1. Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym oraz f ∈ L, 2(U ). Rozwa˙z problem brzegowy
−∆u(x, y) + uxy(x, y) = −u(x, y) + f (x, y) , u(x, y) = 0 dla (x, y) ∈ ∂U .
Wyka˙z, ˙ze problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiiazanie u ∈ H, 10(U ). Jak regularne jest to rozwiazanie gdy f ∈ H, 1(U )?
2. Niech λ ∈ R, U = (0, π)3 ⊂ R3oraz f (x, y, z) = 2005 sin x sin y sin 2z. Rozwa˙z problem brzegowy
−∆u(x, y, z) = λu(x, y, z) + f (x, y, z) , u(x, y, z) = 0 dla (x, y, z) ∈ ∂U .
Dla jakich λ ∈ R problem ten posiada sÃlabe rozwiazania? Dla jakich λ ∈ R problem ten, posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie? Znajd´, z wszystkie rozwiazania tego problemu, dla λ = 0 (o ile istnieja).,
3. Niech U = B(0, 1) ⊂ R2 oraz f ∈ L2(U ). Rozwa˙z problem brzegowy
−uxx(x, y)−3uyy(x, y)+(2xuy(x, y))x = −5u(x, y)+f (x, y) , u(x, y) = 0 dla (x, y) ∈ ∂U . Wyka˙z, ˙ze problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie u ∈ H, 10(U ). Jak regu-larne jest to rozwiazanie gdy f ∈ C, ∞( ¯U )?
4. Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym oraz f ∈ L, 2(U ). Rozwa˙z problem brzegowy
−∆u(x, y) + uxy(x, y) = −u(x, y) + f (x, y) , u(x, y) = 7 dla (x, y) ∈ ∂U .
Wyka˙z, ˙ze problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie u ∈ H, 1(U ). Jak regu-larne jest to rozwiazanie gdy f ∈ H, 2(U )?
5. Niech {wk} bedzie baz, a ortonormaln, a w L, 2(U ) (U zbi´or otwarty i ograniczony) oraz baza ortogonaln, a w H, 01(U ). Niech f ∈ L2(U ) i funkcja um = Pm
k=1dkmwk speÃlnia ukÃlad r´owna´n
Z
U
DumDwkdx = Z
U
f wkdx − Z
U
umwkdx
dla k = 1, 2, . . . , m. Wyka˙z, ˙ze ciag {u, m} posiada podciag sÃlabo zbie˙zny w H, 01(U ) do sÃlabego rozwiazania problemu −∆u = f − u w U oraz u = 0 na ∂U .,
6. Niech U ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym. Niech {f, n} bedzie ci, agiem, funkcji rzeczywistych, ciagÃlych zbie˙znym jednostajnie do f na R oraz speÃlniaj, acym jedno-,
stajny warunek wzrostu |fn(z)| ≤ C(1 + |z|) dla ka˙zdej liczby z ∈ R. Niech {un} ⊂ H01(U ) bedzie ci, agiem sÃlabych rozwi, aza´, n ciagu problem´, ow −∆un = fn(un), un(x) = 0 dla x ∈ ∂U . Wyka˙z, ˙ze istnieje podciag {u, nk} taki, ˙ze unk * u w H01(U ) oraz u jest sÃlabym
rozwiazaniem problemu −∆u = f (u), u(x) = 0 dla x ∈ ∂U .,
7. (a) Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym oraz f ∈ L, 2(U ). Rozwa˙z problem brzegowy
−9uxx(x, y)+10uxy(x, y)−4uyy(x, y)+2006ux(x, y) = f (x, y) , u(x, y) = 0 dla (x, y) ∈ ∂U . Wyka˙z, ˙ze problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie u ∈ H, 10(U ).
(b) Niech U = B(0, 1) ⊂ R2. Wyka˙z, ˙ze nastepuj, acy problem brzegowy,
−9uxx(x, y)+10uxy(x, y)−4uyy(x, y)+2006ux(x, y) = 0 , u(x, y) = x+y dla (x, y) ∈ ∂U posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie u ∈ H, 1(U ). Jak regularne jest to rozwiazanie?, Ponadto znajd´z supUu oraz infUu.
