Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ...|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...,
skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i
+λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i
+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
=
W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i
+λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)
+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i
+ W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W |ψ i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W |ψ i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i
= 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i =
0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0, (H0− W0) |ψ1i
= W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0, (H0− W0) |ψ1i =
W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i , (H0− W0) |ψ2i
= W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i , (H0− W0) |ψ2i =
W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i,
itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza H0|ψ0i = W0 |ψ0i
⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi ,
gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania
pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania, a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania,
a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania,a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania, a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione.
Rzeczywiście (H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ10i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i. Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione.Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10
= (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ10i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i. Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 =
(H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ10i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i. Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ10i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i. Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
=
(H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ10i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i. Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i
= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ10i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i. Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i .
Czyli |ψ10i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i. Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ01i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i.
Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1 |ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
hψ0|ψ1i = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ01i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i.
Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1|ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Przekształćmy wektory stanu |ψii, i = 1, 2, ..., następująco
|ψii → |ψi0 = |ψii + αi |ψ0i .
Dzięki pierwszemu równaniu, (H0− W0) |ψ0i = 0, drugie równanie naszego układu pozostanie niezmienione. Rzeczywiście
(H0− W0) |ψ10 = (H0− W0) (|ψ1i + α1 |ψ0i)
= (H0− W0) |ψ1i= W1− H0|ψ0i . Czyli |ψ01i wyraża się przez |ψ0i dokładnie tak samo jak |ψ1i.
Stałą α1 w równaniu
|ψ1i → |ψ10 = |ψ1i + α1|ψ0i . możemy tak dobrać, żeby
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Tak samo możemy pokazać, że trzecie równanie będzie miało taką samą postać po dokonaniu przekształcenia
|ψ2i → |ψ20 = |ψ2i + α2|ψ0i . To pozwala wybrać stałą α2 tak, aby
hψ0|ψ2i = 0.
Kontynuując tę procedurę dostaniemy
hψ0|ψii = 0, i = 1, 2, ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Tak samo możemy pokazać, że trzecie równanie będzie miało taką samą postać po dokonaniu przekształcenia
|ψ2i → |ψ20 = |ψ2i + α2|ψ0i . To pozwala wybrać stałą α2 tak, aby
hψ0|ψ2i = 0.
Kontynuując tę procedurę dostaniemy
hψ0|ψii = 0, i = 1, 2, ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Tak samo możemy pokazać, że trzecie równanie będzie miało taką samą postać po dokonaniu przekształcenia
|ψ2i → |ψ20 = |ψ2i + α2|ψ0i . To pozwala wybrać stałą α2 tak, aby
hψ0|ψ2i = 0.
Kontynuując tę procedurę dostaniemy
hψ0|ψii = 0, i = 1, 2, ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii
= hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być rzeczywista) i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii =
hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być rzeczywista) i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być rzeczywista) i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
