=JA=JO=  IAAIJH 111

Matematyka - semestr III

Spis tre´ sci

1 Analiza zespolona 4

1.1 Postacie liczby zespolonej i dzia̷lania na nich . . . 4

1.2 Metryka w ℂ, otoczenia i obszary . . . 5

1.3 Pojecie funkcji, cz_, e´sci rzeczywiste i urojone . . . ._, 6

1.4 Granica i ciag̷lo´s´_, c funkcji . . . 8

1.5 Funkcje elementarne . . . 9

1.5.1 Funkcja wyk̷ladnicza . . . 9

1.5.2 Funkcje trygonometryczne . . . 11

1.5.3 Funkcje hiperboliczne . . . 13

1.5.4 Funkcja logarytmiczna . . . 15

1.6 Funkcja potegowa . . . ._, 17

1.7 Pochodna . . . 18

1.8 Funkcje holomorficzne . . . 22

1.9 Szeregi potegowe . . . ._, 24

2 R´ownania r´o ˙zniczkowe I rzedu_, 27 3 R´ownania r´o ˙zniczkowe rzedu 𝑛._, 33 3.1 Sprowadzanie r´ownania rzedu 𝑛 do r´_, ownania pierwszego rzedu . . . ._, 34

3.2 Przypomnienie poje´_,c i tw. z analizy matematycznej . . . 34

3.3 Dow´od Twierdzenia Picarda-Lindel¨ofa . . . 36

4 Og´olna teoria r´owna´n liniowych rzedu 𝑛._, 39 4.1 Podstawowe definicje . . . 39

4.2 Twierdzenie Picarda . . . 39

4.3 Wyznacznik Wro´nskiego . . . 40

4.4 Uk̷lad fundamentalny . . . 44

4.5 Wymiar przestrzeni . . . 46

4.6 Rozwiazanie og´_, olne r´ownania niejednorodnego . . . 46

5 Uk̷lady r´owna´n liniowych 48 5.1 Teoria r´owna´n I rzedu_, . . . 48

5.2 Macierz fundamentana i wro´nskian . . . 49

5.3 Istnienie uk̷ladu fundamentalnego . . . 52

5.4 Niejednorodne uk̷lady r´owna´n . . . 52

5.5 Uk̷lady r´owna´n o sta̷lych wsp´o̷lczynnikach . . . 54

5.6 Konstrukcja macierzy fundamentalnej . . . 55

5.7 Zadania . . . 60

6 Transformaty ca̷lkowe 68 6.1 Ca̷lki z funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej . . . 68

6.2 Definicja operator´ow ca̷lkowych: Fouriera i Laplace’a . . . 70

6.3 Orygina̷ly i transformaty Laplace’a . . . 71

6.4 Podstawowe w̷lasno´sci przekszta̷lcenia Laplace’a . . . 72

6.5 Transformaty Laplace’a wa˙zniejszych funkcji . . . 74 6.6 Zastosowania operatora ca̷lkowego Laplace’a do ca̷lkowania r´owna´n r´o˙zniczkowych 74

1 Analiza zespolona

1.1 Postacie liczby zespolonej i dzia̷lania na nich

Definicja 1.1. Postacie liczby zespolonej

a) algebraiczna: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦- sprze˙zenie_, dzia̷lania: 𝑧1 = 𝑥1+ 𝑖𝑦1, 𝑧2 = 𝑥2+ 𝑖𝑦2

𝑧1± 𝑧2 := (𝑥1± 𝑥2) + 𝑖(𝑦1± 𝑖𝑦2)

𝑧₁⋅ 𝑧₂ = (𝑥₁+ 𝑖𝑦₁) ⋅ (𝑥₂+ 𝑖𝑦₂) := (𝑥₁𝑥₂− 𝑦₁𝑦₂) + 𝑖(𝑥₂𝑦₁+ 𝑥₁𝑦₂) 𝑧1

𝑧₂ := 𝑧1⋅ 𝑧2

𝑧₂⋅ 𝑧₂ 𝑧₂ ∕= 0

b) trygonometryczna: 𝑧 = ∣𝑧∣(cos(𝜑) + 𝑖 sin(𝜑)), dla 𝑧 ∕= 0.

∣𝑧∣ := √

𝑥²+ 𝑦²− modu̷l liczby zespolonej, arg(𝑧) := 𝜑 ∈ [0, 2𝜋) − argument g̷l´owny Arg(z) := {𝜑 + 2𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ}.

dzia̷lania: 𝑧₁ = ∣𝑧₁∣(cos(𝜑₁) + 𝑖 sin(𝜑₁)), 𝑧₂ = ∣𝑧₂∣(cos(𝜑₂) + 𝑖 sin(𝜑₂)) 𝑧₁⋅ 𝑧₂ := ∣𝑧₁∣∣𝑧₂∣(cos(𝜑₁ + 𝜑₂) + 𝑖 sin(𝜑₁+ 𝜑₂))

𝑧₁ 𝑧2

:= ∣𝑧₁∣

∣𝑧2∣(cos(𝜑₁− 𝜑₂) + 𝑖 sin(𝜑₁− 𝜑₂)) 𝑧₂ ∕= 0 c) wyk̷ladnicza 𝑧 := ∣𝑧∣𝑒^𝑖𝜑, wz´or Eulera 𝑒^𝑖𝜑= 𝑐𝑜𝑠(𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑)

dzia̷lania: 𝑧₁ = 𝑒^𝑖𝜑1, 𝑧₂ = 𝑒^𝑖𝜑2

𝑧₁⋅ 𝑧₂ := ∣𝑧₁⋅ 𝑧₂∣𝑒^{𝑖(𝜑1+𝜑2)} 𝑧₁

𝑧₂ := ∣𝑧₁∣

∣𝑧₂∣𝑒^{𝑖(𝜑1−𝜑2)} 𝑧₂ ∕= 0

Oznaczenia 1.2. Zbi´or liczb zespolonych ℂ := {𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 : 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} mo˙zna uto˙zsamia´c z p̷laszczyzna dwuwymiarow_, a ℝ_, ², kt´ora tak˙ze b_, edziemy oznacza´_, c symbolem ℂ.

1.2 Metryka w ℂ, otoczenia i obszary

W p̷laszczy´znie zespolonej ℂ wprowadzamy metryke euklidesow_, a_, 𝑑(𝑧₁, 𝑧₂) :=√

(Re𝑧₁− Re𝑧₂)²+ (Im𝑧₁− Im𝑧₂)² = ∣𝑧₁− 𝑧₂∣.

Definicja 1.3. Kula otwart_, a (odp. domkni_, et_, a) 𝐾(𝑧_{, 0}, 𝑟) (odp. 𝐾(𝑧₀, 𝑟)) o ´srodku w punkcie 𝑧0 ∈ ℂ i promieniu 𝑟 > 0 nazywamy zbi´or

𝐾(𝑧₀, 𝑟) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑑(𝑧, 𝑧0) = ∣𝑧 − 𝑧₀∣ < 𝑟}

𝐾(𝑧₀, 𝑟) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑑(𝑧, 𝑧0) = ∣𝑧 − 𝑧₀∣ ≤ 𝑟}

Definicja 1.4. Pier´scieniem 𝑃 (𝑧₀, 𝑅₁, 𝑅₂) o ´srodku w punkcie 𝑧₀ ∈ ℂ i promieniach 0 ≤ 𝑅₁, 𝑅₂ ≤ ∞ nazywamy zbi´or

𝑃 (𝑧₀, 𝑅₁, 𝑅₂) := {𝑧 ∈ ℂ : 𝑅1 < 𝑑(𝑧, 𝑧₀) = ∣𝑧 − 𝑧₀∣ < 𝑅₂} Przyk̷lad 1.5. P´o̷lp̷laszczyzne 𝐻_{, 1} = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² : 𝑦 > 𝑥} zapiszemy teraz

𝐻1 = {𝑧 ∈ ℂ : Im𝑧 > Re𝑧} = {𝑧 ∈ ℂ : 𝜋/4 < arg𝑧 < 5/4𝜋}

Przyk̷lad 1.6. P´o̷lp̷laszczyzne 𝐻_, 2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² :

√ 3

3 < 𝑦 <√

3𝑥} zapiszemy teraz 𝐻₂ = {𝑧 ∈ ℂ :

√3

3 Re𝑧 < Im𝑧 <√

3Re𝑧} = {𝑧 ∈ ℂ : 𝜋/6 < arg𝑧 < 𝜋/3}

Przyk̷lad 1.7. Zbi´or postaci

𝐿 = {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧1∣ = ∣𝑧 − 𝑧₂∣}

jest symetralna odcinka o ko´_, ncach 𝑧₁, 𝑧₂. Natomiat

𝐻₁ = {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧1∣ < ∣𝑧 − 𝑧₂∣}

opisuje p´o̷lp̷laszczyzne powstal_, a z ℂ rozci_, et_, a prost_, a 𝐿, zawieraj_, ac_, a punkt 𝑧_{, 1}. Analogicznie 𝐻2 = {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − 𝑧¹∣ > ∣𝑧 − 𝑧2∣}

jest p´o̷lp̷laszczyzne powstal_, a z ℂ rozci_, et_, a prost_, a 𝐿, zawieraj_, ac_, a punkt 𝑧_{, 2}. Zadanie 1.8. Niech

𝐷₁ = {𝑧 ∈ ℂ : 𝜋 < arg𝑧 < 2𝜋 ∧ 0 < ∣𝑧∣ < −2𝑠𝑖𝑛(arg𝑧)} . Co to za zbi´or?

Odp. 𝐷₁ = {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧 − (−𝑖)∣ < 1}

Zadanie 1.9. Niech 𝐷₂

= {𝑧 ∈ ℂ : −𝜋/2 < arg𝑧 < 𝜋/2 ∧ 2𝑐𝑜𝑠(arg𝑧) < ∣𝑧∣ < 4𝑐𝑜𝑠(arg𝑧)} . Co to za zbi´or?

Odp. 𝐷2 = {𝑧 ∈ ℂ : 1 < ∣𝑧 − 1∣ < 2}.

Definicja 1.10. Zbi´or 𝑈 (𝑧₀, 𝜖) = {𝑧 ∈ ℂ : 𝑑(𝑧, 𝑧0) = ∣𝑧 − 𝑧₀∣ < 𝜖} nazywamy 𝜖-otoczeniem punktu 𝑧₀ ∈ ℂ w p̷laszczy´znie ℂ.

Definicja 1.11. Sasiedztwem lub otoczeniem nak̷lutym punktu 𝑧_, 0 ∈ ℂ w p̷laszczy´znie ℂ nazy- wamy zbi´or 𝑈 (𝑧₀, 𝜖) ∖ {𝑧₀} = {𝑧 ∈ ℂ : 0 < ∣𝑧 − 𝑧0∣ < 𝜖}.

Definicja 1.12. Obszarem 𝐷 nazywamy zbi´or punkt´ow p̷laszczyzny ¯ℂ spe̷lniajacy warunki:,

- (otwarto´s´c) ∀𝑎 ∈ 𝐷 ∃ 𝑈 (𝑎, 𝜖)-otoczenie takie, ˙ze 𝑈 (𝑎, 𝜖) ⊂ 𝐷,

- (̷lukowa sp´ojno´s´c) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 istnieje krzywa o ko´ncach a,b zawarta w 𝐷.

Krzywa o ko´_, ncach 𝑎, 𝑏 nazywamy obraz funkcji ciag̷lej 𝛾 : [𝑡_, 0, 𝑡1] → ¯ℂ takiej, ˙ze 𝛾(𝑡₀) = 𝑎, 𝛾(𝑡₁) = 𝑏.

Uwaga 1.13. Dla zbior´ow otwartych zawartych w ℂ ̷lukowa sp´ojno´s´c pokrywa sie ze spo-_, jno´scia zbior´_, ow.

Definicja 1.14. Obszar 𝐷 ⊂ ℂ nazywamy jednosp´ojnym, je´sli jego brzeg jest zbiorem sp´ojnym.

W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielosp´ojnym.

(*) P´o´zniej podamy inna definicj_, e jednosp´_, ojno´sci.

1.3 Poj ecie funkcji, cz

e´

sci rzeczywiste i urojone

Definicja 1.15. Odwzorowanie

𝐷 ⊂ ℂ 𝑓 : 𝐷 → ℂ 𝑧 → 𝑤 = 𝑓 (𝑧) nazywamy funkcje zespolon_, a zmiennej zespolonej._,

Oznaczenia 1.16. Argument 𝑧 funkcji 𝑓 i jej warto´s´c 𝑤 = 𝑓 (𝑧) rozk̷ladamy na cze´_,s´c rzeczy- wista i urojon_, a tzn. 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣. Otrzymujemy w ten spos´_, ob rozk̷lad funkcji

𝑤 = 𝑓 (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

na cze´_,s´c rzeczywista Re𝑓 (𝑧) := 𝑢(𝑥, 𝑦) i cz_, e´_,s´c urojona Im𝑓 (𝑧) := 𝑣(𝑥, 𝑦)._,

Uwaga 1.17. Cze´_,s´c rzeczywista i urojona funkcji zespolonej 𝑓 jest funkcja rzeczywist_, a dw´_, och zmiennych 𝑥, 𝑦.

Przyk̷lad 1.18. Znale´z´c cze´_,s´c rzeczywista i urojon_, a funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑖𝑧_, ².

𝑓 (𝑧) = 𝑖𝑧² = 𝑖(𝑥 + 𝑖𝑦)² = 𝑖(𝑥²+ 2𝑖𝑥𝑦 − 𝑦²) = 𝑖𝑥²− 2𝑥𝑦 − 𝑖𝑦² = −2𝑥𝑦 + 𝑖(𝑥²− 𝑦²). Zatem Re𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) = −2𝑥𝑦, Im𝑓 (𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑥²− 𝑦².

Zadanie 1.19. : Znale´z´c cze´_,s´c rzeczywista i urojon_, a funkcji:_, 1. 𝑓 (𝑧) = 𝑧³+ 𝑖¯𝑧²,

2. 𝑓 (𝑧) = ^𝑧+1_𝑧−1.

Przyk̷lad 1.20. Dane sa cz_, e´_,s´c rzeczywista 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 i urojona 𝑣(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 funkcji zespolonej 𝑓 . Przedstawi´c funkcje 𝑓 jako funkcj_, e zmiennej zespolonej 𝑧._,

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦¯ ⇒ 𝑥 = 𝑧 + ¯𝑧

2 , 𝑦 = 𝑧 − ¯𝑧 2𝑖 . Podstawiamy

𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦) + 𝑖4𝑥𝑦 =( 𝑧 + ¯𝑧 2

)

−( 𝑧 − ¯𝑧 2𝑖

)

+ 𝑖4( 𝑧 + ¯𝑧 2

) ( 𝑧 − ¯𝑧 2𝑖

)

= 𝑧( 1 2− 1

2𝑖 )

+ ¯𝑧( 1 2 + 1

2𝑖 )

− (𝑧²− ¯𝑧²) = 𝑧( 1 2 + 𝑖1

2 )

+ ¯𝑧( 1 2 − 𝑖1

2 )

+ 𝑧²− ¯𝑧².

Zadanie 1.21. : Dana jest cze´_,s´c rzeczywista 𝑢(𝑥, 𝑦) i cze´_,s´c urojona 𝑣(𝑥, 𝑦) funkcji zespolonej 𝑓 . Przedstawi´c te funkcj_, e jako funkcj_, e zmiennej zespolonej 𝑧:_,

1. 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥⁴− 6𝑥²𝑦²+ 𝑦⁴− 𝑥, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 4𝑥³𝑦 − 4𝑥𝑦³− 𝑦, 2. 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥²− 𝑦²+ 𝑥, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 + 𝑦,

3. 𝑢(𝑥, 𝑦) = _𝑥2+𝑦^{𝑥 2} + 𝑥, 𝑣(𝑥, 𝑦) = _𝑥2^−𝑦+𝑦² − 𝑦.

Zadanie 1.22. Dane sa cz_, e´_,sci rzeczywista i urojona

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑒^𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑣(𝑥, 𝑦) = −𝑦𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑒^𝑥𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 funkcji zespolonej 𝑓 . Zapisa´c 𝑓 jako funkcje zmiennej zespolonej 𝑧._,

Odp. 𝑓 (𝑧) = 𝑧𝑒^𝑧.[Rozwiazanie tego zadania b_, edzie mo˙zliwe dopiero, gdy poznamy definicj_, e_, funkcji 𝑒^𝑧 oraz r´ownania Cauchy’ego-Riemana.]

Zadanie 1.23. Dane sa cz_, e´_,sci rzeczywista i urojona

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦 funkcji zespolonej 𝑓 . Zapisa´c 𝑓 jako funkcje zmiennej zespolonej 𝑧._,

Odp. 𝑓 (𝑧) = 𝑠𝑖𝑛(𝑧). [Rozwiazanie tego zadania b_, edzie mo˙zliwe dopiero, gdy poznamy_, definicje funkcji 𝑠𝑖𝑛𝑧 oraz r´_, ownania Cauchy’ego-Riemana.]

1.4 Granica i ci ag̷lo´

s´ c funkcji

Definicja 1.24. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧0 -punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. M´owimy, ˙ze 𝑓 ma granice w punkcie 𝑧_{, 0} r´owna 𝑔 ∈ ℂ je´sli:_,

∀𝜖 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑧 ∈ 𝐷 0 < 𝑑(𝑧, 𝑧0) < 𝛿 ⇒ 𝑑(𝑓 (𝑧), 𝑔) < 𝜖.

Lemat 1.25. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧0 -punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ.

𝑧→𝑧lim0

𝑓 (𝑧) = 𝑔 ⇔ lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)𝑢(𝑥, 𝑦) = Re𝑔 i lim

(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)𝑣(𝑥, 𝑦) = Im𝑔.

Definicja 1.26. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧⁰ -punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧0 ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. M´owimy,

˙ze funkcja 𝑓 jest ciag̷la w punkcie 𝑧_{, 0} je´sli:

∀𝜖 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑧 ∈ 𝐷 𝑑(𝑧, 𝑧₀) < 𝛿 ⇒ 𝑑(𝑓 (𝑧), 𝑔) < 𝜖.

Lemat 1.27. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧⁰ -punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧0 ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Funkcja 𝑓 jest ciag̷la w punkcie 𝑧_{, 0} wtedy i tylko wtedy, gdy

𝑧→𝑧lim0

𝑓 (𝑧) = 𝑓 (𝑧₀).

Lemat 1.28. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧0 -punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧₀ ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ, 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). 𝑓 jest ciag̷la jest ci_, ag̷la w 𝑧_{, 0} ⇔ funkcje 𝑢 i 𝑣 sa ciag̷le w (𝑥_{, 0}, 𝑦₀), gdzie 𝑧₀ = 𝑥₀+ 𝑖𝑦₀.

1.5 Funkcje elementarne

1.5.1 Funkcja wyk̷ladnicza

Definicja 1.29. Funkcje wyk̷ladnicz_, a w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w_, analizie rzeczywistej tzn.

∀𝑧 ∈ ℂ 𝑒^𝑧 := lim

𝑛→∞

( 1 + 𝑧

𝑛 )𝑛

. Wyka˙zemy istnienie tej granicy dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

1. Najpierw poka˙zemy zbie˙zno´s´c modu̷l´ow tzn.

𝑛→∞lim    (

1 + 𝑧 𝑛

)𝑛 

= 𝑒^𝑥. (1.1)

Skorzystamy z w̷lasno´sci, ˙ze ∣𝑧^𝑛∣ = ∣𝑧∣^𝑛. Zatem 

  (

1 + 𝑧 𝑛

)𝑛  =

[( 1 + 𝑥

𝑛 )2

+ 𝑦² 𝑛²

]𝑛/2

= [

1 + 2𝑥

𝑛 +𝑥²+ 𝑦² 𝑛²

]𝑛/2

. Przechodzac do granicy otrzymamy, ˙ze_,

𝑛→∞lim    (

1 + 𝑧 𝑛

)𝑛  = 𝑒^𝑥, czyli zachodzi (1.1).

2. Niech arg𝑧 oznacza argument g̷l´owny liczby 𝑧. Poka˙zemy, ˙ze

𝑛→∞lim arg[(

1 + 𝑧 𝑛

)𝑛]

= 𝑦. (1.2)

Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze

𝑎𝑟𝑔( 1 + 𝑧

𝑛 )

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑦 𝑛

1 + _𝑛^𝑥. Poniewa˙z arg(𝑧^𝑛) = 𝑛arg(𝑧), to

arg[(

1 + 𝑧 𝑛

)𝑛]

= 𝑛𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑦

𝑛

1 + ^𝑥_𝑛 )

. Przechodzac do granicy otrzymamy, ˙ze_,

𝑛→∞lim (

𝑛𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑦

𝑛

1 + ^𝑥_𝑛 ))

= 𝑦, czyli zachodzi (1.2).

3. Korzystamy z w̷lasno´sci zbie˙zno´sci ciagu liczb zespolonych:_,

[𝑤_𝑛= ∣𝑤_𝑛∣𝑒^{𝑖arg(𝑤𝑛)}→ ∣𝑤∣ = ∣𝑤∣𝑒^𝑖arg𝑤] ⇐⇒ [(∣𝑤_𝑛∣ → ∣𝑤∣) ∧ (arg(𝑤_𝑛) → arg(𝑤))]

U nas

∣𝑤𝑛∣ :=

  (

1 + 𝑧 𝑛

)𝑛 

−→ 𝑒^𝑥. arg(𝑤_𝑛) := arg[(

1 + 𝑧 𝑛

)𝑛]

−→ 𝑦.

Stad i z jednoznaczno´sci zapisu liczby zespolonej w postaci wyk̷ladniczej otrzymamy, ˙ze_, 𝑤 = ∣𝑤∣𝑒^{𝑖arg(𝑤)} = 𝑒^𝑥𝑒^𝑖𝑦 = 𝑒^𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦)

| {z }

. Oznaczylismy 𝑤 = 𝑒^𝑧, zatem

𝑒^𝑧 = 𝑒^𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦). (1.3)

Udowodnili´smy

Twierdzenie 1.30. Dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ zachodzi:

𝑒^𝑧 = 𝑒^𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) Wniosek 1.31.

𝑒^𝑧 = 𝑒^{𝑥+𝑖𝑦} = 𝑒^𝑥𝑒^𝑖𝑦. W̷lasno´sci

a) Cze´s´_, c rzeczywista i urojona funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑒^𝑧 wynosza odpowiednio_, 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦, 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦.

b) ∣𝑒^𝑧∣ = 𝑒^𝑥.

c) ∀𝑧 ∈ ℂ, 𝑒^𝑧 ∕= 0.

Przypu´s´cmy, ˙ze

𝑒^𝑧 = 0 ⇐⇒ 𝑒^𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) = 0 ⇐⇒ 𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 ∧ 𝑒^𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 = 0.

Poniewa˙z 𝑒^𝑥 ∕= 0 to 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 0 i 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 0. Pierwsza r´owno´s´c zachodzi dla 𝑦 = ^𝜋₂ + 𝑘𝜋, druga za´s dla 𝑦 = 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 ∈ ℤ. Poniewa˙z obie r´owno´sci nie moga zachodzi´_, c jednocze´snie, otrzymana sprzeczno´s´c dowodzi, ˙ze 𝑒^𝑧 ∕= 0 dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

d) ∀𝑧₁, 𝑧₂ ∈ ℂ 𝑒^𝑧1+𝑧2 = 𝑒^𝑧1 ⋅ 𝑒^𝑧2.

e) funkcja 𝑒^𝑧 jest okresowa o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋𝑖.

