14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe

14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 1 / 16

1 Wstęp: symbol sumy

2 Sumy nieskończone

3 Szeregi liczbowe

4 Szeregi geometryczne

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 3 / 16

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n =

3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 3 / 16

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 +

4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 +

5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 3 / 16

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . +

(k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 3 / 16

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+

3²+ 5²+ 7²+ 9².

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 3 / 16

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5²+ 7²+ 9².

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+

7²+ 9².

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 3 / 16

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

9².

Wstęp - symbol sumy

Prawdopodobnie symbol ten był używany w szkole, a prawie na pewno podczas zajęć w tym roku, ale na wszelki wypadek przypomnę, że symbolu Σ (grecka wielka litera sigma) używa się do oznaczania

sum: k

X

n=1

a_n= a₁ + a₂+ . . . + a_k.

Taka notacja często pozwala nam skrócić i ujednoznacznić zapis. Na przykład:

k

X

n=3

n = 3 + 4 + 5 + . . . + (k − 1) + k.

5

X

n=1

(2n − 1)² = 1²+ 3²+ 5²+ 7²+ 9².

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 3 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 =

1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 +

1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 4 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . +

1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 =

k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 4 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1 n =

1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 4 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 +

1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +

1 3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 4 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +

1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 4 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

1 − 1 + 1 − 1 + . . . .

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1

− 1 + 1 − 1 + . . . .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 4 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

1 − 1 + . . . .

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

∞

X

n=0

(−1)ⁿ= 1 − 1 + 1

− 1 + . . . .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 4 / 16

Symbol sumy - rozwinięcie

Wewnątrz sumy nie musi być odniesienia do literki według której sumujemy (tzw. licznika pętli):

k

X

n=1

1 = 1 + 1 + . . . + 1 = k.

Szczególnie istotne dla nas jest, że pod symbolem sumy może się znaleźć nieskończenie wiele elementów np.

∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 +1

3 +1

4 + . . . .

Sumy nieskończone

Rozważamy ^P∞_n=1an.

Zauważmy, że w takiej sytuacji dodając kolejno tylko skończoną, ale coraz większą liczbę składników sumy (czyli biorąc najpierw pierwszy element, potem sumę pierwszych dwu, sumę pierwszych trzech itd.) również tworzymy pewien ciąg (^Pk_n=1a_n)^∞_k=1 , który oczywiście może być zbieżny lub rozbieżny. Jeśli taki ciąg jest zbieżny, to nieskończona suma ma sens - jest granicą takiego ciągu sum częściowych, co zapisujemy następująco:

∞

X

n=1

a_n = lim

k→∞ k

X

n=1

a_n .

Czy to możliwe, by suma nieskończenie wielu elementów dawała skończoną wartość nawet przy założeniu, że wszystkie te elementy są dodatnie? Jak najbardziej - prosty, a nietrywialny przykład podaje następująca zagadka:

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 5 / 16

Sumy nieskończone

Rozważamy ^P∞_n=1an.

Zauważmy, że w takiej sytuacji dodając kolejno tylko skończoną, ale coraz większą liczbę składników sumy (czyli biorąc najpierw pierwszy element, potem sumę pierwszych dwu, sumę pierwszych trzech itd.) również tworzymy pewien ciąg (^Pk_n=1a_n)^∞_k=1

, który oczywiście może być zbieżny lub rozbieżny. Jeśli taki ciąg jest zbieżny, to nieskończona suma ma sens - jest granicą takiego ciągu sum częściowych, co zapisujemy następująco:

∞

X

n=1

a_n = lim

k→∞ k

X

n=1

a_n .

Czy to możliwe, by suma nieskończenie wielu elementów dawała skończoną wartość nawet przy założeniu, że wszystkie te elementy są dodatnie? Jak najbardziej - prosty, a nietrywialny przykład podaje następująca zagadka:

Sumy nieskończone

Rozważamy ^P∞_n=1an.

