Transformacja Galileusza

Rozważmy zdarzenie, np. wystrzał kapiszona, które obserwujemy w dwóch różnych, inercjalnych układach odniesienia S i S^′.S^′

porusza się w S ze stałą prędkością ~V = (V , 0, 0), a w chwili t= t^′= 0 początki obu układów pokrywały się.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/36

Transformacja Galileusza

Rozważmy zdarzenie, np. wystrzał kapiszona, które obserwujemy w dwóch różnych, inercjalnych układach odniesienia S i S^′.S^′

porusza się w S ze stałą prędkością ~V = (V , 0, 0), a w chwili t= t^′= 0 początki obu układów pokrywały się.

y S

x O

y^′ S^′

O^′ V t

x

x^′ y = y^′ V~

Współrzędne tego zdarzenia wS i wS^′ powiązane są wzorami:

t^′ = t, x^′ = x − Vt, y^′ = y , z^′ = z.

Transformacja Galileusza

Rozważmy zdarzenie, np. wystrzał kapiszona, które obserwujemy w dwóch różnych, inercjalnych układach odniesienia S i S^′.S^′

porusza się w S ze stałą prędkością ~V = (V , 0, 0), a w chwili t= t^′= 0 początki obu układów pokrywały się.

y S

x O

y^′ S^′

O^′ V t

x

x^′ y = y^′ V~

Współrzędne tego zdarzenia wS i wS^′ powiązane są wzorami:

t^′ = t, x^′ = x − Vt, y^′ = y , z^′ = z.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/36

Transformacja Galileusza

Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny – płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia.

Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać:

t^′ = t, ~r^′ = ~r − ~V t.

Transformacja Galileusza

Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny – płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia.

Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać:

t^′ = t, ~r^′ = ~r − ~V t.

Różniczkując obustronnie względem czasu otrzymujemy

˙~r^′ = ˙~r − ~V.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/36

Transformacja Galileusza

Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny – płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia.

Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać:

t^′ = t, ~r^′ = ~r − ~V t.

Różniczkując obustronnie względem czasu otrzymujemy

˙~r^′ = ˙~r − ~V. Jest to znana reguła dodawania prędkości:

Transformacja Galileusza

Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny – płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia.

Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać:

t^′ = t, ~r^′ = ~r − ~V t.

Różniczkując obustronnie względem czasu otrzymujemy

˙~r^′ = ˙~r − ~V. Jest to znana reguła dodawania prędkości:

~v = ~V + ~v^′.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/36

Transformacja Galileusza

Jako ważny przykład ilustrujący znaczenie symetrii ze względu na transformację Galileusza rozważmyodosobniony układ N punktów materialnych.Energia potencjalna Vij wzajemnego oddziaływania punktów i i j zależy od ich odległości.

Takim układem z dobrym przybliżeniem jest np. układ słoneczny.

Transformacja Galileusza

Jako ważny przykład ilustrujący znaczenie symetrii ze względu na transformację Galileusza rozważmyodosobniony układ N punktów materialnych.Energia potencjalna Vij wzajemnego oddziaływania punktów i i j zależy od ich odległości.

Takim układem z dobrym przybliżeniem jest np. układ słoneczny.

Funkcja Lagrange’a układu, dana wzorem L=

XN

i =1

1

2mi˙~r_i²−^X

i <j

Vij(|~ri − ~rj|) ,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/36

Transformacja Galileusza

Jako ważny przykład ilustrujący znaczenie symetrii ze względu na transformację Galileusza rozważmyodosobniony układ N punktów materialnych.Energia potencjalna Vij wzajemnego oddziaływania punktów i i j zależy od ich odległości.

Takim układem z dobrym przybliżeniem jest np. układ słoneczny.

Funkcja Lagrange’a układu, dana wzorem L=

XN

i =1

1

2mi˙~r_i²−^X

i <j

Vij(|~ri − ~rj|) ,

jest niezmiennicza względem ciągłych przekształceń z dziesięcio-parametrowej grupy Galileusza, co prowadzi do

Transformacja Galileusza

Jako ważny przykład ilustrujący znaczenie symetrii ze względu na transformację Galileusza rozważmyodosobniony układ N punktów materialnych.Energia potencjalna Vij wzajemnego oddziaływania punktów i i j zależy od ich odległości.

