Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej

Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej

Chaos deterministyczny i metody jego analizy

#######################################################################################

Autor : R. Waligóra

data powstania dokumentu : 2014-05-20

ostatnie poprawki z dnia : 2014-10-01

#######################################################################################

Wprowadzenie.

Przedstawiony tekst ma na celu ogólne wprowadzenie czytelnika do podstawowych metod i pojęć dynamiki nieliniowej.

Warto przy tym zauważyć i podkreślić, że pośród układów nieliniowych ważne miejsce zajmują układy chaotyczne.

Innymi słowy nie każdy układ nieliniowy jest układem chaotycznym, ale każdy układ chaotyczny jest układem nieliniowym.

Pośród licznych poruszonych tematów warto wyróżnić następujące metody badań układów nieliniowych :

Ilościowa analiza układów dynamicznych – metoda zaburzeń równań różniczkowych, metoda uśrednienia i inne. Liniowa teoria stabilności – wykładniki Lapunowa.

Jakościowa analiza układów dynamicznych – teoria stabilności, klasyfikacja punktów osobliwych, metody portretu fazowego, przekrój Poincarego, klasyfikacja bifurkacji, podstawy teorii katastrof. Atraktory – ich klasyfikacja. Fraktale.

Aby pomóc czytelnikowi w ogarnięciu tego tekstu podaje następujący schemat blokowy, który w pewnym sensie odzwierciedla jego strukturę tematyczną.

Wstęp

1. Wprowadzenie historyczne i tematyczne do teorii układów nieliniowych i teorii chaosu.

2. Teoria równań różniczkowych zwyczajnych (rrz )

2a) Elementy jakościowej teorii rrz – cykle graniczne, zbiory graniczne, portrety fazowe 2b) Teoria stabilności Lapunowa

2c) Struktury homo- i hetero- kliniczne występujące w przestrzeni fazowej.

| ↓

| 3. Modele liniowe i nieliniowe stosowane w fizyce

| 3a) Układy Hamiltonowskie - przejście do chaosu w układach hamiltonowskich – twierdzenie KAM | 3b) Układy dynamiczne z czasem ciągłym – potoki

| 3c) Układy dynamiczne z czasem dyskretnym – kaskady ↓

4. Teoria bifurkacji (scenariusze przejścia do chaosu ) ↓

5. Atraktory ↓

6. Fraktale

7. Ergodyczność, mieszanie – właściwości stochastyczne układów dynamicznych.

Ogólne pojęcie chaosu deterministycznego i jego podstawowe własności

W przedstawionym tekście wykorzystano obszerne cytaty z następujących książek : 1) Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej - M. Tabor

2) Nowe metody dynamiki chaotycznej - N. A. Magnickij, S. W. Sidorow ; Moskwa Editoriał URSS 2004 3) Wykłady z dynamiki nieliniowej - W. S. Aniszczenko, T. E. Wadiwasowa ; R&C Dynamics 2011 Książki te dostępne są w tłumaczeniu własnym.

Oprócz nich warto sięgnąć po następujące książki dostępne w języku polskim : Literatura wstępna

1) Czy Bóg gra w kości ? – nowa matematyka chaosu - I. Stewart ; WN-PWN 1996 2) Chaos - J. Gleick ; Zysk i S-ka 1996 3) Teoria chaosu a filozofia - M. Tempczyk ; CiS 1998 4) Fraktale i chaos - J. Kudrewicz ; WNT 1996

Literatura na wyższym poziomie

5) Chaos deterministyczny-wprowadzenie - H. G. Schuster PWN 1995 6) Chaos w układach dynamicznych - E. Ott ; WNT 1997 7) Wstęp do mechaniki klasycznej - K. Stefański WN-PWN 1999

8) Wstęp do dynamiki układów chaotycznych - G. L. Baker, J. P. Gollub WN-PWN 1998 9) Drgania nieliniowe w układach fizycznych - Ch. Hayashi WNT 1968

10) Dynamika. Badania numeryczne - H. E. Nusse, James A. Yorke WN-PWN 1998 11) Tajemnice nieliniowej dynamiki - J. Awrejcewicz ; Politechnika Łódzka 1997 Artykuły

1a) Teoria chaosu w ujęciu matematycznym - D. Kwietniak, P. Oprocha ; Matematyka Stosowana Nr. 9 2008

1. Poglądowa historia rozwoju dynamiki nieliniowej i chaotycznej.

Liniowe prawa fizyki wyrażone poprzez liniowe równania dynamiczne (zazwyczaj są to rrz ) stanowiły od samego początku rozwoju fizyki matematycznej podstawowe narzędzie dla modelowania natury. Nieliniowość albo pomijano, jako mało istotną, albo, kiedy już nie było innego wyjścia i należało rozważyć równanie istotnie nieliniowe dokonywano jego linearyzacji.

Były ku temu liczne powody – po pierwsze równania liniowe są dużo łatwiejsze w analizie, po drugie modele liniowe sprawdzały się bardzo dobrze w licznych zastosowaniach innymi słowy zazwyczaj zadowalano się pierwszym przybliżeniem.

Jak jednak powszechnie wiadomo natura w swej istocie nie jest liniowa – jest, co najwyżej linearyzowalna.

badań nad chaosem „nauką o układach nieliniowych” byłoby tym samym, co nazwanie zoologii „badaniem zwierząt niesłoniowatych”

[ literatura wstępna 2, str. 77 ]

Na początku XX i później wieku pojawiało się coraz więcej przypadków układów, do których analizy nie wystarczały już modele liniowe. Chociaż oczywiście i wcześniej stosowano równania nieliniowe, pojawiły się symptomy pewnego nowego podejścia ku wykorzystaniu metod nieliniowych.

Jednym z przykładów było odkrycie van der Pola.

[ literatura wstępna 2, str. 58 ]

Zanim dokonamy przeglądu podstawowych kierunków w rozwoju dynamiki nieliniowej warto pamiętać, że pierwszy uczonym, który na poważnie zwrócił uwagę na zagadnienie determinizmu i nieprzewidywalności ( połączeniem obu tych pojęć jest termin chaos deterministyczny ) był H. Poincare :

[ literatura wstępna 1, str. 77 z pracy H. Poincare „Chance” ]

Śledząc historię rozwoju pojęć dynamiki nieliniowej po II Wojnie Światowej możemy wyróżnić dwa okresy – dwa paradygmaty.

Pierwszy etap umownie możemy nazwać „epoką struktur dysypatywnych” ( lata 60- 70 XX wieku ). W owym czasie zauważono ze zdziwieniem, że złożone układy mogą zachowywać się w miarę prosto. W wielu przestrzenno – rozłożonych układach, potencjalnie posiadających nieskończona liczbę stopni swobody, następuje zjawisko nazwane samoorganizacją – wydzielenie niewielkiej liczby zmiennych – parametrów porządku – określających dynamikę całego złożonego układu.

Typowe pojęcie synergetyki : samoorganizacje – możemy wyjaśnić za pomocą następującego prostego obrazu.

Niech w chwili początkowej przestrzenny rozkład pewnej interesującej nas wielkości będzie określony przez pewną bardzo nieregularną funkcje u(x) np. taką jak pokazano na rysunku 1.1a – po lewej

Rys. 1.1 Ilustracja pojęcia – samoorganizacji.

Złożoność układu możemy wyrazić z użyciem przekształcenia Fouriera : ∞

u(x) = Σ _{ak cos(}πkx /ł ) k=0

Złożoność układu związana jest z tym, że wartości wielu współczynników rozkładu Fouriera ak ( amplitudy harmonik ) są bliskie, co do swej wartości. W procesie ewolucji, np. dzięki występowaniu lepkości, przewodnictwa cieplnego lub jakiś innych procesów, początkowe niejednorodności lub piki są wygładzane i może pojawiać się prostszy – gładszy profil, np. taki, jaki pokazano na rysunku 1.1b Jego „prostota” wyraża się w tym, że jest on określany przez znacznie mniejsza liczbę współczynników rozkładu Fouriera ak. Parametry takie możemy nazwać parametrami porządku. Po pierwsze, dlatego, że wystarczająco dokładnie charakteryzują one pojawiające się uporządkowanie, a po drugie , dlatego że jest ich niewiele. Zmniejszenie się liczby istotnych zmiennych, następujące spontanicznie podczas procesu ewolucji układu, nazwano samoorganizacją.

W całej różnorodności zjawisk i złożoności odkryto pewne określone struktury matematyczne rządzące procesami

samoorganizacji. Okazało się, że w wielu układach otwartych w stanie dalekim od równowagi należy z sensem pytać, co w ostateczności będzie działo się z układem w skalach czasu dłuższych od czasów charakterystycznych ?

