Rozwa»my nerw umieszczony wzdªu» osi x ukªadu wspóªrz¦dnych. Zaªó»my, »e re-ceptor generuje zmienny w czasie potencjaª transmembranowy o przebiegu czasowym opisanym funkcj¡ V (t). Sygnaª ten nast¦pnie rozchodzi si¦ wzdªu» aksonu z pr¦dko±ci¡ propagacji v, a zatem potencjaª w chwili t punkcie x wynosi V (t −x
v).
Jak pokazano na rys. 1.5, w stosowanej u nas kon guracji, fragment nerwu na którym dokonywana jest rejestracja umieszczony jest wewn¡trz r¦kawa (rurki) o dªugo±ci L, przy czym lewy (wej±ciowy) koniec r¦kawa znajduje si¦ w punkcie x = 0, a prawy x = L. Ukªad jest osiowo symetryczny. W latach 1970-tych Stein oraz Marks wykazali, »e zarówno dla nerwów niemielinowanych [85], jak i mielinowanych [61], u±redniony po obwodzie potencjaª w dowolnym punkcie 0 ≤ x ≤ L wewn¡trz r¦kawa wyra»a si¦ wzorem
φ(t, x) = 1 Λ[(1 − x L)V (t) − V (t − x v) + x LV (t − L v)] (1.14)
W naszym ukªadzie pomiarowym (rys. 1.5) mamy do czynienia z dwoma dookolnymi elektrodami umieszczonymi w punktach x ≈ L/5 oraz x ≈ L, podª¡czonymi do wej±¢ wzmacniacza ró»nicowego. Zatem napi¦cie wyj±ciowe wzmacniacza wynosi
p(t) = k(φ(t,L
5) − φ(t, L)) (1.15)
gdzie k jest wzmocnieniem ró»nicowym wzmacniacza.
Przy zaªo»eniu, »e warto±ci φ oraz V reprezentuj¡ u±rednione warto±ci potencjaªów po obwodzie nerwu, nie ma znaczenia dokªadne poªo»enie aktywnego aksonu w obr¦bie wi¡zki nerwowej, o ile zaniedba¢ ró»nic¦ amplitudy [15]. Wykazano ponadto [88], »e potencjaªy mierzone w przypadku pojedynczego wªókna nerwowego oraz wªókna w wi¡zce nerwowej nie ró»ni¡ si¦ istotnie. Jednak»e, w obr¦bie wi¡zki mog¡ wyst¦powa¢ wªókna o ró»nej ±rednicy, co implikuje ró»ne pr¦dko±ci propagacji sygnaªu v. Mamy zatem do czynienia z rodzin¡ funkcji opisuj¡cych przebiegi impulsów przy ró»nych pr¦dko±ciach propagacji, to znaczy
φv = α ¯φv (1.16)
oraz
gdzie ¯φv i ¯pv stanowi¡ odpowiednio znormalizowane przebiegi potencjaªu zewn¡trzkomór-kowego oraz napi¦cia wyj±ciowego wzmacniacza dla danej pr¦dko±ci propagacji sygnaªu v. Kryterium normalizacji jest odpowiednio max ¯φv = 1 oraz max {¯pv} = 1. Natomiast α jest to wspóªczynnik skaluj¡cy, którego warto±¢ zwi¡zana jest z poªo»eniem nerwu w wi¡zce. Dokªadn¡ analiz¦ wpªywu poªo»enia nerwu wewn¡trz wi¡zki na mierzone ampli-tudy sygnaªu wykonaª Clark w pracy [15].
Aby móc wyznaczy¢ teoretycznie spodziewany ksztaªt impulsu, konieczna jest znajo-mo±¢ funkcji V (t) opisuj¡cej zmiany potencjaªu transmembranowego w czasie. Natural-nym rozwi¡zaniem jest wyliczenie przebiegu V (t) w drodze numerycznego rozwi¡zania ukªadu równa« ró»niczkowych Hodgkina-Huxleya [44]. Wymaga to jednak»e znajomo±ci dokªadnej geometrii ukªadu oraz staªych materiaªowych, co stanowi utrudnienie. Przy-kªady takich analiz mo»na znale¹¢ w [3, 4, 32, 40, 29, 44].
