4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 11

(1)

JEDNOSEMESTRALNY WYKÃLAD DLA SEKCJI NIETEORETYCZNYCH INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2008

Zbigniew BÃlocki

Spis tre´sci

1. Podstawowe wÃlasno´sci liczb zespolonych 2 2. R´o˙zniczkowanie funkcji zespolonych 5

3. CaÃlkowanie funkcji zespolonych 9

4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 11

5. Wz´or caÃlkowy Cauchy’ego 14

6. Podstawowe wÃlasno´sci funkcji holomorficznych 15

7. Szeregi pot egowe

_,

17 8. Podstawowe wÃlasno´sci funkcji holomorficznych, cd. 19

9. Funkcje analityczne 21

10. Globalne twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego 22

11. Szeregi Laurenta 25

12. Osobliwo´sci funkcji holomorficznych 27

13. Twierdzenie o residuach 29

13a. Obliczanie pewnych caÃlek rzeczywistych 30 14. Lokalizowanie zer funkcji holomorficznych 34

15. Odwzorowania konforemne 36

16. Sfera Riemanna 39

17. Funkcje harmoniczne 40

18. Iloczyny niesko´ nczone 43

19. Funkcja ζ Riemanna 46

20. Rodziny normalne, iteracja funkcji wymiernych 48

Literatura 51

Zagadnienia na egzamin ustny 52

Typeset by AMS-TEX

(2)

1. Podstawowe wÃlasno´sci liczb zespolonych

Liczb a zespolon

_,

a nazywamy par

_,

e liczb rzeczywistych, zbi´or liczb zespolonych C

_,

to zatem dokÃladnie zbi´or R

²

. Element z = (x, y) ∈ C zapisujemy w postaci x + iy.

Na zbiorze C wprowadzamy mno˙zenie (zgodnie z reguÃl a i

_, ²

= −1):

(x

₁

+ iy

₁

)(x

₂

+ iy

₂

) = x

₁

x

₂

− y

₁

y

₂

+ i(x

₂

y

₁

+ x

₁

y

₂

).

Mo˙zna Ãlatwo pokaza´c

Cwiczenie^´

, ˙ze C z dodawaniem wektorowym w R

²

oraz tak wprowadzonym mno˙zeniem jest ciaÃlem. Je˙zeli z = x + iy, to x nazywamy cz e´sci

_,

a rzeczywist

_,

a, natomiast y cz

_,

e´sci

_,

a urojon

_,

a liczby z; ozn. x = Re z, y = Im z.

_,

Ka˙zd a liczb

_,

e zespolon

_,

a z mo˙zemy rówie˙z zapisać przy pomocy wspóÃlrz

_,

ednych bie-

_,

gunowych:

z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = |z| = p

x

²

+ y

²

, za´s ϕ jest k atem pomi

_,

edzy odcinkami [0, 1] i [0, z]

_,

(gdy z 6= 0) - nazywamy go argumentem liczby z. Zachodzi oczywi´scie nierówno´sć trójk ata

_,

|z + w| ≤ |z| + |w|, z, w ∈ C, mo˙zna r´ownie˙z Ãlatwo pokaza´c

Cwiczenie^´

, ˙ze

|zw| = |z| |w|, z, w ∈ C.

Chcemy teraz zdefiniowa´c zespolon a funkcj

_,

e wykÃladnicz

_,

a exp : C → C. Dla

_,

z = x + iy ∈ C oczekujemy, ˙ze e

^z

= e

^x

e

^iy

, czyli wystarczy okre´sli´c e

^it

dla t ∈ R.

Chcemy by funkcja ta speÃlniaÃla d

dt e

^it

= ie

^it

, e

⁰

= 1,

a wi ec (oznaczaj

_,

ac e

_, ^it

= A + iB) A

⁰

= −B, B

⁰

= A, A(0) = 1, B(0) = 0. Jedynym rozwi azaniem tego ukÃladu s

_,

a funkcje A = cos t, B = sin t. Funkcj

_,

e wykÃladnicz

_,

a

_,

definiujemy zatem nast epuj

_,

aco:

_,

e

^z

:= e

^x

(cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C.

Mo˙zna Ãlatwo pokaza´c

Cwiczenie^´

jej nast epuj

_,

ace wÃlasno´sci

_,

e

^z+w

= e

^z

e

^w

, z, w ∈ C, d

dt e

^tz

= ze

^tz

, t ∈ R, z ∈ C.

Z faktu, ˙ze |e

^z

| = e

^x

oraz dzi eki temu, ˙ze y jest argumentem liczby e

_, ^z

wynika, ˙ze funkcja wykÃladnicza proste pionowe x = x

₀

odwzorowuje na okr egi o promieniu e

_, ^x⁰

, natomiast proste poziome y = y

₀

na p´oÃlproste otwarte o pocz atku w 0 o argumencie

_,

y

0

.

Wracaj ac do wsp´oÃlrz

_,

ednych biegunowych, mo˙zemy je teraz zapisa´c w postaci

_,

z = re

^iϕ

. Dla z 6= 0 przez arg z oznaczamy zbi´or argument´ow liczby z, tzn.

arg z := {ϕ ∈ R : z = |z|e

^iϕ

}.

(3)

Poniewa˙z e

^i(ϕ+2π)

= e

^iϕ

, dla dowolnego ϕ

₀

∈ arg z mamy arg z = {ϕ

₀

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Dla ka˙zdego z ∈ C

∗

(:= C \ {0}) znajdziemy dokÃladnie jeden element arg z nale˙z acy

_,

do przedziaÃlu [−π, π). Nazywamy go argumentem gÃl´ownym liczby z i oznaczamy Arg z. Funkcja Arg , okre´slona na C

_∗

, jest nieci agÃla na p´oÃlprostej (−∞, 0).

