochodzi od napięć przyłożonych pomiędzy podłoże a metalowe. elektrody znajdujące się na powierzchni struktury oraz ładunku znajdującego się wewnątrz nanourządzenia.. Ponieważ. elektron. nie. „odczuwa”. potencjału,. którego. sam. jest. bezpośrednim źródłem, korzystamy z zasady superpozycji i rozdzielamy całkowity potencjał w nanourządzeniu na sumę potencjałów:. , , ,. i. , , , 40. , , , ,. (3.13).

(41) gdzie - potencjał samooddziaływania pochodzący bezpośrednio od ładunku elektronu znajdującego się w studni kwantowej, - potencjał pochodzący od ładunków indukowanych na elektrodach i silnie domieszkowanej warstwie podłoża. Stąd potencjał „odczuwany” przez elektron liczymy jako różnicę , , , i. Oba rozkłady potencjałów. , , ,. , , ,. .. wyznaczamy dwukrotnie rozwiązując równanie Poissona ,. ,. , , ,. ,. (3.14). w prostopadłościanie 3D obejmującym całe urządzenie. Gęstość ładunku elektronu. ,. liczona według wzoru. ,. |. , , |. |. , , |. .. w obu przypadkach jest taka sama, różne są natomiast warunki brzegowe. Potencjał. liczymy bez elektrod i na powierzchni prostopadłościanu zakładamy warunek. , gdzie wektor. 4. 1 0. ,. określa położenie środka ciężkości chmury elektronowej.. Do wyznaczenia całkowitego rozkładu potencjału. warunki brzegowe przyjmujemy tak jak. przy rozwiazywaniu problemu stacjonarnego (patrz rozdział 2). Na powierzchni elektrod narzucamy więc warunki Dirichleta zadając na rozwiązanie wartości potencjałów do nich przyłożonych, a na ściankach bocznych i górnej prostopadłościanu obliczeniowego zakładamy warunek brzegowy von Neumanna zerowania się pochodnej normalnej do powierzchni ścianki. Na ściance dolnej (od strony podłoża) przyjmujemy zerową wartość potencjału.. 41.

(42) 3.4 R UCH ELEKTRONU .. R YS . 11. U KŁAD. ELEKTROD UŻYTY DO SYMULACJI PRACY NANOURZĄDZENIA .. W chwili początkowej do elektrod ponumerowanych od 1 do 6, jak na Rys. 11, przykładamy napięcia stałe: V1 = −12mV, V2 =−10mV, V3 = −10.5mV, V4 = −13mV, V5 = −12mV orazV6 = −12mV. Ujemne napięcia na elektrodach powodują, że elektron jest od nich odpychany, i powstaje pomiędzy nimi jama energii potencjalnej z minimum położonym w lewej części struktury ponieważ w chwili t=0 najniższe napięcie przyłożone jest do elektrody e4. Rozkład potencjału odczuwanego przez elektron jest pokazany na Rys. 12a. W utworzonej jamie energii potencjalnej uwięziony zostaje elektron. Rozkład gęstości jego funkcji falowej w utworzonym w chwili początkowej stanie podstawowym przedstawiony jest na Rys. 12b. Przechodzimy do symulacji w czasie rzeczywistym. Do elektrody sterującej e4 przykładamy sinusoidalne napięcie zmienne o amplitudzie równej ΔV=−2.74mV .. (3.15). Wówczas wygenerowane wcześniej minimum potencjału przesuwa się w prawo w kierunku rosnącego napięcia na elektrodzie e4 pociągając za sobą elektron. Na Rys. 12c,e. 42.

(43) przedstawione są rozkłady potencjału odczuwanego przez elektron w dwóch dalszych chwilach czasowych a odpowiadające im gęstości funkcji falowej na Rys. 12d,f. . R YS . 12. R OZKŁADY. POTENCJAŁU ODCZUWANEGO PRZEZ ELEKTRON. FALOWA ELEKTRONU W TZRECH KOLEJNYCH CHWILACH CZASOWYCH. ( RYS. ( RYS. B , D I F ).. A , C I E ) ORAZ FUNKCJA. NA. RYS. A I B CHWILA. CZASOWA T =0.. Ponieważ napięcie na elektrodzie e4 oscyluje, położenie minimum energii potencjalnej również oscyluje z taka samą częstotliwością ω i pociąga za sobą elektron. Aby ruch 43.

