Podstawy Szczególnej Teorii Względności (STW)
##################################################################################
Autor : R. Waligóra ; data powstania dokumentu : 2009-09-12 ; ostatnie poprawki z dnia: 2010-12-10
##################################################################################
I. Wprowadzenie.
Szczególna teoria względności jest jedną z podstawowych teorii fizyki. Całokształt idei, zasad i metod skupionych wokół tej teorii tworzy paradygmat relatywistycznego ujmowania praw przyrody, w tym sensie moŜemy równieŜ mówić o filozofii relatywistycznej ( relatywizm fizyczny ) podobnie jak wcześniej mówiono o filozofii mechanicystycznej ( zobacz 12 –literatury dodatkowej ). KaŜda współczesna teoria fizyczna musi uwzględniać rolę STW tj. musi być relatywistycznie niezmiennicza. Relatywizm zmienia zasadniczo koncepcje (nabywane wraz z codziennym doświadczeniem lub intuicyjnie) sposobu postrzegania czasu, przestrzeni, jednoczesności czasowej i przestrzennej zdarzeń.
NaleŜy mocno podkreślić iŜ współcześnie, w związku z bogatym materiałem empirycznym
( zobacz np. tekst „Eksperymentalna baza STW” ) właściwie nie ma juŜ odwrotu od relatywizmu, moŜliwe jest jedynie jego ewoluowanie ale nie porzucenie. (podobnie jak w raz z pojawieniem się STW nie porzucono mechaniki
newtonowskiej, a jedynie wyznaczono granice jej stosowalności. Przykładem teorii odrzuconej jest teoria cieplika lub teoria geocentryczna ). Obecnie wskazuje się kilka punktów które mogłyby stanowić przyczółki dalszego rozwoju STW, do takich punktów naleŜy np. teoria tachionów – obiektów szczególnego typu, poruszających się z prędkością większą niŜ prędkość światła w próŜni, oraz dualny jej problem nielokalności w mechanice kwantowej.
Na pytanie czy STW jest ostatecznym słowem fizyki teoretycznej w temacie czasu i przestrzeni, czy teŜ będzie zastąpiona inną teorią moŜna odpowiedzieć tak : „...kaŜda teoria fizyczna powstała w oparciu o skończoną liczbę znanych faktów doświadczalnych i potwierdzona w pewnym skończonym zakresie zmienności występujących w niej wielkości jest zawsze konstrukcja przejściową. Mówiąc o teorii względności i to zarówno szczególnej jak i ogólnej, naleŜy jeszcze dodać iŜ jest ona teorią klasyczną , nie opisującą zjawisk kwantowych , a więc jest szczególnego rodzaju rozdziałem zamykającym fizykę Newtona i Maxwella” [ 22 – literatury dodatkowej ]
Historia powstania STW związana jest głównie z takimi naukowcami jak : A. Einstein, H. Poincare, H. Lorentz, H. Minkowski, nie będę wnikał w zagadnienia historyczne omawiające szczegółowy wkład poszczególnych fizyków teoretyków i eksperymentatorów do omawianej teorii, zainteresowanego odsyłam do [ 9, od str. 434 , 16 – dodatki ; 2, 3, 4, 6, 8, 22 – literatury dodatkowej ; 3 –literatury w języku angielskim ; 5, 6 –literatury w języku rosyjskim ].
Dla naszych celów wystarczające będzie, krótkie przypomnienie.
Historia STW organicznie związana jest z rozwojem eksperymentalnej bazy elektrodynamiki klasycznej. Empiryczne potwierdzenie istnienia fal elektromagnetycznych skierowało większa uwagę teoretyków na zagadnienie hipotetycznego ośrodka w którym rozchodziłoby się zaburzenie falowe związane z falami elektromagnetycznymi. Kilka cytatów powinno naświetlić problem :
„Od kiedy stało się wiadome, Ŝe światło ma własności falowe, fizykom wydawało się, naturalną koniecznością
zaproponowanie ośrodka, który ten ruch falowy mógłby przenosić tj. czegoś w czym fale mogłyby wędrować. Ośrodek ten był powszechnie znany jako „eter świetlny”. Aby eter mógłby nośnikiem fal świetlnych, musiałby mieć szereg bardzo dziwnych własności. Postulowano, Ŝe jest on substancją lŜejszą niŜ jakikolwiek znany gaz czy para i Ŝe równocześnie jego sztywność jest porównywalna ze sztywnością stali.” [ 7 –literatury dodatkowej, str. 49 ]
„Eter umoŜliwiał wyobraŜenie sobie tego, Ŝe fala świetlna rozchodzi się w pustce, a jednocześnie konkretyzował wprowadzone przez Newtona pojęcie pustej przestrzeni, która stanowi arenę dla ruchu ciał wyznaczając absolutnie spoczywający układ odniesienia od ciał niezaleŜny”. [ 12 str. 79 ]
( Koncepcja eteru zmieniała się z czasem i zgodnie z panującymi dominującymi „prądami” w fizyce. Pojęcie „eteru świetlnego” zostało najpełniej wyraŜone w niezwykle skrupulatnych ( zobacz [ 9 –literatury w języku rosyjskim ]) pracach H. Lorentza. „Eter Lorentza jest eterem elektromagnetycznym, który trwa w spoczynku w przestrzeni absolutnej i
właściwie niczym nie róŜni się od tej przestrzeni, z tym jednak, Ŝe ma własność przepuszczania fal elektromagnetycznych i strumieni elektronów. Stan eteru moŜna opisać równaniami pól elektrycznych i magnetycznych; o jego strukturze Lorentz nie wypowiada się”.[ cytat z 17 str. 219 ]. Inną koncepcją jest teoria „eteru relatywistycznego” której autorem jest A. Einstein [ zobacz 26-literatury dodatkowej ] )
W miarę utrwalania się ideii eteru w fizyce XIX wieku, pojawiła się kwestia ruchu eteru względem ciał materialnych.
Wysuwano szereg koncepcji dotyczących sposobu zachowania się eteru wobec poruszających się ciał materialnych, w konsekwencji czego odwołano się do nieubłaganego werdyktu eksperymentalnego faktu.
Eksperyment ten znany jest jako „Doświadczenie Michelsona-Morleya” (M-M ). Był to eksperyment trudny do wykonania w roku 1887, wymagał bowiem uŜycia całkiem nowych przyrządów ( interferometr ). ( Badano zjawiska optyczne z dokładnością do co najmniej drugiej potęgi stosunku szybkości Ziemi w jej ruchu orbitalnym do szybkości światła c ) [ 12 str. 80 ; 7-literatury dodatkowej , od str. 50 , 9-literatury dodatkowej od str. 135 ; zobacz równieŜ ciekawe omówienie
„analogu z pływakami” dla doświadczenia M-M w 5 , rozdział III „Eter” ]
„Zerowy” wynik tego doświadczenia skomentuje cytatem :
„Próby wykrycia własności eteru doprowadziły nas do trudności i sprzeczności. Po tak przykrych doświadczeniach nadeszła chwila , by o eterze zupełnie zapomnieć i postarać się nigdy go nie wspominać. Powiemy po prostu , Ŝe nasza przestrzeń ma fizyczną własność przenoszenia fal i w ten sposób unikniemy uŜycia słowa którego postanowiliśmy nie uŜywać. Oczywiście skreślenie słowa ze słownika nie jest ratunkiem.”
[ 8-literatury dodatkowej, str. 157 ; warto przeczytać całość wywodu ]
( NaleŜy zdawać sobie sprawę, Ŝe „zerowy” wynik eksperymentu M-M nie wystarcza aby wyprowadzić na drodze indukcyjnej wzory transformacyjne Lorentza, do tego celu potrzebne są wyniki innych eksperymentów, które zostały oczywiście przeprowadzone w latach trzydziestych XX wieku, były to doświadczenie Kennedy’ego – Thordnike’a ( 1932) ( interferometr o róŜnej długości ramion ), doświadczenie Ivesa-Stilwella (1938) ( pomiar przesunięcia dopplerowskiego światła emitowanego przez szybko poruszające się cząstki ). Pierwsze z tych doświadczeń, łącznie z doświadczeniem M-M, pozwoliło ustalić słuszność wzorów Lorentza w drugim rzędzie wielkości względem v/c z dokładnością do pewnego czynnika zaleŜnego od prędkości względnej, drugie pokazało, Ŝe czynnik ten jest równy jedności
[ 25-literatury dodatkowej, str. 535 ] )
Zatem, przychylając się do autorytetu autorów tego cytatu, przyjmuje ( co jest dosyć powszechne ) iŜ dla STW koncepcja eteru nie odgrywa Ŝadnej, twórczej z fizycznego punktu widzenia roli. Przyjmuje, jako podstawę dla dalszego tekstu jedynie konkluzje wynikająca z doświadczenia M-M : prędkość światła jest stała i niezaleŜna od wyboru IUO.
NaleŜy podkreślić jednak, Ŝe hipoteza eteru nie kończy się definitywnie na takim „gładkim” stwierdzeniu.
( powrócę do niej w rozdziale XIII )
( Zobacz równieŜ np. „Pisma z filozofii nauk empirycznych” – I. Lakatos WN-PWN 1995, od str. 118 ) Obecnie sprawę eteru zakończę jeszcze jednym cytatem :
„Eter we współczesnym wykładzie STW stwarza dość dziwną sytuacje. NaleŜy długo wyjaśniać przyczyny wprowadzania pojęcia eteru , Ŝeby potem, po jego wprowadzeniu , stwierdzić, Ŝe eteru niema. Czy takie ujęcie jest uzasadnione
dydaktycznie ? Niekiedy twierdzi się , Ŝe „niezaleŜnie od wszystkiego” od eteru nie ma ucieczki gdyŜ wymaga tego analogia z dźwiękiem i falami na wodzie. Potrzeba duŜych umiejętności, by w odpowiednim czasie wskazać na róŜnicę w sposobie rozchodzenia się fal grawitacyjnych i elektromagnetycznych z jednej strony oraz fal spręŜystych z drugiej ; tym samym do rozchodzenia się fal pierwszego typu ośrodek nie jest potrzebny. Światło moŜe rozchodzić się tam, gdzie materii w zwykłym tego słowa znaczeniu ( o niezerowej masie spoczynkowej) nie ma. Zatem „niezaleŜnie od wszystkiego” z eteru trzeba zrezygnować.” [ 16, str. 293 ]
Przyjmuje zatem, Ŝe z punktu widzenia elektrodynamiki klasycznej jak i kwantowej światło nie potrzebuje ośrodka w którym rozpatrujemy zaburzenie falowe. Nie biorę równieŜ pod uwagę koncepcji „eteru niematerialnego” Lorentza.