_,

Mo˙zemy teraz poda´c geometryczn a interpretacj

_,

e mno˙zenia w C: je˙zeli z = re

_, ^iϕ

, w = ρe

^iψ

, to zw = rρe

^i(ϕ+ψ)

; czyli mno˙zymy dÃlugo´sci, a dodajemy argumenty.

Mo˙zemy st ad równie˙z wywnioskować wzór de Moivre’a: z tego, ˙ze (e

_, ^iϕ

)

ⁿ

= e

^inϕ

otrzymamy

(cos ϕ + i sin ϕ)

ⁿ

= cos(nϕ) + i sin(nϕ), ϕ ∈ R, n ∈ N.

Dla danego z ∈ C oraz n ∈ N przez pierwiastek z stopnia n rozumiemy zbi´or

√

n

z := {w ∈ C : w

ⁿ

= z}.

Zapisuj ac z i w we wsp´oÃlrz

_,

ednych biegunowych:

_,

z = re

^iϕ

, w = ρe

^iψ

, otrzymamy warunki

ρ = r

^1/n

, ψ = ϕ + 2kπ

n , k ∈ Z.

Poniewa˙z e

^iψ

= e

^i(ψ+2π)

, dla k = 0, 1, . . . , n − 1 otrzymamy wszystkie rozwi azania.

_,

Zatem

√

n

z = {|z|

^1/n

e

^i(ϕ+2kπ)/n

: k = 0, 1, . . . , n − 1}.

W szczeg´olno´sci, pierwiastek stopnia n z liczby niezerowej jest zawsze zbiorem n elementowym.

Cwiczenie´

Udowodni´c, ˙ze rozwi azaniem r´ownania kwadratowego w C:

_,

az

²

+ bz + c = 0,

gdzie a ∈ C

_∗

, b, c ∈ C, jest

z = −b + √

∆ 2a , gdzie ∆ = b

²

− 4ac, przy czym √

∆ jest zbiorem dwuelementowym je˙zeli ∆ 6= 0 - w tym przypadku zawsze otrzymamy dwa rozwi azania (jedno je˙zeli ∆ = 0).

_,

W przypadku wielomian´ow dowolnego stopnia mamy rezultat niekonstruktywny, tzw. zasadnicze twierdzenie algebry.

Twierdzenie 1.1. Ka˙zdy niestaÃly wielomian zespolony ma pierwiastek.

Powy˙zszy rezultat mo˙zna udowodnić w sposób elementarny przy pomocy lematu d’Alemberta (oryginalny dowód z 1746 r. zawieraÃl luk e):

_,

Lemat 1.2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze P jest niestaÃlym wielomianem zespolonym oraz, ˙ze dla pewnego z

0

∈ C mamy P (z

0

) 6= 0. Wtedy dla ka˙zdego otoczenia U punktu z

0

znajdziemy z ∈ U takie, ˙ze |P (z)| < |P (z

₀

)|.

(4)

Dow´od. (Argand, 1806) Niech

P (z) = a

0

+ a

1

z + · · · + a

n

z

ⁿ

. Wtedy

P (z

₀

+ h) = a

₀

+ a

₁

(z

₀

+ h) + · · · + a

_n

(z

₀

+ h)

ⁿ

= P (z

₀

) + A

₁

h + · · · + A

_n

h

ⁿ

, gdzie wsp´oÃlczynniki A

j

zale˙z a tylko od P i z

_, 0

. Kt´ory´s z nich na pewno nie znika, gdy˙z w przeciwnym wypadku wielomian P byÃlby staÃly. Niech j b edzie najmniej-

_,

szym indeksem, dla kt´orego A

_j

6= 0. Mamy zatem

P (z

₀

+ h) = P (z

₀

) + A

_j

h

^j

+ R(h), gdzie

|R(h)| < |A

_j

h

^j

|,

gdy |h| jest odp. maÃle, h 6= 0. Mo˙zemy znale´z´c h o dowolnie maÃlym |h|, dla kt´orego A

_j

h

^j

ma argument przeciwny do argumentu P (z

₀

). Wtedy

|P (z

0

+ h)| ≤ |P (z

0

) + A

j

h

^j

| + |R(h)| = |P (z

0

)| − |A

j

h

^j

| + |R(h)| < |P (z

0

)|. ¤ Dow´od Twierdzenia 1.1. Oznaczaj ac P jak w dowodzie Lematu 1.2 i zakÃladaj

_,

ac,

_,

˙ze a

n

6= 0, mamy

|P (z)| ≥ |a

_n

| |z|

ⁿ

− |a

₀

+ a

₁

z + · · · + a

_n−1

z

ⁿ⁻¹

|

≥ |a

_n

| |z|

ⁿ

− |a

₀

| − |a

₁

| |z| − · · · − |a

_n−1

| |z|

ⁿ⁻¹

.

Mo˙zemy w szczeg´olno´sci znale´z´c R > 0 takie, ˙ze |P (z)| > |P (0)|, gdy |z| = R.

Funkcja |P | jest ci agÃla na C (bo oczywiste jest, ˙ze mno˙zenie jest odwzorowaniem

_,

ci agÃlym), znajdziemy zatem z

_, 0

∈ K(0, R) takie, ˙ze

|P (z

0

)| = min

K(0,R)

|P |.

Je˙zeli P (z

₀

) 6= 0, to dzi eki Lematowi 1.2 znajdziemy z ∈ K(0, R) takie, ˙ze |P (z)| <

_,

|P (z

₀

)| - sprzeczno´s´c. ¤ Dla z ∈ C

∗

definiujemy

log z := {w ∈ C : e

^w

= z}

(dla z = 0 ten zbi´or jest oczywi´scie pusty). Je˙zeli zapiszemy w = η + iξ, z = re

^iϕ

, to otrzymamy r´ownanie e

^η

e

^iξ

= re

^iϕ

. Zatem η = log r = log |z|, natomiast ξ = ϕ + 2kπ, k ∈ Z. Ostatecznie

log z = log |z| + iarg z.

