m+1 X p=1
Γodd2m+1,2m−2p+2(f†a†)|n+3p−1, 2m−2p+2i+Γodd
2m+1,2m−2p+1(f†a†a†)|n+3p, 2m−2p+1i !
, (C.85) przy czym stałe Γodd
x,y są określone rekurencyjnym wzorem (C.73).
C.9 Wniosek 1
Wniosek 1. Zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości parametru x, dla których istnieje nietrywialne rozwiązanie obciętych relacji rekurencyjnych Laguerre’a nie zależą od postaci współczynników mieszania χ i µ jeśli tylko współczynniki te nie zależą od indeksu j.
Dowód. Postać m + 1 obciętych relacji rekurencyjnych Laguerre’a, takich jak na przykład
po-dane w założeniach twierdzeń 4 lub 5, ma szczególną cechę, mianowicie, i-ta relacja rekurencyj-na zawiera wyrazy mieszające proporcjorekurencyj-nalne tylko do współczynników j-tej relacji cyjnej, gdzie j > i. Załóżmy że ∀j > i wszystkie współczynniki opisane j-tą relacje rekuren-cyjną znikają. Wtedy, i-ta relacja rekurencyjna staje się jednorodna i może być rozwiązana przy użyciu twierdzenia 1. Jak wynika z tego twierdzenia, możliwe wartości parametru x są dane równaniem
Lαi
κi+1(x) = 0, (C.86)
z pewnym odpowiednim κi. Załóżmy teraz że x nie jest rozwiązaniem powyższego równania. Wtedy, współczynniki opisane relacją rekurencyjną, w myśl powyższych twierdzeń, muszą znikać. W takim przypadku, (i − 1)-ta relacja rekurencyjna staje się jednorodna i może być rozwiązana z pomocą twierdzenia 1. Tak więc, zbiór możliwych wartości parametru x będzie dany poprzez sumę mnogościową zer dwóch równań,
Lαi
κi+1(x) = 0, (C.87)
Lαi−1
DODATEK C. REKURENCJE I UOGÓLNIONE WIELOMIANY LAGUERRE’A
Powtarzając indukcyjnie powyższe kroki, możemy wnioskować że zbiór wszystkich wartości parametru x dla których istnieje nietrywialne rozwiązanie dla układu m + 1 relacji rekuren-cyjnych Laguerre’a jest dany poprzez zera poniższego równania
m Y p=0 Lαp κp+1(x) ! = 0. (C.89)
Na koniec zauważmy, że w obciętym układzie relacji rekurencyjnych Laguerre’a z założe-nia istnieje jedna jednorodna relacja rekurencyjna, która może być rozwiązana przy użyciu twierdzenia 1.
DODATEK D
ROZWIĄZANIA ANALITYCZNE W
DYSKRETYZACJI SUPERŁADUNKÓW
DODATEK D. ROZWIĄZANIA ANALITYCZNE W DYSKRETYZACJI SUPERŁADUNKÓW Na początku rozdziału 5 zaproponowane zostały dwie możliwe dyskretyzacje. Różnią się one sposobem wprowadzenia obcięcia. W pierwszej z nich obcinana jest macierz Hamiltonianu, natomiast w drugiej obcinane są macierze superładunków, a z nich następnie wyliczana jest macierz Hamiltonianu. W rozdziale 6 zostały omówione analityczne rozwiązania otrzymane przy pomocy dyskretyzacji Hamiltonianu. W tym dodatku, chcemy przedyskutować anality-czne rozwiązania otrzymane przy zastosowaniu dyskretyzacji superładunków. Zaczniemy od modelu z symetrią SU(2), a następnie omówimy model z symetrią SU(3) koncentrując się na przykładzie dwóch najprostszych rodzin rozwiązań w sektorach z nF = 0 i nF = 1. Naszym celem będzie zademonstrowanie mechanizmów odpowiedzialnych za powstanie degeneracji supersymetrycznej w dyskretyzacji superładunków, a nie wyliczenie pełnego rozwiązania za-gadnienia własnego.
