Tarcie w parach kinematycznych

Fakt kontaktu i towarzysz¹cego mu oddzia³ywaniu si³owego w po³¹czeniu z ruchem wzglêdnym (poœlizgiem) dwóch elementów tworz¹cych parê kinematyczn¹ skutkuje w uk³adach rzeczywistych wystêpowaniem si³ tarcia, które w wielu przypadkach musz¹ byæ uwzglêdnione w analizie dynamicznej uk³adu.

Podstaw¹ informacji o tarciu jest wspó³czynnik tarcia µ, wyra¿ony ilorazem si³y tar-cia T do si³y normalnej N, którego wartoœæ zale¿na jest od wielu czynników. Najistot-niejsze z nich to rodzaj stykaj¹cych siê powierzchni, prêdkoœæ poœlizgu i nacisk jedno-stkowy. Czynniki dodatkowe to stan powierzchni, ich smarowanie, temperatura i inne. Na rysunku 4.20 przedstawiono przebiegi si³y tarcia T_jk tylko w funkcji prêdkoœci poœlizgu v_jk. Najprostszy i najbardziej rozpowszechniony jest model tarcia Coulom-ba–Amontosa (rys. 4.20a – prosta 1) [22]. Model ten rozwiniêto przez wprowadzenie tar-cia statycznego i wiskotycznego (rys. 4.20a – prosta 2). Wspó³czesne zaawansowane me-tody opisu zjawisk tarcia bazuj¹ na modelu Coulomba–Morina–Striebecka (rys. 4.20b).

Modelowanie tarcia w parach kinematycznych jest ogólnie trudne. Szczególnie fra-puj¹ce badawczo jest okreœlanie tarcia w fazach przejœcia od spoczynku do poœlizgu.

Wystêpuje to w parach kinematycznych wielu uk³adów, gdzie w czasie ruchu prêd-koœæ wzglêdna zmienia znak. W niniejszym opracowaniu przyjmuje siê, ¿e wspó³-czynnik tarcia w ka¿dej fazie ruchu uk³adu jest znany. Wystêpowanie tarcia, co oczywiste, stwarza now¹ sytuacjê w rozk³adzie si³ oddzia³ywania w parach kine-matycznych.

Rys. 4.21. Para krzywkowa – si³y oddzia³ywania z tarciem

Para wy¿sza – krzywkowa. W rzeczywistej parze wy¿szej (rys. 4.21) w wyniku poœlizgu z prêdkoœci¹ v_jk pojawia siê si³a tarcia T_jk, co skut-kuje odchyleniem ca³kowitej si³y oddzia³ywania z tarciem T

jk

F o k¹t tarcia ρ, przy czym:

m r

m= , =arctg N

T

Relacja pomiêdzy sk³adowymi i ca³kowit¹ si³¹ tarcia jest oczywista

2 2 2 + = 1 m+ = _{jk jk jk} T jk N T N F (4.62)

Nale¿y tutaj (rys. 4.21) zwróciæ uwagê na zgodnoœæ zwrotów prêdkoœci poœlizgu v_jk i si³y tarcia T_jk. Ta regu³a tylko pozornie mija siê z po-wszechnie znan¹ zasad¹ o przeciwstawianiu siê tarcia ruchowi. W przypadku uk³adów kinematycznych, gdzie w parach mamy do czynienia z ruchem wzglêdnym przemie-szczaj¹cych siê wzglêdem podstawy elementów, indeksowanie wektorów prêdkoœci i si³ tarcia jest ze wszech miar polecane.

Para obrotowa. Uk³ad si³ z tarciem w parze wy¿szej ³atwo prze³o¿yæ na parê obro-tow¹ i postêpow¹. Uk³ad si³ w parze obrotowej przedstawiono na rys. 4.22. Podobnie jak w parze wy¿szej ca³kowita si³a uwzglêdniaj¹ca tarcie jest odchylona od normalnej o k¹t tarcia ρ′, który uwzglêdnia fakt kontaktu powierzchni cylindrycznych o niemal jednakowych œrednicach. Wartoœæ wspó³czynnika tarcia µ′ w parach obrotowych jest skorygowana w stosunku do µ wed³ug zale¿noœci:

• µ′ = 1,27µ dla par dotartych, • µ′ = 1,57µ dla par niedotartych.

Rozpatrywanie ka¿dorazowo pary obrotowej w skali mikro jest niewygodne. Zwróæ-my uwagê, ¿e w wyniku tarcia pojawia siê moment tarcia MT, który mo¿na wyraziæ na dwa sposoby (rys. 4.22):

jk T jk T jk hF rT M = = (4.63)

Rys. 4.22. Para obrotowa – si³y oddzia³ywania z tarciem

Ramiê h ca³kowitej si³y z tarciem, po wykorzystaniu (4.62), okreœla zale¿noœæ:

( )

bardzo u¿yteczna w zastosowaniach praktycznych. Wynika z niej, ¿e si³a z tarciem T jk

F w parze obrotowej jest zawsze oddalona od œrodka czopa o ramiê h, a ogólniej jest stycz-na do tzw. ko³a tarcia o promieniu h. Uzupe³niaj¹ca informacja mówi (rys. 4.22), ¿e ca³kowita si³a z uwzglêdnieniem tarcia T

jk

F tworzy wzglêdem œrodka czopa moment tarcia MT

jk, którego zwrot jest zgodny ze zwrotem prêdkoœci k¹towej ω_jk.

