wspomaganiem komputerowym

Kinematyka – lekcja ze

wspomaganiem komputerowym

P R A C A D Y P L O M O W A I N Y N I E R S K A

Piotr Majewski

Opiekun:

dr hab. in . W odzimierz Salejda, prof. nadzw. w PWr

SPIS TRE CI

1. Wprowadzenie ...3

1.1. Cel i uk ad pracy ...3

2. Wykorzystane technologie ...4

2.1. J zyk HTML...4

2.1.1. Czym jest HTML ?...4

2.1.2. Historia ...4

2.1.3. Przysz HTML ...5

2.1.4. Wygl d pliku HTML...5

2.2. Kaskadowe arkusze stylów CSS...6

2.2.1. Czym jest CSS ?...6

2.2.2. G ówne zalety CSS...7

2.3. Macromedia Flash...9

2.3.1. Opis, historia ...9

3. Budowa witryny ...10

3.1. Menu g ówne ...10

3.2. Nawigacja ...11

3.3. Rozdzia y i podrozdzia y strony ...12

4. Zawarto witryny ...15

4.1. Wiadomo ci podstawowe...15

4.1.1. Wektory i skalary ...15

4.1.2. Dzia ania na wektorach ...16

4.1.3. Opis animacji ...20

4.1.4. Instrukcje do animacji ...24

4.2. Ruch jednowymiarowy ...26

4.2.1. Pr dko ...26

4.2.2. Przyspieszenie ...28

4.2.3. Ruch jednostajny...29

4.2.4. Ruch jednostajnie zmienny...30

4.2.5. Ruch po okr gu ...32

4.2.6. Drgania harmoniczne...36

4.2.7. Opis animacji ...36

4.2.8. Instrukcje do animacji ...37

4.3. Rzuty ...39

4.3.1. Spadek swobodny...39

4.3.2. Rzut pionowy ...40

4.3.3. Rzut poziomy ...44

4.3.4. Rzut uko ny ...46

4.3.5. Opis animacji ...49

4.3.6. Instrukcje do animacji ...53

4.4. Dodatki ...58

5. Podsumowanie...59

6. Literatura i odno niki do stron ...60

7. Spis rysunków ...61

1. Wprowadzenie

1.1. Cel i uk ad pracy

ównym celem pracy dyplomowej by o opracowanie lekcji ze wspomaganiem komputerowym z dzia u fizyki zajmuj cej si ruchem kinematyki. Zosta a ona wykonana w formie witryny internetowej, na której znalaz y si animacje typowych zjawisk fizycznych z zakresu kinematyki. Stron stworzono w darmowym edytorze WWW ezHTML w j zyku HTML z wykorzystaniem arkuszy stylów CSS. Animacje wykonano w technologii Flash w programie Macromedia Flash 8.

Opracowana lekcja umo liwi czytelnikom atwiejsze zrozumienie zjawisk kinematycznych, a przygotowane animacje pozwol na samodzielne przeprowadzanie eksperymentów i jeszcze lepsze zrozumienie omawianego tematu.

Praca zosta a podzielona na 4 g ówne dzia y. Pierwszy to niniejsze wprowadzenie, drugi zawiera krótki opis technologii, z których skorzystano przygotowuj c witryn internetow . W trzecim rozdziale opisano budow i wygl d strony oraz przedstawiono jak si po niej porusza . Nast pny dzia to szczegó owy opis zawarto ci witryny, od wiadomo ci wst pnych poprzez ruch jednowymiarowy, rzuty do dodatków. Na ko cu pracy zamieszczono literatur wraz z odno nikami do stron internetowych, które by y pomocne przy pisaniu pracy oraz spis wszystkich rysunków.

Rozdzia

1

2. Wykorzystane technologie 2.1. zyk HTML

2.1.1. Czym jest HTML ?

HTML to j zyk hipertekstowego znakowania (Hypertext Markup Language), który okre la ustanowion przez konsorcjum World Wide Web Consortium (W3C) specyfikacj definiuj posta dokumentów prezentowanych w Internecie.

HTML pozwala:

r Publikowa dokumenty zawieraj ce nag ówki, tekst, tabele, listy, zdj cia, formularze itp.

r Pobiera za po rednictwem po cze hipertekstowych informacje z Internetu (mówi c w skrócie polega to na klikaniu po cze , co uaktywnia pobieranie danych).

r Projektowa formularze pozwalaj ce na korzystanie ze zdalnych us ug, takich jak na przyk ad: wyszukiwanie informacji, dokonywanie rezerwacji oraz zamawianie produktów.

r Umieszcza w dokumentach arkusze kalkulacyjne, klipy wideo oraz inne aplikacje [1].

2.1.2. Historia

Twórc j zyka HTML jest Tim Berners-Lee. J zyk pomy lany jako narz dzie u atwiaj ce komunikowanie si naukowców w sieci szybko zyska ogromn popularno . Przyniós on w latach 90-tych szalony rozwój Internetu. Wraz z rozwojem sieci globalnej zmienia si te sam j zyk. W 1995 roku zatwierdzono specyfikacj HTML 2, natomiast specyfikacja HTML 3, tak e z tego roku, nie doczeka a si rekomendacji. W 1996 roku powsta a specyfikacja HTML 3.2, która uzyska a rekomendacj w 1997 roku [1]. Aby j stworzy , do W3C do czy o kilka firm programistycznych, w tym: IBM, Microsoft, Netscape Communications Corporation, Novell, SoftQuad, Spyglass oraz Sun Microsystems. Nowo ci wprowadzone w j zyku HTML 3.2 obejmowa y przede wszystkim: tabele, aplety oraz otaczanie obrazów tekstem. J zyk ten by w pe ni zgodny z wcze niejszym standardem HTML 2.0 [2]

W kolejnych specyfikacjach wprowadzano zmiany, których zadaniem by o poprawi przeno no dokumentów HTML mi dzy ró nymi platformami i przegl darkami. Zdano sobie bowiem spraw , e jedynie pe na kompatybilno zagwarantuje prawid owy rozwój Internetu, a jej brak b dzie oznacza lawin formatów, która utrudni lub wr cz uniemo liwi powszechne wykorzystanie sieci.

Rozdzia

2

Wprowadzane modyfikacje rozszerza y potencja j zyka nie naruszaj c jego dotychczasowych mo liwo ci. Chodzi o o to, aby ju utworzone strony by y nadal dost pne. Inne wa ne kwestie, które zadecydowa y o kierunku rozwoju to potrzeba umo liwienia korzystania z informacji sieciowych za pomoc ró nych urz dze , takich jak telefony komórkowe czy komputerowe urz dzenia s ce do komunikacji osowej, oraz uniezale nienia si od konfiguracji sprz towej (a wi c na przyk ad od ustawie takich jak rozdzielczo czy g boko barw) i parametrów czy sieciowych.

Wersja 4 (z 1998 r.) rozszerzy a mo liwo ci j zyka HTML o arkusze stylów, skrypty, ramki i osadzanie obiektów. Poprawiono obs ug tekstu, rozbudowano opcje tabel i formularzy wprowadzaj c u atwienia dla osób niepe nosprawnych. W wersji 4.01, wprowadzonej w 1999 roku, poprawiono b dy i wprowadzono drobne zmiany [1].

2.1.3. Przysz HTML

Korzystanie z Internetu nie jest ju ograniczone mo liwo ciami sprz towymi i oprogramowaniem komputera. atwy dost p do Internetu za pomoc WebTV zach ca do sp dzania wielu godzin przed ekranem telewizora. Programy zarz dzaj ce informacj osobist (Personal Information Managers) i palmtopy umo liwiaj u ytkowanie Internetu w czasie podró y. Odpowiedni sprz t komputerowy umo liwia tak e korzystanie z sieci osobom niepe nosprawnym. W nowym tysi cleciu Internet sta si efektywnym, powszechnie dost pnym sposobem komunikacji i edukacji.

Wiele nowszych technologii, opracowanych dla urz dze przeno nych, nie jest w stanie w pe ni wspó pracowa ze starszymi specyfikacjami j zyka HTML.

Urz dzenia te nie maj takich mocy przetwarzania danych jak komputery stacjonarne, wi c s znacznie mniej pob liwe dla nieefektywnego kodu programu.