Zauważmy, że w takiej sytuacji dodając kolejno tylko skończoną, ale coraz większą liczbę składników sumy (czyli biorąc najpierw pierwszy element, potem sumę pierwszych dwu, sumę pierwszych trzech itd.) również tworzymy pewien ciąg (^Pk_n=1a_n)^∞_k=1 , który oczywiście może być zbieżny lub rozbieżny.

Jeśli taki ciąg jest zbieżny, to nieskończona suma ma sens - jest granicą takiego ciągu sum częściowych, co zapisujemy następująco:

∞

X

n=1

a_n = lim

k→∞ k

X

n=1

a_n .

Czy to możliwe, by suma nieskończenie wielu elementów dawała skończoną wartość nawet przy założeniu, że wszystkie te elementy są dodatnie? Jak najbardziej - prosty, a nietrywialny przykład podaje następująca zagadka:

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 5 / 16

Sumy nieskończone

Rozważamy ^P∞_n=1an.

Zauważmy, że w takiej sytuacji dodając kolejno tylko skończoną, ale coraz większą liczbę składników sumy (czyli biorąc najpierw pierwszy element, potem sumę pierwszych dwu, sumę pierwszych trzech itd.) również tworzymy pewien ciąg (^Pk_n=1a_n)^∞_k=1 , który oczywiście może być zbieżny lub rozbieżny. Jeśli taki ciąg jest zbieżny, to nieskończona suma ma sens - jest granicą takiego ciągu sum częściowych, co zapisujemy następująco:

∞

X

n=1

a_n = lim

k→∞

k

X

n=1

a_n .

Czy to możliwe, by suma nieskończenie wielu elementów dawała skończoną wartość nawet przy założeniu, że wszystkie te elementy są dodatnie? Jak najbardziej - prosty, a nietrywialny przykład podaje następująca zagadka:

Sumy nieskończone

Rozważamy ^P∞_n=1an.

Zauważmy, że w takiej sytuacji dodając kolejno tylko skończoną, ale coraz większą liczbę składników sumy (czyli biorąc najpierw pierwszy element, potem sumę pierwszych dwu, sumę pierwszych trzech itd.) również tworzymy pewien ciąg (^Pk_n=1a_n)^∞_k=1 , który oczywiście może być zbieżny lub rozbieżny. Jeśli taki ciąg jest zbieżny, to nieskończona suma ma sens - jest granicą takiego ciągu sum częściowych, co zapisujemy następująco:

∞

X

n=1

a_n = lim

k→∞

k

X

n=1

a_n .

Czy to możliwe, by suma nieskończenie wielu elementów dawała skończoną wartość nawet przy założeniu, że wszystkie te elementy są dodatnie?

Jak najbardziej - prosty, a nietrywialny przykład podaje następująca zagadka:

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 5 / 16

Sumy nieskończone

Rozważamy ^P∞_n=1an.

Zauważmy, że w takiej sytuacji dodając kolejno tylko skończoną, ale coraz większą liczbę składników sumy (czyli biorąc najpierw pierwszy element, potem sumę pierwszych dwu, sumę pierwszych trzech itd.) również tworzymy pewien ciąg (^Pk_n=1a_n)^∞_k=1 , który oczywiście może być zbieżny lub rozbieżny. Jeśli taki ciąg jest zbieżny, to nieskończona suma ma sens - jest granicą takiego ciągu sum częściowych, co zapisujemy następująco:

∞

X

n=1

a_n = lim

k→∞

k

X

n=1

a_n .

Czy to możliwe, by suma nieskończenie wielu elementów dawała

Zagadka - suchar matematyczny

Zagadka

Nieskończenie wielu matematyków przychodzi do baru. Pierwszy mówi do barmana: „Poproszę jedno piwo”. Drugi mówi: „Poproszę połowę tego, co pierwszy”. Trzeci mówi: „Poproszę połowę tego co drugi”. Zanim czwarty się odezwał, barman pyta: „ Czy wszyscy kolejni zamawiają połowę tego, co poprzedni?” i po otrzymaniu twierdzącej odpowiedzi nalewa... no właśnie, ile piw?