Liczb e

_,

Log z := log |z| + iArg z

(5)

nazywamy logarytmem gÃl´ownym z.

Przy pomocy logarytmu mo˙zemy zdefiniowa´c pot egi zespolone: dla z ∈ C

_, ∗

, w ∈ C kÃladziemy

z

^w

= e

^{w log z}

. Zauwa˙zmy, ˙ze

z

^1/n

= e

ⁿ¹(log |z|+iarg z)

= |z|

^1/n

e

ⁱ^{arg z}ⁿ

, czyli otrzymamy to samo, co przy definicji pierwiastka.

Cwiczenie´

Obliczy´c i

ⁱ

. Przypomnijmy, ˙ze

e

^iϕ

= cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R.

Zespolone funkcje trygonometryczne mo˙zna Ãlatwo wyprowadzi´c ze wzor´ow Eulera:

e

^iz

= cos z + i sin z, e

^−iz

= cos z − i sin z.

St ad

_,

cos z := e

^iz

+ e

^−iz

2 ,

sin z := e

^iz

− e

^−iz

2i . Mamy r´ownie˙z

cosh z := cos(iz) = e

^z

+ e

^−z

2 ,

sinh z := −i sin(iz) = e

^z

− e

^−z

2 .

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze arccos z = −i log(z + √

z

²

− 1).

Dla liczby zespolonej z = x + iy definiujemy jej sprz e˙zenie: z := x − iy. Natych-

_,

miast otrzymujemy, ˙ze

|z|

²

= zz.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze (zw) = z w oraz e

^z

= e

^z

.

2. R´ o˙zniczkowanie funkcji zespolonych

Oczywi´scie ka˙zde odwzorowanie liniowe C → C jest postaci

(2.1) C 3 z 7−→ az ∈ C

dla pewnego a ∈ C. Poniewa˙z C = R

²

, mo˙zemy równie˙z rozpatrywać równania liniowe w sensie rzeczywistym - b ed

_,

a one postaci

_,

C = R

²

3 z 7−→ Az 3 R

²

= C,

(6)

gdzie

(2.2) A =

µ p q s t

¶

, p, q, s, t ∈ R.

Takie odwzorowania C → C b edziemy nazywa´c R-liniowymi, natomiast odwzorowa-

_,

nia postaci (2.1) C-liniowymi. Mo˙zna Ãlatwo sprawdzi´c, ˙ze ka˙zde odwzorowanie C-liniowe jest R-liniowe, przy czym A jest postaci

A =

µ α −β

β α

¶ ,

gdzie a = α + iβ. Z drugiej strony, dane odwzorowanie R-liniowe jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy p = t i q = −s w (2.2) (

Cwiczenie^´

).

Niech f b edzie funkcj

_,

a o warto´sciach zespolonych okre´slon

_,

a w pewnym otoczeniu

_,

punktu z

₀

∈ C. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym powiemy, ˙ze f jest C-r´o˙zniczkowalna w punkcie z

₀

, je˙zeli istnieje granica

z→z

lim

₀

f (z) − f (z

₀

) z − z

₀

∈ C.

Granic e t

_,

e nazywamy pochodn

_,

a zespolon

_,

a funkcji f w z

_, 0

i oznaczamy przez f

⁰

(z

0

).

Jest oczywiste, ˙ze ka˙zda funkcja C-r´o˙zniczkowalna w z

₀

jest w ci agÃla w z

_, ₀

. W podobny spos´ob jak w przypadku rzeczywistym dowodzimy podstawowych wÃlas- no´sci funkcji C-r´o˙zniczkowalnych.

Propozycja 2.1. Je˙zeli funkcje f, g s a C-r´o˙zniczkowalne w z

_, ₀

, to funkcje f ± g, f g oraz f /g (ta ostatnia pod warunkiem, ˙ze g(z

₀

) 6= 0) s a C-r´o˙zniczkowalne w z

_, ₀

oraz w z

0

mamy

(f ± g)

⁰

= f

⁰

± g

⁰

, (f g)

⁰

= f

⁰

g + f g

⁰

, µ f

g

¶

₀

= f

⁰

g − f g

⁰

g

²

. ¤

Propozycja 2.2. Je˙zeli f jest C-r´o˙zniczkowalna w z

₀

, za´s g jest C-r´o˙zniczkowalna w f (z

₀

), to g ◦ f jest C-r´o˙zniczkowalna w z

₀

oraz

(g ◦ f )

⁰

(z

0

) = g

⁰

(f (z

0

)) f

⁰

(z

0

). ¤

Przypomnijmy, ˙ze funkcja zespolona f jest r´o˙zniczkowalna w z

0

w klasycznym sensie (b edziemy wtedy mówić, ˙ze jest ona R-ró˙zniczkowalna), je˙zeli istnieje odwzo-

_,

rowanie R-liniowe A takie, ˙ze

z→z

lim

₀

|f (z) − f (z

₀

) − A(z − z

₀

)|

|z − z

₀

| = 0.

Je˙zeli f = u + iv, gdzie u, v s a funkcjami rzeczywistymi, to

_,

A =

µ u

x

(z

0

) u

y

(z

0

) v

_x

(z

₀

) v

_y

(z

₀

)

¶

(7)

(ozn. u

_x

= ∂u/∂x, u

_y

= ∂u/∂y). Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zda funkcja C-r´o˙zniczkowalna jest R-r´o˙zniczkowalna, przy czym

A =

µ Re f

⁰

(z

0

) −Im f

⁰

(z

0

) Im f

⁰

(z

0

) Re f

⁰

(z

0

)

¶ .

