Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ(x ) → ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ),

gdzie macierz S (Λ) spełnia warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Musimy jeszcze wykazać istnienie nieosobliwej macierzy S (Λ), która spełnia powyższy warunek.

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ(x ) → ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3,

nazywamyspinorem Diraca.

Musimy jeszcze wykazać istnienie nieosobliwej macierzy S (Λ), która spełnia powyższy warunek.

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ(x ) → ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Musimy jeszcze wykazać istnienie nieosobliwej macierzy S (Λ), która spełnia powyższy warunek.

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ(x ) → ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Musimy jeszcze wykazać istnienie nieosobliwej macierzy S (Λ), która spełnia powyższy warunek.

Spinory Diraca

Obiekt, który przy transformacjach Lorentzax → x⁰ = Λx transformuje się wg prawa

ψ(x ) → ψ⁰(x⁰) = S (Λ)ψ(x ), gdzie macierz S (Λ) spełnia warunek

S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν, µ = 0, 1, 2, 3, nazywamyspinorem Diraca.

Musimy jeszcze wykazać istnienie nieosobliwej macierzy S (Λ), która spełnia powyższy warunek.

Spinory Diraca

Znajdźmy najpierw macierz S (Λ) dla infinitezymalnego właściwego przekształcenia Lorentza.

Zadanie. Pokazać, że infinitezymalne właściwe przekształcenie Lorentza można przedstawić w postaci

Λ^µ_ν = δ_ν^µ+ (δω)^µ_ν, gdzie (δω)µν = −(δω)νµ.

Widzimy, że zgodnie z oczekiwaniem właściwa transformacja Lorentza jest opisywana jest przez 6 niezależnych parametrów. Zapiszmy

S (Λ) = 1 − i

4σµν(δω)^µν, gdzie σµν = −σνµ

są macierzami 4 × 4.

Pokażemy, że macierze σ_µν rzeczywiście są antysymetryczne ze względu na numerujące je indeksy µ, ν.

Spinory Diraca

Znajdźmy najpierw macierz S (Λ) dla infinitezymalnego właściwego przekształcenia Lorentza.

Zadanie. Pokazać, że infinitezymalne właściwe przekształcenie Lorentza można przedstawić w postaci

Λ^µ_ν = δ_ν^µ+ (δω)^µ_ν, gdzie (δω)µν = −(δω)νµ. Widzimy, że zgodnie z oczekiwaniem właściwa transformacja Lorentza jest opisywana jest przez 6 niezależnych parametrów.

Zapiszmy

S (Λ) = 1 − i

4σµν(δω)^µν, gdzie σµν = −σνµ

są macierzami 4 × 4.

Pokażemy, że macierze σ_µν rzeczywiście są antysymetryczne ze względu na numerujące je indeksy µ, ν.

Spinory Diraca

Znajdźmy najpierw macierz S (Λ) dla infinitezymalnego właściwego przekształcenia Lorentza.

Zadanie. Pokazać, że infinitezymalne właściwe przekształcenie Lorentza można przedstawić w postaci

Λ^µ_ν = δ_ν^µ+ (δω)^µ_ν, gdzie (δω)µν = −(δω)νµ. Widzimy, że zgodnie z oczekiwaniem właściwa transformacja Lorentza jest opisywana jest przez 6 niezależnych parametrów.

Zapiszmy

S (Λ) = 1 − i

4σµν(δω)^µν, gdzie σµν = −σνµ

są macierzami 4 × 4.

Pokażemy, że macierze σ_µν rzeczywiście są antysymetryczne ze względu na numerujące je indeksy µ, ν.

Spinory Diraca

Znajdźmy najpierw macierz S (Λ) dla infinitezymalnego właściwego przekształcenia Lorentza.

Zadanie. Pokazać, że infinitezymalne właściwe przekształcenie Lorentza można przedstawić w postaci

Λ^µ_ν = δ_ν^µ+ (δω)^µ_ν, gdzie (δω)µν = −(δω)νµ. Widzimy, że zgodnie z oczekiwaniem właściwa transformacja Lorentza jest opisywana jest przez 6 niezależnych parametrów.

