Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska
Zadania z równań
różniczkowych cząstkowych
Krzysztof Chełmiński
1 Wstep,
Zadania z r´owna´n r´o˙zniczkowych czastkowych zebrane w tym zbiorze zada´, n zostaÃly wy- brane spo´sr´o zada´n u˙ztych podczas zalicze´n i egzamin´ow z przedmiot´ow r´ownania r´o˙zniczkowe czastkowe, metody analizy funkcjonalnej w r´, ownaniach r´o˙zniczkowych czastkowych, nieli-, niowe r´ownania r´o˙zniczkowe czastkowe i mechanika o´srodk´, ow ciagÃlych w latach 2004-2009, na Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. Wiekszo´s´, c z tych zada´n to zadania oryginalne.
Przygotowanie tego zbioru zada´n ma na celu uÃlatwienie studentom WydziaÃlu MiNI przy- totowania sie do zalicze´, n i egzamin´ow z wy˙zej wymienionych przedmiot´ow. Zadania nie sa, posortowane wedÃlug stopnia trudno´sci. PodziaÃl tematyczny na zadania z r´owna´n pierw- szego rzedu i drugiego rz, edu oraz na rozwi, azania klasyczne i sÃlabe rozwi, azania powiniem, pom´oc czytelnikowi w szybkim znalezieniu zada´n ze studiowanej tematyki. Niekt´ore za- dania sa umieszczone razem ze wskaz´, owkami uÃlatwiajacymi (zdaniem autora zadania), znalezienie wÃla´sciwej drogi rozwiazania danego zadania.,
2 R´ownania r´o ˙zniczkowe czastkowe rz, edu pierwszego,
1. Znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania r´, ownania
u2x(x, y) + uy(x, y) = 5 w zbiorze R2 speÃlniajace warunek u(x, x) = 5x.,
2. Znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania r´, ownania
ux(x, y)uy(x, y) = 3u(x, y) w zbiorze R2 speÃlniajace warunek u(x, 1) = x.,
3. Znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania niejednorodnego r´, ownania Burgersa ut(t, x) + u(t, x)ux(t, x) = t w zbiorze {t > 0}
speÃlniajace warunek u(0, x) = x.,
4. Niech f ∈ C1(R). Wyka˙z, ˙ze problem brzegowy
ux1(x1, x2) + u2x2(x1, x2) = x1+ u(x1, x2) , u(0, x2) = f (x2)
posiada jednoelementowy zbi´or dopuszczalnych danych poczatkowych i dane te s, a niecha-, rakterystyczne. W przypadku f = idR znajd´z w R2 klasyczne rozwiazanie tego problemu., 5. Rozwa˙z problem brzegowy
u2x1(x1, x2, x3) + u2x2(x1, x2, x3) + u2x3(x1, x2, x3) = 1 w zbiorze R3
u(x1, x1, x3) = x2 + x3 w punktach hiperpÃlaszczyzny x1 = x2 + x3. Znajd´z wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych tego problemu i wyka˙z, ˙ze s, a one niecha-, rakterystyczne. Nastepnie znajd´, z wszystkie klasyczne rozwiazania rozwa˙zanego problemu., 6. Rozwa˙z problem brzegowy
u2x
1(x1, x2, x3) + ux2(x1, x2, x3)ux3(x1, x2, x3) − u2x
3(x1, x2, x3) = u(x1, x2, x3) w zbiorze R3 u(x1, x2, x3) = g(x1, x2) w punktach hiperpÃlaszczyzny x1+ x3 = 0.
(a) Wyka˙z, ˙ze gdy g jest funkcja zerow, a to problem ten posiada niesko´, nczenie wiele ukÃlad´ow dopuszczalnych danych poczatkowych i wszystkie te ukÃlady s, a charakterystyczne., (b) W przypadku gdy g(x1, x2) = x2w punktach zadanej hiperpÃlaszczyzny znajd´z rozwia-, zanie rozwa˙zanego problemu.
7. Rozwa˙z problem brzegowy
ux1(x1, x2)ux2(x1, x2) + x1ux1(x1, x2) + x2 = 2u(x1, x2) − 1
w zbiorze {(x1, x2) ∈ R2 : 2x1 < −1} z warunkiem brzegowym u(−1, x2) = 0. Znajd´z wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych tego problemu i wyka˙z, ˙ze s, a one, niecharakterystyczne. Nastepnie znajd´, z wszystkie klasyczne rozwiazania rozwa˙zanego, problemu. Rysujac charakterystyki wyja´snij dlaczego metoda charkterystyk nie pozwala, zbudowa´c rozwiazania w zbiorze {2x, 1 ≥ −1}.
