Stabilno±¢ ukªadu regulacji z prognozowaniem sterowa«

Analizuj¡c stabilno±¢ opisanego ukªadu sterowania (a tak»e jako±¢ regulacji oraz charakter wyst¦-puj¡cych w nim przebiegów przej±ciowych) nale»y wzi¡¢ pod uwag¦ nast¦puj¡ce czynniki [142]:

• niezgodno±¢ obiektu regulacji Pd z jego modelem matematycznym M, u»ytym podczas pro-jektowania kompensatora Cm; niezgodno±¢ ta mo»e dotyczy¢ zarówno struktury jak i para-metrów,

• wyst¦powanie zakªóce« z[k], które na schematach z rysunków III.85a i III.85b sprowadzono na wyj±cie obiektu Pd,

• charakter zjawiska gubienia pakietów podczas transmisji sieciowych; szczególnie istotne jest, czy liczba kolejno nast¦puj¡cych po sobie nieudanych transmisji jest ograniczona z góry (co jest w pewnym sensie równowa»ne istnieniu gwarantowanej, minimalnej cz¦stotliwo±ci udanych transferów).

Z punktu widzenia zapewnienia stabilno±ci i wysokiej jako±ci regulacji, najkorzystniejszy jest ide-alny przypadek, w którym:

• model M, u»yty przy projektowaniu kompensatora Cm, zgadza si¦ pod wzgl¦dem struktury i parametrów z obiektem Pd, opisanym równaniem stanu (III.149),

• w ukªadzie nie wyst¦puj¡ zakªócenia z[k],

• najdªu»sza mo»liwa przerwa w transmisji sieciowej nie przekracza zaªo»onej dªugo±¢ horyzontu predykcji M.

Je±li maksymalna dªugo±¢ przerw w transmisji nie przekracza horyzontu predykcji M, aktuator otrzymuje zawsze b¡d¹ aktualn¡ warto±¢ sterowania, b¡d¹ wªa±ciw¡ prognoz¦, przewidzian¡ na dan¡ chwil¦ czasu. Nigdy nie wyst¦puje konieczno±¢ sterowania w oparciu o przeterminowan¡ estymat¦, przeznaczon¡ dla którego± z wcze±niejszych okresów próbkowania. Zaªo»ona peªna zgod-no±¢ modelu z obiektem oraz brak zakªóce« gwarantuj¡ zgodzgod-no±¢ estymat stanu, wyznaczonych wedªug wzorów (III.154a), (III.154c) i (III.154e), z faktycznym stanem obiektu Pd. Obie te okolicz-no±ci razem sprawiaj¡, »e w ka»dej dyskretnej chwili czasu aktuator otrzymuje tak¡ sam¡ warto±¢ sterowania, jak¡ otrzymaªby w ukªadzie, w którym nie wyst¦puje gubienie pakietów. Warunkiem koniecznym i dostatecznym asymptotycznej stabilno±ci takiego ukªadu regulacji jest asymptotyczna stabilno±¢ (w sensie Schura) macierzy Φ − Γ K. Speªnienie tego warunku w opisanych wy»ej sy-mulacjach i do±wiadczeniach byªo zapewnione dzi¦ki odpowiedniemu doborowi macierzy regulatora proporcjonalnego K metod¡ lokowania biegunów (przesuwania warto±ci wªasnych) [86].

Bardziej zbli»ony do rzeczywistego jest ukªad, który ró»ni si¦ od poprzednio rozpatrywanego wy-st¦powaniem niezgodno±ci parametrów modelu i obiektu. Jego wªasno±ci s¡ nast¦puj¡ce:

• model M, u»yty przy projektowaniu kompensatora Cm, zgadza si¦ pod wzgl¦dem struktury z obiektem Pd, jednak wyst¦puj¡ ró»nice w warto±ciach ich parametrów,

• w ukªadzie nie wyst¦puj¡ zakªócenia z[k],

• najdªu»sza mo»liwa przerwa w transmisji sieciowej jest ograniczona z góry przez dªugo±¢ ho-ryzontu predykcji M.