Zapiszmy

S (Λ) = 1 − i

4σµν(δω)^µν, gdzie σµν = −σνµ

są macierzami 4 × 4.

Spinory Diraca

Znajdźmy najpierw macierz S (Λ) dla infinitezymalnego właściwego przekształcenia Lorentza.

Zadanie. Pokazać, że infinitezymalne właściwe przekształcenie Lorentza można przedstawić w postaci

Λ^µ_ν = δ_ν^µ+ (δω)^µ_ν, gdzie (δω)µν = −(δω)νµ. Widzimy, że zgodnie z oczekiwaniem właściwa transformacja Lorentza jest opisywana jest przez 6 niezależnych parametrów.

Zapiszmy

S (Λ) = 1 − i

4σµν(δω)^µν, gdzie σµν = −σνµ

są macierzami 4 × 4.

Spinory Diraca

Dowolny tensor T_µν możemy zapisać w postaci sumy Tµν = 1

2(Tµν+ Tνµ) + 1

2(Tµν− T_νµ) = Sµν+ Aµν, gdzie Sµν = ¹₂(Tµν+ Tνµ) jest tensorem symetrycznym, a A_µν = ¹₂(T_µν− T_νµ) jest tensorem antysymetrycznym.

Zwężenie tensora T_µν z wielkością antysymetryczną ω_µν ma wtedy postać

T_µνω^µν = S_µνω^µν+ A_µνω^µν, ale

S_µνω^µν = 1

2S_µνω^µν+ 1

2S_νµω^νµ= 1

2S_µνω^µν−1

2S_µνω^µν= 0, gdzie w drugim wyrazie po pierwszej równości zamieniliśmy indeksy µ ↔ ν, a następnie skorzystaliśmy z własności S = S i

Spinory Diraca

Dowolny tensor T_µν możemy zapisać w postaci sumy Tµν = 1

2(Tµν+ Tνµ) + 1

2(Tµν− T_νµ) = Sµν+ Aµν, gdzie Sµν = ¹₂(Tµν+ Tνµ) jest tensorem symetrycznym, a A_µν = ¹₂(T_µν− T_νµ) jest tensorem antysymetrycznym.

Zwężenie tensora T_µν z wielkością antysymetryczną ω_µν ma wtedy postać

T_µνω^µν = S_µνω^µν+ A_µνω^µν, ale

S_µνω^µν = 1

2S_µνω^µν+ 1

2S_νµω^νµ= 1

2S_µνω^µν−1

2S_µνω^µν= 0, gdzie w drugim wyrazie po pierwszej równości zamieniliśmy indeksy µ ↔ ν, a następnie skorzystaliśmy z własności S = S i

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Współczynniki przy (δω)^αβ po obu stronach równania są antysymetryczne w α, β, więc nie ma pomiędzy nimi kasowań

Spinory Diraca

Współczynniki przy (δω)^αβ po obu stronach równania są antysymetryczne w α, β, więc nie ma pomiędzy nimi kasowań

Spinory Diraca

Spinory Diraca

Spinory Diraca

i dlatego możemy je porównać i

4[γ^µ, σαβ] = 1 2

−δ_α^µγβ+ δ^µ_βγα

 .

Ostatecznie otrzymujemy warunek

[γ^µ, σαβ] = 2i^δ^µ_αγβ− δ_β^µγα

,

a mnożąc obustronnie przez g_νµ dostaniemy [γ_ν, σ_αβ] = 2i (g_ναγ_β− g_νβγ_α) . Zadanie. Pokazać, że rozwiązanie ma postać

σ_αβ = i

2[γ_α, γ_β] .

Spinory Diraca

i dlatego możemy je porównać i

4[γ^µ, σαβ] = 1 2

−δ_α^µγβ+ δ^µ_βγα

 .

