Podstawy analizy układów kinematycznych

Podstawy analizy

uk³adów kinematycznych

Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej Wroc³aw 2003

Opiniodawcy Franciszek SIEMIENIAKO Stanis³aw WOJCIECH Opracowanie redakcyjne Alina KACZAK Korekta Hanna JUREK Projekt ok³adki

Zofia i Dariusz GODLEWSCY

© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 2003

OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw

ISBN 83-7085-672-1

WSTÊP . . . 5

1.  STRUKTURA UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH . . . 7

1.1. Pojêcia podstawowe . . . 7

1.1.1. Cz³ony uk³adów kinematycznych . . . 9

1.1.2. Pary kinematyczne . . . 10

1.1.3. £añcuch kinematyczny, mechanizm, maszyna . . . 15

1.2. W³asnoœci ruchowe . . . 16

1.2.1. RuchliwoϾ teoretyczna . . . 18

1.2.2. Ruchliwoœæ teoretyczna uk³adów wielokonturowych . . . 21

1.2.3. Geometryczne warunki ruchu . . . 24

1.2.3.1. RuchliwoϾ lokalna . . . 26

1.2.3.2. Wiêzy bierne . . . 29

1.2.4. Uk³ady kinematyczne racjonalne . . . 35

2.  KONFIGURACJA UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH . . . 46

2.1. Wprowadzenie . . . 46

2.2. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów . . . 47

2.2.1. Wspó³rzêdne absolutne – uk³ady p³askie . . . 47

2.2.2. Wspó³rzêdne absolutne – uk³ady przestrzenne . . . 50

2.2.3. Wspó³rzêdne Denavita–Hartenberga – uk³ady przestrzenne . . . 56

2.3. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów p³askich . . . 61

2.3.1. Rozwi¹zanie graficzno-analityczne . . . 61

2.3.1.1. Metoda bezpoœrednia . . . 61

2.3.1.2. Metoda poœrednia – modyfikacji . . . 65

2.3.2. Metody analityczne . . . 67

2.3.2.1. Metoda wektorowa . . . 67

2.3.2.2. Metoda liczb zespolonych . . . 71

2.3.3. Metoda wspó³rzêdnych absolutnych . . . 74

2.3.3.1. Równania wiêzów par kinematycznych . . . 74

2.3.3.2. Równania wiêzów uk³adów kinematycznych p³askich . . . 80

2.3.4. Rozwi¹zanie równañ nieliniowych. . . 90

2.3.4.1. Algorytm Newtona–Raphsona . . . 91

2.3.4.2. Konfiguracja pocz¹tkowa i krok analizy . . . 96

2.4. Wyznaczanie konfiguracji uk³adów przestrzennych . . . 100

2.4.1. Uk³ady o strukturze szeregowej . . . 100

2.4.2. Uk³ady zamkniête . . . 105

3. PRÊDKOŒÆ I PRZYSPIESZENIA . . . 110

3.1. Wprowadzenie . . . 110

3.2. Metody graficzne – uk³ady p³askie . . . 111

3.2.1. Œrodki obrotu chwilowego . . . 111

3.2.2. Uk³ady równowa¿ne kinematycznie . . . 116

3.2.3. Równania wektorowe, plany . . . 118

3.3. Metody analityczne . . . 129

3.3.1. Ruch we wspó³rzêdnych wektorowych – uk³ady p³askie . . . 129

3.3.2. Uporz¹dkowanie macierzowe – uk³ady p³askie . . . 132

3.4. Ruch we wspó³rzêdnych absolutnych – uk³ady p³askie . . . 138

3.5. Ruch we wspó³rzêdnych DH – uk³ady przestrzenne . . . 146

3.5.1. Uk³ady o strukturze szeregowej . . . 146

3.5.2. Uk³ady o strukturze zamkniêtej . . . 156

4. ELEMENTY DYNAMIKI UK£ADÓW KINEMATYCZNYCH . . . 161

4.1. Wprowadzenie . . . 161

4.2. Parametry masowe cz³onu, si³y bezw³adnoœci . . . 163

4.2.1. Masa cz³onu i masowy moment bezw³adnoœci – ruch p³aski . . . 163

4.2.2. Tensor bezw³adnoœci – ruch przestrzenny . . . 166

4.2.3. Wypadkowa si³ bezw³adnoœci – ruch p³aski. . . 167

4.3. Równowaga kinetostatyczna . . . 169

4.3.1. Si³y oddzia³ywania w parach kinematycznych. . . 169

4.3.2. Statyczna wyznaczalnoœæ uk³adów kinematycznych . . . 173

4.3.3. Macierzowy zapis si³ . . . 178

4.3.4. Metoda prac przygotowanych . . . 183

4.3.5. Tarcie w parach kinematycznych . . . 191

4.3.6. Tarcie w ujêciu analitycznym . . . 196

4.4. Dynamiczne równania ruchu . . . 202

4.4.1. Równania Newtona–Eulera . . . 202

4.4.2. Zasada zachowania energii kinetycznej . . . 207

4.4.2.1. Modele uk³adów typu R i T . . . 207

4.4.2.2. Redukcja mas . . . 209

4.4.2.3. Redukcja si³ . . . 211

4.4.2.4. Analiza ruchu, nierównomiernoœæ biegu . . . 213

4.4.3. Równanie Lagrange’a . . . 217

4.4.4. Równania ruchu we wspó³rzêdnych absolutnych . . . 226

4.4.4.1. Równanie ruchu cz³onu . . . 226

4.4.4.2. Si³a uogólniona . . . 226

4.4.4.3. Równanie ruchu uk³adu wielocz³onowego . . . 231

4.4.4.4. Mno¿niki Lagrange’a i si³y oddzia³ywania . . . 236

WSTÊP

W przyrodzie i technice istnieje wielu uk³adów i systemów, w których budowie ³a-two wyró¿niæ przemieszczaj¹ce siê wzglêdem siebie elementy sk³adowe. Elementy te po³¹czone w sposób umo¿liwiaj¹cy ruch wzglêdny tworz¹ uk³ady kinematyczne. Znajduj¹ siê one w maszynach, pojazdach i urz¹dzeniach, wszêdzie tam, gdzie jest wymagany ruch elementów wykonawczych. Za przyk³ad niech pos³u¿¹ uk³ady kostne ssaków i wzorowane na nich roboty i manipulatory, uk³ady zawieszenia kó³ pojazdów, wysiêgniki koparek i ³adowarek.

Podstawowe w³asnoœci uk³adów kinematycznych nie s¹ zwi¹zane z typem maszyny czy urz¹dzenia. Zarówno w przypadku d³oni cz³owieka, jak i chwytaka robota rodzaj i zakres mo¿liwych ruchów s¹ zale¿ne od sposobu po³¹czenia elementów sk³adowych oraz od wymiarów geometrycznych. Budowa robota i uk³adu prowadzenia ³y¿ki ko-parki jest zupe³nie odmienna, chocia¿ ruchowe po³¹czenia elementów mog¹ byæ iden-tyczne.

Z ruchem elementów ³¹cz¹ siê si³y oporów u¿ytecznych lub szkodliwych. W poja-zdach s¹ to opory toczenia i opory powietrza, w koparce si³y reakcji urabianego grun-tu, wioœlarz zmaga siê z oporem ruchu ³odzi. Pokonanie si³ oporów wymaga wywo³a-nia si³ napêdzaj¹cych. W pojazdach s¹ to si³y ciœniewywo³a-nia gazów spalanej w silniku mie-szanki, w koparce si³y napêdzaj¹ce powstaj¹ w cylindrach hydraulicznych, si³y miêœni wioœlarza transformowane s¹ do ³opat wiose³.

Przedstawione przyk³ady uk³adów kinematycznych odznaczaj¹ siê wieloma ró¿ny-mi cecharó¿ny-mi. Ró¿na jest ich budowa oraz rodzaje ruchu elementów. W ka¿dym z przy-toczonych uk³adów wyst¹pi¹ znacz¹ce ró¿nice w wartoœciach rozwijanych prêdkoœci, przyspieszeñ i si³. S¹ to jednak ró¿nice iloœciowe, jednakowe s¹ natomiast zjawiska – opisywane jednakowymi metodami.

Niniejsza ksi¹¿ka prezentuje kilka metod analizy uk³adów kinematycznych, ukie-runkowanych na zastosowania komputerowe. Rozwój technik komputerowych i dostêp-noœæ pakietów obliczeñ matematycznych daj¹ nowe, znacznie szersze mo¿liwoœci ana-lizy i projektowania uk³adów kinematycznych. Ksi¹¿ka w istocie dotyczy metod opisu ruchu pocz¹wszy od w³asnoœci ruchowych wynikaj¹cych ze struktury, przez opis ilo-œciowy w sensie kinematyki i dynamiki.

Czêœæ pierwsza obejmuje zagadnienia struktury w zakresie pozwalaj¹cym na stwier-dzenie czy dany zespó³ elementów, po³¹czonych ze sob¹ w okreœlony sposób ma

mo¿-liwoœæ wykonywania ruchu wzglêdnego. Wiele uwagi poœwiêcono strukturalnym i ge-ometrycznym uwarunkowaniom ruchu. Przedstawiono sformalizowane metody mody-fikacji struktury uk³adów kinematycznych tak, aby by³y ruchliwe w ka¿dych warun-kach wykonania. Ta czêœæ umo¿liwia zrozumienie istoty struktury w stopniu daj¹cym szansê twórczego podejœcia do projektowania nowych, innowacyjnych uk³adów kine-matycznych.

W czêœci drugiej przedstawiono metody opisu konfiguracji uk³adów kinematycz-nych. Tylko bardzo proste uk³ady s¹ ³atwe w opisie, wiêkszoœæ nie daje siê opisaæ w formie jawnych zale¿noœci lub ich uzyskanie wymaga uci¹¿liwych przekszta³ceñ z³o-¿onych wyra¿eñ algebraicznych. Miêdzy innymi pokazano wspó³czeœnie stosowany opis za pomoc¹ tzw. wspó³rzêdnych absolutnych. Wzglêdnie ³atwo formu³uje siê wtedy sto-sowne uk³ady równañ, rozwi¹zywane metodami numerycznymi.

Czêœæ trzecia obejmuje metody okreœlania prêdkoœci i przyspieszeñ. Skuteczne upo-ranie siê z opisem konfiguracji sprowadza ten problem do rozwi¹zywania uk³adów rów-nañ liniowych.

Czêœæ czwarta to dynamika opisuj¹ca zwi¹zki miêdzy ruchem, si³ami i parametrami masowymi elementów uk³adów kinematycznych. Zaprezentowano metody dynamiki odwrotnej, czêsto nazywanej kinetostatyk¹, która zajmuje siê opisem stanu si³ w zna-nym ruchu. Opisywano zw³aszcza si³y oddzia³ywania miêdzy po³¹czozna-nymi ruchowo elementami. Omówiono te¿ regu³y opisu si³ tarcia w ruchowych po³¹czeniach. Wiele uwagi poœwiêcono badaniu ruchu uk³adów masowych dla zadanych obci¹¿eñ si³ami zewnêtrznymi. Zaprezentowano metody formu³owania ró¿niczkowych równañ ruchu, akcentuj¹c te, które s¹ zorientowane na obliczenia za pomoc¹ komputera.

Prezentowane metody umo¿liwiaj¹ analizê dowolnych uk³adów p³askich i prze-strzennych. Dla lepszego zrozumienia poszczególnych metod zamieszczono wiele przy-k³adów, czêœæ z nich uzupe³niono wynikami liczbowymi.