Twórcy specyfikacji HTML starali si przystosowa do post puj cych zmian, lecz ograniczenia, jakim HTML podlega, stawa y si coraz bardziej widoczne. Poniewa obecna specyfikacja HTML wykracza ju daleko poza jej mo liwo ci, prawdopodobnie nie powstanie ju w przysz ci specyfikacja HTML 5.0.

Rozwój Internetu domaga si j zyka znaczników bardziej elastycznego ni HTML. Zmiany pod aj w kierunku XML (skrót od Extensible Markup Languge elastyczny j zyk znaczników), sk adnika SGML, umo liwiaj cego wykorzystanie indywidualnie definiowanych znaczników. I w tym momencie na scen wkracza XHTML 1.1.

XHTML 1.0, napisany w XML, jest standardem stworzonym z my o przysz ci. Technicznie j zyki XHTML 1.0 i HTML 4.01 s bardzo podobne do siebie.

Znaczniki i atrybuty w nich u yte s praktycznie takie same, wi c przystosowanie si do specyfikacji XHTML 1.0 wymaga spe nienia jedynie kilku prostych zasad [2].

n ciwy tekst strony,

n znaczniki HTML, okre laj ce elementy strony, jej struktur , sposoby formatowania i hiper cza do innych stron lub informacji innego rodzaju [2].

Rozszerzenia dokumenty HTML maja posta .htm lub .html i mog by zapisane w dowolnym edytorze tekstowym, np. Notatnik-u czy Wordpad-zie.

Stron przygotowa em w darmowym polskim edytorze ezHTML.

Rys. 1. 1. Wygl d strony w edytorze HTML.

2.2. Kaskadowe arkusze stylów CSS 2.2.1. Czym jest CSS ?

Kaskadowe arkusze stylów CSS (Cascading Style Sheets) s do definiowania sposobu wy wietlania elementów HTML. Pozwalaj okre la rozmiar i kolor czcionki, definiowa odst py i rozmieszczenie tekstu oraz obrazów na stronie, zaawansowanego pozycjonowania i wielu innych rzeczy. Znaczniki HTML zosta y pierwotnie zaprojektowane jako narz dzia definiowania zawarto ci dokumentu. I tak znacznik nag ówka okre la : To jest nag ówek , znacznik akapitu stwierdza : To jest akapit tekstu , znacznik tabeli informowa : To jest tabela , a o uk adzie strony decydowa a przegl darka. Wraz z rozbudow mo liwo ci przegl darek zacz y pojawia si coraz to nowe znaczniki i atrybuty.

Tworzenie stron WWW, których zawarto by aby dobrze odseparowana od uk adu dokumentu, stawa o si coraz trudniejsze. Z tego w nie powodu konsorcjum W3C powo o do ycia kaskadowe arkusze stylów wprowadzono je do specyfikacji

HTML 4.0 [1]. Obecnie s one standardem i nieskorzystanie z nich jest du ym minusem dla ka dego profesjonalnego webmastera.

Arkusze stylów daj wiele mo liwo ci stosowania stylów. Definicja stylu mo e pojawi si w konkretnym elemencie HTML wówczas mówimy o stylu wpisanym , w obr bie elementu head strony HTML (to znaczy mi dzy znacznikami <head>

</head>) takie arkusze stylów nazywa si osadzonymi, lub mo e zosta pobrana z pliku zewn trznego jest to wtedy zewn trzny lub czony arkusz stylów. Wszystkie typy arkuszy CSS wpisane, osadzone i zewn trzne mo na stosowa jednocze nie.

czone arkusze stylów s przechowywane w zewn trznym pliku o rozszerzeniu nazwy .css. Sk adnia takiego arkusza jest podobna jak w przypadku arkusza osadzonego, a sformatowanie strony wymaga jedynie umieszczenia po czenia do pliku zawieraj cego definicj stylu.

Posta arkusza stylu CSS zale y od typu arkusza. I tak w przypadku stylu wpisanego a wi c umieszczonego w konkretnym znaczniku ma ona tak oto posta :

<znacznik style= ciwo : warto >

Ogólna posta osadzonego arkusza CSS jest nast puj ca:

<style type="text/css">

<!--

selektor {w ciwo : warto ;}

-->

</style>

Zawarta w obr bie elementu style definicja nast puj sk adni : selektor{w ciwo : warto }

Selektorem nazywa si znacznik czy te element, który chcesz zdefiniowa , ciwo to jego atrybut, który zmieniasz przypisuj c mu now warto [1].

2.2.2. ówne zalety CSS

Podstawowe zalety stylów CSS to mo liwo szybkiej i prostej modyfikacji stylu oraz b yskawiczna wr cz aktualizacja postaci dokumentu w przypadku takich zmian. Inne korzy ci p yn ce ze stosowania CSS:

Kilka typowych korzy ci CSS:

• kontrola uk adu graficznego wielu dokumentów z poziomu jednego arkusza stylów,

• bardziej precyzyjna kontrola uk adu graficznego,

• stosowanie ró nych uk adów graficznych zale nie od typu medium (ekran,

zamieszczono dwa zrzuty ekranu tej samej strony. W pierwszym przypadku widzimy stron bez u ytych stylów CSS a w drugim z u ytymi stylami:

Rys. 1. 2. Witryna bez u ycia stylów.

Rys. 1. 3. Strona, na której u yto arkusza stylów CSS.

2.3. Macromedia Flash 2.3.1. Opis, historia

W 1996 roku ameryka ska firma FutureWave wprowadzi a na rynek now aplikacj Future Splash Animator. Aplikacja wykorzystywa a grafik wektorow do prezentacji danych w sieci. Narz dzie do projektowania witryn internetowych, które pozwala o rozwija proste animacje cechowa a dobra jako generowanych obrazów przy ma ym rozmiarze plików zawieraj cych te obrazy. Od tego si wszystko zacz o.

Firmy zajmuj ce si oprogramowaniem zacz y prze ciga si w coraz to doskonalszych programach do tworzenia animacji FLASH. Firma MACROMEDIA szybko zrozumia a, e jest to dobry produkt, który ma przed sob przysz . Kupi a FutureWave i sta a si w cicielem programu Future Splash Animator. Na pocz tek Macromedia zmieni a nazw z Future Splash Animator na Macromedia FLASH. O sukcesie FLASHa zdecydowa y jego mo liwo ci w dziedzinie projektowania grafiki ytkowej i doskonale skonstruowany interaktywny samouczek do czony do programu, który pozwala w szybki i prosty sposób opanowa podstawy obs ugi rodowiska programistycznego oraz szybko opanowa tajniki j zyka ActionScript nieroz cznie zwi zanego z technologi FLASH [4].

3. Budowa witryny 3.1. Menu g ówne

Menu g ówne zosta o umieszczone po lewej stronie witryny. Jego wygl d w formie zwini tej mo emy zobaczy na rysunku 1.4. Sk ada si z 4 g ównych rozdzia ów: Wiadomo ci wst pne, ruch jednowymiarowy, rzuty i dodatki oraz 16 podrozdzia ów.

Rys. 1. 4 Menu g ówne strony.

Po klikni ciu, na który z rozdzia ów menu rozwinie si i b dziemy mogli wybra interesuj cy nas temat (Rys.1.5.) Wówczas po klikni ciu na wybrany podrozdzia z prawej strony witryny pojawi si wybrany temat. Ponowne klikni cie na rozwini tym rozdziale spowoduje zwini cie si go do pocz tkowej formy.

Rozdzia

3

Rys. 1. 5. Rozwini te menu g ówne.

3.2. Nawigacja

Na przygotowanej witrynie mo na znale prosty system nawigacyjny, który pozwala u ytkownikowi swobodnie porusza si po kolejnych dzia ach witryny.

Nawigacja umieszczona jest na ko cu ka dej strony witryny w formie dwóch strza ek (Rys.1.6).

w lewo zostanie ona pod wietlona na zielono i zobaczymy opis taki jak przedstawia rysunek 1.7:

Rys. 1. 7 Lewa strza ka nawigacyjna.

Klikniecie na pod wietlon strza spowoduje przeniesienie u ytkownika na poprzednia stron , na której opisany zosta temat dzia na wektorach. Je li strza ki przenosz nas pomi dzy g ównymi rozdzia ami, to jest to uwzgl dnione i zaznaczone w takiej formie jak na rysunku 1.7, tzn. na pocz tku zamieszczona jest informacja o tym czy przeniesieni zostaniemy na poprzedni czy na nast pn stron , potem wy wietlany jest temat g ównego rozdzia u a po dwukropku temat podrozdzia u.

