W tym podrozdziale proponujemy sposób wprowadzenia obcięcia, który nie łamie super-symetrii. Jak wiadomo operator Hamiltonianu jest równy antykomutatorowi operatorów su-perładunku i jego sprzężenia hermitowskiego. W związku z tym możemy otrzymać obciętą macierz operatora Hamiltona na dwa różne sposoby:
1. w pierwszym sposobie, obliczamy macierz Hamiltonianu w obciętej bazie, tzn. Hdyskretyzacja Hamiltonianu =Q, Q†
obcięte. (5.5) Tę dyskretyzację nazywamy dyskretyzacją Hamiltonianu. Posłużyliśmy się nią w dyskusji zbieżności widm w rozdziale 5.1 oraz odtwarzania supersymetrii w rozdziale 5.2.
2. w drugim sposobie, obliczamy macierze superładunków w obciętej bazie, natomiast macierz Hamiltonianu otrzymywana jest jako antykomutator już obciętych macierzy superładunków, tzn.
Hdyskretyzacja superładunków =Q
obcięte, Q†
obcięte . (5.6) Ten sposób wprowadzenia obcięcia będziemy nazywać dyskretyzacją superładunków. W granicy fizycznej, odpowiadającej nieskończonemu obcięciu, obydwie dyskretyzacje dają te same wyniki. Jednak dla każdego skończonego obcięcia, obcięte macierze Hamiltonianu będą się różnić ostatnimi elementami na głównej przekątnej.
Oczekujemy, że widmo Hamiltonianu w dyskretyzacji superładunków będzie wykazywać degeneracje supersymetryczne nawet dla skończonego obcięcia, ponieważ operator Hamilto-nianu jest z konstrukcji związany z kwadratem operatora superładunku. Zobaczymy to na
ROZDZIAŁ 5. WYNIKI NUMERYCZNE
przykładzie pary stanów |1i i |2i z sąsiednich sektorów fermionowych, powiązanych działaniem superładunków w następujący sposób [43],
Q†|1i = α|2i, Q|2i = β|1i, (5.7) gdzie α i β są stałymi. Hamiltonian zdefiniowany w odpowiednich sektorach fermionowych zgodnie z (5.6) ma zdegenerowane widmo,
H1|1i ≡ QQ†|1i = αβ|1i,
H2|2i ≡ Q†Q|2i = αβ|2i, (5.8) przy czym skorzystaliśmy z faktu, że Q2 = 0 oraz Q†2 = 0. Zastosowanie dyskretyzacji Hamiltonianu powoduje, że nie da się zapisać obciętej macierzy Hamiltonianu jako kwadratu macierzy superładunków. A zatem, nie będzie ona posiadać degeneracji supersymetrycznej.
Pozostaje uściślić sposób wprowadzenia obcięcia w poszczególnych sektorach fermionowych. W rozdziale 4.1.3, rozróżniliśmy trzy schematy jej ograniczenia, które gwarantują równą ilość stanów bozonowych i fermionowych dla każdej liczby kwantów bozonowych nB. Ozna-czmy maksymalną liczbę kwantów bozonowych w sektorze bozonowym poprzez Ncut. Wtedy obcięcie w sektorach fermionowych może być równe Ncut dla schematu poziomego, Ncut − nF dla schematu lewego lub Ncut + nF dla schematu prawego. Ostatnie dwa schematy są równoważne, jeśli zachowana jest symetrią cząstka-dziura. Będziemy je zatem nazywać też skrótowo: schematami ukośnymi. Przykładowe liczby stanów w bazie Focka z symetrią SU(3) dla schematu poziomego i lewego są przedstawione odpowiednio w tabelach 5.6 i 5.7.