8. Niech U ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z gÃladkim brzegiem. Niech, f ∈ C∞(U ) oraz g ∈ C∞(∂U ). Wyka˙z, ˙ze sÃlabe rozwiazanie problemu,
−∆u(x) + 2006uxn(x) = f (x) , u(x)|∂U = g(x) jest klasyczne oraz, ˙ze istnieje staÃla C > 0 niezale˙zna od u, f, g taka, ˙ze
sup
U
u(x) ≤ C(kf kL∞(U )+ kgkL∞(∂U )) .
Wskaz´owka: Rozwa˙z funkcje w(x) = (kf k, L∞(U )/2006)xn.
9. Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z gÃladkim brzegiem. Oznaczmy, przez B[u, v] forme dwuliniow, a zdefiniowan, a na przestrzeni H, 1(U ) i zwiazan, a z operato-, rem Lu(x, y) = −uxx(x, y) − 2uxy(x, y) − 2uyy(x, y).
(a) Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej dodatniej liczby rzeczywistej λ problem abstrakcyjny: dla f ∈ L2(U ) szukamy u ∈ H1(U ) takiego, ˙ze B[u, v] + λ(u, v) = (f, v) dla wszystkich v ∈ H1(U ) posiada dokÃladnie jedno rozwiazanie.,
(b) Jakiemu klasycznemu zaganieniu brzegowemu odpowiada ten problem abstrakcyjny?
W przypadku λ = 0 znajd´z wszystkie f ∈ L2(U ) dla kt´orych powy˙zszy problem abstrak-cyjny posiada rozwiazanie.,
10. Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym. Niech {w, k} bedzie baz, a, ortonormalna w L, 2(U ) oraz ortogonalna w H, 01(U ). Ponadto niech f ∈ L2(U ) oraz funkcja um ∈ lin{w1, . . . , wm} speÃlnia r´owno´sci
Z
U
Dum(x)Dwk(x) dx + 2006 Z
U
∂xnum(x) wk(x) dx = Z
U
f (x)wk(x) dx k = 1, . . . , m . Wyka˙z, ˙ze ciag {u, m} posiada podciag {u, ml} taki, ˙ze uml zbiega sÃlabo do u w przestrzeni H01(U ) oraz, ˙ze u jest sÃlabym rozwiazaniem problemu,
−∆u(x) + 2006uxn(x) = f x ∈ U , u|∂U = 0 .
11. Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z gÃladkim brzegiem., (a) W zbiorze U rozwa˙z nastepuj, acy problem brzegowy,
Lu(x, y) = −uxx(x, y) − 2uxy(x, y) − 5uyy(x, y) + 2yuy(x, y) − 2xux(x, y) = f (x, y) oraz u(x, y) = 0 dla (x, y) ∈ ∂U . Podaj sÃlabe sformuÃlowanie tego problemu. Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji f ∈ L2(U ) problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie., (b) Niech f ∈ C∞(U ), g ∈ C∞(∂U ) oraz u ∈ H1(U ) niech bedzie sÃlabym rozwi, azaniem, problemu Lu(x, y) = f (x, y) w zbiorze U oraz u(x, y) = g(x, y) dla (x, y) ∈ ∂U . Wyka˙z,
˙ze istnieje staÃla C > 0 niezale˙zna od u, f, g taka, ˙ze sup
U
u(x) ≤ C(kf kL∞(U )+ kgkL∞(∂U )) .
Wskaz´owka: Rozwa˙z funkcje w(x) = (−kf k, L∞(U )/2)xy.
12. Niech U ⊂ Rnbedzie zbiorem otwartym, ograniczonym, sp´, ojnym z gÃladkim brzegiem.
Niech λ1 bedzie gÃl´, owna warto´sci, a wÃlasn, a operatora −∆ w zbiorze U z zerowymi danymi, brzegowymi. Oznaczmy przez ϕ funkcje wÃlasn, a odpowiadaj, ac, a warto´sci wÃlasnej λ, 1 i taka,,
˙ze w pewnym ustalonym punkcie x∗ zbioru U ϕ(x∗) = 1.
(a) W zbiorze U rozwa˙z nastepuj, acy problem brzegowy,
−∆u(x) + Dϕ(x)Du(x) = f (x) , u|∂U = 0 .
Podaj sÃlabe sformuÃlowanie tego problemu. Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji f ∈ L2(U ) problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie.,
(b) Niech u bedzie sÃlabym rozwi, azaniem problemu,
−∆u(x) + Dϕ(x)Du(x) = λ1ϕ(x) , u|∂U = 0 . Wyka˙z, ˙ze u jest funkcja gÃladk, a oraz, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ U u(x) < ϕ(x).,
13. Niech U ⊂ Rnbedzie zbiorem otwartym, ograniczonym, sp´, ojnym z gÃladkim brzegiem.
Niech w ∈ C∞(U ) bedzie funkcj, a superharmoniczn, a w U , tak, a ˙ze w(x), ∂U = 0.
