Statystyczny model sprężarkowej pompy ciepła

Szybki rozwój nauki i techniki, wielu dziedzin życia, prowadzi do opracowania nowych, bardzo złożonych procesów technologicznych, których analiza, kontrola i sterowanie – stanowią podstawowe problemy naukowo-badawcze.

Do określenia najlepszych i najefektywniejszych warunków pracy różnych procesów technologicznych posługiwano się dotychczas klasycznym sposobem badań, w którym doświadczenia przeprowadzano, kolejno zmieniając jeden z czynników, przy niezmienności pozostałych. Taki sposób prowadzenia prac badawczych jest niezwykle czasochłonny, kosztowny i mało efektywny, ponieważ w wielu przypadkach uniemożliwia uzyskanie optymalnych warunków procesu, jak również często nie prowadzi do rozwiązania postawionego problemu badawczego.

Ogromną pomoc przyniosły najnowsze metody matematycznego planowania doświadczeń oraz wykorzystanie komercyjnych programów komputerowych do analizy otrzymywanych wyników. Pomimo kilkudziesięcioletniej już historii planowanie doświadczeń, zwane także teorią eksperymentu, jest dla większości osób pojęciem nowym. Stanowi jednak w bibliografii światowej uznaną powszechnie i nadal intensywnie rozwijaną dyscyplinę naukową.

Planowanie doświadczeń (ang. design of experiment, w skrócie DOE) jest interdyscyplinarną dziedziną nauki leżącą na pograniczu metrologii, matematyki stosowanej, statystyki i informatyki. Jej celem jest uzyskanie odpowiedzi na pytanie: jak zaplanować doświadczenie, aby przy możliwie najmniejszych kosztach uzyskać jak najwięcej użytecznej informacji. To krótkie sformułowanie wymaga wprowadzenia kilku pojęć niezbędnych do zrozumienia całego zagadnienia, takich jak: przedmiot badań, cel badań, zakres badań, plan doświadczenia.

Przedmiotem badania jest pewien obiekt (np. urządzenie, proces technologiczny, zależność ekonomiczna itd.), który – z uwagi na nieznajomość dokładnej budowy – musi być opisany w kategoriach „czarnej skrzynki”: posiada kilka wejść, które pozostają pod kontrolą osoby przeprowadzającej badania oraz jedno lub kilka wyjść, których stany (wartości) są obserwowane i mierzone. Prócz kontrolowanych wejść, na obiekt działają także czynniki albo pozostające poza kontrolą badacza, albo wręcz nieznane dla niego (zob. rysunek poniżej).

46/120

Rys.13. Rzeczywisty obiekt badań

W takim ujęciu obiekt badań ma charakter uniwersalny i cechują go głównie:  wielkości wejściowe, które mogą przyjmować różne wartości z ustalonych

przedziałów,

 wielkość wyjściowa, która zależy od wielkości wejściowych, tworząc tzw. funkcję obiektu badań; to właśnie funkcja obiektu badań stanowi podstawową informację naukową umożliwiającą m. in. optymalizację i sterowanie numeryczne.

Celem badania jest określenie przybliżonego związku, który opisuje reakcje obiektu na wprowadzane zmiany wejść. Ujmując to w kategoriach matematycznych, można powiedzieć, iż celem jest znalezienie związku wiążącego wielkości wejściowe z wielkościami wyjściowymi. Związek ten jest tylko aproksymacją, czyli przybliżeniem nieznanego, rzeczywistego powiązania istniejącego wewnątrz obiektu. W większości zastosowań uzyskanie jednak takiego przybliżenia w krótkim czasie i za rozsądną cenę jest całkowicie wystarczające. Złożoność obliczeniowa efektywnych metod teorii eksperymentu jest zazwyczaj tak duża, że konieczne staje się wykorzystanie komputera jako narzędzia do przeprowadzenia niezbędnych obliczeń. Nieoceniona staje się tu pomoc uzyskiwana dzięki wyspecjalizowanemu oprogramowaniu statystycznemu, uwzględniającemu specyfikę metod teorii eksperymentu.

Zakres badań zależy od stawianych pytań oraz pozostającego w dyspozycji budżetu i wymaganego terminu udzielenia odpowiedzi. W najprostszych przypadkach (zazwyczaj na początku badań) pragnie się przede wszystkim określić, które czynniki w sposób statystycznie istotny wpływają na badany obiekt. Pozwala to od razu wyeliminować czynniki nieistotne, których zbędne uwzględnianie w programie badań niepotrzebnie podnosiłoby koszty i przedłużało czas konieczny do ich przeprowadzenia. Po określeniu istotnych wielkości wejściowych można przejść do dokładniejszych badań, których celem jest stworzenie związku matematycznego wiążącego wielkości wejściowe i wyjściowe.

47/120

Na koniec dochodzi się do zwieńczenia: znalezienia wartości wielkości wejściowych, które zrealizują pożądany stan wyjść obiektu.

W matematycznym planowaniu doświadczeń, proces badany optymalizowany przedstawia się jako w/w „czarną skrzynkę”, gdzie wielkościami wejściowymi są czynniki badane, parametry zmienne, natomiast wyjściowymi – parametry optymalizacji (mierzone).

Model matematyczny badanego procesu można zapisać ogólnie w postaci równania:

𝑌_𝑘 = 𝑓(𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃, 𝑋₄, … 𝑋_𝑛) (22) Układ współrzędnych o osiach 𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃, 𝑋₄, … 𝑋_𝑛 określa przestrzeń czynnikową, w której zawarta jest tzw. „powierzchnia odpowiedzi”, tj. geometryczny obraz procesu badanego z wszystkimi punktami charakterystycznymi (maksimum, minimum).

