Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .). Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n. Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .). Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n. Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 12 / 16
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .).
Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n. Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .).
Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n. Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 12 / 16
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .).
Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n. Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .).
Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n.
Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n. Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 12 / 16
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .).
Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n. Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .).
Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych (1,32,74,158, . . .), czyli ciągiem an= 2 − 21n.
Granicą tego ciagu jest 2, więcP∞n=012n = 2 i szereg ten jest zbieżny.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 12 / 16
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.
SzeregP∞n=0(−1)n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .).
Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).
SzeregP∞n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem an= n. Granicą tego ciagu jest lim
x →−∞n = lim
x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.
SzeregP∞n=012n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych
(1,3,7,15, . . .), czyli ciągiem a = 2 − 1. Granicą tego ciagu jest 2,
Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność
Generalnie, obliczanie wartości szeregów jest bardzo trudne i nie będziemy się tym zajmować (poza pewnym szczególnym
przypadkiem). Niełatwym zagadnieniem jest nawet często sprawdzenie, czy dany szereg liczbowy jest zbieżny, czy nie. Na potrzeby tego kursu wystarczą nam poniższe fakty: