Definicja 1.73. Szeregiem potegowym o ´, srodku w punkcie 𝑧0 ∈ ℂ nazywamy szereg postaci
∞
∑
𝑛=0
𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛, (1.8)
gdzie 𝑎𝑛∈ ℂ.
Definicja 1.74. Promieniem zbie˙zno´sci szeregu potegowego (1.8) nazywamy kres g´orny zbioru tych liczb 𝑟, ˙ze dany szereg jest zbie˙zny w kole {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧0∣ < 𝑟}.
Lemat 1.75. (Wz´or Cauchy’ego-Hadamarda) Niech dany bedzie szereg pot, egowy (1.8). W´, owczas
1
Przyk̷lad 1.76. 1. Szereg ∑∞
𝑛=0𝑧𝑛 jest zbie˙zny w kole 𝐾(0, 1) = {𝑧 : ∣𝑧∣ < 1}, poniewa˙z
𝑛=1𝑧𝑛 nie jest zbie˙zny, bo nie zachodzi warunek konieczny zbie˙zno´sci - wyraz 𝑧𝑛= 𝑒𝑖𝑛𝜙 ma modu̷l r´owny 1, czyli nie da˙zy do zera.,
𝑛2 < ∞.) Zatem szereg jest zbie˙zny w kole i na brzegu.
3. Dla szeregu ∑∞ Szereg jest zbie˙zny tylko dla 𝑧 = 0.
Twierdzenie 1.77. (o holomorficzno´sci sumy szeregu potegowego), Je˙zeli promie´n 𝑅 zbie˙zno´sci szeregu potegowego, ∑∞
𝑛=0𝑎𝑛𝑧𝑛 jest dodatni, to 𝑓 -suma tego
(Szereg potegowy wewn, atrz ko̷la zbie˙zno´sci mo˙zna r´, o˙zniczkowa´c wyraz po wyrazie).
Wniosek 1.78. Szereg potegowy ma pochodn, a dowolnego rz, edu:,
∀𝑘 ∈ ℕ 𝑓(𝑘)(𝑧) =
∞
∑
𝑛=𝑘
𝑛(𝑛 − 1) . . . (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑎𝑛𝑧𝑛−𝑘.
Definicja 1.79. Niech 𝐷 ⊂ ℂ obszar, funkcje 𝑓 : 𝐷 → ℂ nazywamy analityczn, a w 𝐷 ⇔, gdy dla ka˙zdego 𝑧0 ∈ 𝐷 istnieje szereg potegowy postaci, ∑∞
𝑛=0𝑎𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛 zbie˙zny w kole 𝐾(𝑧0, 𝑟) ⊂ 𝐷 taki, ˙ze 𝑓 (𝑧) =∑∞
𝑛=0(𝑧 − 𝑧0)𝑛 dla 𝑧 ∈ 𝐾(𝑧0, 𝑟).
Oznaczenia 1.80. 𝐴(𝐷) oznacza zbi´or wszystkich funkcji analitycznych w 𝐷.
Wniosek 1.81. Z twierzenia o holomorficzno´sci sumy szeregu wynika 𝐴(𝐷) ⊂ 𝐻(𝐷).
Twierdzenie 1.82. (o rozwijaniu funkcji holomorficznej w szereg Taylora)
𝐷 ⊂ ℂ, 𝐷-obszar. Je˙zeli funkcja 𝑓 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑧0 ∈ 𝐷, 𝐷(𝑧0, 𝑟) ⊂ 𝐷, to 𝑓 mo˙zna przedstawi´c w tym kole w postaci sumy szeregu potegow, ego,
𝑓 (𝑧) =
∞
∑
𝑛=0
𝑐𝑛(𝑧 − 𝑧0)𝑛 𝑖 𝑐𝑛= 1 2𝜋𝑖
∫
∂𝐷(𝑧0,𝑟)
𝑓 (𝜁)
(𝜁 − 𝑧0)𝑛+1𝑑𝜁, gdzie ∂𝐷(𝑧0, 𝑟) jest zorientowany dodatnio.
czyli
𝑓(𝑛)(𝑧0) = 𝑛!
2𝜋𝑖
∫
∂𝐷(𝑧0,𝑟)
𝑓 (𝜁)
(𝜁 − 𝑧0)𝑛+1𝑑𝜁.