PrzykÃlad. Funkcja f (z) = z, z ∈ C, jest R-r´o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie (jest nawet R-liniowa), ale nigdzie nie jest C-r´o˙zniczkowalna: zauwa˙zmy, ˙ze dla t ∈ R mamy

z − z

₀

z − z

0

=

½ 1, je˙zeli z = z

₀

+ t,

−1, je˙zeli z = z

0

+ it, czyli odpowiednia granica nie istnieje.

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f = u + iv jest R-r´o˙zniczkowalna w z

₀

. Oznaczaj ac f

_, _x

= u

_x

+ iv

_x

, f

y

= u

y

+ iv

y

mamy

f (z) = f (z

0

) + f

x

(z

0

)(x − x

0

) + f

y

(z

0

)(y − y

0

) + o(|z − z

0

|).

Poniewa˙z

(2.3) x = z + z

2 , y = z − z 2i , otrzymamy

f (z) = f (z

₀

) + f

_x

(z

₀

) − if

_y

(z

₀

)

2 (z − z

₀

) + f

_x

(z

₀

) + if

_y

(z

₀

)

2 (z − z

₀

) + o(|z − z

₀

|).

Dla funkcji R-r´o˙zniczkowalnej definiujemy pochodne formalne

(2.4)

∂f

∂z (= f

z

) := 1 2

µ ∂f

∂x − i ∂f

∂y

¶ ,

∂f

∂z (= f

z

) := 1 2

µ ∂f

∂x + i ∂f

∂y

¶ .

Pochodne cz astkowe ∂/∂z i ∂/∂z prowadzi´c mo˙zemy r´ownie˙z przy pomocy formy

_,

df : mamy

f

_x

dx + f

_y

dy = df = f

_z

dz + f

_z

dz = f

_z

(dx + idy) + f

_z

(dx − idy), a st ad

_,

(2.5)

½ f

x

= f

z

+ f

z

, f

_y

= i(f

_z

− f

_z

), sk ad Ãlatwo dostaniemy (2.4).

_,

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze dla dowolnej funkcji R-r´o˙zniczkowalnej f mamy µ ∂f

∂z

¶

= ∂f

∂z , µ ∂f

∂z

¶

= ∂f

∂z .

(8)

Cwiczenie´

Obliczy´c f

_z

oraz f

_z

, gdzie f (z) = |z|

²

Re (z

⁸

).

Dla funkcji R-r´o˙zniczkowalnej w z

0

mamy wi ec

_,

f (z) = f (z

₀

) + f

_z

(z

₀

)(z − z

₀

) + f

_z

(z

₀

)(z − z

₀

) + o(|z − z

₀

|) oraz, dla z 6= z

0

,

f (z) − f (z

₀

)

z − z

₀

= f

z

(z

0

) + f

z

(z

0

) z − z

₀

z − z

₀

+ o(|z − z

₀

|) z − z

₀

.

Wsp´olnie z ostatnim przykÃladem daje to nast epuj

_,

ac

_,

a charakteryzacj

_,

e funkcji C-

_,

r´o˙zniczkowalnych:

Propozycja 2.3. Funkcja zespolona f = u + iv jest C-r´o˙zniczkowalna w punkcie z

o

wtedy i tylko wtedy, gdy f jest R-r´o˙zniczkowalna w z

0

oraz f

z

(z

0

) = 0, tzn. w z

0

speÃlnione s a r´ownania Cauchy’ego-Riemanna:

_,

½ u

x

= v

y

, u

_y

= −v

_x

. W takiej sytuacji f

⁰

(z

₀

) = f

_z

(z

₀

). ¤

Powiemy, ˙ze funkcja f : Ω → C (Ω b edzie zawsze oznaczaÃlo obszar w C) jest

_,

holomorficzna, je˙zeli jest ona C-r´o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie. Zbi´or wszyst- kich funkcji holomorficznych w Ω oznaczamy przez O(Ω), natomiast przez O

_∗

(Ω) zbi´or nigdzie nieznikaj acych funkcji holomorficznych. Z Propozycji 2.1 i 2.2 wynika,

_,

˙ze suma, iloczyn, iloraz i zÃlo˙zenie funkcji holomorficznych s a funkcjami holomor-

_,

ficznymi. Je˙zeli f = u + iv jest R-r´o˙zniczkowalna, to f jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy speÃlnione s a r´ownania Cauchy’ego-Riemanna.

_,

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze e

^z

jest jedyn a funkcj

_,

a z O(C) tak

_,

a, ˙ze f

_, ⁰

= f oraz f (0) = 1.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze cos, sin, cosh, sinh ∈ O(C) oraz obliczy´c pochodne zespolone tych funkcji.

Propozycja 2.4. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f jest holomorficzna i klasy C

¹

w pewnym otoczeniu z

₀

∈ C oraz f

⁰

(z

₀

) 6= 0. Wtedy istnieje U - otwarte otoczenie z

₀

oraz V - otwarte otoczenie f (z

0

), t.˙ze f : U → V jest bijekcj a, f

_, ⁻¹

jest holomorficzna oraz

(2.6) (f

⁻¹

)

⁰

(f (z)) = 1

f

⁰

(z) , z ∈ U.

Dowód. Je˙zeli zapiszemy f = u + iv, to rzeczywista ró˙zniczka f ma postać A :=

µ u

_x

u

_y

v

x

v

y

¶

=

µ u

_x

u

_y

−u

y

u

x

¶

dzi eki r´ownaniom Cauchy’ego-Riemanna. Z drugiej strony, wprost z definicji C-

_,

r´o˙zniczkowalno´sci

f

⁰

= f

x

= u

x

− iu

y

. Mamy wi ec

_,

det A = u

²_x

+ u

²_y

= |f

⁰

|

²

.