( równanie falowe omówię w dalszym rozdziale )
Dla przedstawionego tekstu kluczowym będzie wprowadzenie wzorów transformacyjnych Lorentza, a w dalszej kolejności uwypuklenie roli grupy Poincarego jako grupy symetrii ( izometrii ) przestrzeni Minkowskiego. Jeśli chodzi o własności tej przestrzeni ( z matematycznego punktu widzenia jest to czterowymiarowa przestrzeń pseudoeuklidesowa ), to dokładniej zobacz tekst pt. „Matematyczne podstawy szczególnej teorii względności”.
Spróbuje równieŜ pokazać pewne związki ogólno fizyczne STW z innymi działami fizyki teoretycznej.
Przed lekturą prezentowanego tekstu warto równieŜ zaznajomić się wcześniej z pozycjami i/lub [ 1, 2, 3, 4 ]
II. „Postulaty Einsteina”.
Einstein zbudował STW opierając się na dwóch postulatach, pierwszy z nich to postulat rozszerzający na zjawiska
elektromagnetyczne zasadę względności Galileusza ( Galileusz postulował ją dla układów mechanicznych, stwierdzając, Ŝe wszystkie zjawiska mechaniczne przebiegają tak samo w dowolnym IUO ) - nazywa się go „szczególną zasadą
względności”. Głosi ona, Ŝe wszystkie układy inercjalne są równowaŜne i Ŝadnego z nich nie da się wyróŜnić za pomocą jakiegokolwiek doświadczenia wykorzystującego dowolne zjawiska np. mechaniczne, elektromagnetyczne lub jądrowe.
( oczywiście zachowując te same warunki fizyczne, co matematycznie oznacza przyjęcie tych samych warunków brzegowych dla rrc opisujących te zjawiska ). Inaczej mówiąc, nie moŜna stwierdzić bezwzględnego spoczynku jakiegokolwiek układu lub nie istnieje wyróŜniony IUO, lub wszystkie zjawiska zarówno mechaniczne jak i elektrodynamiczne przebiegają tak samo w dowolnym IUO.
Treścią drugiego postulatu jest stwierdzenie, Ŝe maksymalną moŜliwą prędkością rozchodzenia się sygnałów fizycznych ( właściwie chodzi tu o prędkość przenoszenia energii-masy-informacji. Podstawową cechą sygnału fizycznego jest jego energia - mówimy, Ŝe sygnał fizyczny np. fala, przenosi energię. Dołączenie pojęcia informacji uzasadnić moŜna
następującym cytatem : „Przede wszystkim trzeba zgodzić się z twierdzeniem, Ŝe informację naleŜy traktować jako pojęcie nierozerwalnie związane z wszelką postacią masy i energii, które to byty fizyczne uzyskują określone cechy w miarę jak ustala się w nich porządek lub organizacja” – „O istocie informacji” – E. Kowalczyk, WkiŁ 1981, str. 60 ) w przyrodzie jest prędkość światła w próŜni, której wartość jest stała i jest to uniwersalna stała przyrody oznaczana zazwyczaj literką „c”
c = ( 2,99792458 ± 0,00000012 ) ° 108 [m/s ]. Wartość stałej c wyznaczana jest doświadczalnie, wartości tej nie moŜemy wyprowadzić teoretyczne z STW. Postulat istnienia uniwersalnej stałej przyrody c uzasadniono licznymi doświadczeniami ( oprócz doświadczenia M-M znane jest wspomniane juŜ doświadczenie Kennedy’ego – Thordnike’a ).
Wartość stałej c moŜemy obliczyć ze wzoru znanego z elektrodynamiki : c = 1/ sqrt(ε0µ0 )
Gdzie : ε0- stałe przenikalności elektrycznej próŜni , µ0 – stała przenikalności magnetycznej próŜni
Jak zobaczymy dalej wzory transformacyjne Lorentza mogą być wyprowadzone bez wprowadzenia tego postulatu.
Istnienie pewnej prędkości granicznej, której nie moŜe przekroczyć Ŝadne ciało o niezerowej masie spoczynkowej tj. dla którego istnieje IUO względem którego moŜe ono spoczywać, jest matematyczną konsekwencją przyjętego modelu tj.
uznania przestrzeni Minkowskiego jako „areny” dla zdarzeń fizyki relatywistycznej. Matematyka oczywiście nie narzuca konkretnej wartości tej prędkości granicznej ani nie pokazuje zaleŜności STW z korpuskularno-falową naturą światła.
To fizyczne doświadczenie pozwala nam utoŜsamić stałą wynikająca z rozwaŜań teoretycznych ze stałą c – jako wartość szybkości światła w próŜni. ( gdyby jakieś subtelne hipotetyczne doświadczenie pokazało, Ŝe prędkość światła w próŜni nie jest stałą przyrody to z logicznego punktu widzenia nie obalałoby to STW, podobnie odkrycie obiektów nadświetlnych nie uniewaŜniałoby jej wyników a jedynie wyznaczałoby jej granice stosowalności – wiadomo bowiem, Ŝe obiekty takie charakteryzują się specyficznymi własnościami jak na razie wywodzonymi teoretycznie )
NaleŜy podkreślić, Ŝe to dopiero STW postawiła problem istnienia prędkości maksymalnej ( jak i własności ciał
poruszających się w granicy tej prędkości ), wcześniejsze teorię zakładały milcząco, Ŝe sygnały fizyczne mogą rozchodzić się z prędkościami dowolnymi – zatem i nieskończonymi. Postawienie zagadnienia ograniczającego teorię fizyczne od tego momentu stawało się bardzo płodną regułą heurystyczną. Pytania o granice narzucane przez przyrodę na wartości
wielkości fizycznych zawsze są niebanalne. Jak wiemy zagadnienie ograniczenia od dołu wielkości energii ( konkretnie działania ) prowadzą do MK i m.in. zasad nieoznaczoności , pytanie dotyczące maksymalnej gęstości energii-masy prowadzi do teorii czarnych dziur.
Nazwa „szczególna teoria względności”, jak zauwaŜono we wczesnych latach jej rozwoju nie jest nazwą zbyt udaną.
Jednak ze względów tradycyjnych i historycznych uwarunkowań , nazwa tak jest przyjęta jako powszechnie obowiązująca ( ang.“The special theory of relativity”STR lub prosto “special
relativity” ;
ros. Специалная ТеорияОтносительности – СТО lub równieŜ stosowana nazwa : Частная Теория Относительности. )
Problem nazewnictwa wywodzi się z prac teoretycznych dotyczących elektromagnetycznej natury światła. Pod koniec XIX wieku wprowadzono koncepcje „eteru świetlnego”. W pewnym momencie teoretycznych rozwaŜań załoŜono, Ŝe istnieje absolutny układ odniesienia i jest to układ w którym ten hipotetyczny eter spoczywa. Przeciw takiemu wyróŜnionemu układowi wystąpił Einstein oraz Poincare, uczeni ci swoje koncepcje oparli na „postulacie względności” – czyli postulacie odrzucającym istnienia układu absolutnego spoczynku. W ten sposób zaczęła funkcjonować „teoria względności” , nazwa ta została ugruntowana przez wybitnych i uznanych fizyków m.in. przez Plancka.
„Szczególna” poniewaŜ dotyczy układów odniesienia w których pomija się wpływ pola grawitacyjnego ( przymiotnik ten pojawił się w sposób „naturalny” po zbudowaniu OTW ).
Spotyka się równieŜ nazwy : specjalna, cząstkowa – teoria względności.
Niefortunność nazwy teoria względności ( z podkreśleniem słowa względność ) staje się widoczna, kiedy uświadomimy sobie fakt, Ŝe u jej podstaw leŜą pewne wielkości niezmiennicze – inwarianty np. niezmienniczy interwał
czasoprzestrzenny, których obecność konstytuuje tą teorię.
[ 16 str. 32 ; 2-literatury dodatkowej str. 102 ; 1-literatury w języku rosyjskim , str. 32 ]
III. Układy odniesienia w mechanice klasycznej i relatywistycznej.
Matematycznym modelem przestrzeni mechaniki newtonowskiej (MN) jest jak wiadomo trójwymiarowa przestrzeń Euklidesa. Układ odniesienia w mechanice newtonowskiej zgodnie z przyjętymi zasadami związany jest z zegarem ( układem zegarów ) oraz układem sztywnych prętów pomiarowych. ( zobacz tekst pt. „Kinematyka punktu materialnego w mechanice klasycznej” ). W mechanice newtonowskiej nie występował problem synchronizacji zegarów lub problem sztywności prętów pomiarowych. Dlatego teŜ zagadnienie arytmetyzacji tj. koordynacji przestrzenno-czasowej punktów modelu matematycznego, jest właściwie problemem trywialnym. Absolutny czas i absolutna przestrzeń niejako implikuje istnienie idealnego zegara i idealnego pręta pomiarowego, ponadto dopuszczone istnienie sygnału o nieskończonej prędkości rozchodzenia gwarantuje dowolnie szybkie przenoszenie zmian wprowadzonych arytmetyzacji.
( nie bez znaczenia jest równieŜ „płaskość” wykorzystywanej przestrzeni ).
Matematycznym modelem przestrzeni mechaniki relatywistycznej jest czterowymiarowa przestrzeń Minkowskiego (M) - nazwana ogólnie „czasoprzestrzenią”. Układ odniesienia w STW podobnie jak w MN wyposaŜamy w układ zegarów i układ sztab pomiarowych. Arytmetyzacja nie jest jednak w tym przypadku problemem trywialnym.
W dalszym rozwinięciu teorii przydatne będzie zdefiniowanie pojęcia „zdarzenia”. Z matematycznego punktu widzenia zdarzenia to wektory naleŜące do przestrzeni M ( a zatem punkty czasoprzestrzeni wskazywane przez te wektory ), z fizycznego punktu widzenia pod pojęciem „zdarzenia” będziemy rozumieli zaistnienie dowolnego zjawiska (procesu) fizycznego np. wyemitowanie fotonu, elektronu, uderzenie lub zderzenie dwóch piłek ; wystrzał pocisku itp.
WaŜnym jest, aby zjawisko to zachodziło w dostatecznie małym obszarze przestrzennym ( w granicy będzie to punkt ) oraz trwały dostatecznie krótko ( w granicy będzie to tzw. moment, chwila )
Takie warunki pozwalają w miarę jednoznacznie przyporządkować zdarzeniu fizycznemu pewien punkt (wektor) naleŜący do M. Układem odniesienia ( układem laboratorium ) nazwiemy pewien wyróŜniony punkt ( punkt odniesienia , punkt zerowy ) w którym umieszczono zespół urządzeń pomiarowych ( zegar, sztabę pomiarową, źródło światła, lustro,
fotodetektor itp. ). Ten makroskopowy układ urządzeń nazwiemy „obserwatorem”. Z określenia tego wynika, Ŝe dla zapewnienia stabilności i jednoznaczności pomiarów układ laboratorium jest ciałem materialnym dla którego efekty kwantowe są pomijalne. Układu odniesienia który byłby czuły na wszelkie efekty kwantowe np. doznawałby odrzutu podczas emisji lub absorpcji kwantu promieniowania nie spełniałby wymogu jednoznacznego określenia np. pomiaru długości. Warto zastanowić się nad takim określeniem obserwatora i jego roli w procesie pomiarowym ( kwestię tę podejmę w końcowych rozdziałach ).