Wniosek 1.83. Z twierdzenia 7.8 i wniosku 4.3 wynika, ˙ze A(D)=H(D) W analize zespolonej je ˙zeli funkcja jest raz r´o ˙zniczkowalna, to
∙ jest r´o ˙zniczkowalna niesko´nczenie wiele razy,
∙ jest analityczna.
2 R´ ownania r´ o ˙zniczkowe I rz edu
,Definicja 2.1. 𝐺 ⊂ ℝ3zbi´or sp´ojny, 𝑓 : 𝐺 :→ ℝ funkcja. R´ownaniem r´o˙zniczkowym I rzedu,
nazywamy r´ownanie postaci
𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥) = 0 [𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0]. (2.1) Taka posta´, c r´ownania nazywamy nierozwik̷lana wzgl, edem pochodnej. Je˙zeli (2.1) mo˙zna za-, pisa´c w postaci
˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥), (2.2)
to nazywamy je rozwik̷lanym wzgledem pochodnej., Oznaczenia 2.2. Inna notacja
∙ (2.1) - posta´c og´olna r.r. I rzedu,
∙ (2.1) - posta´c normalna r.r. I rzedu,
Definicja 2.3. Rozwiazaniem r´, ownania (2.1) (odp.(2.2)) nazywamy funkcje 𝑥 : 𝐼 → ℝ, (𝐼 ⊂ ℝ przedzia̷l) klasy 𝐶1 na 𝐼 taka, ˙ze dla ka˙zdego 𝑡 ∈ 𝐼 zachodzi ˙𝑥(𝑡) = 𝑓 (𝑡, 𝑥(𝑡)).
Przyk̷lad 2.4. Przyk̷lad r´ownania I rzedu,
˙𝑥 = −𝑘𝑥, 𝑘 > 0 Inny zapis ˙𝑥(𝑡) = −𝑘𝑥(𝑡).
∙ Je˙zeli funkcja 𝑥(𝑡) nie jest to˙zsamo´sciowo r´owna 0, to dzielimy stronami przez 𝑥(𝑡) i mno˙zymy przez 𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑥 = −𝑘𝑑𝑡.
Ca̷lkujemy stronami
∫ 𝑑𝑥 𝑥 =
∫
−𝑘𝑑𝑡 = −𝑘
∫ 𝑑𝑡
=⇒ 𝑙𝑛∣𝑥∣ = −𝑘𝑡 + 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ ℝ.
Lepiej napisa´c tak
𝑙𝑛∣𝑥∣ = −𝑘𝑡 + ln ∣𝐶1∣, 𝐶1 ∈ ℝ ∖ {0}
𝑒𝑙𝑛∣𝑥∣ = 𝑒−𝑘𝑡+𝑙𝑛∣𝐶1∣= ∣𝐶1∣𝑒−𝑘𝑡, 𝐶1 ∈ ℝ ∖ {0}, 𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ
∣𝑥∣ = ∣𝐶1∣𝑒−𝑘𝑡, 𝐶1 ∈ ℝ ∖ {0}, 𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ.
Opuszczamy modu̷ly
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒−𝑘𝑡, 𝐶1 ∈ ℝ ∖ {0}, 𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ.
∙ Je˙zeli funkcja 𝑥 = 𝑥(𝑡) ≡ 0
=⇒ ˙𝑥(𝑡) = 0 =⇒ 𝑥(𝑡) = 𝐶 ∈ ℝ ale ˙𝑥 = 𝑥(𝑡) =⇒ 𝐶 = 0
∙ Rzwiazanie og´, olne ma posta´c
𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒−𝑘𝑡, 𝐶 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ
Przyk̷lad 2.5. Bank prowadzi konta z ciag̷la kapitalizacj, a odsetek. Pokaza´, c, ˙ze kapita̷l 𝐾(𝑡) w chwili 𝑡, z̷lo˙zony w tym banku, spe̷lnia r´ownanie r´o˙zniczkowe
𝐾′(𝑡) = 𝑟𝐾(𝑡),
gdzie 𝑟 jest roczna stop, a procent´, ow, a czas 𝑡 jest liczony w latach.
Odp. Niech 𝐾0 = 𝐾(0) oznacza kapita̷l poczatkowy z̷lo˙zony w banku. Gdyby bank dokonywa̷l, kapitalizacji odsetek w stosunku rocznym, to po 𝑡 - latach kapita̷l ur´os̷lby do kwoty 𝐾0(1+𝑟)𝑡, poniewa˙z
po roku - 𝐾0+ 𝑟𝐾0 = 𝐾0(1 + 𝑟),
po dw´och latach - 𝐾0(1 + 𝑟) + 𝑟𝐾0(1 + 𝑟) = 𝐾0(1 + 𝑟)2, po t latach - 𝐾0(1 + 𝑟)𝑡.
