Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wykład 17
Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice
http://kk.us.edu.pl
Metody przybliżone dla stanów związanych
W mechanice kwantowej podobnie jak w fizyce klasycznej niewiele problemów da się rozwiązać ściśle.
Na ogół konieczne jest stosowanie metod przybliżonych.
Nie umniejsza to znaczenia ścisłych rozwiązań, a wręcz je potęguje, gdyżścisłe rozwiązania stanowią często punkt wyjścia dla rachunków przybliżonych.
Metody przybliżone dla stanów związanych
W mechanice kwantowej podobnie jak w fizyce klasycznej niewiele problemów da się rozwiązać ściśle.
Na ogół konieczne jest stosowanie metod przybliżonych.
Nie umniejsza to znaczenia ścisłych rozwiązań,
a wręcz je potęguje, gdyżścisłe rozwiązania stanowią często punkt wyjścia dla rachunków przybliżonych.
Metody przybliżone dla stanów związanych
W mechanice kwantowej podobnie jak w fizyce klasycznej niewiele problemów da się rozwiązać ściśle.
Na ogół konieczne jest stosowanie metod przybliżonych.
Nie umniejsza to znaczenia ścisłych rozwiązań,a wręcz je potęguje, gdyżścisłe rozwiązania stanowią często punkt wyjścia dla rachunków przybliżonych.
Metody przybliżone dla stanów związanych
W mechanice kwantowej podobnie jak w fizyce klasycznej niewiele problemów da się rozwiązać ściśle.
Na ogół konieczne jest stosowanie metod przybliżonych.
Nie umniejsza to znaczenia ścisłych rozwiązań, a wręcz je potęguje, gdyżścisłe rozwiązania stanowią często punkt wyjścia dla rachunków przybliżonych.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Stacjonarny rachunek zaburzeń - rachunek zaburzeń bez czasu - polega na znajdowaniu zmian dyskretnych poziomów energii i funkcji własnych układu poddanego działaniu niewielkiego zaburzenia.
Zakładamy, że Hamiltonian w bezczasowym równaniu Schr¨odingera da się przedstawić w postaci
H = H0+ H0,
gdzie H0 jest na tyle prosty, że potrafimy dla niego rozwiązać bezczasowe równanie Schr¨odingera w sposób ścisły, a H0 jest na tyle mały, że można go traktować jako zaburzenie hamiltonianu H0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Stacjonarny rachunek zaburzeń - rachunek zaburzeń bez czasu - polega na znajdowaniu zmian dyskretnych poziomów energii i funkcji własnych układu poddanego działaniu niewielkiego zaburzenia.
Zakładamy, że Hamiltonian w bezczasowym równaniu Schr¨odingera da się przedstawić w postaci
H = H0+ H0,
gdzie H0 jest na tyle prosty, że potrafimy dla niego rozwiązać bezczasowe równanie Schr¨odingera w sposób ścisły,
a H0 jest na tyle mały, że można go traktować jako zaburzenie hamiltonianu H0.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Stacjonarny rachunek zaburzeń - rachunek zaburzeń bez czasu - polega na znajdowaniu zmian dyskretnych poziomów energii i funkcji własnych układu poddanego działaniu niewielkiego zaburzenia.
Zakładamy, że Hamiltonian w bezczasowym równaniu Schr¨odingera da się przedstawić w postaci
H = H0+ H0,
gdzie H0 jest na tyle prosty, że potrafimy dla niego rozwiązać bezczasowe równanie Schr¨odingera w sposób ścisły, a H0 jest na tyle mały, że można go traktować jako zaburzenie hamiltonianu H .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Stacjonarny rachunek zaburzeń - rachunek zaburzeń bez czasu - polega na znajdowaniu zmian dyskretnych poziomów energii i funkcji własnych układu poddanego działaniu niewielkiego zaburzenia.