(44) elektronu odbywał się stale po tej samej trajektorii (niebieska linia na Rys. 11) napięcia na elektrodach muszą być dobrane z dużą starannością. Na Rys. 13 znajdują się wykresy wartości oczekiwanej położenia (<z> linia czarna, <x> linia niebieska) i z-owej składowej obrotu spinu (linia czerwona) w funkcji czasu dla optymalnie dobranych wartości napięć na elektrodach. 250. 400. 1.0 0.8. 200. 350. 0.6 250. 0.4. 350. 0.2. 300. 0.0 -0.2. 250. -0.4 200. <spin z> (h/2). <x>,<z> (nm). 150. -0.6 -0.8. 150. 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. -1.0 3000. t (ps) R YS . 13. T RAJEKTORIA. RUCHU ELEKTRONU DLA OPTYMALNIE DOBRANYCH NAPIEC NA ELEKTRODACH. = −12 M V, V2 =−10 M V, V3 = −10.5 M V, V4 = −13 M V, V5 = −12 M V WARTOŚCI OCZEKIWANE SPINU ORAZ. < Z > ( KRZYWA. <. > ( KRZYWA. ORAZ V6. CZERWONA ) I POŁOŻENIA SKŁADOWA. = −12 M V. N A < X > ( KRZYWA. V1. WYKRESIE NIEBIESKA ). CZARNA ).. Już niewielkie zmiany tych parametrów mogą spowodować zaburzenia ruchu elektronu. Powstają one na skutek nasilenia się drgań elektronu wewnątrz jamy potencjału, której kształt i głębokość kształtowane są przez napięcia na elektrodach. Na rysunkach Rys. 14 do Rys. 17 przedstawione są trzy trajektorie ruchu elektronu oraz odpowiadające im wykresy wartości oczekiwanej położenia i z-owej składowej obrotu spinu w funkcji czasu. Z-owa i x-owa składowa położenia pakietu falowego zaznaczone są odpowiednio linią czarna i niebieską, a wartości oczekiwana spinu linią czerwoną. Poniższe rysunki obrazują jak już niewielkie zmiany wartości napięć na elektrodach mogą negatywnie wpłynąć na ruch elektronu i zaburzyć jego trajektorię.. 44.

(45) 250. 400. 1.0 0.8. 200. 350. 0.6 250. 0.4. 350. 0.2. 300. 0.0 -0.2. 250. -0.4 200. <spin z> (h/2). <x>,<z> (nm). 150. -0.6 -0.8. 150. 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. -1.0 3000. t (ps) R YS . 14. T RAJEKTORIA. RUCHU ELEKTRONU DLA PODWYŻSZONEGO NAPIĘCIA NA ELEKTRODZIE E 4 O. WYKRESIE WARTOŚCI OCZEKIWANE SPINU NIEBIESKA ) ORAZ. < Z > ( KRZYWA. <. > ( KRZYWA. CZERWONA ) I POŁOŻENIA SKŁADOWA. 0.5 M V. N A. < X > ( KRZYWA. CZARNA ).. Na pierwszych dwóch rysunkach widzimy trajektorie powstałe na skutek podwyższenia napięcia na tych elektrodach o wartość 0.5mV co stanowi ok 4% średniej wartości napięć na elektrodach. W pierwszym przypadku Rys. 14 podwyższyliśmy napięcie na elektrodzie e4. Jak widać na wykresie powyżej skutkuje to powstaniem lekkich drgań elektronu, w momencie gdy wraca on do punktu startowego, w kierunku osi z a po 4 przebiegach elektronu tam i z powrotem zaczyna on drgać również w kierunku osi x. Początkowo drgania te najsilniejsze są w punktach zwrotnych, ale bardzo szybko nasilają się i już w okolicach bramki NOT elektron drga na całej długości trajektorii. Równocześnie pojawiają się pierwsze zaszumienia na wykresie z-owej składowej spinu elektronu. Jeszcze większe zaburzenia ruchu elektronu powoduje podwyższenie napięcia na elektrodzie e6, co jest widoczne na Rys. 15. Tutaj pierwsze drgania elektronu powstają już przy pierwszym jego powrocie do punktu startowego i to w obu kierunkach. Zauważmy również, że drgania w kierunku osi x narastają szybciej niż te w kierunku ruchu elektronu. Podsumowując, w obu przypadkach nasilające się drgania własne pakietu falowego w studni potencjału mogą w krótkim czasie doprowadzić do rozpadu funkcji falowej.. 45.