Za̷l´o˙zmy teraz, ˙ze kapitalizacja odsetek nastepuje 𝑛-razy w ci, agu roku. Wtedy kapita̷l po 𝑡, latach ur´os̷lby do kwoty
𝐾0( 1 + 𝑟
𝑛 )𝑛𝑡
Przechodzac w powy˙zszym wzorze 𝑛 → ∞ otrzymamy kwot, e, do jakiej uro´snie kapita̷l po 𝑡-, latach przy ciag̷lej kapitalizacji odsetek. Mamy wi, ec,
𝐾(𝑡) = lim
𝑛→∞𝐾0( 1 + 𝑟
𝑛 )𝑛𝑡
= lim
𝑛→∞
[ 𝐾0(
1 + 𝑟 𝑛
)𝑛/𝑟]𝑟𝑡
= 𝐾0𝑒𝑟𝑡. R´o˙zniczkujac po 𝑡 otrzymamy,
𝐾′(𝑡) = 𝐾0𝑟𝑒𝑟𝑡= 𝑟𝐾(𝑡).
Definicja 2.6. Warunek postaci 𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑥0, 𝑡0 ∈ ℝ, nazywamy warunkiem poczatkowym, (warunkiem Cauchy’ego), za´s uk̷lad
{ ˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥)
𝑥(𝑡0) = 𝑦0 (2.3)
lub { 𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥) = 0
𝑥(𝑡0) = 𝑥0 (2.4)
nazywamy zagadnieniem poczatkowym Cauchy’ego.,
Definicja 2.7. Rozwiazaniem zagadnienia pocz, atkowego (1.3), (1.4) na przedziale [𝑡, 0, 𝑡0+ 𝜀) nazywamy funkcje 𝑥 = 𝑥(𝑡) klasy 𝐶, 1 na tym przedziale, spe̷lniajac, a r´, ownanie ˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥) lub 𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥) = 0 na przedziale [𝑡0, 𝑡0+ 𝜀) oraz warunek 𝑥(𝑡0) = 𝑥0. Takie rozwiazanie nazywamy, rozwiazaniem szczeg´, olnym.
Przyk̷lad 2.8. Znale´z´c rozwiazanie zagadnienia Cauchy’ego., { ˙𝑥(𝑡) = −𝑘𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑥0 ∈ ℝ gdzie 𝑥0 jest ustalone!
Odp. Wiemy, ˙ze rozwiazane og´, olne ma posta´c
𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒−𝑘𝑡∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝐼 = ℝ.
Szukamy warto´sci 𝐶, kt´ora b, edzie spe̷lnia´, c warunek poczatkowy 𝑥(𝑡, 0) = 𝑥0. Zatem 𝑥(𝑡0) = 𝐶0𝑒−𝑘𝑡0 =⇒ 𝐶0 = 𝑥0𝑒𝑘𝑡0 =⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑥0𝑒𝑘𝑡0𝑒−𝑘𝑡 = 𝑥0𝑒−𝑘(𝑡−𝑡0)∧ 𝑡 ∈ ℝ.
Definicja 2.9. Wykres rozwiazania 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, w przestrzeni ℝ, 2 zmiennych (𝑡, 𝑥) nazywamy krzywa ca̷lkow, a.,
Definicja 2.10. Je˙zeli 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑐), 𝑡 ∈ 𝐼, jest rodzina funkcji rzeczywistych zmiennej 𝑡, sparametryzowana parametrem 𝑐, tak, a, ˙ze dla ka˙zdego 𝑐 ∈ 𝐴 ⊂ ℝ, 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑐) jest krzyw, a, ca̷lkowa r´, ownania (2.1) lub (2.2) i dla ka˙zdego (𝑡0, 𝑥0) ∈ 𝐺 istnieje 𝑐0 ∈ 𝐴 takie, ˙ze 𝑥(𝑡, 𝑐0) jest krzywa ca̷lkow, a przechodz, ac, a przez puunkt (𝑡, 0, 𝑥0), to rodzine 𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝑐) nazywamy, rozwiazaniem og´, olnym r´ownania (2.1) lub (2.2).