Do podstawowych zadań mechaniki w tym i relatywistycznej naleŜy badanie ruchu ciała materialnego ( punktu
materialnego). Opisanie ruchu polega na wyznaczeniu trajektorii w przestrzeni M. Do tego celu potrzebujemy zegara oraz sztaby pomiarowej. Zegar jest przyrządem fizycznym ( mechanicznym ,elektronicznym, atomowym ) który z określoną dokładnością odmierza i zlicza jednakowe odcinki czasu ( interwały czasowe ). „Dobry” zegar powinien jednakowym odcinkom czasu przypisać jednakowe wartości liczbowe, bez względu na warunki fizyczne ( chemiczne, atmosferyczne lub biologiczne ) w jakich pracuje.
W MK ze względu na załoŜenie absolutności upływu czasu wystarczał jeden zegar, wspólny dla wszystkich obserwatorów związanych zarówno z IUO jak i NIUO. Ten wspólny zegar mógł być umieszczony w dowolnym miejscu przestrzeni ( zazwyczaj jednak był to punkt związany z układem laboratorium, który jednocześnie był początkiem układu
współrzędnych ). Istnienie nieskończenie szybkiego sygnału gwarantowało dostępność odczytu tego zegara dla kaŜdego innego obserwatora związanego z innym IUO. Zakładano, Ŝe zegar ten moŜna przemieszczać ruchem dowolnym bez wpływu na jego wskazania. Ponadto przyjmowano, Ŝe dowolną ilość „kopii” takich zegarów moŜna ustawić jednocześnie według dowolnego wskazania dowolnie wybranego zegara ( nie istniał więc problem synchronizacji zegarów ).
W mechanice relatywistycznej musimy zrewidować te właściwie naiwne załoŜenia. PoniewaŜ upływ czasu nie jest juŜ wielkością absolutną ale związana z konkretnym IUO musimy przyjąć Ŝe kaŜdy układ odniesienia dysponuje własnym lokalnym zegarem spoczywającym w tym układzie. W dalszej kolejności zostanie omówiony związek między
wskazaniami zegarów poszczególnych IUO, jak równieŜ zagadnienie synchronizacji dwóch lub wielu zegarów.
Obecnie powiem tylko, Ŝe moŜliwe jest zsynchronizowanie wielu zegarów spoczywających w danym IUO, moŜna równieŜ zsynchronizować dwa zegary poruszające się względem siebie, nie moŜliwe jest jednak zsynchronizowanie trzech lub więcej zegarów poruszających się dowolnym ruchem względnym. [ 4, str. 27 ]
Niech będą dane dwa identycznie zegary spoczywające w jednym IUO ( np. opierające się na emisji fotonów w atomie cezu ). PoniewaŜ przenoszenie zegarów wiąŜe się z niezerowymi przyspieszeniami, nie moŜemy przyjąć procedury synchronizacji, która opierałaby się na nastawieniu wszystkich zegarów w jednym miejscu, a następnie umieszczeniu ich w wybranych punktach M. Pierwsze musimy rozmieścić zegary w odpowiednich miejscach, a następnie dokonać kolejno procedury ich synchronizacji. Według Einsteina taką synchronizacje moŜemy przeprowadzić za pomocą sygnałów świetlnych wysyłanych ze zegara „wzorcowego” do kaŜdego zegara mającego być z nim zsynchronizowanym.
Mówimy, Ŝe zegary A, B rozmieszczone w róŜnych punktach M, jednego i tego samego IUO, będą zsynchronizowane, jeśli w chwili przyjścia sygnału do zegara B będą one wskazywały czas :
t’ = ½ ( t1 + t2 ) , gdzie : t1 – chwila wysłania sygnału według zegara A , t2 – chwila powrotu tego sygnału ( po natychmiastowym jego odbiciu w punkcie umieszczenia zegara B ). ( rys. 1 )
Rys. 1 Synchronizacja zegarów A, B
Oczywiście milcząco przyjmujemy, Ŝe sygnał porusza się z jednakową szybkością „tam i z powrotem” , oraz to, Ŝe moŜliwe jest „natychmiastowe” odbicie sygnału świetlnego ( co na pewno nie wynika z elektrodynamiki kwantowej ) Dwa zdarzenia zachodzące w róŜnych punktach danego i jednego IUO, nazwiemy „jednoczesnymi”, jeśli wskazania dwóch wcześniej zsynchronizowanych zegarów umieszczonych w tych punktach, będą jednakowe.
Transformacja Lorentza. ( Lorentz transformations )
IV. Wzory transformacyjne Lorentza jako konsekwencja postulatu stałości prędkości światła.
RozwaŜmy dwa IUO : U oraz U’ , niech U’ porusza się względem U ze prędkością v , dla prostoty rachunków
( nie ujmując jednak walorów ogólności ) załóŜmy, Ŝe ruch odbywa się zgodnie z kierunkiem wyznaczonym przez oś Ox kartezjańskiego układu współrzędnych Oxyz stowarzyszonego z IUO U, nadto załoŜymy, Ŝe oś O’x’ kartezjańskiego układu współrzędnych O’x’y’z’ stowarzyszonego z IUO U’ jest równoległa do osi Ox. Dobre zegary Z i Z’ zostały wcześniej zsynchronizowane. Niech w momencie t = t’ = 0 środki układów współrzędnych primowanego i
nieprimowanego pokrywają się, w tej równieŜ chwili spoczywające w układzie U źródło światła np. lampa błyskowa wysyła krótki impuls światła. Zgodnie z drugim postulatem Einsteina obserwatorzy związani, odpowiednio z układem U oraz U’ obserwować będą rozchodzącą się kuliście „warstwę” promieniowania rozchodzącą się względem nich z prędkością c. Równanie kulistego czoła fali w układzie U będzie miało postać :
x2 + y2 + z2 = c2 t2 (4.1)
Jest to równanie sfery o środku w punkcie (0, 0), której promień rośnie w czasie z prędkością c.
W układzie U’ odpowiednie równanie czoła fali będzie miało postać :
x’2 + y’2 + z’2 = c2 t’2 (4.2) Przyjmując hipotezę absolutnego czasu tj. zakładając ,Ŝe czas płynie tak samo w U i U’ ( t = t’ ) musielibyśmy przyjąć, Ŝe
czoło fali w pierwszym układzie było by sferą o środku O a w drugim inna sferą o środku O’, oczywiście jest tylko jedno czoło fali i jedna sfera, zatem musimy przyjąć, Ŝe : t ≠ t’. Zastanówmy się teraz nad moŜliwą postacią wzorów
transformacyjnych, które pozwalałyby „przetłumaczyć” opis zbioru zdarzeń widzianych w jednym IUO, w naszym przypadku niech będzie to układ U, na opis tych samych zdarzeń widzianych z innego IUO – dla nas układu U’.
Tradycyjnie w STW zajmujemy się opisem układów inercjalnych tj. poruszających się względem siebie ruchem
jednostajnym prostoliniowym, ruch NIUO i transformacje takich układów - w szczególności ruchy w polu grawitacyjnym stanowią przedmiot zainteresowania Ogólnej Teorii Względności ( OTW ).
Zakładamy, Ŝe równania które wiąŜą odpowiednie współrzędne układów U i U’ są równaniami liniowymi. Wynika to z faktu, Ŝe pojedynczemu zdarzeniu w jednym układzie odniesienia musi odpowiada jedno i tylko jedno zdarzenie w drugim układzie, transformacja w postaci kwadratowej mogłaby dawać dwa rozwiązania co nie zapewniałoby jednoznaczności zdarzeń. Ponadto zasada względności wymaga, aby ruch jednostajny prostoliniowy zachowywał swój charakter, niezaleŜnie od wyboru układu odniesienia. Przyjmijmy następująca postać liniowych wzorów transformacyjnych :
x’ = k1x + k0t (4.3) y’ = y - ruch odbywa się zgodnie z kierunkiem osi Ox || O’x’
z’ = z
t’ = k2x + k3t (4.4) k0, k1 , k2 , k3 - szukane współczynniki.
Początek układu U’ porusza się ze stała prędkością v, względem układu U, dla tego punktu tj. dla x’ = 0 równanie (4.3) zapisać moŜemy następująco :
k1x = - k0t ⇒ x/t = - k0/ k1 (4.5) ale x/t = v zatem
- k0/ k1 = v ⇒ k0 = - k1 v (4.6) czyli :
x’= - k1 ( x - vt ) (4.7) Zgodnie z postulatem o stałości c, czoło fali świetlnej musi by sferą o jednakowym promieniu zarówno w układzie U jak i U’ , zatem musi by spełniona zaleŜność :
x2 + y2 + z2 - c2 t2 ≡ x’2 + y’2 + z’2 - c2 t’2 (4.8) Dla uproszczenia rachunków rozwaŜmy wariant jednowymiarowy toŜsamości (4.8) :
x2 - c2 t2 ≡ x’2 - c2 t’2 (4.9) Podstawmy teraz wzory (4.7) i (4.4) do (4.9) :
[ - k1 ( x - vt ) ]2 - c2 ( k2x + k3t )2 ≡ x2 - c2 t2 (4.10) ( k1vt - k1x )2 - c2 ( k2x + k3t )2 ≡ x2 - c2 t2
I dalej :
x2 ( k12 - c2 k22 ) – 2xt ( k12 v + c2 k2k3 ) + t2 ( k12 v2 - c2 k32 ) v2 ≡ x2 - c2 t2 (4.11) Porównując odpowiednie współczynniki otrzymujemy :
k12 - c2 k22 = 1 ⇒ k12 – 1 = c2 k22 (4.12) k12 v + c2 k2k3 = 0 ⇒ k12 v = c2 k2k3 (4.13) k12 v2 - c2 k32 = - c2 ⇒ k12 v2 + c2 = - c2k32 (4.14) Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy :
k1 = 1/ sqrt [ 1 – (v/ c)2 ] (4.15) k2 = ± (v/c2) / sqrt [ 1 – (v/ c)2 ] (4.16) k3 = ± 1 / sqrt [ 1 – (v/ c)2 ] (4.17) Z równania (4.13) wynika, Ŝe k2 i k3 muszą mieć znaki przeciwne, ale k3 musi być dodatnie co wynika z załoŜenia
jednakowego kierunku upływu czasu w układach U i U’ , zatem k2 musi by ujemne.