Ksi¹¿ka jest przeznaczona dla in¿ynierów praktyków zajmuj¹cych siê twórczym projektowaniem maszyn i urz¹dzeñ. Przedstawiono metody analiz wspomagaj¹cych wspó³czesne projektowanie uk³adów kinematycznych maszyn, pojazdów i urz¹dzeñ. Niniejsza ksi¹¿ka powinna te¿ byæ pomocna dla studentów kierunków: mechanika i budowa maszyn oraz automatyka i robotyka, stanowi¹c uzupe³nienie wyk³adów z teorii maszyn i mechanizmów, dynamiki oraz robotyki. Jej efektywne wykorzystanie wyma-ga znajomoœci podstaw mechaniki analitycznej oraz rachunku wektorowego i macie-rzowego w zakresie wyk³adanym na wydzia³ach mechanicznych.

1.1. Pojêcia podstawowe

Za uk³ad kinematyczny uwa¿a siê powszechnie dowolny zespó³ elementów (cz³o-nów) po³¹czonych ze sob¹ (parami kinematycznymi) w sposób umo¿liwiaj¹cy ich ruch wzglêdny, stworzony przez naturê lub cz³owieka do wype³nienia celowych funkcji.

Uk³adem kinematycznym jest np. uk³ad kostny cz³owieka, którego cz³ony (koœci) s¹ po³¹czone ze sob¹ przegubami (stawami) i wraz z miêœniami i wiêzad³ami umo¿li-wiaj¹ nam chodzenie, bieganie, pokonywanie si³ itp. Zbiór uk³adów kinematycznych w ró¿nego rodzaju maszynach, urz¹dzeniach i pojazdach stworzonych przez cz³owieka jest bardzo liczny i bardzo ró¿norodny.

Powszechnie u¿ytkowany przez cz³owieka samochód osobowy sk³ada siê z wielu prze-mieszczaj¹cych siê wzglêdem siebie cz³onów. Przyk³adowy uk³ad napêdowy, bêd¹cy z³o¿onym uk³adem kinematycznym przedstawiono na rysunku 1.1. Ciœnienie gazów

Rys. 1.2. Schemat ideowy uk³adu zawieszenia samochodu

w cylindrze 1 silnika powoduje przemie-szczanie siê t³oka 2, które jest dalej trans-formowane przez korbowód 3 do wa³u kor-bowego 4, wywo³uj¹c jego ruch obrotowy. Obrót wa³u korbowego 4 jest przenoszony przez sprzêg³o 5 do skrzyni biegów 6, w której podstawowymi cz³onami s¹ ko³a zêbate, a nastêpnie przez mechanizm ró¿ni-cowy 7 do kó³ jezdnych napêdzanych. Utrzymywanie przez kierowcê po¿¹danego kierunku jazdy lub jego zmiana jest reali-zowana za pomoc¹ kolejnego uk³adu kine-matycznego, którego pierwszym elementem jest ko³o kierownicy, a ostatnimi elementa-mi kierowane ko³a jezdne. Komfort jazdy po nierównych nawierzchniach wymaga, aby ko³a jezdne mia³y mo¿liwoœæ przemie-szczania siê wzglêdem nadwozia samocho-du, co wymaga kolejnego uk³adu cz³onów, w tym elementów sprê¿yn i t³umików, które ³¹cznie okreœla siê jako uk³ad zawieszenia (rys. 1.2).

Inn¹ grup¹ powszechnie znanych urz¹dzeñ z³o¿onych z wielu cz³onów po³¹czonych parami kinematycznymi s¹ roboty i manipulatory, stworzone przez cz³owieka urz¹dze-nia w celu wyrêczaurz¹dze-nia go w pracach monotonnych, uci¹¿liwych i niebezpiecznych. Spe³-nianie przez robota po¿¹danej funkcji wymaga œciœle zdefiniowanego prowadzenia jego koñcowego cz³onu (czêsto okreœla siê go mianem efektora), którym mo¿e byæ chwytak (dla zadañ manipulacyjnych) lub jakieœ narzêdzie, czy nawet g³owica (dla zadañ tech-nologicznych). Efektor wykonuje zwykle z³o¿ony ruch w przestrzeni, co umo¿liwia celowe skojarzenie wielu cz³onów w czêsto z³o¿ony uk³ad kinematyczny. Przyk³ad ro-bota do prac pod wod¹ zamieszczono na rys. 1.3.

Jedno z jego ramion wyposa¿ono w chwytak, a drugie pe³ni funkcjê pomocnicz¹, nakierowuj¹c uk³ad optyczny w okolice efektora.

W pralce automatycznej bêben zamocowany w obudowie wraz z silnikiem napêdowym równie¿ tworz¹ uk³ad kinematyczny, a jakoœæ rozwi¹zania przejawia siê w zachowaniu pralki w fazach inten-sywnego wirowania.

Poprzestaj¹c na omówionych przyk³adach od-notujmy, ¿e uk³ady kinematyczne s¹  we wszyst-kich tych maszynach, pojazdach i urz¹dzeniach, których dzia³anie wymaga transformacji ruchu, za-pewnienia przemieszczania elementów

torii itp. Nie s¹ natomiast uk³adami kinematycznymi, sk¹din¹d bardzo z³o¿one, mosty wisz¹ce, maszty stalowe czy wie¿e, choæ wszystkie takie obiekty sk³adaj¹ siê z wielu elementów, których ruch mo¿na ³atwo zaobserwowaæ lub nawet odczuæ. S¹ to jednak przemieszczenia w granicach sprê¿ystych odkszta³ceñ elementów sk³adowych, nie s¹ natomiast wynikiem celowego ruchowego po³¹czenia elementów.

1.1.1. Cz³ony uk³adów kinematycznych

Na podstawie podanych przyk³adów mo¿na ju¿ jednoznacznie zdefiniowaæ pojêcie cz³onu jako elementu uk³adu kinematycznego, który wchodzi w ruchowe po³¹czenia z innymi cz³onami. Jednoczeœnie ³atwo siê domyœliæ, ¿e tak jak wielka jest ró¿norod-noœæ uk³adów kinematycznych, podobnie wielka jest ró¿norodró¿norod-noœæ cz³onów. Ich podzia-³y, wymieniane w literaturze i przydatne w opisie w³asnoœci strukturalnych, bazuj¹ na ró¿nych kryteriach.

Wyró¿nia siê na przyk³ad wêz³owoœæ cz³onu wyra¿on¹ liczb¹ par kinematycznych, jakie tworzy on z cz³onami s¹siednimi. Przyk³adowo korbowód silnika spalinowego (rys. 1.1) ³¹czy siê z dwoma innymi cz³onami, t³okiem i wa³em korbowym, jest wiêc cz³onem dwuwêz³owym. Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e im bardziej z³o¿ony uk³ad ki-nematyczny, tym wiêksza wêz³owoœæ jego cz³onów.

Inny podzia³ cz³onów jest zwi¹zany z funkcj¹, jak¹ pe³ni¹ w uk³adzie kinematycz-nym. W przypadku uk³adu transformuj¹cego ruch odbywa siê od cz³onu czynnego (na-pêdzaj¹cego) do cz³onu biernego (napêdzanego), przy czym cz³on czynny tylko w najprostszych uk³adach oddzia³uje bezpoœrednio na cz³on bierny, najczêœciej nato-miast w przekazywaniu ruchu uczestnicz¹ cz³ony poœrednicz¹ce. W tej klasyfikacji mieœci siê te¿ podstawa uk³adu kinematycznego, inaczej jego korpus (obudowa). Wzglê-dem tego cz³onu zwykle opisuje siê ruch pozosta³ych.

Wiele maszyn i urz¹dzeñ zawiera w swej budowie si³owniki hydrauliczne lub pneu-matyczne, a tak¿e elementy sprê¿yste. W hamulcu samochodu dociskanie szczêk do bêbna wykonuje siê uk³adem kinematycznym, którego jednym z cz³onów poœrednicz¹-cych w przekazywaniu ruchu jest p³yn hamulcowy. W uk³adzie zawieszenia (rys. 1.2) wystêpuje sprê¿yna, która akumuluje gwa³towne nadwy¿ki energii kinetycznej. Cechy cz³onów charakteryzuje siê przez wprowadzenie ich podzia³u na cz³ony o strukturze cia³ sta³ych i p³ynnych – te ostatnie to cz³ony cieczowe lub gazowe.

Dominuj¹c¹ grupê cz³onów w rzeczywistych uk³adach stanowi¹ cz³ony nieodkszta³-calne, jakkolwiek ze wzglêdu na w³asnoœci sprê¿yste cia³ sta³ych zmieniaj¹ one swoje wymiary. Jednak takie zmiany, o charakterze odkszta³ceñ sprê¿ystych, s¹ w wie-lu analizach pomijane. Dla uproszczenia przyjmuje siê, ¿e s¹ to cz³ony sztywne, w odró¿nieniu od cz³onów podatnych, takich jak np. sprê¿yny. Pomijanie sprê¿ystych odkszta³ceñ cz³onów jest niedopuszczalne w wielu analizach dynamicznych, w szcze-gólnoœci opis drgañ towarzysz¹cych pracy uk³adów kinematycznych wymaga uwzglê-dnienia sprê¿ystoœci materia³u, z jakiego s¹ wykonane cz³ony. Przyk³adowo badanie w³asnoœci kinematycznych uk³adu korbowego silnika dopuszcza pomijanie faktu zmiany d³ugoœci korbowodu pod wp³ywem obci¹¿aj¹cych go si³. Jednak szczegó³owa analiza

naprê¿eñ w poszczególnych jego przekrojach mo¿e ju¿ wymagaæ uwzglêdnienia nawet jego zginania wywo³anego si³ami masowymi.

Przyk³ady cz³onów o ró¿nych cechach przedstawiono na rysunku 1.4.

1.1.2. Pary kinematyczne

Para kinematyczna to ruchowe po³¹czenie dwóch (para) cz³onów, po³¹czenie daj¹-ce ³¹czonym cz³onom mo¿liwoœæ wykonywania ruchów wzglêdnych. To niezwykle istot-ny element uk³adu kinematycznego. W sensie kinematyczistot-nym ma zapewniæ po¿¹daistot-ny ruch wzglêdny, a jednoczeœnie musi mieæ zdolnoœæ przenoszenia si³ towarzysz¹cych ruchowi cz³onów. Pary kinematyczne dzieli siê wed³ug ró¿nych kryteriów, tutaj ogra-niczymy siê do podzia³u par kinematycznych na dwie grupy:

• wed³ug liczby stopni swobody, jak¹ w danej parze dysponuj¹ wzglêdem siebie cz³ony j¹ tworz¹ce – podzia³ na klasy,

• wed³ug rodzaju styku tworz¹cych j¹ cz³onów – podzia³ na pary ni¿sze i wy¿sze,

1 _{Mo¿na te¿ spotkaæ podzia³, gdzie numer klasy odpowiada liczbie na³o¿onych wiêzów, np. [22].} 2 _{Na przyk³ad k¹ty Eulera, k¹ty Bryanta.}

Klasy par kinematycznych. Podzia³ na klasy jest bardzo u¿yteczny ze wzglêdu na w³asnoœci ruchowe uk³adów kinematycznych. Rozpoczniemy ten podzia³ od par kinematycz-nych, jakie wystêpuj¹ w uk³adach p³askich, tj. takich, których cz³ony, w wyniku specy-ficznych po³¹czeñ parami kinematycznymi, poruszaj¹ siê w p³aszczyznach do siebie rów-noleg³ych. Mo¿na wtedy ruch cz³onów rozpa-trywaæ na    jednej, wspólnej p³aszczyŸnie. Wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów j  oraz k mo¿na opisaæ za pomoc¹ przypisanych im uk³adom wspó³rzêdnych prostok¹tnych (rys. 1.5). Dopóki nie tworz¹ one pary kinematycz-nej, dopóty ich wzglêdne po³o¿enie, przypisa-nych im uk³adów wspó³rzêdprzypisa-nych, opisuje siê wektorem:

[

]

T k j ky j kx j kj = p p È q

co oznacza, ¿e cz³on k wzglêdem j (i odwrotnie) dysponuje trzema stopniami swobody. Utworzenie pary kinematycznej skutkuje ograniczeniem swobody ruchu wzglêdnego, inaczej narzuceniem wiêzów.