Matematycznymi narzędziami dla takich stabilnych granicznych reżimów są zbiory przyciągające w przestrzeni fazowej lub też atraktory. Przy tym najprostszym atraktorom – punktom stałym – odpowiadają stacjonarne ( nie zmieniające się w czasie ) struktury, a bardziej złożonym – cyklom granicznym – różnorodne reżimy okresowe.

Zasadniczo ważnym okazała się obecność pewnych procesów dysypatywnych ( lepkość, dyfuzja, przewodnictwo cieplne ).

Procesy takie pozwalają „zapomnieć” warunki początkowe i niezależnie od ich szczegółów sformułować z upływem czasu pewne stacjonarne lub podobne, rozkłady wielkości mierzonych.

Innymi słowy w pewnych układach możemy mniej lub bardziej zmieniać początkowy profil danych wejściowych, a i tak otrzymamy ten sam rozkład interesujących nas zmiennych.

Typowe zagadnienie okresu badania struktur dysypatywnych było takie – wyjaśnić jak zmienia się liczba i konfiguracja

pojawiających się struktur przy zmianie określonego parametru i danych początkowych. Zagadnienie takie nazwano budowaniem

diagramu bifurkacyjnego. Przy tym pod pojęciem bifurkacja rozumiano zmianę liczby lub stabilności rozwiązań równań o określonym rodzaju. Prostota polegała na tym, że :

1) uproszczonym modelom matematycznym różnorodnych procesów okazywały się być jedne i te same równania.

2) chociaż procesy w analizowanych układach były bardzo różne zarówno w sensie czasowym jak i przestrzennym i był opisywane przez równania różniczkowe cząstkowe, ich jakościowe zachowanie mogło być zrozumiałe z pomocą pewnych prostych układów dynamicznych ( zazwyczaj z pomocą jednego – dwóch równań różniczkowych zwyczajnych )

3) cały zbiór różnorodnych procesów nieliniowych i niestabilności podlegał pewnym najprostszym schematom bifurkacyjnym.

Aparatem matematycznym nieliniowej dynamiki tego okresu była teoria jakościowa równań różniczkowych i teoria bifurkacji układów dynamicznych na płaszczyźnie. Przy tym szczególnie ważnymi okazały się autonomiczne układy równań różniczkowych W ten sposób dochodzimy do pojęcia układu dynamicznego ( szczegółowe definicje podano w dalszym tekście )

Drugi okres w rozwoju dynamiki nieliniowej, umownie można nazwać okresem chaosu dynamicznego. Ze zdziwieniem zauważono wtedy, że proste układy dynamiczne mogą zachowywać się bardzo skomplikowanie. Wychodząc z analizy

najprostszych układów dynamicznych z kilkoma stopniami swobody, zrozumiano zasadnicze ograniczenia nakładane na prognozy generowane przez takie układy. Na początku XIX wieku wielki francuski matematyk i astronom P. Laplace stwierdził (mówiąc współczesnym językiem ), że dysponując wystarczająco silna technika obliczeniową, można w dowolnych okresach czasu prognozować ( lub postgnozować ) zachowanie dowolnego układu dynamicznego. Dynamika nieliniowa postawiła jednakże dla takich ambitnych zamierzeń zasadnicze ograniczenia i pomogła ocenić realny horyzont takich prognoz dla konkretnych układów.

Innymi słowy jednym z kluczowych pojęć na tym etapie stało się pojęcie wrażliwości na dane początkowe – eksponencjalne rozbieganie się dwóch początkowo leżących nieskończenie blisko trajektorii dla określonej klasy układów chaotycznych.

Prędkość takiego rozbiegania określona jest (zazwyczaj ) przez wykładniki Lampunowa. Dla układów o dużych wykładnikach mówimy, że dowolnie mały błąd w określeniu warunków początkowych dla t = 0 będzie skutkował bardzo dużą nieokreślonością znalezienia układu dla t > 0 w spodziewanym stanie. Dlatego też należy ograniczać się tylko do krótko czasowych prognoz, albo wskazać bardziej adekwatne sposoby porównywania zachowania modeli chaotycznych. Jedną z takich możliwości jest

wykorzystanie pewnych funkcjonałów od trajektorii, tzw. ilościowych charakterystyk chaosu.

Ze zdziwieniem przyjęto pracę amerykańskiego matematyka S. Smale’a [3], który w połowie lat 60-tych XX wieku wprowadził odwzorowanie znane obecnie pod nazwą „podkowy Smale’a”. Okazało się, że czasowemu zachowaniu układu dynamicznego może odpowiadać ruch nie po torusie (jak powszechnie sądzono), ani nawet po rozmaitości gładkiej, tylko po obiekcie obecnie zwanym zbiorem fraktalnym.

„Intensywne zastosowanie podejścia geometrycznego do analizy układów dynamicznych rozpoczęło się wraz z ukazaniem się znanej obecnie szeroko, pracy amerykańskiego matematyka S. Smale’a, który wprowadził konstrukcje pewnego typu

odwzorowania zwaną obecnie jako podkowę Smale’a. Pokazał on, że stabilnym zbiorem granicznym (atraktorem) dyskretnego układu dynamicznego może być zupełnie niegładka rozmaitość o całkowitym wymiarze, jaką np. jest stabilny cykl graniczny lub torus, a zupełnie inny samopodobny zbiór fraktalny o wymiarze ułamkowym. Oprócz tego pokazano, że zachowanie trajektorii układu dynamicznego na takim dziwnym atraktorze ( terminologia wprowadzona przez D. Ruelle, F. Takensa ) jest bardzo złożona, łącząc w sobie globalną stabilność ( trajektorie nie uchodzą z pewnego obszaru przestrzeni fazowej ) z lokalną niestabilnością oddzielnych bliskich sobie trajektorii – trajektorie eksponencjalnie rozbiegają się w czasie, co jest własnością charakterystyczną dla obecności na takim atraktorze zarówno dodatnich jak i ujemnych wykładników Lampunowa. W dalszej kolejności znaleziono i inne chaotyczne układy dynamiczne, opisywane przez odwzorowania dyskretne i posiadające dziwne atraktory np. odwzorowanie logistyczne, odwzorowanie Henona, solenoid Smale’a-Williamsa i inne” [2]

Zatem zachowanie układu dynamicznego okazało się być w wielu przypadkach bardzo złożone i w wielu aspektach może ono być nieodróżnialne od procesu czysto przypadkowego np. takiego jak proces stochastyczny.

Okazało się iż zachowanie chaotyczne może być obserwowane już w bardzo prostych układach np. takich jak układ trzech rrz.

W połowie lat 70-tych rozpoczął się triumfalny marsz chaosu dynamicznego ku nowych horyzontom i zastosowaniom.

Właściwie to cały obszerny aparat matematyczny potrzebny w tej teorii był już wtedy gotowy – gotowa była teoria stabilności rozwiązań rrz, istniało pojęcie inwariantnej miary, zbadano szczegółowo strukturę trajektorii układów dynamicznych o złożonym zachowaniu i zrozumiano wagę tzw. trajektorii homoklinicznych, w otoczeniu, których ma miejsce złożone zachowanie.

Istniały już pojęcia – atraktor, zbiór inwariantny, oraz inne kluczowe pojęcia jakościowej teorii rr.

Została rozwinięta teoria zaburzeń i zrozumiano, jaką rolę odgrywają w niej oddziaływania rezonansowe – to właśnie one odpowiadają za rozbieżność szeregów aproksymacyjnych. Dokonano podziału układów hamiltonowskich na klasy układów całkowalnych i niecałkowalnych. Okazało się przy tym, że w przypadku liczby stopni swobody takich układów większej niż 2 układy drugiego typu są znacznie bardziej rozpowszechnione niż pierwsze. A właśnie pośród tych układów znajdują się układy o bardzo złożonej dynamice i układy chaotyczne.

Wraz ze wzrostem mocy obliczeniowej komputerów stała się możliwa dokładna analiza numeryczna wielu układów

dynamicznych. Jednym z pierwszych przykładów analizy komputerowej złożonej dynamiki była praca astrofizyków francuskich M. Henona i C. Heilesa (1964), którzy rozpatrzyli model ruchu gwiazdy przez dysk galaktyczny.

Znaczny postęp w rozumieniu zależności pomiędzy quasiokresową dynamiką i chaosem został osiągnięty dzięki pracom A. N. Kołmogorowa, W. I. Arnolda i Ju. Mosera – autorów twierdzenia KAM. Twierdzenie to mówi, że przy włączeniu wystarczająco słabego oddziaływania pomiędzy ruchami układów nieliniowych z niewymiernym stosunkiem częstości quasiperiodyczny charakter dynamiki w większości przypadków jest zachowany.