Oznaczmy : γ = k1 ( czynnik Lorentza ) wtedy :
k2 = γ (v/c2) (4.18) k4 = γ (4.19) Podstawiając te zaleŜności do wzorów (4.3) i (4.4), otrzymujemy :
x’ = γ (x - vt ) (4.20)
t’ = γ [ t - (v/ c2 ) x ] (4.21)
y’ = y z’ = z
Są to wzory na transformacje Lorentza. Wzory te moŜemy „odwrócić” tj. wyrazić współrzędne układu U przez współrzędne U’ :
x = γ (x’+ vt’ ) (4.22) t = γ [ t’ + (v/ c2 ) x’ ] (4.23) y = y’
z = z’
[ 13, str. 17 ]
Jak widać wzory transformacyjne Lorentza ( nazwa nadana przez Poincarego ) róŜnią się od klasycznych wzorów
transformacyjnych Galileusza. Obecnie w skład przekształcenia współrzędnych przestrzennych wchodzi zmienna czasowa, a w skład wzorów przekształcających współrzędną czasową wchodzi współrzędna przestrzenna, takie wymieszanie współrzędnych przestrzennych i czasowych nieobecne w transformacji Galileusza jest charakterystyczne dla transformacji relatywistycznej. Związek ten wskazuje na wzajemne powiązania obu rodzajów współrzędnych. Jak przekonamy się w dalszej kolejności wzory te wymuszają na nas przemyślenie a następnie sformułowanie nowych poglądów dotyczących natury czasu i przestrzeni a w szczególności pojęcia jednoczesności oraz przyczynowości.
Wzory (4.20) i (4.21) oraz dualne do nich wzory (4.22) i (4.23) ukazują symetrię przejścia U → U’ oraz U → U.
Symetria ta odzwierciedla zasadę względności ruchu IUO.
W dalszej kolejności wygodnie będzie wprowadzić wielkość : β = v/ c
γ = 1/sqrt ( 1 – β2 ) (4.24) Widać ,Ŝe jeŜeli β → 0 ⇒ γ → 1 ( co tradycyjnie oznacza, Ŝe stała c dąŜy do nieskończoności c → ∞ , moŜna oczywiście zapytać czy jest sensownie fizycznie mówić, Ŝe uniwersalna stała przyrody zmierza do jakieś granicy ),
to wzory (4.20) i (4.21) redukują się do znanych wzorów szczególnej transformacji Galileusza :
x’ = x - vt (4.25)
t’ = t (4.26)
W praktyce przyjmuje się, Ŝe jeśli rozpatrywane prędkości IUO są duŜo, duŜo mniejsze od prędkości c tj. v <<< c ( co ze względu na olbrzymią wartość stałej c jest w praktyce dnia codziennego spełnione w większości rozpatrywanych przypadków ), to moŜemy w granicach rozsądnego i niewielkiego błędu przyjąć za obowiązujące wzory klasyczne.
Wielkości β i γ przyjmują odpowiednio następujące wartości : β ∈ < 0, 1 ) ; γ ∈ < 1 , + ∞ ) Wzór (4.24) zgodnie ze wzorem na rozkład dwumianu :
( 1- x )p = 1 - px + [ p(p –1)x2 / 2! ] - ….
MoŜemy przedstawić w postaci często stosowanego rozwinięcia ( p = - ½ , x = v2/ c2 ) : γ = 1 + ½ (v2/ c2 ) + ....
Jest to tzw. rozwinięcie z dokładnością do wyrazów drugiego rzędu. Jest ono dla większości przypadków wystarczającym Jak łatwo sprawdzi następnym składnikiem sumy będzie wyraŜenie 3/8 (v4/ c4 )
( a odpowiednie rozwinięcie będzie rozwinięciem z dokładnością do wyrazów trzeciego rzędu )
V. Wzory transformacyjne Lorentza wyprowadzane bez postulatu o stałości prędkości światła.
( Wzory Lorentza jako konsekwencja transformacji liniowej uwzględniającej zasadę względności )
Wzory transformacyjne Lorentza moŜna wyprowadzić konsekwentnie i jednoznacznie bez opierania się o postulat istnienia stałej c. ( istnieje kilka wariantów takiego wyprowadzenia )
Wprowadźmy następujące „klasyczne” załoŜenia :
- przestrzeń jest izotropowa tj. wszystkie kierunki przestrzenne są równouprawnione, nie ma kierunku wyróŜnionego.
- Przestrzeń jest jednorodna tzn. wszystkie punkty przestrzeni są równouprawnione, nie ma punktów
wyróŜnionych, w szczególności kaŜdy punkt przestrzeni moŜe by wybrany jako punkt z którym moŜemy związać IUO.
- Czas jest jednorodny tzn. kaŜda chwila jest jednakowo dobra aby mogła być wybrana jako chwila początku odliczania czasu ( chwila zero )
- Spełniona jest zasada względności Einsteina : „JeŜeli K jest układem inercjalnym, to kaŜdy układ K’ poruszający się ruchem jednostajnym i postępowym względem K jest takŜe układem inercjalnym ; prawa przyrody wyglądają jednakowo we wszystkich układach inercjalnych. Twierdzenie to będziemy nazywali „szczególną zasadą względności” [ cytat z 15-literatury dodatkowej , str. 33 ]. Warto zauwaŜyć, Ŝe oryginalna zasada Einsteina jest równowaŜna wprowadzonemu juŜ postulatowi mówiącemu o równowaŜności IUO lub stwierdzeniu Ŝe wszystkie prawa fizyki są niezmiennicze względem transformacji Lorentza.
Naszym celem będzie znalezienie postaci funkcji transformujących współrzędne przestrzenne (x,y,z ) oraz współrzędną czasową t, z jednego IUO U do drugiego IUO U’ . Ogólnie funkcje te moŜemy zapisać następująco :
x’ = f1 (x,y,z, t) y’ = f2 (x,y,z, t)
z’ = f3 (x,y,z, t) t’ = f4 (x,y,z, t)
W pierwszej kolejności naleŜy zauwaŜyć, Ŝe załoŜenia jednorodności czasu i przestrzeni nakładają warunek liniowości na funkcje fi . Ogólna postać transformacji liniowych dana jest wzorami :
x’ = axx + bxy + cxz + dxt + mx y’ = ayx + byy + cyz + dyt + my x’ = azx + bzy + czz + dzt + mz x’ = atx + bty + ctz + dtt + mt
Współczynniki a, b, c ,d są pewnymi stałymi lub funkcjami prędkości względnej IUO ; współczynniki m – to pewne stałe.
Z załoŜenia jednorodności i izotropowości przestrzeni i czasu wynika, Ŝe wzory transformacyjne powinny mieć postać :
x’ = axx + dxt + mx (5.1)
y’ = byy + dyt + my z’ = czz + dzt + mz
t’ = atx + bty + ctz + dtt + mt
Aby dokładnie określić postać tych wzorów wybierzmy dwa dowolne IUO U i U’ niech w chwili zero początki O i O’ tych układów pokrywają się. Niech układ U’ porusza się w kierunku wyznaczonym przez oś Ox || O’x’ z prędkością v
względem U. Dla takiego określenia ruchu wzory (5.1) przepiszemy następująco : t’ = at + bx + n
x’ = ct + dx + m y’ = y
z’ = z
Dla chwili zero mamy x’ = x = 0 zatem współczynniki m, n muszą by równe zeru. Współczynniki a, b, c, d mogą a nawet muszą zaleŜeć jedynie od prędkości względnej v. Zasada względności wymaga ponadto aby :
t’ = at + bx ⇔ t = at’ + bx’ (5.2)
x’ = ct + dx ⇔ x = ct’ + dx’ (5.3)
( znaki zaleŜne są od przyjętej orientacji osi Ox i O’x’ ) Podstawiając otrzymamy :
t = a (at + bx) + b(ct + dx) = ( a2 + bc)t + b (a + d)x x = c ( at + bx) + d(ct + dx ) = c(a + d) t + (d2 + bc)x Zatem :
( a2 + bc) = 1 ; b (a + d) = 0 ; c(a + d) = 0 ; (d2 + bc) = 1 Równania te nie są niezaleŜne i prowadzą do pary równań : a2 + bc = 1
a = - d
PoniewaŜ v = x/t = c/a ; a ≠ 0
Mamy zatem trzy równania i cztery współczynniki. Wobec tego przyjmijmy, Ŝe a = γ(v) – będzie pewną funkcją czasu.
a = γ(v) ⇒ c = γ(v) v ⇒ d = - γ(v) ⇒ b = [ 1 – γ2 (v) ] / γ(v) v Podstawiając te zaleŜności do funkcji (5.2) i (5.3) otrzymamy :
t = γ { t’ + [ ( 1 – γ2 )x’ / γ2 v ] } (5.4)
x = γ ( vt’ – x’ ) (5.5)
Naszym celem jest teraz wyznaczenie postaci funkcji γ = γ(v). W tym celu rozwaŜymy trzeci IUO U’’ ( o zwrocie osi O’’x’’ || O’x’ || Ox ) poruszający się z prędkością V względem IUO U’ , poniewaŜ układ U’’ spełnia wszystkie analogiczne wyprowadzone wcześniej warunki to wzory transformacyjne U’ → U’’ będą miały postać :
t’ = γ { t’’ + [ ( 1 – γ2 )x’’ / γ2 V ] } (5.6) x’ = γ ( Vt’’ – x’’ ) (5.7) Podstawiając x’ i t’ określone powyŜszymi wzorami do wzorów (5.4) i (5.5) otrzymamy wzory transformacyjne U → U’’
Analizując te wzory ( koniecznie zobacz [ 5, str. 36 ] ) stwierdzamy , Ŝe : (1/V2) [ 1 – (1/γ2 (V) ) ] = (1/v2) [ 1 – (1/γ2 (v) ) ] = const. = C
( równość ta wynika z następującego rozumowania : po prawej stronie równości mamy pewną funkcje f = f(v) , po lewej funkcje f = f(V) , równość dwóch funkcji , dwóch zmiennych zachodzi tylko w przypadku kiedy są one stałe i równe sobie) Otrzymujemy zatem :
γ = 1/ sqrt ( 1 – cv2 )
Podstawiając tak otrzymane wyraŜenie dla γ, do wzorów (5.4) I (5.5) otrzymamy :
t = γ ( Cvx, + t’ ) (5.8) x = γ (x’ + vt’ ) (5.9) Stała C ma wymiar odwrotności kwadratu prędkości ; Jej wartość powinna być wyznaczona doświadczalnie – teoria wskazuje jedynie na istnienie takiej stałej. Z doświadczenia moŜemy otrzymać wartość : C = 1.11 ° 10-17 [ s2 / m2 ].
