Rys.12 Proste (geometryczne wyjaśnienie ) dlaczego tachion łamie klasyczną zasadę przyczynowości.
RozwaŜmy dwa zdarzenia : zdarzenie A ( t1, x1) tj. zachodzące w czasie t1 i w punkcie x1układu U ; zdarzenie B (t2, x2) zachodzące równieŜ w układzie U.
Niech w układzie U t2 > t1 tj. zdarzenie A poprzedza czasowo zdarzenie B.
RozwaŜmy teraz układ U’. Zgodnie z wzorami transformacyjnymi mamy : t’2 – t’1 = γ [ ( t2 - t1) – ( v/c2 )( x2 - x1) ]
RozwaŜmy teraz sytuacje kiedy sygnał łączący zdarzenia A i B ma prędkość u > c. PoniewaŜ w układzie U prędkość u z definicji jest równa :
u = ( x2 - x1) / ( t2 - t1) [ m/s]
Zatem :
t’2 – t’1 = γ ( t2 - t1) ( 1 - uv/c2 )
dla u < c czynnik uv/c2 < 1 ( bo v < c zatem iloczyn vc < c2 ) zatem t’2 – t’1 > 0 tj. w układzie U’ ( jak i dowolnym innym ) kolejność czasowa zdarzeń A, B jest zachowana.
JeŜeli u > c to moŜemy wskazać taki IUO U’’ poruszający się z prędkością v < c , względem U, w którym uv/c2 > 1 a wtedy czynnik ( 1 - uv/c2 ) < 0 , zatem t’2 – t’1 < 0 tj. zdarzenia A i B w układzie U’’ zachodzą w odwrotnej kolejności czasowej. Widać więc, Ŝe dopuszczenie sygnałów superluminarnych moŜe ( przy odpowiednim wyborze układów
względnych ) łamią zasadę przyczynowości.
[ 1-literatury w języku rosyjskim, str. 74 ]
X. Grupa Lorentza. Przekształcenia Poincarego.
Dotychczas rozpatrywaliśmy tylko szczególną postać transformacji współrzędnych w przestrzeni M. Z tą szczególną postacią transformacji związane są wzory Lorentza o znanej i najczęściej, dotychczas wykorzystywanej postaci : x’ = γ (x - vt )
Wzory te obrazują pewne szczególne pchnięcie ( boost ) – pchnięcie w kierunku osi Ox || O’x’ || v
Oczywiście ten szczególny przypadek nie wyczerpuje moŜliwych postaci transformacji izometrycznych w przestrzeni M.
Transformacje te zgodnie z definicją muszą zachowywać wartość elementu metrycznego ds tzn. : ds = ds’ przy transformacji U → U’
Jak wiadomo w ogólności na izometrię mogą składać się : obroty, translacje i odbicia.
( zobacz tekst pt. „Przestrzenie metryczne” )
Macierzowo izometrię moŜemy zapisać następująco : X’ = A X + B
A – jest pewną nieosobliwą macierzą ortogonalną.
Mamy zatem : det A = ± 1 oraz AT A = 1 ; AT – jest macierzą A – transponowaną.
Wzory te są liniowe – zapewniają więc spełnienie zasady względności Einsteina ( m.in. zasadę bezwładności )
A przy odpowiednim doborze macierzy A zapewnią spełnienie drugiego postulatu Einsteina tj. stałości prędkości światła w próŜni. Warto zauwaŜyć, Ŝe najogólniejszą postacią transformacji spełniających oba postulaty są przekształcenia
konforemne postaci : gµν = J1/2 gαβ ; gµν – macierz tensora metrycznego
Jednak w niniejszym tekście przekształcenia takiego rodzaju nie będą nas interesować. [ zobacz 14 str. 194 ] Zajmiemy się teraz ogólnymi przekształceniami o postaci :
jest znaną juŜ macierzą Lorentza L. Macierz ta jest macierzą ortogonalną zatem :
( macierz Λµν „odpowiada” za obroty czasoprzestrzenne i odbicia , macierz wyrazów wolnych Bµ odpowiada za translacje – przesunięcia czasoprzestrzenne )
LT η L = η ; η – macierz : diag ( 1, -1, -1, -1 )
Wzór (10.1) określa ogólną postać transformacji przestrzeni M. Transformację o tej postaci nazywa się :
„Transformacją Poicarego”. Jednorodne przekształcenia Poincarego tj. przekształcenia o postaci :
X’µ = Λµν Xν (10.2) Nazywamy „ogólnymi przekształceniami Lorentza”. Zbiór wszystkich transformacji Poincarego tworzy grupę ( grupa transformacji Poincarego ), zbiór wszystkich jednorodnych transformacji Poincarego równieŜ tworzy grupę ( podgrupę grupy Poincarego – nazywamy ją grupą Lorentza ).