Nie trzeba wykazywaæ, ¿e dla par uk³adów p³askich liczba wiêzów musi wynosiæ dwa lub jeden i wtedy jeden cz³on wzglêdem drugiego dysponuje odpowiednio jed-nym lub dwoma stopniami swobody ( f_kj = 1, 2). Liczbê dysponowanych wzglêdnych stopni swobody przyjêto tutaj1 _{jako kryterium podzia³u na klasy, a numer klasy}

odpo-wiada liczbie wzglêdnych stopni swobody cz³onów tworz¹cych parê kinematyczn¹ – pary klasy I i II. Przyk³ady najczêœciej wystêpuj¹cych par kinematycznych uk³adów p³a-skich zestawiono na rys. 1.6.

Identyczne rozumowanie dla par kinematycznych uk³adów przestrzennych (ruchy cz³onów nie ograniczaj¹ siê tutaj do równoleg³ych p³aszczyzn) prowadzi do oczywistego wniosku, ¿e tym razem wzglêdne po³o¿enie dwóch cz³onów j, k wyra¿a wektor:

[

]

T kz j ky j kx j kj = p p p α β γ q

Trzy pierwsze sk³adowe wektora q_kj to wspó³rzêdne liniowe, trzy pozosta³e – k¹to-we2_{. Tworz¹c parê kinematyczn¹, nale¿y wiêc wprowadziæ wiêzy w liczbie od piêciu}

do jednego. W wyniku tego cz³ony j, k w uk³adach przestrzennych mog¹ mieæ

wzglê-Rys. 1.5. Parametry wzglêdnego po³o¿enia cz³onów

dem siebie od jednego do piêciu stopni swobody ( f_kj = 1, 2, ..., 5), tworz¹c tym razem pary I, II, III, IV i V klasy. Najczêœciej spotykane pary kinematyczne uk³adów prze-strzennych zestawiono na rys. 1.7.

Oprócz par kinematycznych zestawionych na rys. 1.7 wystêpuj¹ równie¿ pary IV i V klasy. Parê IV klasy tworzy np. kula umieszczona w cylindrze, która dyspo-nuje wtedy trzema obrotami (jak para III klasy – sferyczna) i ruchem postêpowym wzd³u¿ osi cylindra. Parê V klasy tworzy skojarzenie kuli z powierzchni¹, a wzglêdne stopnie swobody to trzy obroty i dwa ruchy translacyjne. W realnych uk³adach pary

kinematyczne IV i V klasy s¹ wykonywane czêsto jako wêz³y kinematyczne, inaczej ³añcuchy cz³onów tworz¹cych z regu³y pary ni¿sze. Takie rozwi¹zania stosuje siê te¿ dla innych par ni¿ IV i V klasa – wybrane przyk³ady wêz³ów kinematycznych zamie-szczono na rysunku 1.8.

Pary kinematyczne ni¿sze i wy¿sze. Jak ju¿ wspomniano, wiêzom, jakie nak³ada-j¹ na siebie wzajemnie dwa cz³ony tworz¹ce parê kinematyczn¹ towarzysz¹ si³y tych wiêzów. Zdolnoœæ przenoszenia si³ zale¿y od w³asnoœci materia³ów konstrukcyjnych u¿ytych na wykonanie pó³par3 _{i ich cech geometrycznych (ograniczenie wynika z}

do-puszczalnych nacisków jednostkowych). Ju¿ pobie¿na analiza par zestawionych na rys. 1.6 i 1.7 wskazuje na istotne ró¿nice zwi¹zane ze zdolnoœci¹ do przenoszenia si³ w postaci rodzaju styku (kontaktu) cz³onów. Mo¿na wyró¿niæ pary, gdzie cz³ony kon-taktuj¹ siê powierzchniami (np. pary R, T, S – rys. 1.7), które okreœlane s¹ jako pary kinematyczne ni¿sze oraz takie, które tworz¹ styk liniowy lub punktowy (np. pary K, J – rys. 1.6), które okreœla siê jako wy¿sze. Pary ni¿sze maj¹ wiêksz¹ zdolnoœæ do prze-noszenia si³, a przede wszystkim wykazuj¹ siê korzystniejszym rozprowadzaniem œrodka smaruj¹cego wspó³pracuj¹ce powierzchnie. Szczególnie korzystne cechy w tym zakre-sie wykazuje para obrotowa R. W przypadku natomiast kontaktu liniowego lub punk-towego zachodzi zjawisko wyciskania œrodka smaruj¹cego spomiêdzy kontaktuj¹cych siê pó³par.

Podzia³ na pary ni¿sze i wy¿sze nie jest tak oczywisty, jeœli rozpatruje siê kontakt pó³par w skali mikro. Dla pary obrotowej R, w której musi wyst¹piæ luz promieniowy, styk powierzchniowy staje siê w istocie liniowy, podobnie jest w przypadku par postê-powych T. Korzystniejsze cechy par ni¿szych w stosunku do par wy¿szych sprawiaj¹, ¿e podzia³ ten funkcjonuje w praktyce. Ze wzglêdu na wymienione cechy przyjê³o siê wydzielaæ grupê uk³adów kinematycznych, których cz³ony tworz¹ pary ni¿sze, okre-œlaj¹c je mianem uk³adów dŸwigniowych.

1.1.3. £añcuch kinematyczny, mechanizm, maszyna

Przedmiotem niniejszego opracowania s¹ uk³ady kinematyczne. Pojêcie to obejmuje niezwykle szerok¹ gamê bardzo ró¿norodnych tworów natury i tych tworzonych przez cz³owieka charakteryzuj¹cych siê ruchem wzglêdnym elementów sk³adowych. Dla po-rz¹dku jednak przytoczmy definicje spotykanych w praktyce tworów mieszcz¹cych siê w grupie uk³adów kinematycznych, takich jak ³añcuch kinematyczny, mechanizm i maszyna. W literaturze spotkaæ mo¿na kilka nieco odmiennych definicji. Przytoczy-my definicje przyjête przez IFToMM4 _[14].

£añcuch kinematyczny to zespó³ cz³onów po³¹czonych parami kinematycznymi.

3 _{„Zakoñczenie” cz³onu ukszta³towane dla utworzenia pary kinematycznej; pó³parami s¹ np. tuleja} i sworzeñ w przypadku pary cylindrycznej.

Mechanizm to:

• system cz³onów zaprojektowany do przekszta³cania ruchu jednego lub kilku cz³o-nów na ruch innych cz³ocz³o-nów,

• ³añcuch kinematyczny, którego jeden z cz³onów jest podstaw¹.

Maszyna jest uk³adem mechanicznym, który wykonuje okreœlon¹ pracê, na przyk³ad formowanie materia³u, z wykorzystaniem przenoszenia i transformacji ruchu oraz si³.

1.2. W³asnoœci ruchowe

Podstawowe funkcje wype³niane przez uk³ady kinematyczne s¹ zwi¹zane z ruchem wzglêdnym ich cz³onów. W tym celu s¹ ³¹czone ze sob¹ parami kinematycznymi. Ró¿-norodnoœæ cz³onów i par kinematycznych poci¹ga za sob¹ ró¿Ró¿-norodnoœæ uk³adów ki-nematycznych, o ró¿nych w³asnoœciach.

Z codziennych obserwacji wnioskujemy, ¿e niektóre z uk³adów kinematycznych s¹ bardzo proste, a sposób po³¹czenia ich cz³onów nie pozostawia ¿adnych w¹tpliwoœci co do mo¿liwoœci wykonywania ruchów wzglêdnych. Za przyk³ad mo¿na tutaj podaæ no¿yce czy przek³adniê ³añcuchow¹ roweru. Jednak ju¿ œrubowy podnoœnik samocho-dowy, niezbêdny do wymiany ko³a, w niektórych wykonaniach okazuje siê uk³adem na tyle z³o¿onym, ¿e dopiero praktycznie stwierdzamy mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³o-nów. Z praktyki wnioskujemy, ¿e obrót œruby skutkuje podnoszeniem samochodu. Wtedy wszystkie cz³ony uk³adu kinematycznego z³o¿onego z podnoœnika i pojazdu (rys. 1.9) wykonuj¹ œciœle okreœlone ruchy. Stwierdzamy wiêc praktycznie, ¿e:

• sposób po³¹czenia cz³onów uk³adu podnoœnik–pojazd daje mo¿liwoœæ ruchu wzglêd-nego,

• przy³o¿enie jednego napêdu (obrót œruby) wywo³uje jednoznaczny ruch cz³onów. £atwa czynnoœæ rêcznego wiercenia otworu wymaga odpowiedniego, z³o¿onego ruchu ostrza wiert³a. Ruch obrotowy wywo³uje wspó³czeœnie silnik elektryczny,

w silnikach przez dziesiêciolecia, a jej niedogodnoœci¹ jest potrzeba okresowej regula-cji luzu zapewniaj¹cego poprawn¹ pracê. W tym uk³adzie zatem stwierdzamy mo¿li-woœæ ruchu wszystkich cz³onów, ruch ten jest jednoznaczny przy jednym napêdzie – okreœlonemu po³o¿eniu krzywki 2 odpowiadaj¹ jednoznaczne po³o¿enia pozosta³ych cz³onów. Wspó³czesn¹ koncepcjê uk³adu rozrz¹du przedstawiono na rysunku 1.10b. Cz³on poœrednicz¹cy 3 wykonuje ruch obrotowy wzglêdem punktu O, który jest usytuo-wany na t³oczku 4. Po³o¿enie punktu O (t³oczka) jest utrzymywane ciœnieniem oleju z uk³adu smarowania. W konsekwencji takiego rozwi¹zania jednoznaczne po³o¿enie za-woru jest zale¿ne nie tylko od po³o¿enia krzywki 2, ale tak¿e po³o¿enia t³oczka 4. Roz-wi¹zanie to, jakkolwiek bardziej z³o¿one w sensie strukturalnym, uwalnia u¿ytkowni-ka od potrzeby regulacji luzów w uk³adzie rozrz¹du.

Z analizy podanych przyk³adowo uk³adów mo¿na wysnuæ dwa ogólne stwierdzenia: • cz³ony uk³adu kinematycznego powinny byæ po³¹czone parami kinematycznymi

tak, aby mo¿liwy by³ ich ruch wzglêdny,

• w ró¿nych uk³adach potrzebne s¹ ró¿ne liczby napêdów niezbêdnych do wywo-³ania potrzebnego ruchu.

Mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego w po³¹czeniu z liczb¹ wymaganych napêdów s¹ okre-œlane jako w³asnoœci ruchowe uk³adów kinematycznych. Wynikaj¹ one w znacznej mie-miast liniowe przemieszczanie wzd³u¿ osi otworu jest realizowane przez cz³owieka. Tym razem, nie wchodz¹c w szczegó³ow¹ budowê wiertarki, stwierdzamy praktycznie, ¿e:

•  wszystkie cz³ony uk³adu kinematycznego wiertarki wykonuj¹ ruch, •  jednoznaczny, wymagany ruch ostrza wiert³a wymaga dwóch napêdów.