(9)

Dzi eki temu, ˙ze f

_, ⁰

(z

₀

) 6= 0, z rzeczywistego twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie wynika, ˙ze istniej a odp. otoczenia U i V , t.˙ze f : U → V jest bijekcj

_,

a klasy C

_, ¹

oraz f

⁻¹

jest r´ownie˙z klasy C

¹

. Zapiszmy f

⁻¹

= α + iβ. R´o˙zniczka f

⁻¹

jest r´owna

µ α

_x

α

_y

β

x

β

y

¶

= A

⁻¹

= 1 u

²_x

+ u

²_y

µ u

_x

−u

_y

u

y

u

x

¶ .

W szczeg´olno´sci α

_x

= β

_y

, α

_y

= −β

_x

, czyli f

⁻¹

jest holomorficzna. FormuÃl e (2.6)

_,

dostaniemy r´o˙zniczkuj ac wz´or

_,

f

⁻¹

(f (z)) = z, z ∈ U. ¤

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze Log z ∈ O(C \ (−∞, 0]) oraz (Log z)

⁰

= 1/z.

Podamy teraz formuÃl e na r´o˙zniczkowanie zÃlo˙zenia funkcji zespolonej z krzyw

_,

a.

_,

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcje f : Ω → C oraz γ = (γ

₁

, γ

₂

) : (a, b) → Ω s a r´o˙zniczkowalne

_,

(w klasycznym sensie). Wtedy, korzystaj ac z (rzeczywistej) formuÃly na pochodn

_,

a

_,

zÃlo˙zenia oraz z (2.3), (2.5), otrzymamy

(2.7)

d

dt f (γ(t)) = f

_x

(γ(t)) γ

₁⁰

(t) + f

_y

(γ(t)) γ

₂⁰

(t)

= f

_z

(γ(t)) γ

⁰

(t) + f

_z

(γ(t))γ

⁰

(t).

3. CaÃlkowanie funkcji zespolonych

Niech a, b ∈ R, a < b. Funkcj e γ : [a, b] → C nazywamy drog

_,

a, je˙zeli γ jest

_,

ci agÃla oraz γ jest kawaÃlkami klasy C

_, ¹

, tzn. istniej a a = t

_, 0

< t

1

< · · · < t

n

= b takie, ˙ze γ ∈ C

¹

([t

j

, t

j+1

]), j = 0, 1, . . . , n − 1. Punkt γ(a) nazywamy pocz atkiem

_,

za´s γ(b) ko´ ncem drogi γ. Obraz γ b edziemy oznacza´c γ

_, ^∗

. Je˙zeli γ(a) = γ(b), to γ nazywamy drog a zamkni

_,

et

_,

a.

_,

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f : γ([a, b]) → C jest funkcj a ci

_,

agÃl

_,

a. Definiujemy

_,

Z

γ

f (z)dz :=

Z

_b

a

f (γ(t))γ

⁰

(t)dt.

(Powy˙zsz a definicj

_,

e otrzymamy tak˙ze rozpatruj

_,

ac cz

_,

e´s´c rzeczywist

_,

a i urojon

_,

a formy

_,

r´o˙zniczkowej f dz = (u + iv)(dx + idy).) Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja pod caÃlk a jest

_,

caÃlkowalna w sensie Riemanna niezale˙znie od tego jakie warto´sci przyjmuje w punk- tach t

_j

. Ponadto, je˙zeli ϕ : [c, d] → [a, b] jest dyfeomorfizmem, to e γ := γ ◦ ϕ jest drog a tak

_,

a, ˙ze e

_,

γ

^∗

= γ

^∗

oraz

Z

e γ

f (z)dz = Z

_d

c

f (γ(ϕ(s)))γ

⁰

(ϕ(s))ϕ

⁰

(s)ds = ( R

γ

f (z)dz, je˙zeli ϕ

⁰

> 0;

− R

γ

f (z)dz, je˙zeli ϕ

⁰

< 0.

Zatem, je˙zeli γ|

_(a,b)

jest iniekcj a, to

_,

R

γ

f (z)dz zale˙zy tylko od obrazu γ oraz od

kierunku, w kt´orym caÃlkujemy, tzn. od orientacji. W takiej sytuacji b edziemy

_,

cz esto uto˙zsamia´c drogi z ich obrazem oraz odpowiedni

_,

a orientacj

_,

a.

_,

(10)

W szczególno´sci, je˙zeli D jest obszarem, którego brzeg mo˙zna iniektywnie spara- metryzować drog a zamkni

_,

et

_,

a, to mo˙zemy m´owi´c o dodatniej orientacji ∂D - b

_,

edzie

_,

ni a dowolna parametryzacja o kierunku odwrotnym do ruchu wskaz´owek zegara.

_,

CaÃlka R

∂D

f (z)dz ma w´owczas sens, gdy˙z nie zale˙zy od wyboru takiej parametryza- cji (i jest ona zgodna z caÃlk a z formy po krzywej gÃladkiej). B

_,

edziemy u˙zywa´c tego

_,

oznaczenia przede wszystkim, gdy D jest koÃlem lub wn etrzem tr´ojk

_,

ata.

_,

Je˙zeli f jest okre´slone w pewnym otoczeniu γ

^∗

i ma tam funkcj e pierwotn

_,

a, tzn.

_,

istnieje funkcja holomorficzna F taka, ˙ze F

⁰

= f , to z (2.7) otrzymamy

(3.1)

Z

γ

f (z)dz = Z

_b

a

d

dt F (γ(t)) dt = F (γ(b)) − F (γ(a)).

W szczeg´olno´sci, je˙zeli γ jest drog a zamkni

_,

et

_,

a, to

_,

R

γ

f (z)dz = 0.

Cwiczenie´

Pokaza´c, ˙ze je˙zeli funkcja f = u + iv ma pierwotn a, to pole wektorowe

_,

(v, u) jest potencjalne, tzn. (v, u) = ∇χ dla pewnej funkcji χ.