(a) W zbiorze U rozwa˙z nastepuj, acy problem brzegowy,
−∆u(x) + Dw(x)Du(x) = f (x) , u|∂U = 0 .
Podaj sÃlabe sformuÃlowanie tego problemu. Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji f ∈ L2(U ) problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie.,
(b) Niech u bedzie sÃlabym rozwi, azaniem problemu,
−∆u(x) + Dw(x)Du(x) = −∆w(x) , u|∂U = 0 . Wyka˙z, ˙ze u jest funkcja gÃladk, a oraz, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ U u(x) < w(x).,
14. Niech U ⊂ Rnbedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z gÃladkim brzegiem. Oznaczmy, przez B[u, v] forme dwuliniow, a zdefiniowan, a na przestrzeni H, 1(U ) i zwiazan, a z operato-, rem Lu(x) = −ux1x1(x) − 2ux2x2(x) − . . . − nuxnxn(x) − 2ux1xn(x).
(a)Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej dodatniej liczby rzeczywistej λ problem abstrakcyjny: dla f ∈ L2(U ) szukamy u ∈ H1(U ) takiego, ˙ze B[u, v] + λ(u, v) = (f, v) dla wszystkich v ∈ H1(U ) posiada dokÃladnie jedno rozwiazanie.,
(b) Jakiemu klasycznemu zaganieniu brzegowemu odpowiada ten problem abstrakcyjny?
W przypadku λ = 0 znajd´z wszystkie f ∈ L2(U ) dla kt´orych powy˙zszy problem abstrak-cyjny posiada rozwiazanie., gdzie L jest operatorem zwiazanym z form, a B.,
16. Niech U ⊂ R3bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym oraz Lu(x, y, z) = −∆u(x, y, z)−, 2uzz(x, y, z) + uxz(x, y, z) + ex(uz(x, y, z) − ux(x, y, z)).
(a) Niech f ∈ L2(U ). Podaj definicje sÃlabego rozwi, azania problemu brzegowego Lu(x, y, z) =, f (x, y, z) w zbiorze U oraz u|∂U(x, y, z) = 0.
(b) Wyka˙z, ˙ze problem brzegowy z punktu (a) posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie., (c) Niech f (x, y, z) = ex(y2+ z2) oraz dodatkowo niech U bedzie zbiorem z gÃladkim brze-, giem. Wyka˙z, ˙ze wtedy sÃlabe rozwiazanie u jest klasyczne oraz u(x, y, z) ≥ 0 w zbiorze, U .
17. Niech U ⊂ Rn (n ≥ 2) bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym. Niech symetryczna, macierz liczbowa {aij}i,j=1,...n bedzie dodatnio okre´slona. Ponadto niech λ ∈ R b, edzie,
warto´scia wÃlasn, a operatora Lu(x) = −, Pn
i,j=1aijuxixj(x) w zbiorze U rozwa˙zanego z zero-wymi warunkami brzegozero-wymi oraz niech ψ ∈ H10(U ) bedzie funkcj, a wÃlasn, a odpowiadaj, ac, a, warto´sci wÃlasnej λ. Dla jakich µ ∈ R problem brzegowy
Lu(x) = µu(x) + 2007ψ(x) w zbiorze U , u|∂U(x) = 0
posiada sÃlabe rozwiazanie oraz dla jakich warto´sci µ rozwi, azanie to jest jednoznaczne., Wszystkie odpowiedzi uzasadnij.
18. Niech U = (0, π)2. W zbiorze U × R+ rozwa˙z nastepuj, acy problem pocz, atkowo, brzegowy
ut(x, y, t) = ∆u(x, y, t) + ux(x, y, t) + y + t w zbiorze U × R+, u|∂U(x, y, t) = 0 , u(x, y, 0) = x + y .
(a) Podaj definicje sÃlabego rozwi, azania tego problemu.,
(b) Podaj definicje m-tego przybli˙zenia Galerkina sÃlabego rozwi, azania bior, ac pewn, a baz, e, przestrzeni H10(U ).