(46) 250. 400. 1.0 0.8. 200. 350. 0.6 250. 0.4. 350. 0.2. 300. 0.0 -0.2. 250. -0.4 200. <spin z> (h/2). <x>,<z> (nm). 150. -0.6 -0.8. 150. 0. 500. 1000. 1500. 2000. -1.0 3000. 2500. t (ps) R YS . 15. T RAJEKTORIA. RUCHU ELEKTRONU DLA PODWYŻSZONEGO NAPIĘCIA NA ELEKTRODZIE E 6 O. WYKRESIE WARTOŚCI OCZEKIWANE SPINU NIEBIESKA ) ORAZ. < Z > ( KRZYWA. <. > ( KRZYWA. CZERWONA ) I POŁOŻENIA SKŁADOWA. 0.5 M V. N A. < X > ( KRZYWA. CZARNA ) W FUNKCJI CZASU .. Jak widać na powyższych wykresach największe zaburzenia ruchu elektronu powodują zmiany napięcia na elektrodzie e6. Ponownie podwyższyliśmy jego wartość ale tym razem o 1mV co stanowi niespełna 1% średniej wartości napięć na elektrodach. Efekty takich symulacji przedstawione są na rysunkach Rys. 16 i Rys. 17. Widzimy że zaburzenia ruchu przy tak niewielkiej zmianie napięcia nie są duże, ale niestety narastają w czasie. Początkowo tylko w kierunku ruchu, podobnie jak poprzednio, w punktach zwrotnych ruchu elektronu. W okolicach bramki NOT są już bardzo widoczne oraz dodatkowo pojawiają się drgania w kierunku osi x. Jak już wcześniej wspomnieliśmy obserwowane zaburzenia trajektorii ruchu elektronu są. wynikiem jego drgań własnych wewnątrz jamy energii potencjalnej, w której jest. uwięziony. Ponieważ jej kształt zmienia się w czasie, co ma wpływ na częstotliwość drgań własnych elektronu, raz powstałe drgania nigdy się nie stabilizują a wręcz przeciwnie nasilają z czasem (patrz Rys. 17). Najbardziej widoczne jest to w przypadku drgań poprzecznych (oś OX, linia niebieska). Z czasem narastające szumy położenia pakietu falowego przenoszą się na spin. Ruch elektronu jest coraz mniej stabilny, a po kilkudziesięciu przebiegach następuje utarta adiabatyczności ruchu i rozpad pakietu falowego. Zmiany te następują na tyle szybko, że nie jesteśmy w stanie wykonać algorytmu kwantowego i odczytać wyniku zanim funkcja falowa elektronu się rozpadnie. Dlatego nawet tak niewielkie zaburzenia są istotne. 46.

(47) 250. 400. 1.0 0.8. 200. 350. 0.6 250. 0.4. 350. 0.2. 300. 0.0 -0.2. 250. -0.4 200. <spin z> (h/2). <x>,<z> (nm). 150. -0.6 -0.8. 150. 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. -1.0 3000. t (ps). R YS . 16. T RAJEKTORIA. RUCHU ELEKTRONU DLA PODWYŻSZONEGO NAPIĘCIA NA ELEKTRODZIE E 6 O. WYKRESIE WARTOŚCI OCZEKIWANE SPINU NIEBIESKA ) ORAZ. > ( KRZYWA. CZERWONA ) I POŁOŻENIA SKŁADOWA. < X > ( KRZYWA. CZARNA ) W FUNKCJI CZASU .. 250. 1.0 0.8. 200. 350. 0.6. <x>,<z> (nm). 150. 250. 0.4. 350. 0.2. 300. 0.0 -0.2. 250. -0.4 200. <spin z> (h/2). 400. < Z > ( KRZYWA. <. 0.1 M V. N A. -0.6 -0.8. 150 3000. 3500. 4000. 4500. 5000. 5500. 6000. -1.0 6500. t (ps) R YS . 17: T RAJEKTORIA. RUCHU ELEKTRONU DLA PODWYŻSZONEGO NAPIĘCIA NA ELEKTRODZIE E 6 O. WYKRESIE WARTOŚCI OCZEKIWANE SPINU NIEBIESKA ) ORAZ. < Z > ( KRZYWA. <. > ( KRZYWA. CZERWONA ) I POŁOŻENIA SKŁADOWA. CZARNA ) W FUNKCJI CZASU .. 47. 0.1 M V. N A. < X > ( KRZYWA.