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza dla których det L = +1 nazywa się „zbiorem dodatnich transformacji Lorentza”
Zbiór te oznaczamy następująco :
L+(M) ( zbiór ten tworzy grupę )
Transformacje naleŜące do tego zbioru zachowują orientacje czterowektorów.
Zbiór ogólnych transformacji Lorentza dla których det L = -1 nazywa się „zbiorem ujemnych transformacji Lorentza”
Zbiór te oznaczamy następująco : L-(M) ( zbiór ten nie tworzy grupy )
Transformacje naleŜące do tego zbioru nie zachowują orientacji czterowektorów ( zawierają odbicia czasoprzestrzenne ).
Oczywiście mamy : L(M) = L+(M) ∪ L-(M)
MoŜna pokazać, Ŝe dla wszystkich transformacji Lorentza spełniony jest warunek : | Λ00 | ≥ 1 W zaleŜności od znaku elementu Λ00 , zbiór L(M) moŜemy podzielić na dwa podzbiory :
Jeśli : Λ00 ≥ + 1 mówimy o zbiorze ortochronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : L↑ (M) Jeśli : Λ00 ≤ - 1 mówimy o zbiorze antychronicznych transformacji Lorentza, który oznaczamy : L↓ (M)
Pod wpływem transformacji ortochronicznych znak współrzędnej zerowej ( czasowej ) wektorów czasowych nie ulega zmianie tj. transformacje te zachowują orientacje czasu – przeprowadzają wektory skierowane ku przyszłości ( czasowe i zerowe ) na wektory skierowane ku przyszłości ( czasowe i zerowe )
Grupa Lorentza jest więc sumą czterech składowych : L↑
+ = L+ ∩ L↑ odpowiada : det Λ = +1 , Λ00 ≥ + 1 ; ( dodatnia ortochroniczna ) L↓
+ = L+ ∩ L↓ odpowiada : det Λ = +1 , Λ00 ≤ - 1 ; ( dodatnia antychroniczna ) L↑- = L- ∩ L↑ odpowiada : det Λ = -1 , Λ00 ≥ + 1 ; ( ujemna ortochroniczna ) L↓
- = L- ∩ L↓ odpowiada : det Λ = -1 , Λ00 ≤ - 1 ; ( ujemna antychroniczna ) Jak widać, tylko przekształcenie L↑
+ zawiera w sobie przekształcenie jednostkowe , nazywamy je „przekształceniem właściwym Lorentza”. Do tego zbioru przekształceń, jak łatwo zauwaŜyć, naleŜy równieŜ wprowadzone wcześniej szczególne przekształcenie Lorentza, do którego odnoszą się równieŜ zwykłe trójwymiarowe ortogonalne obroty.
Zbiory przekształceń : L↓ + , L↑
- , L↓
- nie zawierają przekształcenia jednostkowego i stanowią przekształcenia tzw.
