Rzut uko ny

Rzut uko ny to ruch w polu grawitacyjnym Ziemi blisko jej powierzchni, w którym nadaje si cia u pr dko pocz tkow skierowan do poziomu pod k tem α.

Je eli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa si ze sta ym przyspieszenie m grawitacyjnym g. Przyspieszenie jest skierowane "w dó " to wygodnie jest wybra uk ad wspó rz dnych tak, e x b dzie wspó rz dn poziom , a y pionow .

Rys. 1. 51 Ilustracja rzutu uko nego.

Zauwa my, e podobnie jak w rzucie poziomym, tak i w rzucie uko nym, cia o wykonuje jednocze nie ruch w poziomie i w pionie. Rzut uko ny jest z eniem dwóch ruchów:

• w kierunku poziomym ruch jednostajny z pr dko ci Vx,

• w kierunku pionowym ruch jest jednostajnie zmienny (do Hmax jednostajnie opó niony (rzut pionowy do góry z pr dko ci Vy), od Hmax jednostajnie

Natomiast warto wektora pr dko ci chwilowej:

( _x, _y) dx dy

Przyspieszenie rzucie uko nym

Wektor przyspieszenia ca kowitego:

( , ) ,

Czas trwania rzutu uko nego

Czas trwania rzutu uko nego jest równy sumie czasu wznoszenia si cia a na maksymaln wysoko Hmax i czasu spadania cia a z wysoko ci Hmax. mo emy j obliczy korzystaj c z parametrycznego równania toru (1.78):

2

Wstawiaj c teraz za tw warto z równania (3.33) otrzymamy:

2 2

Jak widzimy, czas wznoszenia równy jest czasowi spadku. Ca kowity czas ruchu dziemy oblicza ze wzoru:

2 0 sin

Do obliczenia zasi gu rzutu w rzucie uko nym, czyli drogi przebytej przez cia o w kierunku poziomym, skorzystamy z parametrycznego równania toru (1.8):

max ( )_{c x c} x =x t = ⋅V t

Wstawiaj c teraz odpowiednie wzory za Vx i tc otrzymamy:

2

Rys. 1. 52 Ilustracja toru rzutu uko nego.

Tor rzutu uko nego ma kszta t paraboli skierowanej ramionami w dó i mo na go wyznaczy ze wzoru:

2

W rozdziale trzecim na pierwsz animacj na jak natrafimy jest animacja spadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.53. U ytkownik ma mo liwo wyboru wysoko ci (za pomoc suwaka) z jakiej upuszczone zostaje cia o. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektora pr dko ci, w czenie/wy czenie siatki pomagaj cej obserwowa zmian po enia cia a oraz przyjrzeniu si symulacji dla kilku ró nych obiektów (kulka, samochód, fortepian, rower i pi ka). W trakcie trwania animacji mo emy obserwowa czas trwania animacji, warto wektora pr dko ci oraz rysowane s wykresy: pr dko ci z jak porusza si spadaj ce cia o oraz drogi, któr to cia o przebywa. U ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 53 Wygl d animacji spadku swobodnego.

Rys. 1. 54 Wygl d przycisków w animacji spadku swobodnego.

Nast pnymi animacjami w rozdziale trzecim s animacje rzutu pionowego w gór (Rys.1.55) oraz rzutu pionowego w dó (Rys.1.56). U ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) wysoko ci z jakiej zrzucane zostaje cia o oraz pr dko ci pocz tkowej. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektora pr dko ci oraz w czenie/wy czenie siatki pomagaj cej obserwowa zmian po enia cia a. Za pomoc przycisków "start", "pauza" i

"powrót" (Rys.1.54) mo na sterowa animacj . W czasie trwania animacji u ytkownik mo e obserwowa chwilowe po enie cia a, warto wektora pr dko ci oraz czas trwania rzutu. W obu symulacjach nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 55 Wygl d animacji rzutu pionowego w gór .

pocz tkowej nadawanej cia u. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowa wspó rz dne poruszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto pr dko Vx, Vy i V oraz przyspieszenia as i an. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektorów pr dko ci V, Vx, Vy, wektorów przyspieszenia as, an, g oraz czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po enie poruszaj cego si cia a.

ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 57 Wygl d animacji rzutu poziomego.

Ostatnia animacj , z która znajduje si w rozdziale trzecim jest animacja rzutu uko nego (Rys.1.58). U ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) wysoko ci z jakiej wystrzelone zostaje cia o oraz k t, pod którym b dzie odbywa si ruch cia a. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowa wspó rz dne poruszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto ci pr dko ci Vx, Vy i V oraz przyspieszenia as i an. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowaniu wektorów pr dko ci V, Vx, Vy, wektorów przyspieszenia as, an, g oraz czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po enie poruszaj cego si cia a.

ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 58 Wygl d animacji rzutu uko nego.