D.1 Model z symetrią SU (2)
Ogólne stany z sektora bozonowego oraz z jednym fermionem mogą być zapisane jako
|EinF=0 =
∞
X
k=0
ak(E) tr (a†2)k|0i, |EinF=1 =
∞
X
k=0
bk(E) tr (f†a†) tr (a†2)k|0i, (D.1)
Z równań
Q†|EinF=0= α|EinF=1, Q|EinF=1 = β|EinF=0, (D.2) możemy wyprowadzić relacje rekurencyjne na współczynniki ak(E) oraz bk(E), przy czym po zmianie zmiennych α→ −i√2α, β → −iβ√2, αβ = E (D.3) otrzymujemy ak− (k + 1)ak+1= Ebk, k≥ 0, (D.4) 1 2 bk−1− (k + 3 2)bk = ak, k ≥ 0, b−1 = 0, (D.5) Dla skończonego obcięcia Ncuttylko współczynniki ak dla k < d(Ncut) i bk dla k < d′(Ncut) są dopuszczalne, przy czym stałe d i d′ są dane wzorami
d =j1 2Ncut k + 1, d′ =j1 2 Ncut− 1k + 1. (D.6)
Wartości stałych d i d′ dla przykładowych Ncut ilustruje tabelka D.1. Dla Ncut nieparzystego mamy taką samą ilość stanów w obydwu sektorach, natomiast dla Ncutparzystego w sektorze bozonowym jest o jeden stan więcej niż w sektorze z nF = 1. Obcięte relacje rekurencyjne (D.4) oraz (D.5) otrzymujemy poprzez ograniczenie się do pierwszych d współczynników ak
oraz pierwszych d′ współczynników bk. W celu otrzymania rekurencji wyłącznie na ak lub bk
DODATEK D. ROZWIĄZANIA ANALITYCZNE W DYSKRETYZACJI SUPERŁADUNKÓW nB ak bk 0 a0 -1 - b0 2 a1 -3 - b1 4 a2 -... nieparzyste - bηb parzyste aηa -nB ak bk 0 a0 -1 - b0 2 a1 -3 - b1 4 a2 -5 - b2 ... parzyste aη1 -nieparzyste - bηb Ncut nF = 0 nF = 1 0 1 0 1 1 1 2 2 1 3 2 2 ... 10 6 5 11 6 6 ...
Tabela D.1: Ilość stanów w bazie Focka dla grupy symetrii SU(2).
W przypadku gdy Ncut jest parzyste wszystkie równania ze zbioru (D.4) pozostają nie-zmienione. Ostatnie równanie ma zatem postać
i √
2 ad−2− (d − 1) ad−1 = αbd′−1. (D.7) Wprowadzenie obcięcia zmieniło formę ostatniego równania ze zbioru (D.5), które otrzymuje postać
i 2√
2 bd′−1 = βad−1. (D.8)
Pozostałe równania nie zmieniają się. Po wyrugowaniu współczynników jednego typu otrzy-mujemy niezależne relacje rekurencyjne na współczynniki ak oraz bk w dyskretyzacji su-perładunków. Okazuje się, że relacja rekurencyjna na współczynniki bk ma taką samą formę jak w dyskretyzacji Hamiltonianu opisanej w rozdziale 6. A zatem, w sektorze fermionowym możemy przepisać zarówno rozwiązania jak i warunek kwantyzacji
L32
d′(2E) = 0. (D.9)
Modyfikacja (D.8) powoduje natomiast zmianę relacji rekurencyjnej na współczynniki ak. W porównaniu z równaniami obliczonymi w dyskretyzacji Hamiltonianu, różnica pojawia się w ostatnim równaniu, które jest jednocześnie warunkiem kwantyzacji w sektorze bozonowym. Otrzymujemy
EL32
d−1(2E) = 0. (D.10)
Dodatkowy czynnik E powoduje, że widmo w sektorze bozonowym zawiera energię 0. Stan własny odpowiadający zerowej energii własnej jest dokładnie postaci wyprowadzonej w [50]. Dla parzystego obcięcia d−1 = d′, wobec czego widma w obydwu sektorach są takie same, z dodatkową zerową energią własną w sektorze bozonowym. Wzory na stany własne pozostają
DODATEK D. ROZWIĄZANIA ANALITYCZNE W DYSKRETYZACJI SUPERŁADUNKÓW
niezmienione w porównaniu z dyskretyzacją Hamiltonianu, a zatem aj(E) = a0Γ(3 2)L 1 2 j(2E), 0≤ j < d − 1, bj(E) = b0Γ(5 2)L 3 2 j(2E), 0≤ j < d′. (D.11)
Dla Ncut nieparzystego, ilość stanów w obydwu sektorach jest taka sama. Wprowadzenie obcięcia modyfikuje ostatnie równanie ze zbioru równań (D.4), natomiast wszystkie równania (D.5) pozostają niezmienione. W konsekwencji, relacje rekurencyjne na współczynniki akbędą identyczne jak w przypadku relacji otrzymanych przy użyciu dyskretyzacji Hamiltonianu. Zatem, warunek kwantyzacji w sektorze bozonowym przyjmie postać
L12
d(2E) = 0. (D.12)
Modyfikacja równań rekurencyjnych na współczynniki bk, zmieni warunek kwantyzacji w sek-torze fermionowym, które przyjmie postać
L12
d′(2E) = 0. (D.13)
Dla nieparzystego obcięcia, d = d′, dlatego też widma w obydwu sektorach są identyczne. Stany własne są dane wzorami
aj(E) = a0Γ(3 2)L 1 2 j(2E), 0≤ j < d, bj(E) = b0Γ(5 2)L 3 2 j(2E), 0≤ j < d′. (D.14)
Tym razem ilość stanów w obydwu sektorach nie pozwala na zmieszczenie się niezdegen-erowanego stanu.
Podsumowując, pokazaliśmy, że w dyskretyzacji superładunków otrzymujemy dokładną degeneracje supersymetryczną dla każdego skończonego obcięcia. Rozszerzymy teraz powyższe rozumowanie dla modelu z symetrią SU(3).