Jednak»e, Hodgkin i Huxley podali w [44] przebieg funkcji V (t) uzyskany teoretycznie z rozwi¡zania modelu dla niemielinowanych nerwów kaªamarnicy olbrzymiej. W 1968 r. Goldman [32] przedstawiª rozwi¡zanie numeryczne równa« Hodgkina-Huxleya dla nerwów zmielinowanych w funkcji ±rednicy aksonu. Dalszy rozwój metod pomiarowych [82, 83] umo»liwiª wykonywanie bezpo±rednich, jednoczesnych pomiarów potencjaªów wewn¡trz-i zewn¡trzkomórkowych »ywych neuronów, pocz¡tkowo w ±rodowwewn¡trz-isku wewn¡trz-in vwewn¡trz-itro [91, 89], a nast¦pnie in vivo [43], dla ró»nych rodzajów wªókien nerwowych oraz ró»nych gatunków zwierz¡t. Badania te potwierdziªy, »e przewidywany przez Hodgkina i Huxleya ksztaªt funkcji V (t) w ogólnym przypadku jest poprawny, ró»nice dotycz¡ jedynie staªych czaso-wych, spowodowanych ró»nicami anatomicznymi które rzutuj¡ na geometri¦ ukªadu.
Poniewa» interesuje nas teoretyczne okre±lenie przebiegu funkcji ¯pv(t), mo»na zasto-sowa¢ nast¦puj¡ce podej±cie. Znaj¡c przebieg funkcji V (t) (zamieszczony w pracach Hodgkina [44] b¡d¹ Goldmana [32]), mo»na wygenerowa¢ estymuj¡c¡ j¡ funkcj¦ ˆV (t) o znanym przepisie analitycznym, a nast¦pnie wyznaczy¢ funkcj¦ ˆpv(t) (estymuj¡c¡ ¯pv(t)) podstawiaj¡c ˆV (t) do równa« 1.14 oraz 1.15.
Na podstawie ksztaªtu funkcji V (t) wyznaczonego przez Hodgkina [44] (rys. 1.10) mo»na oceni¢, »e mo»e ona by¢ estymowana funkcj¡ postaci
ˆ
V (t) = (1 − e−t/τr)βe−t/τf (1.18) gdzie τr stanowi czas narastania, a τf czas opadania. Równanie to opisuje jednocze±nie odpowied¹ na impuls prostok¡tny kaskady ltrów o β stopniach CR (ró»niczkuj¡cych) i jednym stopniu RC (caªkuj¡cym). Dobór warto±ci staªych czasowych oraz staªej β mo»na wykona¢ metod¡ optymalizacyjn¡, minimalizuj¡c bª¡d ±redniokwadratowy
M SE = Z
(V (t) − ˆV (t))2dt (1.19) Na rys. 1.8 przedstawiono zale»no±¢, od warto±ci β, minimalnej warto±ci bª¦du ±red-niokwadratowego (MSE) oraz odpowiadaj¡cych mu warto±ci staªych czasowych (mini-mum warto±ci MSE, czyli maksi(mini-mum 1/MSE odpowiada optymalnemu dopasowaniu funkcji estymuj¡cej i estymowanej). Zaobserwowa¢ mo»na, »e bª¡d dopasowania maleje ze wzrostem staªej β. Z punktu widzenia zycznej realizacji ukªadów ksztaªtu-j¡cych sygnaª za pomoc¡ stopni CR i RC, interesuj¡ce s¡ caªkowite warto±ci wspóªczynnika β. Jednocze±nie, z uwagi na stopie« zªo»ono±ci ukªadu, najbardziej korzystne s¡ jak najni»sze warto±ci wspóªczynnika β.
10-4 10-3 10-2 10-1 0 1 2 3 4 5 6 1/MSE τr τf
Rysunek 1.8. Zale»no±¢ odwrotno±ci bª¦du ±redniokwadratowego (1/MSE) oraz staªych czaso-wych dla optymalnego dopasowania funkcji ˆV w zale»no±ci od wspóªczynnika β.
Na rys. 1.9 przedstawiono wyliczon¡ odwrotno±¢ bª¦du ±redniokwadratowego estyma-tora dla staªych czasowych z zakresu 10−5÷ 10−2s. Zauwa»y¢ mo»na, »e bª¡d estymacji jest znacznie bardziej czuªy na zmiany czasu opadania τf ni» czasu narastania τr.
Rysunek 1.10 przedstawia przebieg funkcji V (t) obliczony przez Hodgkina i Huxleya dla niemielinowanego nerwu kaªamarnicy olbrzymiej [44] wraz z przebiegiem optymalnej funkcji estymuj¡cej wg. równania 1.18, dla β = 1 oraz β = 4. Wspóªczynnik determinacji wynosi odpowiednio R2 = 0, 888i R2 = 0, 966.