Innym ważnym kierunkiem badań, który stał się zaczątkiem badań nad dynamika chaotyczną była hydrodynamika, a dokładnie badania przepływów turbulentnych. W 1944 roku L. D. Landau opublikował artykuł „O problemie turbulentności”, w którym założył, że turbulentność przepływu pojawia się w wyniku dużej liczby (kaskady) kolejnych bifurkacji, każda, z których cechuje się drganiami o nowej częstości. Coraz to nowe pojawiające się częstości w przypadku typowym znajdują się w niewymiernym stosunku z wcześniejszymi częstościami. Nieco później podobne idee rozwijał matematyk niemiecki Hopf.

W 1963 roku amerykański meteorolog E. Lorenz opublikował artykuł „Zdeterminowany nieokresowy przepływ”

(Deterministic nonperiodic flow” , 1962 ) w którym opublikował wyniki numerycznego całkowania z pomocą komputera układu trzech rrz, modelujących dynamikę cieczy przy konwekcji w podgrzewanej od dołu warstwie.

Układ ten opisywany jest przez rrz postaci : dx/dt = σ ( y − x )

dy/dt = rx − y − xz dz/dt = xy − bz

gdzie : σ, r, b – pewne parametry, których interpretacja zależna jest od konkretnego zjawiska opisywanego przez powyższy układ.

Układ taki może, bowiem opisywać dynamikę wielu innych procesów fizycznych – np. konwekcje płynu w komórce, działanie lasera jednomodowego. W swojej fundamentalnej pracy „E. N. Lorenz wykazał, że dla pewnych wartości parametrów ( np. σ = 10, b = 8/3, r = 28 ) przebieg rozwiązań x(t), y(t), z(t) jest niezwykle czuły, na drobną zmianę ich wartości początkowych. Później taka własność dynamiki chaotycznej została nazwana efektem motyla ( butterfly effect )

Rys. 1.2 Przykładowy przebieg rozwiązań układu Lorentza w czasie, dla dwóch nieznacznie różniących się wartości początkowych.

Rys. 1.3 Zależność zmiennych dynamicznych od czasu, otrzymane przez całkowanie numeryczne równań układu Lorentza.

5.4.a Model Lorentz’a.

Jest to znany układ, badany przez Lorenza w 1963 roku , jego wartość polega na tym , że był on zbudowany długo przed pojawieniem się pojęcia dziwnego atraktora. Układ ten miał na celu zbudowanie prostego modelu konwekcji atmosferycznej i miał pomóc odpowiedzieć na pytanie o to czy możliwe jest przewidzenie długookresowe pogody. W ostatnich latach układ Lorenza był dokładnie badany przez wielu autorów. Wiele z uzyskanych wyników przedstawia [30].

Rozpatrzmy warstwę cieczy o stałej szerokości H, na którą działa gradient temperatury ∆T. Jeżeli wszystkie ruchy będą równoległe do płaszczyzny ( x- z) i jednorodne w kierunku y, to równania ruchu mogą być przedstawione w dwu wymiarowej postaci :

∂/∂t (∇2ψ) = (∂ψ/∂z) ∂/∂x (∇2ψ) – (∂ψ/∂x) ∂/∂z (∇2ψ) + ν∇2 (∇2ψ) + gα (∂θ/∂x) (5.4.1)

∂θ/∂t = (∂θ/∂x)(∂ψ/∂x) - (∂θ/∂x)(∂ψ/∂z) + k∇2 θ + ( ∆T/ H) (∂ψ/∂x) (5.4.1) gdzie : ψ - funkcja prądu ruchu tj. składowe prędkości ( u = (u, w) ) zadanymi zależnościami :

u = (∂ψ/∂z) , w = - (∂ψ/∂z) (5.4.2)

θ - pole temperatur, charakteryzujące odchylenie od stanu równowagi.

Współczynniki : g – stała grawitacyjna

α – współczynnik rozszerzania termicznego k – przewodność cieplna

ν - lepkość kinematyczna

Rayleigh pokazał, że rozwiązania postaci :

ψ = ψ0 sin( πax/ H) sin( πz/ H) , θ = θ0 cos (πax/ H) sin(πz/ H) (5.4.3) powinny wzrastać w przypadku, kiedy liczba Rayleigha tj. wielkość :

Ra = gαH3∆T/ νk (5.4.4)

Będzie przewyższała wartość krytyczną :

Ra(c) = π4 ( 1 + a2 )3 / a2 (5.4.5)

Minimalną wartość Ra(c) osiąga przy a2 = ½ :

Ra(c) = 27π / 4 = 657,511 (5.4.6)

Aby obliczyć numerycznie to zagadnienie musimy scałkować parę dwu wymiarowych równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych (5.4.1). Jest to niewdzięczne zadanie. Alternatywą dla bezpośredniego całkowania numerycznego jest rozłożenie funkcji θ i ψ względem pewnej bazy. Przy tym zakładając periodyczne warunki brzegowe w obu kierunkach, otrzymamy : ∞ ∞

ψ(x, z, t) = Σ Σ ψmn (t) sin( mπxa/ H ) sin(mπz/ H ) (5.4.7) m=1 n=1

∞ ∞

θ(x, z, t) = Σ Σ θmn (t) cos( mπxa/ H ) sin(mπz/ H ) (5.4.7) m=0 n=1

Podstawienie tych rozkładów do równań różniczkowych cząstkowych, pozwala otrzymać nieskończenie wiele równań różniczkowych zwyczajnych. Aby dokonać ich całkowania musimy ograniczyć taki zbiór równań.

Lorenz (1963) rozpatrzył pewne możliwe ich ograniczenie, rozpatrując tylko współczynniki ψ11 (oznaczmy je przez X ) , θ11 – oznaczmy je jako Y, θ02 – oznaczmy je jako Z.

W takim przypadku z pomocą przekształceń skalowania możemy sprowadzić układ wejściowy, do następującego układu trzech równań różniczkowych zwyczajnych :

X• = σ ( Y – Z ) (5.4.8)

Y• = - XZ + rX - Y Z• = XY – bZ

Gdzie : σ = ν/k – liczba Prandtla, r = Ra/Ra(c) – (znormalizowana) liczba Rayleigha, b = 4 / (1 + a2 ) – współczynnik geometryczny , τ = π2 ( 1 + a2 )kt / H2 – współczynnik przekształcenia czasu.

Zmiennym X, Y, Z, występujących w równaniach (5.4.8) – zwanych zwykle równaniami Lorenza, możemy nadać prostą fizyczną interpretację :

X – intensywność konwekcji

Y – różnica temperatur między potokiem wchodzącym a wychodzącym Z – odchylenie profilu temperatury od liniowego.

Zbadajmy teraz pewne własności równań (5.4.8).

a) Dywergencja :

D = (∂X•/∂X) + (∂Y•/∂Y) + (∂Z•/∂Z) = - ( b + σ + 1 ) (5.4.9) Jest ujemna, ponieważ b, σ są dodatnie.

Oznaczmy element objętości przestrzeni fazowej przez Γ(t), ściśnięcie przedstawmy w postaci :

Γ(t) = Γ(0) e-( b + σ + 1) t (5.4.10) Zatem wszystkie trajektorie ograniczone są przez pewną rozmaitość graniczną.

b) Punkty krytyczne.

Warunek : X• = Y• = Z• = 0 Spełniają punkty :

1) X = Y = Z = 0 – stan czystego przewodnictwa cieplnego bez konwekcji.

2) X = Y = + sqrt [ b (r –1) ] , Z = r – 1 i X = Y = - sqrt [ b( r- 1) ], Z = r –1 – stacjonarna konwekcja.

Zauważmy, że takie stany istnieją tylko przy r > 1 c) Własności stabilności.

Przekształcenie linearyzowane ma postać :

d/dt [ δX ] [ -σ σ 0 ] [ σX ] (5.4.11) [ δY ] = [ σ – Z -1 -X ] [ σY ]

[ δZ ] [ Y X -b ] [ δZ ]

pozwala ono sformułować następujące wywody dotyczące stabilności punktów krytycznych.

(1) (X, Y, Z ) = (0, 0, 0 ) : przy r < 1 występuje punkt stabilności tj. wszystkie wartości własne mają ujemną część rzeczywistą , przy r > 1 część rzeczywista jednej z wartości własnej jest dodatnia, punkt krytyczny jest niestabilna i

odpowiednio nieskończenie małe zaburzenie może spowodować pojawienie się konwekcji. Zauważmy, że stabilność punktu krytycznego zależy tylko od wartości liczby Rayleigha.

(2) ( X, Y, Z) = ( ± sqrt [ b (r –1) ], ± sqrt [ b (r –1) ], r - 1 ) : przy r > 1 wartości własne składają się z jednego rzeczywistego, ujemnego pierwiastka oraz pary sprzężonych zespolenie pierwiastków. Można pokazać, że ta para punktów krytycznych traci stabilność przy :

r = σ ( σ + b + 3) / ( σ – b – 1) (5.4.12)

Przy r dodatnich, warunek ten spełniony jest tylko w tym przypadku , jeżeli : σ > b + 1

Zauważmy, że stabilność tych punktów krytycznych zależy już nie tylko od wartości liczby Rayleigha.