PrzykÃlad. Dla n ∈ Z, z

₀

∈ C oraz r > 0 obliczymy Z

∂K(z0,r)

(z − z

₀

)

ⁿ

dz.

Dla n 6= −1 pierwotn a funkcji podcaÃlkowej jest funkcja (z−z

_, ₀

)

ⁿ⁺¹

/(n+1), okre´slona na C \ {z

₀

}. W tym przypadku wi ec, dzi

_,

eki (3.1), nasza caÃlka znika. Dla n = −1

_,

poÃl´o˙zmy γ

j

(t) = z

0

+ re

^it

, a

j

≤ t ≤ b

j

, gdzie a

j

jest pewnym ci agiem malej

_,

acym

_,

do zera, za´s b

j

rosn acym do 2π. Wtedy, tak˙ze z (3.1), mamy

_,

Z

∂K(z0,r)

dz z − z

0

= lim

j→∞

Z

γj

dz z − z

0

= lim

j→∞

¡ Log (re

^ib^j

) − Log (re

^ia^j

) ¢

= 2πi.

Otrzymali´smy wi ec

_,

(3.2)

Z

∂K(z₀,r)

(z − z

₀

)

ⁿ

dz =

½ 0, je˙zeli n 6= −1;

2πi, je˙zeli n = −1.

Pokazuje to w szczeg´olno´sci, ˙ze funkcja 1/(z − z

₀

) nie ma pierwotnej w ˙zadnym pier´scieniu o ´srodku w z

0

.

Je˙zeli z, w ∈ C, to przez [z, w] oznaczamy drog e dan

_,

a przez parametryzacj

_,

e

_,

γ(t) = (1 − t)z + tw, t ∈ [0, 1].

Cwiczenie´

Obliczy´c Z

[1,i]

Log z dz.

Cwiczenie´

Podobnie jak powy˙zej pokaza´c, ˙ze Z

∂K(z0,r)

dζ

ζ − z = 2πi, z ∈ K(z

0

, r).

Zauwa˙zmy, ˙ze (3.3)

¯ ¯

¯ ¯ Z

γ

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ Z

_b

a

|f (γ(t))| |γ

⁰

(t)|dt ≤ l(γ) max

γ

|f |,

(11)

gdzie

l(γ) :=

Z

_b

a

|γ

⁰

(t)|dt jest dÃlugo´sci a γ.

_,

4. Twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego

Podstawow a wÃlasno´sci

_,

a geometryczn

_,

a funkcji holomorficznych jest twierdzenie

_,

caÃlkowe Cauchy’ego. ÃLatwo wynika ono ze wzoru Greena w nast epuj

_,

acym przy-

_,

padku (Cauchy, 1825): zaÃl´o˙zmy, ˙ze f jest funkcj a holomorficzn

_,

a klasy C

_, ¹

w ob- szarze Ω, natomiast γ jest drog a zamkni

_,

et

_,

a w Ω, kt´ora parametryzuje brzeg klasy

_,

C

¹

obszaru D b Ω. Wtedy

Z

γ

f (z)dz = Z

D

d(f dz) = Z

D

f

_z

dz ∧ dz = 0.

GÃl´ownym problemem w uog´olnieniu tego faktu jest pozbycie si e zaÃlo˙zenia, ˙ze f jest

_,

klasy C

¹

. ZostaÃlo to dokonane przez Goursata w 1900 r. Podstawowym krokiem w dowodzie og´olnej wersji twierdzenia caÃlkowego Cauchy’ego byÃlo wykazanie jego wzmocnionej wersji dla brzegu tr´ojk ata (sam Goursat rozpatrywaÃl czworok

_,

aty, jak

_,

jednak wkr´otce zauwa˙zyÃl Pringsheim, naturalnym obiektami metody Goursata byÃly tr´ojk aty):

_,

Twierdzenie 4.1. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f ∈ O(Ω \ {z

₀

}) ∩ C(Ω), gdzie z

₀

∈ Ω. Wtedy dla dowolnego trójk ata T ⊂ Ω (czyli otoczki wypukÃlej trzech niewspóÃlliniowych punktów)

_,

mamy Z

∂T

f (z)dz = 0.

Dow´od. ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze z

0

∈ T . Przez z /

1

, z

2

, z

3

oznaczmy wierzchoÃlki T . Rozpatruj ac punkty (z

_, _j

+ z

_k

)/2, j, k = 1, 2, 3, dzielimy tr´ojk at T na cztery tr´ojk

_,

aty

_,

T

¹

, . . . , T

⁴

. Mamy wtedy

Z

∂T

f (z)dz = X

4 j=1

Z

∂T^j

f (z)dz.

Wybieraj ac jako T

_, ₁

odpowiedni z tr´ojk at´ow T

_, ¹

, . . . , T

⁴

otrzymamy

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 4

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T₁

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ .

Zauwa˙zmy tak˙ze, ˙ze l(∂T

₁

) = l(∂T )/2. W ten sam spos´ob wybieramy indukcyjnie tr´ojk aty T

_, _n

, n = 1, 2, . . . , tak, ˙ze

¯ ¯

¯ Z

∂Tn−1

f (z)dz

¯ ¯

¯ ≤ 4

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂Tn

f (z)dz

¯ ¯

(12)

oraz l(∂T

_n

) = l(∂T

_n−1

)/2. Otrzymali´smy zatem zst epuj

_,

acy ci

_,

ag tr´ojk

_,

at´ow T

_, _n

taki,

˙ze (4.1)

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 4

ⁿ

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂Tn

f (z)dz

¯ ¯

oraz

(4.2) diam(T

_n

) ≤ l(∂T

_n

)

2 = l(∂T ) 2

ⁿ⁺¹

. Z twierdzenia Cantora wynika, ˙ze

\

∞ n=1

T

_n

= {e z}

dla pewnego e z ∈ T . Z C-r´o˙zniczkowalno´sci f w e z mamy f (z) = f (e z) + ¡

f

⁰

(e z) + ε(z) ¢

(z − e z), gdzie

z→e

lim

z

ε(z) = 0.