Porównanie przebiegów wskazuje, »e zaproponowana funkcja prawidªowo oddaje ksztaªt zboczy impulsu. Rozbie»no±¢ dotyczy nast¦puj¡cego po impulsie okresu repolaryzacji nerwu, kiedy nast¦puje zmiana znaku potencjaªu i powolny powrót do potencjaªu
spo-β = 1 -4.2 -4 -3.8 -3.6 -3.4 -3.2 log10τf -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 log 10 τr 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 β = 4 -4.2 -4 -3.8 -3.6 -3.4 -3.2 log10τf -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 log 10 τr 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-40 -20 0 20 40 60 80 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -U [mV] t [ms] Hodgkin-Huxley β=1 τr=2.34ms τf=0.25ms R2=0.94 β=2 τr=3.52ms τf=0.18ms R2=0.97 β=3 τr=5.93ms τf=0.14ms R2=0.98 β=4 τr=5.28ms τf=0.13ms R2=0.98
Rysunek 1.10. Teoretyczny przebieg potencjaªu transmembranowego V (t) (linia ci¡gªa) oraz funkcje estymuj¡ce. (Potencjaª spoczynkowy przyj¦ty jako 0mV zamiast -70mV dla uproszczenia
analizy).
czynkowego. Bior¡c jednak pod uwag¦, »e przedmiotem naszego zainteresowania jest zagadnienie detekcji impulsów, problem ten nie ma praktycznego znaczenia.
Rysunek 1.11 przedstawia teoretycznie wyliczone przebiegi znormalizowanego impulsu ¯
pv(t) w zale»no±ci od pr¦dko±ci propagacji sygnaªu v. Staªe czasowe τr = τf = 5ms. Widoczne jest, »e zmniejszenie pr¦dko±ci propagacji powoduje wydªu»enie czasu trwania impulsu.
Mo»na zatem zastosowa¢ trzy podej±cia do konstrukcji ltru detekcyjnego.
Podej±cie pierwsze polega na wygenerowaniu ltra cyfrowego o przepisie ¯pv(−t)(por. wzór 1.17 i 1.15) przy zaªo»onej pr¦dko±ci propagacji v.
Podej±cie drugie opiera si¦ na obserwacji, »e przebieg wej±ciowy ¯pv(t) p stanowi kom-binacj¦ liniow¡ funkcji V (t), co oznacza mo»liwo±¢ zastosowania ltru dopasowanego opi-sanego funkcj¡ ˆV (−t). Nale»y spodziewa¢ si¦, »e ltr taki b¦dzie miaª gorszy stosunek sygnaª/szum od ltru ¯pv(−t), ale jego zastosowanie nie wymaga znajomo±ci (b¡d¹ zaªo-»enia) pr¦dko±ci propagacji v. W obu przypadkach konieczne jest jednak»e uwzgl¦dnienie faktu, »e poszukiwany impuls jest prze ltrowany przez ltr wst¦pny górnoprzepustowy, co wymaga mody kacji odpowiedzi impulsowej poprzez prze ltrowanie przebiegu ˆV (t) b¡d¹ ¯pv(−t) przez ltr wst¦pny.
Podej±cie trzecie stanowi rozwini¦cie podej±cia drugiego w poprzez zastosowanie ka-skady ltrów CR-RC.
-1.5-1 -0.50 0.51 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0.2 m/s -1.5-1 -0.50 0.51 0 5 10 15 20 25 30 35 0.5 m/s -1.5-1 -0.50 0.51 0 5 10 15 20 1 m/s -1.5-1 -0.50 0.51 0 2 4 6 8 10 2 m/s -1.5-1 -0.50 0.51 0 1 2 3 4 5 [ms] 5 m/s
Rysunek 1.11. Rodzina funkcji ¯pv dla ró»nych pr¦dko±ci propagacji sygnaªu (τr= 5, 28ms,τf = 0, 13ms,β = 4). -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 1 2 3 4 5 6 t [ms] V Vp h
Rysunek 1.12. Posta¢ czasowa teoretycznie obliczonego impulsu nerwowego ˆV, impulsu po przej±ciu przez ltr górnopasmowy ˆVp, oraz odpowied¹ impulsowa ltru dopasowanego h.
ˆ