Takim układem z dobrym przybliżeniem jest np. układ słoneczny.

Funkcja Lagrange’a układu, dana wzorem L=

XN

i =1

1

2mi˙~r_i²−^X

i <j

Vij(|~ri − ~rj|) ,

jest niezmiennicza względem ciągłych przekształceń z dziesięcio-parametrowej grupy Galileusza, co prowadzi do zachowania dziesięciu wielkości fizycznych.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/36

Transformacja Galileusza

Przeanalizujmy bliżej to stwierdzenie.

Zaczniemy od przesunięcia czasu.

t → t^′= t + a, a= const.

Transformacja Galileusza

Przeanalizujmy bliżej to stwierdzenie.

Zaczniemy od przesunięcia czasu.

t → t^′= t + a, a= const.

Funkcja Lagrange’a L nie zależy jawnie od czasu, ^∂L_∂t = 0, a siły występujące w układzie są zachowawcze, gdyż istnieje zwykły potencjał (energia potencjalna). Więzów nie ma.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/36

Transformacja Galileusza

Przeanalizujmy bliżej to stwierdzenie.

Zaczniemy od przesunięcia czasu.

t → t^′= t + a, a= const.

Funkcja Lagrange’a L nie zależy jawnie od czasu, ^∂L_∂t = 0, a siły występujące w układzie są zachowawcze, gdyż istnieje zwykły potencjał (energia potencjalna). Więzów nie ma.

Dlategocałkowita energia układu E = T + V jest zachowana.

Transformacja Galileusza

Przeanalizujmy bliżej to stwierdzenie.

Zaczniemy od przesunięcia czasu.

t → t^′= t + a, a= const.

Funkcja Lagrange’a L nie zależy jawnie od czasu, ^∂L_∂t = 0, a siły występujące w układzie są zachowawcze, gdyż istnieje zwykły potencjał (energia potencjalna). Więzów nie ma.

Dlategocałkowita energia układu

E = T + V jest zachowana.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/36

Transformacja Galileusza

Rozważmy teraz translację przestrzenną, dla któreja= 0, A = I, V~ = ~0.

Wektor położenia każdego punktu układu podlega przesunięciu o stały wektor ~b,

~r_i → ~r_i^′= ~r_i + α~b, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja Galileusza

Rozważmy teraz translację przestrzenną, dla któreja= 0, A = I, V~ = ~0.

Wektor położenia każdego punktu układu podlega przesunięciu o stały wektor ~b,

~r_i → ~r_i^′= ~r_i + α~b, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja odwrotna ma postać

~ri = ~r_i^′− α~b ⇒ ˙~r_i^′= ˙~ri,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/36

Transformacja Galileusza

Rozważmy teraz translację przestrzenną, dla któreja= 0, A = I, V~ = ~0.

Wektor położenia każdego punktu układu podlega przesunięciu o stały wektor ~b,

~r_i → ~r_i^′= ~r_i + α~b, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja odwrotna ma postać

~ri = ~r_i^′− α~b ⇒ ˙~r_i^′= ˙~ri,

a wektor różnicy położeń, od którego długości zależy energia potencjalna zmieni się następująco

   

Transformacja Galileusza

Rozważmy teraz translację przestrzenną, dla któreja= 0, A = I, V~ = ~0.

Wektor położenia każdego punktu układu podlega przesunięciu o stały wektor ~b,

~r_i → ~r_i^′= ~r_i + α~b, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja odwrotna ma postać

~ri = ~r_i^′− α~b ⇒ ˙~r_i^′= ˙~ri,

a wektor różnicy położeń, od którego długości zależy energia potencjalna zmieni się następująco

~ri − ~rj =^~r_i^′− α~b^−^~r_j^′− α~b^= ~r_i^′− ~r_j^′.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/36

Transformacja Galileusza

W takim razie, wyjściowa funkcja Lagrange’a przyjmie postać

L^~r, ˙~r^ = XN

i =1

1

2m_i˙~r_i^′2−^X

i <j

V_ij^~r_i^′− ~r_j^′= L^~r^′, ˙~r^′,

a zatem układ ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne.

Transformacja Galileusza

W takim razie, wyjściowa funkcja Lagrange’a przyjmie postać

L^~r, ˙~r^ = XN

i =1

1

2m_i˙~r_i^′2−^X

i <j

V_ij^~r_i^′− ~r_j^′= L^~r^′, ˙~r^′,

a zatem układ ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne.