(c) Znajd´z pierwsze przybli˙zenie Galerkina sÃlabego rozwiazania w postaci u, 1(x, y, t) = d(t)w(x, y) gdzie w ∈ H10(U ) jest funkcja tak, a, ˙ze −∆w(x, y) = 2w(x, y) w U oraz,
(a) Podaj definicje sÃlabego rozwi, azania problemu Lu = f z warunkiem brzegowym, u|∂U = 0.
(b) Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji f ∈ L2(U ) problem brzegowy z (a) posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie.,
(c) Wyka˙z, ˙ze warto´sci wÃlasne operatora L sa dodatnie.,
(d) Niech dodatkowo U ⊂ {x ∈ Rn: x1+. . .+xn≤ 0} oraz f = F1+F2+. . .+Fn. Wyka˙z,
˙ze wtedy u jest funkcja gÃladk, a tak, a, ˙ze u(x, 1, . . . , xn) ≥ x1+ . . . + xndla wszystkich x ∈ U . 21. Niech n ∈ N , n > 1 oraz U ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z, gÃladkim brzegiem. Niech aij = aji : U → R dla i, j = 1, . . . , n bed, a funkcjami gÃladkimi, speÃlniajacymi warunek jednostajnej eliptyczno´sci. Niech u ∈ H, 1(U ) bedzie sÃlabym rozwi, azaniem, problemu Lu = −Pn
23. Wyka˙z, ˙ze ciag {u, m} z poprzedniego zadania zbiega w normie przestrzeni H10(U ) do sÃlabego rozwiazania problemu −∆u(x) − x · Du(x) = f (x) z zerowym warunkiem, brzegowym.
Wskaz´owka: w dowolnej przestrzeni Hilberta je˙zeli ciag {v, m} zbiega sÃlabo do v oraz ciag, {kvmk} zbiega do kvk to ciag {v, m} zbiega mocno do v.
24. Niech U ⊂ R3 bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym oraz α(x, y, z) = x, 2 + y2+ z2− xy − xz − yz. W zbiorze U rozwa˙z zagadnienie brzegowe
Lu(x, y, z) = −∆u(x, y, z) − Dα(x, y, z) · Du(x, y, z) = f (x, y, z) , u|∂U = 0 . (a) Niech f ∈ L2(U ). Podaj definicje sÃlabego rozwi, azania tego problemu.,
(b) Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji f ∈ L2(U ) rozwa˙zany problem posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie.,
(c) Wyka˙z, ˙ze je˙zeli λ jest warto´scia wÃlasna operatora L z zerowym warunkiem brzego-, wym typu Dirichleta to λ > 3.
(d) Wyka˙z, ˙ze je˙zeli brzeg U jest gÃladki oraz f (x, y, z) = −6x2− y2− z2− 2 to rozwiazanie, u jest klasyczne oraz u(x, y, z) ≤ x2 dla ka˙zdego (x, y, z) ∈ U .
25. Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym oraz Lu(x, y) = −u, xx(x, y) − 2uxy(x, y) − 3uyy(x, y) + (x − y)ux(x, y) + (x + y)uy(x, y) + 2008u(x, y).
(a) Niech f ∈ L2(U ). Podaj definicje sÃlabego rozwi, azania problemu brzegowego Lu(x, y) =, f (x, y) w zbiorze U oraz u|∂U(x, y) = 0.
(b) Wyka˙z, ˙ze problem brzegowy z punktu (a) posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie., (c) Niech f (x, y) = 670xex+y oraz dodatkowo niech U bedzie zbiorem sp´, ojnym z gÃladkim brzegiem. Wyka˙z, ˙ze wtedy sÃlabe rozwiazanie u jest klasyczne.,
(d) Niech M = max(x,y)∈∂U(ex+y). Wyka˙z, ˙ze funkcja u z (c) speÃlnia u(x, y) + 335M ≥ 335ex+y.