Zakładamy, że Hamiltonian w bezczasowym równaniu Schr¨odingera da się przedstawić w postaci
H = H0+ H0,
gdzie H0 jest na tyle prosty, że potrafimy dla niego rozwiązać bezczasowe równanie Schr¨odingera w sposób ścisły, a H0 jest na tyle mały, że można go traktować jako zaburzenie hamiltonianu H .
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ, tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ..., W = W0+ λW1+ λ2W2+ λ3W3+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki . Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane
i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ, tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ..., W = W0+ λW1+ λ2W2+ λ3W3+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ, tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ..., W = W0+ λW1+ λ2W2+ λ3W3+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ,
tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ..., W = W0+ λW1+ λ2W2+ λ3W3+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ,tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ...,
W = W0+ λW1+ λ2W2+ λ3W3+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ, tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ...,
= W0+ λW1+ λ2W2+ λ3W3+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ, tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ...,
W0+ λW1+ λ2W2+ λ3W3+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ, tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ...,
2 3
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Oznaczmy wartości własne i wektory własne pełnego hamiltonianu H przez W i |ψi, a hamiltonianu H0 przez Ek i |ki. Wówczas
H |ψi = W |ψi , H0|ki = Ek |ki .
Załóżmy, żewartości własne Ek nie są zdegenerowane i zastąpmy H0 → λH0,
gdzie λ jest parametrem rzeczywistym, 0 ¬ λ ¬ 1.
Zakładamy również, że W i |ψi są analitycznymi funkcjami parametru λ, tzn., że możemy je rozwinąc w szereg potęgowy
|ψi = |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + λ3 |ψ3i + ...,
2 3
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ...
|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...,
skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ...|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...,
skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i
+λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i
+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
=
W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i
+λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)
+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i
+ W2 |ψ0i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W |ψ i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Wstawmy te rozwinięcia do bezczasowego równania Schr¨odingera, H |ψi = W |ψi
H0+ λH0|ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ...=
W0+ λW1+ λ2W2+ ... |ψ0i + λ |ψ1i + λ2|ψ2i + ..., skorzystajmy z definicji mnożenia operatora przez liczbę, z
liniowości operatora H0 i wykonajmy mnożenie, porządkując wynik wg potęg λ
H0 |ψ0i +λ H0 |ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0 |ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1 |ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1|ψ1i + W |ψ i)+ ...
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i
= 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i =
0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0, (H0− W0) |ψ1i
= W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0, (H0− W0) |ψ1i =
W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i , (H0− W0) |ψ2i
= W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i , (H0− W0) |ψ2i =
W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i,
itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach λ w równaniu
H0|ψ0i +λ H0|ψ1i + H0 |ψ0i+λ2 H0 |ψ2i + H0 |ψ1i+ ...
= W0|ψ0i +λ (W0 |ψ1i + W1|ψ0i)+λ2(W0|ψ2i + W1 |ψ1i + W2|ψ0i)+ ...
dostaniemy
(H0− W0) |ψ0i = 0,
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i ,
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2 |ψ0i, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza H0|ψ0i = W0 |ψ0i
⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi ,
gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Otrzymaliśmy układ równań (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
Pierwsze równanie oznacza
H0|ψ0i = W0 |ψ0i ⇔ H0 |mi = Em |mi , gdzie przyjęliśmy W0 = Em i |ψ0i = |mi.
Zakładamy, że wartość własna Em jest niezdegenerowana, a stan
|mi jest dyskretny, gdyż reprezentuje stan związany.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania
pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania, a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania,
a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania,a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
Stacjonarny rachunek zaburzeń
Zauważmy, że w naszym układzie (H0− W0) |ψ0i = 0
(H0− W0) |ψ1i = W1− H0|ψ0i
(H0− W0) |ψ2i = W1− H0|ψ1i + W2|ψ0i, itd.
wyższe wyrazy rozwinięcia |ψi w szereg perturbacyjny, występujące po lewej stronie, wyrażają się przez niższe wyrazy rozwinięcia, występujące po stronie prawej.
Czyli wyliczenie |ψ0i z pierwszego równania pozwala wyliczyć |ψ1i z drugiego równania, a następnie |ψ2i z trzeciego równania, itd.