Jak łatwo zauważyć, sprawa sprowadza się do pytania: jaka jest wartość sumy

1 + 1 2 +1

4 +1

8 + . . . =

∞

X

n=0

1 2

n

?

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 6 / 16

Zagadka - suchar matematyczny

Zagadka

Nieskończenie wielu matematyków przychodzi do baru. Pierwszy mówi do barmana: „Poproszę jedno piwo”. Drugi mówi: „Poproszę połowę tego, co pierwszy”. Trzeci mówi: „Poproszę połowę tego co drugi”. Zanim czwarty się odezwał, barman pyta: „ Czy wszyscy kolejni zamawiają połowę tego, co poprzedni?” i po otrzymaniu twierdzącej odpowiedzi nalewa... no właśnie, ile piw?

Jak łatwo zauważyć, sprawa sprowadza się do pytania: jaka jest wartość sumy

∞ n

Zagadka - rozwiązanie

∞

X

n=0

1 2

n

=?

Zauważmy, że dla dowolnego n zachodzi^1₂^n =^₂^1n−1−^1₂^n (czyli 1 = 2 − 1, ¹₂ = 1 − ¹₂, ¹₄ = ¹₂ − ¹₄ itp.).

Dlatego

P∞ n=0

1 2

n

=^P∞_n=0^1₂^n−1−^1₂^n. Rozważmy ^Pk_n=0^1₂^n−1−^1₂^n =

(2−1)+(1−¹₂)+(¹₂−₄¹)+. . .+(^1₂^k−2−^1₂^k−1)+(^1₂^k−1−^1₂^k) = 2 + (−1 + 1) + (−¹₂+¹₂) + . . . (−^1₂^k−1+^₂^1k−1) −^1₂^k = 2 −^1₂^k.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 7 / 16

Zagadka - rozwiązanie

∞

X

n=0

1 2

n

=?

Zauważmy, że dla dowolnego n zachodzi^1₂^n =^₂^1n−1−^1₂^n (czyli 1 = 2 − 1, ¹₂ = 1 − ¹₂, ¹₄ = ¹₂ − ¹₄ itp.). Dlatego

P∞ n=0

1 2

n

=^P∞_n=0^1₂^n−1−^1₂^n.

Rozważmy ^Pk_n=0^1₂^n−1−^1₂^n =

(2−1)+(1−¹₂)+(¹₂−₄¹)+. . .+(^1₂^k−2−^1₂^k−1)+(^1₂^k−1−^1₂^k) = 2 + (−1 + 1) + (−¹₂+¹₂) + . . . (−^1₂^k−1+^₂^1k−1) −^1₂^k = 2 −^1₂^k.

Zagadka - rozwiązanie

∞

X

n=0

1 2

n

=?

Zauważmy, że dla dowolnego n zachodzi^1₂^n =^₂^1n−1−^1₂^n (czyli 1 = 2 − 1, ¹₂ = 1 − ¹₂, ¹₄ = ¹₂ − ¹₄ itp.). Dlatego

P∞ n=0

1 2

n

=^P∞_n=0^1₂^n−1−^1₂^n. Rozważmy^Pk_n=0^1₂^n−1−^1₂^n =

(2−1)+(1−¹₂)+(¹₂−₄¹)+. . .+(^1₂^k−2−^1₂^k−1)+(^1₂^k−1−^1₂^k)

= 2 + (−1 + 1) + (−¹₂+¹₂) + . . . (−^1₂^k−1+^₂^1k−1) −^1₂^k = 2 −^1₂^k.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 7 / 16

Zagadka - rozwiązanie

∞

X

n=0

1 2

n

=?

Zauważmy, że dla dowolnego n zachodzi^1₂^n =^₂^1n−1−^1₂^n (czyli 1 = 2 − 1, ¹₂ = 1 − ¹₂, ¹₄ = ¹₂ − ¹₄ itp.). Dlatego

P∞ n=0

1 2

n

=^P∞_n=0^1₂^n−1−^1₂^n. Rozważmy^Pk_n=0^1₂^n−1−^1₂^n =

(2−1)+(1−¹₂)+(¹₂−₄¹)+. . .+(^1₂^k−2−^1₂^k−1)+(^1₂^k−1−^1₂^k) =

2 −^1₂^k.