8. Rozwa˙z problem brzegowy
x1ux1(x1, x2, x3) + x2ux2(x1, x2, x3) + x3ux3(x1, x2, x3) =
−2u(x1, x2, x3) + ux1(x1, x2, x3)ux3(x1, x2, x3)
w zbiorze R3 oraz u(x1, x2, x3) = x23 w punktach pÃlaszczyzny x1 = x2. Znajd´z wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych tego problemu i wyka˙z, ˙ze s, a one niecharak-, terystyczne. Nastepnie znajd´, z wszystkie klasyczne rozwiazania rozwa˙zanego problemu., 9. Rozwa˙z nastepuj, acy problem brzegowy,
u2x(x, y) + ux(x, y)uy(x, y) + u2y(x, y) = u(x, y) w R2, u(x, x) = 1 dla x ∈ R . (a) Znajd´z wszystkie dopuszczalne ukÃlady danych poczatkowych dla ukÃladu wst, egi cha-, rakterystycznej zwiazanej z rozwa˙zanym problemem.,
(b) Sprawd´z niecharakterystyczno´s´c danych poczatkowych z (a)., (c) Znajd´z wszystkie rozwiazania klasyczne rozwa˙zanego problemu.,
(d) Czy metoda charakterystyk definiuje rozwiazania w caÃlej pÃlaszczy´, znie? Odpowied´z uzasadnij.
Wskaz´owka: (d) naszkicuj charakterystyki.
10. Rozwa˙z problem brzegowy
u2x1(x1, x2, x3) + u2x2(x1, x2, x3) + 3ux1(x1, x2, x3)ux2(x1, x2, x3) + u2x3(x1, x2, x3) = 3 w zbiorze R3 z warunkiem brzegowym u(x1, x2, x3) = 5 + x1 w punktach hiperpÃlaszczyzny x2 = x3. Znajd´z wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych tego problemu i, wyka˙z, ˙ze sa one niecharakterystyczne. Nast, epnie znajd´, z wszystkie klasyczne rozwiazania, rozwa˙zanego problemu.
11. Rozwa˙z problem brzegowy
ux1(x1, x2)ux2(x1, x2) = x1+ x2+ u(x1, x2) w zbiorze R2
u(x1, 0) = −x1. Znajd´z wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych tego pro-, blemu i wyka˙z, ˙ze sa one niecharakterystyczne. Nast, epnie znajd´, z wszystkie klasyczne rozwiazania rozwa˙zanego problemu.,
12. (a) Niech F, G : R2 → R bed, a funkcjami gÃladkimi. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego klasycz-, nego rozwiazania r´, ownania F (x, ux(x, y)) = G(y, uy(x, y)) funkcje F (x, p) oraz G(y, q)
sa staÃle na wst, egach charakterystycznych tego r´, ownania. Co wiecej na ka˙zdej wst, edze, charakterystycznej funkcje te przyjmuja t, a sam, a warto´s´, c. (Funkcje p, q sa skÃladowymi, wstegi charakterystycznej odpowiadaj, acymi pochodnym cz, astkowym funkcji u.),
(b) W przypadku F (a, b) = ab oraz G(a, b) = b2 znajd´z wszystkie rozwiazania tego, r´ownania w zbiorze x > 0 speÃlniajace warunek u(1, t) = t + 1 dla t ∈ R.,
13. Znajd´z klasyczne rozwiazanie r´, ownania
u2x(x, y) − x2 = u2y(x, y) − y2 w zbiorze R2 speÃlniajace warunek u(y, y) = y, 2.
14. Znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania r´, ownania
u2x1(x1, x2, x3) + u2x2(x1, x2, x3) + 5ux3(x1, x2, x3) = u(x1, x2, x3) w zbiorze x21+ x22 > 1 speÃlniajace warunek u(x, 1, x2, x3) = 1 dla x21+ x22 = 1.
15. (a) Niech F, G : R2 → R bed, a funkcjami gÃladkimi. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego klasycz-, nego rozwiazania r´, ownania F (x, ux(x, y)) = G(y, uy(x, y)) funkcje F (x, p) oraz G(y, q) sa staÃle na wst, egach charakterystycznych tego r´, ownania. Co wiecej na ka˙zdej wst, edze, charakterystycznej funkcje te przyjmuja t, a sam, a warto´s´, c. (Funkcje p, q sa skÃladowymi, wstegi charakterystycznej odpowiadaj, acymi pochodnym cz, astkowym funkcji u.),
(b) W przypadku F (a, b) = ab oraz G(a, b) = b2 znajd´z wszystkie rozwiazania tego, r´ownania w zbiorze x > 0 speÃlniajace warunek u(1, t) = t + 1 dla t ∈ R.,
16. (a) Niech F : R → R bedzie funkcj, a gÃladk, a. Rozwa˙z nast, epuj, ace r´, ownanie r´o˙zniczkowe czastkowe pierwszego rz, edu w zbiorze R, 2
u2x(x, y) + u2y(x, y) = F (u(x, y)) .
Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego klasycznego rozwiazania r´, ownania zachodzi: je˙zeli na pewnej wstedze charakterystycznej tego r´, ownania F (z(s)) 6= 0 dla s ∈ (s1, s2) to na tej wstedze, funkcja G(s) = p(s)q(s)/F (z(s)) jest staÃla w rozwa˙zanym przedziale. (Funkcje p, q sa, skÃladowymi wstegi charakterystycznej odpowiadaj, acymi pochodnym cz, astkowym funkcji, u oraz funkcja z jest skÃladowa wst, egi odpowiadaj, ac, a funkcji u.),
(b) W przypadku F (r) = 4r + 1 znajd´z rozwiazanie r´, ownania z (a) speÃlniajace warunek, u(t, 0) = t2 dla t ∈ R.
(c) Jaka jest warto´s´c funkcji G z (a) w przypadku rozwa˙zanym w (b) dla wstegi prze-, chodzacej przez punkt (p, q, z, x, y) = (2, 1, 1, 1, 0).,
17. (a) Niech f : R2 → R bedzie funkcj, a gÃladk, a., Rozwa˙z nastepuj, ace r´, ownanie r´o˙zniczkowe czastkowe pierwszego rz, edu w zbiorze R, 2
u(x, y) = xux(x, y) + yuy(x, y) + f (ux(x, y), uy(x, y)) .
Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego klasycznego rozwiazania r´, ownania zachodzi: funkcja z − px − qy jest staÃla na wstedze charakterystycznej tego r´, ownania i staÃla ta wynosi f (p(0), q(0)).
(Funkcje p, q sa skÃladowymi wst, egi charakterystycznej odpowiadaj, acymi pochodnym cz, a-, stkowym funkcji u oraz funkcja z jest skÃladowa wst, egi odpowiadaj, ac, a funkcji u.),
(b) W przypadku f (a, b) = ab znajd´z rozwiazanie r´, ownania z (a) speÃlniajace warunek, u(1, t) = 2t dla t ∈ R.
(c) Narysuj charakterystyki problemu brzegowego (b).
18. Metoda charakterystyk znajd´, z klasyczne rozwiazanie r´, ownania ux(x, y)uy(x, y) − 2xuy(x, y) = u(x, y) − x2 w zbiorze R2,
speÃlniajace warunek u(1, y) = 1−y. Sprawd´, z niecharakterystyczno´s´c warunku brzegowego i narysuj charakterystyki.
19. Rozwa˙z nastepuj, ace r´, ownanie r´o˙zniczkowe czastkowe pierwszego rz, edu, ux(x, y)uy(x, y) = H(u(x, y))
gdzie H : R → R jest zadana funkcj, a gÃladk, a.,
(a) Wyka˙z, ˙ze funkcja Φ(p, q, z) = pH(z)2+q2 jest caÃlka pierwsz, a ukÃladu wst, egi charaktery-, stycznej (x, y, z, p, q) rozwa˙zanego r´ownania.
(b) Dla H(z) = 2z znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania rozwa˙zanego r´, ownania speÃlnia- jace dodatkowo warunek u(x, x) = −, 12.
Wskaz´owka: CaÃlka pierwsza ukÃladu r´owna´n r´o˙zniczkowych zwyczajnych to funkcja staÃla na trajektoriach tego ukÃladu.
20. Znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania r´, ownania
ux(x, y, z)uy(x, y, z) + u2z(x, y, z) = xy + z2 w R3 speÃlniajace warunek brzegowy u(x, y, 1) = xy.,
21. Rozwa˙z nastepuj, acy problem brzegowy,
ux(x, y)uy(x, y) − ux(x, y) − uy(x, y) = 0 w R2 oraz u(1, y) = ky.
(a) Dla jakiego k ∈ R powy˙zszy warunek brzegowy jest niecharakterystyczny?
(b) Znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania rozwa˙zanego problemu dla k = 2., 22. Znajd´z co najmniej jedno klasyczne rozwiazanie r´, ownania
u2x(x, y) + 2u2y(x, y) = x2+ 2y2
w R2 speÃlniajace warunek brzegowy u(x, x) = x, 2. Czy powy˙zszy problem brzegowy jest rozwiazywalny jednoznacznie?,
23. Znajd´z klasyczne rozwiazanie r´, ownania u2x
3(x1, x2, x3) + 1 = ux1(x1, x2, x3) w zbiorze R3
speÃlniajace warunek u(0, x, 2, x3) = x2x3+ x2. Czy charakterystyki tego problemu brzego- wego pokrywaja R, 3? Odpowied´z uzasadnij.