Definicja 2.11. Je˙zeli rozwiazania maja posta´, c uwik̷lana Φ(𝑡, 𝑥, 𝑐) = 0, to nazywamy je ca̷lk, a, og´olna r´, ownania.
Twierdzenie 2.12. (Picarda-Lindel¨ofa o istnieniu i jednoznaczno´sci rozwiaza´, n lokalnych.)
𝑄 = {(𝑡, 𝑥) ∈ ℝ2 : ∣𝑡 − 𝑡0∣ ≤ 𝑎 ∧ ∣𝑥 − 𝑥0∣ ≤ 𝑏}, 0 < 𝑎, 𝑏 < ∞.
Niech 𝑓 : 𝑄 → ℝ bedzie funkcj, a ci, ag̷l, a, kt´, ora spe̷lnia warunek Lipschitza wzgledem zmiennej, 𝑥 tzn. ∃ 0 < 𝐿 < ∞ taka, ˙ze ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ [𝑥0− 𝑏, 𝑥0+ 𝑏]
∣𝑓 (𝑡, 𝑥1) − 𝑓 (𝑡, 𝑥2)∣ ≤ 𝐿∣𝑥1 − 𝑥2∣.
Wtedy zagadnienie Cauchy’ego
{ ˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥) 𝑥(𝑡0) = 𝑦0
ma dok̷ladnie jedno rozwiazanie na przedziale ∣𝑡 − 𝑡, 0∣ ≤ 𝛼, gdzie 𝛼 < min{𝑎, 𝑏/𝑀, 1/𝐿} i 𝑀 = sup(𝑡,𝑥)∈𝑄∣𝑓 (𝑡, 𝑥)∣
Twierdzenie 2.13. (Peano o istnieniu rozwiaza´, n lokalnych.)
𝑄 = {(𝑡, 𝑥) ∈ ℝ2 : 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡0+ 𝑎], 𝑥 ∈ [𝑥0, 𝑥0+ 𝑏], 0 < 𝑎, 𝑏 < ∞.
Niech 𝑓 : 𝑄 → ℝ bedzie funkcj, a ci, agl, a. Wtedy zagadnienie Cauchy’ego, { ˙𝑥 = 𝑓 (𝑡, 𝑥)
𝑥(𝑡0) = 𝑦0
ma rozwiazanie na przedziale [𝑡, 0, 𝑡0+ 𝛼], gdzie 𝛼 < min{𝑎, 𝑏/𝑀 } i 𝑀 = sup(𝑡,𝑥)∈𝑄∣𝑓 (𝑡, 𝑥)∣.
Przyk̷lad 2.14. W przyk̷ladzie 2.4, w kt´orym rozwiazywali´, smy r´ownanie ˙𝑥 = −𝑘𝑥, 𝑘 > 0, funkcja po prawej stronie r´ownania 𝑓 (𝑡, 𝑥) = −𝑘𝑥 spe̷lnia warunek Lipschitza na ca̷lej prostej ℝ.
Odp. Wiemy, ˙ze je´sli 𝑔 ∈ 𝐶1([𝑎, 𝑏]) to sta̷la Lipschitza szacuje sie jako, 𝐿 = sup
𝑥∈[𝑎,𝑏]
∣𝑓′(𝑥)∣.
U nas ∂𝑓 (𝑡,𝑥)∂𝑥 = −𝑘 to sta̷la 𝐿 = sup
𝑥∈ℝ
∂𝑓 (𝑡, 𝑥)
∂𝑥
= ∣ − 𝑘∣ = 𝑘 ∕= 0 stad,
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ ∣𝑓(𝑡, 𝑥1) − 𝑓 (𝑡, 𝑥2)∣ = ∣𝑘𝑥1− 𝑘𝑥2∣ ≤ 𝑘 ⋅ ∣𝑥1− 𝑥2∣
Przyk̷lad 2.15. Znale´z´c rozwiazanie zagadnienia Cauchy’ego, { ˙𝑥(𝑡) = 𝑥1/3(𝑡)
𝑥(𝑡0) = 𝑥0, 𝑥0 ∈ ℝ gdzie 𝑥0 jest ustalone!
Odp. W tym przyk̷ladzie funkcja po prawej stronie r´ownania 𝑓 (𝑡, 𝑥) = 𝑥13 NIE spe̷lnia warunku Lipschitza w punkcie 𝑥0 = 0.