Dla 𝑘 ∈ ℤ korzystajac z okresowo´sci funkcji trygonometrycznych 𝑠𝑖𝑛𝑥 i 𝑐𝑜𝑠𝑥 mamy,

𝑒^{𝑧+2𝑘𝜋𝑖}= 𝑒^𝑧𝑒^{2𝑘𝜋𝑖} = 𝑒^𝑧(𝑐𝑜𝑠(2𝑘𝜋) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(2𝑘𝜋)) = 𝑒^𝑧(1 + 𝑖0) = 𝑒^𝑧. f) funkcja 𝑒^𝑧 jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk̷ladniczej 𝑒^𝑥.

Niech 𝑧 = 𝑥 + 𝑖0 ∈ ℝ. Wtedy 𝑒^𝑧 = 𝑒^𝑥(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) = 𝑒^𝑥(1 + 𝑖0) = 𝑒^𝑥. g) funkcja wyk̷ladnicza 𝑒^𝑧 rozwija sie w szereg Maclaurina tzn._,

𝑒^𝑧 =

∞

∑

𝑘=1

𝑧^𝑘

𝑘! dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

Zadanie 1.32. Znale´z´c obraz prostej pionowej 𝐿₁ = {𝑧 ∈ ℂ : Re𝑧 = 𝑎}

Odp. okrag {𝑧 ∈ ℂ : ∣𝑧∣ = 𝑎}_,

Zadanie 1.33. Znale´z´c obraz prostej poziomej 𝐿₂ = {𝑧 ∈ ℂ : Im𝑧 = 𝑏}, gdzie 0 ≤ 𝑏 < 2𝜋.

Odp. p´o̷lprosta {𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 = 𝑟𝑒^𝑖𝑏, 𝑟 ∈ (0, +∞)}.

1.5.2 Funkcje trygonometryczne

Definicja 1.34. Funkcje 𝑐𝑜𝑠𝑧 i 𝑠𝑖𝑛𝑧 w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj_, aco:_, 𝑐𝑜𝑠𝑧 := 𝑒^𝑖𝑧 + 𝑒^−𝑖𝑧

2 , 𝑠𝑖𝑛𝑧 := 𝑒^𝑖𝑧− 𝑒^−𝑖𝑧 2𝑖 , 𝑡𝑔𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑒^𝑖𝑧 − 𝑒^−𝑖𝑧

𝑖(𝑒^𝑖𝑧 + 𝑒^−𝑖𝑧), 𝑐𝑡𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑖(𝑒^𝑖𝑧 + 𝑒^−𝑖𝑧) (𝑒^𝑖𝑧 − 𝑒^−𝑖𝑧). W̷lasno´sci

a) 𝑐𝑜𝑠²𝑧 + 𝑠𝑖𝑛²𝑧 = 1.

𝑐𝑜𝑠²𝑧 + 𝑠𝑖𝑛²𝑧 =( 𝑒^𝑖𝑧+ 𝑒^−𝑖𝑧 2

)2

+( 𝑒^𝑖𝑧 − 𝑒^−𝑖𝑧 2𝑖

)2

=1

4(𝑒^2𝑖𝑧+ 2𝑒^𝑖𝑧𝑒^−𝑖𝑧+ 𝑒^−2𝑖𝑧) − 1

4(𝑒^2𝑖𝑧− 2𝑒^𝑖𝑧𝑒^−𝑖𝑧 + 𝑒^−2𝑖𝑧)

=4𝑒^𝑖𝑧𝑒^−2𝑖𝑧 4 = 1.

b) Cze´sci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosz_, a odpowiednio:_, 𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐ℎ𝑦 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠ℎ𝑦 𝑡𝑔𝑧 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦 + 𝑖 𝑠ℎ2𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦 Dow´od podamy dla funkcji 𝑠𝑖𝑛𝑧

𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑒^𝑖𝑧 − 𝑒^−𝑖𝑧

2𝑖 = 𝑒^{𝑖(𝑥+𝑖𝑦)}− 𝑒^{−𝑖(𝑥+𝑖𝑦)}

2𝑖 = 𝑒^{−𝑦+𝑖𝑥}− 𝑒^{𝑦−𝑖𝑥}

2𝑖

= 𝑒^−𝑦(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥) − 𝑒^𝑦(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥) 2𝑖

= 𝑐𝑜𝑠𝑥( 𝑒^−𝑦− 𝑒^𝑦 2𝑖

)

+ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥( 𝑒^−𝑦+ 𝑒^𝑦 2𝑖

)

= 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ𝑦.

c) Funkcje trygonometryczne 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠𝑧, 𝑡𝑔𝑧 sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji_, 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑡𝑔𝑥.

Niech 𝑧 = 𝑥 + 𝑖0 ∈ ℝ. Wtedy

𝑠𝑖𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐ℎ0 + 𝑖𝑐𝑜𝑠0𝑠ℎ0 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑖0 = 𝑠𝑖𝑛𝑥.

𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐ℎ0 − 𝑖𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠ℎ0 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑖0 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.

𝑡𝑔𝑧 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ0 + 𝑖 𝑠ℎ0

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ0 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

1 + (2𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 1) = 𝑡𝑔𝑥.

d) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn._,

– 𝑠𝑖𝑛𝑧 i 𝑐𝑜𝑠𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋.

– 𝑡𝑔𝑧 i 𝑐𝑡𝑔𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 𝜋.

𝑠𝑖𝑛(𝑧 + 2𝜋) =𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑖𝑦 + 2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 2𝜋)𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋)𝑠ℎ𝑦

=𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐ℎ𝑦 + 𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠ℎ𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑧.

Dow´od dla 𝑐𝑜𝑠𝑧 jest analogiczny.

𝑡𝑔(𝑧 + 𝜋) = 𝑠𝑖𝑛2(𝑥 + 𝜋)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝜋) + 𝑐ℎ2𝑦 + 𝑖 𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2(𝑥 + 𝜋) + 𝑐ℎ2𝑦

= 𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦 + 𝑖 𝑠ℎ2𝑦

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐ℎ2𝑦 = 𝑡𝑔𝑧.

e) ∣𝑠𝑖𝑛𝑧∣ =√𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑠ℎ²𝑦 oraz ∣𝑐𝑜𝑠𝑧∣ =√𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠ℎ²𝑦.

Poniewa˙z funkcja hiperboliczna 𝑠ℎ𝑦 jest nieograniczona, wynika sta, ˙ze w przeciwie´_, nstwie do funkcji rzeczywistych funkcje 𝑠𝑖𝑛𝑧 i 𝑐𝑜𝑠𝑧 sa nieograniczone._,

f) 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑡𝑔𝑧, 𝑐𝑡𝑧 to funkcje nieparzyste, natomiast 𝑐𝑜𝑠𝑧 jest funkcja parzyst_, a_, tzn. 𝑠𝑖𝑛(−𝑧) = −𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑧(−𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧.

g) 𝑠𝑖𝑛(¯𝑧) = 𝑠𝑖𝑛𝑧, 𝑐𝑜𝑠(¯𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑡𝑔(¯𝑧) = 𝑡𝑔𝑧 𝑐𝑡𝑔(¯𝑧) = 𝑐𝑡𝑔𝑧.

h) 𝑠𝑖𝑛(𝑧₁± 𝑧₂) = 𝑠𝑖𝑛𝑧₁𝑐𝑜𝑠𝑧₂± 𝑐𝑜𝑠𝑧₁𝑠𝑖𝑛𝑧₂. 𝑐𝑜𝑠(𝑧₁+ 𝑧₂) = 𝑐𝑜𝑠𝑧₁𝑐𝑜𝑠𝑧₂− 𝑠𝑖𝑛𝑧₁𝑠𝑖𝑛𝑧₂. 𝑐𝑜𝑠(𝑧1− 𝑧2) = 𝑐𝑜𝑠𝑧1𝑐𝑜𝑠𝑧2+ 𝑠𝑖𝑛𝑧1𝑠𝑖𝑛𝑧2.

i) Funkcje 𝑠𝑖𝑛𝑧 oraz 𝑐𝑜𝑠𝑧 przyjmuja wszystkie warto´sci z p̷laszczyzny otwartej ℂ._,

Funkcje 𝑡𝑔𝑧 i 𝑐𝑡𝑔𝑧 omijaja dwie warto´sci 𝑖, −𝑖, natomiast przyjmuj_, a warto´s´_, c ∞, 𝑡𝑔𝑧 w punktach 𝑧_𝑘= ^𝜋₂ + 𝑘𝜋, 𝑐𝑡𝑔𝑧 w punktach 𝑧_𝑘 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.