Poniewa˙z funkcja f (e z) + f

⁰

(e z)(z − e z) ma pierwotn a, z (3.1) i (3.3) wynika, ˙ze

_,

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂Tn

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ =

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂Tn

ε(z)(z − e z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ l(∂T

ⁿ

)diam(T

n

) max

T_n

|ε|.

Korzystaj ac z (4.1) i (4.2) otrzymamy dla ka˙zdego n

_,

¯ ¯

¯ ¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ ≤ (l(∂T ))

²

2 max

Tn

|ε|, czyli twierdzenie zachodzi przy zaÃlo˙zeniu, ˙ze z

₀

∈ T . /

Je˙zeli z

0

∈ T , to dziel ac T na trzy (lub dwa) mniejsze tr´ojk

_,

aty, kt´orych wierz-

_,

choÃlkiem jest z

₀

widzimy, ˙ze bez straty og´olno´sci mo˙zemy zaÃlo˙zy´c, ˙ze z

₀

jest jednym z wierzchoÃlk´ow T . Je˙zeli teraz podzielimy T na tr´ojk at T

_, _n⁰

o wierzchoÃlku w z

₀

oraz czworok at Q

_, n

tak, ˙ze l(T

_n⁰

) d a˙zy do 0, to z poprzedniej cz

_,

e´sci wnioskujemy, ˙ze

_,

Z

Qn

f (z)dz = 0,

zatem ¯

¯ ¯

¯ Z

∂T

f (z)dz

¯ ¯

¯ ¯ =

¯ ¯

¯ Z

∂T_n⁰

f (z)dz

¯ ¯

¯ ≤ l(T

_n⁰

) max

T

|f |. ¤

PrzykÃlady. i) Niech f (z) = e

^−z²

i dla R > 0 niech T

_R

b edzie tr´ojk

_,

atem o wierz-

_,

choÃlkach 0, R, R + iR. Z Twierdzenia 4.1 mamy

Z

∂TR

f (z)dz = 0.

(13)

Mamy tak˙ze, gdy R → ∞, i)

Z

[0,R]

e

^−z²

dz −→

Z

_∞

0

e

^−x²

dx =

√ π 2 , ii)

¯ ¯

¯ Z

[R,R+Ri]

e

^−z²

dz

¯ ¯

¯ =

¯ ¯

¯ i Z

_R

0

e

^t²^−R²^−2iRt

dt

¯ ¯

¯ ≤ Z

_R

0

e

^t²^−R²

dt ≤ Z

_R

0

e

^Rt−R²

dt → 0, iii)

Z

[R+Ri,0]

e

^−z²

dz = −(1 + i) Z

_R

0

e

^−2it²

dt, sk ad Ãlatwo wnioskujemy, ˙ze

_,

Z

_∞

0

cos t

²

dt = Z

_∞

0

sin t

²

dt = r π

8 .

Nast epnym krokiem jest pokazanie zwi

_,

azku twierdzenia caÃlkowego Cauchy’ego z

_,

istnieniem funkcji pierwotnej:

Twierdzenie 4.2. Niech f b edzie funkcj

_,

a ci

_,

agÃl

_,

a w Ω. Wtedy nast

_,

epuj

_,

ace warunki

_,

s a r´ownowa˙zne

_,

i) Istnieje F ∈ O(Ω) takie, ˙ze F

⁰

= f ; ii)

Z

γ

f (z)dz = 0 dla ka˙zdej drogi zamkni etej γ w Ω.

_,

Je˙zeli Ω jest obszarem gwia´zdzistym, to powy˙zsze warunki s a r´ownowa˙zne nast

_,

epu-

_,

j acej wÃlasno´sci

_,

iii) Z

∂T

f (z)dz = 0 dla ka˙zdego tr´ojk ata T ⊂ Ω.

_,

Dow´od. Implikacja i)⇒ii) wynika natychmiast z (3.1). W celu pokazania implikacji przeciwnej ustalmy z

0

∈ Ω. Dla z ∈ Ω niech γ b edzie dowoln

_,

a drog

_,

a Ãl

_,

acz

_,

ac

_,

a z

_, 0

oraz z. KÃladziemy

F (z) :=

Z

γ

f (ζ)dζ.

Dzi eki i) wida´c, ˙ze definicja F nie zale˙zy od wyboru γ. Dla odp. maÃlych h mamy

_,

(4.3) F (z + h) − F (z) =

Z

[z,z+h]

f (ζ)dζ,

a st ad, dzi

_,

eki (3.3),

_,

¯ ¯

¯ ¯ F (z + h) − F (z)

h − f (z)

¯ ¯

¯ ¯ =

¯ ¯

¯ 1 h

Z

[z,z+h]

(f (ζ) − f (z))dζ

¯ ¯

¯ ≤ sup

ζ∈[z,z+h]

|f (ζ) − f (z)|.

Z ci agÃlo´sci f w z wynika, ˙ze ostatnie wyra˙zenie d

_,

a˙zy do 0. Otrzymali´smy zatem,

_,

˙ze F ∈ O(Ω) oraz F

⁰

= f .

Je˙zeli Ω jest gwia´zdzisty, to implikacja ii)⇒iii) jest trywialna, natomiast, zakÃla- daj ac, ˙ze zachodzi iii) i ˙ze Ω jest gwia´zdzisty wzgl

_,

edem z

_, ₀

, kÃladziemy

F (z) :=

Z

[z₀,z]

f (z)dz, z ∈ Ω.