„niewłaściwe”. Dowolny element kaŜdego z tych zbiorów nie moŜe być w sposób ciągły przeprowadzony w inny z tych zbiorów. ( zobacz tłumaczenie skryptu pt. „pola klasyczne” - D. W. Galcow, Ju. W. Grac, W. Cz. śukowskij ,
Wydawnictwo Uniwersytetu Moskiewskiego Moskwa 1991 )
Grupa Poincarego jest grupą 10-cio parametrową. Grupa Lorentza jest grupą 6-cio parametrową ( mamy 10 liniowo niezaleŜnych równań na 16 elementów macierzy L )
Jako parametry swobodne najczęściej wybieramy : trzy parametry określające połoŜenie osi współrzędnych ( kąty Eulera ) Oraz trzy parametry określające wzajemną prędkość dwóch IUO ( współrzędne wektora β )
Jak wiadomo grupy transformacji zaleŜne od skończonej liczby parametrów nazywają się grupami Liego, mówimy zatem Ŝe grupa Poincarego jest 10-cio parametrową grupą Liego. Szczególne transformacje Lorentza, nie zawierające obrotów przestrzennych tj. sparametryzowane jedynie wektorem prędkości v ( lub β ) nazywamy jak juŜ powiedziano wcześniej
„pchnięciami lorentzowskimi” Dla „sztandarowego’ pchnięcia w kierunku osi Ox mamy następujące macierze : X’ = [ x’0 ] ; X = [ x0 ] - macierze kolumnowe
[ x’1 ] [ x1 ] [ x’2 ] [ x2 ] [ x’3 ] [ x3 ] ( γ , -γβ , 0 , 0 )
( -γβ , γ , 0 , 0 )
Λµν = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - macierz pchnięcia w kierunku osi Ox ( 0 , 0 , 0 , 1 )
( γ , -γβ , 0 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 , 0 )
Λµν = ( -γβ , 0 , γ , 0 ) - przykładowa macierz pchnięcia w kierunku osi Oy ( 0 , 0 , 0 , 1 )
MoŜna pokazać, Ŝe macierz przekształcenia Lorentza składającego się z pchnięcia w kierunku Ox z prędkością względną v, a następnie z pchnięcia w kierunku osi Oy z prędkością względną u będzie macierzą powstałą w wyniku przemnoŜenia ( w kolejności pchnięć ) odpowiednich macierzy pierwszego i drugiego pchnięcia. PoniewaŜ mnoŜenie macierzowe nie jest w ogólności mnoŜeniem przemiennym od razu widać, Ŝe odwrócenie kolejności pchnięć prowadzi do innych wzorów transformacyjnych. [zobacz 12-literatury w języku angielskim , zadanie I.1 ].
Grupa Poincarego jest chyba najwaŜniejszą z grup wykorzystywanych w fizyce teoretycznej. Mówiąc, Ŝe kaŜda teoria powinna być relatywistycznie niezmiennicza mamy na myśli niezmienniczość jej równań względem właśnie grupy Poincarego.
Rys. 13 RóŜne hiperbole niezmiennicze dla róŜnych parametrów pchnięcia ( w dowolnym kierunku ) ( 1, 0 , 0 , 0 )
( 0 , )
Λµν = ( 0 ,
R
) - przykład macierzy „czystych” obrotów.( 0 , )
( problemy teorio-grupowego podejścia do przekształceń Poincarego zostaną omówione w przygotowywanym tekście pod roboczym tytułem „Wprowadzenie do teorii grup i jej zastosowań w fizyce” )
Definicja 10.1 Kontrawariantnymi składowymi 4-wektora Aµ nazywamy zbiór czterech wielkości (A0, A1, A2 , A3 ), Które przy przekształceniu Lorentza przekształcają się według prawa :
Aµ’ = Λµ’ ν Aν
Definicja 10.2 Kontrawariantnymi składowymi 4-tensora rzędu n, nazywamy zbiór wielkości Tµ1 ... µn , które przy przekształceniach Lorentza przekształcają się według prawa :
Tµ’1 ... µ’n = Λµ1’µ1Λµ2’µ2 ... Λµn’µn Tµ1... µ1
Tensor metryczny przestrzeni M ma jak wiemy postać : ηµν = diag( 1, -1, -1, -1 ) i oczywiście ( η-1 )µν ≡ ηµν = ηµν Za pomocą takiego tensora metrycznego dokonujemy operacji podnoszenia i opuszczania indeksów, tym samym moŜemy wprowadzać wielkości zarówno ko- jak i kontrawariantne. Przykładowo określmy 4-wektor kowariantny :
Aµ = ηµν Aν PoniewaŜ macierz Λµ
ν jest nieosobliwa, to moŜemy określić macierz do niej odwrotną transponowaną Λ~µ
ν , oczywiście : Λ~αµ’ Λµ’β = δαβ
Naturalnie składowe tensora kowariantnego będą przekształcały się za pomocą macierzy Λ~µν.