=
[hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być rzeczywista) i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii
= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być rzeczywista) i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0,
gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być rzeczywista) i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być rzeczywista) i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być
i pierwsze równanie naszego układu.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy kolejno wszystkie równania naszego układu przezhψ0|
⇒ Lewa strona tak przekształconego (i + 1)-ego równania ma postać
hψ0| (H0− W0) |ψii = hhψ0 | (H0− W0)†i|ψii
= [hψ0| (H0− W0)] |ψii= 0, gdzie wykorzystaliśmy własność
hψ0|A|ψi =hψ0| A†|ψi ,
hermitowskość operatora H0 ( ⇒ wartość własna W0 musi być
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Po tym przekształceniu układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
przyjmuje postać
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0
hψ0| W1− H0|ψ1i + W2hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Po tym przekształceniu układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
przyjmuje postać
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i
= 0, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Po tym przekształceniu układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
przyjmuje postać
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i =
0, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Po tym przekształceniu układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
przyjmuje postać
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Po tym przekształceniu układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
przyjmuje postać
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Przekształćmy najpierw pierwsze równanie W1hψ0|ψ0i = hψ0|H0|ψ0i
⇒ W1 = hψ0 |H0 |ψ0i hψ0|ψ0i ,
a następnie drugie równanie
W2 hψ0|ψ0i = hψ0|H0 |ψ1i − W1hψ0|ψ1i
| {z }
0
⇒ W2= hψ0 |H0 |ψ1i hψ0|ψ0i .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Przekształćmy najpierw pierwsze równanie
W1hψ0|ψ0i = hψ0|H0|ψ0i ⇒ W1 = hψ0 |H0 |ψ0i hψ0|ψ0i ,
a następnie drugie równanie
W2 hψ0|ψ0i = hψ0|H0 |ψ1i − W1hψ0|ψ1i
| {z }
0
⇒ W2= hψ0 |H0 |ψ1i hψ0|ψ0i .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Przekształćmy najpierw pierwsze równanie
W1hψ0|ψ0i = hψ0|H0|ψ0i ⇒ W1 = hψ0 |H0 |ψ0i hψ0|ψ0i , a następnie drugie równanie
W2 hψ0|ψ0i = hψ0|H0 |ψ1i − W1hψ0|ψ1i
| {z }
⇒ W2= hψ0 |H0 |ψ1i hψ0|ψ0i .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Przekształćmy najpierw pierwsze równanie
W1hψ0|ψ0i = hψ0|H0|ψ0i ⇒ W1 = hψ0 |H0 |ψ0i hψ0|ψ0i ,
a następnie drugie równanie
W2 hψ0|ψ0i = hψ0|H0 |ψ1i − W1hψ0|ψ1i
| {z }
⇒ W2= hψ0 |H0 |ψ1i hψ0|ψ0i .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
hψ0 | W1− H0|ψ0i = 0 hψ0| W1− H0|ψ1i + W2 hψ0 |ψ0i = 0, itd.
Przekształćmy najpierw pierwsze równanie
W1hψ0|ψ0i = hψ0|H0|ψ0i ⇒ W1 = hψ0 |H0 |ψ0i hψ0|ψ0i ,
a następnie drugie równanie
W2 hψ0|ψ0i = hψ0|H0 |ψ1i − W1hψ0|ψ1i
| {z }
⇒ W2= hψ0 |H0 |ψ1i hψ0|ψ0i .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Uogólniając, otrzymujemy dlai = 1, 2, 3, ...
Wi = hψ0 |H0 |ψi −1i
hψ0|ψ0i = hm |H0|ψi −1i hm|mi
= hm |H0|ψi −1i ,
gdzie wstawiliśmy |ψ0i = |mi i wykorzystaliśmy warunek normalizacyjny hm|mi = 1.
W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń W1 =hψ0|H0|ψ0i
hψ0|ψ0i =hm |H0 |mi ,
co jest wartością oczekiwaną hamiltonianu H0 w niezaburzonym stanie |mi.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Uogólniając, otrzymujemy dlai = 1, 2, 3, ...
Wi = hψ0 |H0 |ψi −1i
hψ0|ψ0i = hm |H0|ψi −1i
hm|mi = hm |H0 |ψi −1i ,
gdzie wstawiliśmy |ψ0i = |mi i wykorzystaliśmy warunek normalizacyjny hm|mi = 1.
W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń W1 =hψ0|H0|ψ0i
hψ0|ψ0i =hm |H0 |mi ,
co jest wartością oczekiwaną hamiltonianu H0 w niezaburzonym stanie |mi.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Uogólniając, otrzymujemy dlai = 1, 2, 3, ...
Wi = hψ0 |H0 |ψi −1i
hψ0|ψ0i = hm |H0|ψi −1i
hm|mi = hm |H0 |ψi −1i , gdzie wstawiliśmy |ψ0i = |mi i wykorzystaliśmy warunek normalizacyjny hm|mi = 1.
W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń W1 =hψ0|H0|ψ0i
hψ0|ψ0i =hm |H0 |mi ,
co jest wartością oczekiwaną hamiltonianu H0 w niezaburzonym stanie |mi.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Uogólniając, otrzymujemy dlai = 1, 2, 3, ...
Wi = hψ0 |H0 |ψi −1i
hψ0|ψ0i = hm |H0|ψi −1i
hm|mi = hm |H0 |ψi −1i , gdzie wstawiliśmy |ψ0i = |mi i wykorzystaliśmy warunek normalizacyjny hm|mi = 1.