24. Rozwa˙z nastepuj, acy problem brzegowy,
4xux(x, y) + u2y(x, y) = 4u(x, y) − 1 w zbiorze (x, y) ∈ R2, u(−y2, y) = 1
4 dla y ∈ R.
(a) Znajd´z wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych ukÃladu wst, egi charak-, terystycznej zwiazanej z tym zagadnieniem brzegowym.,
(b) Dla ka˙zdego ukÃladu dopuszczalnych i niecharakterystycznych danych poczatkowych, ukÃladu wstegi charakterystycznej zwi, azanej z rozwa˙zanym problemem znajd´, z odpowia- dajace temu ukÃladowi rozwi, azanie.,
(c) Naszkicuj charakterystyki rozwa˙zanego zagadnienia brzegowego.
25. Rozwa˙z nastepuj, ace r´, ownanie r´o˙zniczkowe czastkowe pierwszego rz, edu, ux1(x1, x2, x3)ux2(x1, x2, x3)ux3(x1, x2, x3) = f (x3)
gdzie f : D(f ) ⊂ R → R jest zadana funkcj, a gÃladk, a i D(f ) jest zbiorem otwartym., (a) Znajd´z wszystkie funkcje f , dla kt´orych funkcja H(p, z, x) = p · x jest caÃlka pierwsz, a, ukÃladu wstegi charakterystycznej (p, z, x) rozwa˙zanego r´, ownania.
(b) Niech 1 ∈ D(f ). Rozwa˙zamy powy˙zsze r´ownanie z warunkiem brzegowym u(x1, x2, 1) = x1+ x2. Wyka˙z ˙ze, ukÃlad wstegi charakterystycznej tego zagadnienia brzegowego ma nie-, pusty zbi´or dopuszczalnych danych poczatkowych oraz dane te s, a niecharakterystyczne., (c) Dla f (x3) = x3 i D(f ) = R znajd´z wszystkie klasyczne rozwiazania zagadnienia brze-,
gowego z (b).
26. Rozwa˙z nastepuj, ace r´, ownanie r´o˙zniczkowe czastkowe pierwszego rz, edu, u2x
1(x1, x2) + u2x
2(x1, x2) = F (x1, x2) gdzie F : R2 → R jest zadana funkcj, a gÃladk, a.,
(a) Niech (x1, x2, z, p1, p2) bedzie wst, eg, a charakterystyczn, a rozwa˙zanego r´, ownania taka,,
˙ze F (x1, x2) 6= 0 wzdÃlu˙z tej wstegi. Wyka˙z, ˙ze wtedy funkcja, F (xp21+p22
1,x2) jest staÃla na tej wstedze charakterystycznej.,
(b) Niech F (x1, x2) = x1+ x2. R´ownanie powy˙zsze rozwa˙zamy razem z warunkiem brze- gowym u(t, 2 − t) = 1 dla t ∈ R. Znajd´z wszystkie ukÃlady dopuszczalnych danych poczatkowych ukÃladu wst, egi charakterystycznej tego zagadnienia brzegowego i sprawd´, z ich niecharakterystyczno´s´c.
(c) Znajd´z co najmniej jedno rozwiazanie problemu brzegowego z (b).,
3 Klasyczne rozwiazania r´, owna´n eliptycznych
1. Niech U ⊂ Rnbedzie zbiorem otwartym, ograniczonym z brzegiem klasy C, 1 oraz niech h : U → R bedzie funkcj, a harmoniczn, a w U . Niech ψ(x, y) = φ(x − y) + h(y) dla x, y ∈ U, oraz x 6= y gdzie φ jest rozwiazaniem podstawowym r´, ownania Laplace’a. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnej funkcji u ∈ C2( ¯U ) zachodzi lemat o reprezentacji z funkcja ψ zamiast φ.,
2. Niech U ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym oraz u, k : U → R bedzie ci, agiem funkcji, harmonicznych zbie˙znym jednostajnie do funkcji u. Udowodni´c, ˙ze u jest funkcja harmo-, niczna.,
3. Niech U ⊂ Rn bedzie zbiorem otwartym oraz u, k : U → R bedzie ci, agiem funkcji har-, monicznych ograniczonym w L1loc(U ). Wyka˙z, ˙ze ciag ten zawiera podci, ag zbie˙zny niemal, jednostajnie do funkcji harmonicznej.
4. W zbiorze U = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2+ 2x < 0} rozwiaza´, c problem brzegowy ∆u = 4 , u(x, y)|∂U = 2xy + 1.