26. Niech U ⊂ R2bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym oraz B(u, v) =, R
Uux(x, y)vx(x, y)+
2uy(x, y)vy(x, y) + 5u(x, y)v(x, y) d(x, y) dla u, v ∈ H1(U ). Niech f ∈ L2(U ). Wyka˙z, ˙ze (a) problem: szukamy u ∈ H1(U ) takiej, ˙ze B(u, v) = (f, v) dla dowolnej funkcji v ∈ H1(U ) posiada dokÃladnie jedno rozwiazanie.,
(b) problem: szukamy u ∈ H1(U ) takiej, ˙ze B(u, v) = 5(u, v) +R
U(x2+ y2)v(x, y) d(x, y) dla dowolnej funkcji v ∈ H1(U ) nie posiada rozwiazania.,
27. Niech U ⊂ Rn (n ≥ 2) bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym. Niech syme-, tryczna macierz liczbowa {aij}i,j=1,...n bedzie dodatnio okre´slona. Ponadto niech λ, µ ∈ R, bed, a r´, o˙znymi warto´sciami wÃlasnymi operatora Lu(x) = −Pn
i,j=1aijuxixj(x) w zbiorze U rozwa˙zanego z zerowymi warunkami brzegowymi oraz niech ψλ, ψµ ∈ H10(U ) bed, a funk-, cjami wÃlasnymi odpowiadajacymi warto´sciom wÃlasnym λ i µ. Dla jakich γ ∈ R problem, brzegowy
Lu(x) = γu(x) + 18ψλ(x) + 4ψµ(x) w zbiorze U , u|∂U(x) = 0
posiada sÃlabe rozwiazanie oraz dla jakich warto´sci γ rozwi, azanie to jest jednoznaczne., Ponadto znajd´z sÃlabe rozwiazanie dla γ = 0.,
28. Niech U ⊂ R2 bedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z gÃladkim brzegiem takim, ˙ze, U ⊂ {(x, y) ∈ R2 : 2008(x+y) > xy > 0}. Niech L(u)(x, y) = −x2uxx(x, y)−y2uyy(x, y)+
3xux(x, y) − 3yuy(x, y) + 2u(x, y) oraz f ∈ L2(U ).
(a) Podaj definicje formy dwuliniowej B zwi, azanej z L.,
(b) Podaj definicje sÃlabego rozwi, azania problemu Lu = f z warunkiem brzegowym, u|∂U = 0.
(c) Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji f ∈ L2(U ) problem brzegowy z (b) posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie., H10(U ) oraz ortonormalna przestrzeni L, 2(U ). Wyka˙z, ˙ze istnieje dokÃladnie jedna funk-cja um ∈ lin{w1, . . . , wm} taka, ˙ze, sÃlabego rozwiazania problemu −, Pn
i=1
Wyka˙z, ˙ze dla odpowiednio du˙zych k istnieje dokÃladnie jedna funkcja uk ∈ H10(U ) taka,
˙ze Z
˙ze 33. Niech U ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym z gÃladkim brzegiem. Niech, funkcja χ bedzie klasycznym rozwi, azaniem r´, ownania Poissona −∆χ = |x|2 z warunkiem brzegowym χ|∂U = 0. Niech Lu = −∆u + Dχ · Du.
(a) Dla f ∈ L2(U ) podaj definicje sÃlabego rozwiazania problemu Lu = f w zbiorze U oraz, u|∂U = 0.
(b) Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdego f ∈ L2(U ) powy˙zszy problem posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie., runkiem brzegowym wypisanych z krotno´sciami. Niech wk bedzie funkcj, a wÃlasn, a od-, powiadajac, a warto´sci wÃlasnej λ, k. Znajd´z pierwszy wyraz w ciagu przybli˙ze´n Galerkina rozwa˙zanego problemu wybierajac baz, e {w, k}. Ponadto wyka˙z, ˙ze ciag przybli˙ze´, n Galer-kina zbiega sÃlabo w przestrzeni H01(U ) do sÃlabego rozwiazania rozwa˙zanego problemu., 35. Niech U ⊂ Rnbedzie zbiorem otwartym, ograniczonym, sp´, ojnym z gÃladkim brzegiem.
Niech w ∈ C∞(U ) bedzie niezerow, a funkcj, a superharmoniczn, a w U , tak, a ˙ze w(x), |∂U = 0.
(a) W zbiorze U rozwa˙z nastepuj, acy problem brzegowy,
−∆u(x) + Dw(x)Du(x) = f (x) , u|∂U = 0 .
Podaj sÃlabe sformuÃlowanie tego problemu. Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej funkcji f ∈ L2(U ) problem ten posiada dokÃladnie jedno sÃlabe rozwiazanie.,
(b) Niech f = −∆w. Wyka˙z, ˙ze wtedy u jest funkcja gÃladk, a oraz, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ U, u(x) < w(x).
36. Niech U ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z gÃladkim brzegiem. Dla, u, v ∈ H1(U ) definiujemy forme dwuliniowa, (f, u)L2 dla dowolnej funkcji v ∈ H1(U ) posiada dokÃladnie jedno rozwiazanie.,
Wskaz´owka: drugie twierdzenie o istnieniu sÃlabych rozwiaza´, n.