W swojej pracy [27] Lorenz wybrał następujące wartości parametrów : b = 8/3 , σ = 10

Przy takim wyborze stan stacjonarny ( konwektywny) traci stabilność przy : r = 470/19 ≅ 24,74

a prędkość ściskania : D = -13,67 jest bardzo duża.

Zbadamy teraz, co dzieje się z rozwiązaniami równań Lorenza w miarę wzrostu r.

(1) 0 < r < 1. Początek współrzędnych jest globalnym przyciągającym i stacjonarnym rozwiązaniem, wszystkie trajektorie ( odpowiadające wszystkim różnym warunkom początkowym ) stopniowo zakręcają się po spirali ku początkowi układu współrzędnych.

(2) 1 < r < 24,74. Początek układu współrzędnych traci stabilność i w wyniku bifurkacji przekształca się w parę lokalnych przyciągających , stacjonarnych rozwiązań :

C = ( sqrt [ b (r –1) ], sqrt [ b (r –1) ], r - 1 ) i C’ = ( - sqrt [ b (r –1) ], - sqrt [ b (r –1) ], r - 1 ).

Faktycznie wszystkie trajektorie ściągnięte zostają albo do C albo do C’. Wyjątek stanowi zbiór trajektorii ( miary zero), pozostających w otoczeniu początku współrzędnych. Przy r ≅ 13,962 początek współrzędnych przekształca się punkt

homokliniczny. Dalszy wzrost r prowadzi do nierozróżnialności „obszarów przyciągania” C i C’ , w wyniku, czego trajektorię mogą przechodzić z jednego punktu do drugiego zanim ostatecznie nie pozostaną w jednym z nich na stałe.

(3) r ≅ 24,74. Jak już mówiliśmy, jest to krytyczna wartość, przy której stany stacjonarne C i C’ tracą stabilność. Jednak analiza przeprowadzona przez Hopfa pokazała, że przy większych wartościach r istnieje odwrotna bifurkacji, dlatego punkty graniczne C i C’ nie przekształcają się w cykle graniczne.

(4) r > 24,74. Trajektorię otrzymywane w tym reżimie, zachowują się nietrywialnie. W oryginalnej pracy [27] Lorenz

rozpatrywał trajektorie o warunkach początkowych (X, Y, Z) = (0, 1, 0 ) ( małe odchylenie od stanu równowagi ) przy wartości r

= 28. Przy tej wartości r posiada niestabilne stacjonarne stany : C = ( 6 √2 , 6 √2 , 27 ) i C’ = ( - 6 √2 , - 6 √2 , 27 ).

Obliczenia Lorenza pokazują, że po tym jak zanikną pewne drgania, ruch stanie się skrajnie nieuporządkowanym. Jest to wynikiem tego, że rozwiązanie rozkręca się po spirali w otoczeniu jednego z punktów stałych ( C lub C’ ) w okresie dowolnego odcinka czasu, zostaje, zatem przerzucone do otoczenia drugiego punktu stałego a następnie znowu w pewnym czasie zostaje rozkręcone po spirali, po czym zostaje przerzucone do pierwotnego punktu stałego itd.

Takie zachowanie wywołany jest przez omawiany wcześniej mechanizm rozciągania i składania i prowadzi do nadzwyczaj złożonej rozmaitości – do dziwnego atraktora o określonej postaci. Typowa trajektoria tego atraktora pokazana jest na rysunku 5.16 ( rzucająca się w oczy regularność, widoczna na tym rysunku jest myląca – atraktor jest bardzo złożony ). Spektrum mocy trajektorii jest ciągłe, co wskazuje na wyraźną chaotyczność ruchu.

Przestrzeń fazowa układu Lorenza jest trójwymiarowa i naturalnym wydaje się postawienie pytania : czy istnieje jakiś sposób zwartego przedstawienia ruchu, by może analogiczny do metody przekrojów, wykorzystywanych w badaniu układów

hamiltonowskich. Po tym jak procesy przejściowe zanikają a układ „osiąga” dziwny atraktor, zachowanie wszystkich zmiennych X, Y, Z – jako funkcji czasu jest chaotyczny.

Należy podziwiać pewną odkrywczość Lorenza, który badał kolejne wartości maksimum funkcji Z(t). Z osiąga wartość

maksymalną przy ruchu po spirali w otoczeniu jednego z punktów stałych C lub C’ ( oznaczmy ją jako Zn ), a następnie przerzuca się do drugiego punktu stałego osiągając następną wartość maksymalną (Zn+1 ) itd.

Zależność Zn+1 od Zn pokazano na rysunku 5.17.

Interesujące, że to jednowymiarowe „odwzorowanie” zawiera istotne przejawy dynamiki atraktora Lorenza.

Natura atraktora Lorenza zbadana jest bardzo dokładnie. Jest to w istocie dziwny atraktor, chociaż nie stosuje się do niego aksjomat A. Zauważmy jeszcze, że chociaż ruch jest jawnie chaotycznym do wartości r ≈ 24.74, kolejność zdarzeń, prowadzących do tego chaosowi, nie zawiera żadnych reżimów periodycznych tj. nie odpowiada to pełnemu scenariuszowi Ruelle’a-Takensa pojawiania się turbulentności.

Interesujące jest również to, co zachodzi przy dużych wartościach r. Badania różnych autorów świadczą o istnieniu następujących po sobie reżimów turbulentności i zachowania periodycznego. Przy wartościach r, przewyższających 28

dziwny atraktor przekształca się w periodyczny cykl graniczny ( przykładowo dla r = 145 ÷148). W miarę dalszego wzrostu r, ten cykl graniczny zostaje zachowany przez pewien czas, a następnie przekształca się znów w dziwny atraktor. Przy jeszcze

większych wartościach r, następuje ponowne przekształcenie w inny cykl graniczny ( przy r = 210 ÷234 ).

Rys. 5.16 Rozwiązanie równania Lorenza, otrzymane numerycznie przy r =28. Płaszczyzna pozioma odpowiada wartości Z = 27 5.4.b Różne warianty modelu Lorenza.

Jednym z podstawowych niedostatków modelu Lorenza są skrajnie rygorystyczne warunki odcięcia, rozkładów (5.4.7).

Dlatego ważnym jest przeanalizować, co będzie się działało w miarę dodawania kolejnych modów. Przypadek 14 modów w modelu Lorenza zbadany został przez Curr’ego [24]. Omówimy pokrótce te wyniki.

Okazuje się, że w tym przypadku istnieje szereg dobrze rozróżnialnych reżimów ( należy zauważyć, że w pracy [24] określenie parametru r nieznacznie różni się od określenia przyjętego w pracy Lorenza, dlatego nie należy porównywać sztywno

otrzymywanych wyników ).

(1) 1 < r < 43.48 Ruch jest zbieżny do stabilnego punktu stałego ( istnieją dwa takie punkty )

(2) r ≈ 43.7 Pojawia się stabilny cykl graniczny, wskazujący na normalną bifurkacje Hopfa. W otoczeniu r ≈ 44.07 okres tego cyklu granicznego podwaja się.

(3) 44.6 < r < 45.1 Mamy pewne umotywowane potwierdzenie istnienia stabilnego dwuwymiarowego torusa.

(4) r > 45.1 Pojawia się dziwny atraktor, bardzo mocno przypominający ( w odpowiednim rzucie ) atraktor Lorenza.

Chociaż sam fakt tego, że w rozpatrywanym układzie znaleziono dziwny atraktor budzi pewne nadzieje wiele faktów budzi wątpliwości. Bardziej systematyczne badanie modeli podobnych do modelu Lorenza, przy dodawaniu kolejnych modów potwierdzają oczywiście nadzwyczaj bogatą dynamikę. Jednak w układach takich głównym parametrem regulującym taka dynamikę jest liczba modów ! Innymi słowy, nie istnieje jedno i jednolite zachowanie układu dynamicznego, do którego dążyłyby wszystkie badane układy. Jest to silnym argumentem na to, że obcięcia równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych, przy których zachowujemy niewielką ilość modów, nie mogą dawać, odpowiedniego obrazu „rzeczywistego” zachowania, w sytuacji kiedy fizycznie znaczących jest wiele skal przestrzennych. Jednym z najbardziej aktywnych kierunków współczesnych badań poświęconym równaniom różniczkowym o pochodnych cząstkowych jest dowodzenie istnienia atraktorów o skończonych wymiarach ( zobacz np. [25] )

Proste modele, takie jak model Lorenza są interesujące same w sobie ze względu na bogactwo ich dynamiki.