Okazuje się, że w lewym i prawym schemacie możliwe jest otrzymanie degeneracji super-symetrycznej widma, natomiast w schemacie poziomym nie jest. Jest to związane z faktem, że schematy ukośne pozwalają dobrać obcięcie w kolejnych sektorach w taki sposób, aby w każdym sektorze znalazły się wszystkie stany, które mogą być otrzymane poprzez działanie odpowiednio Q lub Q† danymi wzorami (3.34) na stany sektora sąsiedniego. Innymi słowy, tabela 5.7 zawiera wszystkie stany bazowe, które można otrzymać dzięki operatorowi Q za-czynając od dwóch stanów w sektorze nF = 8 . A zatem, posiadając poprawne macierze Q dla schematu lewego definiujemy macierze Q† poprzez sprzężenie hermitowskie Q . Dzięki temu w dyskretyzacji superładunków postać Hamiltonianu w każdym z sektorów związana jest z kwadratem superładunków. Wynika z tego, że obydwa schematy ukośne umożliwia-ją otrzymanie degeneracji supersymetrycznej. Dodatkowo, z konstrukcji wartości ułamków otrzymanych w dyskretyzacji superładunków są równe 1.0 i nie zależą od obcięcia. Anality-czne dyskusje stanów własnych otrzymanych przy zastosowaniu dyskretyzacji Hamiltonianu oraz dyskretyzacji superładunków są zamieszczone odpowiednio w rozdziale 6 oraz w dodatku D.
Dla schematu poziomego (patrz tabela 5.6) sumy liczb stanów bozonowych i fermionowych są równe. Inaczej jest dla schematów ukośnych. W tych przypadkach sumy liczb stanów bo-zonowych i fermionowych różnią się o jeden (patrz tabela 5.7 oraz dyskusja symetrii stanów Focka w rozdziale 4.1.3). Dodatkowy stan jest stanem bozonowym. Dzięki tej nierówności będzie możliwe pojawienie się niezdegenerowanego stanu próżni supersymetrycznej.
Obecnie omówimy szczegółowo widma supersymetrycznego oscylatora anharmonicznego oraz modeli SYMQM z symetrią SU(2) i SU(3) koncentrując się na wskazaniu degeneracji supersymetrycznych.
ROZDZIAŁ 5. WYNIKI NUMERYCZNE nB nF = 0 nF = 1 nF = 2 nF = 3 nF = 4 nF = 5 nF = 6 nF = 7 nF = 8 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 4 3 1 1 1 3 1 1 3 5 4 5 3 1 4 1 2 2 5 8 5 2 5 1 2 4 7 8 7 6 2 2 4 9 10 7 1 3 5 9 8 2 3 5 9 2 3 10 2 Σ 14 18 25 40 36 22 7 3 2
Tabela 5.7: Lewy schemat obcięć dla Ncut = 10 w sektorze bozonowym. Sumaryczna liczba, Σ, stanów bozonowych wynosi 84, natomiast sumaryczna liczba stanów fermionowych 83 (oznaczonymi tłustą czcionką).
5.3.1 Supersymetryczny oscylator anharmoniczny
Supersymetria dla oscylatora anharmonicznego może być odtworzona w obydwu dyskretyza-cjach, ponieważ energie są zbieżne wraz ze wzrostem obcięcia. Zatem jest to dobry model aby porównać wyniki otrzymane obydwiema metodami. Skoncentrujemy się na ułamkach su-persymetrycznych, których wartości dla dyskretyzacji Hamiltonianu zostały przedstawione w tabeli 5.3. Identyczne ułamki supersymetryczne obliczone w dyskretyzacji superładunków zamieściliśmy w tabeli 5.8. Zgodnie z oczekiwaniami w obydwu podejściach otrzymaliśmy podobne wyniki, pomimo że do dyskretyzacji superładunków użyliśmy bardzo małego obcię-cia Ncut = 4. Na uwagę zasługuje różnica w wartościach ułamków q1
5.75469,5.75469. W dyskre-tyzacji Hamiltonianu superpartnerem stanu bozonowego o energii 5.75469 była kombinacja stanów z sektora nF = 1 o tej samej energii. W dyskretyzacji superładunków superpartner jest pojedynczym stanem. A zatem, w tej dyskretyzacji konstruowane są od razu poprawne stany tworzące supermultiplety. Podobne zachowanie zaobserwujemy w modelach swobodnych
nF=0 nF=1 2.80488 5.02988 5.75469 5.75469
2.80488 1.0 0.0 0.0 0.0
5.02988 0.0 1.0 0.0 0.0
5.75469 0.0 0.0 1.0 0.0
7.49223 0.0 0.0 0.0 0.0
Tabela 5.8: Tabela ułamków supersymetrycznych dla supersymetrycznego oscylatora anhar-monicznego pomiędzy sektorami z nF = 0 i nF = 1 dla obcięcia Ncut = 4 w dyskretyzacji superładunków. Wiersze i kolumny opisane są dokładnymi energiami czterech najniższych stanów w sektorach z nF = 0 (wiersze) i nF = 1 (kolumny).