1.5.3 Funkcje hiperboliczne

Definicja 1.35. Funkcje 𝑐ℎ𝑧 i 𝑠ℎ𝑧 w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej tzn.

𝑐ℎ𝑧 := 𝑒^𝑧+ 𝑒^−𝑧

2 , 𝑠ℎ𝑧 := 𝑒^𝑧− 𝑒^−𝑧

2 ,

𝑡ℎ𝑧 := 𝑠ℎ𝑧

𝑐ℎ𝑧 = 𝑒^𝑧 − 𝑒^−𝑧

𝑒^𝑧+ 𝑒^−𝑧, 𝑐𝑡ℎ𝑧 := 𝑐ℎ𝑧

𝑠ℎ𝑧 = 𝑒^𝑧+ 𝑒^−𝑧 𝑒^𝑧− 𝑒^−𝑧.

W̷lasno´sci

a) 𝑐ℎ²𝑧 − 𝑠ℎ²𝑧 = 1 dla ∀𝑧 ∈ ℂ.

b) Cze´sci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosz_, a odpowiednio:_, 𝑠ℎ𝑧 = 𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑐ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦,

𝑐ℎ𝑧 = 𝑐ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠ℎ𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦, 𝑡ℎ𝑧 = 𝑠ℎ2𝑥

𝑐ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛2𝑦 𝑐ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦.

c) Funkcje hiperboliczne 𝑠ℎ𝑧, 𝑐ℎ𝑧, 𝑡ℎ𝑧, 𝑐𝑡ℎ𝑧 sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji_, 𝑠ℎ𝑥, 𝑐ℎ𝑥, 𝑡ℎ𝑥, 𝑐𝑡ℎ𝑥.

d) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn._,

– 𝑠ℎ𝑧 i 𝑐ℎ𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 2𝜋𝑖.

– 𝑡ℎ𝑧 i 𝑐𝑡ℎ𝑧 o okresie podstawowym 𝑇 = 𝜋𝑖.

e) ∣𝑠ℎ𝑧∣ =√𝑠ℎ²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑦 oraz ∣𝑐ℎ𝑧∣ =√𝑠ℎ²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑦.

f) 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑧 = 𝑐ℎ𝑧, 𝑠𝑖𝑛𝑖𝑧 = 𝑖𝑠ℎ(𝑧).

Zadanie 1.36. Rozwiaza´_, c r´ownania:

1. 𝑐𝑜𝑠𝑧 = 4, 2. 𝑠𝑖𝑛𝑧 = −2𝑖,

3. (𝑧⁴− 1) sin 𝜋𝑧 = 0, 4. (𝑧⁶+ 1)𝑐ℎ𝑧 = 0,

5. Wykaza´c, ˙ze 𝑡𝑎𝑛(𝑧) ∕= ±𝑖 dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ.

Zadanie 1.37. Znale´z´c obrazy prostych 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 oraz 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡:

1. przy odwzorowaniu 𝑓 (𝑧) = 𝑠𝑖𝑛𝑧, 2. przy odwzorowaniu 𝑓 (𝑧) = 𝑡𝑔𝑧.

Odpowiedz:

a) Obrazami prostych 𝑥 = const ∕= 0 sa ga̷l_, ezie hiperboli o r´_, ownaniu ( 𝑢²

sin²𝑥 − 𝑣² cos²𝑥

)

= 1, za´s obrazami prostych 𝑦 = const ∕= 0 sa p´_, o̷lelipsy o r´ownaniu

𝑢²

1

4(𝑒^𝑦+ 𝑒^−𝑦) + 𝑣²

1

4(𝑒^𝑦 + 𝑒^−𝑦) = 1.

Hiperbole sa ortogonalne do elips._,

b) Obrazami prostych 𝑥 = const ∕= 0 jest pek hiperboliczny okr_, eg´_, ow (

𝑢 +cos 2𝑥 sin 2𝑥

)

+ 𝑣² = 1 sin 2𝑥

przechodzacych przez 𝑤 = ±𝑖, za´s obrazami prostych 𝑦 = const ∕= 0 jest p_, ek eliptyczny_, okreg´_, ow

𝑢²+ (

𝑣 − cosh 2𝑦 sinh 2𝑦

)

= 1

sinh 2𝑦, wzgledem kt´_, orych punkty 𝑤 = ±𝑖 sa symetryczne._,

1.5.4 Funkcja logarytmiczna

Niech 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0}. Ka˙zda liczb, e zespolon_, a 𝑤 spe̷lniaj_, ac_, a r´_, ownanie 𝑒^𝑤 = 𝑧

nazywamy logarytmem liczby 𝑧 i oznaczamy 𝑙𝑛𝑧. Niech

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑒^𝑤 = 𝑒^{𝑢+𝑖𝑣} = 𝑒^𝑢(𝑐𝑜𝑠𝑣 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑣). (1.4) Zatem ∣𝑧∣ = 𝑒^𝑢 czyli 𝑢 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ = ln√𝑥²+ 𝑦². Z (1.4) wynika, ˙ze 𝑣 = arg𝑧 + 2𝑘𝜋 dla pewnego 𝑘 ∈ ℤ, gdzie arg𝑧 oznacza argument g̷l´owny liczby 𝑧.

Ka˙zda liczba zespolona 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0} ma niesko´nczenie wiele logarytm´ow wyra˙zonych wzorem 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖(arg𝑧 + 2𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ.

Definicja 1.38. Funkcje zdefiniowan_, a wzorem_,

𝐿𝑛𝑧 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖𝐴𝑟𝑔𝑧 (1.5)

dla 𝑧 ∕= 0 nazywamy funkcja logarytmiczn_, a._,

Uwaga 1.39. Funkcja 𝐿𝑛𝑧 jest niesko´nczenie wielowarto´sciowa.

Definicja 1.40. Funkcje_,

𝑙𝑛𝑧 = 𝑙𝑛∣𝑧∣ + 𝑖arg𝑧, −𝜋 < arg𝑧 ≤ 𝜋 (1.6) nazywamy ga̷lezia g̷l´_, owna logarytmu. Z (1.5) i (1.6) wynika, ˙ze_,

𝐿𝑛𝑧 = 𝑙𝑛𝑧 + 𝑖2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.

Uwaga 1.41. W ka˙zdym obszarze jednosp´ojnym nie zawierajacym 0 i ∞ istnieje jednoznaczna_, ga̷la´_,z logarytmu. Takim obszarem jest np. p̷laszczyzna rozcieta wzd̷lu˙z osi ujemnej tzn._,

𝐸 = ℂ ∖ {𝑥 ∈ ℝ : 𝑥 ≤ 0}.

Przyk̷lad 1.42. Policzy´c 𝐿𝑛(1)?

𝑧 = 1 =⇒ ∣𝑧∣ = 1 ∧ 𝐴𝑟𝑔(1) = 0 + 2𝑘𝜋 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝐿𝑛(1) = 𝑙𝑛∣1∣ + 𝑖𝐴𝑟𝑔(1) = 𝑖2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Przyk̷lad 1.43. Policzy´c 𝐿𝑛(−1)?