Natomiast je li przenoszeni jeste my w obr bie jednego rozdzia u, to opis pod strza ma posta pokazan na rysunku 1.8.

Rys. 1. 8 Prawa strza ka nawigacyjna.

3.3. Rozdzia y i podrozdzia y strony

Opracowana witryna, jak ju wspomniano, posiada 4 g ówne rozdzia y oraz 16 podrozdzia ów. Postaram si je teraz krótko scharakteryzowa .

r Rozdzia 1: Wiadomo ci podstawowe

Znajduj si tutaj wiadomo ci podstawowe zwi zane z wektorami i dzia aniami na wektorach. W pierwszym podrozdziale zosta y wyja nione poj cia skalara, wektora, d ugo ci wektora, wektora zerowego oraz zosta y opisane 4 g ówne cechy wektorów: kierunek, zwrot, warto i punkt przy enia. Dodatkowo znajduje si tutaj animacja rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych . W drugim podrozdziale opisane zosta y dzia ania na wektorach: dodawanie, odejmowanie, mno enie przez liczb , mno enie skalarne i wektorowe oraz iloczyn mieszany.

Do czone animacje:

o Dodawanie wektorów:

• o zgodnych zwrotach,

• o przeciwnych zwrotach,

• metod trójk ta,

• metod równoleg oboku, o Odejmowanie wektorów:

• metod trójk ta, o Iloczyn:

• skalarny,

• wektorowy,

• mieszany.

r Rozdzia 2: Ruch jednowymiarowy

W tym dziale znajduje si 6 podrozdzia ów. Dwa pierwsze opisuj poj cia pr dko ci i przyspieszenia a nast pne konkretne ruchy: ruch jednostajny, jednostajnie zmienny przyspieszony i opó niony, ruch po okr gu oraz drgania harmoniczne.

W podrozdzia ach zwi zanych z ruchem jednostajnym i jednostajnie zmiennym opisano czym s te ruchy, kiedy mamy z nimi do czynienia oraz przedstawiono wykresy pr dko ci, przyspieszenia i drogi.

W podrozdziale zwi zanym z ruchem po okr gu przedstawione zosta y równania opisuj ce ten ruch, poj cia pr dko ci linowe, k towej oraz przyspieszenia liniowego i k towego. Na ko cu znajduje si tabelka, w której zosta y zestawione wielko ci liniowe i k towe charakteryzuj ce ruch po okr gu. Ostatni podrozdzia po wi cony zosta drganiom harmonicznym. Zawiera równanie opisuj ce ruch drgaj cy, informacje oraz wzory na temat pr dko ci i przyspieszenia chwilowego (rzeczywistego).

Do czone animacje to:

o Ruch po okr gu.

o Drgania harmoniczne.

r Rozdzia 3: Rzuty

W rozdziale 3 zaj to si rzutami cia a. Na pocz tku przedstawiono spadek swobodny, pó niej rzut pionowy zarówno w gór jak i w dó , rzut poziomy i rzut uko ny. Wi kszo podrozdzia ów zawiera informacje dotycz ce danego rzutu, wzory na parametryczne równania toru, pr dko i czas trwania rzutu. Podrozdzia y na temat rzutu poziomego oraz uko nego zawieraj dodatkowo informacje i wzory na temat zasi g rzutu, toru ruchu oraz wyst puj cego przyspieszenia.

Do czone animacje:

r Rozdzia 4: Dodatki

W ostatnim rozdziale umieszczono legend , w której zawarto spis u ytych symboli i oznacze na stronie internetowej, spis literatury, informacje o autorze oraz dodatek a zawieraj cy jednostki uk adu SI.

4. Zawarto witryny

4.1. Wiadomo ci podstawowe 4.1.1. Wektory i skalary

W fizyce mamy najcz ciej do czynienia z dwoma rodzajami wielko ci fizycznych:

r Skalarami, które posiadaj jedynie warto , np.: masa, obj to , czas, adunek, temperatura, praca.

r Wektorami posiadaj cymi warto , kierunek, zwrot i punkt przy enia, np.:

pr dko , przyspieszenie, si a.

Wektorem o pocz tku w punkcie A i ko cu w punkcie B nazywamy uporz dkowan par punktów (A, B) i oznaczamy symbolem uuurAB

lub AB (Rys.1.1.).

Rys. 1. 9 Graficzna interpretacja wektora.

Odleg mi dzy pocz tkiem i ko cem wektora nazywamy jego d ugo ci . Wektor, którego pocz tkiem i ko cem jest ten sam punkt nazywamy wektorem zerowym.

Ka dy wektor charakteryzuj 4 cechy, o których ju wspomnia em wcze niej:

r kierunek, który okre la prosta poprowadzona przez pocz tek i koniec wektora:

Rys. 1. 10 Ilustracja kierunku wektora.

r zwrot, czyli strona, w któr wektor jest zwrócony. Graficznie zwrot symbolizuje strza ka na ko cu wektora:

Rozdzia

4

Rys. 1. 11 Ilustracja zwrotów wektora.

r warto , czyli d ugo wektora, symbolizuje intensywno wielko ci, któr okre la wektor, np.: du a warto wektora pr dko ci mówi nam, e cia o si szybko b dzie si porusza .

r punkt przy enia, pocz tek wektora lub inaczej mo emy powiedzie , e jest to punkt zaczepienia wektora.

4.1.2. Dzia ania na wektorach

Dodawanie wektorów

Na pocz tek zajmiemy si przypadkiem, gdy mamy dwa wektory o tym samym kierunku. Na stronie znajduj si animacje dotycz ce dodawania wektorów:

a) o zgodnych zwrotach, b) o przeciwnych zwrotach.

Nast pnie przedstawione zosta y animacje dodawania wektorów o ró nych kierunkach:

a) metod trójk ta,

b) metod równoleg oboku.

Odejmowanie wektorów Odejmowanie wektorów ar

i br

w rzeczywisto ci sprowadza si do dodania wektorów ar

i b−r

, czyli wektora o przeciwnym zwrocie w stosunku do wektora br . Mno enie wektorów przez liczb (skalar)

Iloczynem wektora ar

przez liczb x jest wektor br

o warto ci równej iloczynowi warto ci liczbowej wektora ar

oraz liczby x. Wynikowy wektor ma kierunek zgodny z

kierunkiem wektora wyj ciowego i zwrot zgodny je li mno ona liczba x > 0 i przeciwny, gdy x < 0.

Mno enie wektorów

r Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów ar i br

nazywamy skalar równy iloczynowi warto ci bezwzgl dnych obu wektorów pomno ony przez cosinus k ta mi dzy nimi.

Rys. 1. 12 Ilustracja definicji iloczynu skalarnego.

Iloczyn skalarny jest iloczynem

a

r

b r cos α

, tj. d ugo ci wektora a

r

i d ugo ci wektora b

r cos

cego rzutem wektora b

r

r

Rys. 1. 13 Rzut wektora br

na wektor ar .

Iloczyn skalarny jest iloczynem

a r cos α

i

b

r

r

i d ugo ci wektora a

r cos

cego rzutem wektora a

r

r

Rys. 1. 14 Rzut wektora ar

na wektor br .

Je eli k t mi dzy wektorami oznaczymy przez α, a operacj mno enia skalarnego przez a br r⋅

, to otrzymamy:

cos a br r⋅ = a br r α

(1.1) Funkcja cosinus jest funkcja parzyst , tzn. cosα= cos(-α), w zwi zku z tym do iloczynu skalarnego stosuje si prawo przemienno ci:

a br r⋅ = ⋅b ar r

(1.2) Iloczyn skalarny podlega równie prawu rozdzielno ci mno enia skalarnego wzgl dem dodawania:

( )

a b r r r ⋅ + = ⋅ + ⋅ c a b r r a c r r

(1.3) Iloczyn skalarny mo e by równy zero, gdy:

• Którykolwiek z wektorów wyj ciowych jest wektorem zerowym.

• Wektory s do siebie prostopad e (a br r⋅ =0

, gdy a⊥b)

Wektor pomno ony skalarnie przez siebie b dzie równy kwadratowi modu u:

cos 0 2

a a^{r r}⋅ =aa^{r r} = a^{r (1.4)}

r Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym a br r×

dwóch wektorów ar i br

nazywamy wektor cr

prostopad y do p aszczyzny utworzonej przez te wektory, którego d ugo jest równa iloczynowi d ugo ci tych wektorów pomno onemu przez sinus k ta zawartego mi dzy nimi.

sin( , ) a b c

a b a b a b c

× =

× = =

r r r

r r r r r r r (1.5)

Rys. 1. 15 Ilustracja iloczynu wektorowego.

Wektor cr

jest prostopad y do p aszczyzny wyznaczonej przez wektory ar i br

. Zwrot jego jest okre lony regu ruby prawoskr tnej lub regu prawej r ki. Je eli palce prawej r ki zginaj si w kierunku obrotu wektora ar

na wektor br

, to kciuk wskazuje kierunek wektora c a br = ×r r

.

Natomiast je li w iloczynie wektorowym wektory ar i br

zamienimy miejscami, to aby otrzyma uk ad prawoskr tny, nale y przy r jak na rysunku 1.15b i zmieni zwrot wektora cr

na przeciwny, czyli − = ×cr b ar r .

Widzimy zatem, e do iloczynu wektorowego nie stosuje si prawo przemienno ci:

a b× = − ×b a

r r r r

(1.6) Iloczyn wektorowy natomiast podlega prawu rozdzielno ci mno enia wektorowego wzgl dem dodawania:

( )

ar× +b dr ur = × + ×a b a dr r r ur

(1.7) Do iloczynu wektorowego mo na równie zastosowa prawo czno ci mno enia przez dowolny skalar n:

(nar)× = ×br ar (nbr)=n a b(r r× )

(1.8) Iloczyn mieszany

Rys. 1. 16 Ilustracja iloczynu mieszanego.

( ) ( )

(a b cr r r× ⋅ =) a br r⋅ ⋅sinα ⋅ cr ⋅cosφ

(1.10) W interpretacji geometrycznej iloczyn mieszany jest równy liczbowo obj to ci równoleg cianu zbudowanego na wektorach ar

, br i cr

.

Je li wektory le w jednej p aszczy nie to iloczyn mieszany jest równy zeru.

Warto iloczynu mieszanego nie ulega zmianie, je eli w iloczynie tym dziemy zmienia kolejno wyrazów:

(a b cr r r× ⋅ = × ⋅ = ⋅ × ⋅) (b c ar r r) (c a br r r)

(1.11) Inne w ciwo ci iloczynu mieszanego:

( ) ( )

( ) ( )

a b c b a c a b c a c b

× ⋅ = − × ⋅

× ⋅ = − × ⋅

r r r r r r

r r r r r r (1.12)

Je eli

x y z

x y z

x y z

a a i a j a k b b i b j b k c c i c j c k

= + +

= + +

= + +

r r

r , (1.13)

to iloczyn mieszany mo na zapisa w postaci wyznacznika utworzonego ze wspó rz dnych wektorów:

( )

x y z

x y z

x y z

a a a

a b c b b b

c c c

× ⋅ = r r r

(1.14) Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów ar

, br i cr

jest wektorem powsta ym w wyniku wektorowego pomno enia wektora a przez iloczyn wektorowy wektorów br

i cr :

( ) ( ) ( )

a× × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅b c b a c c a b r r r r r r r r r

(1.15)

4.1.3. Opis animacji

Wszystkie animacje zosta y wykonane w technologii flash w programie Macromedia Flash 8.

Pierwsz animacj na jak natrafimy w rozdziale pierwszym jest animacja rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych (Rys.1.18).

Rys. 1. 17 Wygl d animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych.

Animacja przedstawia rzut wektora na uk ad wspó rz dnych, w której ytkownik mo e za pomoc trzech suwaków ustawi wielko ci kolejnych wspó rz dnych x, y, z wektora Aur

.

W kolejnym podrozdziale dotycz cym dzia na wektorach znajdziemy animacje przedstawiaj ca dodawanie dwóch wektorów o tym samym kierunku:

o o zgodnych zwrotach (Rys.1.18),

Rys. 1. 18 Wygl d animacji dodawania wektorów o zgodnych zwrotach.

o o przeciwnych zwrotach (Rys.1.19).

Rys. 1. 19 Wygl d animacji dodawania wektorów o przeciwnych zwrotach.

Nast pnie mamy animacje przedstawiaj ce dodawanie wektorów o ró nych kierunkach:

o metod trójk ta (Rys.1.20),

Rys. 1. 20 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod trójk ta.

o metod równoleg oboku (Rys. 1.21).

Rys. 1. 21 Wygl d animacji przedstawiaj cej dodawanie wektorów metod równoleg oboku.

Na rysunku 1.22 przedstawiona zosta a kolejna animacja dotycz ca odejmowania wektorów.

Rys. 1. 22 Wygl d animacji odejmowania wektorów.

Nast pnie natrafimy na animacje ilustruj iloczyn skalarny (Rys.1.23), w której u ytkownik zmieniaj c k t za pomoc suwaka, zmienia k t miedzy dwoma wektorami Aur

i Br

tworz cymi iloczyn skalarny.

Rys. 1. 23 Wygl d animacji iloczynu skalarnego.

Kolejna animacja przedstawia nam iloczyn wektorowy (Rys.1.24), w której ytkownik zmieniaj c k t za pomoc suwaka, zmienia k t miedzy dwoma wektorami Aur

i Br .

Rys. 1. 24 Wygl d animacji iloczynu wektorowego.

Na ko cu rozdzia u zosta a umieszczona animacja iloczynu mieszanego trzech wektorów (Rys.1.25). Sprawdzana jest zale no : (a b cr r r× ⋅ = ⋅ ×) a b cr r r( )

. Na ko cu animacji u ytkownik mo e sam przekona si , czy to jest prawd , podaj c wspó rz dne x, y, z ka dego z wektorów Aur

, Bur , Cur

i odczytuj c obliczone warto ci iloczynu mieszanego.

Rys. 1. 25 Wygl d animacji iloczynu mieszanego.

4.1.4. Instrukcje do animacji

Na pocz tek opisz animacj rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych, której wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.17. U ytkownik ma mo liwo ustawienia

wielko ci ka dej ze wspó rz dnych Ax, Ay i Az wektora Aur

. S do tego trzy suwaki (Rys.1.26). Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dó zmieniamy warto konkretnej wspó rz dnej. Zmiany warto ci obserwujemy w okienkach nad suwakami. W tym samym czasie z prawej strony animacji rysowany jest w uk adzie wspó rz dnych wektor Aur

i obliczana jest jego d ugo uurA .

Rys. 1. 26 Wygl d suwaków w animacji rzutu wektora na uk ad wspó rz dnych.

Przyjrzyjmy si teraz animacjom dotycz cym dodawania i odejmowania wektorów (Rys. 1.18-22). U ytkownik uruchamia animacj poprzez klikni cie na przycisk start . W czasie trwania animacji mo liwe jest jej zatrzymanie poprzez naci ni cie na przycisk pauza , naci ni cie przycisku start wznawia animacje. Po zako czonej animacji pojawia si przycisk powrót , którego naci ni cie spowoduje powrót do pocz tku animacji.

W animacjach iloczynu skalarnego (Rys.1.23) i iloczynu wektorowego (Rys.1.24) u ytkownik ma mo liwo ci za pomoc poziomego suwaka (Rys.1.27) ustawi k t (od 0 do 360 stopni) mi dzy wektorami. Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w prawo albo w lewo zmieniamy warto k ta wy wietlana pod suwakiem.

Ka da zmiana k ta od razu ma wp yw na animacje i u ytkownik mo e obserwowa zachowanie wektorów dla ró nych warto ci k ta.

Rys. 1. 27 Wygl d suwaka poziomego do ustawiania k ta.

Animacje iloczynu mieszanego (Rys. 1.25) uruchamiamy poprzez klikni cie na przycisk start . W czasie trwania animacji mo liwe jest jej zatrzymanie poprzez

wspó rz dne x, y, z (zakres od -9 do 99) dla ka dego z wektorów Aur , Bur

i Cur . Nast pnie klikni cie na przycisk Oblicz spowoduje obliczenie iloczynów wektorowych

( )

( )

Rys. 1. 28 Tabela obliczaj ca iloczyn mieszany.

4.2. Ruch jednowymiarowy 4.2.1. Pr dko

Pr dko

W dobie samochodów pr dko jest poj ciem, które poznajemy ju w dzieci stwie. Pr dko ciomierz samochodu wskazuje wielko chwilowej pr dko ci w kilometrach na godzin km

h

 

 

 lub w milach na godzin (mph od ang. miles per hour).

Pr dko V definiujemy jako zmian po enia cia a w jednostce czasu. Jednostk pr dko ci w uk adzie SI jest m

s

  

 (metr na sekund ).

Pr dko rednia

Niech w pewnej chwili dane cia o znajduje si w punkcie A. Po up ywie czas

k p

t t t

∆ = − cia o przemie ci o si po swoim torze do punktu B (Rys.1.29).

Rys. 1. 29 Interpretacja graficzna pr dko ci.

Pr dko redni z jak porusza o si cia o mo emy wyznaczy ze wzoru:

k p

k p

x x V x

t t t

∆ −

= =

∆ − (1.16)

V mo e przyjmowa warto wi ksz (mniejsz ) od zera lub równ zeru.

Tangens k ta nachylenia prostej AB na wykresie jest redni pr dko ci : V =tgα , gdzie tgα jest wspó czynnikiem kierunkowym prostej AB.

Zapami taj:

r Pr dko rednia nie jest pr dko ci rzeczywist (chwilow );

r Przesuni cie ∆ = −x x_k x_pnie jest d ugo ci drogi przebyta przez cia o; droga jest zawsze nieujemna;

r Pr dko rednia jest równa tgα , gdzie α jest k tem nachylenia prostej ( cz cej dwa punkty (x t_p, )_p i ( , )x t_{k k} ) wzgl dem osi czasu.

Pr dko rzeczywista (chwilowa)

Je li badaliby my pr dko cia a(przyspieszanie lub zwalnianie samochodu) w ci gu bardzo krótkich przedzia ów czasu (powinni my wzi przedzia y czasu niesko czenie bliskie zera), to wówczas mieliby my do czynienia z pr dko ci rzeczywist (chwilow ).

0

lim ( )

t

r dx t

V i

t dt

∆ →

= ∆ = ⋅

∆ ur r

(1.17)

4.2.2. Przyspieszenie

Przyspieszenie

Wszyscy w intuicyjny sposób rozumiemy co to jest przyspieszenie. Mo emy wywo przyspieszenie samochodu naciskaj c peda gazu. Im mocniej ten peda wciskamy, tym wi ksze przyspieszenie osi gniemy. Gdy trwa przyspieszenie, to pr dko ro nie. Natomiast naci ni cie na peda hamulca daje ten sam efekt, tyle tylko, e teraz mamy przyspieszenie ujemne.

Przyspieszeniem a nazywamy tempo zmian pr dko ci. Jednostk przyspieszenia w uk adzie SI jest m₂

s

  

 (metr na sekund kwadrat).

Przyspieszenie rednie

Niechaj w pewnej chwili dane cia o ma pr dko VA . Po up ywie czas

k p

t t t

∆ = − pr dko cia o wykonuj cego ruch prostoliniowy wynios a VB (Rys.1.30).

Rys. 1. 30 Interpretacja graficzna przyspieszenia.

Przyspieszenie rednie tego cia a w czasie ∆ = −t t_k t_p wyrazi mo emy wzorem:

k p

k p

V V V

a t t t

− ∆

= =

− ∆ (1.19)

Tangens k ta nachylenia prostej AB na wykresie z Rys. 1.30 jest rednim przyspieszeniem: a=tgα, gdzie α jest k tem nachylenia prostej AB.

Przyspieszenie rzeczywiste (chwilowe)

Je eli przyspieszenie zmienia si w czasie, to powinni my mierzy zmian pr dko ci ∆Vw ci gu krótkich odst pów czasu ∆t. Wówczas przyspieszenie rzeczywiste (chwilowe):

lim0 t

a V

∆ → t

= ∆

∆ r

(1.20) oraz

0

2 2

lim ( )

( ) ( )

t

V dV t

a i

t dt dV t d x t

a dt dt

∆ →

= ∆ = ⋅

∆

= =

r

r , (1.21)

gdzie ar

d ugo wektora przyspieszenia; wektor mo e mie zwrot dodatni (ruch przyspieszony) lub ujemny (ruch opó niony).

4.2.3. Ruch jednostajny

Ruch jednostajny prostoliniowy to taki, w którym pr dko ma sta warto : ( ) 0

V t =V =const (1.22)

Rys. 1. 31 Wykres pr dko ci od czasu w ruchu jednostajnie prostoliniowym.

Rys. 1. 32 Wykres drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Natomiast przyspieszenie wynosi

( ) 0

a t = (1.24)

Rys. 1. 33 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

4.2.4. Ruch jednostajnie zmienny

Ruch, w którym przyspieszenie ma sta warto :

a=a0 =const (1.25) nazywamy ruchem jednostajnie zmiennym prostoliniowym.

Ruch jednostajnie zmienny mo e by ruchem:

r Jednostajnie przyspieszonym, kiedy a>0

Rys. 1. 34 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

r Jednostajnie opó nionym, gdy a<0

Rys. 1. 35 Wykres przyspieszenia od czasu w ruchu jednostajnie opó nionym.

Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym ro nie lub maleje w sposób jednostajny (tzn. zmienia si zawsze o tak sam warto w jednostce czasu).

Rys. 1. 36 Pr dko w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b) opó nionym.

Drog w ruchu jednostajnie zmiennym wyznaczamy ze wzoru:

0 0 2

( ) 1

S t =S + ⋅ + ⋅ ⋅V t 2 a t (1.27)

Rys. 1. 37 Wykres drogi w jednostce czasu w ruchu jednostajnie zmiennym a) przyspieszonym, b) opó nionym.

4.2.5. Ruch po okr gu

Ruch po okr gu jest najprostszym rodzajem ruchu krzywoliniowego. Niech punkt P(x,y) porusza si po okr gu o promieniu r i rodku O. Wygodnie jest przyj uk ad wspó rz dnych x, y tak, aby pocz tek uk adu znajdowa si w rodku ko a (rys.1.38)

Rys. 1. 38 Ilustracja ruchu po okr gu.

Do opisania ruchu punktu P po okr gu pos ymy si równaniami:

[ ]

( ) cos ( )

x t = ⋅r θ t (1.28)

[ ]

( ) sin ( )

y t = ⋅r θ t (1.29)

Je li przez s oznaczymy drog przebyt przez cia o po okr gu w czasie, w którym droga k towa wynosi aθ to:

( ) ( )

s t = ⋅r θ t (1.30)

Pr dko liniowa i k towa

Ró niczkuj c obie strony równania (1.30) wzgl dem czasu otrzymamy ds d

dt dt r

= θ (1.31)

Wielko ^ds

dt jest pr dko ci liniow V cia a w ruchu po okr gu, natomiast wielko d

dt

θ b dziemy nazywa pr dko ci k towa i oznacza symbolemω.Jednostk pr dko ci k towej jest rad⋅s^-1. Zatem mamy teraz zale no

V = ⋅ω r (1.32)

W ruchu jednostajnym po okr gu chwilowa pr dko k towa const ²

ω = = TΠoraz (t t) ( )t

t t

θ θ θ

ω ∆= = + ∆ −

∆ ∆

( ) sin( 0)

y t = ⋅r ω⋅ +t θ (1.34)

Pr dko chwilowa Vur=( ,V V_{x y})

0 0

sin( ) sin( )

x

V dx r t V t

dt ω ω θ ω θ

= = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + (1.35)

0 0

cos( ) cos( )

y

V dy r t V t

dt ω ω θ ω θ

= = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + , (1.36)

gdzie V = ⋅r ω.

Rys. 1. 39 Ilustracja pr dko ci k towej.

Wektor pr dko ci k towej ωur

jest prostopad y do p aszczyzny, w której odbywa si ruch, w tym przypadku jest to okr g, a jego zwrot mo na wyznaczy przy pomocy regu y ruby prawoskr tnej (Rys. 1.39) Z rysunku wida , e zachodzi zale no :

Vur= ×ωur rr

(1.37) Mo emy uzna , e wektor pr dko ci liniowej Vur

jest iloczynem wektorowym pr dko ci towej ωur

i promienia okr gu r.