Para postêpowa. Si³y oddzia³ywania w parze postêpowej modelowej z uwzglêdnie-niem tarcia s¹ prost¹ konsekwencj¹ sytuacji w parze wy¿szej, co dla przyk³adowego ruchu wzglêdnego zilustrowano na rys. 4.23.

Analiza równowagi uk³adów z uwzglêdnieniem tarcia równie¿ wymaga rozpatry-wania równowagi poszczególnych cz³onów i dowolnie wydzielonych fragmentów uk³a-dów. Bardziej k³opotliwe jest wtedy wyznaczanie linii dzia³ania si³ z tarciem i zawsze, nawet w analizie pomijaj¹cej si³y bezw³adnoœci niezbêdna jest znajomoœæ ruchu. Wo-bec tych trudnoœci zaleca siê, aby okreœlanie si³ z tarciem poprzedziæ analiz¹ bez tar-cia. Sposób postêpowania zilustrujemy przyk³adem.

Rys. 4.23. Para postêpowa – si³y oddzia³ywania z tarciem

Rys. 4.24. Analiza si³ z uwzglêdnieniem tarcia

PRZYK£AD 4.6

W uk³adzie z rys. 4.24a si³ownik 2–3 wymusza ruch cz³onu 1. Si³a w si³owniku musi pokonaæ opór zewnêtrzny w postaci si³y F oraz opory tarcia w parach kinematycznych. Zak³adamy znajomoœæ k¹ta tarcia w parze postêpowej 0–1 oraz promieni h₂₁ i h₃₀ kó³ tarcia.

W pierwszym etapie poszukujemy warunków równowagi bez tarcia. Dla cz³onu 1 wymagane jest spe³nienie równania równowagi si³ w postaci:

0 21 '' 01 ' 01 + + = +F F F F (4.65)

Rozwi¹zanie równania (4.65) jest mo¿liwe, poniewa¿ znany jest wektor si³y zewnê-trznej F oraz linie dzia³ania pozosta³ych si³: F₂₁ dzia³a w osi si³ownika, F′ i ₀₁ F ¢¢₀₁ wzd³u¿ linii wyznaczonych punktami A,B oraz C,D. Rozwi¹zanie graficzne, wykorzystuj¹ce prost¹ Culmanna c, przedstawiono na rys. 4.24b. Si³a F₂₁ jest oczywiœcie si³¹, jak¹ na-le¿y wywo³aæ za pomoc¹ si³ownika 2–3, wektor si³y F₃₀ jest przeciwny do F₂₁.

Wyznaczenie si³ oddzia³ywania F′ i ₀₁ F ¢¢01 miêdzy podstaw¹ 0 i cz³onem 1 pozwala ju¿ na jednoznaczne okreœlenie punktów styku obu cz³onów – tutaj cz³ony 0 i 1 kon-taktuj¹ siê w punktach B i C. Poniewa¿ za³o¿ono wymuszenie ruchu si³ownikiem, wiêc zwrot wektora v₁₀ jest oczywisty. Do ustalenia stycznoœci si³ w parach obrotowych po-trzebna jest znajomoœæ zwrotów wektorów wzglêdnych prêdkoœci k¹towych ωωωωω₂₁ i ωωωωω₃₀ w parach 2–1 i 3–0. W tym uk³adzie mo¿na to ustaliæ intuicyjnie, rozpatruj¹c myœlowo kolejne po³o¿enie uk³adu. Skracanie siê si³ownika spowoduje przesuniêcie œrodka pary 1–2 w lewo. Si³ownik zajmie po³o¿enie bardziej zbli¿one do pionu, a wiêc obraca siê w prawo i taki jest zwrot prêdkoœci k¹towych ωωωωω₂₁ i ωωωωω₃₀, gdy¿:

2 21 0 1 2 21 w w ¹ w w w = - ¾^w¾ ®¾⁼ = gdzie ωωωωω₃₀ = ωωωωω₃,

Ustalenie linii dzia³ania si³ T 01

F′ i T

01

F ¢¢ polega na za³o¿eniu, ¿e si³y normalne N′₀₁ i N ¢¢₀₁ maj¹ zwroty jak si³y F′ i ₀₁ F ¢¢₀₁ bez tarcia. Po dodaniu si³ normalnych N′ i ₀₁ N ¢¢₀₁

i si³ tarcia T₀₁ kierunek odchylenia si³ z tarciem jest okreœlony jednoznacznie. Stycz-noœæ si³ z tarciem w parach obrotowych wynika ze zgodnoœci zwrotów wektorów mo-mentów tarcia i odpowiednich prêdkoœci k¹towych. W parze 2–1 si³a T

21

F daje moment o zwrocie zgodnym z prêdkoœci¹ ω₂₁, w parze 3–0 równie¿ mamy zgodnoœæ si³y T

30 F z prêdkoœci¹ ω₃₀.

Po ustaleniu linii dzia³ania si³ z tarciem mo¿liwe jest rozwi¹zanie równowagi cz³o-nu 1, które dla przypadku z tarciem ma postaæ:

0 21 01 01¢ + ¢¢ + = +FT F T FT F

Wielobok si³ z tarciem przedstawiono na rys. 4.24c. Na obu planach si³ (b) i (c) ce-lowo dobrano identyczne d³ugoœci wektora zadanej si³y F. Dziêki temu mo¿na stwier-dziæ jak znacznie, zarówno w sensie modu³ów, jak i kierunków, zmieni³y siê si³y po uwzglêdnieniu tarcia.