Zatem C = 1/c2
Jak moŜna się przekonać otrzymane wzory (5.8) i (5.9) przedstawiają wzory transformacyjne Lorentza.
[ 5, 17 –literatury dodatkowej ; troszkę inny wariant podanego wyprowadzenia pokazano w 1-literatury w języku rosyjskim od str. 23 ]
VI. Konsekwencje wzorów transformacyjnych Lorentza.
Wzory Lorentza implikują szereg na pozór niezgodnych ze „zdrowym rozsądkiem” własności przestrzeni i czasu.
Są one niejako rewolucją, która burzy nasze codzienne poglądy dotyczące natury czasu i przestrzeni, oczywiście ich charakterystyczne własności najpełniej przejawiają się gdy rozpatrujemy ruchy o prędkościach zbliŜonych do c.
W tym kontekście zazwyczaj mówi się o „paradoksalnych własnościach” wynikających z STW. W istocie konsekwentne stosowanie zasad STW w Ŝadnym przypadku nie prowadzi do zjawisk lub następstw, które istotnie moŜna było by nazwać paradoksalnymi. Lekcja jakiej udziela STW naszym „zdrowym zmysłom” pokazuje pewną ograniczoność i stereotypowość ludzkiej perspektywy poznawczej. Nasze poglądy ukształtowane na zwykłej, codziennej mechanice okazują się nie
prawdziwe, a dokładniej ograniczone do pewnego zakresu wielkości fizycznych.
1) Dodawanie prędkości. Wzór na relatywistyczne składanie prędkości.
Zapiszmy wzory transformacyjne Lorentza w postaci : x’ = (x − vt) / sqrt( 1 − v2/c2 ) = γ(x − vt)
t’ = [ t – ( v/c2 )x ] / sqrt( 1 − v2/c2 ) = γ[ t – ( v/c2 )x ] y’ = y ; z’ = z
Niech punkt materialny P porusza się z prędkością u względem układu U, oraz z prędkością u’ względem układu U’. Niech układ U’ porusza się z prędkością v względem układu U ( kierunek wektora prędkości v zgodny jest z osiami O’x’ || Ox )
Rys 1a. ZaleŜność u’ od u według wzoru relatywistycznego i klasycznego.
( wyróŜniamy następujące obszary wartości szybkości : obszar klasyczny v << c, obszar relatywistyczny v < c , obszar ultrarelatywistyczny v ≈ c )
Zbadajmy zaleŜność między u i u’.
Mamy oczywiście : u = dx/dt ; u’ = dx’/dt’
Obliczając odpowiednie róŜniczki otrzymamy :
dx’ = (dx – vdt ) / sqrt ( 1 − v2/c2 ) = γ (dx – v dt) ; dt’ = [ dt – ( v/c2 )dx ]/ (sqrt ( 1 − v2/c2 ) = γ[ dt – ( v/c2 )dx ] zatem :
u’ = (dx – v dt) /[ dt – ( v/c2 )dx ] = [ (dx/dt) – v ] / [ 1– (v/c2 )(dx/dt) ] = (u – v) / [ 1– (u v/c2 ) ]
u’ = dx’/dt’ = ( u – v ) / [ 1 – u v/c2 ] - dla wektorów u ,v o tym samym zwrocie. (6.1) u’ = dx’/dt’ = ( u + v ) / [ 1 + u v/c2 ] - dla wektorów u ,v o zwrocie przeciwnym. (6.2) Dla przypadku granicznego c → ∞ wzory (6.1), (6.2) przechodzą w klasyczne wzory na dodawanie prędkości w mechanice newtonowskiej ( wzory Galileusza ), jest tak równieŜ dla przypadku kiedy uv/c2 << 1
Przykład 6.1 Z rakiety kosmicznej zbliŜającej się do Ziemi z prędkością v = 200000[ km/s ] ≈ 2/3 c wystrzelono w kierunku jej ruchu pocisk którego prędkość względem rakiety wynosi u’ = ½ c.
0 1
Prędkość relatywistyczna Prędkość klasyczna
Przedział mechaniki klasycznej
V /c
t
Pytanie z jaka prędkością ten pocisk będzie zbliŜał się do obserwatora na Ziemi ?
Stosując wzór klasyczny, otrzymamy : u = u’ + v = 7/6c - wynik ten nie jest zgodny z postulatem stałości c.
( przypominam, Ŝe postulat ten ma poparcie doświadczenia ). Stosujemy zatem wzór relatywistyczny : u = ( u’ + v ) / [ 1 – u’v/c2 ] = 21/24 c [ km/s ]
Przykład 6.2 Niech w układzie U punkt materialny P porusza się z prędkością c ( lub bliską c ). Obliczyć prędkość punktu P w układzie U’ poruszającym się względem U z prędkością v ( wektory v, c mają ten sam zwrot )
Stosując wzór (6.1) otrzymujemy : u’ = ( c – v ) / [ 1 – ( v/c ) ] = c
Przykład 6.3 Wzory (6.1), (6.2) moŜemy wyprowadzi bez odwoływania się do róŜniczek dzieląc po prostu x /t oraz zauwaŜając, Ŝe :
u’ = x’/t’ .
u’ = ( x’+ vt’ ) / [ t’ + ( vx’/c2 ) ] = [ (x’/t’) + v ] / [ 1 + (vx’’/t’c2 ) ] = u + v / [ 1 + (uv/c2 ) ] Obliczmy teraz pozostałe składowe wektora prędkości. W kolejności otrzymamy :
ux’ = dx’/dt’ = ( ux – v ) / [ 1 – ux v /c2 ] (6.3) uy’ = dy’/dt’ = uy sqrt [ 1 – (v/c)2 ] / [ 1 – ( v /c2 )] ux (6.4) uz’ = dz’/dt’ = uz sqrt [ 1 – (v/c)2 ] / [ 1 – ( v /c2 )] ux (6.5) ZauwaŜmy, Ŝe chociaŜ prędkość v jest skierowana wzdłuŜ osi Ox , to składowe uy’ , uz’ zaleŜą od ux.
Czasami wygodnie jest zastosować wektorowy zapis powyŜszych wzorów : u = ( 1 + u’v /c2 )-1 [ γ -1 u’ + v + ( 1 – γ -1 ) (u’v) v /v2 ) ]
Kinematyka relatywistyczna róŜni się od nierelatywistycznej wtedy gdy dodajemy prędkości mierzone w róŜnych IUO.
Wzór na dodawanie prędkości dotyczy dwóch takich układów. Gdy mamy do czynienia z prędkościami dwu punktów w jednym układzie to odpowiedź na pytanie jaka jest ich względna prędkość jest taka sama w kinematyce relatywistycznej jak i klasycznej.
Przykładowo niech związany z pewnym IUO obserwator przygląda się ruchowi dwóch pociągów poruszających się względem niego z prędkościami +0,9c i – 0.9c. (wektory ich prędkości są równoległe i oczywiście przeciwnie skierowane ) Pytanie brzmi z jaka prędkością z jego punktu widzenia pociągi się zbliŜają do siebie ?
Odpowiedź brzmi pociągi zbliŜają się do siebie z prędkością 1,8c !! Z punktu widzenia naszego obserwatora nie mamy podstaw zastosować relatywistyczny wzór na dodawanie prędkości. Z punktu widzenia maszynistów jak najbardziej.
Wynik 1,8c nie stoi oczywiście w sprzeczności z postulatami STW – prędkość zbliŜania się pociągów nie jest prędkością przenoszącą energie-masę–informację. [ zobacz dalsze przykłady 17-literatury dodatkowej str. 14 ; 12 str. 98 ] 2) Prędkość maksymalna.
Prędkość światła w próŜni jest prędkością maksymalną – graniczną, dla ciał materialnych które mogą spoczywać w pewnym układzie odniesienia. W związku z tym mówimy równieŜ, Ŝe dla fotonu nie istnieje układ odniesienia w którym mógłby on spoczywać. Gdyby ciało o niezerowej masie spoczynkowej mogłoby się poruszać z prędkością c, to związany z tym ciałem układ odniesienia równieŜ poruszałby się z prędkością c, względem kaŜdego innego układu odniesienia, próba zastosowania wzorów Lorentza dla takiego przypadku skończyłaby się tym, Ŝe we wspomnianych wzorach pojawiłoby się zero w mianowniku, zatem całe wyraŜenie stawałoby się nieokreślone. Zatem wniosek jest jeden - układ odniesienia nie moŜe być ( sensownie ) związany z ciałem o zerowej masie spoczynkowej.
RozwaŜmy punkt materialny o niezerowej masie spoczynkowej, który w pewnym IUO U’ doznaje stałego przyspieszenia a Zbadajmy w jaki sposób będzie narastała prędkość tego punktu materialnego w układzie U.
a’ = du’/dt’ ⇒ du’ = a’dt’
du = [ 1 − (v/c)2 ]a’dt’ / [ 1 + (u’v/c2 ) ] (6.6) Przyjmijmy teraz, Ŝe u’ = 0 i du = dv tzn. punkt materialny utoŜsamiamy z układem U’ ( to cały układ U’ jest
przyspieszany ). Podstawiając do wzoru (6.6) otrzymamy :
dv = [ 1 − (v/c)2 ] a’dt’ (6.7) Następnie całkujemy to wyraŜenie :
v t’
∫
dv / [ 1 - (v/c)2 ] =∫
a’dt’ (6.8) 0 0PoniewaŜ a’ = const. zatem :
∫
a’dt’ = a’t’Następnie stosujemy zamianę zmiennych n = v/c , dv = dnc : c
∫
dn / [ 1 - (n)2 ] = arctgh (n) = c arctgh (v/c)Zatem
arctgh (v/c) = a’t’/ c ⇒ v/c = tgh (a’t’/ c ) ⇒ v = c tgh (a’t’/ c )
Jest to wzór na prędkość punktu ( układu U’ ) względem układu U w funkcji czasu t’. Prędkość ta zbliŜa się asymptotycznie do prędkości światła. [ 12, str. 24 ]
MoŜemy zatem powiedzieć, Ŝe w przyrodzie istnieje jedna jedyna prędkość c – wspólna dla wszystkich cząstek (obiektów fizycznych ), które posiadają zerową masę spoczynkową tj. dla których nie moŜna wskazać spoczynkowego IUO.
( mówimy wtedy o prędkości c jako o prędkości absolutnej ). Prędkość c jest prędkością graniczną dla cząstek które posiadają niezerową masę spoczynkową. Jakkolwiek nie próbować rozpędza takie obiekty ich prędkość będzie jedynie dąŜyć do prędkości c ale nigdy jej nie osiągnie ( moŜliwe jest jedynie asymptotyczne zbliŜenie do prędkości c ).