Oznaczmy przez ˆΦ oraz ˆΓ estymaty macierzy Φ i Γ (stanu i wej±cia) obiektu Pd, opisanego równa-niem (III.149), uzyskane na przykªad na drodze identykacji. Równanie modelu obiektu M, wyko-rzystuj¡ce te estymaty, otrzymuje posta¢

x[k + 1] = ˆΦ x[k] + ˆΓ u[k] (III.155)

Niech I ⊂ N b¦dzie zbiorem tych wszystkich chwil czasu k ∈ N, w których przesªanie danych przez sie¢ zako«czyªo si¦ sukcesem. Na rysunku III.91 zaznaczono je w postaci zaczernionych kóªek. Chwile czasu, w których transmisje sieciowe nie powiodªy si¦, tworz¡ zbiór N\I. Nieudane przesªania sieciowe mo»na pogrupowa¢ w rozª¡czne, nieprzerwane, nie stykaj¡ce si¦ bezpo±rednio ze sob¡ ci¡gi, zaznaczone na rysunku III.91 pustymi kóªkami i obj¦te klamrami. Oznaczmy dªugo±¢ (liczb¦ chwil chwil czasowych) ka»dego takiego ci¡gu przez dk = d[k], przy czym indeks (argument) k ∈ I oznacza chwil¦ czasu, w której miaªa miejsce ostatnia udana transmisja sieciowa, bezpo±rednio poprzedzaj¡ca dany ci¡g nieudanych transmisji. Dla uogólnienia mo»na przyj¡¢ umow¦, »e równie»

d 7=1 d 11=2 d 2=3 d 0=d₁=0 d 6=3 d₉=d₁₀=0

}

} }

Rys. III.91: Przykªad diagramu czasowego przedstawiaj¡cego ci¡g udanych (•) i nieudanych (◦) transmisji w sieci.

ka»de dwie s¡siaduj¡ce ze sob¡ udane transmisje w chwilach czasu k oraz k + 1, nale»¡cych do zbioru I, rozdzielone s¡ równie» ci¡giem nieudanych przesªa«, ale dªugo±¢ tego ci¡gu jest równa zeru (dk = 0). Warto±ci dk dla k /∈ I nie s¡ okre±lone. Podsumowuj¡c, elementy k zbioru I s¡ numerami wszystkich tych dyskretnych chwil czasu, w których miaªy miejsce udane transmisje sieciowe, za± wielko±ci dk(dla k ∈ I) okre±laj¡ dªugo±ci (mog¡ce przyjmowa¢ warto±¢ zero) spójnych i maksymalnych ci¡gów nieudanych przesªa« sieciowych, rozpoczynaj¡cych si¦ od chwil czasu k + 1. Znajd¹my zale»no±¢ mi¦dzy stanem x [·] systemu w dwóch chwilach czasu: k ∈ I oraz k + dk + 1 ∈ I. Pierwsza z nich odpowiada ostatniej udanej transmisji poprzedzaj¡cej dk-krokow¡ prze-rw¦; druga chwila czasu odpowiada pierwszej udanej transmisji nast¦puj¡cej bezpo±rednio po tej przerwie. B¦dziemy rozpatrywa¢ zadanie stabilizacji stanu x[k] w zerowym punkcie równowagi. Wy-ci¡gni¦te wnioski pozostan¡ prawdziwe tak»e dla zadania regulacji programowej, które realizowane jest w ukªadach pokazanych na rysunkach III.85a i III.85b. Poniewa» zaªo»ono niezgodno±¢ modelu (III.155) z obiektem (III.149) oraz brak zakªóce« z[k], równania (III.154a)(III.154f),

wykorzysty-wane przez kompensator, przyjmuj¡ posta¢ x[k + 1 | k] = ˆΦ x[k] + ˆΓ u[k] u[k + 1 | k] = −K x[k + 1 | k] x[k + 2 | k] = ˆΦ x[k + 1 | k] + ˆΓ u[k + 1 | k] u[k + 2 | k] = −K x[k + 2 | k] · · · x[k + M | k] = ˆΦ x[k + M − 1 | k] + ˆΓ u[k + M − 1 | k] u[k + M | k] = −K x[k + M | k]