Na rysunku 1.10 przedstawiono dwa rozwi¹zania uk³adu rozrz¹du silnika spalino-wego. W obu przypadkach ruch grzybka zaworu 1 jest wymuszany za pomoc¹ obroto-wej, odpowiednio ukszta³towanej, krzywki 2 za poœrednictwem cz³onu 3. Rozwi¹zanie z rys. 1.10a charakteryzuje siê tym, ¿e cz³on poœrednicz¹cy 3 wykonuje ruch wahad³o-wy wokó³ sta³ego punktu obrotu O. Jest to koncepcja klasyczna, wahad³o-wykorzystywana

rze ze struktury uk³adu i wi¹¿¹ siê œciœle z liczb¹ stopni swobody, jak¹ dysponuj¹ cz³o-ny tworz¹ce pary kinematyczne, przyjêt¹ wczeœniej jako kryterium podzia³u na klasy. Podobnie jak para kinematyczna, równie¿ uk³ad kinematyczny dysponuje okreœlon¹ licz-b¹ stopni swobody, rozumian¹ jako ³¹czna liczba stopni swobody cz³onów ruchomych w relacji do podstawy. £atwiejsza interpretacja stopni swobody uk³adu kinematyczne-go przypisuje im liczbê ograniczeñ ruchu, jakie nale¿y narzuciæ, aby sta³ siê on uk³a-dem sztywnym. W literaturze przyjê³o siê okreœlaæ tê liczbê mianem ruchliwoœci. Roz-ró¿nia siê przy tym ruchliwoœæ rzeczywist¹, rozumian¹ jako te stopnie swobody, które stwierdzamy w uk³adzie realnym, w jego modelu lub, dla uk³adów prostych, w sposób intuicyjny, ruchliwoœæ teoretyczn¹ (strukturaln¹), ruchliwoœæ lokaln¹ oraz wiêzy bierne.

1.2.1. RuchliwoϾ teoretyczna

Rozpatrzmy p³aski uk³ad kinematyczny robota obróbkowego p³askiego (rys. 1.11), z którego cz³onem 2 jest zwi¹zany wrzeciennik z elektrowrzecionem [30]. Uk³ad ten pokazuje wspó³czesne tendencje w budowie obrabiarek bazuj¹cych na zamkniêtych uk³adach kinematycznych, co skutkuje wieloma zaletami w porównaniu z rozwi¹zaniami konwencjonalnymi, a najwa¿niejsze to du¿a sztywnoœæ i mo¿liwe du¿e prêdkoœci.

Aby uzyskaæ mo¿liwoœæ obróbki ró¿nych kszta³tów, oœ elektrowrzeciona powinna byæ prowadzona po dowolnej trajektorii. £atwo wykazaæ, ¿e okreœlone po³o¿enie œrodka S narzêdzia (cz³on 2) uzyskuje siê przez zapewnienie œciœle okreœlonego po³o-¿enia cz³onów 1 i 4 opisanego k¹tami Θ1 i Θ4 – w praktyce mo¿na to zrealizowaæ

za pomoc¹ silników liniowych. Cz³ony 1, 2, 3, 4 wzglêdem podstawy 0 dysponuj¹ ³¹cz-nie dwoma stopniami swobody, a jednoznaczny ruch wymaga dwóch napêdów. W tym przypadku zatem ruchliwoœæ jest równa dwa.

Omówiony uk³ad kinematyczny jest stosunkowo prosty i wystarczy elementarna analiza geometryczna, aby bezb³êdnie okreœliæ jego ruchliwoœæ. Bardziej k³opotliwa jest

analiza uk³adu kinematycznego, nawet p³askiego, z³o¿onego z wiêkszej liczby cz³onów. Podobnie stwierdzenie liczby stopni swobody cz³onów uk³adu przestrzennego mo¿e nastrêczaæ wielu k³opotów.

W zwi¹zku z tym zaistnia³a potrzeba stworzenia metody formalnego, nie intuicyj-nego, okreœlania ruchliwoœci uk³adu kinematycznego. W praktyce przyjê³o siê, ze wzglê-du na ich prostotê, wykorzystywaæ do tego celu wzory Grublera–Artobolewskiego, które wi¹¿¹ w formu³ê matematyczn¹ ruchliwoœæ teoretyczn¹ WT, liczby cz³onów ruchomych

k oraz par kinematycznych pi i-tej klasy. Ruchliwoœæ teoretyczna wynika z faktu, ¿e

jest ona wyznaczana wy³¹cznie na podstawie parametrów strukturalnych uk³adów ki-nematycznych, tj. liczby cz³onów i par kinematycznych poszczególnych klas. Zale¿no-œci te maj¹ nastêpuj¹ce postaci:

•  dla uk³adów p³askich

2 1

2 3k p p

W_T = − − (1.1)

•  dla uk³adów przestrzennych

( )

∑

= − − = 5 1 6 6 i i T k i p W (1.2)

Interpretacja podanych zale¿noœci jest relatywnie prosta. Dla uk³adów p³askich ru-chliwoœæ teoretyczna W_T (1.1) wynika z tego, ¿e:

•  cz³ony ruchome w liczbie k przed ich po³¹czeniem w uk³ad kinematyczny dys-ponuj¹ ³¹cznie na p³aszczyŸnie stopniami swobody w liczbie 3k (ka¿dy cz³on swo-bodny ma na p³aszczyŸnie 3 stopnie swobody),

•  utworzenie par kinematycznych I klasy w liczbie p₁ oznacza, ¿e odbieramy cz³o-nom ruchomym 2p₁ stopni swobody (w ka¿dej parze I klasy pozostaje jedna mo¿-liwoœæ ruchu),

•  utworzenie par kinematycznych II klasy w liczbie p₂ oznacza, ¿e odbieramy cz³o-nom ruchomym p₂ stopni swobody (w ka¿dej parze II klasy pozostaj¹ dwie mo¿-liwoœci ruchu),

•  w uk³adach p³askich mog¹ wyst¹piæ tylko pary kinematyczne I i II klasy, gdy¿ z trzech stopni swobody mo¿na odebraæ co najwy¿ej dwa.

W uk³adach przestrzennych rozumowanie jest identyczne, tylko liczba stopni swo-body pojedynczego cz³onu swobodnego wynosi 6, a wiêc utworzenie ka¿dej z par i-tej klasy oznacza zredukowanie ogólnej liczby 6k stopni swobody ka¿dorazowo o (6–i)pi.

Postaæ wzorów okreœlaj¹cych ruchliwoœæ teoretyczn¹ mo¿na ³atwo uogólniæ, wpro-wadzaj¹c pojêcie liczby cw wiêzów na³o¿onych na ruch wszystkich cz³onów ³añcucha

kinematycznego. Dla uk³adu przestrzennego nie wprowadza siê ¿adnych wiêzów (ruch cz³onów mo¿e byæ dowolny) i wtedy cw = 0, natomiast dla uk³adów p³askich, których

cz³ony mog¹ wykonywaæ w p³aszczyŸnie jedynie dwa ruchy translacyjne i obrót wzglê-dem osi prostopad³ej do tej p³aszczyzny mamy c_w = 3. Takie widzenie ruchu cz³onów tworz¹cych uk³ad kinematyczny umo¿liwia uwzglêdnienie tak¿e innych uk³adów ni¿ p³askie i przestrzenne [6].

Uogólniony wzór okreœlaj¹cy ruchliwoœæ strukturaln¹ (teoretyczn¹) przybierze postaæ:

(

)

_∑

−

(

)

= − − − − = cw i w i w T c k c i p W 5 1 6 6 (1.3)

Gdy oznaczymy przez sw = 6 – cw liczbê stopni swobody, jak¹ dysponuje ka¿dy

z ruchomych cz³onów uk³adu, wówczas ruchliwoœæ teoretyczna wynosi:

(

)

∑

− = − − = 1 1 w s i w i w T s k s i p W (1.4)

Podane zale¿noœci daj¹ pewien komfort w stwierdzaniu ruchliwoœci uk³adu kine-matycznego, zw³aszcza gdy jest on z³o¿ony lub nie dysponujemy wystarczaj¹c¹ wyo-braŸni¹ i doœwiadczeniem. Z analizy uk³adu kinematycznego (rys. 1.11) wynika, ¿e:

• liczba cz³onów ruchomych k = 4 – cz³ony 1, 2, 3 i 4,

• wszystkie po³¹czenia cz³onów (A, B, C, D, E) s¹ parami kinematycznymi I klasy, wiêc p₁ = 5,

• pary II klasy nie wystêpuj¹, wiêc p₂ = 0,

• z zale¿noœci (1.1) jest wiêc ruchliwoœæ W_T = 2, co potwierdza wczeœniejsze usta-lenia.

Ocena ruchliwoœci uk³adu kinematycznego p³askiego wed³ug wzoru (1.1) jest wy-godna, choæ przy niewielkiej wprawie mo¿e byæ dokonywana na drodze intuicyjnej, przez badanie elementarnych cech geometrycznych. Mo¿liwoœæ ruchu ³atwo stwierdziæ, rozpatruj¹c trajektorie charakterystycznych punktów, a zw³aszcza analizuj¹c punkty wspólne cz³onów – œrodki par kinematycznych. Intuicja w uk³adach p³askich mo¿e za-wieœæ dopiero w przypadku uk³adów z³o¿onych z wielu cz³onów. Zupe³nie inaczej jest w przypadku uk³adów przestrzennych. Analiza cech geometrycznych wymaga

rozpa-Rys. 1.12. Schemat uk³adu przestrzennego

trywania nie tylko trajektorii punktów, ale czêsto p³aszczyzn i   powierzchni. Oparcie siê na intuicji, a nawet do-œwiadczeniu, mo¿e prowadziæ do b³êdnych wniosków. Mo¿liwoœæ for-malnego wyznaczenia ruchliwoœci z zale¿noœci (1.2) nie mo¿e wiêc byæ przeceniona. Mo¿na siê o tym przeko-naæ na przyk³adzie stosunkowo pro-stego uk³adu przestrzennego przed-stawionego na rys. 1.12, gdzie:

•  liczba cz³onów ruchomych k = 7, •  pary kinematyczne: A÷F (I kla-sy), G, H, J (III klakla-sy), wiêc p₁ = 6, p₃ = 3,

• pary innych klas nie wystêpuj¹, wiêc p₂ = p₄ = p₅ = 0, •  z zale¿noœci (1.2) otrzymujemy ruchliwoœæ W_T = 3.

Uk³ad kinematyczny z rysunku 1.12 jest jednym z szerokiej grupy tzw. manipulato-rów o strukturze manipulato-równoleg³ej. Cz³on 7 mo¿e byæ efektorem robota sterowanego trzema napêdami (np. silniki elektryczne) wymuszaj¹cymi ruch obrotowy cz³onów 1, 3, 5 w parach A, B i C.

1.2.2. Ruchliwoœæ teoretyczna uk³adów wielokonturowych

Przytoczone zale¿noœci (1.1)÷(1.4) s¹ ogólne, z zastrze¿eniem, i¿ odnosz¹ siê do uk³a-dów, dla których jest znana liczba wspólnych wiêzów c_w na³o¿onych na ruchy cz³onów uk³adu. Jest to ³atwe do ustalenia w przypadku prostych uk³adów p³askich lub prze-strzennych. Jednak z³o¿onoœæ uk³adów kinematycznych sprawia, ¿e nawet w tych gru-pach obliczona ruchliwoœæ W_T wymaga jeszcze dodatkowej interpretacji. Dotyczy to zw³aszcza uk³adów z³o¿onych, których cz³ony tworz¹ zamkniête kontury. Mo¿e w nich bowiem zaistnieæ taka sytuacja, kiedy ruchliwoœæ ca³ego uk³adu wskazuje na mo¿li-woœæ ruchu wzglêdnego cz³onów (W_T > 0), podczas gdy w pewnych fragmentach uk³ad mo¿e byæ sztywny (W_T* _{= 0) lub nawet przesztywniony (W}

T* < 0).