Widać więc, Ŝe w zaleŜności od zachowania relatywistycznego cząstek fizycznych moglibyśmy je podzielić na :
- cząstki dla których jest sensowne określenie spoczynku ( poruszają się one z prędkościami zawartymi w zbiorze < 0, c ) moŜliwe jest związanie ich z układem odniesienia
- cząstki dla których pojęcie spoczynku traci sens ( poruszają się one tylko z prędkością c ) niemoŜliwe jest związanie ich z układem odniesienia
- cząstki dla których pojęcie prędkości związanej z układem odniesienia traci sens (lub sens traci klasyczne rozumienie pojęcia cząstki ).
Efekty kinematyczne transformacji Lorentza
3 Dylatacja czasu – wydłuŜenie interwałów czasowych. Względność pojęcia jednoczesności.
Jednym z najwaŜniejszych wniosków, wypływającym z konsekwentnie stosowanych wzorów transformacyjnych Lorentza jest odrzucenie absolutności pojęcia czasu i wprowadzenie pojęcia „czasu własnego” przy czym jednocześnie stwierdzamy, ( co jest poparte bogatym materiałem empirycznym) względność upływu takiego czasu tj. interwał czasowy jest zaleŜny od IUO w którym dokonujemy pomiaru takiego interwału. Jest to efekt kinematyczny tj. związany z samą naturą określenia przestrzeni i czasu a nie z fizyczną naturą samych przyrządów pomiarowych ( ciał materialnych). NaleŜy podkreślić, Ŝe dla rozpatrywanych przez nas głownie IUO jest to efekt całkowicie symetryczny - poniewaŜ zasada względności pozostaje w mocy, za jego pomocą nie moŜna wskazać układu absolutnie spoczywającego ( sens tych zdań by moŜe stanie się jaśniejszy po przeczytaniu całego punktu ).
W fizyce klasycznej uznawano jako sensowne stwierdzenie, Ŝe pewna określona klasa zdarzeń zachodzi w róŜnych miejscach w tej samej chwili czasu tj. równocześnie. Postulowanie istnienia sygnałów rozchodzących się nieskończenie szybko umoŜliwia zasadność tak sformułowanej jednoczesności a co za tym idzie czasu absolutnego.
Zasługą Einsteina było m.in. zwrócenie uwagi na to, Ŝe pojęcie równoczesności przyjmowane dotychczas, w związku z postulatem istnienia stałej c (absolutnej) nie jest uzasadnione i jest niepoprawne. Czas w którym zaszło dowolne zdarzenie mierzymy zegarem a co jest najwaŜniejsze dla tego pomiaru, to bezpośrednia bliskość zegara i zachodzącego zjawiska.
Z instrumentalistycznego (operacyjnego ) punktu widzenia moŜemy wyposaŜyć IUO w układ zegarów tak aby w kaŜdym dostatecznie małym obszarze przestrzenny moŜliwy był „natychmiastowy” pomiar czasu zachodzącego w tym obszarze zjawiska. W tym miejscu pojawia się nie znany w mechanice klasycznej problem synchronizacji takich zegarów. Poprzez synchronizacje rozumiemy operacje ustawienia na nich jednej, wspólnej godziny np. godziny zero- zero.
MoŜna pokazać, Ŝe dwa zegary spoczywające w IUO moŜemy zsynchronizować bez Ŝadnych specjalnych kłopotów.
W tym celu wybieramy punkt środkowy (jednakowo odległy od obu zegarów), prostej łączącej te dwa zgary i wysyłamy z niego równocześnie ( równoczesność jest zagwarantowana punktowością tego zdarzenia ) do kaŜdego zegara sygnał np.
świetlny. Zegary uwaŜamy za zsynchronizowane jeŜeli w momencie dojścia do nich wysłanych sygnałów wskazują jednakowy czas. ( lub po prostu w tej właśnie chwili włączamy te zegary ustawiając je wcześniej na jednakową godzinę ) Z jednorodności i izotropowości czasu wnioskujemy, Ŝe relacja synchronizacji jest relacją przechodnią , zatem tym sposobem moŜemy zsynchronizować dowolną ilość zegarów spoczywających w danym i jednym IUO.
MoŜliwe jest równieŜ zsynchronizowanie dwóch i tylko dwóch zegarów poruszających się względem siebie ruchem swobodnym. Cały „problem” STW polega właśnie na niemoŜliwości zsynchronizowania dwóch zbiorów zegarów
związanych z układami U i U’ ( poruszającymi się ruchem względnym ). Mówimy, Ŝe układ zsynchronizowanych zegarów związany z układem U nie jest juŜ układem zsynchronizowanych zegarów w układzie U’. ( zobacz określenie definicji synchronizacji zegarów według Einsteina )
Mając do dyspozycji układ zsynchronizowanych zegarów w dowolnym IUO, moŜemy dokonać pomiaru czasu zdarzeń zachodzących w dowolnie ( lub prawie dowolnych ) odległościach przestrzennych. Znając odległość od danego zdarzenia i dysponując sygnałem świetlnym o stałej prędkości c, moŜemy obliczyć czas w jakim to zdarzenie zaszło.
Oczywistym problemem jest zagadnienie pomiaru stałej c. Pomiaru tego dokonujemy mierząc czas potrzebny na przebycie zadanej odległości przez promień światła. Mamy dwa sposoby aby tego dokonać, w pierwszym z nich odejmujemy wskazania dwóch zsynchronizowanych zegarów umieszczonych w punkcie początkowym i końcowym, ale cały problem tej metody polega na pierwotnym braku zsynchronizowanych zegarów. Drugi sposób polega na pomiarze czasu, który upłynął między wysłaniem a rejestracją sygnału świetlnego. Sygnał wysłany odbija się od lustra umieszczonego na zadanej odległości od nadajnika. W metodzie tej korzystamy tylko z jednego zegara, odpada wiec problem synchronizacji.
Podwojona odległość między nadajnikiem a lustrem podzielona przez odmierzony czas wyznacza szybkość sygnału świetlnego. ( utajoną hipotezą jest przyjęcie, Ŝe szybkość promienia świetlnego w kierunku lustra jest taka sama jak szybkość promienia odbitego – w kaŜdym bądź razie empiria nie przeczy tej hipotezie )
[ 12, str. 84 ; 7-literatury w języku rosyjskim , str. 30 ]
Wydawać by się mogło, Ŝe istnieje jeszcze jeden sposób synchronizacji zegarów : zbieramy zegary w jednym miejscu nastawiamy wszystkie na jednakowe wskazanie a następnie przemieszczamy zegary, kaŜdy do swojego połoŜenia
pierwotnego. Problemem jest tylko to, Ŝe proces przemieszczania spowoduje rozsynchronizowanie tych zegarów – wynika to z faktu przejścia zegara w momencie rozpoczęcia ruchu do NIUO a następnie do IUO poruszającego się względem pierwotnego układu synchronizacyjnego. ( taki sposób nazywa się „synchronizacją zegarów w sensie Galileusza” ) Właściwa procedura polega zatem na ustawieniu w odpowiednich miejscach zegarów a później kolejnej ich synchronizacji z zegarem odniesienia np. zegarem umieszczonym w początku układu odniesienia ( początku układu współrzędnych ).
Ten opis szczegółowy opis procedury synchronizacji jest kluczowym dla całej STW.
W przeciwieństwie do niego opis sposobu pomiaru odległości przestrzennych w STW właściwie sprowadza się do opisu pomiaru klasycznego. Wzorcowy pręt mierniczy ( odpowiednio wyskalowany, absolutnie sztywny ) przykładamy wzdłuŜ prostej ( ogólnie najkrótszej krzywej) łączącej dany punkt z początkiem układu współrzędnych, uwaŜając aby za kaŜdym razem jego początek pokrywał się z punktem w którym był jego koniec. Powstaje naturalne pytanie : o ile mając pręt mierniczy o postulowanych własnościach moŜemy ( w zasadzie ) dokonać takich pomiarów, to problemem pozostaje zagadnienie wyznaczenia najkrótszej krzywej oraz problem „niefizycznych” własności pręta pomiarowego, w
szczególności pręty absolutnie sztywne nie istnieją. W STW moŜemy jednak dopuść taką idealizację, jednak powody dla których jest to moŜliwe wykraczają poza ramy obecnie omawianych zagadnień.
Na szczególne podkreślenie zasługuje fakt, Ŝe do jednej z zasług jakie oddała STW fizyką , jest zwrócenie uwagi na konieczność krytycznego podejścia do procedury pomiarowej. Procedura pomiarowa określa wielkości fizyczne tj.
istnienie „czegoś” w fizyce jest przede wszystkim określeniem (poprawnym i fizycznie sensownym) procedury pomiaru tego „czegoś”.
„Pomiary w fizyce odgrywają decydującą rolę. MoŜliwość zmierzenia pewnej wielkości jest warunkiem koniecznym, aby wielkość ta mogła stać się przedmiotem zainteresowania fizyka. Lord Kelvin mawiał : „JeŜeli potraficie zmierzyć to, o czym mówicie oraz wyrazić to w liczbach, wówczas wiecie o czym mówicie; lecz jeŜeli nie potraficie tego zmierzyć , jeŜeli nie potraficie wyrazić tego w liczbach, to wasza wiedza jest niewystarczająca i jałowa” ”
( cytat z [ 20-literatury dodatkowej, str. 210 ] )
Oczywiście, konsekwentne trzymanie się tak określonego sposobu definicyjnego dla wszystkich pojęć fizycznych prowadzi do „operacjonizmu”.
( Zainteresowanego odsyłam np. do hasła „operacjonizm” w „Filozofia a nauka” – zarys encyklopedyczny PWN 1987 lub do pewnych jego filozoficznych implikacji „Granice racjonalności – eseje z filozofii nauki” – J. Zyciński WN-PWN 1993 )
Kończąc, te troszkę metodologiczne komentarze, naleŜy jeszcze powiedzieć, Ŝe we współczesnej fizyce w związku z bardzo intensywnym rozwojem metod pomiarowych czas ( właściwie częstotliwość ) jest wielkością , którą potrafimy zmierzyć z bardzo duŜą dokładnością ( rzędu femtosekund ), dlatego standardowymi wzorcem stał się właśnie zegar ( częstościomierz – zazwyczaj atomowy ), wzorzec długości ( pierwotnie była nim sztaba platynowo-irydowa ) został zastąpiony przez ultra dokładny pomiar czasu ( przy postulacie istnienia stałej c, metoda ta jest równowaŜna pomiarowi odległości przestrzennych ).