5. Wykaza´c, ˙ze je˙zeli u jest klasycznym rozwiazaniem r´, ownania −∆u = f w B(0, r) ⊂ Rn gdzie n > 2 speÃlniajacym warunek brzegowy u, |∂B(0,r)= g to
u(0) = Z
∂B(0,r)
− g(y) dS(y) + 1 n(n − 2)α(n)
Z
B(0,r)
³ 1
|y|n−2 − 1 rn−2
´
f (y) dy . 6. Niech n = 2. Wyka˙z, ˙ze funkcja
φ(x, y) = − 1
2π ln|y − x||y + x|
|y − ˆx||y − ˇx|
gdzie ˇx jest obrazem punktu x w symetrii wzgledem prostej x, 1 = 0 oraz ˆx jest obrazem punktu x w symetrii wzgledem prostej x, 2 = 0 jest funkcja Greena zagadnienia Dirichleta, zbioru (R+)2. Znajd´z funkcje harmoniczn, a w ´, cwiartce (R+)2 i taka, ˙ze jest ci, agÃla a˙z do, brzegu i przyjmuje na prostej x2 = 0 warto´sci zadane przez funkcje ci, agÃl, a g tak, a, ˙ze, g(0) = 0 oraz na prostej x1 = 0 warto´s´c zero.
7. Wyka˙z, ˙ze istnieje co najwy˙zej jedna funkcja harmoniczna i ograniczona w zbiorze (i) (R+)2 ⊂ R2 (ii) {x ∈ Rn : 0 < xn< 1} ciagÃla a˙z do brzegu i przyjmuj, aca zadane warto´sci, na brzegu.
8. Niech f ∈ C02(Rn) gdzie n > 2. Wyka˙z, ˙ze istnieje dokÃladnie jedna funkcja u ∈ C2(Rn) ograniczona, speÃlniajaca r´, ownanie Poissona −∆u = f w Rn i taka, ˙ze u(0) = 2005.
9. (a) Niech f ∈ C02(Rn+). Wyka˙z, ˙ze funkcja u(x) =
Z
Rn+
G(x, y)f (y)dy
gdzie G jest funkcja Greena p´, oÃlprzestrzeni jest rozwiazaniem r´, ownania Poissona −∆u = f w Rn+ ciagÃlym a˙z do brzegu x, n= 0 oraz u = 0 na tym brzegu.
(b) Uog´olnij to zadanie na f ∈ C02( ¯Rn+).
10. Niech B(0, R) ⊂ Rn, n > 2 oraz v ∈ C∞0 (B(0, R)). PoÃl´o˙zmy w(x) = −
Z
Rn
Φ(x − y)∆v(y) dy dla x ∈ Rn,
gdzie Φ jest rozwiazaniem podstawowym operatora Laplace’a w R, n. Wyka˙z, ˙ze istnieje staÃla c ∈ R taka, ˙ze w = v + c.
11. (a) W zbiorze U = B(0, 1) ⊂ R2 znajd´z funkcje harmoniczn, a u(x, y) tak, a, ˙ze na, brzegu U ˜u(1, ϕ) = sin 4ϕ + cos 4ϕ + 1 gdzie ˜u(r, ϕ) = u(x, y) w zmiennych biegunowych.
(b) Wyka˙z, ˙ze dla funkcji u z punktu (a) zachodza r´, owno´sci sup
B(0,1)
u2 = 3 + 2√
2 , inf
B(0,1)u2 = 0 .
(c) Niech v bedzie rozwi, azaniem r´, ownania −∆v + 2v = 0 w B(0, 1) ⊂ R2 speÃlniajacym, warunek brzegowy z (a). Wyka˙z, ˙ze dla funkcji v r´owno´sci z punktu (b) pozostaja praw-, dziwe.
12. Znajd´z funkcje harmoniczn, a w zbiorze U = {(x, y) ∈ R, 2 : x2+ y2 < 2x} taka, ˙ze, u(x, y) = x2+ 2y2+ (x − 1)2y2 dla (x, y) ∈ ∂U .
13. W zbiorze (0, l) × R+ rozwa˙z r´ownanie ∆u(x, y) = λu(x, y) wraz z warunkami brze- gowymi u(0, y) = u(l, y) = 0, u(x, 0) = 0. Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej λ problem powy˙zszy posiada niezerowe gÃladkie rozwiazania. Ponadto wyka˙z, ˙ze dla liczb, λ < −(π/l)2 powy˙zszy problem posiada niezerowe i ograniczone gÃladkie rozwiazania., Wskaz´owka: metoda rozdzielenia zmiennych.
14. W zbiorze U = B(0, 1) ∩ {(x, y) ∈ R2 : y > 0} znajd´z funkcje harmoniczn, a tak, a, ˙ze, jest ciagÃla do brzegu zbioru U oraz u(x, 0) = 0 dla (x, 0) ∈ ∂U i u(x, y) = y, 3 dla pozo- staÃlych punkt´ow brzegowych. Wyka˙z, ˙ze funkcja ta jest dodatnia w zbiorze U oraz, ˙ze supUu = u(0, 1) i infUu = u(0, 0). Czy istnieje punkt (x, y) ∈ U taki ze u(0, 1) = u(x, y)?