Zagadka - rozwiązanie

∞

X

n=0

1 2

n

=?

Zauważmy, że dla dowolnego n zachodzi^1₂^n =^₂^1n−1−^1₂^n (czyli 1 = 2 − 1, ¹₂ = 1 − ¹₂, ¹₄ = ¹₂ − ¹₄ itp.). Dlatego

P∞ n=0

1 2

n

=^P∞_n=0^1₂^n−1−^1₂^n. Rozważmy^Pk_n=0^1₂^n−1−^1₂^n =

(2−1)+(1−¹₂)+(¹₂−₄¹)+. . .+(^1₂^k−2−^1₂^k−1)+(^1₂^k−1−^1₂^k) = 2 + (−1 + 1) + (−¹₂+¹₂) + . . . (−^1₂^k−1+^₂^1k−1) −^1₂^k = 2 −^1₂^k.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 7 / 16

Zagadka - rozwiązanie

Ostatecznie

∞

X

n=0

1 2

n

= lim

k→∞

k

X

n=1

1 2

n

= lim

k→∞

1 2

n−1

−

1 2

n

=

= lim

k→∞2 −

1 2

k

=



2 −

1 2

^∞

= 2.

Dlatego dla całej nieskończonej kolejki matematyków potrzebne były tylko 2 piwa.

Zagadka - rozwiązanie

Ostatecznie

∞

X

n=0

1 2

n

= lim

k→∞

k

X

n=1

1 2

n

= lim

k→∞

1 2

n−1

−

1 2

n

=

= lim

k→∞2 −

1 2

k

=



2 −

1 2

^∞

= 2.

Dlatego dla całej nieskończonej kolejki matematyków potrzebne były tylko 2 piwa.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 8 / 16

Zagadka - rozwiązanie

Ostatecznie

∞

X

n=0

1 2

n

= lim

k→∞

k

X

n=1

1 2

n

= lim

k→∞

1 2

n−1

−

1 2

n

=

= lim

k→∞2 −

1 2

k

=



2 −

1 2

^∞

=

2.

Dlatego dla całej nieskończonej kolejki matematyków potrzebne były tylko 2 piwa.

Zagadka - rozwiązanie

Ostatecznie

∞

X

n=0

1 2

n

= lim

k→∞

k

X

n=1

1 2

n

= lim

k→∞

1 2

n−1

−

1 2

n

=

= lim

k→∞2 −

1 2

k

=



2 −

1 2

^∞

= 2.

Dlatego dla całej nieskończonej kolejki matematyków potrzebne były tylko 2 piwa.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 8 / 16

Zagadka - rozwiązanie

Ostatecznie

∞

X

n=0

1 2

n

= lim

k→∞

k

X

n=1

1 2

n

= lim

k→∞

1 2

n−1

−

1 2

n

=

= lim

k→∞2 −

1 2

k

=



2 −

1 2

^∞

= 2.

Dlatego dla całej nieskończonej kolejki matematyków potrzebne były tylko 2 piwa.

Dodatkowe uwagi przed formalizacją

Oczywiście, nie wszystkie sumy nieskończone da się policzyć, a nawet często nie są one w ogóle zbieżne. Na przykład^P∞_n=11 ewidentnie jest rozbieżna do nieskończoności, a ^P∞_n=1(−1)ⁿ w ogóle nie ma granicy (mimo, że jest ograniczona).

By prawidłowo posługiwać się takimi nieskończonymi sumami potrzebujemy sformalizować niektóre pojęcia z tego zakresu. Formalnie takie sumy nazywamy szeregami liczbowymi.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 9 / 16

Dodatkowe uwagi przed formalizacją

Oczywiście, nie wszystkie sumy nieskończone da się policzyć, a nawet często nie są one w ogóle zbieżne. Na przykład^P∞_n=11 ewidentnie jest rozbieżna do nieskończoności, a ^P∞_n=1(−1)ⁿ w ogóle nie ma granicy (mimo, że jest ograniczona).