Iloczyn skalarny dwóch 4-wektorów : Aµ Bµ = A0 B0 + Ai Bi = A0B0 − A B
Jest inwariantem przekształcenia Lorentza. Taką sama własność posiada oczywiście kwadrat dowolnego 4-wektora.
Definicja 10.3 Składowe kowariantne tensora rzędu n określamy następująco : Tµ1... µn = ηµ1ν1 ηµ2ν2 ... ηµnνn Tν1... νn
Czterowymiarowym analogiem operatora Hamiltona ∇ jest 4-gradient :
∂µ = ∂/∂xµ = ( 1/c ∂/∂t , ∇ )
XI. Relatywistyczna postać równań Lagrange’a i Hamiltona.
Wprowadzając działanie relatywistyczne musimy uwzględnić, Ŝe nie powinno być ono zaleŜne od wyboru IUO, dlatego teŜ wyraŜenie podcałkowe powinno być skalarem lorentzowskim. Działanie dla cząstki swobodnej powinno mieć postać : b b
S = - mc
∫
ds = - mc2∫
γ(t) dt a a( Działanie o tej postaci jest niezmiennicze względem przekształceń z grupy Poincarego. ) Relatywistyczna funkcja Lagrange’a ma więc postać :
L = - γmc2
Dla małych prędkości tj. w granicy nierelatywistycznej moŜemy rozwinąć funkcje L w szereg potęgowy względem v/c, opuszczając wyrazy wyŜszych rzędów otrzymamy wówczas :
L ≈ - mc2 + ½mv2
Jak wiadomo wyraz stały w funkcji Lagrange’a nie ma wpływu na równanie ruchu i moŜna go pominąć.
Pęd cząstki jest równy : p = ∂L/∂v , zatem : p = γmv
Hamiltonian relatywistyczny ma postać : H = c sqrt ( p2 + m2 c2 )
Dla małych prędkości p << mc , otrzymujemy : H ≈ mc2 + ½ p2/m
XII. STW a elektrodynamika klasyczna.
Jaku juŜ powiedziałem geneza powstania STW w sposób organiczny związana jest z własnościami transformacyjnymi wzorów Maxwella. Wzory te nie są niezmiennicze względem grupy transformacji Galileusza ( która jest podstawową grupą transformacji mechaniki klasycznej. Przykładowo moŜna pokazać, Ŝe równanie ruchu - jedno z podstawowych w mechanice klasycznej - cząstki materialnej w polu siły potencjalnej :
p• = - ∇U ; U – funkcja potencjalna.
jest niezmiennicze względem grupy transformacji Galileusza), są one niezmiennicze względem grupy Poincarego.
Powstało wobec tego pytanie : czy prawa elektrodynamiki nie łamią zasady względności Galileusza ? ( tj. czy nie wyróŜniają one jednego układu odniesienia – układu w którym prędkość światła jest równa c ) Doświadczenie pokazało, Ŝe taki układ odniesienia jest niewykrywalny a prędkość c jest absolutna.
Konsekwencje tego doświadczalnego faktu ujmują w sposób prosty i klarowny postulaty Einsteina.
Jedną z najdonioślejszych konsekwencji równań Maxwella jest ( teoretyczne ) wskazanie na istnienie fal EM oraz utoŜsamienie tych fal ze światłe.
( zobacz wcześniej tekst pt. „Podstawy elektrodynamiki klasycznej” ) Prawo rozchodzenia się czoła fali świetlnej ma postać :
(1/c2) ∂2φ/∂t2 – [ ( ∂2φ/∂x2 ) + ( ∂2φ/∂y2 ) + ( ∂2φ/∂z2 ) ] = 0
( Ogólnie, moŜna pokazać, Ŝe operator falowy : = (1/c2) ∂2/∂t2 – ∂2/∂x2 - ∂2/∂y2 - ∂2/∂z2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza.
Równanie falowe φ = 0 oraz równanie Kleina-Gordona ( - m2 )ψ = 0
nie jest niezmiennicze względem grupy Galileusza, ale względem grupy Lorentza – problemy symetrii grupowej równań ( relatywistycznych) teorii pól kwantowych pozostają jednak poza obecnym kręgiem naszych zainteresowań.