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną wynikającą z twierdzenia Noether.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/36

Transformacja Galileusza

W takim razie, wyjściowa funkcja Lagrange’a przyjmie postać

L^~r, ˙~r^ =

a zatem układ ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne.

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną wynikającą z twierdzenia Noether.Przypomnijmy ogólny wzór

J≡

Transformacja Galileusza

W takim razie, wyjściowa funkcja Lagrange’a przyjmie postać

L^~r, ˙~r^ =

a zatem układ ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne.

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną wynikającą z twierdzenia Noether. Przypomnijmy ogólny wzór

J≡

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/36

Transformacja Galileusza

W takim razie, wyjściowa funkcja Lagrange’a przyjmie postać

L^~r, ˙~r^ =

a zatem układ ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne.

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną wynikającą z twierdzenia Noether. Przypomnijmy ogólny wzór

J≡

Terazn= 3N,gdyż nie ma więzów, a we współrzędnych

Transformacja Galileusza

W takim razie, wyjściowa funkcja Lagrange’a przyjmie postać

L^~r, ˙~r^ =

a zatem układ ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne.

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną wynikającą z twierdzenia Noether. Przypomnijmy ogólny wzór

J≡

Terazn= 3N,gdyż nie ma więzów, a we współrzędnych kartezjańskichqi = xi,więc

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/36

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Ponieważ funkcja Lagrange’a ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne, to w tym przypadkuF ≡ 0.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/36

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Ponieważ funkcja Lagrange’a ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne, to w tym przypadkuF ≡ 0. Obliczmy

∂L =

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Ponieważ funkcja Lagrange’a ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne, to w tym przypadkuF ≡ 0. Obliczmy

∂L

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/36

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Ponieważ funkcja Lagrange’a ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne, to w tym przypadkuF ≡ 0. Obliczmy

∂L = ∂ ^XN 1

m ˙~r² = XN 1

m2˙~r ·∂ ˙~rj

=

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Ponieważ funkcja Lagrange’a ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne, to w tym przypadkuF ≡ 0. Obliczmy

∂L

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/36

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Ponieważ funkcja Lagrange’a ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne, to w tym przypadkuF ≡ 0. Obliczmy

∂L = ∂ ^XN 1

Transformacja Galileusza

gdzie wprowadziliśmy skrótową notację

∂L

Ponieważ funkcja Lagrange’a ma symetrię ze względu na translacje przestrzenne, to w tym przypadkuF ≡ 0. Obliczmy

∂L

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/36

Transformacja Galileusza

Obliczmy jeszcze

∂~ri

∂α  

α=0

= ∂^~r_i^′− α~b^

∂α   

α=0

= −~b.

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na translacje przestrzenne ma postać

J=

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/36

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na translacje przestrzenne ma postać

J=

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na translacje przestrzenne ma postać

J=

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/36

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na translacje przestrzenne ma postać

J=

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na translacje przestrzenne ma postać

J=

gdzie wprowadziliśmy całkowity pęd układu:

P~ ≡ XN

i =1

m_i˙~ri .

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/36

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na translacje przestrzenne ma postać

J=

gdzie wprowadziliśmy całkowity pęd układu:

N

Transformacja Galileusza

PonieważJ = −~b · ~P = const, a wektor przesunięcia

przestrzennego ~b jest stały, to wnioskujemy, żeniezmienniczość translacyjna odosobnionego układu N punktów materialnych prowadzi do zachowania całkowitego pędu układu

P~ = XN

i =1

m_i˙~ri = const.

Zbadajmy zachowanie funkcji Lagrange’a naszego układu przy obrotach, które są reprezentowane przez dowolną, stałą macierz ortogonalną A.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/36

Transformacja Galileusza

PonieważJ = −~b · ~P = const, a wektor przesunięcia

przestrzennego ~b jest stały, to wnioskujemy, żeniezmienniczość translacyjna odosobnionego układu N punktów materialnych prowadzi do zachowania całkowitego pędu układu

P~ = XN

i =1

m_i˙~ri = const.

Zbadajmy zachowanie funkcji Lagrange’a naszego układu przy obrotach, które są reprezentowane przez dowolną, stałą macierz ortogonalną A.Teraz z kolei a= 0, ~V = ~b = ~0.

~r_i^′ = A~ri ⇒ ~ri = A^T~r_i^′ ⇒ ˙~ri = A^T˙~r_i^′, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja Galileusza

PonieważJ = −~b · ~P = const, a wektor przesunięcia

przestrzennego ~b jest stały, to wnioskujemy, żeniezmienniczość translacyjna odosobnionego układu N punktów materialnych prowadzi do zachowania całkowitego pędu układu

P~ = XN

i =1

m_i˙~ri = const.

Zbadajmy zachowanie funkcji Lagrange’a naszego układu przy obrotach, które są reprezentowane przez dowolną, stałą macierz ortogonalną A. Teraz z koleia= 0, ~V = ~b = ~0.

~r_i^′ = A~ri ⇒ ~ri = A^T~r_i^′ ⇒ ˙~ri = A^T˙~r_i^′, i = 1, 2, ..., N.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/36

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r =x_ix_i =

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i =A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/36

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ =A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ =

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/36

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

=

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/36

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ =δjkx_j^′x_k^′ =

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ = δjkx_j^′x_k^′ =x_j^′x_j^′ =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/36

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ = δjkx_j^′x_k^′ = x_j^′x_j^′ =~r^′· ~r^′=

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ = δjkx_j^′x_k^′ = x_j^′x_j^′ = ~r^′· ~r^′= ~r^′2,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/36

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ = δjkx_j^′x_k^′ = x_j^′x_j^′ = ~r^′· ~r^′= ~r^′2,

skąd wnioskujemy, że długość wektora położenia nie ulega zmianie przy obrocie.

|~ri|=^q~r_i²=

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ = δjkx_j^′x_k^′ = x_j^′x_j^′ = ~r^′· ~r^′= ~r^′2,

skąd wnioskujemy, że długość wektora położenia nie ulega zmianie przy obrocie.

|~ri|=^q~r_i²= q

~r_i^′2 = ~r_i^′, i = 1, 2, ..., N.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/36

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ = δjkx_j^′x_k^′ = x_j^′x_j^′ = ~r^′· ~r^′= ~r^′2,

skąd wnioskujemy, że długość wektora położenia nie ulega zmianie przy obrocie.

|~ri|=^q~r_i²= q

~r_i^′2 = ~r_i^′, i = 1, 2, ..., N.

Dokładnie tak samo można udowodnić, że

˙~r²= ˙~r^′2 i |~r − ~r| =~r^′− ~r^′.

Transformacja Galileusza

Pomińmy na chwilę indeks numerujący punkty układu i obliczmy

~r² = ~r · ~r = x_ix_i = A^T_ijx_j^′A^T_ikx_k^′ = A_jiA^T_ikx_j^′x_k^′ = ^AA^T

jkx_j^′x_k^′

= Ijkx_j^′x_k^′ = δjkx_j^′x_k^′ = x_j^′x_j^′ = ~r^′· ~r^′= ~r^′2,

skąd wnioskujemy, że długość wektora położenia nie ulega zmianie przy obrocie.

|~ri|=^q~r_i²= q

~r_i^′2 = ~r_i^′, i = 1, 2, ..., N.

Dokładnie tak samo można udowodnić, że

˙~r_i²= ˙~r_i^′2 i |~r_i − ~r_j| =~r_i^′− ~r_j^′.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/36

Transformacja Galileusza

Wnioskujemy stąd, że funkcja Lagrange’a

L^~r, ˙~r^ =

ma symetrię przy dowolnym obrocie w trójwymiarowej przestrzeni.

Dla ustalenia uwagi rozważmy obrót względem osi Oz, przy którym współrzędne kartezjańskie i-tego punktu przekształcają się

następująco

Transformacja Galileusza

Wnioskujemy stąd, że funkcja Lagrange’a

L^~r, ˙~r^ =

ma symetrię przy dowolnym obrocie w trójwymiarowej przestrzeni.

Dla ustalenia uwagi rozważmy obrót względem osi Oz, przy którym współrzędne kartezjańskie i-tego punktu przekształcają się

następująco

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Przed chwilą pokazaliśmy, że

∂L

∂ ˙x_i = mi˙xi, ∂L

∂ ˙y_i = mi˙yi, ∂L

∂ ˙z_i = mi˙zi.