By prawidłowo posługiwać się takimi nieskończonymi sumami potrzebujemy sformalizować niektóre pojęcia z tego zakresu.

Formalnie takie sumy nazywamy szeregami liczbowymi.

Dodatkowe uwagi przed formalizacją

Oczywiście, nie wszystkie sumy nieskończone da się policzyć, a nawet często nie są one w ogóle zbieżne. Na przykład^P∞_n=11 ewidentnie jest rozbieżna do nieskończoności, a ^P∞_n=1(−1)ⁿ w ogóle nie ma granicy (mimo, że jest ograniczona).

By prawidłowo posługiwać się takimi nieskończonymi sumami potrzebujemy sformalizować niektóre pojęcia z tego zakresu.

Formalnie takie sumy nazywamy szeregami liczbowymi.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 9 / 16

Sumy nieskończone - uwaga techniczna

Jak widać po sumie^P∞_n=3n = 3 + 4 + 5 + . . . sumowanie można zacząć od dowolnego miejsca (tj. najmniejsza wartość licznika sumy, czyli najmniejsze n może być równe np. 3).

Ponieważ najczęściej dla sum nieskończonych najistotniejsze jest to, co się dzieje w

nieskończoności (czyli dla dużych wartości licznika) i dla ustalenia uwagi na rzeczach istotnych, w twierdzeniach i definicjach tego rozdziału jako najmniejszą wartość będzie występować n = 1 lub n = 0 (chyba, że jest wyraźnie napisane inaczej). Jednak wszystkie one zachowują ważność dla dowolnego n, więc nie jest to żaden problem dla konkretnych zadań.

Sumy nieskończone - uwaga techniczna

Jak widać po sumie^P∞_n=3n = 3 + 4 + 5 + . . . sumowanie można zacząć od dowolnego miejsca (tj. najmniejsza wartość licznika sumy, czyli najmniejsze n może być równe np. 3). Ponieważ najczęściej dla sum nieskończonych najistotniejsze jest to, co się dzieje w

nieskończoności (czyli dla dużych wartości licznika) i dla ustalenia uwagi na rzeczach istotnych, w twierdzeniach i definicjach tego rozdziału jako najmniejszą wartość będzie występować n = 1 lub n = 0 (chyba, że jest wyraźnie napisane inaczej).

Jednak wszystkie one zachowują ważność dla dowolnego n, więc nie jest to żaden problem dla konkretnych zadań.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 10 / 16

Sumy nieskończone - uwaga techniczna

Jak widać po sumie^P∞_n=3n = 3 + 4 + 5 + . . . sumowanie można zacząć od dowolnego miejsca (tj. najmniejsza wartość licznika sumy, czyli najmniejsze n może być równe np. 3). Ponieważ najczęściej dla sum nieskończonych najistotniejsze jest to, co się dzieje w

nieskończoności (czyli dla dużych wartości licznika) i dla ustalenia uwagi na rzeczach istotnych, w twierdzeniach i definicjach tego rozdziału jako najmniejszą wartość będzie występować n = 1 lub n = 0 (chyba, że jest wyraźnie napisane inaczej). Jednak wszystkie one zachowują ważność dla dowolnego n, więc nie jest to żaden problem dla konkretnych zadań.

Szeregi - definicje

Szereg

Szeregiem o wyrazie ogólnym (an)_n∈N nazywamy ciąg sum częściowych S_k, gdzie S_k =^Pk_n=1a_n. Szereg taki oznaczamy symbolem^P∞_n=1a_n.

Zbieżność, suma i rozbieżność szeregu

Szereg nazywamy zbieżnym do liczby S ∈ R jeśli ciąg sum

częściowych Sk jest zbieżny do tej granicy. Liczbę S nazywamy sumą szeregu i zapisujemy^P∞_n=1a_n = S . Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.