Zainteresowanego jak na razie odsyłam do : 15- literatury w języku angielskim ; 10, 11–literatury w języku rosyjskim )
Jak wiadomo : c = 1/ sqrt ( ε0 µ0 ) ( w tym miejscu moŜemy zapytać czy próŜnia, moŜe mieć własności fizyczne takie jak przenikalność elektryczna lub magnetyczna, ale na razie musimy go pominąć poniewaŜ prowadziłoby to do zagadnień elektrodynamiki kwantowej )
W związku z powyŜszym mówimy, Ŝe transformacje Lorentza zachowują stoŜkową strukturę czasoprzestrzeni ( czego konsekwencja jest model czasoprzestrzeni jako właśnie przestrzeni M )
( W ogólności zachowane są wszystkie równania falowe cząstek o spinie równym zeru. )
Równanie falowe ulega modyfikacji w obecności pola grawitacyjnego widać zatem konieczność ( nie jedyną ) przejścia do rozwaŜania układów nieinercjalnych, co oznacza nieuchronne przejście do OTW.
[ 27- literatury dodatkowej, od str. 165 ]
******************** Komentarze i dodatki ********************
XII. Podsumowanie.
Zwyczajowo mówi się, Ŝe STW jest teorią która w pewnym stopniu łączy dwie klasyczne teorie tj. mechanikę klasyczną i elektrodynamikę klasyczną stanowiąc ich „zwieńczenie”. Mówi się równieŜ w tym kontekście, Ŝe mechanika klasyczna musi uznać prymat teorii polowej ( a taka jest elektrodynamika ) tj. fizycznie nieuzasadnionym jest hipoteza oddziaływań natychmiastowych. KaŜde działanie przenosi się z określoną prędkością w czasie i przestrzeni ( mechanika kwantowa doda jeszcze, Ŝe kaŜde oddziaływanie wiąŜe się z pewnym polem o określonym nośniku ).
Fizyka jest nauką głównie doświadczalną, kaŜdy model lub hipoteza musi mieć uzasadnienie w empirii tj. musi zgadzać się z doświadczeniem ( lub w innym ujęciu nie moŜe mu przeczyć ). Jak wiadomo STW jest taka teorią, Ŝaden uzyskany w
niej teoretyczny wynik nie przeczy doświadczeniu ( np. hipoteza tachionów ), a bardzo wiele z nich doskonale zgadza się z doświadczeniem ( np. w wielu eksperymentach z róŜną dokładnością potwierdzono efekt dylatacji czasu, stałość prędkości światła czy teŜ stwierdzono występowanie poprzecznego efektu Dopplera ).
Istnieje wiele moŜliwych teoretycznych podejść do sformułowania podstaw STW.
MoŜna wyjść od zasady względności, moŜna wyjść od stałości prędkości światła, moŜna zapostulować, Ŝe czasoprzestrzeń jest modelowana przestrzenia M, moŜna wyjść od postulatu zachowania struktury przyczynowej,
moŜna oprzeć się na kinematyce Lorentza, moŜna wyjść od postulatu zachowania struktury stoŜkowej.
Wszystkie te podejścia wymagają wprowadzenia dodatkowo pewnych przedzałoŜeń ( sztucznych lub mniej sztucznych, o naturze fizycznej lub niefizycznej , matematycznych lub metodologicznych ).
Wszystkie te wyprowadzenia suma sumarum powinny prowadzić do wyników uzasadnialnych doświadczalnie.
Trywialnym wydaje się stwierdzenie, Ŝe jeśli tak nie jest to dane wyprowadzenie jest niepoprawne.
Wyjdziemy teraz od zasady względności Galileusza. W IUO ( tj. układach w których spełniona jest zasada bezwładności ), wszystkie zjawiska przebiegają jednakowo ( tj. za pomocą eksperymentów mechanicznych nie moŜna wykryć absolutnego spoczynku a to znaczy, Ŝe ruch swobodny jest ruchem względnym. Właściwie jest ot treść I zasady dynamiki ).
Stwierdzenie powyŜsze ma wartość podstawową dla mechaniki klasycznej. Skoro zjawiska mechaniczne przebiegają jednakowo we wszystkich IUO to moŜemy wnioskować, Ŝe przestrzeń jest jednorodna i izotropowa ( zjawiska
mechaniczne nie zaleŜą od kierunku wektora v – prędkości względnej). Najprostszym przykładem przestrzeni jednorodnej jest przestrzeń o stałej krzywiźnie równej zeru. ( przestrzeń Euklidesa ).