Przyspieszenie liniowe i k towe

Przyspieszenie chwilowe w ruchu jednostajnym po okr gu:

2

0

2

0

( , ),

cos( )

sin( )

x y

x x

y x

a a a

a dV r t

dt

a dV r t

dt

ω ω θ

ω ω θ

=

= = − ⋅ ⋅ ⋅ +

= = − ⋅ ⋅ ⋅ + gdzie

r

(1.38)

Zatem:

2 2

0 0

cos( ) sin( )

x y

a= ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅a i a j ω r ω⋅ +t θ ⋅ + ⋅i r ω⋅ +t θ ⋅j= − ⋅ω r

r r

(1.39)

W ruchu jednostajnym po okr gu przyspieszenie ca kowite a

r

jest skierowane do rodka okr gu. Dlatego nazywane jest przyspieszeniem do rodkowyma

r

. Warto wektora przyspieszenia ar

jest przyspieszeniem do rodkowym a

r

i wynosi:

2

2 V

a r

ω r

= ⋅ = r

(1.40) Warto przyspieszenia stycznego as w ruchu jednostajnym po okr gu wynosi 0.

Je li b dziemy rozpatrywa ruch jednostajnie zmienny po okr gu i zró niczkujemy równanie (1.37) po czasie otrzymamy:

s

dV d dt dt r

a r

ω ε

= ⋅

= ⋅

(1.41) Gdzie as jest przyspieszeniem stycznym, a ε jest przyspieszeniem k towym. W ruchu jednostajnie zmiennym po okr gu przyspieszenie k towe wynosi:

0

( ) ( )

limt

d t t t

const

dt t

ω ω ω

ε ∆ →

+ ∆ −

= = =

∆

ur ur

r

(1.42) Przyspieszenie do rodkowe b dzie wynosi :

2 d

a V

= r (1.43)

Natomiast przyspieszenie ca kowite:

2 2

s d

s d

a a a

a a a a

= +

= = +

r r r

r (1.44)

Zestawienie wielko ci k towych i liniowych

Ruch jednostajny po okr gu Ruch jednostajnie zmienny po okr gu const

ω = ω( )t =ω ε0+ ⋅t

ε =0 ε =const

( ) 0

S t = ⋅ ⋅ + ⋅r ω t r θ ( ) ₀ ^{1 2} S t = ⋅ ⋅ + ⋅ +r ω t r θ 2ε⋅ ⋅r t ( )t 0 t

θ = + ⋅θ ω ( ) ₀ ^{1 2}

t t 2 r t

θ = + ⋅ +θ ω ε⋅ ⋅

V = ⋅r ω V = ⋅r ω

2 n

a V

= r n ²

a V

= r

4.2.6. Drgania harmoniczne

W tym rozdziale zajmiemy si ruchem, w którym cia a przemieszczaj si tam i z powrotem sinusoidalnie w czasie (tzn. jak funkcja sinus lub cosinus czasu). Ruch ten powtarza si w regularnych odst pach czasowych jest równie zwany ruchem periodycznym (okresowym) . Z takim rodzajem ruchu mamy do czynienia wówczas, gdy cia o wyprowadzone zostaje ze stanu równowagi trwa ej. Przyk ady ruchu harmonicznego: kulka zawieszona na spr ynie, wahad o matematyczne, wahad o fizyczne, uk ad LC.

Zale no po enia cia a od czasu w ruchu harmonicznym Ruch cia a w ruchu harmonicznym mo emy opisa równaniem:

( ) sin( 0)

x t = ⋅A ω⋅ +t ϕ (1.45)

Wielko A jest amplitud ruchu maksymalnym odchyleniem cia a od po enia równowagi, natomiast ω stanowi cz sto ko owa drga , któr mo na wyrazi wzorem:

2

ω = T⋅Π (1.46)

T jest okresem w ruchu harmonicznym i wyra a si w jednostkach czasu, czyli np. w sekundach. Sta a ϕ₀to faza pocz tkowa naszego ruchu. Wraz z warto ci amplitudy okre la ona wychylenie w chwili pocz tkowej tj. dla t=0.

Pr dko i przyspieszenie chwilowe(rzeczywiste)

Warto ci pr dko ci w ruchu drgaj cym mo emy wyznaczy ze wzoru:

0 max 0

max

( ) cos( ) cos( ),

: 2

V t dx A t V t

dt

V A A

T

ω ω ϕ ω ϕ

ω

= = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ +

= ⋅ = ⋅ Π gdzie

(1.47)

Przyspieszenie natomiast wyznaczymy ze wzoru:

2

2

0 max 0

2

2 2

max 2

( ) sin( ) sin( ),

: 4

dV d x

a t A t a t

dt dt

a A A

T

ω ω ϕ ω ϕ

ω

= = = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ +

= ⋅ = ⋅ ⋅Π gdzie

(1.48)

4.2.7. Opis animacji

Wszystkie animacje zosta y wykonane w technologii flash w programie Macromedia Flash 8.

Pierwsz animacj na jak natrafimy w rozdziale drugim jest animacja ruchu po okr gu (Rys.1.40). Animacja przedstawia ruch kulki po okr gu, w której ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) pr dko ci pocz tkowej oraz promienia okr gu, po którym b dzie porusza si cia o. W czasie trwania animacji widoczny jest wektor pr dko ci pocz tkowej V0 (zielony wektor) oraz sk adowe Vx

(pomara czowy wektor) i Vy (niebieski wektor).

Rys. 1. 40 Wygl d animacji ruch po okr gu.

Drug animacj w tym rozdziale jest animacja drga harmonicznych (Rys.1.41). Przedstawia ona kulk zawieszon na spr ynie, w której u ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) amplitudy ruchu oraz okresu drga . W czasie trwania animacji rysowany jest wykres y(t).

Rys. 1. 41 Wygl d animacji drgania harmoniczne.

suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dó zmieniamy warto pr dko ci (z zakres od 0 do 100) lub promienia (0 do 100). Animacje uruchamiamy naciskaj c na przycisk start . Naci ni cie przycisku powrót powoduje zatrzymanie i powrót animacji do pozycji pocz tkowej

.

Rys. 1. 42 Wygl d suwaków w animacji ruchu po okr gu.

Drug animacj w tym rozdziale jest animacja drga harmonicznych (Rys.1.41). Animacja przedstawia kulk zawieszon na spr ynie, w której ytkownik ma mo liwo zmiany za pomoc dwóch suwaków (Rys.1.43): amplitudy ruchu (od 0 do 100) oraz okresu drga (od 0 do 10). Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w prawo albo w lewo zmieniamy warto amplitudy ruchu lub okresu drga . Równocze nie wraz z ruchem kulki na spr ynie rysowany jest wykres zale no ci:y t( )= ⋅A sin(ω⋅ +t φ₀).

Rys. 1. 43 Wygl d suwaków w animacji drga harmonicznych.

Animacje uruchamiamy naciskaj c na przycisk . Naci ni cie przycisku powoduje zatrzymanie i powrót animacji do pozycji pocz tkowej

.

Przeprowad my teraz symulacje dla takich warto ci: amplituda A=100moraz okres drga T =8, 66s. Zobaczmy teraz na rysunku 1.44 jak wygl da wykres y t( ) oraz zako czona animacja.

Rys. 1. 44 Wygl d zako czonej animacji drga harmonicznych.

4.3. Rzuty

4.3.1. Spadek swobodny

Spadek swobodny traktujemy jako lot cia a upuszczonego swobodnie z wysoko ci H0 (bez pr dko ci pocz tkowej). Ruch ten jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Na cia o dzia a si a grawitacji nadaj ca mu sta e przyspieszenie

9, 81m2

a g

= = s .

Wysoko w spadku swobodnym

W spadku swobodnym cia o porusza si ruchem jednostajnie przyspieszonym, wi c do obliczenia wysoko ci jak przebywa mo emy pos si wzorem (1.27), uwzgl dniaj c, e pr dko pocz tkowa V0 wynosi 0, przyspieszenie jest sta e a = gr r oraz drog traktujemy jako wysoko :

2

( ) 0

2

y t =H −g t⋅ (1.49)

Otrzymali my parametryczne równanie toru w spadku swobodnym.