W charakterze innego interesującego przykładu wymieńmy „model Rosslera” :

X• = – ( Y + Z ) (5.4.13)

Y• = X + 0.2 Y Z• = 0.2 + XZ – cZ

Wraz ze wzrostem parametru c, ruch przechodzi przez szereg bifurkacji podwojenia okresu, prowadzących w końcowym stadium do pojawienia się dziwnego atraktora ( rys. 5.18 )

Innym modelem, demonstrującym podobne zachowanie jest oscylator Duffinga.

Rys. 5.18 Trajektorie równań Rosslera (5.4.13) zrzutowane na płaszczyznę (x, y) i odpowiadające im spektra mocy.

Obliczenia numeryczne prowadzone dla : a) c =2,6 ; b) c = 3,5 ; d) c = 4,1 ; d) c = 4.18 ; e) c = 4,21 f) c = 4,23 ; g) c = 4.3 ; h) c = 4,6

(* Szczegółową analizę nieliniowych równań Lorenza, Rosslera, oraz innych, zainteresowany tym tematem czytelnik znajdzie w książce ( rozdział 3 ) :

„Nowe metody dynamiki chaotycznej” - N. A. Magnickij, S. W. Sidorow ; Moskwa Editoriał URSS 2004

*)

Równanie Naviera-Stokesa.

Równanie Naviera-Stokesa przedstawia sobą fundamentalne równanie cieczy nieściśliwej :

∂u/∂t + ( u∇)u - ν∇2 u = -(1/ρ) ∇p + f (5.1.1a)

div u = 0 (5.1.1b)

u = 0 na ℜ (5.1.1c)

gdzie ℜ - granica obszaru zawierającego ciecz , u – pole prędkości cieczy ( u = u( x, y, z, t) ) , p –ciśnienie cieczy, f – siły zewnętrzne ( jeśli występują ), ν - lepkość kinematyczna.

Możliwość dyssypacji energii zapewniona jest przez obecność w równaniu członu ν∇2 u .

Równanie (5.1.1a) przedstawia sobą trójwymiarowe równanie różniczkowe o pochodnych cząstkowych dla pola prędkości u względem pewnego stałego układu odniesienia.

Równanie (5.1.1b) jest warunkiem nieściśliwości , równanie (5.1.1c) – jest warunkiem granicznym. Trudność prawda polega na tym ,że wiemy bardzo niewiele na temat formalnych własności równania Naviera-Stokesa w trzech wymiarach, przykładowo nie istnieje dowód istnienia rozwiązań dla całego danego przedziału czasu. ( dla przypadku dwu wymiarowego istnieją odpowiednie dowody )

Pionierskie prace w tym obszarze prowadził Reynolds w latach 1880. Jednym z ważniejszych wyników uzyskanych przez niego było wprowadzenie bezwymiarowego parametru, nazywanego współcześnie „liczbą Reynoldsa” :

R = UL / ν

Gdzie : U , L – typowe skale prędkości i długości dla badanego układu.

Jeśli w równaniu Naviera-Stokesa przejść do wielkości bezwymiarowych, odnosząc prędkość do U , a współrzędne do L ( skala czasu przy tym jest równa U/L ), to otrzymamy ( opuszczając człon zawierający siłę zewnętrzną ) :

∂u/∂t + ( u∇)u – (1/R)∇2 u = - ∇p (5.1.2) gdzie wprowadzono również „bezwymiarowe” ciśnienie : p → p/(ρU2 )

Reynolds pokazał, że wraz ze wzrostem R charakter przepływu może się zmieniać do gładkiego i regularnego ( przepływ laminarny ) do nieuporządkowanego, chaotycznego ( przepływ turbulentny ).

Pojęcie turbulentności.

W hydrodynamice pojęciem „turbulentność” przyjęto nazywać stany przestrzenno-czasowego chaosu.

To oznacza, że chaos w cieczy przejawia się we wszystkich skalach, zarówno w przestrzeni jak i czasie. Zadowalające matematyczne opisanie takiego stanu okazało się złożonym problemem matematyki stosowanej.

W ostatnich latach pojawiła się nadzieja, że analiza zachowania chaotycznego prostych układów dynamicznych ( równań różniczkowych zwyczajnych i odwzorowań ) może być pomocna w rozwiązaniu tego problemu. Należy jednak

podkreślić, że w prostych układach obserwujemy tylko „chaos czasowy”. Dlatego ich badanie pozwala jedynie rzucić światło nie na ogólny problem turbulentności a jedynie na pojawianie się turbulentności w przypadku kiedy pole prędkości przejawia fluktuacje w czasie, przestrzeń przy tym pozostaje dalej uporządkowana.

Przypomnijmy, że omawialiśmy w nim turbulentność Lagrange’a przy której chaos w przestrzeni fazowej przejawiał się przez oddzielność trajektorii cząstek cieczy. Pokazaliśmy tam, że stosunkowo proste pola prędkości – nawet przy bardzo małej wartości liczby Reynoldsa mogą przejawiać zachowania chaotyczne. Pokazaliśmy również, że takie zachowania chaotyczne pomagają zrozumieć złożone obrazy struktur przestrzennych obserwowanych w cieczach.

Turbulentność Eulera pomaga zrozumieć pojawienie się przestrzenno-czasowego chaosu w odpowiednim polu prędkości, co ma miejsce przy większej liczbie Reynoldsa. W chwili obecnej związek między turbulentnością Lagrange’a i Eulera

( jeśli on istnieje ) praktycznie nie jest zbadany.

W niniejszym rozdziale będziemy rozpatrywali pojawienie się turbulentności ( w formalizmie Eulera ) wykorzystując modele prostych dysypatywnych układów dynamicznych. Wynikiem badania takich układów, nie bacząc na to, że modele takie mogą mieć luźny związek do rzeczywistych procesów w hydrodynamice, są pewne głębokie i nowe idee. Chociaż pewne z tych modeli wydają się również zbyt abstrakcyjne, ich wybór był podyktowany chęcią interpretacji rzeczywistych eksperymentów.

Na początku opiszemy pewne prace eksperymentalne w których obserwuje się pojawienie turbulentności.

Teoria Landaua-Hopfa

Teoria ta była przedstawiona w początku lat 40-tych XX wieku. Jej idea polega na tym aby rozwiązanie równania Naviera-Stokesa przedstawić w postaci quasiperiodycznym, wraz ze wzrostem liczby Reynoldsa pojawiają się w nim coraz większe częstości składowe :

u(t) = f( ω1t ) → f( ω1t , ω2t ) → f( ω1t , ω2t , ω3t ) → ... (5.3.1) lub w ogólniejszej postaci

u( x , t) = Σ Am (x) eim( ωt + δ) (5.3.2)

m

gdzie : ω = ω1, ω2 , ... , ωk , m = m1, m2 , ... , mk ; k → ∞ przy R→ ∞.

W miarę jak R→∞ prędkość pojawiania się nowych częstości podwaja się.

Zależności częstości zakładamy jako niewymierne, zatem wraz ze wzrostem ich liczby spektrum ( szybko) staje się coraz bardziej złożone, w ten sposób , że po pewnym czasie trudno odróżnić go od spektrum ruchu istotnie chaotycznego.

Od razu powiedzmy, że takie przedstawienie nieskończonej quasiperiodycznej „turbulentności” nie zgadza się z obserwacjami eksperymentalnymi, przykładowo dla przepływu Couette’a i konwekcji Rayleigha-Benarda. Jednak zanim odrzucimy taki model rozpatrzmy pewne wynikające z niego wnioski.

Na początku zastanówmy się jaki sens można nadać „pojawiającym” się w rozwiązaniu nowym częstościom ?

Rozwiązanie u(x , t) można wyobrazić sobie jako pewną trajektorię w nieskończenie wymiarowej przestrzeni fazowej. Jednak w odróżnieniu od zwykłej przestrzeni fazowej, układów hamiltonowskich obecność dyssypacji powoduje niezachowanie objętości fazowej. To oznacza, że trajektoria zawarta będzie w pewnej granicznej rozmaitości ( mającej miarę zero względem całej

przestrzeni fazowej ). Przykładowo w przypadku oscylatora liniowego, którego drgania gasną wraz ze wzrostem tarcia , trajektoria fazowa będzie zakręcała się po spirali do punktu granicznego. Jeżeli mechanizm powodujący zanik drgań oscylatora jest bardziej złożonym – np. oscylator Van-derPola – trajektoria będzie nawijać się w pewien cykl graniczny.

Analogicznym obrazem fazowa trajektoria, odpowiadająca stanowi granicznemu przepływu cieczy, również będzie kończyć się z pewnej granicznej rozmaitości.