Odpowied´z uzasadnij.
Wskaz´owka: zasada symetrii Schwartza.
15. (a) Niech P = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2+ y2 ≤ 4} oraz U = R2\ P . W zbiorze U znajd´z funkcje harmoniczn, a u(x, y) ci, agÃl, a do brzegu zbioru U oraz tak, a, ˙ze,
u(x, y) = x2+ 2y + 1 gdy x2+ y2 = 1 i u(x, y) = 2x + y2+ 1 gdy x2+ y2 = 4 . Podaj co najmniej dwa r´o˙zne rozwiazania tego problemu. Czy istniej, a dwa r´, o˙zne rozwiazania, tego problemu u1, u2, takie ˙ze u1(0, 0) 6= u2(0, 0)?
16. (a) W zbiorze P = {x ∈ R3 : a < |x| < b} znajd´z funkcje harmoniczn, a u(x) ci, agÃl, a do, brzegu zbioru P taka, ˙ze u(x) = A gdy |x| = a oraz u(x) = B gdy |x| = b.,
Wskaz´owka: Szukaj rozwiazania w postaci radialnej.,
(b) Oznaczmy rozwiazanie z (a) przez u(r; A, B). Niech v b, edzie dowoln, a funkcj, a har-, moniczna w zbiorze P , ci, agÃl, a do brzegu zbioru P oraz niech M (r) = sup, |x|=rv(x) dla r ∈ [a, b]. Wyka˙z, ˙ze M (r) ≤ u(r; M (a), M (b)).
17. Niech R > 0 oraz U = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < R2}. W zbiorze U rozwa˙z r´ownanie Laplace’a z warunkiem brzegowym typu Neumanna
∂u
∂n(x, y) = Ax2 − By2+ y gdy x2+ y2 = R2.
(a) Znajd´z wszystkie pary liczb rzeczywistych (A, B), dla kt´orych powy˙zszy problem po- siada rozwiazania klasyczne.,
(b) Dla ka˙zdej pary (A, B) z (a) znajd´z takie klasyczne rozwiazanie u rozwa˙zanego pro-, blemu aby u(0, 0) = 1.
(c) Wyka˙z, ˙ze gdy A = 1 oraz R = 1 to funkcja u z (b) speÃlnia: ∀ (x, y) ∈ U (u(x, y) − 1)2 ∈ [0, 9/4).
18. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : x2+ 4y2 < 1}.
(a) Znajd´z funkcje u ∈ C, 2(U ) ∩ C( ¯U ) taka, ˙ze,
4uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0 w zbiorze U oraz u(x, y) = x2 na ∂U .
(b) Wyka˙z, ˙ze problem z (a) posiada dokÃladnie jedno rozwiazanie u oraz, ˙ze u(x, y) ∈ (0, 1), dla (x, y) ∈ U .
(c) Niech w bedzie funkcj, a gÃladk, a speÃlniaj, ac, a w U nier´, owno´s´c 4wxx(x, y) + wyy(x, y) ≥ 0 oraz w(x, y) = 3x2− x4− 1 dla (x, y) ∈ ∂U . Wyka˙z, ˙ze funkcja u z (a) speÃlnia nier´owno´s´c u(x, y) > w(x, y) dla (x, y) ∈ U .
Wskaz´owka: Sprowad´z rozwa˙zany problem do prostszej postaci.
19. W zbiorze U = B(0, 1) ⊂ R2 rozwa˙z r´ownanie Laplace’a z warunkiem brzegowym typu Neumanna Du(x, y) · n(x, y) = A − 8x2y2 dla x2+ y2 = 1 gdzie n(x, y) jest wektorem normalnym zewnetrznym do brzegu zbioru U w punkcie (x, y) ∈ ∂U .,
(a) Znajd´z wszystkie liczby rzeczywiste A, dla kt´orych powy˙zszy problem posiada rozwiazania, klasyczne.
(b) Dla ka˙zdej liczby A z (a) znajd´z rowiazanie rozwa˙zanego problemu takie, ˙ze u(0, 0) = 7., Ile jest takich rozwiaza´, n? Odpowied´z uzasadnij.
(c) Dla ka˙zdego rozwiazania u z (b) znajd´, z zbi´or warto´sci u.
(d) Znajd´z funkcje harmoniczn, a i ograniczon, a w zbiorze R, 2 \ U , ciagÃl, a wraz z pierw-, szymi pochodnymi do brzegu obszaru i speÃlniajac, a warunek brzegowy Du(x, y) · n(x, y) =,
−A + 8x2y2 z dowolnie wybrana liczb, a A z (a), gdzie n(x, y) jest wektorem normalnym, zewnetrznym do brzegu zbioru R, 2\ U w punkcie (x, y) ∈ ∂U .
20. Znajd´z rozwiazanie r´, ownania
2uxx(x, y) − 2uxy(x, y) + 5uyy(x, y) = 0
w zbiorze U = {(x, y) ∈ R2 : 5x2 + 2y2+ 2xy < 18} takie, ˙ze u(x, y)|∂U = 9x2. Wskaz´owka: sprowad´z rozwa˙zany problem do prostszej postaci.
21. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2+ y2 < 4}. Znajd´z funkcje harmoniczn, a w zbiorze U, ciagÃl, a do brzegu tego obszaru i tak, a, ˙ze u(x, y) = x + 1 dla x, 2+ y2 = 1 oraz u(x, y) = y dla x2+ y2 = 4. Ponadto wyka˙z, ˙ze znalezione rozwiazanie jest ograniczone i znajd´, z wszystkie punkty zbioru U , w kt´orych u przyjmuje ono swoje globalne ekstrema.
Wskaz´owka: zastosuj metode rozdzielenia zmiennych biegunowych i wyka˙z, ˙ze metoda ta, dostarcza rozwiaza´, n postaci uk(r, ϕ) = rk(akcos kϕ + bksin kϕ) gdzie k ∈ Z \ {0} oraz pewnej funkcji u0 niezale˙znej od ϕ.
22. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 1, y > 0} . Znajd´z klasyczne rozwiazanie problemu,
∆u(x, y) = 4 w zbiorze U , u(x, y)|x2+y2=1 = 4y3− 3y + 1 , u(x, y)|y=0 = x2. Ponadto wyka˙z, ˙ze u < 2 w zbiorze U .
Wskaz´owka: szukaj rozwiazania w postaci u(x, y) = x, 2+ y2+ v(x, y).
23. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 + 2xy − y2} . Znajd´z klasyczne rozwiazanie, problemu
2uxx(x, y) + 2uxy(x, y) + uyy(x, y) = 0 w zbiorze U , u(x, y)|∂U = y2(x − y) . Czy istnieje (x0, y0) ∈ U takie, ˙ze u(x0, y0) = 1/2?
24. Niech U = R2\ M gdzie M = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2+ y2 ≤ 3 + 2x}. Znajd´z funkcje, harmoniczna u w U ci, agÃl, a do brzegu ∂U i tak, a, ˙ze u(x, y) = 2x, 2− y na okregu x, 2+ y2 = 1 oraz u(x, y) = x − 2y2+ 3 w punktach zbioru x2+ y2 = 3 + 2x. Czy znalezione rozwiazanie, daje sie przedÃlu˙zy´, c do funkcji harmonicznej w R2?
25. Niech U = {x ∈ Rn : |x| < 4}.
(a) Niech u bedzie dowolna funkcj, a harmonicz, a w U i ograniczon, a. Wyka˙z, ˙ze, sup
x∈U
(4 − |x|)|Du(x)| < +∞ .
(b) Podaj przykÃlad funkcji harmonicznej w U i nieograniczonej speÃlniajacej tez, e z (a)., Wskaz´owka: Oszacowanie pochodnych funkcji harmonicznej.
26. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2+ y2 < 4}. Znajd´z funkcje harmoniczn, a u w zbiorze, U , ciagÃl, a do brzegu tego zbioru i tak, a, ˙ze Du jest funkcj, a ciagÃl, a do brzegu x, 2 + y2 = 1 oraz
u(x, y)|x2+y2=4 = x + 5 i ∂u
∂n(x, y)|x2+y2=1 = 1
gdzie n jest kierunkiem normalnym zewnetrznym do brzegu x, 2 + y2 = 1. Czy problem ten posiada tylko jedno rozwiazanie? Odpowied´, z uzasadnij.
Wskaz´owka: Wykorzystaj og´olna posta´, c funkcji harmonicznej w pier´scieniu dwuwymia- rowym.
27. Niech U = B(0, 1) \ {0} ⊂ Rn gdzie n > 2. Oznaczmy przez X zbi´or wszystkich funkcji harmonicznych w U . Na zbiorze X okre´slamy operator A wzorem
A(u)(x) = 1
nα(n)|x|n−1 Z
∂B(0,|x|)
u(y) dS(y) . Wyka˙z, ˙ze A(X) ⊂ X oraz dim A(X) = 2.
Wskaz´owka: rozwa˙z funkcje f (r) = (nα(n)r, n−1)−1R
∂B(0,r)u(y) dS(y) w zbiorze 0 < r0 <
r < r1 < 1.
