Powyższy obszerny cytat pochodzi z książki :
„Wykłady z dynamiki nieliniowej” - W. S. Aniszczenko, T. E. Wadiwasowa Moskwa- Iżewsk R&C Dynamics 2011
1.6 Struktury homo- i hetero- kliniczne
Niech dany będzie pewien układ dynamiczny zadany pewnym odwzorowaniem i niech dla takiego odwzorowania będzie punkt stały typu hiperbolicznego. Niech N = 3.
Punkt stały hiperboliczny charakteryzuje się czterema rozmaitościami inwariantnymi ( krzywymi ) : dwie rozmaitości wchodzące lub stabilne ( H+ ) oraz dwie rozmaitości wychodzące lub niestabilne ( H- ) – zgodnie z rysunkiem 1.1.6
Rys. 1.6.1 Rozmaitości stabilne H+ i niestabilne H- , punktu stałego hiperbolicznego.
Punkt leżący na H+ wykładniczo podąża do punktu stałego H :
lim Ts X → H ( X ∈ H+ )
s→∞
podczas gdy punkt leżący na H- wykładniczo oddala się od H :
lim T-s x → H ( x ∈ H+ )
s→∞
Rozmaitości H+ i H-, wychodzące z punktu stałego hiperbolicznego, obrazują separatysę
Na rysunku 1.6.2 przedstawiono przypadek w którym rozmaitość wchodząca płynnie łączy się z wychodzącą, w wyniku czego tworzy się gładka pętla. Taką krzywą niekiedy nazywa się „trajektorią homokliniczną”.
Na rysunku 1.6.2b przedstawiono drugi wariant w którym H+ i H- dla rodziny złożonej z trzech punktów stałych hiperbolicznych ( tj. punktów stałych odwzorowania T3 ) łączą się jedna z drugą, tak jak pokazuje to rysunek.
Rys. 1.6.2 a) Płynne złączenie H+ i H-, odnoszące się do jednego i tego samego punktu stałego hiperbolicznego X, prowadzące do trajektorii homoklinicznej.
b) Rodzina trzech płynnie związanych punktów hiperbolicznych : X1, X2, X3.
Takie gładkie połączenie rozmaitości jest wyjątkiem i może zaistnieć tylko w przypadku układów całkowalnych. Sytuacja ogólna jest bardziej skomplikowana. Rozmaitości H+ i H- nie posiadają samoprzecięć, mogą jednak przecinać się wzajemnie tak jak pokazano na rysunku 1.6.3 Jeżeli punkt (punkty) przecięcia H+ i H- jest związany z rozmaitościami związanymi z jednym i tym samym punktem stałym lub z punktami stałymi jednej rodziny, jest ona nazywany „punktem homoklinicznym”. Jeżeli
przecinające się rozmaitości związane są z punktami stałymi różnych rodzin, punkt (punkty) ich przecięcia nazywamy „punktami heteroklinicznymi”.
Rys. 1.6.3 Przecięcie stabilnej rozmaitości H+ i rozmaitości niestabilnej H- , odnoszące się do jednego i tego samego punktu stałego hiperbolicznego. Obrazujące punkt homokliniczny X. Należy podkreślić, że przedstawione tutaj krzywe nie odpowiadają jakiejkolwiek jednej trajektorii, a są one przeprowadzone przez kolejne przecięcia trajektorii z płaszczyzną.
Rozważmy punkt homokliniczny X i sąsiednie punkty X’ i X’’ ( rys. 1.6.4a). Te dwa punkty odwzorowują się , jak to pokazano na rysunku, w punkty odpowiednio : TX’ i TX’’. Problem jest następujący : ponieważ X położony jest z „przodu” zarówno punktu X’ jak i X’’, jego obraz TX, powinien na mocy ciągłości odwzorowania T być położony z „przodu” TX’ i TX’’.