( zobacz definicje odpowiednich wzorców np. w „Legalne jednostki miar i stałe fizyczne” -- J. M. Massalski, J. Studnicki PWN 1988 ; współczesne metody pomiaru czasu omówiono np. artykule pt. „Clocks for Length and Time Measurement” - Fritz Riehle, dostępnym w ksiąŜce “Gyros, Clocks, Interferometers...Testing Relativistic Gravity in Space” -
C. L¨ammerzahl C.W. F. Everitt F.W. Hehl (Eds.) Springer 2000 )
RozwaŜmy teraz dwa IUO U i U’ poruszające się względem siebie z prędkością v ( v || Ox || O’x’ ). Niech na osiach : Ox i O’x’ rozmieszone będą zsynchronizowane w swoich układach spoczynkowych układy zegarów ( rys. 2 )
Rys. 2 Układy zegarów.
Zegary z punkcie x =x’ = 0 wskazują w chwili mijania się chwile zero. Zegary układu U’ mijają kolejno zegar umieszczony w punkcie x = 0. Powstaje pytanie jakie jest wskazanie zegara układu U’, mijającego ten zegar ? Zgodnie z wzorami transformacyjnymi otrzymujemy :
t’ = γ [ t – ( v/c2 )x ] ale x = 0 , zatem t’ = γt
Analogicznie do zagadnienia moŜemy podejść równieŜ tak :
RozwaŜmy dwa IUO U i U’ , poruszające się tak samo jak poprzednio. Obserwator związany z układem U dokonuje pomiaru pewnych stałych, periodycznych odcinków czasu np. między dwoma błyskami światła. Oznaczmy taki pojedynczy interwał czasowy, jak następuje :
t = tk – tk (6.9) Pytanie, na jakie teraz musimy odpowiedzieć jest następujące : jaki będzie wynik pomiaru tego interwału w układzie U’ ? ( analogicznie zagadnienie to moŜemy postawić następująco : zegar spoczywający w układzie U odmierza stałe interwały
∆t, interwały o jakich wartościach odmierza zegar umieszczony w układzie U’ ? Wykorzystamy oczywiście wzór :
t’ = γ [ t – ( v/c2 )x ]
t’ = γ[ ( tk – tp ) - ( v/c2 ) ( xk – xp ) ] = γ t (6.10) ( bo xk – xp = 0 – zdarzenia zachodzą w jednym miejscu )
PoniewaŜ γ ∈ < 1 , + ∝ ) t’ ≥ t
Wniosek. Zegar poruszający się względem układu U idzie wolniej, niŜ zegar znajdujący się w spoczynku w tym układzie U.
Efekt ten nazywamy „dylatacją czasu” ( wydłuŜeniem lub spowolnieniem czasu ). Obrazowo mówiąc powiemy, Ŝe ruchomy zegar (zsynchronizowany w swoim układzie spoczynkowym) spóźnia się w stosunku do zegara spoczywającego.
PoniewaŜ mówimy o IUO efekt dylatacyjny jest efektem symetrycznym tj. obserwator związany z układem U porównując odczyty swojego zegara z zegarem znajdującym się w układzie U’ stwierdzi, Ŝe to jego zegar spieszy.
Jest jeszcze jedne problem : moŜemy sensownie powiedzieć, Ŝe zegar ruchomy spóźnia się nie w stosunku do jednego nieruchomego zegara ale w stosunku do kolejno mijanych nieruchomych zegarów.
„Stwierdzenie, Ŝe pojedynczy zegar U’ spóźnia się w stosunku do pojedynczego zegara U nie ma w rzeczywistości Ŝadnego obiektywnego sensu. Zegary są odległe od siebie i nie moŜna bezpośrednio porównywać ich wskazań więcej niŜ jeden raz w ich historii.” [ 4, str. 50 ].
Dla dwóch obserwatorów związanych z układami U i U’ moŜemy sensownie powiedzieć, Ŝe obaj mają rację mówiąc : poniewaŜ ja „spoczywam” to moje zegary chodzą dobrze a zegary w układzie U’ chodzą wolniej
poniewaŜ to ja spoczywam to moje zegary chodzą dobrze a zegary w układzie U spóźniają.
Cały problem zasadza się na „rozsynchronizowaniu” się zegarów znajdujących się w ruchu.
Obserwator U sprawdza chód zegarów w U’ porównując odczyty jednego z nich z odczytem dwóch swoich zegarów (zsynchronizowanych w U’ ), to samo robi obserwator U’, uŜywając zegarów zsynchronizowanych w swoim IUO.
Jak wiemy jednak : zegary zsynchronizowane w układzie U nie są (na ogół ) zsynchronizowane kiedy „patrzeć” na nie z innego IUO. Co oczywiście wynika z określenia pojęcia równoczesności.
Dlatego teŜ podstawowy problem STW jakim jest pojęcie jednoczesności ( synchronizacji ) musi być uwzględniony przy pomiarze długości. ( punkt następny ) ( zobacz równieŜ [18, str. 518 ] )
Względność pojęcia równoczesności.
Niech w pewnym IUO U obserwowane zdarzenia z1i z2 zachodzą w jednej chwili czasu t = t1= t2. O tych zjawiskach powiemy, Ŝe w układzie U zaszły równocześnie ( jednocześnie ). Powstaje pytanie czy te dwa zdarzenia równoczesne w układzie U są równoczesne w dowolnym innym IUO U’ ?
MoŜemy wyróŜnić dwie odmienne sytuacje :
a) zdarzenia jednoczesne w układzie U zachodzą w róŜnych punktach przestrzennych ( w róŜnych miejscach przestrzeni ) b) zdarzenia jednoczesne w układzie U zachodzą w jednym miejscu w przestrzeni.
Zgodnie z wzorami transformacyjnymi Lorentza dla t1= t2 = 0 , otrzymujemy : t’2 - t’1 = γ ( v/c2 ) ( x2 – x1)
Dla przypadku b) mamy x2 = x1 zatem t’2 - t’1 = 0 tj. zdarzenia z1i z2 równoczesne w układzie U będą równieŜ jednoczesnymi w układzie U’.
Zanim rozpatrzymy przypadek a) wprowadzimy pewne oznaczenia
W układzie U zdarzenie z2 nazwiemy „zdarzeniem późniejszym” a zdarzenie z1, nazwiemy zdarzeniem „wcześniejszym”.
Ustaliliśmy w ten sposób pewną kolejność zdarzeń dla układu U.
Ogólny wzór wynikający z transformacji Lorentza ( dla zdarzeń niejednoczesnych ) ma oczywiście postać : t’2 - t’1 = γ ( t2 – t1) - ( v/c2 ) ( x2 – x1)
Dla zdarzeń równoczesnych w układzie U ( t1= t2 = 0 ) i nie zachodzących w jednym miejscu x2 ≠ x1 otrzymamy : JeŜeli x1 > x2 to t’2 - t’1 > 0 tzn. w układzie U’ zdarzenia z2 i z1 mają taka samą kolejność jak w układzie U.
JeŜeli x1 < x2 to t’2 - t’1 < 0 tzn. w układzie U’ zdarzenia z2 i z1 mają taka samą odwrotną kolejność jak w układzie U.
tj. z punktu widzenia obserwatora U’ to zdarzenie z2 jest wcześniejsze a zdarzenie z1 jest późniejsze.
Dal zdarzeń nie jednoczesnych i zachodzących w róŜnych miejscach mamy przypadki :
( t2 – t1) - ( v/c2 ) ( x2 – x1) = 0 – zdarzenia równoczesne w U’
( t2 – t1) - ( v/c2 ) ( x2 – x1) > 0 – zachowana kolejność zdarzeń w U’
( t2 – t1) - ( v/c2 ) ( x2 – x1) < 0 – odwrócona kolejność zdarzeń w U’
Widzimy więc, Ŝe z punktu widzenia mechaniki relatywistycznej kolejność zdarzeń jest pojęciem względnym, zaleŜy od układu odniesienia.
Przypadek ( t2 – t1) - ( v/c2 ) ( x2 – x1) < 0 zachodzi wtedy gdy : ( c2/v ) ( t2 – t1) < ( x2 – x1)
tzn. gdy odległość dwóch zdarzeń jest tak duŜa , Ŝe promień światła wychodzący z x1 w chwili t1nie moŜe osiągnąć punktu x2 przed upływem czasu t2. Mówimy, Ŝe kolejność dwóch zdarzeń moŜe być odwrócona tylko wtedy gdy nie moŜe między tymi zdarzeniami związek przyczynowy. [ 2, str. 34 ]
Mówimy, Ŝe między dwoma zdarzeniami występuje związek przyczynowy jeŜeli moŜemy je połączyć sygnałem
świetlnym. JeŜeli wysłanie promienia świetlnego z jakiegoś punktu uznamy za przyczynę, natomiast odbiór tego sygnału w innym punkcie za skutek to na terenie STW kolejność tych zdarzeń nie moŜe być odwrócona.
Kolejność dwóch zdarzeń moŜe być odwrócona jeŜeli nie występuje między nimi związek przyczynowy.
Mówimy równieŜ, Ŝe względność pojęcia równoczesności dwóch zdarzeń nie kolokalnych świadczy o tym, Ŝe przestrzeń i czas są ściśle powiązane ze sobą – przy przejściu U → U’ odcinki czasu między zdarzeniami, uzaleŜniane są od ich odległości przestrzennych.
4) Skrócenie Lorentza-Fitzgeralda. ( The Lorentz-Fitzgerald contraction )
Rozpatrzmy następujący problem : obserwator związany z pewnym IUO U zmierzył długość dowolnego przedmiotu np.
stalowego pręta. Pręt ten spoczywa w tym układzie odniesienia. Wynik tego pomiaru : L = współrzędna początku pręta – współrzędna końca pręta
L = xp – xk (6.11) Dla uproszczenia zakładamy, Ŝe nieruchomy pręt leŜy na osi Ox.
Pytanie jakim się teraz zajmiemy brzmi : jaki wynik pomiaru długości otrzyma obserwator związany z układem U’ ? ( Układ ten porusza się tak jak poprzednio tj. z prędkością v || Ox || O’x’ )
Długość pręta w układzie U’ będzie równa :
L’ = x’p – x’k (6.12) W teorii klasycznej mieliśmy oczywistą odpowiedź na to pytanie : L = L’ tj. obie te długości były sobie równe.
MoŜemy zastanowić się teraz w jaki sposób dokonać pomiaru długości pręta gdy znajduje się on w ruchu. Oczywiste jest, Ŝe zgodnie z powyŜszymi wzorami powinniśmy wyznaczy współrzędne końca i początku a co najwaŜniejsze powinniśmy wykonać te pomiary w jednej chwili tj. jednocześnie.