𝑧 = −1 =⇒ ∣𝑧∣ = 1 ∧ 𝐴𝑟𝑔(−1) = 𝜋 + 2𝑘𝜋 = 𝑖(2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝐿𝑛(−1) = 𝑙𝑛∣ − 1∣ + 𝑖𝐴𝑟𝑔(−1) = 𝑖(2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Zadanie 1.44. Wykaza´c, ˙ze funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych i hiperbolicznych wyra˙zaja si_, e za pomoc_, a funkcji logarytmicznej nast_, epuj_, acymi wzorami:_,

1. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑧 = −𝑖𝐿𝑛(𝑖𝑧 +√

1 − 𝑧²), 2. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑧 = −𝑖𝐿𝑛(𝑧 +√

𝑧²− 1), 3. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 = _2𝑖¹𝐿𝑛(_1+𝑖𝑧

1−𝑖𝑧), 4. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑧 = −_2𝑖¹𝐿𝑛(_𝑖𝑧+1

𝑖𝑧−1), 5. 𝑎𝑟𝑐𝑠ℎ𝑧 = 𝐿𝑛(𝑧 +√

𝑧²+ 1), 6. 𝑎𝑟𝑐𝑐ℎ𝑧 = 𝑙𝑛(𝑧 +√

𝑧²− 1), 7. 𝑎𝑟𝑐𝑡ℎ𝑧 = ¹₂𝐿𝑛(_1+𝑧

1−𝑧), 8. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡ℎ𝑧 = ¹₂𝐿𝑛(_𝑧+1

𝑧−1).

1.6 Funkcja pot egowa

Definicja 1.45. Niech 𝜇 bedzie dowoln_, a liczb_, a zespolon_, a, 𝐸 obszarem sp´_, ojnym w kt´orym ist- nieje jednoznaczna ga̷la´_,z logarytmu zmiennej 𝑧. Funkcje potegow_, a o wyk̷ladniku 𝜇 nazywamy_, funkcje zdefiniowan_, a wzorem_,

𝑧^𝜇= 𝑒^{𝜇𝐿𝑛𝑧}. (1.7)

Uwaga 1.46. Jest to tak˙ze fukcja wielowarto´sciowa. Ga̷lezi_, a g̷l´_, owna tej funkcji nazywamy_, ga̷la´_,z zdefiniowana za pomoc_, a ga̷l_, ezi g̷l´_, ownej logarytmu tzn.

𝑒^{𝜇𝑙𝑛𝑧}.

Przyk̷lad 1.47. Policzy´c 𝑖^𝑖? Wiemy, ˙ze 𝑧^𝜇= 𝑒^{𝜇𝐿𝑛𝑧}. Zatem 𝐿𝑛(𝑖) = 𝑙𝑛∣𝑖∣ + 𝑖(𝜋/2 + 2𝑘𝜋) = (2𝑘 +1

2)𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝑖 ln(𝑖) = [(2𝑘 + 1

2)𝜋𝑖]𝑖 = −(2𝑘 +1

2)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 𝑖^𝑖 = 𝑒^{(2𝑘+12)𝜋}, 𝑘 ∈ ℤ Przyk̷lad 1.48. Policzy´c 1¹? Wiemy, ˙ze 𝑧^𝜇= 𝑒^{𝜇𝐿𝑛𝑧}. Zatem

𝐿𝑛(1) = 𝑙𝑛∣1∣ + 𝑖2𝑘𝜋 = 2𝑘𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 1 ln(1) = 2𝑘𝜋𝑖, 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 1¹ = 𝑒^{2𝑘𝜋𝑖} 𝑘 ∈ ℤ

=⇒ 1¹ = 𝑐𝑜𝑠(2𝑘𝜋) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(2𝑘𝜋) = 1 𝑘 ∈ ℤ

Przyk̷lad 1.49. Szczeg´olnym przyk̷ladem funkcji potegowej jest funkcja_, √^𝑛

𝑧 = 𝑒^{(1/𝑛)𝑙𝑛𝑧} zwana pierwiastkiem 𝑛-stopnia z liczby 𝑧 ∈ ℂ ∖ {0}. W ka˙zdym obszarze jednosp´ojnym nie za- wierajacym zera i ∞ istnieje dok̷ladnie 𝑛 ga̷l_, ezi r´_, o˙zniacych si_, e czynnikiem 𝑒_, ^{2𝑘𝜋𝑖/𝑛}, 𝑘 = 0, 1, . . . 𝑛 − 1.

Uwaga 1.50. Wz´or Moivre’a wynika z definicji funkcji potegowej._,

1.7 Pochodna

Definicja 1.51. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧0 -punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧₀ ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Je´sli istnieje granica w̷la´sciwa ilorazu r´o˙znicowego

Δ𝑧→0lim

𝑓 (𝑧0+ Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧0)

Δ𝑧 , Δ𝑧 := 𝑧 − 𝑧₀ to nazywamy ja pochodn_, a funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧_{, 0} i oznaczamy 𝑓^′(𝑧₀).

Inny zapis

𝑓^′(𝑧0) := lim

𝑧→𝑧0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧₀) 𝑧 − 𝑧₀ .

Lemat 1.52. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧 ∈ 𝐷 -punkt skupienia zbioru 𝑓, 𝑔 : 𝐷 → ℂ. Je˙zeli funkcje 𝑓 i 𝑔 maja pochodn_, a w punkcie 𝑧, to_,

1. (𝑓 ± 𝑔)^′(𝑧) = 𝑓^′(𝑧) ± 𝑔^′(𝑧).

2. (𝑓 𝑔)^′(𝑧) = 𝑓^′(𝑧)𝑔(𝑧) + 𝑓 (𝑧)𝑔^′(𝑧).

3. (

𝑓 𝑔

)′

(𝑧) = ^𝑓′(𝑧)𝑔(𝑧)−𝑓 (𝑧)𝑔^′(𝑧)

[𝑔(𝑧)]² dla 𝑧 /∈ 𝑔⁻¹(0).

Lemat 1.53. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧0 ∈ 𝐷-punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑔 : 𝐷 → 𝔻^′ ⊂ ℂ, 𝑤0 = 𝑔(𝑧₀) ∈ 𝐷^′-punkt skupienia zbioru 𝐷^′, 𝑓 : 𝐷^′ → ℂ. Je˙zeli funkcja 𝑓 i 𝑔 maja pochodne odpowiednio_, w punkcie 𝑤₀ i 𝑧₀, to

(𝑓 ∘ 𝑔)^′(𝑧0) = 𝑓^′(𝑔(𝑧0))𝑔^′(𝑧0).

Twierdzenie 1.54. (Warunek konieczny istnienia pochodnej) Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧0-punkt skupi- enia zbioru 𝐷, 𝑧₀ ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → 𝐶, 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). Je˙zeli fnkcja 𝑓 ma w punkcie 𝑧₀ = 𝑥₀+ 𝑖𝑦₀ pochodna 𝑓_, ^′(𝑧₀), to istnieja w punkcie (𝑥_{, 0}, 𝑦₀) pochodne czastkowe_, ^∂𝑢_∂𝑥,^∂𝑢_∂𝑦,^∂𝑣_∂𝑥,^∂𝑣_∂𝑦 i spe̷lniaja w punkcie (𝑥_{, 0}, 𝑦₀) warunki:

∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) = ∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀), ∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) = −∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀), zwane warunkami Cauchy’ego-Riemanna.

Dow´od. Zak̷ladamy, ˙ze istnieje

𝑓^′(𝑧₀) = lim

Δ𝑧→0

𝑓 (𝑧₀+ Δ𝑧) − 𝑓 (𝑧₀)

Δ𝑧 .

Niech Δ𝑧 = Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦

(1) Δ𝑦 = 0 ⇒ Δ𝑧 = Δ𝑥 𝑓^′(𝑧₀) = lim

Δ𝑥→0

𝑢(𝑥₀ + Δ𝑥, 𝑦₀) + 𝑖𝑣(𝑥₀+ Δ𝑥, 𝑦₀) − 𝑢(𝑥₀, 𝑦₀) − 𝑖𝑣(𝑥₀, 𝑦₀) Δ𝑥

= lim

Δ𝑥→0

[ 𝑢(𝑥₀+ Δ𝑥, 𝑦₀) − 𝑢(𝑥₀, 𝑦₀)

Δ𝑥 + 𝑖𝑣(𝑥₀+ Δ𝑥, 𝑦₀) − 𝑣(𝑥₀, 𝑦₀) Δ𝑥

]

= ∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀).