Ostatecznie otrzymujemy warunek

[γ^µ, σαβ] = 2i^δ^µ_αγβ− δ_β^µγα

,

a mnożąc obustronnie przez g_νµ dostaniemy [γ_ν, σ_αβ] = 2i (g_ναγ_β− g_νβγ_α) .

Zadanie. Pokazać, że rozwiązanie ma postać σ_αβ = i

2[γ_α, γ_β] .

Spinory Diraca

i dlatego możemy je porównać i

4[γ^µ, σαβ] = 1 2

−δ_α^µγβ+ δ^µ_βγα

 .

Ostatecznie otrzymujemy warunek

[γ^µ, σαβ] = 2i^δ^µ_αγβ− δ_β^µγα

,

a mnożąc obustronnie przez g_νµ dostaniemy [γ_ν, σ_αβ] = 2i (g_ναγ_β− g_νβγ_α) . Zadanie. Pokazać, że rozwiązanie ma postać

σ = i

[γ , γ ] .

Spinory Diraca

i dlatego możemy je porównać i

4[γ^µ, σαβ] = 1 2

−δ_α^µγβ+ δ^µ_βγα

 .

Ostatecznie otrzymujemy warunek

[γ^µ, σαβ] = 2i^δ^µ_αγβ− δ_β^µγα

,

a mnożąc obustronnie przez g_νµ dostaniemy [γ_ν, σ_αβ] = 2i (g_ναγ_β− g_νβγ_α) . Zadanie. Pokazać, że rozwiązanie ma postać

σ = i

[γ , γ ] .

Spinory Diraca

Znajdźmy macierz S (Λ) dla przekształcenia skończonegoΛ(ω), gdzieωµν = N(δω)µν,przy N → ∞.

Przeanalizujmy jeszczejak transformuje się spinor Diraca przy odbiciu przestrzennym

x^µ= (x⁰, ~x ) → x^0µ = Λ^µ_νx^ν = (x⁰, −~x ).

Macierz transformacji Lorentza ma w tym przypadku postać

Λ^µ_ν =

Spinory Diraca

Znajdźmy macierz S (Λ) dla przekształcenia skończonegoΛ(ω), gdzieωµν = N(δω)µν,przy N → ∞.

Przeanalizujmy jeszczejak transformuje się spinor Diraca przy odbiciu przestrzennym

x^µ= (x⁰, ~x ) → x^0µ = Λ^µ_νx^ν = (x⁰, −~x ).

Macierz transformacji Lorentza ma w tym przypadku postać

Λ^µ =

Spinory Diraca

Znajdźmy macierz S (Λ) dla przekształcenia skończonegoΛ(ω), gdzieωµν = N(δω)µν,przy N → ∞.

Przeanalizujmy jeszczejak transformuje się spinor Diraca przy odbiciu przestrzennym

x^µ= (x⁰, ~x ) → x^0µ = Λ^µ_νx^ν = (x⁰, −~x ).

Macierz transformacji Lorentza ma w tym przypadku postać

Λ^µ =

Spinory Diraca

Znajdźmy macierz S (Λ) dla przekształcenia skończonegoΛ(ω), gdzieωµν = N(δω)µν,przy N → ∞.

Przeanalizujmy jeszczejak transformuje się spinor Diraca przy odbiciu przestrzennym

x^µ= (x⁰, ~x ) → x^0µ = Λ^µ_νx^ν = (x⁰, −~x ).

Macierz transformacji Lorentza ma w tym przypadku postać

Λ^µ =

Spinory Diraca

W tym przypadku

S (Λ) = η_Pγ⁰, gdzie |η_P|²= 1.

Zauważmy, że

S⁻¹(Λ) = η^∗_Pγ⁰.

Rzeczywiście

S⁻¹(Λ)S (Λ) = η_P^∗γ⁰ηPγ⁰= |ηP|^2γ^02 = 1, gdzie skorzystaliśmy z równości

γ⁰γ⁰+ γ⁰γ⁰ = 2g⁰⁰I ⇒ ^γ^02 = 1.