Oczywiście jest to niemożliwe. Sprzeczność tą możemy rozwiązać, jeżeli zbudujemy pętle, taka jak pokazano na rys. 1.6.4b.
Jednak przy tym powstanie nowy punkt przecięcia ( punkt homokliniczny ) TX. Z analogicznych rozważań wynika, że TX powinien odwzorowywać się w nowy punkt homokliniczny T2X będzie to związane z pojawieniem się drugiej pętli, tak jak pokazano na rys. 1.6.4b.
Przy tym odległość między T2X i TX będzie mniejsza niż odległość między TX i X, co wynika z tego, że T2X położony jest bliżej do punktu hiperbolicznego niż TX. Po uwzględnieniu prawa zachowania pola, pole dwóch pętli między X, TX i T2X powinno by równe. Zatem druga pętla powinna by bardziej wyciągnięta niż pierwsza.
Rys. 1.6.4 a) Odwzorowanie punktów X’ i X’’ w TX’ i TX’’ i niejednoznaczność obrazu TX punktu homoklinicznego X.
b) Jednoznaczność obrazu TX osiągamy przez uzyskanie pętli na rozmaitości.
c) Obraz T2X punktu TX powoduje powstanie pętli bardziej wydłużonej co wynika z prawa zachowania pola.
W wyniku dalszej budowy takiej konstrukcji otrzymujemy nieskończoną liczbę przecięć w wyniku czego cały obszar jest gęsto pokryty punktami homoklinicznymi a rozciągnięte między nimi pętle stają się coraz dłuższe i cieńsze. Globalnie obraz takiej konstrukcji jest bardzo złożony ( rys. 1.6.5 ). Złożoność tą podkreślał Poincare w swoim podstawowym traktacie „Nowe metody mechaniki nieba” :
„Jeżeli spróbujemy przedstawi sobie figurę zbudowaną przez te dwie krzywe oraz ich kolejne nieskończone przecięcia, każde z których odpowiada podwójnie asymptotycznemu rozwiązaniu to te przecięcia będą przedstawiały coś w rodzaju siatki, tkaniny lub sieci o nieskończenie małych oczkach żadna z tych dwóch krzywych nigdzie nie może przecinać sama siebie, powinna ona jednak nawijać się sama na siebie w złożony sposób, tak aby przecinać nieskończenie wiele razy wszystkie pętle sieci.
Złożoność takiej figury jest porażająca, nawet ja nie próbuje jej sobie wyobrazić. Nic nie jest w stanie dać nam wyobrażenie o złożoności zagadnienia trzech ciał i ogólnie wszystkich tych zagadnień dynamiki których nie możemy jednoznacznie scałkować.”
Teraz możemy uzupełnić pewnymi szczegółami przybliżony rysunek 1.6.1 W wyniku takiego uzupełnienia otrzymujemy obrazek przedstawiony na rysunku 1.6.7. Należy podkreślić, że struktura powtarza się przy zmianie skali a oprócz tego jest ona
charakterystyczna dla ogólnego przypadku układów niecałkowalnych.
Rys. 1.6.5 Siatka przecięć H+ i H-, prowadząca do gęstego zapełnienia obszaru punktami homoklinicznymi, w sieci tej pętle są coraz dłuższe i cieńsze ( obszary zakreskowane ) co wynika z zachowania pola
Rys. 1.6.6 Typowa samopowielająca się struktura złożona z punktów stałych eliptycznych i hiperbolicznych oraz związana z nimi się homokliniczna sieć.
Literatura.
1) Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych -- W. Szlenk ; PWN 1982
2) Wstęp do teorii układów dynamicznych -- A. Pelczar ; AGH Kraków 1980 3) Wstęp do teorii równań różniczkowych -- A. Pelczar, Jacek Szarski ; PWN 1989 część I – wstęp do teorii równań zwyczajnych i
równań cząstkowych pierwszego rzędu
część II Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych
4) Czas i dynamika -- A. Pelczar ; OBI Biblos 2003