Transformacja Galileusza Wykład 7 Karol Kołodziej

Transformacja Galileusza

Wykład 7

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Zasada względności Galileusza

W mechanice nierelatywistycznej rozpatrujemy ruch ciał, które w wybranych przez nas układach odniesienia, poruszają się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła w próżni:

v ≪ c = 299 792 458 ^m_s ≈ 300 000 ^km_s . Prawa Newtona, również w ujęciu lagranżowskim lub hamiltonowskim, które poznamy w dalszym ciągu kursu, są niezmiennicze względemtransformacji Galileusza.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/36

Zasada względności Galileusza

W mechanice nierelatywistycznej rozpatrujemy ruch ciał, które w wybranych przez nas układach odniesienia, poruszają się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła w próżni:

v ≪ c = 299 792 458 ^m_s ≈ 300 000 ^km_s . Prawa Newtona, również w ujęciu lagranżowskim lub hamiltonowskim, które poznamy w dalszym ciągu kursu, są niezmiennicze względemtransformacji Galileusza.

Przypomnijmy, żeukłady inercjalne, to układy odniesienia, w których spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.

Zasada względności Galileusza

W mechanice nierelatywistycznej rozpatrujemy ruch ciał, które w wybranych przez nas układach odniesienia, poruszają się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła w próżni:

v ≪ c = 299 792 458 ^m_s ≈ 300 000 ^km_s . Prawa Newtona, również w ujęciu lagranżowskim lub hamiltonowskim, które poznamy w dalszym ciągu kursu, są niezmiennicze względemtransformacji Galileusza.

Przypomnijmy, żeukłady inercjalne, to układy odniesienia, w których spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.

Układy inercjalne poruszają się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/36

Zasada względności Galileusza

W mechanice nierelatywistycznej rozpatrujemy ruch ciał, które w wybranych przez nas układach odniesienia, poruszają się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła w próżni:

v ≪ c = 299 792 458 ^m_s ≈ 300 000 ^km_s . Prawa Newtona, również w ujęciu lagranżowskim lub hamiltonowskim, które poznamy w dalszym ciągu kursu, są niezmiennicze względemtransformacji Galileusza.

Przypomnijmy, żeukłady inercjalne, to układy odniesienia, w których spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.

Układy inercjalne poruszają się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Transformacja Galileusza

Transformacja Galileusza wiąże współrzędne i czas xi(t), t i x_i^′(t^′), t^′ w dwóch układach inercjalnychw następujący sposób

t^′ = t + a

x_i^′ t^′
= aijxj(t) + Vi t+ bi, i = 1, 2, 3,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/36

Transformacja Galileusza

Transformacja Galileusza wiąże współrzędne i czas xi(t), t i x_i^′(t^′), t^′ w dwóch układach inercjalnych w następujący sposób

t^′ = t + a

x_i^′ t^′
= aijxj(t) + Vi t+ bi, i = 1, 2, 3, gdzie

stała a opisuje przesunięcie czasu,

stały wektor ~b opisuje przesunięcie przestrzenne,

V~ jest stałą prędkością względną obu układów inercjalnych, aij są elementami ortogonalnej macierzy obrotu A, dla której

Transformacja Galileusza

Transformacja Galileusza wiąże współrzędne i czas xi(t), t i x_i^′(t^′), t^′ w dwóch układach inercjalnych w następujący sposób

t^′ = t + a

x_i^′ t^′
= aijxj(t) + Vi t+ bi, i = 1, 2, 3, gdzie

stała a opisuje przesunięcie czasu,

stały wektor ~b opisuje przesunięcie przestrzenne,

V~ jest stałą prędkością względną obu układów inercjalnych, aij są elementami ortogonalnej macierzy obrotu A, dla której A^TA= AA^T = I .

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/36

Transformacja Galileusza

W drugim z powyższych wzorów transformacyjnych zastosowaliśmy konwencję sumacyjną,tzn. opuściliśmy symbol sumy po

powtarzającym się wskaźniku j w zakresie od 1 do 3.

Transformacja Galileusza

W drugim z powyższych wzorów transformacyjnych zastosowaliśmy konwencję sumacyjną, tzn. opuściliśmy symbol sumy po

powtarzającym się wskaźniku j w zakresie od 1 do 3.