Poka˙zemy, ˙ze dla 𝑥0 = 0 zagadnienie Cauchy’ego posiada wiecej rozwi, aza´, n ni˙z jedno.
Zatem to za̷lo ˙zenie jest ISTOTNE.
(1.) Je´sli 𝑥(𝑡) nie jest funkcja to˙zsamo´sciowo r´, owna 0, to nasze r´, ownanie mo˙zna zapisa´c 𝑑𝑥
𝑥1/3 = 𝑑𝑡 (a) dla 𝑥 > 𝑥0 i 𝑡 > 𝑡0
∫ 𝑥 𝑥0
𝑑𝑦 𝑦1/3 =
∫ 𝑡 𝑡0
𝑑𝑠 =⇒[ 𝑦2/3
2 3
]𝑥
𝑥0
= 𝑡 − 𝑡0
=⇒ 𝑥2/3(𝑡) − 𝑥2/30 = 3/2(𝑡 − 𝑡0) =⇒ 𝑥2/3(𝑡) = 𝑥2/30 + 3/2(𝑡 − 𝑡0) ∧ 𝑡 > 𝑡0
=⇒ 𝑥(𝑡) = (
𝑥2/30 + 3/2(𝑡 − 𝑡0))3/2
∧ 𝑡 > 𝑡0 oraz 𝑥(𝑡0) = ((𝑥2/30 ))3/2 = 𝑥0 (b) dla 𝑥 < 𝑥0 i 𝑡 > 𝑡0
∫ 𝑥0
𝑥
𝑑𝑦 𝑦1/3 =
∫ 𝑡 𝑡0
𝑑𝑠 =⇒[ 𝑦2/3
2 3
]𝑥
𝑥0
= 𝑡 − 𝑡0
=⇒ 𝑥2/30 − 𝑥2/3(𝑡) = 3/2(𝑡 − 𝑡0) =⇒ 𝑥2/3(𝑡) = 𝑥2/30 − 3/2(𝑡 − 𝑡0) ∧ 𝑡 > 𝑡0
=⇒ 𝑥(𝑡) =(
𝑥2/30 − 3/2(𝑡 − 𝑡0))3/2
∧ 𝑡 > 𝑡0 oraz 𝑥(𝑡0) = ((𝑥2/30 ))3/2 = 𝑥0 (2.) 𝑥(𝑡) ≡ 0 dla ∀𝑡 ∈ ℝ.
Konkluzja dla 𝑡0 ∈ ℝ niech 𝑥(𝑡0) = 𝑥0 = 0. Wtedy mamy co najmniej trzy rozwiazania, spe̷lniajace ten warunek pocz, atkowy,
(1) 𝑥(𝑡) ≡ 0, 𝑡 ∈ ℝ (2) 𝑥(𝑡) =(
𝑥2/30 + 3/2(𝑡 − 𝑡0))3/2
= (3/2(𝑡 − 𝑡0))3/2∧ 𝑡 > 𝑡0 (3) 𝑥(𝑡) =(
𝑥2/30 − 3/2(𝑡 − 𝑡0))3/2
= (−3/2(𝑡 − 𝑡0))3/2∧ 𝑡 > 𝑡0
Definicja 2.16. Rozwiazanie 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼, nazywamy osobliwym, gdy przez ka˙zdy punkt, odpowiadajacej mu krzywej ca̷lkowej przechodzi inna krzywa ca̷lkowa tego r´, ownania.
Definicja 2.17. Obwiednia krzywych ca̷lkowych nazywamy krzyw, a, kt´, ora w ka˙zdym punkcie jest styczna do co najmniej jednej krzywej ca̷lkowej z tej rodziny.
Uwaga 2.18. Zatem obwiednia krzywych ca̷lkowych jest krzywa, kt´, ora odpowiada rozwiazaniu, osobliwemu.
Uwaga 2.19. Rozwiazanie 𝑥(𝑡) ≡ 0, 𝑡 ∈ ℝ, r´ownania 𝑓 (𝑡, 𝑥) = 𝑥, 13 jest rozwiazaniem osobli-, wym.