Jest zrozumiałe, że w przypadku pojedynczej częstości ( u(t) = f(ω1t ) ) rozwiązanie będzie miało postać prostej

periodycznej trajektorii ( cykl graniczny). Przy pojawieniu się drugiej niezależnej częstości (u(t) = f( ω1t , ω2t ) ) rozwiązanie możemy przedstawić na dwuwymiarowym torusie ( n-wymiarowy torus Tn można zdefiniować jako iloczyn n niezależnych periodycznych cykli ). Wraz z pojawieniem się każdej nowej częstości, trajektoria rozwiązania przechodzi na nowy torus, rozmiar którego pokrywa się z liczbą niezależnych częstości ( zobacz rys. 5.5 ).

Pojawia się pytanie : w jaki sposób trajektoria przechodzi z jednej granicznej rozmaitości na drugą tj. dlaczego rozmaitość wejściowa jest niestabilna i pojawia się druga rozmaitość stabilna wyższego wymiaru ?

Rys 5.5 Przejście od : a) punktu granicznego do b) cyklu granicznego (jedna częstość ) i do c) granicznego torusa ( dwie częstości )

Teoria bifurkacji Hopfa

Podstawowe idee, na których bazuje objaśnienie wcześniej omawianego przejścia, pojawiły się w znanej teorii bifurkacji Hopfa.

Założymy, że nasze równania ruchu zadane są „potokiem” o postaci :

dx /dt = Fµ (x) ; x = x1, ... , xk (5.3.3)

gdzie µ – pewien parametr układu ( przykładowo liczba Reynoldsa)

Twierdzenie Hopfa dotyczy stabilności rozwiązań tego układu równań w funkcji parametru µ.

Punktami krytycznymi równania (5.3.3) są takie punkty x = x* , w których :

dx* /dt = 0 tj. Fµ (x* ) = 0 (5.3.4)

Stabilność tych punktów określamy na drodze analizy wartości własnych λ = λ(µ), odpowiedniego przekształcenia stycznego Fµ (x) , obliczanego w punktach krytycznych. Przy warunku, że wszystkie λ położone są na lewej półpłaszczyźnie tj. wszystkie λ mają ujemną część rzeczywistą, punkt krytyczny przedstawia po prostu punkt graniczny

( rys. 5.6 a) ). Bifurkacja Hopfa zachodzi przy warunku, że para wartości własnych sprzężona zespolenie, mieszana jest z niezerową prędkością z lewej półpłaszczyzny na prawą. Jeżeli przy wartości krytycznej

µ = µc ( wartość µ przy której λ przemieszcza się na prawą półpłaszczyznę ) spełnione są pewne dodatkowe warunki, do których należy istnienie pierwszej, drugiej i trzeciej pochodnej Fµ (x* ), to można pokazać, że punkt graniczny w wyniku bifurkacji przechodzi w stabilną periodyczna trajektorię ( cykl graniczny ) i trajektoria ta przyciąga wszystkie sąsiednie trajektorie (rys. 5.6 b)

Rys. 5.6 a) Trajektoria zakręcająca się po spirali do punktu granicznego. b) Trajektoria zakręcająca się po spirali do stabilnego cyklu granicznego.

Przejście takie znane jest jako „normalna bifurkacja Hopfa” ( niekiedy nazywaną również bifurkacją nadkrytyczną )

Przejście od stabilnego punktu granicznego do stabilnego cyklu granicznego można poglądowo przedstawić za pomocą obrazka ( rys. 5.7 ) ruchu cząstki w potencjale dla którego wraz ze wzrostem parametru µ pojawia się drugie minimum.

Rys. 5.7 Schematyczne przedstawienie normalnej bifurkacji Hopfa. Stabilny punkt graniczny przy µ < µc a) w wyniku przejścia przez punkt µ = µc b) przekształca się w stabilny cykl graniczny przy µ >µc (* napisy na rysunku (od lewej ) : stabilny punkt graniczny, stabilny cykl graniczny – przypis własny *)

Możliwa jest i inna sytuacja, w której przy wartości µc nie pojawiają się żadne przyciągające ( stabilne) rozwiązania. W takim przypadku łatwo sprawdzić, że przy µ < µc istnieje „niestabilna” periodyczna trajektoria, która w miarę jak µ przewyższa µc stopniowo ściąga się do niestabilnego punktu granicznego, co pokazano na rys. 5.8. Taka sytuacja znana jest jako „odwrotna ( lub podkrytyczna ) bifurkacja Hopfa”.

Rys. 5.8 Schematyczne przedstawienie odwrotnej bifurkacji Hopfa. Niestabilny cykl graniczny przy µ < µc a) w wyniku przejścia przez punkt µ = µc b) ściągnięty zostaje do niestabilnego punktu granicznego przy µ > µc c)

(* napisy na rysunku (od lewej ) : niestabilny cykl graniczny, niestabilny punkt graniczny – przypis własny *)

Powinno być teraz zrozumiałe, że obraz pojawienia się turbulencji Landaua-Hopfa oparty jest kolejno następujących normalnych bifurkacjach Hopfa. Zakładając taki obraz , można zadać sobie pytanie w jaki właściwie sposób dokonują się przejścia wyższych rzędów ( powiedzmy, od trajektorii periodycznej do dwu wymiarowego torusa ) ?

Poglądowo na to pytanie odpowiada rysunek 5.9

Rys. 5.9 Schematyczne przedstawienie przekształcenia cyklu granicznego do dwuwymiarowego torusa.

Zademonstrować jednak takie zachowanie nie jest prosto. Na rys. 5.10 ruch przedstawiono na odwzorowaniu Poincarego ( które jest analogiczne do przekroju Poincarego wykorzystywanego w badaniu układów hamiltonowskich ).

Jeżeli udałoby się pokazać, że na tym odwzorowaniu istnieją inwariantne i stabilne okręgi to dowodziłoby to obecności torusa.

Podkreślić należy, że badaniu przekształcenia na odwzorowaniu Poincarego, wejściowy potok ( równanie różniczkowe ) rozpatrujemy jako dyffeomorfizm ( gładkie odwzorowanie odwrotne ). Z formalnego punktu widzenia wymagamy przy tym spełnienia bifurkacyjnego twierdzenia Hopfa dla dyfeomorfizmów. Takie twierdzenie rzeczywiście istnieje.

Mimo tego jak powiedzieliśmy na początku tego podrozdziału, omawiana teoria Landaua-Hopfa nie jest całkowicie zgodna z obserwacjami eksperymentalnymi. Konieczna jest nowocześniejsza teoria. Taka teorią jest teoria Ruellea-Takensa.

Powyższy obszerny cytat pochodzi z książki : M. Tabor „Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej”

W 1971 roku opierając się na wcześniejszych pracach D. Ruelle i F. Takens opublikowali pracę „O naturze turbulentności”.

Poddając krytyce teorię Landaua, argumentowali oni, że po włączeniu do gry względnie niewielkiej liczby częstości ( trzech lub czterech w zależności od matematycznych szczegółów ) dynamika może stać się turbulentną i w szczególności, może

demonstrować charakterystyczne dla procesu przypadkowego spektrum ciągłe. Jest to związane z pojawieniem się w przestrzeni fazowej takiego układu „dziwnego atraktora”. Podkreślono obecność niestabilności trajektorii fazowych na dziwnym atraktorze oraz jego nietrywailnej struktury geometrycznej – struktury zbioru fraktalnego.

„

Teoria Ruelle’a-Takensa.

U swej podstawy teoria ta przedstawiona w 1971 roku przypomina teorię Landaua-Hopfa w tym sensie , że ona również oparta jest na koncepcji bifurkacji normalnej w wyniku których powstają torusy o wysokich wymiarach. Jednak przy tym Ruelle i Takens założyli, że po osiągnięciu czasu T4 ruch może ograniczać się do rozmaitości, które już nie są gładkimi torusami, a posiadają bardziej złożoną naturę. Takie rozmaitości otrzymały nazwę „dziwnych atraktorów”. W późniejszej pracy, napisanej wspólnie z Newhouse’m pokazano, że dziwne atraktory mogą istnieć po osiągnięciu czasu T3. Te atraktory przedstawiają rozmaitości nie posiadające wymiaru całkowitego tj. są czymś pomiędzy powierzchnią a objętością. Pojęcie niecałkowitego wymiaru dokładnie omawia Mandelbrot w kontekście „fraktali”.

Rys. 5.10 a) odwzorowanie Poincarego P, cyklu granicznego przedstawia sobą pojedynczy punkt.

b) Kiedy cykl przekształca się w dwuwymiarowy torus, na odwzorowaniu Poincarego pojawia się okrąg złożony z kropek.