Grupą przekształceń (ale nie izometrii ) przestrzeni Euklidesa są kinematyczne przekształcenia Galileusza ( g : E → αE’ ).
Szczególnymi przekształceniami Galileusza są przekształcenia o znanej postaci : x’ = x – vt
t’ = t
Oczywiście, Ŝe w czasach kształtowania się pojęciowego mechaniki klasycznej nie było doświadczalnych powodów aby nie przyjmować absolutności czasu. Stad teŜ przyjęcie t’ = t wydawało się uzasadnione.
Warto zauwaŜyć równieŜ, Ŝe pojęcie czasoprzestrzeni Galileusza o metryce diag ( + + + + ) prowadzi do przestrzeni niemetrycznej. ( zobacz tekst pt. „Kinematyka punktu materialnego w mechanice klasycznej” )
Osobnym problemem jest problem postulowania w mechanice klasycznej istnienia sygnałów o prędkości nieskończonej.
Właściwie jest to postulat niespawdzalny w zakresie moŜliwości zarówno teoretycznych jak i praktycznych w czasach Newtona i Galileusza. Wiadomo jednak, Ŝe był on szeroko dyskutowany w owych czasach.
JeŜeli istnieje taki sygnał (sygnały), to pojęcie czasu absolutnego ma sens.
Jak wiadomo konsekwentne zastosowanie zasady względności prowadzi do wniosku o istnieniu prędkości granicznej, zatem jako tego konsekwencje otrzymujemy niemoŜliwość istnienia czasu absolutnego a co za tym, niemoŜliwość ustalenia jednej synchronizacji dla wszystkich IUO, a co za tym, przyjęcie do wiadomości znanych efektów kinematycznych.
Warto równieŜ zauwaŜyć, Ŝe o ile w STW moŜliwe jest ustalenie jednoznaczne czasu globalnego, to w OTW juŜ takiej moŜliwości nie ma.
Powstanie elektrodynamiki klasycznej pozwoliło nadać fizycznego sensu prędkości granicznej oraz ustalić jej wartość.
Przy okazji pozwoliło rozszerzyć zasadę względności Galileusza o zjawiska elektromagnetyczne. Wiadomo zatem, Ŝe zjawiska elektrodynamiczne nie preferują Ŝadnego IUO. Skoro nie preferują zatem wspierają koncepcje jednorodności i izotropowości czasoprzestrzeni.
Przestrzeń STW jest przestrzenią jednorodną i izotropową ( co jest warunkiem postawienia zasady względności ).
Jak wiadomo ogólnie przestrzeni o takich własnościach to przestrzenie o stałej krzywiźnie (dodatniej ujemnej lub zerowej ) Przestrzeń M jest przestrzenią o zerowej krzywiźnie.
***********************************************************************************************
Dodatek 1. Elementy analizy globalnej czasoprzestrzeni ( rozmaitości lorentzowskich ).
W dodatku tym prezentuje ( raczej w charakterze ogólnego zapoznania się ) pewne „standardowe” definicje związane z pojęciem czasoprzestrzeni. Pojęcia stanowią podstawę dla dowodu znanych twierdzeń OTW, dotyczących osobliwości czasoprzestrzeni. Dodatek ten w pewnym sensie łączy formalizm STW i OTW. Aby postawić poniŜsze definicje we właściwej „scenerii” naleŜy przypomnieć co następuje : naturalną przestrzenią OTW jest rozmaitość pseudoriemannowska, zwana równieŜ rozmaitością Lorentza, przestrzeń M jest przestrzenią styczną do tej rozmaitości.
Definicja 1. Czasoprzestrzeń M, jest to gładka rozmaitość : rzeczywista, czterowymiarowa, spójna, Hauudsdorffowska, na której w sposób globalny zdefiniowano pole tensora metrycznego g, walencji ( 0, 2) ( lorentzowskiego typu lub
hiperbolicznego typu )
Często teŜ czasoprzestrzenią nazywamy parę ( M, g) ( ściślej mówiąc matematycznym modelem czasoprzestrzeni jako ogółu zdarzeń fizycznych jest para ( M, g ) )
Dla przestrzeni M metrykę przyjęto oznaczać symbolem η ;
n-1 W „wyrafinowanej postaci” metrykę na M moŜemy zapisać następująco : η = -dx0 dx0 +
ΣΣΣΣ
dxi dxi , i=1a w postaci mniej subtelnej jako : η = diag ( - + + +) ( proszę pamiętać o konwencji wyboru sygnatury ) Definicja 2. Przestrzeń Tx (M) nazywamy przestrzenią styczną do M w punkcie x ∈ M.