Zadanie 1:Pokazać, że rzeczywista ortogonalna macierz 3 × 3 ma 3 niezależne elementy.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/36

Transformacja Galileusza

W drugim z powyższych wzorów transformacyjnych zastosowaliśmy konwencję sumacyjną, tzn. opuściliśmy symbol sumy po

powtarzającym się wskaźniku j w zakresie od 1 do 3.

Zadanie 1:Pokazać, że rzeczywista ortogonalna macierz 3 × 3 ma 3 niezależne elementy.

Transformację Galileusza możemy zapisać wektorowo w następujący sposób

t → t^′ = t + a

~r → ~r^′ = A ~r + ~V t+ ~b.

Transformacja Galileusza

W drugim z powyższych wzorów transformacyjnych zastosowaliśmy konwencję sumacyjną, tzn. opuściliśmy symbol sumy po

powtarzającym się wskaźniku j w zakresie od 1 do 3.

Zadanie 1:Pokazać, że rzeczywista ortogonalna macierz 3 × 3 ma 3 niezależne elementy.

Transformację Galileusza możemy zapisać wektorowo w następujący sposób

t → t^′ = t + a

~r → ~r^′ = A ~r + ~V t+ ~b.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/36

Grupa Galileusza

Zbiór wszystkich transformacji Galileusza G tworzy

dziesięcio-parametrową grupę przekształceń ze względu na złożenie transformacji, które oznaczymy symbolem ◦.Dowolny element g ∈ G możemy sparametryzować następująco

G ∋ g = g^a, A, ~V, ~b^, gdzie

1 parametr a opisuje translację w czasie,

3 składowe wektora ~b opisują translację w przestrzeni, 3 elementy macierzy ortogonalnej Aopisują obrót,

3 składowe prędkości względnej ~V opisują transformację do

Grupa Galileusza

Zbiór wszystkich transformacji Galileusza G tworzy

dziesięcio-parametrową grupę przekształceń ze względu na złożenie transformacji, które oznaczymy symbolem ◦.Dowolny element g ∈ G możemy sparametryzować następująco

G ∋ g = g^a, A, ~V, ~b^, gdzie

1 parametr a opisuje translację w czasie,

3 składowe wektora ~b opisują translację w przestrzeni, 3 elementy macierzy ortogonalnej Aopisują obrót,

3 składowe prędkości względnej ~V opisują transformację do innego inercjalnego układu odniesienia.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/36

Grupa Galileusza

Aby udowodnić to stwierdzenie pokażemy najpierw, że złożenie dwóch transformacji Galileusza g i g^′ jest również transformacją Galileusza.Niech

G ∋ g = g^a, A, ~V, ~b^, G ∋ g^′ = g^′a^′, A^′, ~V^′, ~b^′.

Grupa Galileusza

Aby udowodnić to stwierdzenie pokażemy najpierw, że złożenie dwóch transformacji Galileusza g i g^′ jest również transformacją Galileusza. Niech

G ∋ g = g^a, A, ~V, ~b^, G ∋ g^′ = g^′a^′, A^′, ~V^′, ~b^′. Postać złożenia g^′◦ g znajdziemy składając wzory określające transformacjeg ig^′:

t^′ = t + a,

x_i^′ t^′
= aijxj(t) + Vi t+ bi, i = 1, 2, 3, t^′′ = t^′+ a^′,

x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b^′_i, i = 1, 2, 3.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/36

Grupa Galileusza

Aby udowodnić to stwierdzenie pokażemy najpierw, że złożenie dwóch transformacji Galileusza g i g^′ jest również transformacją Galileusza. Niech

G ∋ g = g^a, A, ~V, ~b^, G ∋ g^′ = g^′a^′, A^′, ~V^′, ~b^′. Postać złożenia g^′◦ g znajdziemy składając wzory określające transformacjeg ig^′:

t^′ = t + a,

x_i^′ t^′
= aijxj(t) + Vi t+ bi, i = 1, 2, 3, t^′′ = t^′+ a^′,

x^′′ t^′′
= a^′x^′ t^′
+ V^′ t^′+ b^′, i = 1, 2, 3.