Czas spadku

Na podstawie parametrycznego równania toru (1.49) mo emy wyznaczy czas spadku (dla ( ) 0y t = ):

2 0

2

0

0 2

2 H g t

g t H

= − ⋅

⋅ = ⋅

(1.50)

2 H0

t g

= ⋅ (1.51)

Pr dko w spadku swobodnym

Zaczniemy od pr dko ci pocz tkowej V0, która w spadku swobodnym przyjmuje warto 0. Pr dko pionowa Vy w spadku swobodnym ro nie jednostajnie (tzn. co sekund o tyle samo) i mo emy j wyrazi wzorem:

Vy = − ⋅ ⋅g t j (1.52) Pr dko jest ujemna, bo skierowana jest w dó , a przyj li my umownie e kierunek w gór jest dodatni. Je li interesuje nas tylko warto pr dko ci a nie jej zwrot, to mo emy pomin minus we wzorze.

Pr dko ko cow Vk (tu przed uderzeniem o ziemi ) mo emy obliczy wstawiaj c czas spadku t do równania (1.52):

0

2 0

2

2

k

k

V g H g H g

V g

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

=

(1.53)

i ostatecznie otrzymujemy:

2 0

Vk = ⋅ ⋅g H (1.54)

4.3.2. Rzut pionowy

Rzut pionowy nale y rozbi na dwie mo liwo ci: rzut pionowy w gór oraz rzut pionowy w dó .

Rzut pionowy w gór

W tym przypadku mamy do czynienia z rzutem cia a pionowo do góry z pocz tkow pr dko ci V0 skierowan w gór . Przez ca y czas trwania rzutu na cia o dzia a przyspieszenie ziemskie gr

skierowane pionowo w dó .

Rys. 1. 46 Pr dko i przyspieszenie ziemskie w rzucie pionowym w gór

Parametryczne równanie toru

2

0 0 0

( ) ( )

2

y t =H + ⋅ −V t g t⋅ =H +s t (1.55)

gdzie ( ) ₀ ² 2

s t =V t−g t⋅ jest drog w ruchu jednostajnie opó nionym.

Rys. 1. 47 Pr dko w rzucie pionowym w gór .

Pr dko Vy po up ywie czasu t od wyrzucenia w gór obliczy mo na ze wzoru:

0

Vy = − ⋅V g t (1.56)

Rys. 1. 48 Wykres po enia cia a od czasu.

W pocz tkowej fazie rzutu cia o wznosi si i porusza si ruchem jednostajnie opó nionym z opó nieniem równym przyspieszeniu ziemskiemu g. Ruch w gór trwa do momentu, a cia o osi gnie pr dko chwilow Vy = 0 (cia o si zatrzyma). W tym momencie cia o osi ga maksymalna wysoko wznoszenia Hmax.

Czas wznoszenia tw potrzebny do osi gni cia maksymalnej wysoko ci Hmax

mo emy wyznaczy korzystaj c ze wspó rz dnej y-kowej pr dko ci cia a w dowolnej chwili t:

0

0

( ) ( ) 0

0

y w

y w

V t V g t V t

V g t

= − ⋅

=

− ⋅ =

(1.57)

zatem:

0 w

t V

= g (1.58)

Natomiast warto Hmax wyznaczymy z równania 1.55, wstawiaj c za t warto z równania 1.51 otrzymamy:

2 0

max 2

H V

= g

⋅ (1.59)

Druga faza rzutu to swobodny spadek cia a z wysoko ci Hmax z przyspieszeniem równym g.

Czas spadku ts cia a wyznaczymy korzystaj c ze wzoru 1.51 i wstawiaj c w miejsce H0 nasz maksymalna wysoko _max ⁰²

2 H V

= g

⋅ , zatem:

2

max 0 0

2 2

s 2

H V V

t g g g g

= ⋅ = ⋅ =

⋅ (1.60)

Widzimy, e czas spadania cia a tsjest taki sam jak czas wznoszenia tw. Mo emy teraz obliczy ca kowity czas tclotu cia a, który b dzie wynosi :

2 0

c w s

t t t V g

= + = ⋅ (1.61)

Rzut pionowy w dó

W tym rzucie podobnie jak w rzucie pionowym w gór wyst puje pr dko pocz tkowa V0, lecz w tym przypadku jest ona skierowana w dó , tak samo jak kierunek przyspieszenia ziemskiego g.

Rys. 1. 49 Faza pocz tkowa w rzucie pionowym w dó .

Rzut pionowy w dó mo emy rozpatrywa jako ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem równym g i pr dko ci pocz tkow ró od 0, gdy dla V₀ =0mieliby my do czynienia ze spadkiem swobodnym.

Parametryczne równanie toru:

2

0 0 0

( ) ( )

2

y t =H − ⋅ −V t g t⋅ =H −s t , (1.62)

gdzie ( ) ₀ ² 2

s t =V t+g t⋅ jest drog w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Pr dko w rzucie pionowym w dó

Pr dko Vy cia a w dowolnej chwili wyznaczamy korzystaj c ze wzoru:

0

Vy = + ⋅V g t (1.63)

Pr dko ko cow mo emy obliczy ze wzoru:

2

0 2 0

Vk = V + ⋅ ⋅g H (1.64)

4.3.3. Rzut poziomy

Rzut poziomy to ruch w polu grawitacyjnym Ziemi, w którym mamy do czynienia z lotem cia a pocz tkowo umieszczonego na wysoko ci H0 i rzuconego z pocz tkow pr dko ci V0.

Rys. 1. 50 Faza pocz tkowa rzutu poziomego

Cia o wykonuje równocze nie ruch w kierunku poziomym oraz w kierunku pionowym. Pocz tkowa pr dko V0 zmienia po enie cia a w kierunku poziomym a si a grawitacji w kierunku pionowym.

Rzut poziomy mo na rozpatrywa jako z eniem dwóch ruchów:

r Jednostajnego w kierunku poziomym,

r Jednostajnie przyspieszonego bez pr dko ci pocz tkowej (swobodnego spadku) w kierunku pionowym.

Parametryczne równania toru:

2

( ) 0

2

y t =H −g t⋅ (1.65)

( ) _x

x t = ⋅V t (1.66)

Pr dko w rzucie poziomym

Je li wprowadzimy kartezja ski uk ad wspó rz dnych to:

• Pr dko w kierunku osi OX b dzie si wyra wzorem:

0

Vx =V (1.67)

• Natomiast pr dko w kierunku osi OY:

Vy = − ⋅g t (1.68)

Warto pr dko ci chwilowej V w rzucie poziomym w dowolnej chwili t b dzie wynosi :

2 2 2 2 2

0

x y

V = V +V = V +g ⋅t (1.69)

Wspó rz dne rzuconego poziomo cia a w pewnej chwili t b dziemy wyra wzorami:

x= ⋅V t (1.70)

Przyspieszenie

W rzucie poziomym mamy do czynienia z przyspieszeniem stycznym as i przyspieszeniem normalnym an. Zgodnie z definicja:

2

2 2 2

0 s

dV g t

a dt V g t

= = ⋅

+ ⋅ (1.72)

Przyspieszenie normalne wyznaczymy wykorzystuj c zwi zek a_s²+a_n² =g², zatem:

2 2 0

2 2 2

0

n s

a g a g V

V g t

= − = ⋅

+ ⋅ (1.73)

Czas trwania rzutu poziomego

Czas rzutu poziomego jest równy czasowi ka dego ruchu sk adowego.

Obliczymy go jako czas swobodnego spadku z wysoko ci H0 (1.51), zatem:

2 H0

t g

= ⋅ (1.74)

Tor rzutu poziomego

Korzystaj c ze wzorów (1.65) i (1.66) mo na wyznaczy równanie toru rzutu.

Na pocz tku nale y wyeliminowa ze wspó rz dnych po enia cia a czas t, zatem przekszta camy równanie pierwsze do postaci

0

t x

=V i wstawiamy do równania (1.65). Otrzymujemy:

2

0 2

2 0

y H g x

= − V ⋅

⋅ (1.75)

Jest to równanie paraboli, gdzie warto ci g i V0 sta e dla danego ruchu. Zatem mo na stwierdzi , e torem rzutu poziomego jest parabola.

Zasi g rzutu poziomego

Zasi g rzutu poziomego A jest równy drodze przebytej w kierunku poziomym ruchem jednostajnym w czasie t:

0 0

A V t V 2 h g

= ⋅ = ⋅ ⋅ (1.76)

4.3.4. Rzut uko ny

Rzut uko ny to ruch w polu grawitacyjnym Ziemi blisko jej powierzchni, w którym nadaje si cia u pr dko pocz tkow skierowan do poziomu pod k tem α.