(14)

Z iii) wynika, ˙ze zachodzi (4.3) i identycznie jak poprzednio dowodzimy, ˙ze F

⁰

= f . ¤

Z Twierdze´ n 4.1 i 4.2 wynika wersja twierdzenia Cauchy’ego dla zbior´ow gwia´z- dzistych:

Wniosek 4.3. Je˙zeli obszar Ω jest gwia´zdzisty i f ∈ O(Ω\{z

₀

})∩C(Ω) dla pewnego

z

₀

∈ Ω, to Z

γ

f (z)dz = 0 dla ka˙zdej drogi zamkni etej γ w Ω. ¤

_,

5. Wz´ or caÃlkowy Cauchy’ego

Podstawow a wÃlasno´sci

_,

a funkcji holomorficznych jest wz´or caÃlkowy Cauchy’ego

_,

(1831), kt´ory odtwarza dan a funkcj

_,

e wewn

_,

atrz koÃla z jej warto´sci na brzegu.

_,

Twierdzenie 5.1. Je˙zeli f jest funkcj a holomorficzn

_,

a w otoczeniu koÃla K(z

_, ₀

, r), to

(5.1) f (z) = 1

2πi Z

∂K(z0,r)

f (ζ)

ζ − z dζ, z ∈ K(z

₀

, r).

Co wi ecej, f jest C-r´o˙zniczkowalna dowoln

_,

a ilo´s´c razy oraz

_,

f

⁽ⁿ⁾

(z) = n!

2πi Z

∂K(z₀,r)

f (ζ)

(ζ − z)

ⁿ⁺¹

dζ, z ∈ K(z

₀

, r), n = 1, 2, . . .

Dow´od. Niech Ω b edzie gwia´zdzistym otoczeniem K(z

_, ₀

, r), w kt´orym funkcja f jest okre´slona. Dla ζ ∈ Ω zdefiniujmy

g(ζ) :=

 



f (ζ) − f (z)

ζ − z , ζ 6= z, f

⁰

(z), ζ = z.

Wtedy g ∈ O(Ω \ {z}) ∩ C(Ω), zatem Wniosek 3.3 implikuje, ˙ze

0 = Z

∂K(z0,r)

g(ζ)dζ = Z

∂K(z0,r)

f (ζ)

ζ − z dζ − 2πif (z).

Otrzymali´smy zatem (5.1). Druga cz e´s´c tezy wynika z faktu, ˙ze mo˙zemy teraz

_,

r´o˙zniczkowa´c pod znakiem caÃlki, zauwa˙zmy, ˙ze

µ ∂

∂z

¶

_n

µ 1 ζ − z

¶

=0, µ ∂

∂z

¶

_n

µ 1 ζ − z

¶

= 1

(ζ − z)

ⁿ⁺¹

. ¤

(15)

Druga cz e´s´c Twierdzenia 5.1 jest specjalnym przypadkiem og´olnego rezulatu o

_,

holomorficzno´sci funkcji danej wzorem caÃlkowym dla dowolnej drogi (nazywanego lematem o produkcji funkcji holomorficznych):

Lemat 5.2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze γ jest dowoln a drog

_,

a w C, natomiast g funkcj

_,

a ci

_,

agÃl

_,

a na

_,

γ

^∗

. PoÃl´o˙zmy

f (z) :=

Z

γ

g(ζ)

ζ − z dζ, z ∈ C \ γ

^∗

.

Wtedy f ∈ O(C \ γ

^∗

), f jest C-r´o˙zniczkowalna dowoln a ilo´s´c razy oraz dla n =

_,

1, 2, . . . mamy

f

⁽ⁿ⁾

(z) = n!

Z

γ

g(ζ)

(ζ − z)

ⁿ⁺¹

dζ, z ∈ C \ γ

^∗

. ¤

Cwiczenie´

Obliczy´c Z

∂K(0,2)

e

^−z

(z + 1)

²

dz.

Je˙zeli rozpatrzymy wz´or Cauchy’ego dla z = z

₀

oraz parametryzacj e ζ = z

_, ₀

+re

^it

, 0 ≤ t ≤ 2π, otrzymamy twierdzenie o warto´sci ´sredniej:

Wniosek 5.3. (Poisson, 1823) Je˙zeli f jest funkcj a holomorficzn

_,

a w otoczeniu koÃla

_,

K(z

0

, r), to

f (z

₀

) = 1 2π

Z

_2π

0

f (z

₀

+ re

^it

)dt. ¤

Bezpo´sredni a konsekwecj

_,

a wzoru Cauchy’ego jest tak˙ze nier´owno´s´c Cauchy’ego

_,

(1835):

Twierdzenie 5.4. Niech f ∈ O(K(z

₀

, r)) b edzie taka, ˙ze |f | ≤ M dla pewnej

_,

staÃlej M . Wtedy

|f

⁽ⁿ⁾

(z

₀

)| ≤ n! M

r

ⁿ

, n = 1, 2, . . .

Dowód. Wystarczy zastosować wzór Cauchy’ego w kole K(z

₀

, ρ) dla ρ < r oraz (3.3), a nast epnie skorzysta´c z dowolno´sci ρ. ¤

_,

6. Podstawowe wÃlasno´sci funkcji holomorficznych

Udowodnimy teraz szereg wÃlasno´sci funkcji holomorficznych wynikaj acych ze

_,

wzoru Cauchy’ego. Pokazali´smy, ˙ze ka˙zda funkcja holomorficzna jest C-ró˙zniczkowalna dowoln a ilo´sć razy. W szczególno´sci, ka˙zda funkcja, która lokalnie ma

_,

pierwotn a jest holomorficzna. Z Twierdzenia 4.2 wynika zatem rezultat odwrotny

_,

do twierdzenia caÃlkowego Cauchy’ego:

Twierdzenie 6.1. (Morera, 1886) ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja f ∈ C(Ω) speÃlnia Z

∂T

f (z) dz = 0

dla ka˙zdego tr´ojk ata T ⊂ Ω. Wtedy f ∈ O(Ω). ¤

_,