W sformalizowaniu analizy ruchliwoœci pomocne jest wprowadzenie pojêcia kon-turu uk³adu kinematycznego, nawi¹zuj¹cego do pojêcia cykli grafu planarnego [12] – jednej z mo¿liwych prezentacji uk³adu kinematycznego, przydatnej do zapisu struktu-ry uk³adu z wykorzystywaniem komputera.

Na rysunku 1.13 przedstawiono z³o¿ony uk³ad kinematyczny w postaci schematu strukturalnego i grafu. W tym ostatnim wierzcho³ki (punkty) reprezentuj¹ cz³ony 0÷5, natomiast krawêdzie (³uki) odpowiadaj¹ parom kinematycznym Pi. Uk³ad ten

charak-teryzuje siê wystêpowaniem trzech konturów (dwa wewnêtrzne K1 i K2 oraz jeden

ze-wnêtrzny K3). Z teorii grafów wiadomo, ¿e liczbê konturów wewnêtrznych (cykli)

wy-znacza siê na podstawie liczby wierzcho³ków (tutaj cz³onów) i krawêdzi (tutaj par

nematycznych). Odnosz¹c to do wielokonturowego uk³adu kinematycznego, liczbê jego konturów, w³¹cznie z zewnêtrznym, okreœla siê wed³ug zale¿noœci

1 + − =

∑

p k

lk i (1.5)

gdzie:

Σ

p_i – ³¹czna liczba par, k – liczba cz³onów pomniejszona o jeden.

Wiadomo te¿, ¿e graf mo¿na w sposób przejrzysty zapisaæ w formie macierzy, któr¹ okreœla siê mianem macierzy rozmieszczeñ, a która jednoznacznie reprezentuje uk³ad kinematyczny i zawiera nastêpuj¹ce informacje:

• który cz³on, z którym tworzy parê kinematyczn¹, • jakiej klasy s¹ poszczególne pary.

Dla uk³adu z rysunku 1.13 macierz ta ma postaæ:

4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 1 0 4 1 4 2 2 3 2 3 1 1 2 1                   = P P P P P P P P P P P P MR

Ka¿da z kolumn oraz ka¿dy wiersz macierzy MR reprezentuje jeden cz³on, ka¿dy niezerowy element P_i wskazuje, ¿e miêdzy cz³onami u, j utworzono parê kinematyczn¹ i-tej klasy, natomiast zerowy element macierzy MR oznacza brak pary kinematycznej. Je¿eli dodatkowo przyj¹æ umowê, ¿e np. podstaw¹ jest cz³on o numerze 0, to macierz MR reprezentuje strukturê uk³adu w sposób jednoznaczny i mo¿e byæ traktowana na równi ze schematem. Mo¿na na tej podstawie wysnuæ wnioski o budowie konturów –  przyk³adowo dla uk³adu z rys. 1.13 kontury maj¹ postaæ:

• kontur K₁: (cz³on) 1 – (para) P₃ – 2 – P₂ – 0 – P₁, • kontur K₂: 2 – P₂ – 3 – P₄ – 4 – P₁ – 0 – P₂,

• kontur K₃: 0 – P₁ – 1 – P₃ – 2 – P₂ – 3 – P₄ – 4 – P₁.

Kontury uk³adu kinematycznego mo¿na traktowaæ jako poduk³ady, z których ka¿dy z osobna powinien mieæ strukturê zapewniaj¹c¹ ruch wzglêdny. Mo¿liwoœæ ruchu ³a-two stwierdziæ, wykorzystuj¹c odpowiedni¹ zale¿noœæ na ruchliwoœæ, któr¹ do celów analizy konturów nale¿y zmodyfikowaæ. Gdy pojedynczy kontur przyjmiemy jako odrêbny uk³ad kinematyczny, wówczas mo¿emy na podstawie (1.4) po przekszta³ceniu napisaæ:

∑

∑

− = − = + − = 1 1 1 1 w w s i i s i i w K w K T s k s p ip W (1.6)

W kolejnych zale¿noœciach pomijamy wskaŸniki sumowania. Dla pojedynczego konturu, zawieraj¹cego k_K+ 1 cz³onów w myœl (1.5) jest:

1 − =

∑

i

K p

k (1.7)

co po podstawieniu do (1.6) daje zale¿noœæ:

∑

∑

∑

− − + = _{w i w w i i} K T s p s s p ip W (1.8)

która po przekszta³ceniu stanowi prost¹ i dogodn¹ formê wzoru okreœlaj¹cego ruchli-woœæ teoretyczn¹ pojedynczego konturu w postaci:

w i K

T ip s

W =

∑

− (1.9)

Ruchliwoœæ teoretyczn¹ W_T pojedynczego konturu, a zatem tak¿e prostego uk³adu kinematycznego, mo¿na obliczyæ z zale¿noœci:

3

∑

− = i K T ip W (1.10)

w przypadku uk³adu p³askiego lub z równania: 6

∑

− = i K T ip W (1.11)

w przypadku uk³adu przestrzennego.

Na podstawie poduk³adów jednokonturowych mo¿na tworzyæ kolejne poduk³ady z³o¿one z kilku konturów. Ka¿dy z takich poduk³adów równie¿ musi mieæ strukturê zapewniaj¹c¹ mo¿liwoœæ ruchu wzglêdnego cz³onów. Zgodnie z prost¹ intuicj¹ mo¿na napisaæ zale¿noœæ okreœlaj¹c¹ ruchliwoœæ teoretyczn¹ poduk³adu z³o¿onego z dwóch s¹siaduj¹cych ze sob¹ konturów, co oznacza istnienie co najmniej jednej wspólnej dla nich pary kinematycznej (przyk³adowo dla uk³adu z rys. 1.13 w sk³ad konturów K₁ i K₂ wchodzi para P₂ utworzona przez cz³ony 0 i 2). Mamy wtedy [9], [11]:

∑

− + = 1 2 1 2 2 1 KK i K T K T K K T W W ip W (1.12)

przy czym pierwszy i drugi sk³adnik (1.12) to ruchliwoœæ konturów K₁ i K₂, a trzeci oznacza liczbê stopni swobody, jak¹ dysponuj¹ cz³ony par wspólnych dla obu kontu-rów. Rozszerzenie zale¿noœci (1.12) na wiêksz¹ liczbê konturów poduk³adu kinema-tycznego nie nastrêcza ju¿ ¿adnych trudnoœci.

Pos³uguj¹c siê zale¿noœci¹ (1.2), dla uk³adu przestrzennego z rys. 1.13, stwierdza-my, ¿e w skali globalnej jego cz³ony tworz¹ pary umo¿liwiaj¹ce ruch wzglêdny, gdy¿ ruchliwoœæ teoretyczna wynosi W_T = 1. Jednak analiza w skali konturów prowadzi do wniosków:

• z zale¿noœci (1.11) kontur K₁ ma ruchliwoœæ K1 ₌0

T

W ,

•  z zale¿noœci (1.11) kontur K₂ ma ruchliwoœæ K2 ₌3

T

W ,

•  z zale¿noœci (1.12) kontury K₁ i K₂ maj¹ ³¹cznie ruchliwoœæ K1K2 ₌1

T

W (jak z za-le¿noœci (1.2)).

Pierwszy wniosek o mo¿liwoœci ruchu wzglêdnego cz³onów, nasuwaj¹cy siê z wy-liczonej ruchliwoœci teoretycznej WT , okaza³ siê nieprawdziwy. W istocie cz³ony 0, 1,

2 (rys. 1.13), wchodz¹ce w sk³ad konturu K1 nie dysponuj¹ mo¿liwoœci¹ ruchu i tworz¹

poduk³ad sztywny, wzglêdem którego mog¹ siê poruszaæ cz³ony pozosta³e 3 i 4. Uk³a-dom, w których pewne fragmenty tworz¹ konfiguracjê sztywn¹ (a nawet przesztywnion¹) przypisuje siê ruchliwoœæ niezupe³n¹ w przeciwieñstwie do ruchliwoœci zupe³nej, kie-dy mo¿liwy jest ruch wszystkich cz³onów.

Podany przyk³ad ilustruje koniecznoœæ pos³ugiwania siê pod³añcuchami, tworzony-mi na bazie konturów, w przypadku analizy ruchliwoœci uk³adów z³o¿onych, wielokon-turowych. Jest to szczególnie istotne w syntezie struktur, gdy poszukuje siê mo¿liwych rozwi¹zañ uk³adów dla zapewnienia po¿¹danych funkcji. Mo¿na wtedy ³atwo elimino-waæ ze zbioru rozwi¹zañ teoretycznie mo¿liwych uk³ady zdegenerowane, które choæ teoretycznie mo¿liwe powinny byæ odrzucone jako nieprzydatne w mo¿liwie wczesnej fazie projektowania. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e syntezê strukturaln¹, w³¹cznie z wery-fikacj¹ otrzymanych rozwi¹zañ, ze wzglêdu na wieloœæ mo¿liwych uk³adów dogodnie jest prowadziæ za pomoc¹ komputera. Wykorzystuje siê wówczas, wprowadzony w tym podrozdziale, zapis uk³adów kinematycznych w postaci macierzy rozmieszczeñ [10].

1.2.3. Geometryczne warunki ruchu

W rozpatrzonych w poprzednim punkcie przyk³adach ka¿dorazowo stwierdzono, ¿e ruchliwoœæ teoretyczna W_T odpowiada stanowi rzeczywistemu, który mo¿na opisywaæ ruchliwoœci¹ rzeczywist¹ W_R. Innymi s³owy, w ka¿dym z rozpatrzonych uk³adów W_T i W_R mia³y jednakowe wartoœci liczbowe. Wiadomo jednak, ¿e struktura uk³adu ki-nematycznego ma dominuj¹cy, lecz nie jedyny wp³yw na w³asnoœci ruchowe. W zwi¹zku z tym ruchliwoœæ wyznaczona na podstawie wzorów strukturalnych wymaga ka¿dora-zowo weryfikacji. Poprzednio stwierdzono ju¿ wyst¹pienie ruchliwoœci niezupe³nej. Inne mo¿liwe i czêsto wystêpuj¹ce w uk³adach kinematycznych osobliwe w³asnoœci rucho-we to wspomniane ju¿ wczeœniej przypadki ruchliwoœci lokalnej oraz wiêzów biernych. Maj¹ one swe Ÿród³o w szczególnych w³asnoœciach geometrycznych ich cz³onów. Ogól-nie mo¿na postawiæ nastêpuj¹c¹ tezê:

W³asnoœci ruchowe uk³adu kinematycznego, rozumiane jako mo¿liwoœæ (lub jej brak) wyst¹pienia ruchu wzglêdnego cz³onów uk³adu kinematycznego zale¿¹ nie tylko od jego struktury (cz³ony, klasy par kinematycznych), ale równie¿ od wymiarów cz³o-nów. Szczególne wartoœci wymiarów cz³onów mog¹ zarówno zapewniæ ruch w przy-padku uk³adu teoretycznie sztywnego, a nawet przesztywnionego (WT≤ 0), jak

rów-nie¿ spowodowaæ brak mo¿liwoœci wyst¹pienia ruchu w przypadku uk³adu teore-tycznie ruchliwego (WT > 0).

Do opisania tych osobliwoœci ruchowych pomocne jest wprowadzenie pojêcia wy-miarów podstawowych cz³onów.