ROZDZIAŁ 5. WYNIKI NUMERYCZNE nF = 0 nF = 1 nF = 2 nF = 3 0 0 0.35130 0.35130 0.35130 0.35130 1.05571 1.05571 1.05571 1.05571 2.16035 2.16035 2.16035 2.16035 3.74252 3.74252 3.74252 3.74252 5.96048 5.96048 5.96048 5.96048 9.22963 9.22963 9.22963 9.22963
Tabela 5.9: Widmo modelu z symetrią SU(2) w dyskretyzacji superładunków. W sektorach nF = 0, 1 wybrano lewy schemat obcięcia z Ncut = 12, natomiast w sektorach nF = 2, 3 wybrano prawy schematu z Ncut = 12.
podczas dyskusji dokładnych rozwiązań zamieszczonej w następnych rozdziałach.
5.3.2 Model z symetrią SU (2)
Baza modelu SU(2) jest wyjątkowo prosta. Przypomnijmy, że sektor bozonowy składa się wyłącznie ze stanów z parzystą liczbą kwantów, natomiast sektor z nF = 1 wyłącznie ze stanów o nieparzystej liczbie kwantów. Wynika z tego, że poziomy schemat obcięcia jest równoważny schematowi lewemu dla parzystej maksymalnej liczby kwantów w sektorze bo-zonowym lub prawemu dla nieparzystej maksymalnej liczby kwantów w sektorze bobo-zonowym. Dodatkowo, z powodu symetrii cząstka dziura, baza w sektorze z nF = 2 może zawierać wyłącznie stany o nieparzystej liczbie kwantów. A zatem, ponieważ operatory superładunków dodają lub odejmują tylko jeden kwant bozonowy, stany z sektorów nF = 1 i nF = 2 nie mogą być przez nie powiązane. Konsekwencją tego jest możliwość niezależnego dobrania obcięcia w sektorach z nF = 0, 1 i nF = 2, 3. Wobec tego oczekujemy, że zarówno symetria cząstka-dziura jak i supersymetria mogą być zachowane, pomimo zastosowania ukośnych schematów obcięć. Tabela 5.9 przedstawia widma energetyczne we wszystkich sektorach modelu SU(2) otrzy-mane dla obcięcia Ncut= 12 przy użyciu dyskretyzacji superładunków. Wybrano lewy schemat obcięcia dla sektorów nF = 0, 1 i prawy dla sektorów nF = 2, 3.
Rozpatrując wyniki dla sektorów nF = 0 i nF = 1 zauważamy sygnaturę supersymetrii. Z jednej strony, energie w obydwu sektorach są identyczne. Ułamki supersymetryczne równe 1.0 świadczą o tym, że odpowiadające zdegenerowanym energiom stany własne przechodzą w siebie nawzajem pod działaniem superładunków. Z drugiej strony, spektrum bozonowe posia-da doposia-datkową energię własną równą dokładnie 0.0. Odpowiaposia-dający zerowej wartości własnej stan jest niezdegenerowaną próżnią supersymetryczną, co można potwierdzić poprzez porów-nanie współczynników rozkładu w bazie Focka otrzymanych numerycznie, ze współczynnikami próżni supersymetrycznej wyprowadzonymi w [29][58].
Niezależne wprowadzenie lewego schematu obcięcia w sektorach z nF = 2, 3 pozwoliło zachować symetrię cząstka-dziura i otrzymać podwójną degenerację wszystkich energii. W szczególności, dzięki temu udało się zrekonstruować obydwie próżnie supersymetryczne obecne w tym modelu.