Główna idea teorii Ruelle’a-Takensa-Newhouse’a zakłada, że jeżeli atraktor spełnia pewne określone warunki tj. spełnia pewne

„aksjomaty A” ( w praktyce okazuje się, że taka klasa atraktorów jest bardzo ograniczona , to ruch na nim jest chaotyczny. To oznacza, że ruch jest bardzo czuły na warunki początkowe, czasowe korelacje wskazują na wykładnicze gaśnięcie ( udowodnione jest to tylko dla nielicznych przypadków ), uśrednione zachowanie opisywane jest przez miarę dµ o niezerowej entropii.

Te własności dziwnych atraktorów definiują zasadnicze różnice między teorią Landaua-Hopfa a teorią Ruelle’a-Takensa. W tej pierwszej, ruch zawsze zakłada się jako quasiperiodyczny w swej naturze. W drugiej istnienie dziwnych atraktorów zapewnia mechanizm dzięki któremu ruch o całkowicie zdeterminowanej naturze, dysypatywny, może przejawiać istotnie chaotyczne zachowanie. Okazuje się zatem, że chaos w układzie dyssypatywnym jest możliwy również bez udziału zewnętrznego szumu.

Na pierwszy rzut oka, może wydawać się, że możliwości istnienia chaosu w układzie dyssypatywnym kłóci się z intuicyjnym wyobrażeniem, które jak widzieliśmy przy omawianiu układów hamiltonowskich podpowiada, że wrażliwość na warunki początkowe oznacza rozbieganie trajektorii (i odpowiednio dodatniość wykładników Lapunowa )

Podczas gdy dysypatywność zakłada przyciąganie trajektorii. Bez apelacyjnie w przypadku potoków ( równań różniczkowych ) na płaszczyźnie ( tj. w przypadku dwuwymiarowej przestrzeni fazowej ) pogodzenie tych dwóch wyobrażeń wydaje się ( i takie jest w istocie ) topologicznie niemożliwe. Jednak wraz z pojawieniem się trzeciego ( lub wyższego ) wymiaru przestrzeni fazowej wskazany paradoks może być rozwiązany w następujący sposób.

Wyobraźmy sobie trajektorię które rozbiegają się na płaszczyźnie w sposób przypominający rozkręcanie spirali od pewnego punktu (niestabilnego ) a następnie znowu powracają ( są przyciągane ) do centrum wejściowej spirali. Takie trajektorie pokazano na rys. 5.11. W takim zachowaniu realizują się dwa procesy :

1) rozciąganie, zapewniające wrażliwość na warunki początkowe 2) ściąganie

Po uwzględnieniu tego, że trajektorie w przestrzeni fazowej nie mogą się przecinać, kolejne powtarzające się rozciągania i ściągania trajektorii powinny prowadzić do topologicznie bardzo złożonego obiektowi.

Aby przekonać się o stopniu złożoności tego obiektu, rozpatrzymy proste modelowe przekształcenie znane jako „odwzorowanie podkowy Smale’a” [22]. Polega ono na kolejnym rozciągnięciu i ściskaniu. Na początku wybieramy początkowy prostokąt ( rys. 5.12 ), który rozciągamy w ( przykładowym) kierunku x oraz w nieco większym stopniu ściskamy w kierunku y. W wyniku tego, prostokąt ten przekształca się w prostokąt dłuższy i węższy, pole którego jest nieco mniejsze niż prostokąta wejściowego tj.

pole zmniejsza się, co odzwierciedla pewne zachowanie dysypatywnych układów. Następujący krok polega na aby zgiąć otrzymany prostokąt i nadać mu formę podkowy (* te kolejne kroki są analogiczne do opisanego w podrozdziale 4.7 przekształcenia piekarza, z ta różnicą, że przekształcenie piekarza zachowuje pole *)

Rys. 5.11 Dwa sąsiednie trajektorię odpowiadające dwóm warunkom początkowym ( linia ciągła i przerywana ) wykładniczo rozbiegają się po spirali na płaszczyźnie x-y ( rozciąganie ) a następnie przyciągają się w kierunku z.

Powtarzając wielokrotnie taką procedurę otrzymamy układ o złożonej strukturze. Przekrój poprzeczny takiej struktury ( zobacz rys. 5.13) przedstawia sobą segmenty, liczba których jest podwajana przy każdej następnej iteracji tj. mamy dwa segmenty po pierwszej iteracji, cztery po drugiej itp.

Taka struktura segmentów obrazuje tzw. „zbiór Cantora”, będziemy o nim mówić w podrozdziale 5.3.e, jako o prostym przykładzie fraktala.

Rys. 5.12 Odwzorowanie podkowy Smale’a. Kwadrat wejściowy 5.13 a) typowy przekrój A-A’ podkowy Smale’a

a) jest rozciągany w taki sposób, że jego długość zwiększa się b) Kolejne przekroje (i) (ii) (iii) ilustrują dwukrotnie, a pole zmniejsza się b) następnie jest on wyginany formowanie się struktury typu zbiór Cantora.

Na kształt podkowy c). Na rys. d), e) , f) proces ten jest powtórzony W wyniku czego otrzymujemy dwukrotnie zagiętą podkowę.

Inny scenariusz.

Teoria Ruelle’a-Takensa-Newhouse’a jest istotnym rozwinięciem poprzednich teorii, jednak nie wyczerpuje ona wszystkich możliwości. W chwili obecnej stało się jasne, że w istocie istnieje wiele różnych „mechanizmów” rozwoju turbulentności.

„Scenariusz” Ruelle’a-Takensa-Newhouse’a – jest tylko jednym z nich. Osobny problem przedstawia rozwinięcie turbulentności na drodze kolejno następujących po sobie bifurkacji podwojenia okresu, którą będziemy omawiali w podrozdziale 5.5.

Hierarchia nieuporządkowania.

Różne typy układów dynamicznych charakteryzują się większym lub mniejszym stopniem nieuporządkowania. Przybliżoną klasyfikację takich typów nieporządku możemy przedstawić za pomocą poniższej struktury hierarchicznej.

1). Układy ergodyczne. Jest to najsłabszy typ zachowania, przy którym średnie fazowe są równe średnim po czasie : T

lim

∫

gdzie : < > oznacza uśrednienie po ansamblu na rozpatrywanej rozmaitości.

W charakterze prostych przykładów można podać niewymierny potok na torusie lub w przypadku jednowymiarowych układów, potok na powierzchni energetycznej.

2). Układy mieszające. Tak jak to było pokazane jest to znacznie „silniejsza” własność niż ergodyczność.

W przeciwieństwie do (4.7.11) mieszanie zakłada :

lim f(x, t) = < f (x, t) > (4.7.12) t→∞

tj. dla osiągnięcia „równowagi“ nie wymagamy żadnego uśrednienia po czasie.

Można pokazać, że spektrum układów mieszających jest ciągłe, podczas gdy spektrum układów ergodycznych jest dyskretne.

( Istnieje jeszcze chwilowy stan zwany „słabym mieszaniem”, wystarczający aby spektrum było ciągłe )

3). K-układy. Są to układy o dodatniej entropii Kołmogorowa. W tym przypadku wykładnicze rozbieganie spójnych otoczeń trajektorii powinno charakteryzować się dodatnią prędkością średnią.

4). C-układy (układy Anosowa ). Są to globalnie niestabilne układy, w których wykładnik Lapunowa każdej trajektorii jest dodatni. Przykładem C-układu jest odwzorowanie Arnolda.

5). Układy Bernoulliego. Ruch w tych układach jest zupełnie przypadkowy tak jak wynik rzutu monetą ( przykładem jest przekształcenie piekarza )

Każdemu kolejnemu typowi układu w tej hierarchii przysługują własności wskazanych typów. Przykładowo, odwzorowanie Arnolda odnosi się do C-układów ale posiada również własności K-układów ( w tym przypadku entropia Kołmogorowa równa jest ln [ 3 + √5/2 ] ), charakteryzuje się również mieszaniem, co w pewnym stopniu zakłada również jego ergodyczność.

Z książki : M. Tabor - „Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej”

Literatura.

1) Współczesne problemy dynamiki nieliniowej - G. G. Malineckij, A. W. Potapow ; Editoriał Moskwa 2006 2) Nowe metody dynamiki chaotycznej - N. A. Magnickij, S. W. Sidorow ; Editoriał Moskwa 2004 3) Wprowadzenie do dynamiki nieliniowej - W. T. Grinczenko, W. T. Macypura, A. A. Snarskij

3) Differentiable dynamical systems - S. Smale ; Bull. Amer. Soc. 73 (1967), 747—817, przekład rosyjski UFN 1970 t. 151

4) Drgania, fale, struktury - M. W. Karłow, N. A. Kiriczenko ; Fizmatlit 2003

I. Równania i układy liniowych równań różniczkowych zwyczajnych.

1.1 Równania różniczkowe zwyczajne.

Równania różniczkowe zwyczajne liniowe lub nieliniowe, układy takich równań, jak również równania różniczkowe o pochodnych cząstkowych stanowią podstawowe narzędzie modelowania matematycznego dla bardzo wielu zjawisk fizycznych.