Definicja 3. Niech M będzie czasoprzestrzenią i nich x ∈ M. Wtedy mówimy, Ŝe wektor styczny X ∈ Tx (M) jest:
czasopodobny, przestrzennopodobny lub zerowy w zaleŜności od tego czy : forma g(X, X) ( = gab Xa Xb ) przyjmuje wartość odpowiednio : dodatnią, ujemną lub zerową.
Definicja 4. Zbiór wszystkich wektorów zerowych w Tx (M) nazywamy „stoŜkiem świetlnym” ( light or null cone ) w punkcie x. StoŜek świetlny oddziela od siebie wszystkie wektory czasopodobne od wszystkich wektorów
przestrzennopodobnych. ( The null cone disconnects the timelike vector into two separate components )
Definicja 4. Zbiór ℑx – wszystkich wektorów czasopodobnych ma dwie spójne składowe : ℑ+ x , ℑ
-x , które nazywamy odpowiednio „przyszłością” i „przeszłością” punktu x. Analogicznie stoŜek świetlny ma dwie spójne składowe ℜ+
x , ℜ
-x , które nazywamy odpowiednio „stoŜkiem przyszłości” i „stoŜkiem przeszłości” punktu -x.
Definicja 5. Mówimy , Ŝe M jest „czasowo orientowalna” ( time orientable )jeśli moŜliwe jest ciągłe, jednoznaczne i globalne przyporządkowanie kaŜdemu punktowi x ∈ M zbioru ℑx - wektorów czasopodobnych. JeŜeli zbiór ℑx ma tylko jedną składową to mówimy, Ŝe M jest czasowo nieorientowalna. Wybór orientacji dla składowych ℑ+
x , ℑ
-x sprawia Ŝe M jest czasowo zorientowana ( time oriented ).
Definicja 6. Dwie czasoprzestrzenie (M, g ) i (M’, g’ ) uwaŜamy za równowaŜne jeśli są one izometryczne tj. jeśli istnieje dyfeomorfizm φ : M → M’ , który przeprowadza metrykę g w metrykę g’.
Zatem nie istnieje jeden model czasoprzestrzeni tylko cała ich klasa.
Definicja 7. Czasoprzestrzeń ( M’, g’ ) nazywamy przedłuŜeniem lub rozszerzeniem ( extension) czasoprzestrzeni (M, g) jeŜeli istnieje izometryczne włoŜenie f , rozmaitości M w rozmaitość M’ f : M→ M’. Czasoprzestrzeń nazywamy nieprzedłuŜalną ( inextendible ) jeŜeli nie istnieje Ŝadne jej przedłuŜenie.
Rys. D.1 Rozszerzenie rozmaitości M. Krzywą γ moŜna przedłuŜyć do rozmaitości M’.
MoŜna pokazać, Ŝe kaŜdą rozmaitość Lorentza moŜna przedłuŜać tak długo, aŜ stanie się ona nieprzedłuŜalną.
NieprzedłuŜalność jest matematycznym odpowiednikiem pojęcia „całości” czasoprzestrzeni [warto przeczytać 1, od str.38]
Zazwyczaj zakłada się Ŝe wykorzystywane czasoprzestrzenie są nieprzedłuŜalne w odpowiedniej klasie gładkości.
Twierdzenie 1. Czasoprzestrzeń (M, g) jest czasowo orientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w niej nigdzie nie zerujące się pole wektorowe czasopodobne X : M → T(M)
Zazwyczaj zakłada się, Ŝe wykorzystywane czasoprzestrzenie są czasowoorientowalne.
Oprócz orientacji czasowej czasoprzestrzen moŜe by orientowalna w „klasycznie” rozumianym sensie orientacji bazy wektorów przestrzennopodobnych. ( orientacja lewo i prawoskrętna )
Pokazuje się , Ŝe kaŜda czasoprzestrzeń jednospójna jest orientowalna całkowicie tj. czasowo i przestrzennie.