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/36

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
=

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/36

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

=

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/36

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

= a^′_ij(ajkx_k(t) + Vj t+ bj) + V_i^′· (t + a) + b_i^′

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

= a^′_ij(ajkx_k(t) + Vj t+ bj) + V_i^′· (t + a) + b_i^′

=

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/36

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

= a^′_ij(ajkx_k(t) + Vj t+ bj) + V_i^′· (t + a) + b_i^′

= a^′_ija_jkx_k(t) +^a^′_ijV_j + V_i^′ t+ a^′_ijb_j + aV_i^′+ b^′_i.

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

= a^′_ij(ajkx_k(t) + Vj t+ bj) + V_i^′· (t + a) + b_i^′

= a^′_ija_jkx_k(t) +^a^′_ijV_j + V_i^′ t+ a^′_ijb_j + aV_i^′+ b^′_i. Widzimy, że złożenie transformacji ma postać:

t^′′ = t + a^′′,

x_i^′′ t^′′
= a^′′_ikxk(t) + V_i^′′t+ b^′′_i, i = 1, 2, 3,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/36

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

= a^′_ij(ajkx_k(t) + Vj t+ bj) + V_i^′· (t + a) + b_i^′

= a^′_ija_jkx_k(t) +^a^′_ijV_j + V_i^′ t+ a^′_ijb_j + aV_i^′+ b^′_i. Widzimy, że złożenie transformacji ma postać:

t^′′ = t + a^′′,

x_i^′′ t^′′
= a^′′_ikxk(t) + V_i^′′t+ b^′′_i, i = 1, 2, 3, przy czyma^′′= a^′+ a oraz

Grupa Galileusza

t^′′ = t^′+ a^′ =t+ a + a^′ x_i^′′ t^′′
= a^′_ijx_j^′ t^′
+ V_i^′ t^′+ b_i^′

= a^′_ij(ajkx_k(t) + Vj t+ bj) + V_i^′· (t + a) + b_i^′

= a^′_ija_jkx_k(t) +^a^′_ijV_j + V_i^′ t+ a^′_ijb_j + aV_i^′+ b^′_i. Widzimy, że złożenie transformacji ma postać:

t^′′ = t + a^′′,

x_i^′′ t^′′
= a^′′_ikxk(t) + V_i^′′t+ b^′′_i, i = 1, 2, 3, przy czyma^′′= a^′+ a oraz

a^′′_ik = a^′_ija_jk, V_i^′′ = a^′_ijV_j + V_i^′, b^′′_i = a^′_ijb_j + aV_i^′+ b^′_i.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/36

Grupa Galileusza

Uwzględniając wzory

a^′′= a^′+ a, a^′′_ik = a_ij^′a_jk, V_i^′′= a_ij^′Vj+ V_i^′, b^′′_i = a_ij^′bj + aV_i^′+ b_i^′ możemy zapisać złożenie transformacji w języku

macierzowo-wektorowym:

g^′′ = g^′a^′, A^′, ~V^′, ~b^′◦ g^a, A, ~V, ~b^

= g^′′a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′.

Grupa Galileusza

Uwzględniając wzory

a^′′= a^′+ a, a^′′_ik = a_ij^′a_jk, V_i^′′= a_ij^′Vj+ V_i^′, b^′′_i = a_ij^′bj + aV_i^′+ b_i^′ możemy zapisać złożenie transformacji w języku

macierzowo-wektorowym:

g^′′ = g^′a^′, A^′, ~V^′, ~b^′◦ g^a, A, ~V, ~b^

= g^′′a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/36

Grupa Galileusza

Element g^′′ tej postaci będzie transformacją Galileusza, jeśli macierz A^′′= A^′A będzie macierzą ortogonalną.

Rzeczywiście, jeśli A^′TA^′= I i A^TA= I , to A^′′TA^′′ = A^′A
^TA^′A= A^TA^′TA^′

| {z }

I

A= A^TA= I ,

Grupa Galileusza

Element g^′′ tej postaci będzie transformacją Galileusza, jeśli macierz A^′′= A^′A będzie macierzą ortogonalną.

Rzeczywiście, jeśli A^′TA^′= I i A^TA= I , to A^′′TA^′′ = A^′A
^TA^′A= A^TA^′TA^′

| {z }

I

A= A^TA= I ,

a zatem dowiedliśmy, że g^′′∈ G .