(2) Δ𝑥 = 0 ⇒ Δ𝑧 = 𝑖Δ𝑦 𝑓^′(𝑧0) = lim

Δ𝑦→0

𝑢(𝑥₀, 𝑦₀+ Δ𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥₀, 𝑦₀+ Δ𝑦) − 𝑢(𝑥₀, 𝑦₀) − 𝑖𝑣(𝑥₀, 𝑦₀) 𝑖Δ𝑦

= lim

Δ𝑦→0

[ 𝑢(𝑥₀, 𝑦₀+ Δ𝑦) − 𝑢(𝑥₀, 𝑦₀)

𝑖Δ𝑦 + 𝑣(𝑥₀, 𝑦₀+ Δ𝑦) − 𝑣(𝑥₀, 𝑦₀) Δ𝑦

]

= −𝑖∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) + ∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀).

Zatem

∂𝑢

∂𝑥(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥0, 𝑦0) = −𝑖∂𝑢

∂𝑦(𝑥0, 𝑦0) + ∂𝑣

∂𝑦(𝑥0, 𝑦0).

Stad_,

∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) = ∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) oraz ∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) = −∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀).

Wniosek 1.55. Je˙zeli istnieje pochodna funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧₀, to:

𝑓^′(𝑧₀) = ∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) = ∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) − 𝑖∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)

= ∂𝑢

∂𝑥(𝑥0, 𝑦0) − 𝑖∂𝑢

∂𝑦(𝑥0, 𝑦0) = ∂𝑣

∂𝑦(𝑥0, 𝑦0) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥0, 𝑦0).

Wniosek 1.56. Pochodne czastkowe funkcji 𝑓 wyra˙zaj_, a si_, e wzorami_,

∂𝑓

∂𝑥(𝑧) =∂𝑢

∂𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥, 𝑦)

∂𝑓

∂𝑦(𝑧) =∂𝑢

∂𝑦(𝑥, 𝑦) + 𝑖∂𝑣

∂𝑦(𝑥, 𝑦).

Stad i z wniosku 1.56 otrzymamy nast_, epuj_, ace wzory na pochodn_, a funkcji 𝑓 w punkcie 𝑧_{, 0}. 𝑓^′(𝑧₀) = ∂𝑓

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) = −𝑖∂𝑓

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀).

Twierdzenie 1.57. (Warunek dostateczny istnienia pochodnej) Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑧0 -punkt skupienia zbioru 𝐷, 𝑧₀ ∈ 𝐷, 𝑓 : 𝐷 → 𝐶, 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦). Je˙zeli funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i 𝑣(𝑥, 𝑦) sa r´_, o˙zniczkowalne w punkcie (𝑥₀, 𝑦₀) i spe̷lniaja w tym punkcie warunki Cauchy’ego_, Riemanna, to funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) ma pochodna 𝑓_, ^′(𝑧₀).

Dow´od. Funkcje 𝑢 i 𝑣 sa r´_, o˙zniczkowalne w punkcie (𝑥₀, 𝑦₀), wiec_, (1) Δ𝑢(𝑥₀, 𝑦₀) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑢(𝑥₀, 𝑦₀) = ∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑥 +∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑦 + 𝑜₁(∣Δ𝑧∣), gdzie ∣Δ𝑧∣ = √(Δ𝑥)²+ (Δ𝑦)², 𝑜₁ jest wielko´scia ma̷lego rz_, edu tzn. lim_{, Δ𝑧→0} ^{𝑜1(∣Δ𝑧∣)}_Δ𝑧 = 0.

Analogicznie

(2) Δ𝑣(𝑥₀, 𝑦₀) = 𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑥₀, 𝑦₀) = ∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑥 + ∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑦 + 𝑜₂(∣Δ𝑧∣), 𝑜₂ jest wielko´scia ma̷lego rz_, edu tzn. lim_{, Δ𝑧→0} ^{𝑜2(∣Δ𝑧∣)}_Δ𝑧 = 0.

Δ𝑓 (𝑧₀) = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧₀).

(3) Δ𝑓 (𝑧₀) = 𝑓 (𝑧) − 𝑓 (𝑧₀) = Δ𝑢(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖Δ𝑣(𝑥₀, 𝑦₀).

Podstawiajac (1) i (2) do (3) otrzymamy:_, Δ𝑓

Δ𝑧(𝑧₀) = Δ𝑢

Δ𝑧(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖Δ𝑣

Δ𝑧(𝑥₀, 𝑦₀) = ( ∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑥 Δ𝑧 +∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑦 Δ𝑧

)

+ 𝑜₁(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧 + 𝑖( ∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑥 Δ𝑧 + ∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)Δ𝑦 Δ𝑧

)

+ 𝑖𝑜₂(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧 =

( ∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)) Δ𝑥

Δ𝑧 +( ∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀)) Δ𝑦

Δ𝑧 + 𝑜₁(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧 + 𝑖𝑜₂(∣Δ𝑧∣) Δ𝑧 . Korzystajac z za̷lo˙zenia, ˙ze funkcje 𝑢(𝑥, 𝑦) i 𝑣(𝑥, 𝑦) spe̷lniaj_, a warunki Cauchy’ego-Riemanna_,

∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) = ∂𝑣

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) i ∂𝑢

∂𝑦(𝑥₀, 𝑦₀) = −∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)

otrzymamy, ˙ze Δ𝑓

Δ𝑧(𝑧₀) = ( ∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀)) ( Δ𝑥 + 𝑖Δ𝑦 Δ𝑧

)

+𝑜₁(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧 + 𝑖𝑜₂(∣Δ𝑧∣) Δ𝑧 . Zatem

lim

Δ𝑧→0

Δ𝑓

Δ𝑧(𝑧₀) = lim

Δ𝑧→0

( ∂𝑢

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) + 𝑖∂𝑣

∂𝑥(𝑥₀, 𝑦₀) )

+𝑜₁(∣Δ𝑧∣)

Δ𝑧 + 𝑖𝑜₂(∣Δ𝑧∣) Δ𝑧 .

Stad wynika, ˙ze istnieje granica w̷la´sciwa ilorazu r´_, o˙znicowego w punkcie 𝑧₀, czyli istnieje pochodna 𝑓^′(𝑧₀).

Przyk̷lad 1.58. Dla jakich punkt´ow 𝑧 ∈ ℂ funkcja 𝑓 (𝑧) = 𝑧¯𝑧 = ∣𝑧∣² = 𝑥²+ 𝑦² ma pochodna?_, Re𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦², Im𝑓 (𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) ≡ 0 Funkcje 𝑢 i 𝑣 sa r´_, o˙zniczkowalne dla

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ². Sprawdzamy warunki C-R.

𝑢^′_𝑥 = 2𝑥, 𝑢^′_𝑦 = 2𝑦, 𝑣_𝑥^′ = 𝑣^′_𝑦 = 0.

Stad_,

𝑢^′_𝑥 = 𝑣_𝑦^′ ⇔ 𝑥 = 0, 𝑢^′_𝑦 = −𝑣^′_𝑥 ⇔ 𝑦 = 0.

Zatem warunki Cauchy’ego - Riemanna sa spe̷lnione tylko w punkcie 𝑧_{, 0} = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, ˙ze tylko w tym punkcie spe̷lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 za´s wynika, ˙ze w punkcie 𝑧0 = 0 spe̷lnione sa r´ownie˙z warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji 𝑓 . Pochodna funkcji policzymy z definicji._,

𝑓^′(0) = lim

𝑧→0

𝑓 (𝑧) − 𝑓 (0)

𝑧 − 0 = lim

𝑧→0

𝑧 ¯𝑧 𝑧 = lim

𝑧→0𝑧 = 0.¯

Zadanie 1.59. Zbada´c istnienie pochodnej funkcji 𝑓 oraz znale´z´c jej pochodna w punktach w_, kt´orych istnieje:

1. 𝑓 (𝑧) = 𝑧², 2. 𝑧Im𝑧,

3. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣²+ 2𝑧, 4. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣.

1.8 Funkcje holomorficzne

Definicja 1.60. Niech 𝐷 ⊂ ℂ otwarty, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Funkcje 𝑓 nazywamy holomorficzn_, a_, (r´o˙zniczkowalna w sensie zespolonym) w zbiorze 𝐷 je´_, sli w ka˙zdym punkcie 𝑧 ∈ 𝐷 istnieje pochodna 𝑓^′(𝑧).