Definicja 8. Czasoprzestrzeń (M, g)nazywa się czasoprzestrzenią geodezyjnie zupełną, jeŜeli : Dp = Tp (M) dla kaŜdego p ∈ M.
Definicja odgrywa zasadnicza rolę przy badaniu osobliwości czasoprzestrzeni.
W ogólności Dp ⊂ T(M) jest zbiorem wektorów v dla których istnieją geodezyjne nieprzedłuŜalne.
Literatura
1) „Teoretyczne podstawy kosmologii” – M. Heller PWN 1988 2) „Osobliwy wszechświat” - M. Heller PWN 1991
3) „Astrofizyka relatywistyczna” – M. Demiański PWN 1991 4) „Techniques of differential topology in relativity” – R. Penrose
5) “Global lorentzian geometry” - J. Beem, P. Ehrlich ( jest tłumaczenie rosyjskie )
6) “The large scale structure of space-time” S. Hawking, G. Ellis ( jest tłumaczenie rosyjskie ) 7) “Semi-Riemannian geometry with applications to relativity” - Barrett O’Neill
Dodatek 2. Zagadnienie fizyczności przejścia „na druga stronę stoŜka”
Jak juŜ powiedziano transformacja Lorentza dzieli cząstki na trzy rozłączne klasy. Odpowiednio stoŜek świetlny dzieli ( umownie ) czasoprzestrzeń na trzy obszary w których te cząstki mogą się poruszać. Wartym zastanowienia jest fakt, Ŝe tworzące stoŜka tj. linie zerowe są niejako symetryczne dla bradionów jak i tachionów. śaden tachion ani bradion nie moŜe stać się luksonem tj. Ŝaden realny proces fizyczny nie moŜe zamienić bradionu na lukson.
Od strony matematycznej jest to uzasadnione odpowiednią postacią wzoru transformacyjnego. Ze strony bradionów świat tachionów ma dziwne własności ( i jak naleŜy się spodziewa i vice versa ). Powstaje pytanie czy oba te światy funkcjonują na równych prawach i czy istnieje między nimi jakaś zaleŜność tj. czy świat bradionów jest fizyczny ?
( czy świat bradionów jest niejako sprzęŜony ze światem tachionów, i jak naleŜy traktować „wspólny” świat luksonów ? Być moŜe uda mi się kiedyś przedstawić „jakościowe” dywagacje na ten temat )
Dodatek 3. Krótki słowniczek polsko - angielski podstawowych terminów stosowanych w STW :
Inercjalny Układ Odniesienia – inertial frame of reference Zasada względności – principle of relativity Hipoteza wleczenia eteru – ether drag hypothesis
Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda - the Lorentz-Fitzgerald contraction Skrócenie długości - length contraction
Transformacja Lorentza - lorentz transformations Jednoczesnosć - simultaneity
Interwał między zdarzeniami – interval between events Interwał czasoprzestrzenny - spacetime interval Zasada przyczynowości - principle of causality Struktura przyczynowa - causal structure Zdarzenie - event
Czas własny - proper time Krzywa czasowa - timelike curve
Czteroprędkość - fourvelocity (4 –velocity ) Czteropęd - 4-momentum
Interwał niezmienniczy - the invariant interval Sztywny pręt - rigid rod
Ruch hiperboliczny - hyperbolic motion Tachiony - Tachyons
Eksperyment myślowy - thought experiment The speed of light is the same in all frames of reference.
The spacetime interval between two events, defined by
∆s2 = c2∆t2 - ∆x2 - ∆y2 - ∆z2
is invariant, i.e., the same in all frames of reference.
A point in spacetime, which is called an event, is indicated by four coor- dinates: (ct, x, y, z). Spacetime is the totality of all events.
If a particle travels slower than light in some frame of reference, it travels slower than light in every frame of reference.
A moving object appears contracted along the direction of its motion by a factor γ. This effect is called length contraction.
Literatura.
( tekstem podkreślonym zaznaczono pozycje o szczególnym znaczeniu )
1) „Porozmawiajmy o teorii względności ” -- J. L. Synge