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/36

Grupa Galileusza

Element g^′′ tej postaci będzie transformacją Galileusza, jeśli macierz A^′′= A^′A będzie macierzą ortogonalną.

Rzeczywiście, jeśli A^′TA^′= I i A^TA= I , to A^′′TA^′′ = A^′A
^TA^′A= A^TA^′TA^′

| {z }

I

A= A^TA= I ,

a zatem dowiedliśmy, że g^′′∈ G .

Musimy jeszcze dowieść trzech postulatów grupowych.

Grupa Galileusza

Element g^′′ tej postaci będzie transformacją Galileusza, jeśli macierz A^′′= A^′A będzie macierzą ortogonalną.

Rzeczywiście, jeśli A^′TA^′= I i A^TA= I , to A^′′TA^′′ = A^′A
^TA^′A= A^TA^′TA^′

| {z }

I

A= A^TA= I ,

a zatem dowiedliśmy, że g^′′∈ G .

Musimy jeszcze dowieść trzech postulatów grupowych.

Łączność:

^

g ,g^′,g^′′∈G

g^′′◦ g^′
◦ g = g^′′◦ g^′◦ g
.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/36

Grupa Galileusza

Element g^′′ tej postaci będzie transformacją Galileusza, jeśli macierz A^′′= A^′A będzie macierzą ortogonalną.

Rzeczywiście, jeśli A^′TA^′= I i A^TA= I , to A^′′TA^′′ = A^′A
^TA^′A= A^TA^′TA^′

| {z }

I

A= A^TA= I ,

a zatem dowiedliśmy, że g^′′∈ G .

Musimy jeszcze dowieść trzech postulatów grupowych.

Łączność:

^

g ,g^′,g^′′∈G

g^′′◦ g^′
◦ g = g^′′◦ g^′◦ g
.

Grupa Galileusza

Oznaczmy x ≡ (t,~r), wówczas

^

g ,g^′,g^′′∈G

g^′′◦ g^′
◦ g(x) = g^′′◦ g^′
(g (x)) = g^′′ g^′(g (x))

= g^′′ g^′◦ g (x)
=g^′′◦ g^′◦ g
(x).

Widzimy, że spełnienie tego postulatu wynika z łączności odwzorowań.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/36

Grupa Galileusza

Oznaczmy x ≡ (t,~r), wówczas

^

g ,g^′,g^′′∈G

g^′′◦ g^′
◦ g(x) = g^′′◦ g^′
(g (x)) = g^′′ g^′(g (x))

= g^′′ g^′◦ g (x)
=g^′′◦ g^′◦ g
(x).

Widzimy, że spełnienie tego postulatu wynika z łączności odwzorowań.

Element neutralny:

_

e∈G

^

g ∈G

e◦ g = g ◦ e = g .

Grupa Galileusza

Oznaczmy x ≡ (t,~r), wówczas

^

g ,g^′,g^′′∈G

g^′′◦ g^′
◦ g(x) = g^′′◦ g^′
(g (x)) = g^′′ g^′(g (x))

= g^′′ g^′◦ g (x)
=g^′′◦ g^′◦ g
(x).

Widzimy, że spełnienie tego postulatu wynika z łączności odwzorowań.

Element neutralny:

_

e∈G

^

g ∈G

e◦ g = g ◦ e = g .

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/36

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/36

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A ⇔ A^′ = I,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/36

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A ⇔ A^′ = I, A^′V~ + ~V^′ = I~V + ~V^′ = ~V

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A ⇔ A^′ = I,

A^′V~ + ~V^′ = I~V + ~V^′ = ~V ⇔ V~^′ = ~0,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/36

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A ⇔ A^′ = I,

A^′V~ + ~V^′ = I~V + ~V^′ = ~V ⇔ V~^′ = ~0, A^′~b + a~V^′+ ~b^′ = I~b + a ~0 + ~b^′ = ~b