(48) Oprócz. odpowiednio dobranych napięć na elektrodach ważnym parametrem. wpływającym na ruch elektronu i czas obrotu spinu jest częstotliwość oscylacji ω. Jeśli nie jest zbyt duża, ruch elektronu jest adiabatyczny i porusza się on w postaci stabilnego pakietu falowego. Parametr ten zostanie omówiony w podrozdziale 3.7. W przedstawionych wyżej symulacjach wartość tego parametru równa jest 20GHz.. 48.

(49) 3.5 O BRÓT SPINU Przy założonej w wyrażeniu (3.15) zależności czasowej napięcia przyłożonego do elektrody e4, elektron porusza się po tej samej trajektorii (Rys. 11) w sposób oscylacyjny. Podczas ruchu, dzięki złożeniu oddziaływania z polem magnetycznym i sprzężeniu spinorbita następuje obrót spinu. Na Rys. 18 krzywą czerwoną przedstawiona jest wartość oczekiwana z-owej składowej macierzy Pauliego ⟨ ⟩ w funkcji czasu. Charakterystyczny schodkowy przebieg krzywej wynika z faktu, że szybkość zmian tej składowej spinu zależy od prędkości ruchu elektronu – obrót spinu zatrzymuje się w punktach zwrotnych w których prędkość elektronu jest mała. Przy długim czasie symulacji zmiany z-owej składowej wektora spinu tworzą oscylacje Rabiego widoczne na Rys. 18. 1.0 0.8. <spin> (h/2). 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8. <z>, <x> (nm). -1.0 350 300 250 200 150. R YS . 18.. 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. LINIĄ CZARNĄ I NIEBISKĄ ZAZNACZONO WARTOŚĆ. 3000. OCZEKIWANĄ. 3500. 4000. 4500. Z - OWEJ I X - TOWEJ SKŁADOWEJ. WEKTORA POŁOŻENIA , CZERWONĄ PRZEBIEG WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Z - TOWEJ SKŁADOWEJ SPINU DLA POLA MAGNETYCZNEGO OSCYLACJE. DOBRZE. R ABIEGO. DOPASOWANEGO. DO. CZĘSTOTLIWOŚCI. PRZY POLU MAGNETYCZNYM O. NIEBISKA DLA POLA RÓŻNIĄCEGO SIĘ O. 5%. OSCYLACJI. NAPIĘCIA ,. LINIĄ. ZIELONĄ. RÓŻNIĄCYM SIĘ OD REZONANSOWEGO , A JASNO. 10%.. Dla precyzyjnie dobranych wartości pola magnetycznego i częstotliwości ω (krzywa czerwona Rys. 18), wartość oczekiwana z-owej macierzy Pauliego zmienia się od. 49.