W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń W1 =hψ0|H0|ψ0i
hψ0|ψ0i
=hm |H0 |mi ,
co jest wartością oczekiwaną hamiltonianu H0 w niezaburzonym stanie |mi.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Uogólniając, otrzymujemy dlai = 1, 2, 3, ...
Wi = hψ0 |H0 |ψi −1i
hψ0|ψ0i = hm |H0|ψi −1i
hm|mi = hm |H0 |ψi −1i , gdzie wstawiliśmy |ψ0i = |mi i wykorzystaliśmy warunek normalizacyjny hm|mi = 1.
W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń W1 =hψ0|H0|ψ0i
hψ0|ψ0i =hm |H0 |mi ,
co jest wartością oczekiwaną hamiltonianu H0 w niezaburzonym stanie |mi.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Uogólniając, otrzymujemy dlai = 1, 2, 3, ...
Wi = hψ0 |H0 |ψi −1i
hψ0|ψ0i = hm |H0|ψi −1i
hm|mi = hm |H0 |ψi −1i , gdzie wstawiliśmy |ψ0i = |mi i wykorzystaliśmy warunek normalizacyjny hm|mi = 1.
W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń W1 =hψ0|H0|ψ0i
hψ0|ψ0i =hm |H0 |mi ,
co jest wartością oczekiwaną hamiltonianu H0 w niezaburzonym
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Uogólniając, otrzymujemy dlai = 1, 2, 3, ...
Wi = hψ0 |H0 |ψi −1i
hψ0|ψ0i = hm |H0|ψi −1i
hm|mi = hm |H0 |ψi −1i , gdzie wstawiliśmy |ψ0i = |mi i wykorzystaliśmy warunek normalizacyjny hm|mi = 1.
W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń W1 =hψ0|H0|ψ0i
hψ0|ψ0i =hm |H0 |mi ,
co jest wartością oczekiwaną hamiltonianu H0 w niezaburzonym
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =a(1)m = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =a(1)m = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to
hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =a(1)m = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =
X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =a(1)m = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki =
X
k
a(1)k δmk =a(1)m = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =
a(1)m = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =a(1)m =
0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =a(1)m =0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Aby znaleźć |ψ1i dokonajmy rozwinięcia na niezaburzone stany
|ki. Przypomnijmy, że poprzednio wybraliśmy |ψ0i = |mi.
|ψ1i =X
k
a(1)k |ki .
Gdyby stany |ki 6= |mi odpowiadały wartościom Ek należącym do ciągłego zakresu widma, to w powyższym wzorze sumę należałoby zastąpić całką.
Ponieważhψ0|ψ1i = hm|ψ1i = 0,to hm|ψ1i =X
k
a(1)k hm|ki = X
k
a(1)k δmk =a(1)m = 0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Podstawmy wyrażenie
|ψ1i =X
k
ak(1)|ki
do drugiego równania naszego układu
(H0− Em) |ψ1i = W1− H0|mi ,
w którym dokonaliśmy już podstawieniaW0= Em i |ψ0i = |mi.
Wówczas otrzymamy
X
k
ak(1)(H0− Em) |ki = W1− H0|mi , ale H0 |ki = Ek |ki ⇒ X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki= W1− H0|mi .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Podstawmy wyrażenie
|ψ1i =X
k
ak(1)|ki
do drugiego równania naszego układu
(H0− Em) |ψ1i = W1− H0|mi ,
w którym dokonaliśmy już podstawieniaW0= Em i |ψ0i = |mi.
Wówczas otrzymamy X
k
ak(1)(H0− Em) |ki =
W1− H0|mi , ale H0 |ki = Ek |ki ⇒ X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki= W1− H0|mi .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Podstawmy wyrażenie
|ψ1i =X
k
ak(1)|ki
do drugiego równania naszego układu
(H0− Em) |ψ1i = W1− H0|mi ,
w którym dokonaliśmy już podstawieniaW0= Em i |ψ0i = |mi.
Wówczas otrzymamy X
k
ak(1)(H0− Em) |ki = W1− H0|mi ,
ale H0 |ki = Ek |ki ⇒ X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki= W1− H0|mi .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Podstawmy wyrażenie
|ψ1i =X
k
ak(1)|ki
do drugiego równania naszego układu
(H0− Em) |ψ1i = W1− H0|mi ,
w którym dokonaliśmy już podstawieniaW0= Em i |ψ0i = |mi.