Celem procedury optymalizacyjnej jest określenie punktów ekstremalnych. Plany badawcze drugiego rzędu są szczególnie interesujące z uwagi na obecność w nim punktów ekstremalnych. Opisane są one równaniem regresji drugiego stopnia z interakcjami.

Zastosowanie matematycznych metod planowania i opracowania wyników z badań zmienia strategię realizacji doświadczeń, które można scharakteryzować następującymi celami:

 randomizacja doświadczeń – celowe wprowadzenie do badań koncepcji przypadku, przez szczegółowo określony program realizacji badań, doświadczeń (macierz eksperymentu),

 jednoczesna zmiana wszystkich badanych czynników (w macierzy planowania doświadczeń).

Pozwala to na bardzo dokładne określenie efektów wpływu poszczególnych czynników badanych (zmiennych parametrów) na wielkości wyjściowe, oraz współzależności między nimi, tzw. interakcje, czego nie można uzyskać w badaniach metodami tradycyjnymi.

Objętość badanej przestrzeni czynnikowej zwiększa się wraz ze wzrostem liczby czynników badanych i w efekcie otrzymane wyniki są tym dokładniejsze im większa liczba parametrów niezależnych jest badana równocześnie.

Matematyczno-statystyczna analiza otrzymanych wyników możliwa jest tylko z wykorzystaniem technik komputerowych z uwagi na złożoność obliczeń oraz konieczność przeprowadzenia alternatywnych rozwiązań funkcji wielu zmiennych.

48/120

Przyjmując, na podstawie badań rozpoznawczych oraz szczegółowej i krytycznej analizie, polskiej i zagranicznej literatury w zakresie tematu, że liczba niezależnych czynników, mających istotny wpływ na wskaźnik efektywności energetycznej badanej pompy ciepła wynosi 5, oraz zakładając dla każdego parametru badanego (zmiennego) 5 poziomów zmienności, należałoby przeprowadzić dla pełnej analizy procesu 55=3125 [78, 79, 82] doświadczeń dla jednego powtórzenia.

Statystyczne metody planowania doświadczeń pozwalają (w tym konkretnym przypadku) zmniejszyć liczbę doświadczeń przeszło 100 razy, bowiem wynosi ona 31 doświadczeń.

Istota omawianej metody polega na tym, że nieznana funkcja odpowiedzi [78, 79, 82]:

𝑌_𝑘= 𝑓(𝑋₁, 𝑋₂, … 𝑋_𝑛) (23)

jest aproksymowaną sumą wielomianów drugiego stopnia, określaną następującym równaniem (rozwinięcie równań różniczkowych w szeregi potęgowe):

𝑌_𝑘 = 𝑏₀+ 𝑏_𝑖 ∙ 𝑋_𝑖 + 𝑏_𝑖𝑗 ∙ 𝑋_𝑖 ∙ 𝑋_𝑗+ 𝑏_𝑖𝑖∙ 𝑋_𝑖² (24) W równaniu tym:

𝑏₀ – oznacza wyraz wolny, określający parametr wyjściowy przy 𝑋𝑖 = 0 (poziom zerowy),

𝑏_𝑖 – współczynniki określające wpływ liniowych zależności poszczególnych parametrów badanych 𝑋_𝑛 na parametr wyjściowy 𝑌_𝑘,

𝑏_𝑖𝑗 - współczynniki określające wpływ liniowych współzależności, interakcji pomiędzy czynnikami badanymi parametrów zmiennych 𝑋𝑖𝑋_𝑗, na parametr wyjściowy 𝑌_𝑘,

𝑏_𝑖𝑖 - współczynniki określające wpływ kwadratowych zależności poszczególnych czynników badanych 𝑋𝑛 na parametr wyjściowy 𝑌𝑘,

Na podstawie wyników badań doświadczalnych, rozpoznawczych przyjęto ostatecznie do badań szczegółowych następujące niezależne parametry, określane umownie zakodowanymi zmiennymi:

𝑋₁ - temperatura czynnika roboczego na wlocie do skraplacza 𝑡_𝑝𝑝𝑠 [°C] 𝑋₂ - temperatura czynnika roboczego na wlocie do parownika 𝑡_𝑝𝑝𝑡 [°C] 𝑋₃ - ciśnienie skraplania czynnika roboczego 𝑝𝑠 [bar] 𝑋₄ - ciśnienie parowania czynnika roboczego 𝑝_𝑝 [bar] 𝑋₅ - objętościowy strumień przepływu powietrza w parowniku 𝑉̇𝑝𝑝 [m3/h]

49/120

Rys.14. Schemat cybernetyczny obiektu badań

gdzie: X1, … Xn - czynniki badane, zmienne; S1, … Sn – szumy; C1, … Cn –parametry wejściowe stałe; Y1, … Yn – parametry mierzone wyjściowe, optymalizowane;

W tabeli 2. przedstawiono czynniki, których wpływ badano, oraz ich wartości liczbowe określone na 5 poziomach, zakres których określono według badań rozpoznawczych.

Tabela 2. Wartości liczbowe czynników badanych 𝑥_𝑖

Zmienne kodowane

Czynniki badane (zmienne fizyczne 𝑥𝑖)

𝑥₁(𝑡_𝑝𝑝𝑠) [°C] 𝑥₂(𝑡_𝑝𝑝𝑡) [°C] 𝑥₃(𝑝_𝑠) [bar] 𝑥₄(𝑝_𝑝) [bar] 𝑥₅(𝑉̇_𝑝𝑝) [m3/h] -2 35 -10 8 3 3500 -1 40 -5 13,5 4,75 4000 0 45 0 19 6,5 4500 +1 50 5 24,5 8,25 5000 +2 55 +10 30 10 5500