Je eli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa si ze sta ym przyspieszenie m grawitacyjnym g. Przyspieszenie jest skierowane "w dó " to wygodnie jest wybra uk ad wspó rz dnych tak, e x b dzie wspó rz dn poziom , a y pionow .

Rys. 1. 51 Ilustracja rzutu uko nego.

Zauwa my, e podobnie jak w rzucie poziomym, tak i w rzucie uko nym, cia o wykonuje jednocze nie ruch w poziomie i w pionie. Rzut uko ny jest z eniem dwóch ruchów:

• w kierunku poziomym ruch jednostajny z pr dko ci Vx,

• w kierunku pionowym ruch jest jednostajnie zmienny (do Hmax jednostajnie opó niony (rzut pionowy do góry z pr dko ci Vy), od Hmax jednostajnie przyspieszony (swobodny spadek).

Parametryczne równanie toru:

( ) _x 0 cos

x t = ⋅ = ⋅V t V α⋅t (1.77)

2 2

( ) 0 sin

2 2

y

g t g t

y t = ⋅ −V t ⋅ = ⋅V α⋅ −t ⋅ (1.78) Pr dko w rzucie uko nym

Sk adowe pr dko ci pocz tkowej V0 wynosz odpowiednio:

0 0

0 0

cos sin

X Y

V V

V V

α α

= ⋅

= ⋅ (1.79)

Natomiast warto wektora pr dko ci chwilowej:

( _x, _y) dx dy

V V V i j

dt dt

= = ⋅ + ⋅

ur uur uur

, (1.80)

Przyspieszenie rzucie uko nym

Wektor przyspieszenia ca kowitego:

( , ) ,

0

x y

x y

x y

dV dV

a a a i j

dt dt

a

a g

= = ⋅ + ⋅

=

= − gdzie : r

(1.82)

Przyspieszeni styczne:

2 2

0 0

( ) ( cos ) ( sin )

s s

dV d

a a t V V g t

dt dt α α

= = = ⋅ + ⋅ − ⋅ (1.83)

Przyspieszenie normalne:

2 2

n n( ) s

a =a t = g −a (1.84)

Czas trwania rzutu uko nego

Czas trwania rzutu uko nego jest równy sumie czasu wznoszenia si cia a na maksymaln wysoko Hmax i czasu spadania cia a z wysoko ci Hmax.

Czas wznoszenia si tw :

0

( ) 0

sin 0

y w

w

V t

V α g t

=

⋅ − ⋅ = Zatem:

0 sin

w

t V

g

⋅ α

= (1.85)

Wysoko Hmax jest maksymalna wysoko ci na jak wzniesie si cia o i mo emy j obliczy korzystaj c z parametrycznego równania toru (1.78):

2

max ( ) 0 sin

2

w

w w

H = y t = ⋅V α⋅ −t g t⋅ (1.86)

Wstawiaj c teraz za tw warto z równania (3.33) otrzymamy:

2 2

0 max

sin 2 H V

g α

= ⋅

⋅ (1.87)

Czas spadku z wysoko ci Hmax:

max 0

2 sin

s

H V

t g g

α

⋅ ⋅

= = (1.88)

Jak widzimy, czas wznoszenia równy jest czasowi spadku. Ca kowity czas ruchu dziemy oblicza ze wzoru:

2 0 sin

c w s

t t t V

g α

= + = ⋅ ⋅ (1.89)

Zasi g rzutu

Do obliczenia zasi gu rzutu w rzucie uko nym, czyli drogi przebytej przez cia o w kierunku poziomym, skorzystamy z parametrycznego równania toru (1.8):

max ( )_{c x c} x =x t = ⋅V t

Wstawiaj c teraz odpowiednie wzory za Vx i tc otrzymamy:

2

0 0

max 0

2 sin 2 sin 2

cos V V

x V

g g

α α

α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = (1.90)

Równanie toru

Rys. 1. 52 Ilustracja toru rzutu uko nego.

Tor rzutu uko nego ma kszta t paraboli skierowanej ramionami w dó i mo na go wyznaczy ze wzoru:

2 2 0

( ) 2 _X

y x tg x g x α V⋅

= ⋅ −

⋅ (1.91)

4.3.5. Opis animacji

W rozdziale trzecim na pierwsz animacj na jak natrafimy jest animacja spadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.53. U ytkownik ma mo liwo wyboru wysoko ci (za pomoc suwaka) z jakiej upuszczone zostaje cia o. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektora pr dko ci, w czenie/wy czenie siatki pomagaj cej obserwowa zmian po enia cia a oraz przyjrzeniu si symulacji dla kilku ró nych obiektów (kulka, samochód, fortepian, rower i pi ka). W trakcie trwania animacji mo emy obserwowa czas trwania animacji, warto wektora pr dko ci oraz rysowane s wykresy: pr dko ci z jak porusza si spadaj ce cia o oraz drogi, któr to cia o przebywa. U ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 53 Wygl d animacji spadku swobodnego.

Rys. 1. 54 Wygl d przycisków w animacji spadku swobodnego.

Nast pnymi animacjami w rozdziale trzecim s animacje rzutu pionowego w gór (Rys.1.55) oraz rzutu pionowego w dó (Rys.1.56). U ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) wysoko ci z jakiej zrzucane zostaje cia o oraz pr dko ci pocz tkowej. Opcje daj nam mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektora pr dko ci oraz w czenie/wy czenie siatki pomagaj cej obserwowa zmian po enia cia a. Za pomoc przycisków "start", "pauza" i

"powrót" (Rys.1.54) mo na sterowa animacj . W czasie trwania animacji u ytkownik mo e obserwowa chwilowe po enie cia a, warto wektora pr dko ci oraz czas trwania rzutu. W obu symulacjach nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 55 Wygl d animacji rzutu pionowego w gór .

pocz tkowej nadawanej cia u. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowa wspó rz dne poruszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto pr dko Vx, Vy i V oraz przyspieszenia as i an. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowania wektorów pr dko ci V, Vx, Vy, wektorów przyspieszenia as, an, g oraz czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po enie poruszaj cego si cia a.

ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 57 Wygl d animacji rzutu poziomego.

Ostatnia animacj , z która znajduje si w rozdziale trzecim jest animacja rzutu uko nego (Rys.1.58). U ytkownik ma mo liwo wyboru (za pomoc suwaków) wysoko ci z jakiej wystrzelone zostaje cia o oraz k t, pod którym b dzie odbywa si ruch cia a. W trakcie symulacji u ytkownik mo e obserwowa wspó rz dne poruszaj cego si cia a, czas trwania rzutu, warto ci pr dko ci Vx, Vy i V oraz przyspieszenia as i an. Dodatkowo istnieje mo liwo prze ledzenia toru rzutu, obserwowaniu wektorów pr dko ci V, Vx, Vy, wektorów przyspieszenia as, an, g oraz czenia/wy czenia siatki pomagaj cej ledzi po enie poruszaj cego si cia a.

ytkownik za pomoc przycisków "start", "pauza" i "powrót" (Rys.1.54) mo e sterowa animacj . W symulacji nie zosta uwzgl dniony opór powietrza.

Rys. 1. 58 Wygl d animacji rzutu uko nego.

4.3.6. Instrukcje do animacji

Na pocz tek animacja spadku swobodnego, której wygl d mo emy zobaczy na rysunku 1.53. U ytkownik za pomoc suwaka ma mo liwo ustawienia wysoko ci z której b dzie cia o upuszczane. Aby zmieni po enie suwaka naje amy na niego myszka, przytrzymujemy lewy przycisk myszy i przesuwaj c suwak w gór albo w dó zmieniamy warto wysoko ci (z zakres od 0 do 100 m). U ytkownik mo e przed rozpocz ciem symulacji wybra trzy opcje u atwiaj ce obserwowanie zachowania cia a podczas spadku. Uaktywniamy je zaznaczaj c przy pomocy myszki bia ego kwadratu obok nazwy opcji (Rys.1.59). Poka siatk wy wietla nam na ekranie pomocnicz siatk , która pomaga w obserwowaniu lotu cia a. Opcja Pokaz tor pokazuje nam toru ruch pocisku od pocz tku do ko ca animacji. Ostatnia opcja

Poka wektor wy wietla nam wektor pr dko ci zmieniaj cy si podczas spadku cia a.