Może się wydawać, że mamy tu kolizję oznaczeń, bo przez^P∞_n=1a_n oznaczamy zarówno szereg, jak i jego sumę (granicę). Po prostu taka jest tradycja tego oznaczenia i z kontekstu zawsze można odgadnąć o co chodzi, więc wyjątkowo taką kolizją się nie przejmujemy.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 11 / 16

Szeregi - definicje

Szereg

Szeregiem o wyrazie ogólnym (an)_n∈N nazywamy ciąg sum częściowych S_k, gdzie S_k =^Pk_n=1a_n. Szereg taki oznaczamy symbolem^P∞_n=1a_n.

Zbieżność, suma i rozbieżność szeregu

Szereg nazywamy zbieżnym do liczby S ∈ R jeśli ciąg sum

częściowych S_k jest zbieżny do tej granicy. Liczbę S nazywamy sumą szeregu i zapisujemy^P∞_n=1a_n = S . Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.

Może się wydawać, że mamy tu kolizję oznaczeń, bo przez^P∞_n=1a_n oznaczamy zarówno szereg, jak i jego sumę (granicę). Po prostu taka jest tradycja tego oznaczenia i z kontekstu zawsze można odgadnąć o co chodzi, więc wyjątkowo taką kolizją się nie przejmujemy.

Szeregi - definicje

Szereg

Szeregiem o wyrazie ogólnym (an)_n∈N nazywamy ciąg sum częściowych S_k, gdzie S_k =^Pk_n=1a_n. Szereg taki oznaczamy symbolem^P∞_n=1a_n.

Zbieżność, suma i rozbieżność szeregu

Szereg nazywamy zbieżnym do liczby S ∈ R jeśli ciąg sum

częściowych S_k jest zbieżny do tej granicy. Liczbę S nazywamy sumą szeregu i zapisujemy^P∞_n=1a_n = S . Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym.

Może się wydawać, że mamy tu kolizję oznaczeń, bo przez^P∞_n=1a_n oznaczamy zarówno szereg, jak i jego sumę (granicę). Po prostu taka jest tradycja tego oznaczenia i z kontekstu zawsze można odgadnąć o co chodzi, więc wyjątkowo taką kolizją się nie przejmujemy.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 11 / 16

Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność

Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.

Szereg^P∞_n=0(−1)ⁿ jest tożsamy z szeregiem sum częściowych

(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .). Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).

Szereg^P∞_n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych

(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem a_n= n. Granicą tego ciagu jest lim

x →−∞n = lim

x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.

Szereg^P∞_n=0^1₂^n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych

(1,³₂,⁷₄,¹⁵₈, . . .), czyli ciągiem an= 2 − ₂¹n. Granicą tego ciagu jest 2, więc^P∞_n=0^1₂^n = 2 i szereg ten jest zbieżny.

Szeregi - przykłady - zbieżność i rozbieżność

Rozwińmy wcześniejsze przykłady w świetle omówionych definicji.

Szereg^P∞_n=0(−1)ⁿ jest tożsamy z szeregiem sum częściowych

(1, 1 + (−1), 1 + (−1) + 1, 1 + (−1) + 1 + (−1), . . .) = (1, 0, 1, 0, . . .). Ten ciąg ewidentnie nie jest zbieżny (bo nie może mieć dwu różnych granic, a jego elementy są tak samo blisko 0, jak 1).

Szereg^P∞_n=11 jest tożsamy z szeregiem sum częściowych

(1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, . . .) = (1, 2, 3, 4, . . .), czyli ciągiem a_n= n. Granicą tego ciagu jest lim

x →−∞n = lim

x →∞x = +∞, więc szereg wyjściowy nie jest zbieżny.

Szereg^P∞_n=0^1₂^n jest tożsamy z szeregiem sum częściowych

(1,³₂,⁷₄,¹⁵₈, . . .), czyli ciągiem an= 2 − ₂¹n. Granicą tego ciagu jest 2, więc^P∞_n=0^1₂^n = 2 i szereg ten jest zbieżny.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)14b. Analiza zmiennych dyskretnych: szeregi liczbowe 12 / 16