28. Znajd´z funkcje harmoniczn, a w zbiorze U = B(0, 1) ⊂ R, 2 ciagÃl, a wraz z pierwszymi, pochodnymi a˙z do brzegu ∂U speÃlniajac, a warunek brzegowy,
Du(x, y) · (x, y) + u(x, y) = 2x2+ y + 1 dla x2+ y2 = 1 .
Wyka˙z, ˙ze istnieje tylko jedna funkcja harmoniczna speÃlniajaca powy˙zszy warunek brze-, gowy oraz znajd´z jej najwieksz, a i najmniejsz, a warto´s´, c w zbiorze U .
29. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} oraz λ ∈ R. Wyka˙z, ˙ze istnieje niezerowa funkcja harmoniczna w zbiorze U ciagÃla wraz z pierwszymi pochodnymi do brzegu tego, obszaru speÃlniajaca warunek brzegowy Du(x, y)·(x, y) = λu(x, y) wtedy i tylko wtedy gdy, λ ∈ N = {0, 1, 2 . . .}. Ponadto dla λ ∈ N znajd´z wszystkie rozwiazania tego problemu., 30. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : 1 < (x − 1)2+ (y + 1)2 < 4}. Znajd´z funkcje harmoniczn, a, u w zbiorze U , ciagÃl, a do brzegu tego zbioru i tak, a, ˙ze,
u(x, y)|(x−1)2+(y+1)2=4 = x + y + 2 i u(x, y)|(x−1)2+(y+1)2=1 = −1 . Ponadto znajd´z warto´sci ekstremalne u na zbiorze U .
31. Niech u ∈ C2(R2+) ∩ C(R2+) bedzie funkcj, a harmoniczn, a i ograniczon, a. Wyka˙z, ˙ze, sup
R2+
|u| = sup
∂R2+
|u| .
Wskaz´owka: rozwa˙z funkcje u(x, 1, x2) − ε ln(x21+ (x2+ 1)2) w zbiorze x21+ (x2+ 1)2 ≤ R2 oraz x2 > 0 dla odpowiednio du˙zych R.
32. Niech R > 0 oraz U = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < R2}. W zbiorze U rozwa˙z r´ownanie Laplace’a z warunkiem brzegowym typu Neumanna
∂u
∂n(x, y) = Ax4− By4+ x gdy x2+ y2 = R2.
(a) Znajd´z wszystkie pary (A, B) ∈ R2, dla kt´orych powy˙zszy problem posiada rozwiazania, klasyczne.
(b) Dla ka˙zdej pary (A, B) z (a) znajd´z takie rozwiazanie u rozwa˙zanego problemu aby, u(0, 0) = 2008.
(c) Znajd´z funkcje harmoniczn, a w zbiorze R, 2 \ U ciagÃl, a a˙z do brzegu i r´, owna na brzegu, u z punktu (b).
33. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 4 lub x2+ y2 + 6y + 8 < 0}. Znajd´z funkcje u, speÃlniajac, a r´, ownanie Poissona ∆u(x, y) = 4 w U , ciagÃl, a do brzegu ∂U i tak, a, ˙ze,
u(x, y)|x2+y2=4 = 2x2+ 3y2, u(x, y)|x2+y2+6y+8=0 = x2 + y + 14 .
Czy istnieje rozsze˙zenie znalezionego rozwiazania, kt´, ore w pewnym otoczeniu punktu (0, −2) speÃlnia rozwa˙zane w zadaniu r´ownanie Poissona?
Wskaz´owka: szukaj rozwiazania w postaci u(x, y) = 2x, 2+ v(x, y) .
34. Niech U = (0, π) × (0, 1) ⊂ R2. Znajd´z rozwiazanie r´, ownania ∆u(x, y) = uy(x, y) w zbiorze U ciagÃle do brzegu U takie, ˙ze,
u(0, y) = u(π, y) = 0 dla y ∈ [0, 1] , u(x, 1) = 0 , u(x, 0) = 5 sin x dla x ∈ [0, π] . Wskaz´owka: zastosuj metode rozdzielenia zmiennych.,
35. Niech f ∈ C02(Rn). Rozwa˙z w Rn nastepuj, acy problem,
−∆u(x) = f (x) , u(0) = 2008 , u jest ograniczona z doÃlu .
Wyka˙z, ˙ze gdy n > 2 to rozwa˙zany problem posiada dokÃladnie jedno klasyczne rozwiazanie., 36. Niech U = {(x, y) ∈ R2 : y > 0 i 1 < x2+ y2 < 4}. Znajd´z funkcje harmoniczn, a u w, zbiorze U , ciagÃl, a do brzegu tego zbioru i tak, a, ˙ze u(x, y), ∂U = 4y3+ 3x + 7y. Czy istnieje punkt (x0, y0) ∈ U taki, ˙ze u(x0, y0) = 0? Odpowied´z uzasadnij.