Wymiary podstawowe. Cechy geometryczne cz³onu s¹ opisywane przez wymiary liniowe i k¹towe w liczbie tym wiêkszej, im bardziej z³o¿one s¹ kszta³ty cz³onów. Wszy-stkie one s¹ istotne w fazie wykonywania cz³onu, kiedy niezbêdne jest podanie ich no-minalnych wartoœci uzupe³nionych dopuszczalnymi odchy³kami wykonawczymi. Nie-które spoœród wymiarów maj¹ jednak znaczenie szczególne, a ich wartoœci s¹ istotne we wszystkich fazach projektowania i wytwarzania. Decyduj¹ one w pe³ni o w³asno-œciach kinematycznych (trajektorie, prêdkoœci, przyspieszenia), a poœrednio o cechach dynamicznych (si³y masowe, si³y oddzia³ywania, tarcie i sprawnoœæ). Ze wzglêdu na ich dominuj¹cy wp³yw okreœla siê je mianem wymiarów podstawowych [15]. Stano-wi¹ one tê grupê wymiarów cz³onów, które opisuj¹ wzglêdne po³o¿enie pó³par kine-matycznych, które opisywane s¹ punktami, osiami i powierzchniami. Nie s¹ natomiast podstawowymi wymiary samych pó³par. Kilka przyk³adowych cz³onów z zaznaczeniem ich wymiarów podstawowych zestawiono na rys. 1.14.

W przypadku cz³onu dwuwêz³owego (rys. 1.14a) z pó³parami w postaci kuli i tulei ich wzajemne usytuowanie opisuje tylko jeden wymiar a. Dla opisania najbardziej z³o-¿onego spoœród cz³onów przedstawionych na rys. 1.14 potrzebne s¹ a¿ cztery wymiary podstawowe (rys.1.14d).

Rys. 1.14. Wymiary podstawowe wybranych cz³onów

W uk³adzie kinematycznym, w okreœlonej jego konfiguracji, wymiary podstawowe cz³onów tworz¹ przestrzenny wielobok, którego opis jest równoznaczny z opisem jego kinematyki. Na rysunku 1.15 przedstawiono schemat uk³adu przestrzennego RCSR (sekwencja symboli par), zbudowanego z cz³onów przedstawionych na rys. 1.14, którego konfiguracjê opisuje wielobok przestrzenny ABCDEFG.

Wartoœci wymiarów liniowych i k¹towych wieloboku s¹ funkcj¹ wymiarów pod-stawowych jego cz³onów. Przyk³adowo odcinek CB opisuje odleg³oœæ zwichrowanych

osi pó³par cz³onu 2 i odpowiada wprost wymiarowi b cz³onu przedstawionego na rys. 1.14c. Z kolei wymiar FG jest funk-cj¹ odpowiednich wymiarów podstawo-wych cz³onów 1 i 4. Nale¿y przy tym pod-kreœliæ, ¿e niektóre z wymiarów uk³adu kinematycznego pozostaj¹ nie zmienione, pomimo ¿e s¹ funkcjami wymiarów pod-stawowych o ró¿nych wartoœciach. Dla uk³adu z rys. 1.15 w miejsce pary obroto-wej R, utworzonej przez cz³ony 1 i 4 mo¿-na utworzyæ parê R*_{. Mo¿e to byæ}

wyni-kiem zmiany wymiarów podstawowych cz³onów 1 i 4. Je¿eli jednak, pomimo tych zmian, zachowa siê niezmiennoœæ geome-tryczn¹ wieloboku ABCDEFG, to

w³asno-Rys. 1.15. Schemat uk³adu przestrzennego

œci kinematyczne uk³adów RCSR i RCSR* _{pozostan¹ nie zmienione.}

Dysponuj¹c pojêciem wymiarów podstawowych, mo¿na wskazaæ kilka konkretnych przyk³adów, w których wystêpuje rozbie¿noœæ pomiêdzy w³asnoœciami wynikaj¹cymi z ich struktury a stanem faktycznym wynikaj¹cym z geometrii.

1.2.3.1. RuchliwoϾ lokalna

Jako ruchliwoœæ lokaln¹ rozumie siê mo¿liwoœæ wykonywania przez cz³on (czasem grupê cz³onów) takiego ruchu, który nie wp³ywa na ruch ca³ego uk³adu. Oznacza to inaczej, ¿e w przypadku wyst¹pienia ruchliwoœci lokalnej okreœlonego cz³onu mo¿e on wykonywaæ ruch przy unieruchomieniu pozosta³ych cz³onów uk³adu, w³¹cznie z tymi, które ³¹cz¹ siê z nim parami kinematycznymi. Przedstawiono dalej kilka przyk³adów ruchliwoœci lokalnej.

Na rysunku 1.16 pokazano dwa mechanizmy krzywkowe p³askie. Pierwszy z nich (rys. 1.16a) sk³ada siê z dwóch cz³onów ruchomych, krzywki 1 i popychacza 2.

nem napêdzaj¹cym jest krzywka, której kszta³t jest dobrany tak, aby uzyskaæ ruch po-pychacza wed³ug po¿¹danej charakterystyki kinematycznej. Nie trzeba wykazywaæ, ¿e ruch popychacza 2 jest okreœlony dla jednego cz³onu czynnego, a wiêc ruchliwoœæ rzeczywista wynosi jeden (W_R = 1) i jest równa ruchliwoœci teoretycznej (W_T = 1), co mo¿na potwierdziæ korzystaj¹c z zale¿noœci (1.1). W przypadku uk³adu z rys. 1.16b zdecydowano zamieniæ tarcie œlizgowe krzywki i popychacza na korzystniejsze tarcie toczne. W tym celu popychacz 2 zakoñczono kr¹¿kiem 3 w taki sposób, aby nie zmie-niaæ charakterystyki ruchu popychacza. Intuicja wskazuje wiêc równie¿ w tym przy-padku ruchliwoœæ rzeczywist¹ równ¹ jeden (W_R = 1), gdy¿ ruch jednego cz³onu czyn-nego (krzywki 1) wywo³uje jednoznaczny ruch cz³onu bierczyn-nego (popychacza 2). Ru-chliwoœæ teoretyczna natomiast obliczona z zale¿noœci (1.1) wynosi W_T = 2.

Rozbie¿noœæ miêdzy W_R i W_T jest tutaj wynikiem szczególnej geometrii. Wprowa-dzony do uk³adu element 3 (kr¹¿ek) dysponuje mo¿liwoœci¹ ruchu obrotowego przy nieruchomych cz³onach s¹siednich krzywki 1 i popychacza 2. Taki lokalny ruch, okre-œlany mianem ruchliwoœci lokalnej cz³onu 3 (W_L3 = 1), mo¿e wyst¹piæ dlatego ¿e kr¹¿ek 3 ma kszta³t ko³owy. Lokalny ruch cz³onu, nie wp³ywaj¹cy na zasadnicz¹ funkcjê uk³adu kinematycznego mo¿e byæ przez projektanta tolerowany. W tym przypadku zosta³ na-wet wprowadzony celowo dla poprawienia w³asnoœci eksploatacyjnych (tarcie toczne zamiast œlizgowego). Obliczona ze wzoru (1.1), który nie uwzglêdnia geometrii, ruchli-woœæ teoretyczna W_T jest poprawna. Nie oddaje jednak stanu rzeczywistego i musi byæ zweryfikowana. Nietrudno dociec, ¿e w przypadku gdyby cz³on 3 nie by³ ko³ow¹ tar-cz¹, lecz np. eliptyczn¹, ruchliwoœæ teoretyczna i rzeczywista by³yby sobie równe (W_T = W_R = 2), jednoznaczny ruch wymaga³by dwóch cz³onów czynnych. Odnotujmy na koniec, ¿e wyst¹pienie jednej ruchliwoœci lokalnej kr¹¿ka 3 skutkuje zmniejszeniem ruchliwoœci teoretycznej o jeden, ale uk³ad (rys. 1.16) pozostaje ruchliwy.

P³aski uk³ad czterocz³onowy (rys. 1.17a) ma za zadanie transformowanie ruchu obro-towego5 _{pomiêdzy cz³onami 1 i 3. Poniewa¿ cz³on poœrednicz¹cy 2 tworzy z cz³onami}

1 i 3 pary postêpowe, wiêc przemieszczenia k¹towe 1 i 3 s¹ takie same. Mo¿liwoœæ ruchu ³atwo wywnioskowaæ z obserwacji, ¿e osie l₂' i l" musz¹ w ka¿dym po³o¿eniu₂ uk³adu pozostawaæ w sta³ych odleg³oœciach h₁ i h₃ odpowiednio od punktów A i D. W sensie geometrycznym oznacza to stycznoœæ osi l₂' i l" do okrêgów µ_{2 1} i µ₃, a to mo¿e byæ zrealizowane na wiele sposobów dopóki osie l₂' i l" nie pokrywaj¹ siê (α_{2 2} ≠ 0). Taka w³asnoœæ wskazuje, ¿e ruch cz³onu 1 bêdzie transformowany na ruch cz³onu 3. Zupe³-nie odmienny wniosek wysnujemy dla przypadku szczególnego, kiedy l₂' i l" pokrywaj¹₂ siê (α₂ = 0). Sytuacja taka jest dla uk³adów przedstawionych na rys. 1.17b, c, d, e i nietrudno zauwa¿yæ, ¿e istnieje tam jedynie mo¿liwoœæ zmontowania uk³adu w czterech konfiguracjach. Po zmontowaniu natomiast mamy do czynienia z usztywnieniem uk³a-du, a wiêc brakiem ruchu. Ruchliwoœæ rzeczywista wynosi tutaj zero (W_R = 0) i jest o jeden mniejsza od ruchliwoœci teoretycznej (W_T  = 1). Mamy zatem tutaj równie¿ do czynienia z uk³adem, w którym nast¹pi³o zmniejszenie ruchliwoœci rzeczywistej, ale

Rys. 1.17. Uk³ad p³aski R2TR

tym razem doprowadzi³o to do jego zablokowania. Cz³on poœrednicz¹cy 2 ma szcze-góln¹ geometriê (osie l₂' i l" pokrywaj¹ siê), co skutkuje jego ruchliwoœci¹ lokaln¹₂ (W_L2 = 1).

Przestrzenny uk³ad kinematyczny z rys. 1.18 jest ideowym przedstawieniem po-wszechnie stosowanego, niezale¿nego zawieszenia kó³ samochodów, znanego jako ko-lumna McPhersona. Zwrotnica 2 takiego uk³adu ma dwa rzeczywiste stopnie swobody (W_R = 2), dziêki którym mo¿liwe jest poddawanie siê zawieszania przy pokonywaniu nierównoœci na jezdni (pierwszy stopieñ swobody) oraz skrêcanie pojazdu (drugi sto-pieñ swobody). Tymczasem obliczenie ruchliwoœci ze wzoru (1.2) dla uk³adów prze-strzennych6 _{wskazuje, ¿e uk³ad ma trzy stopnie swobody (W}

T = 3). W tym przypadku

obliczona ruchliwoœæ teoretyczna W_T obejmuje ruchliwoœæ lokaln¹ cz³onu 3 (W_L3 = 1). Jest to ruch obrotowy wokó³ osi pary cylindrycznej C i mo¿e wyst¹piæ tylko, gdy oœ

pary C przechodzi przez œrodek przegubu sferycznego D. Ruchliwoœæ lokalna jest wiêc tutaj tak¿e wynikiem specyficznej geometrii i nie jest przeszkod¹ w prawid³owym dzia-³aniu uk³adu, co wiêcej cz³on 3 w takim wykonaniu (z par¹ cylindryczn¹) jest korzyst-niejszy technologicznie.