3 R´ ownania r´ o ˙zniczkowe rz edu 𝑛.
,Definicja 3.1. 𝐺 ⊂ ℝ𝑚+1 zbi´or sp´ojny, 𝐹 : 𝐺 → ℝ funkcja. R´ownaniem r´o˙zniczkowym zwyczajnym rzedu 𝑛 nazywamy r´, ownanie postaci:
𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨𝑥, . . . , 𝑥(𝑛)) = 0 [𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, . . . 𝑦(𝑛)) = 0]. (3.1) Taka posta´, c r´ownania nazywamy nierozwik̷lana wzgl, edem pochodnej. Je˙zeli (3.1) mo˙zna za-, pisa´c w postaci
𝑥(𝑛)(𝑡) = 𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨𝑥, . . . , 𝑥(𝑛−1)), (3.2) to nazywamy je rozwik̷lanym wzgledem pochodnej.,
Oznaczenia 3.2. Inna notacja
∙ (3.1) - posta´c og´olna r.r. rzedu 𝑛,
∙ (3.2) - posta´c normalna r.r. rzedu 𝑛.,
Definicja 3.3. Rozwiazaniem r´, ownania (3.2) ( odp.(3.1)) nazywamy funkcje 𝑥 : 𝐼 → ℝ,
(𝐼 ⊂ ℝ przedzia̷l) klasy 𝐶𝑛na 𝐼 taka, ˙ze dla ka˙zdego 𝑡 ∈ 𝐼 zachodzi 𝑥, (𝑛)(𝑡) = 𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, . . . , 𝑥(𝑛−1)) (odp. 𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨𝑥, . . . , 𝑥(𝑛)) = 0).
Definicja 3.4. Warunek postaci 𝑥(𝑡0) = 𝑥0, ˙𝑥(𝑡0) = 𝑥1, . . . , 𝑥(𝑛−1)(𝑡0) = 𝑥𝑛−1, gdzie (𝑥0, . . . , 𝑥𝑛−1) ∈ ℝ𝑛, 𝑡0 ∈ ℝ, nazywamy warunkiem poczatkowym (warunkiem Cauchy’ego), za´s uk̷lad,
⎧
⎨
⎩
𝑥(𝑛)= 𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, . . . , 𝑥(𝑛−1)) 𝑥(𝑡0) = 𝑥0
˙𝑥(𝑡0) = 𝑥1 ...
𝑥(𝑛−1)(𝑡0) = 𝑥𝑛−1
(3.3)
lub ⎧
⎨
⎩
𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨𝑥, . . . , 𝑥(𝑛)) = 0 𝑥(𝑡0) = 𝑥0
˙𝑥(𝑡0) = 𝑥1 ...
𝑥(𝑛−1)(𝑡0) = 𝑥𝑛−1
(3.4)
nazywamy zagadnieniem poczatkowym Cauchy’ego.,
Definicja 3.5. Rozwiazaniem zagadnienia pocz, atkowego (1.3), (1.4) na przedziale [𝑡, 0, 𝑡0+ 𝜀) nazywamy funkcje 𝑥 = 𝑥(𝑡) klasy 𝐶, 𝑛 na tym przedziale, spe̷lniajac, a r´, ownanie 𝑥(𝑛)(𝑡) = 𝑓 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, . . . , 𝑥(𝑛−1)) lub 𝐹 (𝑡, 𝑥, ˙𝑥, ¨𝑥, . . . , 𝑥(𝑛)) = 0 na przedziale [𝑡0, 𝑡0 + 𝜀) oraz warunek 𝑥(𝑡0) = 𝑥0, ˙𝑥(𝑡0) = 𝑥1, . . . , 𝑥(𝑛−1)(𝑡0) = 𝑥𝑛−1. Takie rozwiazanie nazywamy rozwi, azaniem, szczeg´olnym.
3.1 Sprowadzanie r´ ownania rz edu 𝑛 do r´
,ownania pierwszego rz edu
,Dane jest r´ownanie r´o˙zniczkowe rzedu 𝑛,
𝑥(𝑛)(𝑡) = 𝑓 (𝑥, ˙𝑥, ¨𝑥, . . . , 𝑥𝑛−1). (3.5) (3.5) mo˙zna zapisa´c w postaci
˙𝑥(𝑡) = 𝑔(𝑡, 𝑥). (3.6)
Jest to uk̷lad 𝑛 r´owna´n r´o˙zniczkowych zwyczajnych pierwszego rzedu lub r´, ownanie r´o˙zniczkowe zwyczajne pierwszego rzedu w kt´, orym funkcja niewiadoma jest funkcja wektorow, a jednej, zmien-nej.