Rodziny normalne, iteracja funkcji wymiernych

dy

log y = x log x + O

µ x

log²x

¶

( Cwiczenie^´ ).

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze je˙zeli ζ nie miaÃloby zer w {Re s ≥ θ}, gdzie 1/2 < θ < 1, to π(x) = li(x) + O(x^θlog x).

Sama za´s hipoteza Riemanna okazuje sie by´c r´ownowa˙zna to˙zsamo´sci_, π(x) = li(x) + O(√

x log x).

OpisywaÃloby to wiec rozkÃlad liczb pierwszych w znacznie dokÃladniejszy spos´ob ni˙z_, twierdzenie o liczbach pierwszych.

20. Rodziny normalne, iteracja funkcji wymiernych

Dla ustalonego obszaru Ω ⊂ P rodzine G ⊂ O(Ω, P) nazywamy normaln_, a, je˙zeli z_, ka˙zdego ciagu w G mo˙zna wybra´c podci_, ag zbie˙zny lokalnie jednostajnie (w metryce_, sferycznej na P) w Ω. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze wÃlasno´s´c normalno´sci ma charakter czysto lokalny wzgledem Ω (je˙zeli rodzina G ⊂ O(Ω, P) jest lokalnie normalna w Ω, to dla_, ciagu f_{, n}∈ G i ciagu zbior´ow zwartych K_{, j} ⊂ Ω rosnacego do Ω znajdziemy podci_, agi_, f_n^j_k zbie˙zne jednostajnie w K_j; stosujac rozumowanie przek_, atniowe znajdziemy odp._, podciag zbie˙zny jednostajnie na dowolnym K_{, j}).

PrzykÃlad. Rodzina {zⁿ}_n≥1 ⊂ O(C) jest normalna w ∆ oraz w C \ ∆, ale nie jest normalna w ˙zadnym obszarze majacym niepuste przeci_, ecie z ∂∆._,

Podstawowym rezulatem dotyczacym rodzin normalnych jest nast_, epuj_, acy fakt_, (podamy go bez dowodu):

Twierdzenie 20.1. (Montel, 1912) Rodzina O(Ω, C \ {0, 1}) jest normalna.

Twierdzenie Montela jest gÃlebokim rezultatem, wynika z niego Ãlatwo np. wielkie_, twierdzenie Picarda:

Twierdzenie 20.2. (Picard, 1879) Funkcja holomorficzna posiadajaca istotn_, a oso-_, bliwo´s´c omija co najwy˙zej jedna warto´s´c._,

Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze funkcja holomorficzna f w {0 < |z − z₀| < ε}, posiadajaca_, istotna osobliwos´s´c w z_, 0, omija dwie warto´sci w06= w1. SkÃladajac f z odp. funkcj_, a_, liniowa mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze w_{, 0} = 0, w₁ = 1. Z twierdzenia Montela wynika,

˙ze ciag f_{, n}(z) := f (z/n) jest rodzina normaln_, a. Znajdziemy zatem podci_, ag f_{, nk} albo jednostajnie zbie˙zny na okregu ∂K(z_{, 0}, ε/2) albo jednostajnie rozbie˙zny do

∞ na tym okregu. W pierwszym przypadku f byÃloby jednostajnie ograniczone_, na okregach ∂K(z_{, 0}, ε/(2n_k)), skad (i z zasady maksimum) wynikaÃloby, ˙ze funkcja_, f jest ograniczona w pobli˙zu z₀. W drugim przypadku podobnie dostaliby´smy limz→z₀f (z) = ∞. Otrzymaliby´smy wiec, ˙ze z_, 0 jest albo osobliwo´scia usuwaln_, a_, albo biegunem - sprzeczno´s´c. ¤