Spinory Diraca

W tym przypadku

S (Λ) = η_Pγ⁰, gdzie |η_P|²= 1.

Zauważmy, że

S⁻¹(Λ) = η^∗_Pγ⁰. Rzeczywiście

S⁻¹(Λ)S (Λ) = η^∗_Pγ⁰ηPγ⁰

= |ηP|^2γ^02 = 1, gdzie skorzystaliśmy z równości

γ⁰γ⁰+ γ⁰γ⁰ = 2g⁰⁰I ⇒ ^γ^02 = 1.

Spinory Diraca

W tym przypadku

S (Λ) = η_Pγ⁰, gdzie |η_P|²= 1.

Zauważmy, że

S⁻¹(Λ) = η^∗_Pγ⁰. Rzeczywiście

S⁻¹(Λ)S (Λ) = η^∗_Pγ⁰ηPγ⁰= |ηP|^2γ^02

= 1, gdzie skorzystaliśmy z równości

γ⁰γ⁰+ γ⁰γ⁰ = 2g⁰⁰I ⇒ ^γ^02 = 1.

Spinory Diraca

W tym przypadku

S (Λ) = η_Pγ⁰, gdzie |η_P|²= 1.

Zauważmy, że

S⁻¹(Λ) = η^∗_Pγ⁰. Rzeczywiście

S⁻¹(Λ)S (Λ) = η^∗_Pγ⁰ηPγ⁰= |ηP|^2γ^02 = 1,

gdzie skorzystaliśmy z równości

γ⁰γ⁰+ γ⁰γ⁰ = 2g⁰⁰I ⇒ ^γ^02 = 1.

Spinory Diraca

W tym przypadku

S (Λ) = η_Pγ⁰, gdzie |η_P|²= 1.

Zauważmy, że

S⁻¹(Λ) = η^∗_Pγ⁰. Rzeczywiście

S⁻¹(Λ)S (Λ) = η^∗_Pγ⁰ηPγ⁰= |ηP|^2γ^02 = 1, gdzie skorzystaliśmy z równości

γ⁰γ⁰+ γ⁰γ⁰ = 2g⁰⁰I

⇒ ^γ^02 = 1.

Spinory Diraca

W tym przypadku

S (Λ) = η_Pγ⁰, gdzie |η_P|²= 1.

Zauważmy, że

S⁻¹(Λ) = η^∗_Pγ⁰. Rzeczywiście

S⁻¹(Λ)S (Λ) = η^∗_Pγ⁰ηPγ⁰= |ηP|^2γ^02 = 1, gdzie skorzystaliśmy z równości

γ⁰γ⁰+ γ⁰γ⁰ = 2g⁰⁰I ⇒ ^γ^02 = 1.

Spinory Diraca

W tym przypadku

S (Λ) = η_Pγ⁰, gdzie |η_P|²= 1.

Zauważmy, że

S⁻¹(Λ) = η^∗_Pγ⁰. Rzeczywiście

S⁻¹(Λ)S (Λ) = η^∗_Pγ⁰ηPγ⁰= |ηP|^2γ^02 = 1, gdzie skorzystaliśmy z równości

γ⁰γ⁰+ γ⁰γ⁰ = 2g⁰⁰I ⇒ ^γ^02 = 1.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ)

= ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) =

ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰

= |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰

= γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰

=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν.

Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ)

= ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) =

ηPγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰

= |ηP|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |η_P|²γ⁰γⁱγ⁰

= −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |η_P|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02

= −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |η_P|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |η_P|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

=

Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |η_P|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0

⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu czasowym jest nieco bardziej subtelny, dlatego w tym miejscu go pominiemy. Można go znaleźć np. w podręczniku Bjorkena i Drella.

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |η_P|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu

Spinory Diraca

Sprawdźmy czy jest spełniony warunek S (Λ)γ^µS⁻¹(Λ) =^Λ^−1µ

νγ^ν. Dlaµ = 0mamy

S (Λ)γ⁰S⁻¹(Λ) = ηPγ⁰γ⁰η^∗_Pγ⁰ = |ηP|²γ⁰γ⁰γ⁰ = γ⁰=^Λ^−10

νγ^ν. Dlaµ = i = 1, 2, 3mamy

S (Λ)γⁱS⁻¹(Λ) = η_Pγ⁰γⁱη^∗_Pγ⁰= |η_P|²γ⁰γⁱγ⁰ = −γ^iγ^02 = −γⁱ

= ^Λ^−1i

νγ^ν,

gdzie skorzystaliśmy ze związku antykomutacyjnego γ⁰γⁱ + γⁱγ⁰ = 0 ⇒ γ⁰γⁱ = −γⁱγ⁰.

Dowód współzmienniczości równania Diaraca przy odbiciu

Spinory Diraca

Przeanalizujmy bliżej prawo transformacyjne dla spinorów Diraca przy przekaształceniach skończonych.Rozpiszmy podwójną sumę w wykładniku, pamiętając, żeω_βα= −ω_αβ iσ_βα= −σ_αβ

σ_αβω^αβ = σ0iω⁰ⁱ + σi 0ω^{i 0}+^X

i <j

σijω^ij +^X

i >j

σijω^ij.

W drugiej sumie po prawej stronie dokonajmy zamiany i ↔ j i skorzystajmy z antysymetrii, wtedy otrzymamy

σαβω^αβ = 2σ0iω⁰ⁱ + 2^X

i <j

σijω^ij.

Spinory Diraca

Przeanalizujmy bliżej prawo transformacyjne dla spinorów Diraca przy przekaształceniach skończonych. Rozpiszmy podwójną sumę w wykładniku, pamiętając, żeω_βα= −ω_αβ iσ_βα= −σ_αβ

σ_αβω^αβ = σ0iω⁰ⁱ + σi 0ω^{i 0}+^X

i <j

σijω^ij +^X

i >j

σijω^ij.

W drugiej sumie po prawej stronie dokonajmy zamiany i ↔ j i skorzystajmy z antysymetrii, wtedy otrzymamy

σαβω^αβ = 2σ0iω⁰ⁱ + 2^X

i <j

σijω^ij.

Spinory Diraca

Skorzystajmy z reprezentacji Weyla macierzy γ^µ: γ⁰ = γ0= 0 I

Spinory Diraca

Skorzystajmy z reprezentacji Weyla macierzy γ^µ: γ⁰ = γ0= 0 I

Spinory Diraca

W takim razie

S (Λ) = e^{−i4σαβωαβ} = exp

( ϕ ·~ ^~σ₂ + i ~θ · ^~σ₂ 0 0 −~ϕ ·^~σ₂ + i ~θ · ^~σ₂

!)

= e^{ϕ·~ ~σ2+i ~θ·~σ2} 0 0 e^{−~ϕ·~σ2+i ~θ·~σ2}

! .

Dlatego naturalne jest założenie, żespinor Diraca ma postać

ψ(x ) = ξ(x ) η(x )

! ,

a prawo transformacyjne przybiera postać następującą

e^{ϕ·~ ~σ2+i ~θ·~σ2} 0 ^! ξ(x ) ^!

Spinory Diraca

W takim razie

S (Λ) = e^{−i4σαβωαβ} = exp

( ϕ ·~ ^~σ₂ + i ~θ · ^~σ₂ 0 0 −~ϕ ·^~σ₂ + i ~θ · ^~σ₂

!)

= e^{ϕ·~ ~σ2+i ~θ·~σ2} 0 0 e^{−~ϕ·~σ2+i ~θ·~σ2}

! .

Dlatego naturalne jest założenie, żespinor Diraca ma postać ψ(x ) = ξ(x )

η(x )

! ,

a prawo transformacyjne przybiera postać następującą

e^{ϕ·~ ~σ2+i ~θ·~σ2} 0 ^! ξ(x ) ^!

W dokumencie Relatywistyczna współzmienniczość równania Diraca (Stron 49-110)