Wówczas otrzymamy X
k
ak(1)(H0− Em) |ki = W1− H0|mi , ale
H0 |ki = Ek |ki ⇒ X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki= W1− H0|mi .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Podstawmy wyrażenie
|ψ1i =X
k
ak(1)|ki
do drugiego równania naszego układu
(H0− Em) |ψ1i = W1− H0|mi ,
w którym dokonaliśmy już podstawieniaW0= Em i |ψ0i = |mi.
Wówczas otrzymamy X
k
ak(1)(H0− Em) |ki = W1− H0|mi , ale
|ki = E |ki
⇒ X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki= W1− H0|mi .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Podstawmy wyrażenie
|ψ1i =X
k
ak(1)|ki
do drugiego równania naszego układu
(H0− Em) |ψ1i = W1− H0|mi ,
w którym dokonaliśmy już podstawieniaW0= Em i |ψ0i = |mi.
Wówczas otrzymamy X
k
ak(1)(H0− Em) |ki = W1− H0|mi , ale
|ki = E |ki ⇒ X (1) − E − H0|mi .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Podstawmy wyrażenie
|ψ1i =X
k
ak(1)|ki
do drugiego równania naszego układu
(H0− Em) |ψ1i = W1− H0|mi ,
w którym dokonaliśmy już podstawieniaW0= Em i |ψ0i = |mi.
Wówczas otrzymamy X
k
ak(1)(H0− Em) |ki = W1− H0|mi , ale
|ki = E |ki ⇒ X (1) − E − H0|mi .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| ,wówczas otrzymamy
X
Skąd dla n 6= m otrzymamy a(1)n =−hn|H0|mi
En− Em = hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
Skąd dla n 6= m otrzymamy a(1)n =−hn|H0|mi
En− Em = hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
Skąd dla n 6= m otrzymamy a(1)n =−hn|H0|mi
En− Em = hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
Skąd dla n 6= m otrzymamy a(1)n =−hn|H0|mi
En− Em = hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
Skąd dla n 6= m otrzymamy a(1)n =−hn|H0|mi
En− Em = hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
Skąd dla n 6= m otrzymamy a(1)n =−hn|H0|mi
En− Em = hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
Skąd dla n 6= m otrzymamy a(1)n =−hn|H0|mi
En− Em = hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
Skąd dla n 6= m otrzymamy hn|H0|mi
= hn|H0|mi Em− En.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
k
a(1)k (Ek − Em) hn|ki
| {z }
δnk
= hn| W1− H0|mi
⇒ a(1)n (En− Em) = W1hn|mi
| {z }
δnm
−n|H0|m .
Skąd dla n 6= m otrzymamy
hn|H0|mi hn|H0|mi
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Pomnóżmy obie strony równania X
k
a(1)k (Ek− Em) |ki = W1− H0|mi .
przez hn| , wówczas otrzymamy X
k
a(1)k (Ek − Em) hn|ki
| {z }
δnk
= hn| W1− H0|mi
⇒ a(1)n (En− Em) = W1hn|mi
| {z }
δnm
−n|H0|m .
Skąd dla n 6= m otrzymamy
hn|H0|mi hn|H0|mi
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wcześniej pokazaliśmy, żea(1)m = 0.W ten sposób znaleźliśmy zarówno przyczynek pierwszego rzędu do wartości własnej i stanu własnego pełnego hamiltonianuH = H0+ H0.
W1= hm |H0 |mi , |ψ1i = X
k6=m
hk|H0|mi Em− Ek |ki . W drugim rzędzie rachunku zaburzeń mamy
Wi = hm |H0 |ψi −1i i =2 ⇒ W2 = hm |H0 |ψ1i , a wstawiając |ψ1ize wzoru wyżej otrzymamy
W2 =hm |H0
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wcześniej pokazaliśmy, żea(1)m = 0. W ten sposób znaleźliśmy zarówno przyczynek pierwszego rzędu do wartości własnej i stanu
Wcześniej pokazaliśmy, żea(1)m = 0. W ten sposób znaleźliśmy zarówno przyczynek pierwszego rzędu do wartości własnej i stanu