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Przed chwilą pokazaliśmy, że

∂L

∂ ˙x_i = mi˙xi, ∂L

∂ ˙y_i = mi˙yi, ∂L

∂ ˙z_i = mi˙zi. Obliczmy pochodne po kącie α



Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Przed chwilą pokazaliśmy, że

∂L

∂ ˙x_i = mi˙xi, ∂L

∂ ˙y_i = mi˙yi, ∂L

∂ ˙z_i = mi˙zi. Obliczmy pochodne po kącie α



Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Przed chwilą pokazaliśmy, że

∂L

∂ ˙x_i = mi˙xi, ∂L

∂ ˙y_i = mi˙yi, ∂L

∂ ˙z_i = mi˙zi. Obliczmy pochodne po kącie α



Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

XN

i =1

∂L

∂ ˙xi

∂xi

∂α + ∂L

∂ ˙yi

∂yi

∂α + ∂L

∂ ˙zi

∂zi

∂α

 

α=0

=

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/36

Transformacja Galileusza

Wielkość zachowana ma w tym przypadku postać

J =

Transformacja Galileusza

i wprowadziliśmy z-ową składową całkowitego momentu pędu układu N punktów materialnych

L_z ≡ XN

i =1

L_iz.

Tym samym pokazaliśmy, żeniezmienniczość funkcji Lagrange’a odosobnionego układu N punktów materialnych przy obrotach względem osi Oz prowadzi do zachowania składowej Lz wektora całkowitego momentu pędu.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/36

Transformacja Galileusza

i wprowadziliśmy z-ową składową całkowitego momentu pędu układu N punktów materialnych

L_z ≡ XN

i =1

L_iz.

Tym samym pokazaliśmy, żeniezmienniczość funkcji Lagrange’a odosobnionego układu N punktów materialnych przy obrotach względem osi Oz prowadzi do zachowania składowej Lz wektora całkowitego momentu pędu.

W analogiczny sposób można pokazać, żesymetria układu N punktów przy obrotach względem osi Ox prowadzi do zachowania składowej L , a przy obrotach względem osi Oy – do zachowania

Transformacja Galileusza

i wprowadziliśmy z-ową składową całkowitego momentu pędu układu N punktów materialnych

L_z ≡ XN

i =1

L_iz.

Tym samym pokazaliśmy, żeniezmienniczość funkcji Lagrange’a odosobnionego układu N punktów materialnych przy obrotach względem osi Oz prowadzi do zachowania składowej Lz wektora całkowitego momentu pędu.

W analogiczny sposób można pokazać, żesymetria układu N punktów przy obrotach względem osi Ox prowadzi do zachowania składowej Lx, a przy obrotach względem osi Oy – do zachowania składowej Ly całkowitego momentu pędu.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/36

Transformacja Galileusza

Na koniec rozważmy tzw. czystą transformację Galileusza, opisującąprzejście do innego inercjalnego układu odniesienia poruszającego się względem układu wyjściowego ze stałą prędkością V~.Teraz mamy a= 0, A = I, ~b = ~0 i transformacja ma postać

~r_i → ~r_i^′= ~ri + α~V t, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja Galileusza

Na koniec rozważmy tzw. czystą transformację Galileusza, opisującąprzejście do innego inercjalnego układu odniesienia poruszającego się względem układu wyjściowego ze stałą prędkością V~.Teraz mamy a= 0, A = I, ~b = ~0 i transformacja ma postać

~r_i → ~r_i^′= ~ri + α~V t, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja odwrotna ma postać

~ri = ~r_i^′− α~V t ⇒ ˙~ri = ˙~r_i^′− α~V,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/36

Transformacja Galileusza

Na koniec rozważmy tzw. czystą transformację Galileusza, opisującąprzejście do innego inercjalnego układu odniesienia poruszającego się względem układu wyjściowego ze stałą prędkością V~.Teraz mamy a= 0, A = I, ~b = ~0 i transformacja ma postać

~r_i → ~r_i^′= ~ri + α~V t, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja odwrotna ma postać

~ri = ~r_i^′− α~V t ⇒ ˙~ri = ˙~r_i^′− α~V, Wektor różnicy położeń przekształci się następująco

~r − ~r =^~r^′− α~V t^−^~r^′− α~V t^=~r^′− ~r^′.