(50) początkowej wartości ⟨ ⟩. 0,991 do ⟨ ⟩. 0,985 co stanowi obrót spinu o 180o z dobrą. dokładnością. Obrót spinu jest efektem silnie rezonansowym. Częstotliwość zmian napięcia na elektrodzie e4 i wartość zewnętrznego pola magnetycznego muszą być tak dobrane aby energia oscylacji była równa rozszczepieniu Zeemana poziomów energetycznych. Zależność ta wyraża się wzorem. μ | |. (50) . Przy nieprawidłowym dobraniu wartości tych. parametrów odwrócenie spinu jest niepełne co przedstawia krzywa zielona na Rys. 18. Niedopasowanie pola w tym przypadku wynosi 5% a minimalna wartość uzyskanej z-towej składowej spinu ⟨ ⟩. 0,651. Na Rys. 19 przedstawiona jest krzywa zależności minimalnej. wartości spinu w funkcji niedopasowania pola magnetycznego do częstotliwości oscylacji napięcia na elektrodzie e4. Jak widać poprawne oscylacje Rabiego można uzyskać przy niedopasowaniu mniejszym niż 1%. Zaburzeń oscylacji Rabiego możemy również spodziewać się w przypadku niejednorodności pola magnetycznego.. R YS . 19. W YKRES. OBROTU Z - TOWEJ SKŁADOWEJ SPINU. <SZ>. W FUNKCJI NIEDOPASOWANIA NATEZENIA. POLA MAGNETYCZNEGO DO CZESTOTLIWOŚCI NAPIECIA WYMUSZAJACEGO RUCH ELEKTRONU .. 50.

(51) 3.6 O PERACJE LOGICZNE NA SPINIE ELEKTRONU Powróćmy do optymalnych oscylacji pokazanych na Rys. 13. Przy odpowiednim doborze napięć przyłożonych do elektrod obrót spinu na przeciwny można uzyskać po kilku pełnych oscylacjach, czyli po powrocie elektronu do położenia początkowego. W prezentowanej symulacji efekt taki uzyskaliśmy po sześciu oscylacjach czyli przy trzecim powrocie elektronu do punktu startowego. Jeżeli w tym momencie zatrzymamy zmiany napięcia przyłożonego do elektrody e4 i ustalimy je na ostatniej wartości. uzyskamy funkcję bramki. NOT. Czas jej wykonania to T=6*2π/ω=1885ps. Na Rys. 20 przedstawione są wartości oczekiwane x-owej i z-owej składowej wektora położenia oraz wartości oczekiwane trzech macierzy Pauliego w funkcji czasu. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 350 300 250 200 150. 0. 200. 400. R YS . 20. S YMULACJA. 600. 800. 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400. DZIAŁANIA BRAMKI. N OT . L INIE. CZARNA I NIEBIESKA POKAZUJĄ WARTOŚCI. OCZEKIWANE X - OWEJ I Y - OWEJ SKŁADOWEJ WEKTORA POŁOŻENIA I SŁUŻĄ DO PORÓWNANIA OSCYLACJI PRZESTRZENNYCH I SPINOWYCH ELEKTRONU , KRZYWE : CZERWONA , JASNA NIEBIESKA I ZIELONA POKAZUJĄ WARTOŚCI OCZEKIWANE SPINU. < Z >, < Y >, < X >,. ODPOWIEDNIO .. W chwili początkowej wartość oczekiwana składowej ⟨ ⟩ jest bliska 1 natomiast pozostałe składowe ⟨. ⟩i⟨. ⟩ zerują się. Podczas ruchu elektronu maleje składowa ⟨ ⟩ a pojawiają. się składowe prostopadłe do kierunku pola magnetycznego, które ulegają precesji wokół. 51.