Znalezienie odpowiedniego równania różniczkowego (lub układu takich równań ), opisującego dane zjawisko lub całą klasę zjawisk jest wielokrotnie synonimem zbudowania fizycznej teorii takich procesów. W skład takiej teorii wchodzi :

a) poprawne, matematycznie postawienie zagadnienia, wprowadzonego równania ( identyfikacja typu postawionego rrz lub równania różniczkowego cząstkowego, nadanie odpowiednich warunków brzegowych, badanie istnienia i jednoznaczność rozwiązań, badanie ewentualnych rozwiązań osobliwych, badanie stabilności rozwiązań itp. )

b) fizyczna interpretacja wielkości w nim występujących ( stałych proporcjonalności, współczynników równania, interpretacja zmiennych zależnych i niezależnych, określenie fizycznego sensu warunków brzegowych itp. ) + ewentualne przedstawienie możliwych jego rozwiązań w postaci elementarnej (tj. w postaci funkcji elementarnych ), poglądowej (tj. w postaci graficznej ).

Podstawowymi przykładami równań różniczkowych w fizyce są równania postaci : dx/dt = - kx ; k – stała ( np. równanie rozpadu radioaktywnego ) m d2r /dt = F(r , t, dr/dt ) ; m – stała ( np. równanie ruchu dynamiki newtonowskiej ) m (d2x/dt) + kx = 0 ( np. równanie oscylatora harmonicznego ) Równaniem różniczkowym zwyczajnym ( w skrócie rrz ) nazywamy równanie o postaci :

F ( x, y, y’, y’’ …. y’(n) ) = 0 (1.1.1) w którym niewiadoma jest funkcja y(x), zmiennej niezależnej x.

Przyjmuje się następujące oznaczenia : y’ ≡ dy/dx ; y’’ ≡ d2y/dx2 ; y’(n) ≡ dny/dxn ( n-ta pochodna funkcji y(x) ) Najwyższy rząd n, pochodnej funkcji y(x) ( ogólnie może to być dowolna inna funkcja α zmiennej β ), nazywamy „rzędem”

równania różniczkowego.

Stopniem rrz nazywamy najwyższy wykładnik potęgi pochodnej najwyższego rzędu po sprowadzeniu tego równania do postaci algebraicznej względem tej pochodnej. ( tj. zapisane ( o ile to możliwe ) w postaci wielomianu wszystkich pochodnych występujących w równaniu )

Przykłady.

F( x, y, y’ ) = 0 - rrz pierwszego rzędu.

Równanie to może być w wielu przypadkach sprowadzone do postaci rozwikłanej względem pochodnej : y’ = f(x, y) - rrz w postaci normalnej ( rozwikłanej )

lub :

g(x, y) dx + h(x, y)dy = 0 – rrz o zmiennych rozdzielonych.

y’ = 3x + y lub dy/dx = 3x + y - rrz pierwszego rzędu, pierwszego stopnia.

y’’ = 5x + sin(3x) - rrz drugiego rzędu, pierwszego stopnia x2 ( d2y /dx2 )2 + x(dy/dx) + y = ex - rrz drugiego rzędu, drugiego stopnia y’ + y = const. – rrz pierwszego rzędu, pierwszego stopnia.

Jednym z powodów, dla którego klasyfikujemy równania według ich rzędów i stopni jest to, że własności i metody ich rozwiązań zależą od takiej klasyfikacji.

Rozwiązaniem ( całką ) rrz nazywamy każdą, określoną w pewnym obszarze zmienności funkcje, która podstawiona do tego równania przekształca go w tożsamość.

Samo zagadnienie odnajdywania rozwiązań rrz, nazywamy „całkowaniem rrz”.

Rozwiązaniem rrz postaci (1.1.1) jest pewna funkcja : y = y(x).

Funkcji tej odpowiada pewna krzywa, zwana „krzywą całkową” danego rrz ( jest to tzw. rozwiązanie szczególne rrz ) Zazwyczaj istnieje nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych. Rozwiązaniem ogólnym rrz (1.1) nazywamy wyrażenie : y = φ(x, C ) ; gdzie C – jest to wektor parametrów (danych początkowych )

Przykład 1.1.1 Niech będzie dane rrz o postaci : y’ = f(x) dy = f(x) dx, zatem

y =

∫

Zbiór wszystkich rozwiązań rrz określony powyższym wzorem nazywamy „całką ogólną” rrz. Podstawiając w miejsce C konkretną wartość liczbową otrzymamy rozwiązanie szczególne rrz. Metodę rozwiązywania rrz polegająca na bezpośrednim obliczeniu całek nieoznaczonych nazywamy „kwadraturą” rrz.

Przy rozwiązywaniu tego zadania zakładamy oczywiście, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym obszarze D.

Jak widać z przykładu 1.1.1 rrz spełnia cała rodzina funkcji ( spełniających równanie dla całki ogólnej ).

Aby znaleźć całkę szczególną należy podać jej wartość dla dowolnie wybranej wartości argumentu tzn. określić warunek : y = y0 dla x = x0.

Warunek tego typu nazywamy „warunkiem początkowym” danego rrz. Warunek ten niejednokrotnie zapisujemy w następujący sposób :

y | x =x0 = y0 (1.1.2)

Przykład 1.1.2 Dane jest rrz o postaci : dy/dx = 2x. Znaleźć rozwiązanie szczególne dla warunku początkowego : y | x = 0 = 0

Całkując obustronnie równanie o postaci :

∫

∫

Otrzymujemy rozwiązanie szczególne : y = x2 + C ; x ∈ R

Podstawiając : x = 0 , y = 0 otrzymujemy wartość stałej C = 0, zatem całka szczególna ma postać : y = x2.

Rys. 1.1.1 Krzywe całkowe rrz y’ = 2x

Definicja 1.1.1 Jeżeli każdemu układowi n liczb ( C1, C2 , ... , Cn ) wybranych dowolnie z pewnych przedziałów, jest

przyporządkowana dokładnie jedna krzywa całkowa rrz rzędu n, to mówimy , że jest określona „rodzina krzywych całkowych”

tego równania zależna od n parametrów C1, C2 , ... , Cn.

W ogólności rrz może nie posiadać rozwiązań w dziedzinie rzeczywistej. Mówimy , że rrz jest całkowalne elementarnie , jeżeli jego rozwiązanie ogólne można znaleźć za pomocą skończenie wielu kwadratur i eliminacji, przy czym same kwadratury i eliminacje musza być wykonane elementarnie.

Definicja 1.1.2 Zagadnieniem Cauchy’ego dla rrz rzędu n nazywamy następujące zagadnienie : znaleźć całkę szczególną danego rrz, która spełnia warunki początkowe :

y(x0 ) = y0 , y’(x0 ) = y1 , … , y’(n-1) (x0 ) = yn-1

przy czym liczby : x0 , y0 , y1 , … , yn-1 – zwane „wartościami początkowymi” danego rrz, są dane.

1.2 Istnienie i jednoznaczność rozwiązania rrz postaci y’ = f(x, y).

Jedną z zasadniczych kwestii dla rozwiązywania rrz jest podanie warunków ich jednoznacznego istnienia. Funkcja f(x, y) jest określona w pewnym obszarze D, może się tak zdarzyć, że przez pewne punkty tego obszaru może przechodzić więcej niż jedna krzywa całkowa. Przykładowo funkcja :

y = ( x – C )3 przy dowolnym stałym C jest całką równania :

y’ = y3/2 , jednocześnie y = 0 jest również całką tego równania, zatem przez punkt : x = C, y = 0 przechodzą dwie różne krzywe całkowe : y = ( x – C )3 i y = 0.

Rys. 1.2.1 Niejednoznaczność rozwiązania rrz.

O istnieniu rozwiązań rrz mówi następujące twierdzenie :

Twierdzenie 1.2.1 Jeżeli funkcja f(x, y) jest ciągła w obszarze D, to przez każdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa całkowa rrz y’ = f(x, y).

O jednoznaczności takich rozwiązań to mamy następujące twierdzenie :

Mówimy, że funkcja f(x, y) spełnia warunek Lipschitza w obszarze U ⊂ D jeżeli istnieje taka liczba N, że dla dwóch dowolnych punktów ( x, y) , (x^, y^ ) należących do U zachodzi nierówność :

| f(x, y) – f(x^, y^ ) | ≤ N | y – y^ |

U – jest otoczeniem punktu (x0, y0 ) ∈D, który należy do pewnej krzywej całkowej rozważanego rrz.

Jeżeli pochodna cząstkowa funkcji f względem y jest ograniczona w U :

| ∂f(x, y) /∂y | ≤ N

to funkcja f spełnia w U warunek Lipschitza.