Na podstawie przytoczonych przyk³adów stwierdzamy, ¿e w wypadku wyst¹pienia ruchliwoœci lokalnej W_L obliczona ruchliwoœæ teoretyczna (strukturaln¹) W_T nie odda-je stanu faktycznego. Jest to cecha wszystkich uk³adów, a wiêc w ka¿dym przypadku wyst¹pienia ruchliwoœci lokalnej nale¿y wprowadziæ poprawkê okreœlaj¹c¹ ruchliwoœæ teoretyczn¹ i rozró¿niaæ ruchliwoœæ rzeczywist¹ W_R od ruchliwoœci teoretycznej W_T wed³ug zale¿noœci:

L T R W W

W = − (1.13)

Sprawdzenie poprawnoœci wzoru (1.13) dla omówionych uk³adów z cz³onami dys-ponuj¹cymi ruchliwoœci¹ lokaln¹ (rys. 1.16, 1.17, 1.18) jest czynnoœci¹ elementarn¹ i pozostawiamy to czytelnikowi.

1.2.3.2. Wiêzy bierne

Ka¿dy cz³on i ka¿da para uk³adu kinematycznego wnosi do uk³adu wiêzy, tj. ogra-nicza wzajemne ruchy cz³onów. W sensie geometrycznym oznacza to na przyk³ad usta-lenie sta³ej odleg³oœci miêdzy punktami dwóch cz³onów, zabranie mo¿liwoœci ruchu

wzglêdnego obrotowego itd. W pewnych warunkach wykonania istnieje mo¿liwoœæ zwielokrotniania niektórych wiêzów i chocia¿ w rezultacie uzyskuje siê uk³ady struk-turalnie sztywne lub nawet przesztywnione, to ruch wzglêdny cz³onów jest mo¿liwy. Kilka przyk³adów takich uk³adów kinematycznych przedstawiono na kolejnych ry-sunkach.

Na rysunku 1.19a pokazano schemat kinematyczny czworoboku przegubowego w wykonaniu szczególnym – wymiary cz³onów dobrano w taki sposób, ¿e czworobok ABCD jest w ka¿dym po³o¿eniu równoleg³obokiem. £atwo zauwa¿yæ, ¿e cz³on BCE nie wykonuje ruchu obrotowego wzglêdem podstawy AD, a trajektorie punktów (œrod-ków par) B, C i E s¹ okrêgami o jednakowych promieniach. £atwo te¿ wywnioskowaæ, ¿e œrodek okrêgu µ_E znajduje siê w prostym do wyznaczenia punkcie F. Poniewa¿

Rys. 1.19. Przegubowy czworobok równoleg³oboczny

w ka¿dym po³o¿eniu uk³adu jest sta³a odleg³oœæ miêdzy punktami E i F, wiêc mo¿na wprowadziæ do uk³adu dodatkowy cz³on EF o odpowiedniej d³ugoœci (EF = AB = CD). Ten dodatkowy cz³on (rys. 1.19b) wprowadza do uk³adu wiêzy bierne – ustala odle-g³oœæ punktów E i F, które ju¿ w pierwotnym uk³adzie, dziêki szczególnej geometrii pozostawa³y w sta³ej odleg³oœci. Ograniczenia zatem wprowadzone przez cz³on EF s¹ wiêzami biernymi.

Dodatkowy cz³on EF zmienia strukturê uk³adu (rys. 1.19b). Jego ruchliwoœæ teore-tyczna, obliczona jak dla uk³adów p³askich, wynosi tym razem zero (W_T = 0) i wskazuje, ¿e mamy do czynienia z uk³adem strukturalnie sztywnym, chocia¿ ruchliwoœæ rzeczy-wista nie uleg³a zmianie i dalej wynosi jeden (W_R = 1). Dla oceny tego stanu

wprowa-Rys. 1.20. Cz³ony o ruchu obrotowym i postêpowym

7 _{Sekwencja symboli par kinematycznych od cz³onu czynnego do biernego.}

dza siê kolejn¹ poprawkê do wzoru na ruchliwoœæ rzeczywist¹ uk³adu kinematyczne-go, który teraz przybiera postaæ:

B L T

R W W W

W = − + (1.14)

gdzie W_B – liczba wiêzów biernych.

Dla uk³adu kinematycznego z rys. 1.19 na podstawie (1.14) stwierdzamy wystêpo-wanie wiêzów biernych w liczbie jeden (W_B = 1).

Kolejne przyk³ady uk³adów o szczególnej geometrii przedstawiono na rys. 1.20. Tarcza 1 (rys. 1.20a) tworzy z podstaw¹ parê kinematyczn¹ obrotow¹ A (sposób ³o-¿yskowania zapewnia po¿¹dany ruch obrotowy). Rozwi¹zanie takie nie zadowala kon-struktora w przypadku, kiedy cz³on 1 jest wirnikiem (rys. 1.20b) o wymiarach i ob-ci¹¿eniach wymagaj¹cych dodatkowego ³o¿yskowania w parze B. Je¿eli zapewniona jest wspó³osiowoœæ ³o¿ysk A i B, to ruch obrotowy wirnika jest mo¿liwy. Dzieje siê tak, pomimo ¿e utworzenie pary B wprowadza do uk³adu dodatkowe ograniczenia ruchu (dodatkowe, bo przecie¿ para A ju¿ zapewnia wymagany ruch obrotowy), zatem i w tym uk³adzie wprowadzono wiêzy bierne – zbêdne kinematycznie ograniczenia ruchu. Ruchliwoœæ tego uk³adu traktowanego jak przestrzenny wynosi minus trzy (W_T = –3), czyli tym razem zgodnie z zale¿noœci¹ (1.14) W_B = 4 – wirnik mo¿e siê obracaæ, wiêc W_R = 1.

Podobn¹ interpretacjê ³atwo przypisaæ uk³adom prowadzenia platformy 1 (rysu-nek 1.20c, d). Pierwszy z nich, w którym prowadnica 0 tworzy z platform¹ 1 parê po-stêpow¹ jest kinematycznie i strukturalnie poprawny – W_R = W_T = 1. Wymagane dla korzystniejszego rozk³adu si³ zdwojenie pary postêpowej przez utworzenie dodatkowo pary B, mo¿liwe przy spe³nieniu oczywistych warunków geometrycznych, oznacza rów-nie¿ wprowadzenie dodatkowych, zbêdnych kinematycznie wiêzów (ograniczeñ ruchu). Zabieg ten równie¿ spowoduje zmianê ruchliwoœci. Tym razem uk³ad z rysunku 1.20d, traktowany jak przestrzenny, ma ruchliwoœæ teoretyczn¹ minus cztery (W_T = –4), a wiêc zgodnie z zale¿noœci¹ (1.14) ma piêæ wiêzów biernych (W_B = 5). Wprowadzenie w uk³adzie z rys. 1.20d prowadnic o przekroju ko³owym, dogodniejszym technicznie, jakkolwiek obni¿y stopieñ przesztywnienia, to jednak ci¹gle jego ruchliwoœæ oblicza-na z (1.2) bêdzie ró¿oblicza-na od oczekiwanej i wyniesie minus dwa (W_T = –2), chocia¿ plat-forma 1 dysponuje mo¿liwoœci¹ ruchu (W_R = 1), wiêc zgodnie z zale¿noœci¹ (1.14) w uk³adzie pozostan¹ jeszcze trzy wiêzy bierne (W_B = 3).

Rozbie¿noœci miêdzy ruchliwoœci¹ teoretyczn¹ i rzeczywist¹ wystêpuj¹ tak¿e w uk³a-dach z za³o¿enia przestrzennych. Przeniesienie ruchu obrotowego miêdzy dwoma wa³-kami, od cz³onu czynnego 1 do biernego 3, których osie s¹ zwichrowane, umo¿liwia miêdzy innymi uk³ad czworoboku przestrzennego R2SR7 _{(rys. 1.21a). Jego ruchliwoœæ}

rzeczywista wynosi jeden (W_R = 1), teoretyczna natomiast jest równa dwa (W_T  = 2). Wystêpuje tutaj tolerowana w praktyce ruchliwoœæ lokalna cz³onu poœrednicz¹cego 2

(W_L2 = 1) –  ruch obrotowy cz³onu 2 wokó³ osi przechodz¹cej przez œrodki par sferycz-nych. W wykonaniu szczególnym tego uk³adu (rys. 1.21b), w którym osie cz³onów 1 i 3 przecinaj¹ siê, mo¿na zaobserwowaæ pewne cechy szczególne. Jak nietrudno zauwa-¿yæ w tym przypadku w czasie ruchu trójk¹t ABC jest geometrycznie niezmienny. W³a-snoœæ ta umo¿liwia modyfikacjê struktury, która nie tylko nie zmieni ruchliwoœci rze-czywistej, ale nawet nie zmieni charakterystyki kinematycznej w relacji cz³on czynny 1 – bierny 3.

Nowe ruchliwe uk³ady (W_R = 1) uzyskane w wyniku modyfikacji uk³adu R2SR to uk³ady RS2R i 4R (rys. 1.21c, d). W ka¿dym z nich nast¹pi³o zmniejszenie ruchli-woœci teoretycznej, a wiêc w ka¿dym wystêpuj¹ wiêzy bierne:

•  W_T = 0 i W_B = 1 dla uk³adu RS2R, •  W_T = – 2 i W_B = 3 dla uk³adu 4R.

Prostota zale¿noœci (1.14), wi¹¿¹cej ruchliwoœæ rzeczywist¹ W_R, teoretyczn¹ W_T, lokaln¹ W_L i wiêzy bierne W_B, jest nie do przecenienia. Bardzo wa¿na dla konstruktora jest niesiona przez ni¹ informacja o wystêpowaniu w uk³adzie dodatkowych, zbêdnych kinematycznie ograniczeñ ruchu. Jak pokazuj¹ przytoczone przyk³ady wystêpowanie wiêzów biernych zawsze oznacza koniecznoœæ spe³nienia geometrycznych warunków ruchu, tj. zwi¹zków funkcyjnych pomiêdzy wymiarami podstawowymi cz³onów.

Postaæ tych warunków mo¿e byæ ró¿na, czasem jest bardzo z³o¿ona [8]. Dla oma-wianych uk³adów sformu³ujemy je werbalnie:

• dla uk³adu zdwojonego czworoboku (rys. 1.19) wymiary cz³onów musz¹ zapew-niaæ w ka¿dym po³o¿eniu istnienie dwóch równoleg³oboków ABCD i CDFE, • dla ³o¿yskowania wirnika (rys. 1.20b) trzeba, aby pó³pary A i B podstawy i wirnika

by³y wspó³osiowe,

• dla platformy (rys. 1.20d) na prowadnicach o przekroju ko³owym osie pó³par plat-formy 1 i prowadnic 0 musz¹ byæ do siebie równoleg³e i w jednakowej odleg³o-œci,

• dla uk³adu RS2R (rys. 1.21c) osie pó³par podstawy 0 i cz³onu 3 musz¹ siê prze-cinaæ w jednym punkcie, dla uk³adu 4R (rys. 1.21d) wymagane jest ju¿ przeci-nanie siê w jednym punkcie osi wszystkich par kinematycznych; w tych uk³a-dach s¹ wymagane te¿ pewne, pominiête tutaj, zwi¹zki na³o¿one na wymiary podstawowe liniowe [25].

Przedstawione uk³ady z wiêzami biernymi raz jeszcze potwierdzaj¹ tezê, ¿e o rze-czywistych w³asnoœciach ruchowych, o mo¿liwoœci ruchu wzglêdnego cz³onów, oprócz struktury w znacznym stopniu decyduje te¿ geometria. Ka¿dy z uk³adów jed-nokonturowych (rys. 1.22), których struktura wskazuje na brak mo¿liwoœci ruchu (WT ≤ 0), w szczególnych warunkach wykonania stanie siê uk³adem ruchliwym.

W literaturze opisano wiele takich uk³adów [1], [9], [29] – kilka z nich zestawiono na rys. 1.23.