(52) niego. Po sześciu przebiegach tam i z powrotem spin ⟨ ⟩ ustawiony jest przeciwnie do kierunku początkowego a elektron znajduje się w położeniu startowym. W tym momencie zatrzymujemy elektron wyłączając zmiany napięcia na elektrodzie sterującej. Obrót spinu również się zatrzymuje i jego wartość jest bliska -1, jedynie składowe prostopadłe ⟨. ⟩ i ⟨. ⟩. oscylują ale z zaniedbywalną amplitudą. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 350 300 250 200 150. 0. 200. R YS . 21. S YMULACJA. 400. 600. DZIAŁANIA. BRAMKI. 800. 1000. H ADAMARDA . L INIE. 1200. CZARNA. 1400. I. NIEBIESKA. 1600. POKAZUJĄ. WARTOŚCI OCZEKIWANE X - OWEJ I Y - OWEJ SKŁADOWEJ WEKTORA POŁOŻENIA I SŁUŻĄ DO PORÓWNANIA OSCYLACJI PRZESTRZENNYCH I SPINOWYCH ELEKTRONU , KRZYWE : CZERWONA , JASNA NIEBIESKA I ZIELONA POKAZUJĄ WARTOŚCI OCZEKIWANE SPINU. < Z >, < Y >, < X >,. ODPOWIEDNIO .. W drugiej symulacji tak dobraliśmy amplitudę oscylacji na elektrodzie e4 aby obrót spinu o 180◦ nastąpił. po parzystej liczbie pełnych oscylacji. Wówczas po dwukrotnie mniejszej. liczbie oscylacji jedna ze składowych prostopadłych do pola magnetycznego jest największa i bliska 1. W wyrażeniu (3.15) można tak dobrać amplitudę napięcia zmiennego aby nastąpiło to w momencie gdy płaski schodek wykresu zależności ⟨ ⟩ od czasu miał wartość zero. U nas jest to spełnione dla amplitudy ΔV=-2,74 ± 0,01mV. Jeżeli wtedy zatrzymamy zmiany napięcia uzyskamy odpowiednik bramki Hadamarda przeprowadzającej stany bazowe w stany będące zrównoważoną kombinacją stanów bazowych, co ma miejsce dla spinu ⟨ ⟩ prostopadłego do kierunku pola magnetycznego. Symulacja tej funkcji jest 52.

(53) przedstawiona na Rys. 21. Podobnie jak dla funkcji bramki NOT po zatrzymaniu elektronu wartość składowej ⟨ ⟩ pozostaje stała ale tym razem równa zero. Zmieniają się natomiast składowe prostopadłe do pola magnetycznego, co odpowiada precesji spinu wokół kierunku pola magnetycznego. Precesję tę można zatrzymać jedynie przez wyłączenie pola magnetycznego. Dzięki wspomnianemu wcześnie doborowi napięć, elektron ponownie został zatrzymany w położeniu początkowym.. 53.

(54) 3.7 C ZAS DZIAŁANIA BRAMKI Przy zadanych rozmiarach nanourządzenia i przyjętej geometrii elektrod czas działania bramki NOT jest rzędu 1.9ns. Czas oscylacji Rabiego jest odwrotnie proporcjonalny do. częstotliwości. zmian. napięcia. na. elektrodzie. e4,. co. potwierdzają. wyniki. przeprowadzonych symulacji. Wykres otrzymanych wyników przedstawiony jest na Rys. 22, co jest zgodne z wynikami eksperymentalnymi opisanymi w pracy (50).. R YS . 22. P O. LEWEJ WYKRES CZĘSTOTLIWOŚCI OSCYLACJI. NAPIĘCIA WYMUSZAJĄCEGO RUCH .. PO. R ABIEGO. W FUNKCJI CZĘSTOTLIWOŚCI. PRAWEJ WYKRES UZYSKANY W EKSPERYMENCIE. (50).. Gdyby udało się zwiększyć ta częstotliwość wówczas skróciłby się czas działania bramki. Niestety jest to ograniczone wymogiem adiabatyczności ruchu elektronu. W naszych symulacjach uzyskaliśmy graniczną, maksymalna wartość częstotliwości równą 20GHz. W przypadku przekroczenia tej wartości ruch przestaje być adiabatyczny. Drgania elektronu w studni potencjału nasilają się, zaczyna on akumulować energią i przechodzi do stanu wzbudzonego. Na Rys. 23 krzywymi czarną, czerwoną, niebieską. i zieloną. przedstawiona jest energia elektronu w funkcji czasu dla częstotliwości ω równych odpowiednio 5, 20, 30 i 50GHz. Ze względu na zmienne napięcie na elektrodzie e4 energia elektronu nie jest stała oscyluje z częstotliwością ω powracając do swojej wyjściowej wartości (patrz krzywe czarna i niebieska odpowiadające im częstotliwości to 5 i 20GHz). Gdy zwiększymy częstotliwość zmian napięcia do 30GHz (krzywa czerwona) energia elektronu powoli zaczyna narastać, jest to widoczne dopiero po kilkudziesięciu przebiegach tam i z powrotem. Dla 50GHz energia elektronu wzrasta bardzo gwałtownie, krzywa zielona. 54.