ROZDZIAŁ 5. WYNIKI NUMERYCZNE nF = 0 nF = 1 nF = 2 nF = 3 nF = 4 nF = 5 nF = 6 nF = 7 nF = 8 0 0.21015 0.21015 0.24613 0.24613 0.29703 0.29703 0.38147 0.38147 0.48561 0.48561 0.44475 0.44475 0.49646 0.49646 0.521402 0.521402 0.54944 0.54944 0.58987 0.58987 0.69098 0.69098 0.69912 0.69912 0.70595 0.70595 0.74999 0.74999 0.82460 0.82460 0.86721 0.86721 0.86909 0.86909 0.88762 0.88762 0.92636 0.92636 1.04406 1.04406 1.08542 1.08542 1.08856 1.08856 1.11521 1.11521 1.12500 1.12500 1.12500 1.125003 1.125003 1.12500 1.12500 1.12500 1.21482 1.21482 1.25000 1.25000 1.25000 1.25000 1.26771 1.26771 1.29289 1.292893 1.292892 1.43070 1.43070 1.50000 1.50000 1.57956 1.57956 1.59330 1.59330 1.619032 1.619032 .. . ... ... ... ... ... ... ... ...
Tabela 5.10: Widmo modelu z symetrią SU(3) we wszystkich sektorach otrzymane przy użyciu dyskretyzacji superładunków. Zastosowano lewy schemat obcięć z maksymalną liczbą kwan-tów w sektorze bozonowym równą Ncut = 10. Przypadkową n-krotną degeneracje w danym sektorze zaznaczono poprzez zapis z wykładnikiem n. Znaczenie kursywy jak w tabeli 5.2.
ROZDZIAŁ 5. WYNIKI NUMERYCZNE nF=0 nF=1 0.24613 0.49646 0.58987 1.04406 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.24613 1.0 0.0 0.0 0.0 0.49646 0.0 1.0 0.0 0.0 0.58987 0.0 0.0 1.0 0.0
Tabela 5.11: Tabela ułamków supersymetrycznych dla modelu SYMQM SU(3) pomiędzy sektorami z nF = 0 i nF = 1 dla przykładowego obcięcia Ncut = 18 dla czterech najniższych stanów otrzymanych w dyskretyzacji superładunków. Wiersze i kolumny opisane są energiami odpowiadającymi stanom z tabeli 5.10.
Pokrywanie się widm w sektorach z nF = 1 i nF = 2 w obydwu dyskretyzacjach jest jedną z konsekwencji prostej struktury badanego modelu i zostanie wyjaśnione podczas dyskusji analitycznych rozwiązań w dyskretyzacji superładunków zamieszczonej w dodatku D.
5.3.3 Model z symetrią SU (3)
Widmo modelu z symetrią SU(3) zostało przedstawione w tabeli 5.10. Wyniki otrzymaliśmy poprzez wprowadzenie obcięcia w lewym schemacie. Zgodnie z oczekiwaniami supersymetria nie jest złamana, natomiast symetria cząstka-dziura jest.
O zachowaniu supersymetrii świadczy dokładna zgodność wszystkich energii własnych w sąsiednich sektorach wraz z analizą ułamków supersymetrycznych. Ich wartości dla przykład-owego obcięcia Ncut = 18 przedstawiliśmy w tabeli 5.11. Wszystkie ułamki supersymetryczne są równe 1.0. Biorąc pod uwagę widmo z tabeli 5.10, możemy zinterpretować ostatnią pustą kolumnę jako oznakę, że odpowiadający stan z sektora z nF = 1 tworzy supermultiplet ze stanem z sektora nF = 2.
Podobnie jak w przypadku modelu SU(2), możliwe jest sprawdzenie, że współczynniki rozkładu stanu o zerowej energii z sektora bozonowego w bazie zgadzają się ze współczyn-nikami próżni supersymetrycznej skonstruowaną w [29]. Sumaryczna liczba stanów bazowych w obciętej bazie nie dopuszcza do powstania próżni supersymetrycznej w sektorach z nF = 3, nF = 5 i nF = 8 zgodnie z przewidywaniami przedstawionymi w [29][59]. Istnienie tych stanów będzie można potwierdzić poprzez analizę analitycznych rozwiązań dla tego modelu w rozdziale 6.
Analityczne wyprowadzenie widm w sektorze z nF = 0 i nF = 1 znajduje się w dodatku D.