4.3.6. Instrukcje do animacji

Na pocz tek animacja spadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.53. U ytkownik za pomoc suwaka ma mo liwo ustawienia wysoko ci z której b dzie cia o upuszczane. Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dó zmieniamy warto wysoko ci (z zakres od 0 do 100 m). U ytkownik mo e przed rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowania cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia ego kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekranie pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz tor pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcja

Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci zmieniaj cy si podczas spadku cia a.

menu a nast pnie wybieramy interesuj cy nas obiekt. Po najechaniu myszk na niego zostaje pod wietlony na zielono i teraz klikni cie na nazwie spowoduje zmian obiektu w animacji (Rys.1.61).

Rys. 1. 60 Menu rozwijane w spadku swobodnym.

Rys. 1. 61 Animacja spadku swobodnego z innym obiektem.

Po ustawieniu interesuj cej nas wysoko ci i wybraniu odpowiednich opcji naciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jej trwania jest mo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza ; animacj wznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk powrót s y do powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy zobaczy na rysunku 1.54. Na rysunku 1.62 widzimy przeprowadzon animacj dla roweru upuszczonego z wysoko ci pocz tkowej H =90m z zaznaczonymi wszystkimi 3 opcjami, tzn. poka siatk , poka tor oraz poka wektor. Czas trwania spadku wynosi t=4, 47sa pr dko ko cowa V =44, 72m. Czerwone kropki oznaczaj tor ruchu roweru.

Rys. 1. 62 Zako czona animacja spadku swobodnego.

Poni ej krótka instrukcja obs ugi animacji rzutu pionowego w gór (Rys.1.55) i w dó (Rys.1.56). U ytkownik za pomoc suwaków (Rys.1.63) ma mo liwo ustawienia wysoko ci (z zakresu od 0 do 100 m), z której b dziemy zrzuca cia o oraz pr dko ci pocz tkowej (od 0 do 10 m/s). Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dó zmieniamy odpowiednio warto . U ytkownik mo e przed rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowania cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia ego kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekranie pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz tor pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcja

Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci zmieniaj cy si podczas rzutu cia a.

W prawym górnym rogu animacji wy wietlane s warto ci po enia cia a, pr dko ci oraz czasu trwania rzutu.

powrót s y do powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy zobaczy na rysunku 1.54.

Na koniec zajmiemy si animacjami rzutu poziomego (Rys.1.57) i rzutu uko nego (Rys.1.58). W obu symulacjach u ytkownik za pomoc suwaków (Rys.1.64) ma mo liwo ustawienia pr dko ci pocz tkowej, z jak b dziemy wystrzeliwa cia o oraz w rzucie poziomy wysoko ci (z zakresu 0 100 m) a w rzucie uko nym k ta (od 0 do 90^o), pod którym b dzie si porusza cia o. Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w prawo albo w lewo zmieniaj c odpowiednio warto . ytkownik mo e przed rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowania cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia ego kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekranie pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz tor pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcja Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci V, Vx, Vy, przyspieszenia as, an, g lub pomocnicze linie wspó rz dnych x, y.

Rys. 1. 64 Wygl d suwaków w rzucie poziomym i rzucie uko nym.

Dodatkowo istnieje mo liwo wybrania z rozwijanego menu (Rys.1.65) wielko ci, które chcemy obserwowa w czasie trwania animacji. Do wyboru mamy wspó rz dne, pr dko i przyspieszenie. Aby uaktywni nowa warto klikamy na menu a nast pni wybieramy interesuj cy nas obiekt. Po najechaniu myszk na niego zostaje pod wietlony na zielono i teraz klikni cie na nazwie spowoduje zmian obserwowanych warto ci (Rys.1.61).

Rys. 1. 65 Rozwijane menu w rzucie poziomym i uko nym.

Po ustawieniu interesuj cej nas parametrów i wybraniu odpowiednich opcji naciskamy przycisk start , aby uruchomi animacj . W czasie jej trwania jest mo liwo zatrzymania animacji poprzez naci ni cie przycisku pauza , animacje wznawiamy poprzez ponowne naci ni cie przycisku start . Przycisk powrót s y do powrotu animacji do pocz tku. Wygl d przycisków mo emy zobaczy na rysunku 1.54.

Przeprowad my teraz symulacj rzutu uko nego dla pr dko ci pocz tkowej

0 33m2

V = s , k ta α =45^o, z zaznaczonymi wszystkimi trzema opcjami, tzn. Poka wektor , Pokaz tor oraz Poka siatk . Dodatkowo b dziemy obserwowa wektory pr dko ci. Faz przej ciow mo emy zobaczy na rysunku 1.66, gdzie widzimy wektory pr dko ci V, Vx, Vy oraz obliczane warto ci pr dko ci. Ko cowe stadium animacji obserwujemy na rysunku 1.67, gdzie widzimy ca y tor ruchu cia a (czerwone kropki) , obliczone warto ci Czasu rzutu , Zasi gu rzutu , Maksymalnej wysoko ci jak osi gnie cia oraz warto ci ustawione przed animacja: Pr dko ci pocz tkowej oraz ta nachylenia .

Rys. 1. 67 Faza ko cowa w rzucie uko nym.