Twierdzenie Montela okazuje sie by´c szczeg´olnie przydatne do badania iteracji_, funkcji wymiernych. Bedziemy teraz stale zakÃlada´c, ˙ze R = P/Q jest funkcj_, a_, wymierna (kt´or_, a traktujemy jako odwzorowanie holomorficzne P → P), gdzie P, Q_, sa wielomianami zespolonymi bez wsp´olnych zer. ZakÃladamy tak˙ze, ˙ze d = deg R :=_, max{deg P, deg Q} ≥ 2. Oznacza to, ˙ze dla w spoza sko´nczonego podzbioru P zbi´or R⁻¹(w) jest dokÃladnie d-elementowy. Przez Rⁿ= R◦· · ·◦R oznaczamy n-ta iteracj_, e_, odwzorowania R.

Zbi´or Fatou F funkcji R definiujemy jako zbi´or wszystkich z ∈ P takich, ˙ze ciag R_, ⁿ jest rodzina normaln_, a w pewnym otoczeniu z. DopeÃlnienie zbioru Fatou_, J := P \ F to zbi´or Julii funkcji R. Oczyw´scie F jest otwarty, za´s J jest zwarty.

Zbiory te zostaÃly zdefiniowane niezale˙znie przez tych dw´och matematyk´ow w 1918 r.

Przedstawimy teraz bez dowod´ow podstawowe wÃlasno´sci zbioru Julii (udowod-nione niezale˙znie przez Fatou i Julia w 1918 r. w ramach konkursu ogÃloszonego przez francuska Akademi_, e Nauk)._,

Twierdzenie 20.3. i) J 6= ∅;

ii) R⁻¹(J ) = J ;

iii) Zbi´or Julii odwzorowania R^N, N ≥ 1, jest taki sam jak zbi´or Julii R;

iv) Je˙zeli J ma niepuste wnetrze, to J = P;_, v) Dla ka˙zdego z0∈ J zbi´or S

n≥1R⁻ⁿ(z0) jest gesty w J ;_,

vi) J jest zbiorem doskonaÃlym, tzn. nie zawiera punkt´ow izolowanych.

Przyjrzymy sie teraz dokÃladniej przypadkowi, gdy R = P jest wielomianem_, (stopnia d ≥ 2):

Twierdzenie 20.4. Dla wielomianu P poÃl´o˙zmy

K := {z ∈ C : ciag P_, ⁿ(z) jest ograniczony}.

Wtedy K jest zbiorem zwartym w C, ∂K = J oraz K jest wypeÃlnionym zbiorem Julii, tzn. K = J ∪ U, gdzie U jest suma skÃladowych ograniczonych C \ J ._,

Dow´od. Znajdziemy r > 0 i λ > 1 takie, ˙ze |P (z)| ≥ λ|z|, gdy |z| ≥ r, a zatem

|Pⁿ(z)| ≥ λⁿ|z|, gdy |z| ≥ r i n ≥ 1. Wynika stad, ˙ze K ⊂ K(0, r) oraz_,

(20.1) C \ K = [

n≥1

P⁻ⁿ({|z| > r}).

W szczeg´olno´sci, K jest zwarty. Zauwa˙zmy, ˙ze z ∈ P (K) ⇔ z ∈ K, tzn. P⁻¹(K) = K. Z kolei P (z) ∈ ∂K oznacza, ˙ze P (z) ∈ K oraz istnieje ciag w_{, k} ∈ C \ K zbie˙zny do

z. Np. dzieki otwarto´sci P jest to r´ownowa˙zne istnieniu ci_, agu z_{, kl} ∈ C \ K zbie˙znego do z i takiego, ˙ze P (zk_l) = wk_l. Mamy wiec P_, ⁻¹(∂K) = ∂K.

Je˙zeli z ∈ ∂K, to ciag P_, ⁿ(z) jest ograniczony, ale z (20.1) mamy Pⁿ → ∞ lokalnie jednostajnie na C \ K, a wiec na ˙zadnym otoczeniu punktu z ci_, ag P_, ⁿ nie jest rodzina normaln_, a, czyli ∂K ⊂ J . Poniewa˙z C \ K ⊂ F, to J ⊂ K i, dzi_, eki i),_, K 6= ∅. Niech z0 ∈ ∂K. Z v) wynika, ˙ze zbi´orS

n≥1P⁻ⁿ(z0) jest gesty w J . Zbi´or_, ten jest jednak zawarty w ∂K (bo P⁻¹(∂K) = ∂K), a wiec ∂K jest g_, esty w J . St_, ad_,

∂K = J.

Mamy ∂U ⊂ K, wiec z zasady maksimum i dzi_, eki temu, ˙ze P (K) ⊂ K dostaniemy_, U ⊂ K. Pokazali´smy, ˙ze ∂K ∪ U ⊂ K i ˙ze U jest suma skÃladowych ograniczonych_, C \ ∂K. Poniewa˙z skÃladowa nieograniczona C \ ∂K nie ma punkt´ow wsp´olnych z K, mamy ∂K ∪ U = K. ¤

PrzykÃlady. i) Dla P (z) = z² mamy J = ∂∆.

ii) Niech P (z) = z²− 2. Mo˙zna pokaza´c Cwiczenie^´ , ˙ze funkcja f (ζ) = ζ + 1/ζ odwzorowuje konforemnie obszar {|ζ| > 1} na C \ [−2, 2]. Mamy tak˙ze (f⁻¹◦ P ◦ f )(ζ) = ζ². Wynika stad, ˙ze P_, ⁿ→ ∞ na C \ [−2, 2]. Z drugiej strony P ([−2, 2]) ⊂ [−2, 2], a wiec z Twierdzenia 20.4 J = K = [−2, 2]._,

W og´olnym przypadku jednak dynamika wielomianu kwadratowego P_c(z) :=

z²+ c, c ∈ C, jest bardzo skomplikowana i zbiory Julii J_c wielomianu P_c maja_, zwykle strukture fraktali. Zbi´or Mandelbrota (Brook, Matelski, 1978, Mandelbrot,_, 1980) M to zbi´or tych c ∈ C, dla kt´orych ciag P_{, c}ⁿ(0) jest ograniczony.

Mo˙zna udowodni´c (zob. np. [2]), ˙ze M jest sp´ojny i jednosp´ojny, ale otwartym problemem pozostaje lokalna sp´ojno´s´c M. Mo˙zna tak˙ze pokaza´c, ˙ze je˙zeli c ∈ M, to Jc jest sp´ojny, natomiast dla c /∈ M zbi´or Jc jest caÃlkowicie niesp´ojny (tzn.

wszystkie skÃladowe sp´ojne J_c sa jednopunktowe)._,

Literatura

[1] E. Bombieri, Problems of the Millenium: Riemann Hypothesis, zob.

http://www.claymath.org/millennium/Riemann Hypothesis.

[2] L. Carleson, T.W. Gamelin, Complex Dynamics, Springer-Verlag, New York, 1993.

[3] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, New York, 1986.

[4] J.B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1995.

[5] N.D. Elkies, Introduction to Analytic Number Theory, lecture notes, 1998, zob. http://www.math.harvard.edu/eelkies/M259.98/index.html.

[6] R.E. Greene, S.G. Krantz, Function theory of one complex variable, Amer-ican Mathematical Society, Providence, RI, 2006.

[7] R. Remmert, Theory of Complex Functions, Springer-Verlag, New York,1991.

[8] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa, 1986.

[9] E.B. Saff, A.D. Snider, Fundamentals of Complex Analysis for Mathemtics, Science, and Engineering, wyd. 2, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.

[10] S. Saks, A. Zygmund, Analytic functions, Monografie Matematyczne 28, PTM, Warszawa-WrocÃlaw, 1952.

[11] J. Stillwell, Mathematics and its History, wyd. 2, Springer-Verlag, New York, 2001.