Pomini¦to w nich warto±¢ zadan¡ r[·], poniewa» w przyj¦tym zadaniu stabilizacji jest ona równa zeru. Ze wzgl¦du na zaªo»ony brak zakªóce« z[k], wielko±¢ x[k] + z[k] zast¡piono przez x[k]. Przy-kªadowo, na podstawie powy»szych wzorów oraz równa« (III.149) i (III.153), dla dk = 1otrzymuje si¦ nast¦puj¡c¡ zale»no±¢ mi¦dzy stanem w chwilach czasu k oraz k + dk+ 1.

x[k + d_k+ 1] = x[k + 2] = Φ (Φ x[k] − Γ K x[k]) − Γ K ³ ˆ Φ x[k] − ˆΓ K x[k] ´ , d_k= 1 Po przeksztaªceniach dostajemy x[k + 2] = ³ Φ²− Φ Γ K − Γ K ˆΦ + Γ K ˆΓ K ´ x[k], d_k= 1 (III.157)

Dla dk= 2 obowi¡zuje równanie x[k + 3] = ³ Φ³− Φ²Γ K − Φ Γ K ˆΦ + Φ Γ K ˆΓ K+ −Γ K ˆΦ²+ Γ K ˆΦ ˆΓ K + Γ K ˆΓ K ˆΦ − Γ K ˆΓ K ˆΓ K ´ x[k], d_k= 2 (III.158) Do powy»szego zestawu równa« (III.157), (III.158) dodamy jeszcze formuª¦ opisuj¡c¡ zale»no±¢ mi¦dzy stanami x[k] oraz x[k + 1] w przypadku, gdy w obu chwilach czasu k oraz k + 1 transmisje powiodªy si¦ (k, k + 1 ∈ I, dk = 0)

x[k + 1] = (Φ − Γ K) x[k], d_k= 0 (III.159)

Jak wspomniano wcze±niej, przypadek ten mo»na traktowa¢ jak wyst¡pienie w transmisji przerwy o zerowej dªugo±ci (dk = 0). Podobne wzory mo»na wyprowadzi¢ dla pozostaªych warto±ci, które mo»e przyjmowa¢ dk (dk ∈ D = {0, 1, 2, . . . , M }). Formuªy (III.157)(III.159), stosowane w od-powiedniej kolejno±ci, pozwalaj¡ wyznaczy¢ warto±ci stanu x w kolejnych chwilach czasu k ∈ I, w których nast¦powaªy prawidªowe transmisje sieciowe. Przy zaªo»eniu, »e transmisja w zerowej chwili czasu byªa udana, wymienione wy»ej równania mo»na zapisa¢ zbiorczo jednym wzorem

x[k + d_k+ 1] = Θ(d_k) x[k] (III.160)

gdzie

k ∈ I, 0 ∈ I, x[0] ∈ Rⁿ, d_k∈ D = {0, 1, · · · , M }

Pod symbolem Θ(d) dla d = 0, 1, 2, · · · , M kryj¡ si¦ macierze wyst¦puj¡ce w prawych stronach równa« (III.157)(III.159). Badanie stabilno±ci rozwa»anego ukªadu regulacji mo»na zast¡pi¢ ba-daniem stabilno±ci systemu dynamicznego opisanego równaniem (III.160). Jest on niestacjonarny

ze wzgl¦du na zale»no±¢ macierzy Θ (·) od zmieniaj¡cego si¦ w czasie parametru dk. Warto±¢ tego parametru dla kolejnych chwil czasu k ze zbioru I zmienia si¦ w sposób przypadkowy. Wcze±niej nic nie zaªo»ono o charakterze zmienno±ci dk, poza warunkiem 0 6 dk 6 M, ∀ k ∈ I. Twierdzenia dotycz¡ce stabilno±ci niestacjonarnych systemów dynamicznych podano w podrozdziale III.1.1.2. Zgodnie z twierdzeniem III.6, warunkiem koniecznym asymptotycznej stabilno±ci systemu (III.160) jest, by ka»da z macierzy Θ (d) dla ka»dego d ∈ D = {0, 1, · · · , M} byªa asymptotycznie stabilna w sensie Schura

λ (Θ (d)) ∈ C^¯, d ∈ {0, 1, · · · , M }

Z kolei przykªadowy warunek dostateczny podany jest w twierdzeniu III.5. By przy jego pomocy wykaza¢ asymptotyczn¡ stabilno±¢ systemu (III.160), nale»y znale¹¢ rzeczywist¡, dodatnio okre±lon¡ macierz V , która speªnia jednocze±nie M + 1 nierówno±ci macierzowych (LMI - Linear Matrix Inequality)

Θ(d)^TV Θ(d) − V < 0, ∀ d ∈ {0, 1, · · · , M } (III.161) przy czym zapis W < 0 oznacza ujemn¡ okre±lono±¢ macierzy W . Gdy znane s¡ warto±ci macie-rzy Φ, Γ, ˆΦ, ˆΓ oraz K, ukªad (III.161) mo»e by¢ rozwi¡zany za pomoc¡ metod numerycznych, zaimplementowanych mi¦dzy innymi w programie MATLAB w ramach przybornika Robust Control Toolbox.

Podany wy»ej warunek dostateczny stabilno±ci mo»e okaza¢ si¦ mocno zachowawczy, je±li bli»ej znany jest charakter ci¡gu {dk}_k∈I (poza warunkiem 0 6 dk 6 M, ∀ k ∈ I). Wówczas równie» zamieszczony wy»ej warunek konieczny mo»e przesta¢ by¢ sªuszny. Je±li na przykªad specyka zmian d_k opisana jest ªa«cuchem Markowa, stosowa¢ mo»na twierdzenie podane w pracach [42,134]. Przedstawione wy»ej wnioski dotycz¡ce stabilno±ci pozostaj¡ sªuszne równie» w sytuacji, gdy w ukªa-dzie obecne s¡ zakªócenia z[k]. Wówczas jednak nie mo»na oczekiwa¢ (nawet w przypadku zadania stabilizacji) zanikania przebiegów przej±ciowych uchybu regulacji do zera. Charakter tych przebie-gów zale»y mocno od charakteru zakªóce«. Nale»y spodziewa¢ si¦ istotnego pogorszenia jako±ci regulacji w ukªadzie z gubieniem pakietów w stosunku do ukªadu z bezbª¦dn¡ transmisj¡, poniewa» estymaty stanu (obliczane w kompensatorze Cm) obci¡»one s¡ bª¦dami kumuluj¡cymi si¦ w trakcie stosowania wzorów (III.154a), (III.154c), (III.154e). W przypadku kilkukrokowego zaniku transmi-sji oznacza to sterowanie obiektem w kolejnych krokach w oparciu o kolejne estymaty obci¡»one narastaj¡cym bª¦dem.

Najtrudniejszy do analizy stabilno±ci jest przypadek, gdy maksymalna dªugo±¢ przerwy w trans-misji sieciowej nie jest ograniczona z góry, lub gdy ograniczenie to przekracza dªugo±¢ horyzontu predykcji. W przypadku braku ograniczenia, konieczne jest w zast¦pstwie inne scharakteryzowa-nie zaników transmisji, na przykªad przez podascharakteryzowa-nie ich opisu probabilistycznego. Wówczas nale»y bada¢ i dowodzi¢ odmiennego rodzaju stabilno±ci, zdeniowanej na gruncie teorii prawdopodobie«-stwa. Przykªady ró»nych denicji stabilno±ci dla takiego przypadku mo»na znale¹¢ w pracy [92]. Zagadnienie to nie jest tu jednak rozwa»ane.