Ozn. f ∈ H(D).

Definicja 1.61. Niech 𝐷 ⊂ ℂ, 𝑓 : 𝐷 → ℂ. Funkcje 𝑓 nazywamy holomorficzn_, a (r´_, o˙zniczkowalna_, w sensie zespolonym) w punkcie 𝑧₀ ∈ 𝐷 je´sli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu.

Przyk̷lad 1.62. Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣² = 𝑧 ¯𝑧.

Z przyk̷ladu 1.58, wiemy, ˙ze ˙ze 𝑓 ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna_, ani w punkcie 𝑧0 = 0, ani w ca̷lej p̷laszczy´znie. ℂ.

Wniosek 1.63. Je˙zeli 𝑓 jest holomorficzna w punkcie 𝑧₀ to ma pochodna w 𝑧_{, 0}. Natomiast twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe przyk̷lad 1.62).

Przyk̷lad 1.64. Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑧 dla 𝑧 ∈ ℂ.

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ; 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑦. Obie te funkcje sa klasy 𝐶_, ¹(ℝ²) (faktycznie klasy 𝐶^∞(ℝ²)).

Poka˙zemy, ˙ze spe̷lniaja r´_, ownania Cauchy’ego-Riemanna:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² mamy 𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) = 1, 𝑢^′_𝑦(𝑥, 𝑦) = 0

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² mamy 𝑣_𝑥^′(𝑥, 𝑦) = 0, 𝑣_𝑦^′(𝑥, 𝑦) = 1, Zatem dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ

𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑣_𝑦^′(𝑥, 𝑦), 𝑢^′_𝑦(𝑥, 𝑦) = −𝑣_𝑥^′(𝑥, 𝑦).

Korzystajac ze wzoru na pochodn_, a_,

𝑓^′(𝑧) = 𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣_𝑥^′(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑖0 = 1.

Czyli 𝑓 (𝑧) = 𝑧 ∈ 𝐻(ℂ).

Przyk̷lad 1.65. Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 dla 𝑧 ∈ ℂ.

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ; 𝑣(𝑥, 𝑦) = −𝑦. Obie te funkcje sa klasy 𝐶_, ¹(ℝ²) (faktycznie klasy 𝐶^∞(ℝ²)).

Sprawdzimy, gdzie spe̷lniaja r´_, ownania Cauchy’ego-Riemanna:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² mamy 𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) = 1, 𝑢^′_𝑦(𝑥, 𝑦) = 0

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² mamy 𝑣_𝑥^′(𝑥, 𝑦) = 0, 𝑣_𝑦^′(𝑥, 𝑦) = −1, Zatem

𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) = 1 ∕= 𝑣_𝑦^′(𝑥, 𝑦) = −1, 𝑢^′_𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 = −𝑣^′_𝑥(𝑥, 𝑦).

czyli 𝑓 (𝑧) = 𝑧 nie ma pochodnej w ˙zadnym punkcie.

Przyk̷lad 1.66. Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji 𝑓 (𝑧) = 𝑒^𝑧 dla 𝑧 ∈ ℂ.

Przypomnijmy, ˙ze cze´s´_, c rzeczywista 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 i urojona 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦. Obie te funkcje sa klasy 𝐶_, ¹(ℝ²) (faktycznie klasy 𝐶^∞(ℝ²)). Poka˙zemy, ˙ze spe̷lniaja r´_, ownania Cauchy’ego-Riemanna:

∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ² 𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦, 𝑢^′_𝑦(𝑥, 𝑦) = −𝑒^𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦, 𝑣_𝑥^′(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦, 𝑣_𝑦^′(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦, Zatem dla ka˙zdego 𝑧 ∈ ℂ

𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑣_𝑦^′(𝑥, 𝑦), 𝑢^′_𝑦(𝑥, 𝑦) = −𝑣_𝑥^′(𝑥, 𝑦).

Korzystajac ze wzoru na pochodn_, a_,

𝑓^′(𝑧) = 𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣^′_𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑒^𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑒^𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑒^𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦) = 𝑒^𝑧. Czyli 𝑒^𝑧 ∈ 𝐻(ℂ).

Zadanie 1.67. Zbada´c holomorficzno´s´c funkcji:

1. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣²+ 2𝑧, 2. 𝑓 (𝑧) = ¯𝑧²,

3. 𝑓 (𝑧) = (𝑧²+ 1)∣𝑧∣, 4. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣ + 2𝑧, 5. 𝑓 (𝑧) = ∣𝑧∣²(𝑧 + 1).

Lemat 1.68. 1. Je´sli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), to (𝑓 ± 𝑔) ∈ 𝐻(𝐷) oraz 𝑓 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷).

2. Je´sli 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), to ^𝑓_𝑔 ∈ 𝐻(𝐷 ∖ (𝑔⁻¹(0)).

3. Je´sli 𝑔 ∈ 𝐻(𝐷), 𝑓 ∈ 𝐻(𝑓 (𝐷)), to (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ 𝐻(𝐷).

Wniosek 1.69. Funkcje wymierne (w tym wielomiany), funkcje trygonometryczne i hiperbo- liczne sa holomorficzne w swojej dziedzinie._,

Korzystamy z faktu, ˙ze funkcja wyk̷ladnicza 𝑒^𝑧 jest funkcja holomorficzn_, a oraz z w̷lasno´sci_, dzia̷la´n na tych funkcjach. Stad mo˙zna wyprowadzi´_, c wzory na pochodna:_,

(𝑐𝑜𝑠𝑧)^′ = 1

2(𝑖𝑒^𝑖𝑧− 𝑖𝑒^−𝑖𝑧) = 𝑖

2(𝑒^𝑖𝑧− 𝑒^−𝑖𝑧) = −1

2𝑖(𝑒^𝑖𝑧 − 𝑒^−𝑖𝑧) = −𝑠𝑖𝑛𝑧.

(𝑠𝑖𝑛𝑧)^′ = 1

2𝑖(𝑖𝑒^𝑖𝑧+ 𝑖𝑒^−𝑖𝑧) = 𝑖

2𝑖(𝑒^𝑖𝑧 + 𝑒^−𝑖𝑧) = 1

2(𝑒^𝑖𝑧+ 𝑒^−𝑖𝑧) = 𝑐𝑜𝑠𝑧.

(𝑡𝑔𝑧)^′ = 1

𝑐𝑜𝑠²𝑧 (𝑐𝑡𝑔𝑧)^′ = −1 𝑠𝑖𝑛²𝑧.

Zadanie 1.70. Jakimi wzorami wyra˙zaja si_, e:_,

1. pochodne funkcji zdefiniowanych w zadaniu 1.44?

2. pochodna funkcji potegowej 𝑓 (𝑧) = 𝑧_, ^𝜇?

Zadanie 1.71. Znale´z´c funkcje holomorficzn_, a 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) je´_, sli 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑦 cos 𝑥 cosh 𝑦 − 𝑥 sin 𝑥 sinh 𝑦. Zapisa´c 𝑓 w postaci zespolonej.

Zadanie 1.72. Znale´z´c funkcje holomorficzn_, a 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) je´_, sli 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos 𝑥 cosh 𝑦 + 𝑦 sin 𝑥 sinh 𝑦. Zapisa´c 𝑓 (𝑧) w postaci zespolonej.

1.9 Szeregi pot egowe

Definicja 1.73. Szeregiem potegowym o ´_, srodku w punkcie 𝑧₀ ∈ ℂ nazywamy szereg postaci

∞

∑

𝑛=0

𝑎_𝑛(𝑧 − 𝑧₀)^𝑛, (1.8)

gdzie 𝑎_𝑛∈ ℂ.

Definicja 1.74. Promieniem zbie˙zno´sci szeregu potegowego (1.8) nazywamy kres g´orny zbioru tych liczb 𝑟, ˙ze dany szereg jest zbie˙zny w kole {𝑧 : ∣𝑧 − 𝑧₀∣ < 𝑟}.