Transformacja Galileusza

Na koniec rozważmy tzw. czystą transformację Galileusza, opisującąprzejście do innego inercjalnego układu odniesienia poruszającego się względem układu wyjściowego ze stałą prędkością V~.Teraz mamy a= 0, A = I, ~b = ~0 i transformacja ma postać

~r_i → ~r_i^′= ~ri + α~V t, i = 1, 2, ..., N.

Transformacja odwrotna ma postać

~ri = ~r_i^′− α~V t ⇒ ˙~ri = ˙~r_i^′− α~V, Wektor różnicy położeń przekształci się następująco

~r_i− ~rj =^~r_i^′− α~V t^−^~r_j^′− α~V t^=~r_i^′− ~r_j^′.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/36

Transformacja Galileusza

Funkcja Lagrange’a zmieni się następująco

L^~r, ˙~r^ = Na pierwszy rzut oka mamy wrażenie, że L nie ma symetrii przy czystej transformacji Galileusza.

Transformacja Galileusza

Funkcja Lagrange’a zmieni się następująco

L^~r, ˙~r^ = Na pierwszy rzut oka mamy wrażenie, że L nie ma symetrii przy czystej transformacji Galileusza.

Zauważmy jednak, że dodatkowe wyrazy po prawej stronie równości można przedstawić jako pochodną zupełną po czasie z następującej funkcji co łatwo sprawdzić obliczając pochodną ^dd^Ft.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/36

Transformacja Galileusza

Funkcja Lagrange’a zmieni się następująco

L^~r, ˙~r^ = Na pierwszy rzut oka mamy wrażenie, że L nie ma symetrii przy czystej transformacji Galileusza.

Zauważmy jednak, że dodatkowe wyrazy po prawej stronie równości można przedstawić jako pochodną zupełną po czasie z następującej funkcji

XN 1 ^{ }

Transformacja Galileusza

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną

J =

Poprzednio pokazaliśmy już, że

∂L

∂ ˙~ri

= m_i˙~ri.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 32/36

Transformacja Galileusza

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną

J =

Poprzednio pokazaliśmy już, że

∂L

Transformacja Galileusza

Znajdźmy odpowiednią wielkość zachowaną

J =

Poprzednio pokazaliśmy już, że

∂L

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 32/36

Transformacja Galileusza

wektorem położenia środka masy układu

~R≡

Transformacja Galileusza

wektorem położenia środka masy układu

~R≡

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 33/36

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na czyste transformacje Galileusza ma postać

J =

Ponieważ prędkość względna obu układów inercjalych ~V jest stała, to

M ~R− ~Pt= const ⇒ R~ = ~P

M t+ ~R0,

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na czyste transformacje Galileusza ma postać

J =

Ponieważ prędkość względna obu układów inercjalych ~V jest stała, to

M ~R− ~Pt= const ⇒ R~ = ~P

M t+ ~R0, gdzie stała ~R⁰= const/M ma interpretację początkowego położenia środka masy układu,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 34/36

Transformacja Galileusza

Zatem, wielkość zachowana w przypadku symetrii ze względu na czyste transformacje Galileusza ma postać

J =

Ponieważ prędkość względna obu układów inercjalych ~V jest stała, to

M ~R− ~Pt= const ⇒ R~ = ~P

M t+ ~R0,

Transformacja Galileusza

a stała ~P/M jest jego stałą prędkością.

Widzimy, żekonsekwencją symetrii odosobnionego układu N punktów materialnych względem czystych transformacji Galileusza jest to, że jego środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 35/36

Transformacja Galileusza

a stała ~P/M jest jego stałą prędkością.

Widzimy, żekonsekwencją symetrii odosobnionego układu N punktów materialnych względem czystych transformacji Galileusza jest to, że jego środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Transformacja Galileusza

Podsumowując:

przesunięcia w czasie

⇒ zasada zachowania energii

przesunięcia w przestrzeni (w 3 kierunkach)

⇒ zasada zachowania pędu(3 składowe) obroty w przestrzeni(3 kąty obrotu)

⇒ zasada zachowania momentu pędu (3 składowe) transformacje do innego,inercjalnego układu odniesienia (3

⇒ zasada zachowania momentu pędu (3 składowe) transformacje do innego,inercjalnego układu odniesienia (3

W dokumencie Transformacja Galileusza Wykład 7 Karol Kołodziej (Stron 66-160)