( Zobacz równieŜ wspomniany tekst pt. „Matematyczne podstawy szczególnej teorii względności” ) Aby uzyskać związek pomiędzy L a L’ naleŜy wyrazić współrzędne początku i końca pręta w układzie U przez
współrzędne i czas początku i końca pręta w układzie U’ i przyjąć tę samą wartość czasu t dla obu tych współrzędnych w układzie U’.
x’p = γ ( xp – vtp ) ; x’k = γ ( xk – vtk ) (6.13) Zatem :
L’ = γ [ xk – xp – v ( tk – tp ) ] (6.14) t’p = γ [ tp – (v/c2)xp ] ; t’k = γ [ tk – (v/c2)xk ] (6.15) Zatem, poniewaŜ Ŝądamy aby t’p = t’k :
tp - tk = (v/c2) ( xk - xp ) (6.16) L’ = γ { xk – xp – v [ (v/c2) ( xk - xp ) ] } = γ [ ( xk – xp ) ( 1 – β2 ) ] (6.17) L’ = γ ( 1 – β2 ) L = L ( 1 – β2 ) / sqrt ( 1 – β2 ) = L sqrt ( 1 – β2 )
PoniewaŜ β ∈ < 0, 1) to sqrt ( 1 – β2 ) ∈ < 1, 0 ) co oznacza , Ŝe L’ < L.
L’ = L sqrt ( 1 – β2 ) (6.18) Wniosek. Przedmiot obserwowany z dowolnego IUO, poruszającego się względem IUO w którym ten przedmiot spoczywa ma krótszy wymiar zgodny z kierunkiem ruchu względnego tych układów. Mówimy w tym przypadku o tzw. kontrakcji długości podłuŜnej.
Długość pręta w układzie w którym on spoczywa ( w naszym przypadku L ) nazywamy „długością własną”.
Dla β = 10-8 , co w przybliŜeniu odpowiada prędkości liniowej ruchu Ziemi względem układu związanego ze Słońcem, zmniejszenie długości promienia ziemi w kierunku ruchu z punktu widzenia obserwatora związanego ze Słońcem wynosi 6,5 ° 10-2 [m ]. [ 12, str. 91 ]
Omówmy pewien kontekst historyczny związany z kontrakcją długości.
W celu utrzymania hipotezy spoczywającego eteru Lorentz wysunął postulat, Ŝe jeŜeli ciało porusza się z szybkością v względem eteru, to jego długość w kierunku ruchu ulega skróceniu – miarą tego skrócenia jest czynnik sqrt ( 1 – β2 ).
NiezaleŜnie od niego taki postulat wysunął Fitzgerald. Lorentz posługując się własną teorią elektronową uwaŜał, Ŝe zjawisko kontrakcji przedmiotów znajdujących się w ruchu jest spowodowane pewna siłą działająca na przedmioty przechodzące podczas ruchu przez stacjonarny eter ( naturę tych sił upatrywano w siłach elektrodynamicznych ).
Na przełomie XIX i XX wieku tj. w okresie burzliwego naporu nowych ideii problem ten był bardzo szeroko dyskutowany.
Jak wiadomo przełomową dla tego zagadnienia okazała się praca A. Einsteina, który przyjąwszy zupełnie odmienny do powszechnie przyjmowanego stanowiska, punkt widzenia kładzie fundament pod gmach STW.
( zobacz 2-literatury dodatkowej )
Einstein zaproponował, Ŝe omawiane skrócenie nie jest „własnością” poruszającego się ciała ale własnością samej przestrzeni.
Dla małych wartości prędkości względnej v, otrzymujemy : L ≈ L’. PoniewaŜ kontrakcja dotyczy tylko wymiarów podłuŜnych mamy : Lx’ = Lx sqrt ( 1 – β2 ) , Ly’ = Ly , Lz’ = Lz
W związku z względnością pojęcia równoczesności moŜliwy jest jeszcze jeden sposób pomiaru długości pręta.
MoŜna uznać równieŜ, Ŝe długością pręta ruchomego będzie odległość między współrzędnymi jego końców w układzie U’, wyznaczonych w jednakowym czasie t. Wtedy :
L’ = γ ( xk – xp ) = L / sqrt ( 1 – β2 )
Proszę porównać z wzorem poprzednio otrzymanym :
L’ = L sqrt ( 1 – β2 ) Przy tym sposobie pomiaru długości liniowe są najmniejsze w tym układzie względem którego ciało spoczywa. Wida więc ,Ŝe ruchomy pręt nie doznaje „rzeczywistego” skurczenia ,ale jego długość zaleŜy od układu odniesienia, względem którego ją mierzymy oraz od przyjętej zasady pomiaru długości. [ 13, str. 38 ]
Kontrakcja długości jest więc bezpośrednią konsekwencją względności pojęcia równoczesności , a ta z kolei jest konsekwencją postulatu istnienia prędkości absolutnej c.
MoŜna pokazać, Ŝe skróceniu nie ulegają wymiary poprzeczne – jeśli wystąpiłby taki efekt została by złamana zasada względności [ 18 str. 524 ].
Dlaczego ?
Niech będą dane dwa IUO U, U’ poruszające się wzdłuŜ osi Ox || O’x’. Ustawmy równolegle do osi Oy, O’y’ dwa pręty pomiarowe OL, O’L’. Niech na końcu tych prętów zamontowane będą pisaki – tak, Ŝe podczas ruchu rysowane są dwie linie. Czy linie te pokrywają się ? Jeśli linie te nie pokrywałyby się to moglibyśmy określić, który z układów się porusza, a to przeczyłoby zasadnie względności. Zatem musi zachodzić y’ = y i z’ = z
Rys. 2a Chcąc zachować zasadę względności wnioskujemy, Ŝe wymiary poprzeczne ciał poruszających się z pewną prędkością względna są jednakowe.
PoniewaŜ poprzeczne rozmiary obiektów nie ulegają zmianie wzór na relatywistyczną zmianę objętości ma postać : V’ = V sqrt ( 1 – β2 ) ; V – objętość spoczynkowa w układzie U , V’ – objętość w układzie U’
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe zarówno efekt dylatacji jak i kontrakcji są w istocie konsekwencją jednego efektu – rozsynchronizowania się poruszających się zegarów. ( zatem i względności jednoczesności ).
A jak wiadomo problem ten jest wynikiem istnienia stałej c. Temat ten poruszam równieŜ w punkcie XIII.
Przykład 4.1 [ 7-literatury dodatkowej, str. 65 ]
Pręt pomiarowy o długości 1,5 [ m] spoczywa w układzie U. Jaka będzie jego długość w układzie U’ ( poruszającym się z prędkością v || Ox || O’x’ = 0.98 c ) oraz jego orientacja jeŜeli w układzie U tworzy on kąt φ = 45° z osią Ox.
RozłóŜmy długość pręta w układzie U, na dwie składowe : Lx = L cos(φ) – składowa pozioma
Ly = L sin(φ) – składowa pionowa
Składowa pionowa jest prostopadła do v i zgodnie z wzorami transformacyjnymi Lorentza nie dozna Ŝadnego skrócenia : L’y = Ly = L sin(φ)
Składowa pozioma jest równoległa do v i dozna skrócenia zgodnie ze wzorem (6.18) : L’x = Lx sqrt ( 1 – β2 ) = L cos(φ) sqrt ( 1 – β2 )
Długość pręta L’ będzie zatem równa :
L’ = sqrt ( L’x2 + L’y 2 ) = L sqrt [ 1 - β2 cos2 (φ) ] Orientacja pręta w układzie U’ będzie określona wzorem : tg (φ’) = L’y / L’x = γ tg(φ)
Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy : L’ = 1.08 [ m] , φ = 78, 7°
Zatem pręt nie tylko doznał kontrakcji ale równieŜ zmienił kąt nachylenia.
Czasami bardzo pomocny jest następujący wzór ( wynika on ze wzorów (6.3), (6.4), (6.5) ) : tg(θ) = u’ sqrt [ 1 – (v2/ c2 ) ] sin(θ’) / [u’ cos(θ’) + v ]
Określa on zmianę kierunku wektora prędkości przy przejściu U → U’.
θ -kąt jaki prędkość u tworzy z osią Ox układu U ; θ’ - kąt jaki prędkość u’ tworzy z osią Ox układu U’
Dla u’= u = c wzór ten ma postać :
tg(θ) = sqrt [ 1 – (v2/ c2 ) ] sin(θ’) / [ (v/c) cos(θ’) ] gdy v << c wzór ten moŜemy przybliŜyć następująco : tg(θ) = tg(θ’) [ 1 – v / c cos(θ’) ]
moŜemy otrzymać znany wzór na aberracje światła :
∆θ = (v /c) sin(θ’)
Przykład 4.2 [ 12, str. 94 ]
W IUO U w punkcie xp = 0 w chwili tp = 0, został wyemitowany foton w kierunku osi Ox. Po czasie tk = xk /c ; ( L = xk - xp - długość drogi fotonu w układzie U ) został on zarejestrowany w punkcie.
Jaka jest długość drogi fotonu względem układu U’ ? ( poruszającym się z prędkością v || Ox || O’x’ ) Na pierwszy wzgląd wydawać by się mogło, Ŝe zadanie sprowadza się do prostego zastosowania wzoru (6.18) Jednak naleŜy pamiętać, Ŝe wzór na kontrakcję został wyprowadzony przy warunku jednoczesności tj. : L’ = L sqrt ( 1 – β2 )
ale gdy : t’p = t’k – zdarzenia zachodzą w jednej chwili.
Podobnie wzór na dylatację został wyprowadzony przy warunku kolokalności tj. : t’ = γt
ale gdy : xk = xp – zdarzenia zachodzą w jednym miejscu ( mówimy równieŜ, Ŝe zdarzenia są kolokalne, przedrostek ko- zazwyczaj znaczy tyle co przymiotnik „współ” np. kolinearny ( współliniowy), koplanarny (współpłaszczyznowy ) itp. )
W podanym zagadnieniu długość drogi, oczywiście L nie moŜe by wyznaczona w jednej chwili, zatem wzór (6.18) nie moŜe by zastosowany.
W układzie U dowolna prędkość cząstki lub sygnału jest to, naturalnie stosunek drogi przebytej przez cząstkę do czasu w jakim została przebyta ta droga tj. v = L/t. Dla naszego przykładu będziemy mieli : c = xk/tk . ( c = L/t ; t = tk -tp = tk ) W układzie U’ „przetransformowane” przeniesienie tego prostego wzoru prowadziłoby do sprzeczności tzn. :
c = L’/t’ = (L sqrt ( 1 – β2 )/ γt = ( L/t) ( 1 – β2 ) = c ( 1 – β2 ) ⇒ c = c ( 1 – β2 ) – co jest jawną sprzecznością z postulatami STW.
Skorzystajmy zatem z wzorów (4.20) i (4.21) : x’ = γ ( x – vt )
t’ = γ [ t – ( v/ c2 ) x ]
W chwili startu fotonu w układzie U mamy :