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A ⇔ A^′ = I,

A^′V~ + ~V^′ = I~V + ~V^′ = ~V ⇔ V~^′ = ~0,

A^′~b + a~V^′+ ~b^′ = I~b + a ~0 + ~b^′ = ~b ⇔ ~b^′ = ~0,

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/36

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A ⇔ A^′ = I,

A^′V~ + ~V^′ = I~V + ~V^′ = ~V ⇔ V~^′ = ~0,

A^′~b + a~V^′+ ~b^′ = I~b + a ~0 + ~b^′ = ~b ⇔ ~b^′ = ~0,

 

Grupa Galileusza

Oznaczmy e ≡ e^a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

e◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= g^a, A, ~V, ~b^. Skąd otrzymujemy warunki

a^′+ a = a ⇔ a^′ = 0, A^′A= A ⇔ A^′ = I,

A^′V~ + ~V^′ = I~V + ~V^′ = ~V ⇔ V~^′ = ~0,

A^′~b + a~V^′+ ~b^′ = I~b + a ~0 + ~b^′ = ~b ⇔ ~b^′ = ~0, a więc element neutralny ma postaće= e^0, I,~0,~0^.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/36

Grupa Galileusza

Obliczmy jeszcze

g ◦ e^a+ 0, AI, A~0 + ~V, A~0 + 0 · ~V + ~b^= g^a, A, ~V, ~b^.

Element odwrotny:

^

g ∈G

_

g⁻¹∈G

g⁻¹◦ g = g ◦ g⁻¹ = e.

Grupa Galileusza

Obliczmy jeszcze

g ◦ e^a+ 0, AI, A~0 + ~V, A~0 + 0 · ~V + ~b^= g^a, A, ~V, ~b^.

Element odwrotny:

^

g ∈G

_

g⁻¹∈G

g⁻¹◦ g = g ◦ g⁻¹ = e.

Oznaczmy g⁻¹ ≡ g^−1a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy ponownie z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^, gdzie wstawiliśmy znalezioną postać elementu neutralnego.

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/36

Grupa Galileusza

Obliczmy jeszcze

g ◦ e^a+ 0, AI, A~0 + ~V, A~0 + 0 · ~V + ~b^= g^a, A, ~V, ~b^.

Element odwrotny:

^

g ∈G

_

g⁻¹∈G

g⁻¹◦ g = g ◦ g⁻¹ = e.

Oznaczmy g⁻¹ ≡ g^−1a^′, A^′, ~V^′, ~b^′i skorzystajmy ponownie z ogólnej postaci złożenia dwóch transformacji Galileusza

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^,

Grupa Galileusza

Z równania

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^ otrzymujemy teraz warunki

a^′+ a = 0

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/36

Grupa Galileusza

Z równania

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^ otrzymujemy teraz warunki

a^′+ a = 0 ⇔ a^′ = −a,

Grupa Galileusza

Z równania

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^ otrzymujemy teraz warunki

a^′+ a = 0 ⇔ a^′ = −a, A^′A= I

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/36

Grupa Galileusza

Z równania

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^ otrzymujemy teraz warunki

a^′+ a = 0 ⇔ a^′ = −a, A^′A= I ⇔ A^′ = A⁻¹= A^T,

Grupa Galileusza

Z równania

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^ otrzymujemy teraz warunki

a^′+ a = 0 ⇔ a^′ = −a, A^′A= I ⇔ A^′ = A⁻¹= A^T, A^′V~ + ~V^′ = A^TV~ + ~V^′ = ~0

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/36

Grupa Galileusza

Z równania

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^ otrzymujemy teraz warunki

a^′+ a = 0 ⇔ a^′ = −a, A^′A= I ⇔ A^′ = A⁻¹= A^T,

A^′V~ + ~V^′ = A^TV~ + ~V^′ = ~0 ⇔ V~^′= −A^TV~,

Grupa Galileusza

Z równania

g⁻¹◦ g^a^′+ a, A^′A, A^′V~ + ~V^′, A^′~b + a~V^′+ ~b^′= e^0, I,~0,~0^ otrzymujemy teraz warunki

a^′+ a = 0 ⇔ a^′ = −a, A^′A= I ⇔ A^′ = A⁻¹= A^T,

A^′V~ + ~V^′ = A^TV~ + ~V^′ = ~0 ⇔ V~^′= −A^TV~, A^′~b + a~V^′+ ~b^′ = A^T~b + a^−A^TV~^+ ~b^′ = ~0

Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/36