Rys. 1.23. Schematy układów ruchliwych o szczególnej geometrii

1.2.4. Układy kinematyczne racjonalne

Praktyczna realizacja układu kinematycznego, polegająca na wykonaniu poszcze-gólnych członów, jest nieuchronnie związana z odchyłkami wykonawczymi. Ich wartości są uzależnione od wielu czynników, jak np. stanu technicznego

dyspono-wanego parku maszynowego, poziomu technicznego obsługi, zawsze jednak są

Rys. 1.24. Geometria uk³adu czworoboku przegubowego

Szczególnie wa¿ne bêd¹ odchy³ki wymiarów podstawowych, które decyduj¹ o istot-nych parametrach uk³adu kinematycznego. Maj¹ one m.in. wp³yw na dok³adnoœæ reali-zowanych ruchów, trajektorii, po³o¿eñ, a tak¿e na wartoœci obci¹¿eñ. Te ostatnie w wyniku b³êdów wykonawczych mog¹ osi¹gn¹æ wartoœci powoduj¹ce nawet zniszcze-nie elementów uk³adu. W uk³adach szybkobie¿nych mog¹ byæ powodem znaczzniszcze-nie wiêk-szych, od przewidywanych, si³ dynamicznych. Efektem niedotrzymania wymiarów no-minalnych mo¿e byæ tak¿e wejœcie w strefê samohamownoœci w tych uk³adach, które pracuj¹ w pobli¿u po³o¿eñ martwych.

W przypadku uk³adów z wiêzami biernymi aspekt dok³adnoœci wykonania wymia-rów cz³onów nabiera dodatkowego istotnego znaczenia. Nieuniknione odchy³ki wyko-nawcze sprawiaj¹ bowiem, ¿e geometryczne warunki ruchu takich uk³adów mog¹ byæ spe³nione tylko z pewnym przybli¿eniem. Oznacza to w praktyce, ¿e jeszcze przed wy-st¹pieniem obci¹¿eñ zewnêtrznych uk³adu z wiêzami biernymi w parach kinematycznych pojawi¹ siê dodatkowe si³y. S¹ one wywo³ane koniecznoœci¹ „dopasowywania” siê cz³o-nów, oznaczaj¹cego w praktyce sprê¿yste odkszta³cenie (rozci¹ganie, zginanie itd).

Wartoœci tych dodatkowych obci¹¿eñ, zwi¹zane z wartoœciami odchy³ek wykonaw-czych i sztywnoœci¹ cz³onów, zmieniaj¹ siê w zale¿noœci od po³o¿enia uk³adu. Ich kon-sekwencj¹ jest przede wszystkim zmniejszona sprawnoœæ mechaniczna oraz nadmier-ne zu¿ycie elementów par kinadmier-nematycznych. Tym samym mog¹ nie byæ osi¹gniête za-k³adane wartoœci istotnych wskaŸników, jak sprawnoœæ, ¿ywotnoœæ i niezawodnoœæ. W drastycznych przypadkach mo¿e nawet zachodziæ zmêczeniowe (dodatkowe obci¹-¿enia zmieniaj¹ siê cyklicznie) zniszczenie któregoœ z cz³onów.

Rys. 1.25. Efekty odchy³ek wymiarów zdwojonego czworoboku

W p³askim czworoboku przegubowym (rys. 1.24a), oprócz oczywistego warunku równoleg³oœci osi wszystkich par kinematycznych (tylko wtedy jest to uk³ad p³aski), wymagane jest spe³nienie zale¿noœci:

a + b – c – d = 0 (1.15)

Sytuacja idealna, tj. przy zerowych odchy³kach wykonawczych, jest przedstawiona na rys. 1.24a. W warunkach rzeczywistych, kiedy cz³ony wykonano z b³êdami, ju¿ w fazie monta¿u pojawi¹ siê trudnoœci. Zak³adaj¹c monta¿ par w kolejnoœci A, B, C i w ostatniej kolejnoœci D, utworzenie tej ostatniej oka¿e siê niemo¿liwe (rys. 1.24b), pó³pary D' i D" bowiem bêd¹ od siebie „oddalone”, a ich wzglêdne po³o¿enie mo¿e byæ opisane za pomoc¹ parametrów h, β, l', l". Sytuacja taka bêdzie wystêpowaæ rów-nie¿ przy próbach utworzenia pary D (zamkniêcia uk³adu) dla innych po³o¿eñ cz³onu AB, chocia¿ wartoœci parametrów h, β, l', l" bêd¹ siê zmieniaæ. W wypadku wyst¹pienia odchy³ek monta¿ ostatniej pary D jest zatem mo¿liwy tylko w przypadku przy³o¿enia zewnêtrznych si³, które spowoduj¹ odpowiednie, wymagane dla monta¿u, odkszta³ce-nia cz³onów. Sytuacjê wynikow¹ obrazuje rys. 1.24c, na którym cz³ony s¹ odkszta³cone. Nie trzeba dowodziæ, ¿e w parach kinematycznych tak zmontowanego „na si³ê” uk³a-du bêd¹ w czasie ruchu wystêpowaæ dodatkowe, cyklicznie zmienne si³y, a wywo³anie ruchu bêdzie mo¿liwe po pokonaniu si³ tarcia oraz si³ odkszta³cenia sprê¿ystego cz³o-nów.

Wyznaczenie tych dodatkowych obci¹¿eñ jest zagadnieniem z³o¿onym, wymaga sto-sowania zaawansowanych metod analizy przemieszczeñ uk³adów przestrzennych oraz znajomoœci materia³u i postaci konstrukcyjnej cz³onów. Skalê zjawiska obrazuje poda-ny przyk³ad.

W przeniesieniu jednego z napêdów robota IRb [23] stosuje siê równoleg³oboczny uk³ad (rys. 1.25a), s³u¿¹cy do transformacji ruchu obrotowego od cz³onu 1 do cz³onu 2.

Uk³ad ten spe³ni swoj¹ funkcjê w sensie kinematycznym tak¿e wtedy, gdy pozbawi siê go jednego z ³¹czników 3 lub 4. Stosowanie dwóch ³¹czników jest podyktowane korzyst-niejszym rozk³adem si³, powoduj¹c jednak, ¿e nawet przy idealnym spe³nieniu warun-ków p³askoœci (osie wszystkich par równoleg³e) jest to uk³ad z wiêzami biernymi, a warunki wyst¹pienia ruchu to:

β α = = = = = , , AB CD DF AE EF BC AD (1.16) Wykonanie z b³êdami wymiarów wchodz¹cych w zwi¹zki (1.16) doprowadzi do sytuacji, ¿e ju¿ w czasie monta¿u, zw³aszcza w jego ostatniej fazie polegaj¹cej np. na wmontowaniu ³¹cznika 4, wymagane bêdzie u¿ycie si³y. Wynika to z faktu, ¿e rze-czywista d³ugoœæ l′_EF bêdzie ró¿na od odleg³oœci pó³par E i F wynikaj¹cej z rzeczywi-stych wymiarów cz³onów 0, 1, 2 i 3. Ró¿nicê tê reprezentuje odchy³ka ∆l (rys. 1.25b), której wartoœæ zmienia siê w funkcji po³o¿enia uk³adu.

Przyjmujemy wymiary nominalne:

2 / ð mm 60 mm 450 = = = = = = = = = β α CD AB DF AE EF BC AD

na rys. 1.25c przedstawiono przebieg zmian ∆l(ϕ) dla dwóch klas dok³adnoœci wyko-nania IT5 oraz IT8, po za³o¿eniu symetrycznego rozk³adu tolerancji. Z wykresu widaæ, ¿e istnieje po³o¿enie, w którym ∆l = 0, a monta¿ w tym po³o¿eniu nie wymaga odkszta³-cania cz³onów – jest mo¿liwy bez u¿ycia si³. Jednak w czasie ruchu odchy³ka ∆l zmie-nia siê co do wartoœci i znaku. Powoduje to na przemian rozci¹ganie i œciskanie ³¹czni-ka 4, wywo³uj¹c te¿ odkszta³cenia pozosta³ych cz³onów. Wartoœci si³, które temu to-warzysz¹ s¹ zale¿ne od sztywnoœci cz³onów. Zak³adaj¹c na pocz¹tek, ¿e odkszta³ceniu podlega wy³¹cznie cz³on 4, wykonany ze stalowego prêta o przekroju osiowym 10–4 _m2_,

jest on obci¹¿ony si³¹ osiow¹ F o wartoœciach: 8 dla kN 6 , 44 , 6 , 9 5 dla kN 7 , 12 , 6 , 2 IT F IT F 〉 + 〈− ∈ 〉 + 〈− ∈

Uzyskane wartoœci odnosz¹ siê do stosunkowo prostego uk³adu, i wyznaczone zo-sta³y dla znacznych uproszczeñ, przez co rzeczywiste wartoœci mog¹ odbiegaæ od przy-toczonych. W realnym uk³adzie odkszta³ceniom ulegaæ bêd¹ przecie¿ tak¿e pozosta³e cz³ony, a wartoœci si³ zostan¹ zmniejszone w wyniku wystêpowania luzów w parach kinematycznych. Jednak ju¿ na podstawie analizy tego prostego uk³adu nale¿y stwier-dziæ, ¿e rzeczywiste uk³ady z wiêzami biernymi, których cz³ony s¹ wykonywane z nie-uniknionymi odchy³kami wymiarów, zawsze bêd¹ charakteryzowa³y siê wystêpowaniem w parach kinematycznych dodatkowych si³, nie przewidzianych przez konstruktora wraz ze wszystkimi negatywnymi skutkami.

Rys. 1.26. Odchy³ki wymiarów wirnika i podstawy

Specyfika uk³adów z wiêzami biernymi, w szczególnoœci k³opoty techniczne zwi¹-zane z ich monta¿em i eksploatacj¹, spowodowa³a, ¿e nadano im miano uk³adów nie-racjonalnych. Termin ten wynika wprost z niew³aœciwej, nieracjonalnej struktury, skut-kuj¹cej nadmiern¹ liczb¹ ograniczeñ ruchu – wiêzów biernych, które s¹ wiêzami bier-nymi w przypadku spe³nienia okreœlonych warunków geometrycznych na³o¿onych na wymiary podstawowe cz³onów.

Ogólnie nale¿y stwierdziæ, ¿e stosowanie takich uk³adów powinno byæ ograniczane na rzecz uk³adów racjonalnych, bez wiêzów biernych, w których mo¿liwoœæ ruchu nie jest ograniczona ¿adnymi warunkami. Przedstawiono dalej wybrane przyk³ady uk³adów nieracjonalnych, wskazuj¹c na geometryczne warunki ruchu oraz pokazano sposoby modyfikacji ich struktury w celu uzyskania rozwi¹zañ racjonalnych.

Zdwojone ³o¿yskowanie wirnika (rys. 1.26a), korzystne ze wzglêdu na wielkoœæ si³ w parach kinematycznych, wprowadza jak ju¿ wiadomo wiêzy bierne. Oznacza to, ¿e przy wyst¹pieniu odchy³ek wykonawczych ju¿ ze zmontowaniem takiego uk³adu bêd¹ okreœlone k³opoty. Sytuacjê tak¹, z celowo wyolbrzymionymi b³êdami, przed-stawiono na rys. 1.26b, c. W przypadku ogólnym osie pó³par podstawy 0 s¹ zwichro-wane, a ich wzglêdne po³o¿enie opisuje odleg³oœæ h₀ i k¹t zwichrowania α₀. Iden-tycznie wirnik 1, wykonany z odchy³kami, bêdzie mia³ osie pó³par zwichrowane – odleg³oœæ h₁, k¹t α₁.

Wprowadzone cztery wymiary podstawowe, przypisane poszczególnym cz³onom, umo¿liwiaj¹ okreœlenie geometrycznych warunków ruchu w postaci: